2015-2016学年新疆生产建设兵团九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）
1．一个不透明的盒子中装有2个红球和1个白球，它们除颜色外都相同．若从中任意摸出一个球，则下列叙述正确的是（）
A．摸到红球是必然事件
B．摸到白球是不可能事件
C．摸到红球比摸到白球的可能性相等
D．摸到红球比摸到白球的可能性大
2．圆内接四边形ABCD中，已知∠A=70°，则∠C=（）
A．20° B．30°C．70°D．110°
3．若关于x的方程2x2﹣ax+a﹣2=0有两个相等的实根，则a的值是（）
A．﹣4 B．4 C．4或﹣4 D．2
4．二次函数y=﹣x2+2x+4的最大值为（）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣1，﹣2），将OA绕原点O逆时针旋转180°得到OA′，点A′的坐标为（a，b），则a﹣b等于（）
A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3
6．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标为（1，4），（5，4），（1，﹣2），则△ABC外接圆的圆心坐标是（）
A．（2，3）B．（3，2）C．（1，3）D．（3，1）
7．若c（c≠0）为关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的根，则c+b的值为（）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
8．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，以AB边所在的直线为轴，将△ABC旋转一周，则所得几何体的表面积是（）
A．πB．24π C．πD．12π
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
9．小红有一个正方体玩具，6个面上分别画有线段、角、平行四边形、圆、菱形和等边三角形这6个图形．抛掷这个正方体一次，向上一面的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是_______．
10．某农牧区学校宿舍改造工程初见成效，2013年市政府对农牧区校舍改造的投入资金是5786万元，到2015年的投入资金是8058.9万元，若设这两年投入农牧区校舍改造资金的年平均增长率为x，则根据题意可列方程为_______．
11．如图，在⊙O中，AB、AC是互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、E，若AC=2cm，则⊙O的半径为_______cm．
12．如图，△ABC为等边三角形，D为△ABC内一点，且AD=3.2cm，BD=2.9cm，△ABD经过旋转后到达△ACP的位置，则点D到点P的距离是_______．
13．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则出现两个正面朝上的概率是_______．
14．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，顶点C的纵坐标为﹣2，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线y=a1x2+b1x+c1，则下列结论正确的是_______．（写出所有正确结论的序号）
①b＞0
②a﹣b+c＜0
③阴影部分的面积为4
④若c=﹣1，则b2=4a．
三、解答题（共8小题，满分50分）
15．解下列方程
（1）x2+x﹣1=0
（2）x（x﹣2）+x﹣2=0．
16．如图，△AOB是等边三角形，且B（2，0），OC是AB边的中线，将△AOB绕点O逆时针旋转120°得到△A1OB1．
（1）B1的坐标是_______（直接写出结果即可）；
（2）请画出将△A1OB1绕点O逆时针旋转120°得到的△A2OB2，并按图形旋转规律画出阴影部分；
（3）计算点B旋转到点B1所经过的弧形路线长（结果保留π）．
17．宝宝和贝贝是一对双胞胎，他们参加奥运志愿者选拔并与甲、乙、丙三人都进入了前5名．现从这5名入选者中确定2名作为志愿者．试用画树形图或列表的方法求出：
（1）宝宝和贝贝同时入选的概率；
（2）宝宝和贝贝至少有一人入选的概率．
18．某小区规划在一块长32米，宽20米的矩形场地修建三条同样宽的小路，使其中两条平行，另一条与之垂直，其余部分种草，草坪的面积为570米2，小路的宽度应是多少？
19．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点M，MN⊥AC于点N．
求证：MN是⊙O的切线．
20．已知二次函数y=﹣x2+2x+3
（1）求函数图象的顶点坐标和图象与x轴的交点坐标；
（2）自变量x在什么范围内，y随x的增大而减小？
21．为了响应政府提出的由中国制造向中国创造转型的号召，某公司自主设计了一款成本为40元的可控温杯，并投放市场进行试销售，经过调查发现该产品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系：y=﹣10x+1200．
（1）求出利润S（元）与销售单价x（元）之间的关系式（利润=销售额﹣成本）；
（2）当销售单价定为多少时，该公司每天获取的利润最大？最大利润是多少元？
22．已知二次函数y=x2+bx+c的图象过点A（﹣3，0）和点B（1，0），且与y轴交于点C，D点在抛物线上且横坐标是﹣2．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴上有一动点P，求出PA+PD的最小值．
2015-2016学年新疆生产建设兵团九年级（上）期末数学
试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）
1．一个不透明的盒子中装有2个红球和1个白球，它们除颜色外都相同．若从中任意摸出一个球，则下列叙述正确的是（）
A．摸到红球是必然事件
B．摸到白球是不可能事件
C．摸到红球比摸到白球的可能性相等
D．摸到红球比摸到白球的可能性大
【考点】可能性的大小；随机事件．
【分析】利用随机事件的概念，以及个数最多的就得到可能性最大分别分析即可．
【解答】解：A．摸到红球是随机事件，故A选项错误；
B．摸到白球是随机事件，故B选项错误；
C．摸到红球比摸到白球的可能性相等，
根据不透明的盒子中装有2个红球和1个白球，得出摸到红球比摸到白球的可能性大，故C 选项错误；
D．根据不透明的盒子中装有2个红球和1个白球，得出摸到红球比摸到白球的可能性大，故D选项正确；
故选：D．
2．圆内接四边形ABCD中，已知∠A=70°，则∠C=（）
A．20° B．30°C．70°D．110°
【考点】圆内接四边形的性质．
【分析】直接根据圆内接四边形的性质求解．
【解答】解：∵四边形ABCD为圆的内接四边形，
∴∠A+∠C=180°，
∴∠C=180°﹣70°=110°．
故选D．
3．若关于x的方程2x2﹣ax+a﹣2=0有两个相等的实根，则a的值是（）
A．﹣4 B．4 C．4或﹣4 D．2
【考点】根的判别式．
【分析】根据△的意义由题意得△=0，即（﹣a）2﹣4×2×（a﹣2）=0，整理得a2﹣
8a+16=0，然后解关于a的一元二次方程即可．
【解答】解：∵关于x的方程2x2﹣ax+a﹣2=0有两个相等的实根，
∴△=0，即（﹣a）2﹣4×2×（a﹣2）=0，整理得a2﹣8a+16=0，
∴a1=a2=4．
故选B．
4．二次函数y=﹣x2+2x+4的最大值为（）
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】二次函数的最值．
【分析】先利用配方法得到y=﹣（x﹣1）2+5，然后根据二次函数的最值问题求解．
【解答】解：y=﹣（x﹣1）2+5，
∵a=﹣1＜0，
∴当x=1时，y有最大值，最大值为5．
故选：C．
5．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣1，﹣2），将OA绕原点O逆时针旋转180°得到OA′，点A′的坐标为（a，b），则a﹣b等于（）
A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3
【考点】坐标与图形变化-旋转．
【分析】由条件可知A点和A′点关于原点对称，从而可求得a、b的值，可求得答案．
【解答】解：
∵将OA绕原点O逆时针旋转180°得到OA′，
∴A点和A′点关于原点对称，
∵A（﹣1，﹣2），
∴A′（1，2），
∴a=1，b=2，
∴a﹣b=1﹣2=﹣1，
故选B．
6．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标为（1，4），（5，4），（1，﹣2），则△ABC外接圆的圆心坐标是（）
A．（2，3）B．（3，2）C．（1，3）D．（3，1）
【考点】三角形的外接圆与外心；坐标与图形性质．
【分析】由已知点的坐标得出△ABC为直角三角形，∠BAC=90°，得出△ABC的外接圆的圆心是斜边BC的中点，即可得出结果．
【解答】解：如图所示：
∵点A，B，C的坐标为（1，4），（5，4），（1，﹣2），
∴△ABC为直角三角形，∠BAC=90°，
∴△ABC的外接圆的圆心是斜边BC的中点，
∴△ABC外接圆的圆心坐标是（，），
即（3，1）．
故选：D．
7．若c（c≠0）为关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的根，则c+b的值为（）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【考点】一元二次方程的解．
【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
【解答】解：把x=c代入方程x2+bx+c=0，可得
c2+bc+c=，0即c（b+c）+c=0，
c（b+c+1）=0，
又∵c≠0，
∴b+c+1=0，
∴c+b=﹣1．
故选B．
8．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，以AB边所在的直线为轴，将△ABC旋转一周，则所得几何体的表面积是（）
A．πB．24π C．πD．12π
【考点】圆锥的计算．
【分析】易得此几何体为两个圆锥的组合体，那么表面积为两个圆锥的侧面积，应先利用勾股定理求得AB长，进而求得圆锥的底面半径．利用圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2求解即可．
【解答】解：AC=4，BC=3，由勾股定理得，AB=5，斜边上的高=，
由几何体是由两个圆锥组成，∴几何体的表面积=×2×π×（3+4）=π，故选C．
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
9．小红有一个正方体玩具，6个面上分别画有线段、角、平行四边形、圆、菱形和等边三角形这6个图形．抛掷这个正方体一次，向上一面的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的
概率是．
【考点】概率公式；轴对称图形；中心对称图形．
【分析】从六个图形中找到既是轴对称又是中心对称的图形，利用概率公式求解即可．
【解答】解：∵抛掷这个正方体一次，线段、角、平行四边形、圆、菱形和等边三角形这6个图形出现的机会相同，6个图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的有线段、圆和菱形3个．
∴抛掷这个正方体一次，向上一面的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是
=．
故答案为：．
10．某农牧区学校宿舍改造工程初见成效，2013年市政府对农牧区校舍改造的投入资金是5786万元，到2015年的投入资金是8058.9万元，若设这两年投入农牧区校舍改造资金的年平均增长率为x ，则根据题意可列方程为 5786（1+x ）2=8058.9 ． 【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【分析】因两年投入农牧区校舍改造资金的年平均增长率为x ，则2014年投入资金是5786（1+x ），2015年的投入资金是5786（1+x ）2，所以可以列出方程． 【解答】解：设两年投入农牧区校舍改造资金的年平均增长率为x ， 则2014年投入资金是5786（1+x ）， 2015年的投入资金是5786（1+x ）2，
所以可以列出方程：5786（1+x ）2=8058.9． 故答案为：5786（1+x ）2=8058.9．
11．如图，在⊙O 中，AB 、AC 是互相垂直且相等的两条弦，OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，垂足分别
为D 、E ，若AC=2cm ，则⊙O 的半径为 cm ．
【考点】垂径定理．
【分析】易证ADOE 为正方形，且边长为1，对角线AO 的长即为半径． 【解答】解：∵OD ⊥AB ，
∴AD=BD=AB ．
同理AE=CE=AC ．
∵AB=AC ，∴AD=AE ．
连接OA ，∵OD ⊥AB OE ⊥AC AB ⊥AC ， ∴∠OEA=∠A=∠ODA=90°， ∴ADOE 为矩形．
又∵AD=AE ，∴ADOE 为正方形，
∴OA=
=（cm ）．
12．如图，△ABC为等边三角形，D为△ABC内一点，且AD=3.2cm，BD=2.9cm，△ABD经过旋转后到达△ACP的位置，则点D到点P的距离是 3.2cm．
【考点】旋转的性质；等边三角形的性质．
【分析】先利用等边三角形的性质得∠BAC=60°，再根据旋转的性质得AD=AP，∠DAP=∠BAC=60°，则可判断△ADP为等边三角形，然后根据等边三角形的性质得到DP的长即可．【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∵△ABD经过旋转后到达△ACP的位置，
∴AD=AP，∠DAP=∠BAC=60°，
∴△ADP为等边三角形，
∴DP=AD=3.2cm，
即点D到点P的距离是3.2cm．
故答案为3.2cm．
13．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则出现两个正面朝上的概率是．
【考点】列表法与树状图法．
【分析】首先利用列举法可得：同时抛掷两枚质地均匀的硬币，等可能的结果有：正正，正反，反正，反反；然后直接利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：解：∵同时抛掷两枚质地均匀的硬币，等可能的结果有：正正，正反，反正，反反；
∴出现两个正面朝上的概率是：，
故答案为：．
14．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，顶点C的纵坐标为﹣2，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线y=a1x2+b1x+c1，则下列结论正确的是③④．（写出所有正确结论的序号）
①b＞0
②a﹣b+c＜0
③阴影部分的面积为4
④若c=﹣1，则b2=4a．
【考点】二次函数图象与几何变换；二次函数图象与系数的关系．
【分析】①首先根据抛物线开口向上，可得a＞0；然后根据对称轴为x=﹣＞0，可得b＜0，据此判断即可．
②根据抛物线y=ax2+bx+c的图象，可得x=﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0，据此判断即可．
③首先判断出阴影部分是一个平行四边形，然后根据平行四边形的面积=底×高，求出阴影部分的面积是多少即可．
④根据函数的最小值是，判断出c=﹣1时，a、b的关系即可．
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
又∵对称轴为x=﹣＞0，
∴b＜0，
∴结论①不正确；
∵x=﹣1时，y＞0，
∴a﹣b+c＞0，
∴结论②不正确；
∵抛物线向右平移了2个单位，
∴平行四边形的底是2，
∵函数y=ax2+bx+c的最小值是y=﹣2，
∴平行四边形的高是2，
∴阴影部分的面积是：2×2=4，
∴结论③正确；
∵，c=﹣1，
∴b2=4a，
∴结论④正确．
综上，结论正确的是：③④．
故答案为：③④．
三、解答题（共8小题，满分50分）
15．解下列方程
（1）x2+x﹣1=0
（2）x（x﹣2）+x﹣2=0．
【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-公式法．
【分析】（1）利用公式法解方程；
（2）利用因式分解法解方程．
【解答】解：（1）△=12﹣4×1×（﹣1）=5，