第六章、定积分的应用
第一节、定积分的元素法
第二节、定积分在几何学上的应用 重点：1、应用元素法的条件及步骤 条件 1）、U 是与一个变量x 的变化区间【a ，b 】有关的量； 2）、U 对于区间【a ，b 】具有数量可加性； 3）、部分量，其中为区间【a ，
b 】上
的一直连续函数，则可考虑用定积分来计算这个量U ； 步骤 1）、选取一个变量如x 为积分变量，确定它的变化区间【a ，b 】； 2）、把区间【a ，b 】分成n 个小区间，取其中任一小区间为【x ，x+dx 】， 求出相应的的近似值记作dU=；
3）、作积分U=。 2、1）、计算平面图形的面积时，一般要画出大体图形来选择坐标系； 2）、计算去边梯形绕坐标轴旋转形成的旋转体体积时，可利用切片 法； 3）、计算曲线的弧长时，主要是根据曲线的方程，选择相应的公式 写出弧微分ds ，继而求出弧长； 4）、计算旋转体的侧面积时，需注意是绕哪个轴旋转，若是绕x 轴 旋转，只要代入上面所给的公式；若是绕y 轴旋转，则要根据 上面稍作改变即可。 例题：
1、求椭圆所围成的图形的面积。（张静）
解：该椭圆关于两坐标轴都对称，所以椭圆围成的图形的面积为4A1
其中A1为该椭圆第一象限部分与两坐标轴围成图形的面积， 因此
利用椭圆的参数方程
，
应用定积分换元法，令x=acos t ，则
i
U ?i
i x f ?)(ξ)(x f U ?dx x f )(?b
a dx
x f )(1
2
2
2
2=+
b
y a
x
?==a
ydx
A A 0
414?
?? ??
≤≤==20sin ,cos πt t b y t a x .
sin ,sin tdt a dx t b y -==
当x 由0变到a 时，t 由变到0，所以
当a=b 时，就得到大家所熟悉的媛面积公式。
2、计算由椭圆所围成的图形绕x 轴旋转一周形成的旋转体的体积。
（张静）
解：这个椭圆球体也可看做是由半个椭圆
及x 轴围成的图形绕x 轴旋转一周而成的立体。 取x 为积分变量，它的变化区间为【—a ，a 】。旋转椭球体中相应于【—a ，a 】上
任一小区间【x ，x+dx 】的薄片的体积，近似于底半径为、高
为dx 的
扁圆柱体的体积，及体积元素
于是所求旋转椭球体的体积为
当a=b 时，旋转椭球体就称为半径为a 的球体，它的体积为。
3.求由下列各组曲线所围成的图形的面积：(王倩) y=1
2x 2与x 2+y 2=8（两部分都要计算）；
2π
ab
ab tdt ab tdt ab dt t a t b A ππ
π
ππ=?
?
==-=-=???2
2
14sin 4sin 4)sin (sin 420
2
2
2
2
2
a A π=1
2
2
2
2=+
b
y a
x
2
2
b
a a
b y -=
2
2b
a a b
-dx
x a a
b
dV )(2
22
2
-=
π.3
43)(2
32222222
ab x x a a b dx b a a b
V a
a a
a πππ=??????-=-=--?3
34
a
π
解： y =1
2x 2x 2+y 2
=8 得 x =2y =2 或 x =?2y =2，
A 上= ( 8?x 22
?2?1
2x 2)dx=2 ( 8?x 22
?1
2x 2)dx, 8?
x 220
dx x =2 2sin t
(2 2cos t )2π4
dt =8 1+cos 2t
2
π
4
dt
=π+2
x 2220dx=1
6
x 3|20=4
3
A 上=2（π+2?4
3）=2π+4
3
A 下=π（2 2）2
-A 上=8π? 2π+4
3 =6π?4
3
4.求抛物线y 2=2px 及其在点（p
2，p ）处的法线所围成的图形的面积；（王倩） 解：将（p
2，p ）代入y 2=2px ，该点在曲线上， y= ， y ，=
y ，|x=p
2 =1，
法线方程为： y-p=-（x-p
2） X=3p
2-y
x =
3p
2?y y 2=2px 得 x =p
2y =p 或 x =9p
2y =?3p ，
dA=（3p 2-y-12p
y 2）dy
A= 3p
2?y ?1
2p y 2 p
?3p dy = 3p
2?y ?1
2p y 2 |p ?3p =16
3p 2
第六章 第三节 定积分在物理学上的应用
一、内容简析
变力沿直线所做的功：
物体受力)(x F 作直线运动，其中b x a ≤≤,则力F 对物体所做的功为=
W ?
b
a
dx x F )(.
水压力：
在水深h 处，面积为dS 的小微元受水压力ghdS dp ρ=. 引力：
用元素法可将引力分解为横向与纵向上的两个分力.
二、题型、例题、方法
基本题型I ：变力沿直线做功
从物理
F 作用在
这物体上，且这力的方向与物体运动的方向一致，那么，在物体移动了距离s 时，力F 对物体所做的功为
s F W ?=
如果物体在运动过程中所受到的力是变化的，这就会遇到变力对物体做功的问题.
例：在底面积为S 的圆柱形容器中盛有一定量的气体.在等温条件下，由于气体的膨胀，把容器中的一个活塞（面积为S ）从点a 处推移到b 处（图见书P288 图6-28）.计算在移动过程中，气体压力所做的功.
解 取坐标系如图6-28所示.活塞的位置可以用坐标x 来表示.由物理学知道，一定量的气体在等温条件下，压强p 与体积V 的乘积是常数k ，即
k
pV =或=
p V
k
因为xS V =,所以
=
p xS k
于是，作用在活塞上的力
=F x
k S xS
k S p =
?=
?
在气体膨胀过程中，体积V 是变的，因而x 也是变的，所以作用在活塞上的也是变的.
取x 为积分变量，它在变化区间为[]b a ,.设[]dx x x +,为[]b a ,上任一小区间，当活塞从x 移动到dx x +时，变力F 所作的功近似于dx x
k
，即功元素为
dx
x k dW =
于是所求的功为
[]a
b k x k dx x
k W b
a b
a
ln
ln ===
?
.
基本题型Ⅱ：水的侧压力
从物理学知道，在水深为h 处的压强为gh p ρ=，这里ρ是水的密度，g 是重力加速度.如果有一面积为A 的平板水平额放置在水深为h 处，那么，平板一侧所受的水压力为
A p P ?=
如果平板铅直放置在水中，那么，由于水深不同的点处压强p 不相等，平板一侧所受的水压力就不能用上述方法计算.
例：一个横放着的圆柱形水桶，桶内盛放有半桶水（图见书P290图6-30（a ））.设桶的底半径为R ，水的密度为ρ，计算桶的一个端面上所受的压力. 解 桶的一个端面是圆片，所以现在要计算的是当水平面通过圆心时，铅直放置的一个半圆片的一侧所受到的水压力.
如图6-30（b ），在这个圆片上取过圆心且铅直向下的直线为x 轴，过圆心的水平线为y 轴.对这个坐标系来讲，所讨论的半圆的方程为
()R x R
y
x ≤≤=+02
2
2
.取x 为积分变量，它的变化区间[]R ,0.设[]dx x x +,为
[]R ,0上的任一小区间，半圆片上相应于[]dx x x +,的窄条上各点处的压强近似于
gx ρ，这窄条的面积近似于dx x R 2
22-.因此，这窄条一侧所受水压力的近似值，即压力元素为
dx x R gx
dP 2
22-=ρ.
于是所求压力为
()()
()
.323
223
2
32
22
2
2
1
2
2
2
2R g x
R g x
R
d x
R
g dx x R gx
P R
R
R
ρρρρ=?
?????--=---=-=
?
?
基本题型III ：引力
从物理学知道，质量分别为1m 、2m ，相距为r 的两质点间的引力的大小为
2
21r
m m G
F =
其中G 为引力系数，引力的方向沿着两质点的连线方向.
如果要计算一根细棒对一个质点的引力，那么，由于细棒上各点与该质点的距离是变化的，且各点对该质点的引力的方向也是变化的，因此就不能用上述公式来计算.
例：设有一长度为l 、线密度为μ的均匀细直棒，在其中垂线上距棒a 单位处有一质量为m 的质点M.试计算该棒对质点M 的引力.
解 取坐标系如图6-31所示（图见书P291），使棒位于y 轴上，质点M 位于x 轴上，棒的中点为原点O.取y 为积分变量，它的变化区间为??
?
???
-2,2l l .设
[]dy y y +,为
??
????-2,2l l 上任一小区间，把细直棒上相应于[]dy y y +,的一小段近似
地看成质点，其质量为dy μ，与M 相距2
2
y
a r +=
.因此可以按照两质点间的引
力计算公式求出这小段细直棒对质点M 的引力F ?的大小
从而求出F ?在水平方向分力x F ?的近似值，即细直棒对质点M 的引力在水平方向分力x F 的元素为
2
3
2
2)(y a dy
am G
dF x +-=μ
于是得引力在水平方向分力为
2
2
21
2
1
23
2
2412)(l
a a
l Gm dy
y a Gam F x +?
-
=+-=?-μμ
由对称性知，引力在铅直方向分力为0=y F .
当细直棒的长度l 很大时，可视l 趋于无穷.此时，引力的大小为a
Gm μ2，
方向与细直棒垂直且由M 指向细棒.
方叶
2
2
y
a dy m G
F +≈?μ
第6章 微分方程总结 1.可分离变量微分方程 一阶微分方程y '=?(x , y ) 或M(x)N(y )dx +P(x)Q(y )dy =0能写成 g (y )dy =f (x )dx 两边积分可得通解。 2.齐次微分方程 dy y ()dx x =φ，令x y u =, 即y =ux , 有)(u dx du x u ?=+, 得??=-x dx u u du )(?。 3.一阶线性微分方程 （1）齐次线性 0)(=+y x P dx dy 用分离变量法可求得通解P(x)dx y Ce -?=。 （2）非齐次线性方程)()(x Q y x P dx dy =+ 由齐次方程常数变易法可得通解 ])([)()(C dx e x Q e y dx x P dx x P +??=?-。 4.伯努利方程 n y x Q y x P dx dy )()(=+ (n ≠0, 1)，以y n 除方程的两边, 得 )()(1x Q y x P dx dy y n n =+-- 令z =y 1-n , 得线性方程 )()1()()1(x Q n z x P n dx dz -=-+. 5.可降阶的高阶微分方程 （1）y (n )=f (x ) ：积分n 次 1)1()(C dx x f y n +=?-, 21)2(])([C dx C dx x f y n ++=??-，? ? ?. （2）y ''= f (x , y ')：设y '=p(x) , 则方程化为 p '=f (x , p )。 （3）y ''=f (y , y ')：设y '=p(y), dy dp p dx dy dy dp dx dp y =?==''，原方程化为 ),(p y f dy dp p = 6.二阶常系数线性微分方程 （1）二阶常系数齐次线性微分方程： y ''+py '+qy =0 （2）二阶常系数非齐次线性微分方程： y ''+py '+qy =f (x )
同济大学第六版高等数学上下册课后习题 答案8-6
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢6 习题8-6 1. 求曲线x =t -sin t , y =1-cos t , 2sin 4t z =在点)22 ,1 ,12 (-π处的切线及法平面方程. 解 x '(t )=1-cos t , y '(t )=sin t , 2 cos 2)(t t z ='. 因为点)22 ,1 ,12 (-π所对应的参数为2 π=t , 故在点)22 ,1 ,12 (-π处的切向量为)2 ,1 ,1(=T . 因此在点)22 ,1 ,12 (-π处, 切线方程为 2 2211121-=-=-+z y x π, 法平面方程为 0)22(2)1(1)12(1=-+-?++-?z y x π, 即42 2+=++πz y x . 2. 求曲线t t x +=1, t t y +=1, z =t 2在对应于t =1的点处的切线及法平面方程. 解 2 )1(1)(t t x +=', 21)(t t y -=', z '(t )=2t . 在t =1所对应的点处, 切向量)2 ,1 ,4 1(-=T , t =1所对应的点为)1 ,2 ,2 1(, 所以在t =1所对应的点处, 切线方程为
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢6 2 1124 121-=--=-z y x , 即8142121-=--=-z y x ; 法平面方程为 0)1(2)2()2 1(41=-+---z y x , 即2x -8y +16z -1=0. 3. 求曲线y 2=2mx , z 2=m -x 在点(x 0, y 0, z 0)处的切线及法平面方程. 解 设曲线的参数方程的参数为x , 将方程y 2=2mx 和z 2=m -x 的两边对x 求导, 得 m dx dy y 22=, 12-=dx dz z , 所以y m dx dy =, z dx dz 21-=. 曲线在点(x 0, y 0, z 0,)的切向量为)21,,1(0 0z y m -=T , 所求的切线方程为 0000211z z z y m y y x x --=-=-, 法平面方程为 0)(21)()(00 000=---+-z z z y y y m x x . 4. 求曲线???=-+-=-++0 453203222z y x x z y x 在点(1, 1, 1)处的切线及法平面方程. 解 设曲线的参数方程的参数为x , 对x 求导得,
高等数学一第6章课后习题详解 课后习题全解 习题6-2 ★ 1．求由曲线 x y =与直线 x y =所围图形的面积。 知识点：平面图形的面积 思路：由于所围图形无论表达为X-型还是Y-型，解法都较简单，所以选其一做即可 解： 见图6-2-1 ∵所围区域D 表达为X-型：?? ?<<< ∵所围区域D 表达为X-型：?????<<< <1 sin 2 0y x x π， （或D 表达为Y-型：???<<< ∴所围区域D 表达为Y-型：?? ?-<<<<-2 2 422y x y y ， ∴23 16 )32 4()4(2 2 32 222= -=--=- - ? y y dy y y S D （由于图形关于X 轴对称，所以也可以解为： 2316 )324(2)4(22 32 22=-=--=? y y dy y y S D ） ★★4．求由曲线 2x y =、24x y =、及直线1=y 所围图形的面积 知识点：平面图形面积 思路：所围图形关于Y 轴对称，而且在第一象限内的图形表达为Y-型时，解法较简单 解：见图6-2-4 ∵第一象限所围区域1D 表达为Y-型：? ??<<< 第六章、定积分的应用 第一节、定积分的元素法 第二节、定积分在几何学上的应用 重点：1、应用元素法的条件及步骤 条件 1）、U 是与一个变量x 的变化区间【a ，b 】有关的量； 2）、U 对于区间【a ，b 】具有数量可加性； 3）、部分量，其中为区间【a ， b 】上 的一直连续函数，则可考虑用定积分来计算这个量U ； 步骤 1）、选取一个变量如x 为积分变量，确定它的变化区间【a ，b 】； 2）、把区间【a ，b 】分成n 个小区间，取其中任一小区间为【x ，x+dx 】， 求出相应的的近似值记作dU=； 3）、作积分U=。 2、1）、计算平面图形的面积时，一般要画出大体图形来选择坐标系； 2）、计算去边梯形绕坐标轴旋转形成的旋转体体积时，可利用切片 法； 3）、计算曲线的弧长时，主要是根据曲线的方程，选择相应的公式 写出弧微分ds ，继而求出弧长； 4）、计算旋转体的侧面积时，需注意是绕哪个轴旋转，若是绕x 轴 旋转，只要代入上面所给的公式；若是绕y 轴旋转，则要根据 上面稍作改变即可。 例题： 1、求椭圆所围成的图形的面积。（张静） 解：该椭圆关于两坐标轴都对称，所以椭圆围成的图形的面积为4A1 其中A1为该椭圆第一象限部分与两坐标轴围成图形的面积， 因此 利用椭圆的参数方程 ， 应用定积分换元法，令x=acos t ，则 i U ?i i x f ?)(ξ)(x f U ?dx x f )(?b a dx x f )(1 2 2 2 2=+ b y a x ?==a ydx A A 0 414? ?? ?? ≤≤==20sin ,cos πt t b y t a x . sin ,sin tdt a dx t b y -== 复习题A 、判断正误 1、若a b b c 且b 0 ,则a c ; ( ) 解析 a b b c = b (a c) =0 时, 不能判定b 0或a c . 例如a i , b j , k ，有 a b b c 0 , 但a c . c M * 2、 右a b b c 且 b 0 ,则 a c ; ( ) 解析 此结论不一定成立.例如 a i ,b j , c (i j), 则 b i j k ,b c j [ (i j)] k , a b b c , 但a c . 3、若 a c 0 ,则a 0或c 0 ; ( ) 两个相互垂直的非零向量点积也为零. 解析 二、选择题： 当a 与b 满足（D ）时，有a b 解析只有当a 与b 方向相同时，才有 a + b=a+b . 解析 对于曲面z 1 x 2 2 y 2，垂直于z 轴的平面截曲面是椭圆， 垂直于x 轴或y 轴 的平面截曲面是开口向下的抛物线，根据曲面的截痕法，可以判断曲面是椭圆抛物面. 4、 a 解析 b b a . 这是叉积运算规律中的反交换律. (A) a b ； （B ） a b （为常数）; (C) // b ; (D) a||b . (A)中a , b 夹角不为0, (B), （C ）中a , b 方向可以相同，也可以相反. 2、下列平面方程中，方程（C ） 过y 轴; (A) x y z 1 ; (B) x (C) x z 0; (D) 解析平面方程Ax By Cz 0若过 y 轴，则B D 0,故选C. 3、在空间直角坐标系中，方程 1 x 2 2y 2所表示的曲面是（B ）； （A ）椭球面； （B ） 椭圆抛物面; (C) 椭圆柱面； （D ） 单叶双曲面. 习题62 1 求图621 中各画斜线部分的面积 (1) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0 1] 所求的面积为 6 1 ]2132[)(102231 0=-=-=?x x dx x x A . (2) 解法一 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0 1] 所求的面积为 1 |)()(101 0=-=-=?x x e ex dx e e A 解法二 画斜线部分在y 轴上的投影区间为[1 e ] 所求的面积为 1)1(|ln ln 1 11=--=-==??e e dy y y ydy A e e e (3) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[3 1] 所求的面积为 3 32]2)3[(1 32= --=?-dx x x A (4) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[ 1 3] 所求的面积为 3 32 |)313()32(3132312=-+=-+=--?x x x dx x x A 2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积 (1) 22 1 x y =与x 2y 28(两部分都要计算) 解 3 8 8282)218(220220*********--=--=--=????dx x dx x dx x dx x x A 34 238cos 16402+=-=?ππ tdt 3 4 6)22(122- =-=ππS A (2)x y 1 =与直线y x 及x 2 解 所求的面积为 ?-=-= 2 12ln 2 3)1(dx x x A (3) y e x y e x 与直线x 1 解 所求的面积为 ?-+=-=-102 1 )(e e dx e e A x x (4)y =ln x , y 轴与直线y =ln a , y =ln b (b >a >0). 解 所求的面积为 a b e dy e A b a y b a y -===?ln ln ln ln 3 求抛物线y x 24x 3及其在点(0 3)和(3 0)处的切线所围成的图形的面积 解 y 2 x 4 过点(0, 3)处的切线的斜率为4 切线方程为y 4(x 3) 过点(3, 0)处的切线的斜率为2 切线方程为y 2x 6 第六章 定积分的应用 第二节 定积分在几何上的应用 1. 求图中各阴影部分的面积: （1） 16 . (2) 1 (3) 323. (4)32 3 . 2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积: (1) 463 π-. (2) 3 ln 22-. (3)1 2e e +-. (4)b a - 3. 94 . 4. （1）.1 213 （2）.4 5. (1) πa 2. (2) 238 a π. (3)2 18a π. 6. （1）423π? ? （2） 54 π （3）2cos2ρθρθ==及 16 2 π + 7．求下列已知曲线所围成的图形, 按指定的轴旋转所产生的旋转体的体积： （1）2 x x y y x =和轴、向所围图形，绕轴及轴。 （2）22y x y 8x,x y ==和绕及轴。 （3）()2 2 x y 516,x +-=绕轴。 （4）xy=1和y=4x 、x=2、y=0，绕。 （5）摆线()()x=a t-sint ,1cos ,y 0x y a t =-=的一拱，绕轴。 2234824131,;(2),;(3)160;(4);(5)5a .52556 πππππππ（） 8．由y =x 3, x =2, y =0所围成的图形, 分别绕x 轴及y 轴旋转, 计算所得两个旋转体的体积. 128 7x V π= . y V =645 π 9．把星形线3/23/23/2a y x =+所围成的图形, 绕x 轴旋转, 计算所得旋转体的体积.332 105 a π 10．（1）证明 由平面图形0≤a ≤x ≤ b , 0≤y ≤f (x )绕y 轴旋转所成的旋转体的体积为 ?=b a dx x xf V )(2π . 证明略。 （2）利用题（1）结论, 计算曲线y =sin x (0≤x ≤π)和x 轴所围成的图形绕y 轴旋转所得旋转 体的体积. 2 2π 11．计算底面是半径为R 的圆, 而垂直于底面上一条固定 直径的所有截面都是等边三角形的立体体积. 3 R . 12．计算曲线3 223 y x =上相应于38x ≤≤的一段弧的弧长。2123 13．计算曲线2 ln(1)y x =-上相应于102x ≤≤ 的一段弧的弧长。1ln 32 - 14．求星型线33 cos sin x a t y a t ?=?=? 的全长。6a 习题6-2 1. 求图6-21 中各画斜线部分的面积: (1) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0, 1]. 所求的面积为 6 1]2132[)(1022310 =-=-=?x x dx x x A . (2) 解法一 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0, 1]. 所求的面积为 1|)()(101 0=-=-=?x x e ex dx e e A , 解法二 画斜线部分在y 轴上的投影区间为[1, e ]. 所求的面积为 1)1(|ln ln 1 11=--=-==??e e dy y y ydy A e e e . (3) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[-3, 1]. 所求的面积为 3 32 ]2)3[(1 32=--=?-dx x x A . (4) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[-1, 3]. 所求的面积为 3 32 |)313()32(3132312=-+=-+=--?x x x dx x x A . 2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积: (1) 22 1 x y =与x 2+y 2=8(两部分都要计算); 解: 3 8 8282)218(220220*********--=--=--=????dx x dx x dx x dx x x A 34238cos 16402+=-=?ππ tdt . 3 4 6)22(122-=-=ππS A . (2)x y 1 =与直线y =x 及x =2; 解: 所求的面积为 ?-=-= 2 12ln 2 3)1(dx x x A . (3) y =e x , y =e -x 与直线x =1; 解: 所求的面积为 ?-+=-=-1021 )(e e dx e e A x x . (4)y =ln x , y 轴与直线y =ln a , y =ln b (b >a >0). 解 所求的面积为 a b e dy e A b a y b a y -===?ln ln ln ln 3. 求抛物线y =-x 2 +4x -3及其在点(0, -3)和(3, 0)处的切线所围成的图形的面积. 解: 第六章定积分的应用 第二节定积分在几何上的应用1.求图中各阴影部分的面积: （1） (2) (3) (4) . 2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积: (1) 22 1x y =与x 2+y 2=8(两部分都要计算); (2)x y 1=与直线y =x 及x =2; (3) y =e x , y =e -x 与直线x =1; (4)y =ln x , y 轴与直线y =ln a , y =ln b (b >a >0). 3. 求抛物线y =-x 2+4x -3及其在点(0, -3)和(3, 0)处的切线所围成的图形的面积. . 4. 求下列各题中平面图形的面积： （1）曲线2 4y x =及其在点(1,2)处的法线所围城的图形。. （2）.曲线3 32y x x =-+在x 轴上介于两极值点之间的曲边梯形。 5. 求由下列各曲线 所围成的图形的面积; (1)ρ=2a cos θ ; (2)x =a cos 3t , y =a sin 3t ; (3)ρ=2a (2+cos θ ) . 6. 求下列各曲线所围成图形的公共部分的面积. （1）24cos ρρθ==及 （2）3cos 1cos ρθρθ==+及 （3）2cos 2ρθρθ= =及 7．求下列已知曲线所围成的图形, 按指定的轴旋转所产生的旋转体的体积： （1）2 x x y y x =和轴、向所围图形，绕轴及轴。 （2）22y x y 8x,x y ==和绕及轴。 （3）()22x y 516,x +-=绕轴。 （4）xy=1和y=4x 、x=2、y=0，绕。 习题六 1. 指出下列各微分方程的阶数： (1)一阶 (2)二阶 (3)三阶 (4)一阶 2. 指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解： 2(1)2,5xy y y x '==; 解：由2 5y x =得10y x '=代入方程得 22102510x x x x ?=?= 故是方程的解. (2)0,3sin 4cos y y y x x ''+==-; 解：3cos 4sin ;3sin 4cos y x x y x x '''=+=-+ 代入方程得 3sin 4cos 3sin 4cos 0x x x x -++-=. 故是方程的解. 2(3)20,e x y y y y x '''-+== ; 解：2222e e (2)e ,(24)e x x x x y x x x x y x x '''=+=+=++ 代入方程得 2e 0x ≠. 故不是方程的解. 12121212(4)()0,e e .x x y y y y C C λλλλλλ'''-++==+ 解：12122211221122e e ,e e x x x x y C C y C C λλλλλλλλ'''=+=+ 代入方程得 1212122211221211221212e e ()(e e )(e e )0.x x x x x x C C C C C C λλλλλλλλλλλλλλ+-++++= 故是方程的解. 3. 在下列各题中，验证所给二元方程为所给微分方程的解： 22(1)(2)2,;x y y x y x xy y C '-=--+= 证：方程 22x xy y C -+=两端对x 求导： 220x y xy yy ''--+= 得 22x y y x y -'= - 代入微分方程，等式恒成立.故是微分方程的解. 2(2)()20,ln().xy x y xy yy y y xy '''''-++-== 证：方程ln()y xy =两端对x 求导： 11y y x y '' = + (*) 得 (1)y y x y '= -. (*)式两端对x 再求导得 福建警察学院 《高等数学一》课程教学大纲 课程名称：高等数学一 课程编号： 学分：4 适用对象： 一、课程的地位、教学目标和基本要求 (一)课程地位 高等数学是各专业必修的一门重要的基础理论课程，它具有高度的抽象性、严密的逻辑性和应用的广泛性，对培养和提高学生的思维素质、创新能力、科学精神、治学态度以及用数学解决实际问题的能力都有着非常重要的作用。高等数学课程不仅仅是学习后继课程必不可少的基础，也是培养理性思维的重要载体，在培养学生数学素养、创新意识、创新精神和能力方面将会发挥其独特作用。 （二）教学目标 通过本课程的学习，逐步培养学生使其具有数学运算能力、抽象思维能力、空间想象能力、科学创新能力，尤其具有综合运用数学知识、数学方法结合所学专业知识去分析和解决实际问题的能力，一是为后继课程提供必需的基础数学知识；二是传授数学思想，培养学生的创新意识，逐步提高学生的数学素养、数学思维能力和应用数学的能力。 （三）基本要求 1、基本知识、基本理论方面：掌握理解极限和连续的基本概念及其应用；熟悉导数与微分的基本公式与运算法则；掌握中值定理及导数的应用；掌握不定积分的概念和积分方法；掌握定积分的概念与性质；掌握定积分在几何上的应用。 2、能力、技能培养方面：掌握一元微积分的基本概念、基本理论、基本运算技能和常用的数学方法，培养学生利用微积分解决实际问题的能力。 二、教学内容与要求 第一章函数与极限 【教学目的】 通过本章学习 1、理解函数的概念，了解函数的几种特性（有界性），掌握复合函数的概念及其分 解，掌握基本初等函数的性质及其图形，理解初等函数的概念。 2、理解数列极限的概念、掌握数列极限的证明方法、了解收敛数列的性质。 3、理解函数极限和单侧极限的概念，掌握函数极限的证明方法、理解极限存在与 左、右极限之间的关系，了解函数极限的性质。 4、理解无穷小和无穷大的概念、掌握无穷大和无穷小的证明方法。 5、掌握极限运算法则。 6、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极 限的方法。 7、掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 8、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 9、了解连续函数的运算和初等函数的连续性， 10、了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理）， 并会应用这些性质。 【教学重点与难点】 本章重点是求函数极限的方法（极限运算法则、两个重要极限、无穷小的比较、初等函数的连续性）。难点是数列、函数极限的证明方法。 【教学内容】 第一节映射与函数 一、映射 1.映射概念 【090301】【计算题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】 【试题内容】求函数z x y xy =+-arctan 1的全微分。 【试题答案及评分标准】 z x y xy x y =+-=+±arctan arctan arctan 1π ????z x x z y y =+=+111122 , （8分） d d d z x x y y = +++111 122 （10分） 或d ()(d d )()(d d ) ()z x y x y xy x y x y y x x y xy = ++-?? ?? ?? -+-+---11112 2 （8分） = +++111 122 x x y y d d （10分） 【090302】【计算题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】 【试题内容】求函数z x y e xy =++ln()2 2 的全微分。 【试题答案及评分标准】 ????z x x ye x y e z y y xe x y e xy xy xy xy =+++= +++222222, （8分） [] d ()d ()d z x y e x ye x y xe y xy xy xy = +++++1 2222 （10分） 【090303】【计算题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】 【试题内容】求函数u x y z =的全微分。 【试题答案及评分标准】 ln ln u y x z = ??u x u y x y x z z y z =??=-1 1 （2分） ??u y z y x x z y z =???-1ln （5分） ??u z y x x y z y z =???ln ln （8分） d d ln d ln ln d u y x x z y x x y y x x y z z y z z y z z y z =+???+???--1 1 （10分） 【090304】【计算题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】 【试题内容】设u x x y =+arccos 2 2 ，求d u 。 【试题答案及评分标准】 u x y y x y x x y y x y x =-+?+-+?????? ??=-+22222 2 232221()/ （4分） u x y y xy x y x y x y y = -+-+????? ?=+22 223222()sgn / （8分） d sgn (d d )u y x y y x x y = +-+22 （10分） 【090305】【计算题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】 【试题内容】设u x x y =+arcsin 2 2 ，求d u 。 【试题答案及评分标准】 u x y y x y x x y y x y x = +?+-+?????? ??=+22222 2 232221()/ （4分） u x y y xy x y x y x y y = +-+????? ?=-+22 223222()sgn / （8分） d sgn (d d )u y x y y x x y = +-22 （10分） 【090306】【计算题】【较易0.3】【全微分】【全微分的定义】 【试题内容】求函数u x y z y z x =的全微分。 【试题答案及评分标准】 ??u x yx y z x y z z x y z y x z y z x y z x y z x =+=+-1ln (ln ) （3分） ??u y x y z x x zy z x y z z y x y z x y z x y z x =+=+-ln (ln )1 （6分） 第六章参考答案 习题6.1 1. 在空间直角坐标系中,指出下列各点在哪个卦限? ()3,4,3A -4,()4,3B -; 3,43(),C --; 3()3,4,D --- 解 A 在第四卦限, B 在第二卦限, C 在第六卦限, D 在第七卦限. 2. 在坐标面上和坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置: ()0,4,1A ;()1,0,3B ; ()0,2,0C ; 0,0(,1)D - 解 在xOy 面上的点的坐标为(,,0)x y ; 在yOz 面上, 的点的坐标为(0,,)y z ; 在zOx 面上, 的点的坐标为(,0,)x z . 在x 轴上的点的坐标为(,0,0)x ; 在y 轴上的点的坐标为(0,,0)y , 在z 轴上的点的坐标为(0,0,)z . A 在yOz 面上, B 在xOz 面上, C 在y 轴上, D 在z 轴上. 3. 求点(,,)x y z 关于(1)各坐标面; (2)各坐标轴; (3)坐标原点的对称点的坐标. 解 (1)点(,,)x y z 关于x O y 面的对称点为(,,)(,,)x y z x y z -; 点称点(,,)x y z 为 (,,)(,,)x y z x y z --; 点(,,)x y z 关于z 轴的对称点为(,,)x y z --. (3)点(,,)x y z 关于坐标原点的对称点为(,,)x y z ---. 4. 过()01,2,3M 分别作平行于x 轴的直线和平行于xOy 面的平面, 问在它们上面的点的坐标各有什么特点？ 解 过0M 且平行于x 轴的直线上点的坐标,其特点是，它们的纵坐标均为2，它们的竖坐标均为3。 过0M 且平行于xOy 面的平面上点的坐标，其特点是，它们的横坐标均为1. 5. 求点5,4 ( ,3)M -到各坐标轴的距离. 解 点M 到x 轴的距离就是点5,4( ,3)M -与点(5,0,0)之间的距离, 即 第六章定积分的应用 教学目的 1、理解元素法的基本思想； 2、掌握用定积分表达和计算一些几何量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体 积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积）。 3、掌握用定积分表达和计算一些物理量（变力做功、引力、压力和函数的平均值等）。教学重点： 1、计算平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知 的立体体积。 2、计算变力所做的功、引力、压力和函数的平均值等。 教学难点： 1、截面面积为已知的立体体积。 2、引力。 §6. 1 定积分的元素法 回忆曲边梯形的面积: 设y=f (x)≥0 (x∈[a,b]).如果说积分, ?=b a dx x f A) (是以[a,b]为底的曲边梯形的面积,则积分上限函数 ?=x a dt t f x A)( ) ( 就是以[a,x]为底的曲边梯形的面积.而微分dA(x)=f (x)dx表示点x处以dx为宽的小曲边梯形面积的近似值?A≈f (x)dx, f (x)dx称为曲边梯形的面积元素. 以[a,b]为底的曲边梯形的面积A就是以面积元素f(x)dx为被积表达式,以 [a,b]为积分区间的定积分: ?=b a dx x f A) (. 一般情况下,为求某一量U,先将此量分布在某一区间[a,b]上,分布在[a,x]上的量用函数U(x)表示,再求这一量的元素dU(x),设dU(x)=u(x)dx,然后以u(x)dx为被积表达式,以[a,b]为积分区间求定积分即得 ?=b a dx x f U) (. 用这一方法求一量的值的方法称为微元法(或元素法). §6. 2 定积分在几何上的应用 第六章 常微分方程 1. (1) b,c,d (2) a,c (3) b,d 2. (1) 二阶,线性 (2) 一阶,非线性 (3) 一阶,非线性 (4) 一阶,非线性 3. (1)-(3)均为微分方程02 2 2=+y dx y d ω的解,其中(2) (3)为通解 4. (1)将变量分离,得 dx y dy cos 2 = 两边积分得 c x y +=-sin 1通解为,sin 1 c x y +-=此外,还有解0=y (2)分离变量,得dx x x y y d x x dx dy y y )11 1(1)1(2112 222+-=+++=+或 两边积分,得c x x y ln )1ln(ln )1ln(21 2++-=+ 即(1+ 2y )(1+ x)2=c 1 2 x (3)将变量分离,得 112 2 =-+ -y ydy x xdx 积分得通解2 1x -+)20(12 c c y =- 还有使因子2 1x -?012 =-y 的四个解. x=(±)11 y -, y=(±)11 x - (4)将方程改写为(1+y 2 )e x 2dx-[ ] 0)1( )e y +(1y =+-dy y e x 2dx=dy y y ?? ? ?? ?++- 2y 11 (e 积分得 --=y e e y x arctan 2 12)1ln(212y +-21 (5)令 z=x+y+1, z dx dz sin 1+=分解变量得到dx z dz =+sin 1………………(*) 为了便于积分,用1-sinz 乘上式左端的分子和分母,得到 dz z z z se dz z z dz z z )tan sec (cos sin 1sin 1sin 122 2-=-=-- 将(*)两端积分得到tanz-secz=x+c 即-tan( 2 2z -∏)=x+c,将z 换为原变量,得到原方程的通解 X+c=-tan(2 1 4++-∏y x ) 6.令y=ux,则dy=udx+xdu 代入原方程得x 2( u 2-3)(udx+xdu)+2 x 2udx=0 分离变量得du x dx 1) -u(u u 2 2-=,即得y 3=c(2y -2 x ) 7. 令x y u = ,则原方程化为dx x udu 1=,解得c x u ==ln 212,即,ln 2 222cx x x y +=由定 解条件得4=c ,故所求特解为,ln 4222x x x y += 8. 将方程化为x y x y y + -='2 )(1，令x y u =，得,u u x y +'=代入得 dx x du u 1112 =- 得c x u ln ln arcsin +=，cx x y ln arcsin = 9．化为x e x y dx dy x = +，解得)(1x e c x y +=，代入e y =)1(得0=c 特解x e y x = 10．由公式得1)() (-+=-x ce y x ?? 11.化为 x y x y dx dy ln 2=+为贝努里方程令x y u =,则原方程化为dx dy y dx du 2 --= 代入方程的x u x dx du ln 1-=-用公式求得])(ln 21[2x c x u -=解得1 2])(ln 2 1 [1--=x c x y 另为，0=y 也是原方程的解 12．为贝努里方程令x y u =,则原方程化为322x xu dx du -=+用公式求得122+-=-x ce u x 解得1 12 2 +-= -x ce y x 13． 23x y yx dx dy =-将上式看成以y 为自变量的贝努里方程令x z 1=有3y yz dx dy -=- 22 2 12+-=-y ce z y ，得通解1)2(22 12=+--y ce x y 14．令x y N x y M +-=-=4,32 有 x N y M ??==??1，这是全微分方程0=du 复习题A 一 、判断正误: 1、 若c b b a ?=?且≠0b ，则c a =； ( ? ) 解析 c b b a ?-?=)(c a b -?=0时，不能判定=b 0或c a =．例如i a =，j b =， k c =，有?=?=0a b b c ，但c a ≠． 2、 若c b b a ?=?且≠0b ，则c a =； ( ? ) 解析 此结论不一定成立．例如i a =，j b =，)(j i c +-=，则 k j i b a =?=?，k j i j c b =+-?=?)]([，c b b a ?=?，但c a ≠． 3 、若0=?c a ，则=0a 或=0c ； ( ? ) 解析 两个相互垂直的非零向量点积也为零． 4、 a b b a ?-=?． ( √ ) 解析 这是叉积运算规律中的反交换律． 二、选择题: 1 、 当a 与b 满足（ D ）时，有b a b a +=+； (A)⊥a b ； (B)λ=a b (λ为常数)； (C)a ∥b ； (D)?=a b a b ． 解析 只有当a 与b 方向相同时，才有a +b =a +b ． (A)中a ，b 夹角不为0，(B)，(C)中a ，b 方向可以相同，也可以相反． 2、下列平面方程中，方程( C )过y 轴； (A) 1=++z y x ； (B) 0=++z y x ； (C) 0=+z x ； (D) 1=+z x ． 解析 平面方程0=+++D Cz By Ax 若过y 轴，则0==D B ，故选C ． 3 、在空间直角坐标系中，方程2 2 21y x z --=所表示的曲面是( B )； (A) 椭球面； (B) 椭圆抛物面； (C) 椭圆柱面； (D) 单叶双曲面． 解析 对于曲面2 2 21y x z --=，垂直于z 轴的平面截曲面是椭圆，垂直于x 轴或y 轴的平面截曲面是开口向下的抛物线，根据曲面的截痕法，可以判断曲面是椭圆抛物面． 4、空间曲线???=-+=5, 222z y x z 在xOy 面上的投影方程为( C )； (A)72 2 =+y x ； (B)? ??==+57 22z y x ； (C) ? ? ?==+07 22z y x ；(D)???=-+=0222z y x z 解析 曲线???==+5722z y x 与xOy 平面平行，在xOy 面上的投影方程为???==+0 7 22z y x ． 5 、直线 1 1121-+==-z y x 与平面1=+-z y x 的位置关系是( B )． (A) 垂直； (B) 平行； (C) 夹角为 π4； (D) 夹角为π 4 -． 解析 直线的方向向量s ={2，1，-1}，平面的法向量n ={1，-1，1}，n s ?=2-1-1=0，所以，s ⊥n ，直线与平面平行． 高等数学(同济大学第五版)第六章_定积分的应用习题 6 2 1, 求图 6 21 中各画斜线部分的面积: (1) 解画斜线部分在 x 轴上的投影区间为[0～ 1], 所求的面积为 3 1 1]2 1( ) [ , 122 , A x x dx x x ,00， .3 2 6 (2) 解法一画斜线部分在 x 轴上的投影区间为[0～ 1], 所求的面积为 1 0 ( ) ( )| 11, , ， ,A e e dx ex e ～0 xx 解法二画斜线部分在 y 轴上的投影区间为[1～ e], 所求的面积为 e e ( 1) 1ln ln |, , , ，，A ydy y y dy e e ,e ,111 (3) 解画斜线部分在 x 轴上的投影区间为[ 3～ 1], 所求的面积为 1 32[(3 ) 2 ]3 2, ， , A x x dx , 3 (4) 解画斜线部分在 x 轴上的投影区间为[ 1～ 3], 所求的面积为 3 32)|1(2 3 ) ( 3 31321 2, ， , ，，A x x dx x x x , , 3 3 2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积: (1) y , 1 x2 与x2，y2,8(两部分都要计算), 2 解: 2 2 2 2 2 2 2 82 8) 2 812 ( 8 , , ，0000 2 21 ， , ，， x dxx dx x dxx x dxA 2 3 8 216 cos40 2 , ，, ， tdt ,4 3 3 42) 612 , S ,(22 ,A 3 (2) y , 1 与直线 y,x 及 x,2, x 解: 所求的面积为 2 3 ，,A , 0 ln 2)1( , dxxx 2 (3) y,ex～ y,e x与直线x,1, 解: 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 习题六 1. 指出下列各微分方程的阶数： (1)一阶 (2)二阶 (3)三阶 (4)一阶 2. 指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解： (1)xy ' = 2 y , y = 5x 2 ; 解：由 y = 5x 2 得 y ' = 10x 代入方程得 x ?10x = 2 ? 5x 2 = 10x 2 故是方程的解. (2) y ' + y = 0, y = 3sin x - 4 cos x ; 解： y ' = 3cos x + 4 s in x ; y ' = -3sin x + 4 cos x 代入方程得 故是方程的解. -3sin x + 4 cos x + 3sin x - 4 cos x = 0 . (3) y ' - 2 y ' + y = 0, y = x 2e x ; 解： y ' = 2x e x + x 2e x = (2x + x 2 )e x , 代入方程得 2e x ≠ 0 . 故不是方程的解. (4) y ' - (+ ) y ' + y = 0, y ' = (2 + 4x + x 2 )e x y = C e 1x + C e 2 x . 1 2 1 2 1 2 y ' = C e 1x + C e 2 x , y ' = C 2e x 1 + C 2e 2 x 解： 1 1 2 2 1 1 2 2 代入方程得 C 2e 1x + C 2e 2 x - (+ )(C e 1x + C e 2 x ) + (C e 1x + C e 2 x ) = 0. 故是方程的解. 3. 在下列各题中，验证所给二元方程为所给微分方程的解： (1)(x - 2 y ) y ' = 2x - y , x 2 - xy + y 2 = C ; 证：方程 x 2 - xy + y 2 = C 两端对 x 求导： 2x - y - xy ' + 2 yy ' = 0 y ' = 2x - y 得 x - 2 y 代入微分方程，等式恒成立.故是微分方程的解. (2)(xy - x ) y ' + xy '2 + yy ' - 2 y ' = 0, y = ln(xy ). 证：方程 y = ln(xy ) 两端对 x 求导： y ' = 1 + 1 y ' x y (*) y ' = 得 y x ( y -1) . (*)式两端对 x 再求导得高数第六章
高数第六章总习题答案
高等数学课后习题答案第六章
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