高等数学(A)上复习资料
极限与连续
1. 函数、数列极限及其性质：
（1）极限定义
（2）数列或函数有极限时具有极限唯一性、（局部）有界性、保序保号性，其中最常考察的是极限的保序、保号性。
2. 无穷小的阶：次数高阶就高。处理无穷小的一般方法
（1）等价替换（乘除法可直接替换，加减法在阶不变化的条件下也可替换）； （2）Taylor 公式（应当熟练掌握各初等函数的Taylor 公式）； （3）无穷小的计算规律（例如无穷小与有界量的乘积是无穷小）。 【例1】设()232x x f x =+-，则当0x →时，有【 B 】。（06秋考题）
（A ）()f x 与x 是等价无穷小； （B ）()f x 与x 同阶但非等价无穷小； （C ）()f x 是比x 高阶的无穷小； （D ）()f x 是比x 低阶的无穷小。
解析：答案为（B ），因为21ln 2,31ln 2x x x x -- （0x →），于是 ()232ln6,0x x f x x x =+-→ 。
【例2】当0x →时，下列四个无穷小中，哪一个是比其它三个更高阶的无穷小量【 C 】。
（A ）2ln(1)x -； （B ）tan x x ； （C ）3
2x ； （D ）2
1x e -。 解析：答案为（C ），其它三个的阶都是2，理由如下 2
2222ln(1),tan ,1(0)x x x x x x e x x ---→ 。
【例3】设2
0()sin d x f x t t =?，34()g x x x =+，则当0x →时，()f x 是()g x 的
【 A 】。
（A ）高阶无穷小； （B ）同阶但非等价无穷小； （C ）等价无穷小； （D ）低阶无穷小。
解析：答案为（A ），因为当0x →时 2
4
2
()sin d 1cos()2
x x f x t t x ==-?
，343()g x x x x =+ 。
3. 极限的存在准则，两个重要极限
（1）正确理解极限的存在准则，如夹逼性、单调有界收敛定理等； （2）利用重要极限计算简单极限等。
【例4】下列结论中，正确的是【 C 】。
（A ）有界数列必收敛； （B ）单调数列必收敛；
（C ）收敛数列必有界； （D ）收敛数列必单调。
解析：答案为（C ）。本题考察单调性、有界性与数列收敛性的关系，主要
结论是：收敛数列必有界，但收敛数列可以不单调，例如(1)0n
n x n
-=→，但它不单调；单调有界数列必收敛；数列仅仅单调未必收敛，例如n x n =，原因是可能无界，仅仅有界未必收敛，例如1(1)n n x +=-。因此其余答案都是错误的。
【例5】21lim x
x x x →∞
+??
= ???
e^2 。（15秋考题） 解析：答案是2
e ，利用重要极限：2
2211lim lim 1x
x
x x x e x x →∞→∞??+????=+=?? ? ?????????
。 4. 连续与间断
（1）利用左右极限与函数值相等得连续性； （2）间断点的类型：第一类间断点（跳跃、可去间断点）；第二类间断点（无穷、振荡间断点）。
【例6】设函数()21sin ,0,0
x x f x x a x x ?
>?
=??+≤?, 要使)(x f 在),(+∞-∞内连续，则a = 0 。（15秋考题）
解析：答案是0，因数因为
()20
lim lim 1
(0)(0)(0)sin
0x x a f f a x f x x
-+-+→→===+===。
【例】讨论函数x x x x f n
n
n 2211lim
)(+-=∞→的连续性，若有间断点，判别其类型。
解：当||1x <时，20()n x n →→∞，此时
22110
()lim 110
n n n x f x x x x x →∞--===++；
当||1x >时，20()n x n -→→∞，此时
22221101
()lim lim 1101
n n n n n n x x f x x x x x x x --→∞→∞---====-+++；
当||1x =时函数没有意义。因此
,||1,
(),|| 1.x x f x x x ?
由初等函数的连续性，()f x 在除1x =±外都连续。又 (1)1,(1)1,(1)1,(1)1f f f f +-+-=-=-=--=， 因此1x =±都是()f x 的跳跃间断点。
5. 闭区间上连续函数的性质
（1）有界性和最大最小值定理； （2）零点定理； （3）介值定理。
【例】证明方程sin 10x x ++=在开区间ππ,22??
- ???
内至少有一个根。（07秋考
题）
证明：记()sin 1f x x x =++，则()f x 在ππ,22??
-????上连续，且
ππππ
0,
202222
f f ??
??-=-<=+> ? ???
??， 因此由零点定理，()sin 1f x x x =++在开区间ππ,22??
- ???内至少有一个零点，即方
程sin 10x x ++=在开区间ππ,22??
- ???
内至少有一个根。
【例】设()f x 在[0,1]上连续，且()1f x <，证明0
2()d 1x
x f t t -=?在[0,1]上
只有一个解。（10秋考题）
证明：令0()2()d 1x
g x x f t t =--?，则()g x 在[0,1]上连续，且(0)10g =-<，
11
(1)1()d 11d 0g f t t t =->-?=??. 因此由零点定理，
()g x 在[0,1]上至少有一个零点；另外，'()2()2110g x f x =->-=>，因而()g x 在[0,1]上严格单调增加，它至多有一个零点。因此()g x 在[0,1]上只有一个零点，即方程02()d 1x
x f t t -=?只
有一个解。
6. 极限的计算方法汇总（截止目前） （1）无穷小的运算规律和等价替换； （2）利用重要极限；
（3）利用L ’Hospital 法则； （4）利用Taylor 公式； （5）利用导数定义求极限； （6）利用积分和求极限。
【例】1
1sin sin lim n n n n n →∞??-= ???
【 D 】。（07秋考题）
（A ）0； （B ）不存在； （C ）1 ； （D ）1- 。
解析：答案为（D ）。本题考察无穷小的运算规律和等价替换。1
sin n n
是无
穷小与有界量的乘积，极限为0；11sin n n ,因而1
sin 1n n
→。
【例6】设()f x 在0x =处连续,下列命题错误的是【 】。
（A ）若0()
lim
x f x x
→存在，则(0)0f =；
（B ）若0()()
lim x f x f x x
→+-存在，则(0)0f =；
（C ）若0()
lim x f x x
→存在，则'(0)f 存在；
（D ）若0()()
lim x f x f x x
→--存在，则'(0)f 存在。
解析：答案为（D ），因各个选项极限式的分母极限都是0，因而分子极限也
必然是0，结合()f x 在0x =处连续，（A ）表明(0)0f =，（B ）表明2(0)0f =，因此
00l i m ()()(0)
'(0)0
l i m
x x f x f x f f x x →→-==-，
即（C ）成立。（D ）不成立是因为，分子极限为(0)(0)0f f --=永远成立，无论(0)f 取何值，当左右导数都存在时
000()()()(0)(0)()
lim lim lim x x x f x f x f x f f f x x x x →→→-----=+
''(0)(0)f f +-=+,
而左右导数未必相等，但上面极限依然存在，因而'(0)f 不一定存在。
【例】 已知1
00s i n l i m
l n 12l i m x
x x k x
x x
→→??
=- ???
，则k 的取值为【C 】。 （A ） 2； （B ）-2 ； （C ）12-； （D ）1
2
。
解析：答案为（C ），本题考察重要极限和等价替换，
1
000sin 1lim
ln 1ln 122lim lim x
x x x kx x x k x x →→→??
??==-=- ? ?????
011
22
lim x x x →??=?-=- ???。
【例】计算
?
???? ??→x
t x t x dt
te dt e 0
22
00
2
2lim 。 2
解析：本题考察L ’Hospital 法则和变限定积分求导法则，计算如下：
()
2
2
2
2
2
2
2
2'00
20
20
22lim
lim
lim
x
x
x
t x
t t L H
x
x x x x x t
e dt
e e dt
e dt
xe
xe
te dt
→→→==?
?
??
2
2
'20
22
lim
21
(21)x
L H
x
x e x e →==
=+。 【例】 设0lim
sin (cos )3x x x
x b e a
→-=-，求,a b 的值。
解：首先，必然有()00
lim 0x x e a e a →-=-=，若不然，函数
sin (cos )x
x
x b e a
--在0x =连续，从而取值为0. 由此知1a =。于是
00lim lim sin sin (cos )(cos )1
x
x x x x x
x b x b e a e →→-=--- 00
lim lim sin (cos )1(1)31x x x x
x b b e →→=?-=?-=-，
因此2b =-。这里用到sin 1(0)x x x e x -→ 。
【例】设30lim
sin 6()0x x xf x x →+=，求极限2
0lim 6()
x f x x →+。
解：方法一，利用Taylor 公式。
因为33331
sin 66(6)()636()6
x x x o x x x o x =-+=-+，因此
333300lim lim sin 6()636()()
x x x xf x x x xf x o x x x →→+-++= 33
0lim 636()
x x x xf x x →-+=
2
0lim
6()
360x f x x →+=-=，
从而20lim
6()
36x f x x
→+=。 方法二，利用条件转化，再用L ’Hospital 法则。
23330000lim lim lim lim 6()6()sin 6()6sin 6x x x x f x x xf x x xf x x x
x x x x
→→→→+++-==+ '32
00lim lim 6sin 666cos 603L H x x x x x
x x →→--=+=
'0lim
36sin 6366L H x x
x
→==。 【例】求极限532lim x
x x x →∞+??
?+??。（06秋考题）
解：当x →∞时，
102x →+，从而311ln ln 1222x x x x
+?
?=+ ?+++?? ，因此 5315ln 5ln 15222lim lim lim x
x x x x x x x x x →∞→∞→∞+???
?=+== ? ?+++????， 最后得到55
32lim x
x x e
x →∞+??= ?+??。
【例】求极限0tan sin ln(1)
lim
x x x
x x →-+。（06秋考题）
解：方法一，等价量结合L ’Hospital 法则。
2'2000tan sin tan sin sec cos ln(1)2lim lim lim
L H x x x x x x x x x
x x x x
→→→---==+
2001cos tan 22lim lim x x x x
x
x →→-=+
2
20012022lim lim x x x
x x x
→→=+=。
方法二， 22000tan sin tan sin tan (1cos )
ln(1)lim
lim lim x x x x x x x x x x x x x
→→→---==+ 2
200()
202
lim lim x x x x x x →→===。 方法三，利用Taylor 公式。 200tan sin tan sin ln(1)lim
lim x x x x x x x x x
→→--=+ 33332011
(())(())
36lim x x x o x x x o x x
→++--+= 3
32001()
12()02lim lim x x x o x x o x x →→+??==+=????
。 【例】求极限(
)
2
arctan d lim
x
x t t
（07秋考题）
解：利用L ’Hospital 法则有
(
)
(
)2
2
arctan d arctan lim
lim
x
x x t t
x →+∞=
()22
arctan 4
lim
lim x x x π→+∞==
。
导数与微分
1. 导数的定义、可导的条件 （1）导数的定义，左右导数 （2）可导的条件
【例】设函数()f x 可导，且0
(1)(1)
lim
32x f f x x
→--=，则曲线()y f x =在点
()1,(1)f 的切线的斜率为【 A 】
。 （A ）6； （B ）1-； （C ）2-； （D ） 1。
解析：答案是（A ）。因为按导数定义
0(1)(1)
2lim
2362x f f x k x
→--==?=。
2. 连续性、可导性和可微性的关系：可导=可微?连续。
【例】函数()f x 在0x 处可导是()f x 在0x 处可微的【 C 】条件。（07秋考题）
（A ）充分； （B ）必要；
（C ）充分必要； （D ）既不是充分也不是必要。 解析：答案是（D ）。明显的结论，必须记住。
【例】函数()f x 在0x 处有导数的充要条件是【 B 】。
（A ）()f x 在0x 处连续； （B ）()f x 在0x 处可微分；
（C ）000
()()
lim
x f x x f x x x
?→+?--??存在； （D ）0
'()lim x x f x →存在。
解析：答案是（B ）。它是明显正确的选项。
【例】若函数()x f 在点0x 不连续，则()x f 在0x 【 B 】。 (A) 必定可导； （B ） 必不可导； (C) 不一定可导； （D ） 必无定义。 解析：答案是（B ）。因为可导函数必连续。
3. 导数与微分的计算（包括高阶导数）
（1）导数与微分公式（d 'd y y x =）；
（2）隐函数、由参数方程确定的函数和反函数的导数与高阶导数。
【例】函数(ln y x =+的微分d y = 。（07秋考题）
解析：d 'd y y x x ==
。
【例】设2(1cos )4sin x y θθ
=-??=? ， 求d d y x ，22d d y x 。（07秋考题）
解：
d d 4cos d 2cot d d 2sin d y
y x x θθθθθ
===， 232d d d d d (2cot )'csc d d 2sin d y x y x x θθθθθ
?? ?
??===-。
【例】设()ln sin f x x =，则微分d y = 。 解析：cos d '()d d cot d sin x
y f x x x x x x
==
=。 【例】设函数()y y x =由方程sin 0x y y -+=确定，求dy
dx 和22d y dx
。
解析：把y 视为x 的函数，在方程sin 0x y y -+=两边对x 求导得到
1
1'cos '0'1cos y y y y y
-+?=?=-，
进一步有
23
(1cos )'d 1d 1sin ''d 1cos d (1cos )1cos (1cos )
y y y y
y y y x y y y ---=?=?=----。
【例】设2ln(1)arctan x t t y t
?=-+?=? ，求22d d y
x 。（06秋考题）
解：因为
22
2
1d '()112d '()(1)11y y t t t x x t t t +===
--+， 于是
2223
25
2
d 12
d 2(1)d (1)(1)d 2d (1)1d 1y t t t t x t x t t t -
+--===---+。 【例】设函数()(1)(2)(2008)f x x x x x =--- ，则'(0)f = 。
（07秋考题）
解析：'(0)2008!f =。一般地，设()()()f x x a p x =-，而()p x 在x a =连续，则lim
lim ()()
'()()()x a
x a f x f a f a p x p a x a
→→-===-。
4. 微分中值定理
【例】设在]1,0[上0)(>''x f ，则)0()1(),1(),0(f f f f -''或)1()0(f f -几个数的大小顺序为【 B 】.
(A))0()1()0()1(f f f f ->'>'； (B))0()0()1()1(f f f f '>->'； (C))0()1()0()1(f f f f '>'>-； (D))0()1()0()1(f f f f '>->'。 解析：答案是（B ）。因为0)(>''x f ，因此'()f x 单调增加，而由Lagrange 中值定理，(1)(0)'()(10)'()f f f f ξξ-=-=，01ξ<<。
【例】设函数()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(1)0f =，证明至 少存在一点(0,1)ξ∈，使得2()
'()f f ξξξ
=-
。（07秋考题）
证明：令2()()g x x f x =，则()g x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且 (0)0,(1)(1)0g g f ===，
于是由Rolle 定理，至少存在一点(0,1)ξ∈，使得2'()2()'()0g f f ξξξξξ=+= 即2()
'()f f ξξξ
=-
。
5. Taylor 公式
【例】设函数)(x f 在闭区间]1,1[-上具有三阶连续导数，且0)1(=-f ，
1)1(=f ，0)0(='f ．证明：在)1,1(-内至少存在一点ξ，使()3f ξ'''=。
证明：方法一，利用Taylor 公式。 由于
23
''(0)'''()()(0)'(0)26
f f f x f f x x x ξ=+++ 23
''(0)'''()(0)26f f f x x ξ=++， [1,1]x ∈-，
其中ξ在0和x 之间。分别取1x =±得到
1'''()''(0)1(1)(0)26f f f f ξ==++，2'''()
''(0)0(1)(0)26
f f f f ξ=-=+-， 相减得
12'''()'''()
16
f f ξξ+=。
由连续函数的介值性，存在21[,](1,1)ξξξ∈?-，使得 12'''()'''()
()32
f f f ξξξ+'''=
=。
【例】设函数()f x 在[,]a a -上具有二阶连续导数（0a >），且(0)0f =， （1）写出()f x 的带有拉格朗日型余项的一阶麦克劳林公式；
（2）证明至少存在一点[,]a a η∈-使得3
''()3()d a
a
a f f x x η-=?。
解：（1）22
''()''()()(0)'(0)'(0)22
f f f x f f x x f x x ξξ=++
=+。 （2）记3()3()d ,()x x
F x f t t
G t t -==?，则由Cauchy 中值定理和上式有
[]1112113()()'()()()(0)()()(0)'()3f f F F a F a F G a G a G G ξξξξξ+--===
- []
[]11232
13()()''()''()''()32
f f f f f ξξξξηξ+-+=
=
=，
最后一式用连续函数的介值性。于是
3()''()''()()3()d a
a
G a f a f F a f x x ηη-===?。
【例】设()f x 在[0,1]上连续，且10
()d 0f x x =?，令0
()()d x
F x x f t t =?。
（1）求'()F x ；
（2）试证：在(0,1)内至少存在一点ξ，使得0
()d ()0f x x f ξ
ξξ+=?。（08秋
考题）
解：（1）0
()()d x
F x x f t t =?，0
'()()d ()x
F x f t t x f x =+?。
（2）由条件知(0)(1)0F F ==，因此由Rolle 定理，在(0,1)内至少存在一点ξ，使得'()0F ξ=，即0
()d ()0f x x f ξ
ξξ+=?。
6. 函数几何特性: 单调性、凹凸性及拐点
【例】当0x >时，若'()'()f x g x >，则当0x >时【 D 】。（06秋考题）
（A ）()()f x g x >； （B ）()()f x g x ≥；
（C ）()()f x g x <； （D ）不能判定两个函数的大小。 解析：答案是（D ）。由条件知()()f x g x -严格单调增加，但缺乏函数在0x =附近的信息，因而无从判别两个函数的大小关系。
【例】设函数()f x 在(,)a b 内可导，且'()0f x <，则()f x 在(,)a b 内【 D 】。 （A ）单调增加； （B ）单调减少；
（C ）是常数； （D ）依条件不能确定单调性。 解析：答案是（D ）。结论明显。 7. 函数的极值、最值
【例】0'()0f x =是可导函数()f x 在0x 处有极值的【 A 】。（06秋考题） （A ）必要条件； （B ）充分条件；
（C ）充分必要条件； （D ）非充分又非必要条件。 解析：答案是（A ）。结论明显。
【例】设函数()f x 的导数在x a =处连续，又'()
1lim x a f x x a
→=--，则【 B 】。
（07秋考题）
（A ）x a =是()f x 的极小值点； （B ）x a =是()f x 的极大值点； （C ）(,())a f a 是曲线()y f x =的拐点；
（D ）x a =不是()f x 的极值点，(,())a f a 也不是曲线()y f x =的拐点。
解析：答案为（B ），因为当x a →时分母0x a -→，因此分子极限为0，即
'()0f x →，而()f x 的导数在x a =处连续表明lim '()'()0x a
f a f x →==；
可导性表明函数()f x 在x a =处附近连续；最后，由极限保号性， '()0,;'()0,f x x a f x x a <>><。
结合这些结论得到正确答案（B ）。由此也可见（A ），（D ）不正确，而题设条件只
能得出lim lim '()'()'()
''()1x a x a f x f a f x f a x a
x a →→-===---，它从另一方面保证答案（B ），
而得不到二阶导数的其它性质，因此得不到凹凸性的任何结论，因而（C ）未必成立。
8. 利用微分方法证明不等式
【例】证明：当0>x 时，2)2()4(2
--<-x x e x e x 成立。 证明：方法一，利用单调性。
设2
()(4)(2)2,0x x f x x e x e x =----≥，则
2'()(1)(1)2
x
x x
f x e x e =---，
221''()0,044x x
x
x x f x e xe x e e x ??=-=-<> ???
，
因此'()f x 严格单调减少，从而当0x >时'()'(0)0f x f <=，进而()f x 严格单调减少，且()(0)0f x f <=。不等式得证。
方法二，利用凹凸性。
令()(2)x
g x x e =-，则2
2(4)2(2)2()22
x
x
x x
x e e g -=-=。由于
''()0,0x g x xe x =>>，
因此()g x 是严格下凸函数，从而
0()(0)
()()222
x x g x g g g ++=<，0>x ，
即2()()(0)2
x
g g x g <+，也即2)2()4(2--<-x x
e x e x 。
【例】证明当12π02x x <<<
时，2211
tan tan x x x x >。（06秋考题） 证明：方法一，利用单调性。
令tan ()x f x x =，则2222sec tan sin cos '()0cos x x x x x x
f x x x x
--==>，π02x <<，
即()f x 单调增加，因此当12π02x x <<<
时，21()()f x f x >，即
22
11
tan tan x x x x >。 方法二，转化法。
令21/1t x x =>，则需证11tan()tan tx t x >，其中102
tx π
<<
。令
()tan()tan g x tx t x =-，则2222'()sec ()sec (sec ()sec )0g x t tx t x t tx x =-=->，即
()g x 单调增加，因而1()(0)0g x g >=，得证。
方法三，利用Cauchy 中值定理。
2221121211tan tan tan tan 0
sec ,sec 0
x x x x x x ξξ--==--，1202πξξ<<<，
因此
211211tan tan tan x x x x x x ->-，变形可得22
11
tan tan x x x x >。
极限理论、连续理论与微分理论方法综述
（1） （2） （3）
【例8】设()f x 在[],a b 上可导，且()0,()0f a f b +-''><，则下列结论不正确的是【 】
（A ）至少存在一点0(,)x a b ∈，使0()()f x f a >； （B) 至少存在一点0(,)x a b ∈，使0()()f x f b >； （C) 至少存在一点0(,)x a b ∈，使0()()
()2
f a f b f x +=
； （D) 至少存在一点0(,)x a b ∈，使0()0f x '=。 解析：答案是（C ）。由导数定义
()l i m
()()
0x a f x f a f a x a
++→-'=>-， 再由极限保号性，当0x a <-充分小时()()f x f a >，因而结论（A ）成立。同理结论（B ）成立。结论（A ）与（B ）一起表明()f x 在[,]a b 内的最大值一定在区间内部达到，即存在一点0(,)x a b ∈，使得0()f x 是最大值，由Fermat 引理，
0()0f x '=，即（D ）成立。结论（C ）是错误的，举例如下：
[,][0,2]a b =，()(2)f x x x =-，'()2(1)f x x =-，
满足'(0)20,
'(2)20f f =>=-<。但(0)(2)
02
f f +=，而函数()(2)f x x x =-在(0,2)内没有零点。
【例7】设()
2
()()
lim
1x a
f x f a x a →-=--，则在点x a =处，
【 B 】
（A ）()f x 的导数存在，且'()0f a ≠； （B ）()f x 取得极大值； （C ）()f x 取得极小值； （D ）()f x 的导数不存在。 解析：答案是（B ）。本题考察极限的保号性等。首先，分母极限为0表明
()()lim 0x a f x f a →-=???
?，即()f x 在点x a =处连续，其次由极限的保号性()()
()
2
0f x f a x a -<-，即()()f x f a <，（B ）成立。进一步，'()0f a =：
2
()()()()
'()lim
lim ()100()()x a
x a f x f a f x f a f a x a x a x a →→--==?-=-?=--。 因此其余答案都错误。
【例】讨论曲线4l n y x k =+与4
4l n y x x
=+的交点个数，其中4k ≤。（08秋考题）
解：问题等价于讨论函数4()4ln 4ln f x x k x x =+--在(0,)+∞内零点个数。令t x e =，且记4()()44t t g t f e t k e t ==+--。由于 33'()4444(1)t t g t e t e t =--=--， 32''()4444(3)0t t g t e t e t =--=-+<，
因此'()g t 严格单调增加。由于'(0)0g =，3''(0)44440t g e t =--=-<，因此0t =是()g t 的最大值点。注意，()g -∞=-∞，(0)40g k =-≤，()g +∞=-∞，因此当
4k =时()g t 有唯一零点0t =；当4k <时，max ()40g x k =-<表明()g t 没有零点。
于是仅当4k =时曲线4ln y x k =+与44ln y x x =+相交，且有唯一交点(1,4)。当
4k <时曲线4ln y x k =+在44ln y x x =+的下方且没有交点。
【例】设()f x 在[0,1]上可微，且满足1
20
(1)2()d 0f x f x x -=?，证明在(0,1)内至少存在一点ξ，使得()
'()f f ξξξ
=-
。（10秋考题）
证明：由积分中值定理，存在1[0,]2c ∈，使得1
201
()d ()2
x f x x cf c =?，于是由
题设得(1)()f cf c =。令()()gx x f x =，则()g x 在[0,1]上可微，且(1)(1)()g f g c ==。
由Rolle 定理，存在(,1)(0,1)c ξ∈?，使得'(
)'()()0g f f ξξξξ=+=，即()
'()f f ξξξ
=-
。（本题同时考察积分和微分中值定理）
积分理论部分
1. 函数与原函数、导函数的关系以及积分方法。
【例】函数()f x 在有限区间I 上连续，()F x 为()f x 在I 上的一个原函数，则【 B 】。（06秋考题） （A ）()d ()x a
f t t F x =?； （B ）d ()d '()d x
a
f t t F x x =?；
（C ）
d d ()d ()d d d x b
a a f t t f x x x x
=??； （D ）'()d ()x a F t t F x =?。 解析：答案是（B ）。（A ）与（D ）应当用Newton-Leibniz 公式得()()F x F a -，因而错误；（C ）的右端是0，因而也不成立。
【例】设函数()f x 连续，则
22
0d ()d d x tf x t t x
-=?【 B 】。 （A ）0 ； （B ）2()x f x ； （C ）2()x f x - ； （D ）22()x f x -。
解析：答案是（B ）。用第一换元法得
22
222200
1()d ()d()2x x tf x t t f x t x t -=---??
2
200
11()d ()d 22x x f u u f u u =-=??，
因而
222222
00d 1d 1()d ()d ()()'()d 2d 2
x x tf x t t f u u f x x x f x x x -==?=??。
【例】若2()d 2x f x x x C =++?，则()f x =【 C 】。（07秋考题）
（A ）2ln 22x
x C ++ ； （B ）22ln 2
x
x C ++； （C ）2ln 22x
x +； （D ）22ln 2
x
x +。 解析：答案是（C ）。2()(2)'2ln 22x x f x x C x =++=+。
【例】求1cos d sin x
x x x ++?
。（07秋考题）
解：1cos (sin )'d(sin )
d d ln sin sin sin sin x x x x x x x x x C x x x x x x
+++===+++++?
??。
【例】设
?+=-C e
dx x f x 2
)(，则=')(x f 。
解析：答案是2
2(42)x x e --，因为
2
2
()()'2x x f x e C xe
--=+=-，
2
2
2'()(2)'(42)x x f x xe x e --=-=-。 【例】已知()f x 的一个原函数是
cos x
x
，求'()d x f x x ?。 解：'()d ()()d x f x x x f x f x x =-?? d cos cos d x x
x C x x x
??=-
+ ??? sin cos cos x x x x
C x x --=
-+
sin 2cos x x x
C x
+=-
+。 另一个方法为：由()f x 的一个原函数是cos x
x
知
2
d cos sin cos ()d x x x x
f x x x x
--??== ???， 于是
223
d sin cos cos 2(sin cos )
'()d x x x x x x x x f x x x x ---++??== ???
23
cos 2sin 2cos x x x x x
x -++=，
因此
22
cos 2sin 2cos '()d d x x x x x
x f x x x x -++=??
2
2sin 2cos cos d d d x x
x x x x x x =-++??
? 2sin 2cos 2sin sin d d x x x
x x x x x x =-+--?? 2cos sin x
x C x
=--+。 【例】已知cos x x 是()f x 的一个原函数，则cos ()d x
f x x x
?=? 。（10
秋考题）
解析：答案是22
cos 2x
C x
+，解答如下 2
cos cos cos 1cos ()d d 2x x x x f x x C x x x x ??
?==+ ???
??。
2. 积分估值
【例】证明π
2π41sin d 22
x x x ≤≤
?。（06秋考题） 证明：因为
22
d sin cos sin tan cos 0d x x x x x x
x x x x x
--??==< ???，02x π<<， 因此sin x x 在,42ππ??????
内单调减少，于是12sin 2/24x x πππ=≤≤=
，因而
πππ
222πππ444
2
1sin d d d 22x x x x x ππ=≤≤=
?
??。 3. Newton-Leibniz 公式与变上、下限函数的导数
【例】设()f x 连续，0x >时，220
()(1)x f t dt x x =+?
，则(2)f =【 】
(A) 4; （B
）12;
（C
）12
+
; （D
）12-
解析：答案是（C ），在
2
20
()(1)x f t dt x x =+?
两边求导得
22
32()23()12
x
x f x x x f x =+?=+
，
取x =
【例】设20
()sin()d x
x x t t φ=
-?
，求'()x φ。
（06考题） 解：0
2
2200
()sin()d sin (d )sin d x t u
x
x
x
x x t t u u u u φ-==-=
-=??
?，
因此2'()sin x x φ=。
【例】已知0()()()d x
F x x t f t t =-?，求()F x 的二阶导数"()F x 。（10秋考题）
解：0
()()d ()d x x
F x x f t t t f t t =-??，于是
'()()d ()()()d x x
F x f t t x f x x f x f t t =+-=??，
''()()F x f x =。
4. 不定积分、定积分、反常积分的计算
【例】设πsin ()d x t f x t t
=? ， 求π
0()d f x x ?。（07秋考题） 解：利用分部积分法得
π
π
π
00
0()d ()'()d f x x xf x x f x x =-?
?
π0
sin π(π)d x
f x
x x
=-? []ππ
00
sin d cos 2x x x =-==-?。
【例】0
x =?
。
（07秋考题）
解析：答案是
4
π。因为00x x =??，它表示单位圆面积的四
分之一。本题考察定积分的几何意义---面积。
【例】2
1d (1)
x x x =+?
。（06秋考题）
解析：答案是2
2
1ln
21x C x ++。方法如下：
22221111d d l n d ()
(1)(1)2(1)
x x x x x x x x x x ??=-=-?
?+++??
??? 2211
ln d(1)2(1)
x x x =-
++? 22
2
11ln ln(1)ln 221x x x C C x
=-++=++， 或者
2
222221d 1d ()
d (1)(1)2(1)
x x x x x x x x x x ==+++??? 2222221d ()111d ()2(1)
21x x x x x x ??
==
-??++??
?? 222
2
111ln ln(1)ln
2221x x x C C x =-++=++。 【例】计算2arctan x
x
e dx e
?。 解：22arctan 1
arctan (1)2
x x x x e dx e d e e -=-+?? 222
(1)(1)arctan d 221()x x x x
x e e e e x e --++=-++?
2(1)arctan d 22x x x
e e e x --+=-
+? 2(1)1
arctan 22
x x x e e e C --+=-
-+。 【例】 反常积分21
d ln
e x x x
+∞
=?
【 C 】。（07秋考题） （A ）1- ； （B ）0 ； （C ）1 ； （D ）发散。
解析：答案是（C ）。因为（用第一换元法）
22111d d(ln )1ln ln ln e
e e
x x x x x x +∞
+∞
+∞??
==-=??????。
高等数学上册 第一章 函数与极限 （一） 函数 1、 函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）； 2、 反函数、复合函数、函数的运算； 3、 初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函 数、双曲函数、反双曲函数； 4、 函数的连续性与间断点； 函数)(x f 在 0x 连续 )()(lim 00 x f x f x x =→ 第一类：左右极限均存在。 间断点 可去间断点、跳跃间断点 第二类：左右极限、至少有一个不存在。 无穷间断点、振荡间断点 5、 闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定 理、介值定理及其推论。 （二） 极限 1、 定义 1） 数列极限
εε<->?N ∈?>??=∞ →a x N n N a x n n n , , ,0lim 2） 函数极限 δδε-<-?>??=→A x f x x x A x f x x )( 0 , ,0 ,0)(lim 00 时，当 左极限：)(lim )(0 0x f x f x x - →-= 右极限：)(lim )(0 0x f x f x x +→+ = )()( )(lim 000 + -→=?=x f x f A x f x x 存在 2、 极限存在准则 1） 夹逼准则： 1）)(0n n z x y n n n ≥≤≤ 2 ） a z y n n n n ==→∞ →∞ lim lim a x n n =∞ →lim 2） 单调有界准则：单调有界数列必有极限。 3、 无穷小（大）量 1） 定义：若0lim =α则称为无穷小量；若∞=αlim 则称为无穷 大量。 2） 无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无 穷小 Th1 )(~ααββαo +=?;
※高等数学上册期末复习 一.填空题 1.=-→x x e x x 2sin 2cos lim 30 2 3 2.曲线x xe y -=的拐点是 )2,2(2 -e 3．设)(x f 在0=x 处可导且,0)0(=f 则=→x x f x ) (lim 0 )0(f ' 4.曲线x x y +-= 22cos 1在)2 1,2(π π+处的切线方程为 1y x =+ 5．曲线1 22 -=x x y 有垂直渐近线 1±=x 和水平渐近线 1=y 6.设)(u f 可导，)]([sin 2x e f y =,则=dy dx e e f e f x x x ?'?)()]([2sin #7.=?dx e x 4 )1(22 +e 8．若3)(0-='x f ,则=--+→h h x f h x f h ) 3()(lim 000 12- 9.若 dx x p ? +∞ 1 收敛,则p 的范围是 1-
=0 ,0,)(2x x x x x f ，则?-=11)(dx x f 61 - #14．过点)3,1(且切线斜率为x 2的曲线方程为 12 +=x y 15.已知函数?????=≠=0 ,0 ,sin )(x a x x x x f ，则当→x ∞时,函数)(x f 是无穷小；当 =a 1时,函数)(x f 在0=x 处连续，否则0=x 为函数的第 (一）类间断 点。 １6.已知 ?+=c x F dx x f )()(，则? =-dx x f x )(arcsin 112 c x F +)(arcsin
第八章 测 验 题 一、选择题： 1、若a → ，b → 为共线的单位向量，则它们的数量积 a b →→ ?= ( ). (A) 1； (B)-1； (C) 0； (D)cos(,)a b →→ . 向量a b →→?与二向量a → 及b → 的位置关系是( ). 共面； (B)共线； (C) 垂直； (D)斜交 . 3、设向量Q → 与三轴正向夹角依次为,,αβγ，当 cos 0β=时，有( ) ()(); (); ()A Q xoy B Q yoz C Q xoz D Q xoz ⊥r r r r 面； 面面面 5、2 ()αβ→ → ±=( ) (A)22αβ→→±； (B)2 2 2ααββ→→→ →±+； (C)2 2 ααββ→→→ →±+； (D)2 2 2ααββ→→→ →±+. 6、设平面方程为0Bx Cz D ++=，且,,0B C D ≠， 则 平面( ). (A) 平行于轴；x ；(B) y 平行于轴； (C) y 经过轴；(D) 经过轴y . 7、设直线方程为111122 00A x B y C z D B y D +++=??+=?且 111122,,,,,0A B C D B D ≠,则直线( ). (A) 过原点； (B)x 平行于轴； (C)y 平行于轴； (D)x 平行于轴. 8、曲面2 50z xy yz x +--=与直线5 13 x y -=- 10 7 z -= 的交点是( ). (A)(1,2,3),(2,1,4)--；(B)(1,2,3)； (C)(2,3,4)； (D)(2,1,4).-- 9、已知球面经过(0,3,1)-且与xoy 面交成圆周 22160 x y z ?+=?=?，则此球面的方程是( ). (A)2 2 2 6160x y z z ++++=； (B)222 160x y z z ++-=； (C)2 2 2 6160x y z z ++-+=； (D)2 2 2 6160x y z z +++-=. 10、下列方程中所示曲面是双叶旋转双曲面的是( ). (A)2 2 2 1x y z ++=； (B)22 4x y z +=； (C)22 2 14y x z -+=； (D)2221916 x y z +-=-. 二、已知向量,a b r r 的夹角等于3 π ，且2,5a b →→==，求 (2)(3)a b a b →→→→ -?+ . 三、求向量{4,3,4}a → =-在向量{2,2,1}b → =上的投影 . 四、设平行四边形二边为向量 {1,3,1};{2,1,3}a b → → =-=-{}2,1,3b =-，求其面积 . 五、已知,,a b →→ 为两非零不共线向量，求证： ()()a b a b →→→→-?+2()a b →→ =?. 六、一动点与点(1,0,0)M 的距离是它到平面4x =的距离的一半，试求该动点轨迹曲面与yoz 面的交线方程 . 七、求直线L ：31258x t y t z t =-?? =-+??=+? 在三个坐标面上及平面 π380x y z -++=上的投影方程 . 八、求通过直线 122 232 x y z -+-==-且垂直于平面3250x y z +--=的平面方程 .
高等数学（通用复习） 师兄的忠告：记住我们只复习重点，不需要学得太多，这些是每年必须的重点，希望注意 第一章 函数与极限 函数 ○函数基础（高中函数部分相关知识）（★★★） ○邻域（去心邻域）（★） (){},|U a x x a δ δ=-< (U a 1．由n x ∴N 2．即对?∴x ∞ →lim ○x →1．由(f ∴δ=2．即对?∴x x →0 lim ○→x 1．由(f ∴X 2．即对?∴x ∞ →lim 第三节 无穷小与无穷大 ○无穷小与无穷大的本质（★） 函数()x f 无穷小?()0lim =x f 函数()x f 无穷大?()∞=x f lim ○无穷小与无穷大的相关定理与推论（★★） （定理三）假设()x f 为有界函数，()x g 为无穷小，则()()lim 0f x g x ?=????
（定理四）在自变量的某个变化过程中，若()x f 为无穷大，则()1 f x -为无穷小；反之，若()x f 为无穷小，且 ()0f x ≠，则()x f 1 -为无穷大 【题型示例】计算：()()0 lim x x f x g x →?????（或∞→x ） 1．∵()f x ≤M ∴函数()f x 在0x x =的任一去心邻域()δ,0x U 内是有界的； （∵()f x ≤M ，∴函数()f x 在D x ∈上有界；） 2． →x （→x 3（x →0lim x x → 3 9 x x →-【求解示例】解：因为3→x ，从而可得3≠x ，所以原式()() 2 3 3 3 33 11lim lim lim 9 333 6 x x x x x x x x x →→→--==== -+-+ 其中3x =为函数()2 39 x f x x -= -的可去间断点 倘若运用罗比达法则求解（详见第三章第二节）：
大学高等数学知识点整理 公式，用法合集 极限与连续 一. 数列函数: 1. 类型: (1)数列: *()n a f n =; *1()n n a f a += (2)初等函数: (3)分段函数: *0102()(),()x x f x F x x x f x ≤?=?>?; *0 ()(), x x f x F x x x a ≠?=?=?;* (4)复合(含f )函数: (),()y f u u x ?== (5)隐式(方程): (,)0F x y = (6)参式(数一,二): () ()x x t y y t =??=? (7)变限积分函数: ()(,)x a F x f x t dt = ? (8)级数和函数(数一,三): 0 (),n n n S x a x x ∞ ==∈Ω∑ 2. 特征(几何): (1)单调性与有界性(判别); (()f x 单调000,()(()())x x x f x f x ??--定号) (2)奇偶性与周期性(应用). 3. 反函数与直接函数: 1 1()()()y f x x f y y f x --=?=?= 二. 极限性质: 1. 类型: *lim n n a →∞; *lim ()x f x →∞ (含x →±∞); *0 lim ()x x f x →(含0x x ± →) 2. 无穷小与无穷大(注: 无穷量): 3. 未定型: 000,,1,,0,0,0∞ ∞∞-∞?∞∞∞ 4. 性质: *有界性, *保号性, *归并性 三. 常用结论: 11n n →, 1(0)1n a a >→, 1()max(,,)n n n n a b c a b c ++→, ()00! n a a n >→
一、填空题（共21分 每小题3分） 1．曲线???=+=0 12x y z 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为122++=y x z ． 2．直线35422:1z y x L =--=-+与直线?? ???+=+-==t z t y t x L 72313:2的夹角为2π． 3．设函数22232),,(z y x z y x f ++=，则=)1,1,1(grad f }6,4,2{． 4．设级数∑∞=1n n u 收敛，则=∞→n n u lim 0． 5．设周期函数在一个周期内的表达式为???≤<+≤<-=, 0,10,0)(ππx x x x f 则它的傅里叶级数在π=x 处收敛于21π +． 6．全微分方程0d d =+y x x y 的通解为 C xy =． 7．写出微分方程x e y y y =-'+''2的特解的形式x axe y =*． 二、解答题（共18分 每小题6分） 1．求过点)1,2,1(-且垂直于直线???=+-+=-+-0 2032z y x z y x 的平面方程． 解：设所求平面的法向量为n ，则{}3,2,11 11121=--=k j i n (4分) 所求平面方程为 032=++z y x (6分) 2．将积分???Ω v z y x f d ),,(化为柱面坐标系下的三次积分，其中Ω是曲面 )(222y x z +-=及22y x z +=所围成的区域． 解： πθ20 ,10 ,2 :2 ≤≤≤≤-≤≤Ωr r z r (3分)
???Ωv z y x f d ),,(???-=221020d ),sin ,cos (d d r r z z r r f r r θθθπ (6分) 3．计算二重积分??+-=D y x y x e I d d )(22，其中闭区域.4:22≤+y x D 解 ??-=2020d d 2r r e I r πθ??-- =-20220)(d d 212r e r πθ?-?-=202d 221r e π)1(4--=e π 三、解答题（共35分 每题7分） 1．设v ue z =，而22y x u +=，xy v =，求z d ． 解：)2(232y y x x e y ue x e x v v z x u u z x z xy v v ++=?+?=?????+?????=?? (3分) )2(223xy x y e x ue y e y v v z y u u z y z xy v v ++=?+?=?????+?????=?? (6分) y xy x y e x y y x x e z xy xy d )2(d )2(d 2332+++++= (7分) 2．函数),(y x z z =由方程0=-xyz e z 所确定，求y z x z ????,． 解：令xyz e z y x F z -=),,(， (2分) 则 ,yz F x -= ,xz F y -= ,xy e F z z -= (5分) xy e yz F F x z z z x -=-=??， xy e xz F F y z z z y -=-=??． (7分) 3．计算曲线积分 ?+-L y x x y d d ，其中L 是在圆周22x x y -=上由)0,2(A 到点)0,0(O 的有 向弧段． 解：添加有向辅助线段OA ，有向辅助线段OA 与有向弧段OA 围成的闭区域记为D ，根据格林 公式 ????+--=+-OA D L y x x y y x y x x y d d d d 2d d (5分) ππ=-? =022 (7分) 4．设曲线积分?++L x y x f x y x f e d )(d )]([与路径无关，其中)(x f 是连续可微函数且满足1)0(=f ，
一、客观部分：（单项选择、多项选择、不定项选择、判断） （一）、单项选择部分 1．函数x x x f )321 ()321 ()(-++=为（）。 （A ）奇函数；（B ）周期函数；（C ）幂函数；（D ）偶函数 ★考核知识点:函数的性质，参见P4-7 附1.1.1（考核知识点解释及答案）： 函数的基本特性： 有界性：设函数f (x )的定义域为D ，如果有0>M ，使得对D x ∈?，都有M x f ≤)(，则称f (x )在D 上有界。 如果对D x ∈?，使得M x f ≤)(，则称f (x )在D 上有上界。 单调性：设函数f (x )的定义域为D ，如果对D x x ∈?21,，当21x x <时，恒有)()(21x f x f ≤ ，就称上在D x f )(为单调递增函数。同理， 可以定义单调递减函数。我们统称单调递增和单调递减函数为单调函数。 奇偶性：设f (x )的定义域为D ，对 D x ∈? ，如果 (i))()(x f x f =-，则称该函数为奇函数； (ii)) ()(x f x f -=-，则称该函数为偶函数． 周期性：设函数f (x )的定义域为D ，如果存在T ≠0，使得对D x ∈?，总有 则称f (x )为D 上的周期函数，T 为f (x )的一个周期．通常周期函数有无穷多个周期．习惯上，我们把最小的正周期叫做该函数的周期 计算过程如下：----(-)===f(x)x x x x x x f x =+++ 答案：（D ）偶函数。 2．函数()ln(1sin ) (0)f x x x =+→为（）。
（A ）无穷小量；（B ）无穷大量；（C ）零函数；（D ）常数函数 ★考核知识点:无穷小与无穷大，参见P25-27 附1.1.2（考核知识点解释及答案）： 当0x x →时，如果函数)(x f 的绝对值大于任意预先给定的正数M ，则我们称函数)(x f 为当0x x →时的无穷大量，记为∞=→)(lim 0 x f x x 。 若0)(lim 0 =→x f x x ，则称函数)(x f 在该极限过程中为无穷小量．简称无穷小。 答案：（A ）无穷小量。 3．函数sin 0x y x x ==在点处（）。 （A ）可导；（B ）间断；（C ）可微；（D ）连续 ★考核知识点:连续与可导性，参见P40-46 附1.1.3（考核知识点解释及答案】）： 函数在某点处连续是函数在该点处可导的必要条件，但不是充分条件.若函数在某点处不连续，则它在该点处一定不可导. 答案：（B ）间断。 4．若()ln(2sin ),(0)f x x f '=+=则（）。 （A ）-1；（B ）0；（C ） 12 ；（D ）1 ★考核知识点:复合函数微分法，参见P61-63 附1.1.4（考核知识点解释及答案）： 下述“基本的求导公式”是各种导数与微分计算的基础，要求熟练掌握。在这里作为复习我们全部给出，提供多处习题计算时使用，可以反复查找使用。
高等数学(同济第七版)上册-知识点总结 第一章 函数与极限 一. 函数的概念 1.两个无穷小的比较 设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =) () (lim （1）l = 0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f (x) = 0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。 （2）l ≠ 0，称f (x)与g(x)是同阶无穷小。 （3）l = 1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以f (x) ~ g(x) 2.常见的等价无穷小 当x →0时 sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x ， 1? cos x ~ 2/2^x ， x e ?1 ~ x ，)1ln(x + ~ x ，1)1(-+αx ~ x α 二．求极限的方法 1．两个准则 准则 1. 单调有界数列极限一定存在 准则 2.（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x ) 若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则A x f =)(lim 2．两个重要公式 公式11sin lim 0=→x x x 公式2e x x x =+→/10 )1(lim 3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4．用泰勒公式 当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次 ) ()! 12()1(...!5!3sin ) (! ...!3!2112125332++++-+++-=++++++=n n n n n x x o n x x x x x x o n x x x x e )(! 2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= )()1(...32)1ln(132n n n x o n x x x x x +-++-=++ )(! ))1()...(1(...!2)1(1)1(2n n x o x n n x x x +---++-++=+ααααααα )(1 2)1(...53arctan 121 2153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 5．洛必达法则
高等数学上册复习要点及解题技巧 第一章：1、极限（夹逼准则） 2、连续（学会用定义证明一个函数连续，判断间断点类型） 第二章：1、导数（学会用定义证明一个函数是否可导）注：连续不一定可导，可导一定连续 2、求导法则（背） 3、求导公式也可以是微分公式 第三章：1、微分中值定理（一定要熟悉并灵活运用--第一节） 2、洛必达法则 3、泰勒公式拉格朗日中值定理 4、曲线凹凸性、极值（高中学过，不需要过多复习） 5、曲率公式曲率半径 第四章、第五章：积分 不定积分：1、两类换元法 2、分部积分法（注意加C ） 定积分： 1、定义 2、反常积分 第六章：定积分的应用 主要有几类：极坐标、求做功、求面积、求体积、求弧长 第七章：向量问题不会有很难 1、方向余弦 2、向量积 3、空间直线（两直线的夹角、线面夹角、求直线方程） 3、空间平面 4、空间旋转面（柱面） 高数解题技巧 高数解题的四种思维定势 ●第一句话：在题设条件中给出一个函数f(x)二阶和二阶以上可导，“不管三七二十一”，把f(x)在指定点展成泰勒公式再说。 ●第二句话：在题设条件或欲证结论中有定积分表达式时，则“不管三七二十一”先用积分中值定理对该积分式处理一下再说。 ●第三句话：在题设条件中函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=0或f(b)=0或f(a)＝f(b)=0，则“不管三七二十一”先用拉格朗日中值定理处理一下再说。 ●第四句话：对定限或变限积分，若被积函数或其主要部分为复合函数，则“不管三七二十一”先做变量替换使之成为简单形式f(u)再说。
线性代数解题的八种思维定势 ●第一句话：题设条件与代数余子式Aij或A*有关，则立即联想到用行列式按行(列)展开定理以及AA*=A*A=|A|E。 ●第二句话：若涉及到A、B是否可交换，即AB＝BA，则立即联想到用逆矩阵的定义去分析。 ●第三句话：若题设n阶方阵A满足f(A)=0，要证aA+bE可逆，则先分解因子aA+bE再说。 ●第四句话：若要证明一组向量α1,α2,…,αS线性无关，先考虑用定义再说。 ●第五句话：若已知AB＝0，则将B的每列作为Ax=0的解来处理 ●第六句话：若由题设条件要求确定参数的取值，联想到是否有某行列式为零再说。 ●第七句话：若已知A的特征向量ξ0，则先用定义Aξ0＝λ0ξ0处理一下再说。 ●第八句话：若要证明抽象n阶实对称矩阵A为正定矩阵，则用定义处理一下再说。 概率解题的九种思维定势 ●第一句话：如果要求的是若干事件中“至少”有一个发生的概率，则马上联想到概率加法公式；当事件组相互独立时，用对立事件的概率公式 ●第二句话：若给出的试验可分解成（0－1）的n重独立重复试验，则马上联想到Bernoulli试验，及其概率计算公式 ●第三句话：若某事件是伴随着一个完备事件组的发生而发生，则马上联想到该事件的发 生概率是用全概率公式计算。关键：寻找完备事件组 ●第四句话：若题设中给出随机变量X ~ N 则马上联想到标准化 ~ N(0,1)来处理有关问题。 ●第五句话：求二维随机变量（X，Y）的边缘分布密度的问题，应该马上联想到先画出使 联合分布密度的区域，然后定出X的变化区间，再在该区间内画一条//y轴的直线，先与区域边界相交的为y的下限，后者为上限，而的求法类似。 ●第六句话：欲求二维随机变量（X，Y）满足条件Y≥g(X)或(Y≤g(X))的概率，应该马上联 想到二重积分的计算，其积分域D是由联合密度的平面区域及满足Y≥g(X)或(Y≤g(X))的 区域的公共部分。 ●第七句话：涉及n次试验某事件发生的次数X的数字特征的问题，马上要联想到对X作 （0－1）分解。即令
《高等数学（二）》期末复习题 一、选择题 1、若向量b 与向量)2,1,2(-=a 平行，且满足18-=?b a ，则=b （ ） （A ） )4,2,4(-- （B ）(24,4)--， （C ） (4,2,4)- （D ）(4,4,2)--. 2、在空间直角坐标系中，方程组2201x y z z ?+-=?=? 代表的图形为 ( ) （A ）直线 (B) 抛物线 （C ） 圆 (D)圆柱面 3、设22 ()D I x y dxdy =+?? ，其中区域D 由222x y a +=所围成，则I =（ ） (A) 2240 a d a rdr a π θπ=? ? (B) 2240 2a d a adr a π θπ=? ? (C) 2230 02 3 a d r dr a π θπ=? ? (D) 2240 01 2 a d r rdr a π θπ=? ? 4、 设的弧段为：2 3 0,1≤ ≤=y x L ，则=? L ds 6 （ ） （A ）9 (B) 6 （C ）3 (D) 2 3 5、级数 ∑∞ =-1 1 ) 1(n n n 的敛散性为 （ ） （A ） 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 敛散性不确定 6、二重积分定义式∑??=→?=n i i i i D f d y x f 1 0),(lim ),(σηξσλ中的λ代表的是（ ） （A ）小区间的长度 (B)小区域的面积 (C)小区域的半径 (D)以上结果都不对 7、设),(y x f 为连续函数，则二次积分??-1 010 d ),(d x y y x f x 等于 ( ) （A ）??-1010 d ),(d x x y x f y (B) ??-1010d ),(d y x y x f y (C) ? ?-x x y x f y 10 1 0d ),(d (D) ?? 1 010 d ),(d x y x f y 8、方程2 2 2z x y =+表示的二次曲面是 ( ) （A ）抛物面 （B ）柱面 （C ）圆锥面 （D ） 椭球面
全国教师教育网络联盟专科起点升本科 高等数学复习资料 目录 第一章函数 (1) 一、内容提要 (1) 二、典型例题 (2) 第二章极限与连续 (5) 一、内容提要 (5) 二、典型例题 (7) 第三章导数与微分 (12) 一、内容提要 (12) 二、典型例题 (14) 第四章导数的应用 (18) 一、内容提要 (18) 二、典型例题 (20) 第五章不定积分 (25) 一、内容提要 (25) 二、典型例题 (26) 第六章定积分及其应用 (30) 一、内容提要 (30) 二、典型例题 (31) 第七章多元函数微积分 (34) 一、内容提要 (34) 二、典型例题 (37)
第一章函数 一、内容提要 1、函数 （1）定义：设有两个变量x与y。当变量x在给定的某一变域中任意取定一值时，另一变量y就按某一确定的法则有一个确定值与x的这个值相对应，那末变量y称为变量x的函数，记作y=f(x)。 （2）定义中两要素：定义域与对应法则。 定义域：自变量x的取值范围。 对应法则：自变量x与因变量y的对应规则。 （3）注意两点： ①两个函数只有当它们的定义域和对应法则都相同时，才能说它们是相同的函数。 ②在不同区间上用不同数学表达式来表示的函数称为分段函数。分段函数是一个函数而不是几个函数。 2、反函数 （1）定义：设已知y是x的函数y=f(x)，如果将y当作自变量，x当函数，则由关系式y=f(x)所确定的函数x=?(y)就叫做函数f(x)的反函数，由于通常总把自变量记作x，函数记作y，因此习惯上称y=?(x)为函数f(x)的反函数，记作f -1(x)，而f(x)叫做直接函数。 （2）附注：反函数的定义域与直接函数的值域相同。 3隐函数 定义:凡能够由方程F(x,y)=0确定的函数关系，称为隐函数。 4、函数的简单性质 有界性，奇偶性，单调性与周期性。 5、复合函数 （1）定义：设y是u的函数y=f(u)，而u又是x的函数u=?(x)，而且当x在某一区间I 取值时相应的u值可使y有定义，则称y是x的一个定义于区间I上的复合函数，记作y=f[?(x)]。 （2）几个注意的问题： ①复合函数可以简单地理解为函数的函数。有了复合函数的概念，可以把一个较复杂的函数分解成几个简单的函数。例如，函数y=sinx2可以看作由函数y=sinu和u=x2复合运算而产生的。 ②要使复合函数y=f[?(x)]有意义，必须满足函数u=?(x)的值域包含在函数y=f(u)的定义域中。 6、基本初等函数与初等函数 （1）基本初等函数 幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数。 （2）初等函数 由基本初等函数与常数经过有限次的四则运算和复合构成的，并能用一个解析式表示的函数称为初等函数。
第二章 导数与微分 一、主要内容小结 1. 定义·定理·公式 （1）导数，左导数，右导数，微分以及导数和微分的几何意义 （2） 定理与运算法则 定理1 )(0x f '存在?='- )(0x f )(0x f +' . 定理2 若)(x f y =在点0x 处可导，则)(x f y =在点x 0处连续；反之不真. 定理3 函数)(x f 在0x 处可微?)(x f 在0x 处可导. 导数与微分的运算法则：设)(,)(x v v x u u ==均可导，则 v u v u '±'='±)(, dv du v u d ±=±)( u v v u uv '+'=')(, vdu udv uv d +=)( )0()(2≠'-'='v v v u u v v u ， )0()(2≠-=v v udv vdu v u d （3）基本求导公式 2. 各类函数导数的求法 （1）复合函数微分法 （2）反函数的微分法 （3）由参数方程确定函数的微分法 （4）隐函数微分法 （5）幂指函数微分法 （6）函数表达式为若干因子连乘积、乘方、开方或商形式的微分法. 方法：对数求导法（即先对式子的两边取自然对数，然后在等式的两端再对x 求导）. （7）分段函数微分法 3. 高阶导数 （1）定义与基本公式
高阶导数公式：a a a n x n x ln )()(= )0(>a x n x e e =)()( )2sin()(sin )(π?+=n kx k kx n n )2cos()(cos )(π ?+=n kx k kx n n n m n m x n m m m x -+-???-=)1()1()()( !)()(n x n n = n n n x n x )! 1()1()(ln 1)(--=- 莱布尼兹公式： （2）高阶导数的求法 ① 直接法② 间接法 4. 导数的简单应用 (1) 求曲线的切线、法线 (2) 求变化率——相关变化率 二、 例题解析 例2.1 设?? ???=≠?=0,00,1sin )(x x x x x f K , （K 为整数）.问： （1）当K 为何值时，)(x f 在0=x 处不可导； （2）当K 为何值时，)(x f 在0=x 处可导，但导函数不连续； （3）当K 为何值时，)(x f 在0=x 处导函数连续？ 解 函数)(x f 在x=0点的导数： 0lim →x =--0 )0()(x f x f 0lim →x x f x f )0()(-=0lim →x x x x K 1sin )(? = 0lim →x x x K 1sin )(1?-= ? ??>≤101 K K 当，，当发散 即 ? ??>≤='1,01)0(K K f 不存在， 当1>K 时, )(x f 的导函数为： ?????=≠?-?='--0,00,1cos 1sin )(21x x x x x Kx x f K K
高等数学上册复习要点 一、 函数与极限 （一） 函数 1、 函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）； 2、 反函数、复合函数、函数的运算； 3、 初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数； 4、 函数的连续性与间断点； 函数)(x f 在 0x 连续 )()(lim 00 x f x f x x =→ 第一类：左右极限均存在. 间断点 可去间断点、跳跃间断点 第二类：左右极限、至少有一个不存在. 无穷间断点、振荡间断点 5、 闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定 理及其推论. （二） 极限 1、 定义 1） 数列极限 εε<->?N ∈?>??=∞ →a x N n N a x n n n , , ,0lim 2） 函数极限 εδδε<-<-?>??=→A x f x x x A x f x x )( 0 , ,0 ,0)(lim 00 时，当 左极限：)(lim )(0 0x f x f x x - →-= 右极限：)(lim )(0 0x f x f x x +→+=
)()( )(lim 000 + -→=?=x f x f A x f x x 存在 2、 极限存在准则 1） 夹逼准则： 1）)(0n n z x y n n n ≥≤≤ 2 ） a z y n n n n ==→∞ →∞ lim lim a x n n =∞ →lim 2） 单调有界准则：单调有界数列必有极限. 3、 无穷小（大）量 1） 定义：若0lim =α则称为无穷小量；若∞=αlim 则称为无穷大量. 2） 无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无穷小 Th1 )(~ ααββαo +=?; Th2 αβαβαβββαα' ' =''''lim lim lim ,~,~存在，则（无穷小代换） 4、 求极限的方法 1） 单调有界准则； 2） 夹逼准则； 3） 极限运算准则及函数连续性； 4） 两个重要极限： a) 1sin lim 0=→x x x b) e x x x x x x =+=++∞→→)11(lim )1(lim 1 0 5） 无穷小代换：（0→x ） a) x x x x x arctan ~arcsin ~tan ~sin ~ b) 2 2 1~cos 1x x -
期末复习题 一、填空题 1、=?→x t t x x 0 20 d cos lim . 2、若)(x f 在],[b a 上连续, 则=?b x x x f x 2d )(d d . 3、已知)(x F 是)(x f 的原函数，则?>+x x t a t f t )0( d )(1 等于 . 4、若2 e x -是)(x f 的一个原函数，则 ='? 10 d )(x x f . 5、 =++?-112d 1| |x x x x . 6、已知2 1)(x x x f +=，则)(x f 在]2,0[上的平均值为 . 7、设 ? =+π0 ),(sin d )(x f x x x f 且)(x f 连续， 则=)(x f . 8、设曲线k x y =(0,0>>x k )与直线1=y 及y 轴围成的图形面积为3 1 ，则=k . 9、设y x y y x y x f arcsin )1()2(),(22---=，则 =??) 1,0(y f . 10、设y x z 2e =，则 =???y x z 2 . 11、交换积分次序 =? ?x y y x f x ln 0e 1d ),(d . 12、交换积分次序 =? ? ---x x y y x f x 11 1 2 2d ),(d . 13、交换积分次序 ? ?-2 210 d ),(d y y x y x f y ＝ . 二、选择题 1、极限x t t x x cos 1d )1ln(lim 2sin 0 -+?→等于（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）8 2、设x x t t f x e d )(d d e 0=?-，则=)(x f （ ） (A) 2 1x (B) 21x - (C) x 2e - (D) x 2e -- 3、设)(x f 是连续函数，且C x F x x f +=?)(d )(，则必有（ ）B （A ）)(d )(x F t t f x a =? （B ）)(]d )([x F t t F x a ='? （C ） )(d )(x f t t F x a ='? （D ）)()(]d )([a f x f t t F x a -=''?
一、解答下列各题(本大题共3小题，总计15分) 1、( 本 大 题5分 ) 设L 由y =x 2及y =1所围成的区域D 的正向边界， 求 ?+++L dy y x x dx y x xy )()(2 4233 2、(本小题5分) 设f (x ,y )是连续函数，交换二次积分??2 3 ),(10x x dy y x f dx 的积分次序。 3、(本小题5分) 设()f x 是以2π为周期的函数，当 x ∈-?? ?? ?ππ232, 时， ()f x x =。又设()S x 是()f x 的 以2π为周期的Fourier 级数之和函数。试写出()S x 在 []-ππ,内的表达式。 二、解答下列各题(本大题共7小题，总计42分) 1、(本小题6分) 设z=z(x,y)由方程x 2 +y 2 +z 2 =ln(y z )确定，求z z x y ,。 2、(本小题6分) 设z y xy x =++232 ()，求z z x y ,。 3、(本小题6分) 设f x y (,)有连续偏导数，u f e e x y =(,)，求d u 。
利用极坐标计算二次积分 5、(本小题6分) 求微分方程''-'+=y y y x e x 22的一个特解。 6、(本小题6分) 求幂级数n n x n )3 2(11 -∑ ∞ =的收敛域。 7、(本小题6分) 求微分方程0)42()2(32=-+++dy y x y x dx y y 的通解。 三、解答下列各题 (本大题共2小题，总计13分) 1、(本小题7分) 求曲面x xy xyz ++=9在点(,,)123处的切平面和法线方程 。 2、(本小题6分) 试求由x 2+y 2+z 2≤4与x 2+y 2≤3z 所确定的立体的体积。 四、解答下列各题 (本大题共2小题，总计13分)
《高等数学复习》教程 第一讲函数、连续与极限 一、理论要求 1.函数概念与性质函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期） 几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数） 2.极限极限存在性与左右极限之间的关系 夹逼定理和单调有界定理 会用等价无穷小和罗必达法则求极限 3.连续函数连续（左、右连续）与间断 理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值） 二、题型与解法 A.极限的求法（1）用定义求 （2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子） （3）变量替换法 （4）两个重要极限法 （5）用夹逼定理和单调有界定理求 （6）等价无穷小量替换法 （7）洛必达法则与Taylor级数法 （8）其他（微积分性质，数列与级数的性质）
1.61 2arctan lim )21ln(arctan lim 3030-=-=+->->-x x x x x x x x （等价小量与洛必达） 2.已知2030) (6lim 0)(6sin lim x x f x x xf x x x +=+>->-，求 解：2 0303' )(6cos 6lim )(6sin lim x xy x f x x x xf x x x ++=+>->- 72 )0(''06)0(''32166 ' ''''36cos 216lim 6'''26sin 36lim 00=∴=+-=++-=++-=>->-y y xy y x x xy y x x x 362 72 2''lim 2'lim )(6lim 0020====+>->->-y x y x x f x x x （洛必达） 3.1 21)1 2( lim ->-+x x x x x （重要极限） 4.已知a 、b 为正常数，x x x x b a 3 0)2 ( lim +>-求 解：令]2ln )[ln(3 ln ,)2(3 -+=+=x x x x x b a x t b a t 2/300)() ln(23)ln ln (3lim ln lim ab t ab b b a a b a t x x x x x x =∴=++=>->-（变量替换） 5.) 1ln(1 2 )(cos lim x x x +>- 解：令)ln(cos ) 1ln(1 ln ,) (cos 2 ) 1ln(1 2 x x t x t x +==+ 2/100 2 1 2tan lim ln lim ->->-=∴-=-=e t x x t x x （变量替换） 6.设)('x f 连续，0)0(',0)0(≠=f f ，求1)()(lim 2 2 =? ? >-x x x dt t f x dt t f （洛必达与微积分性质） 7.已知???=≠=-0 ,0 ,)ln(cos )(2x a x x x x f 在x=0连续，求a
高等数学上册知识点 Prepared on 24 November 2020
高等数学上册 第一章 函数与极限 （一）函数 1、 函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）； 2、 反函数、复合函数、函数的运算； 3、 初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函 数、双曲函数、反双曲函数； 4、 函数的连续性与间断点； 函数)(x f 在 0x 连续)()00 x f x = 第一类：左右极限均存在。 间断点 可去间断点、跳跃间断点 第二类：左右极限、至少有一个不存在。 无穷间断点、振荡间断点 5、 闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定 理、介值定理及其推论。 （二）极限 1、 定义 1） 数列极限 2） 函数极限 左极限：)(lim )(0 0x f x f x x - →-= 右极限：)(lim )(0 0x f x f x x +→+ = 2、 极限存在准则
1） 夹逼准则： 1）)(0n n z x y n n n ≥≤≤ 2） a z y n n n n ==→∞ →∞ lim lim a x n n =∞ → 2） 单调有界准则：单调有界数列必有极限。 3、 无穷小（大）量 1） 定义：若0lim =α 则称为无穷小量；若∞=αlim 则称为无穷大 量。 2） 无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无穷小 Th1 )(~ααββαo +=?; Th2 αβαβαβββαα' ' =''''lim lim lim ,~,~存在，则（无穷小代换） 4、 求极限的方法 1） 单调有界准则； 2） 夹逼准则； 3） 极限运算准则及函数连续性； 4） 两个重要极限： a) 1sin lim 0=→x x x b)e x x x x x x =+=++∞→→)11(lim )1(lim 1 5） 无穷小代换：（0→x ） a) x e x ~1- （a x a x ln ~1-） b) x x ~)1ln(+ （a x x a ln ~ )1(log +） 第二章 导数与微分
高等数学(下册)期末复习试题及答案
一、填空题（共21分 每小题3分） 1．曲线???=+=0 12x y z 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为12 2++=y x z ． 2．直线35422:1z y x L =--=-+与直线?? ? ??+=+-==t z t y t x L 72313:2的夹角为 2π． 3．设函数2 2232),,(z y x z y x f ++=，则= )1,1,1(grad f }6,4,2{． 4．设级数 ∑∞ =1 n n u 收敛，则=∞ →n n u lim 0 ． 5．设周期函数在一个周期内的表达式为???≤<+≤<-=, 0,10 ,0)(ππx x x x f 则它的傅里叶级数在π=x 处 收敛于 2 1π+． 6．全微分方程0d d =+y x x y 的通解为 C xy =． 7．写出微分方程x e y y y =-'+''2的特解的形式 x axe y =*． 二、解答题（共18分 每小题6分） 1．求过点)1,2,1(-且垂直于直线? ??=+-+=-+-020 32z y x z y x 的平面方程． 解：设所求平面的法向量为n ，则{ }3,2,11 11121=--=k j i n (4分) 所求平面方程为 032=++z y x (6分) 2．将积分 ???Ω v z y x f d ),,(化为柱面坐标系下的三次积分，其中Ω是曲面 )(22 2y x z +-=及22y x z +=所围成的区域． 解： πθ20 ,10 ,2 :2 ≤≤≤≤-≤≤Ωr r z r (3分)
??? Ω v z y x f d ),,(? ??-=2 210 20 d ),sin ,cos (d d r r z z r r f r r θθθπ (6分) 3．计算二重积分??+-= D y x y x e I d d ) (22，其中闭区域.4:22≤+y x D 解 ??-= 20 20 d d 2 r r e I r π θ??--=-202 20)(d d 212 r e r πθ?-?-=202 d 22 1r e π)1(4--=e π 三、解答题（共35分 每题7分） 1．设v ue z =，而2 2y x u +=，xy v =，求z d ． 解： )2(232y y x x e y ue x e x v v z x u u z x z xy v v ++=?+?=?????+?????=?? (3分) )2(223xy x y e x ue y e y v v z y u u z y z xy v v ++=?+?=?????+?????=?? (6分) y xy x y e x y y x x e z xy xy d )2(d )2(d 2332+++++= (7分) 2．函数),(y x z z =由方程0=-xyz e z 所确定，求 y z x z ????,． 解：令xyz e z y x F z -=),,(， (2分) 则 ,yz F x -= ,xz F y -= ,xy e F z z -= (5分) xy e yz F F x z z z x -=-=??， xy e xz F F y z z z y -=-=??． (7分) 3．计算曲线积分?+-L y x x y d d ，其中L 是在圆周22x x y -=上由)0,2(A 到点)0,0(O 的有 向弧段． 解：添加有向辅助线段OA ，有向辅助线段OA 与有向弧段OA 围成的闭区域记为D ，根据格 林公式 ????+--=+-OA D L y x x y y x y x x y d d d d 2d d (5分)