2020届全国高考数学提分微专题
专题01 嵌套函数问题
2020届全国高考数学复习备考建议
一、2020届全国高考数学继续坚持以习近平新时代中国特色社会主义思想为指引，坚持“一体四层四翼”的命题指导思想，注重顶层设计，明确“立德树人、服务选才、引导教学”这一高考核心功能；明确“必备知识、关键能力、学科素养、核心价值”四层考查内容以及“基础性、综合性、应用性、创新性”四个方面的考查要求，强化对空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力、应用意识和创新意识的全面考查。
二、回归课本，夯实基础知识和基本技能．课本是根基，在进行复习时，要回归课本，发挥课本例题或习题的作用，注重基础，抓牢基础，充分利用课本弄清问题的来龙去脉，对知识追根溯源。全面系统掌握高考数学基础知识、基本技能和基本数学思想方法，进一步强化数学学科核心素养，聚力共性通法。
三、把握复习重心，不忽略边缘线知识．在复习过程中应在核心考点函数与导数、三角函数、解三角形、数列、立体几何、解析几何、概率与统计、选考内容等主干知识上花主要精力，同时，不要忽略一些边缘性的知识。
四、命题者依然坚守“重视通性通法，淡化技巧”。因此高考数学备考复习必须遵循教学规律，认真钻研《高考数学考试说明》，重视通性通法的教学，从海量题目的众多解法中分析选择通法，着眼于传授和培养学生分析解决某一类问题的一般方法，从而提高学生的一般解题能力，对那些带规律性、全局性和运用面广的方法，应花大力气，深入研究，务必使学生理解深刻，掌握透彻。只有这样才能得到“做一题，学一法，会一类，通一片”的功效，从而为大面积提高高考数学复习质量奠定坚实的基础。
五、重视数学思想方法的指引。数学思想方法是对数学知识内容及其所使用的方法的本质认识，它蕴涵于具体的内容与方法之中，又经过提炼与概括，成为理性认识，它直接支配数学教学的实践活动，数学概念的掌握、数学理论的建立、解题方法的运用、具体问题的解决，无一不是数学思想方法的体现与应用。数学思想方法是数学学科的精髓和灵魂，常用数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想等。
六、从近几年高考数学评卷情况来看，大部分考生对基础知识、基本技能掌握较好，文、理平均分比较稳定。存在主要问题有：数学语言的表述不严谨，数学方法与数学思想的运用不够灵活，使用数学知识解决实际问题的能力较薄弱，如2018年全国卷理科20题，很多考生不能从实际问题的背景材料中提取有效的数据信息．因此，在教学过程中要高度重视独立思考、逻辑推理、数学应用、数学阅读和表达等关键能力的培养，特别重视运用数学方法解决实际问题的教学。
七、不要盲目追求题量，而应注重引导学生经历数学知识的发生过程，以及问题的发现、提出、分析和解决的全过程，充分挖掘典型问题的内在价值与迁移功能，培养学生思维的灵活性与创新性。
八、要充分利用高三的各种形式的考试和练习，优化答题策略、思考答题技巧，培养好的答题习惯和
书写习惯。特别要重视文字语言，数学语言及文字表术，规范性书写等细节，在细节中取成绩。
九、补充数学发展历史，增厚数学文化底蕴。高考数学要求重视“数学文化”教学。近些年高考已经考了秦九韶多项式求值算法和《九章算术》中的“更相减损术”和古希腊数学。我们要积极挖掘这方面的数学文化背景与高中数学知识的内在联系。可以参考《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《夏侯阳算经》、《缀术》、《张丘建算经》、《五曹算经》、《五经算术》、《缉古算经》等算经十书及《四元玉鉴》、《算学启蒙》、《数书九章》、《测圆海镜》等古典数学名著，从中选取与高中数学有密切联系的具有代表性的案例，每周挤出一小节时间，让学生感受中国古代数学文化历史背景，进一步体会中国古代数学文化之精髓。
嵌套函数，就是指在某些情况下，您可能需要将某函数作为另一函数的参数使用，这一函数就是嵌套函数.一般地，对于定义在区间D 上的函数()y f x =（1）若存在0x D ∈,使得00()f x x =,则称0x 是函数()y f x =的一阶不动点,简称不动点；（2）若存在0x D ∈,使
,则称0x 是函数()y f x =的二阶不动点,
简称稳定点.
类型一 嵌套函数中不动点稳定点问题
典例1
，.
（1）求证：A B ?；
（2）若，且A B =≠?，求实数a 的取值范围； （3）若()f x 是R 上的单调递增函数，0x 是函数的稳定点，问0x 是函数的不动点吗？
若是，请证明你的结论；若不是，请说明的理由.
【答案】（1）见解析（2）13,44??-???
?（3）是 【解析】解：（1）若A =?，则A B ?显然成立；若A ≠?，设t A ∈，
，t B ∴∈，故A B ?.
（2）有实根，14a ∴≥-.又A B ?，所以，
即
的左边有因式21ax x --， 从而有.
A B =，要么没有实根，要么实根是方程
的根. 若没有实根，则34a <； 若
有实根且实根是方程的根，则由方， 得，代入，有210ax +=.由此解得12x a =-， 再代入得，由此34a =，故a 的取值范围是13,44??-????
. （3）由题意：x 0是函数的稳定点, 则，
① 若00)(x x f >，)(x f 是R 上的单调增函数，
则，所以)(00x f x >，矛盾.
② 若)(00x f x >，)(x f 是R 上的单调增函数，则
，所以00)(x x f >，矛盾 故00)(x x f =， 所以x 0是函数的不动点.
类型二 嵌套函数中零点个数问题
典例2若函数有极值点1x ，2x ，且()11f x x =，则关于x 的方程
的不同实根的个数是_____.学_科网
【答案】3
【解析】函数有极值点1x ，2x ，说明方程的两根为1x ，2x ，∴方程的解为1()f x x =或2()f x x =，若12x x <，即1x 是极大值点，2x 是
极小值点，由于()11f x x =，∴1x 是极大值，1()f x x =有两解，12x x <，
只有一解，∴此时只有3解，若12x x >，即1x 是极小值点，2x 是极大值点，由于()11f x x =，∴1x 是极小值，1()f x x =