第七章 平面向量
7.1 向量的基本概念及表示
现实生活中，有些量在有了测定单位之后只需用一个实数就可以表示，例如温度，时间，面积，这些只需用一个实数就可以表示的量叫作标量．还有些量不能只用一个实数表示，例如位移，力，速度等既有大小又有方向的量，这些既有大小又有方向的量叫作向量．向量既有大小又有方向，因此向量不能比较大小．
数学中常用平面内带有箭头的线段来表示平面向量．以线段的长来表示向量的大小：以箭头所指的方
向（即从始点到终点的方向）来表示向量的方向．一般地，以点P 为始点，点Q 为终点的向量记作PQ
．为书写简便，在不强调向量的起点与终点时，向量也可以用一个小写的字母并在上面画一个小箭头来表
示，如a ．PQ 的大小叫作PQ 的模，记作PQ
，类似地，a 的模记作a ． 1．零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作0 ；0
的方向是任意的．
2．单位向量：长度为1的向量叫做单位向量．
3．平行向量：方向相同或相反的向量叫做平行向量（也叫共线向量）． 4．相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．
5．负向量：与a 的模相等，方向相反的向量叫作a 的负向量，记作a - ．我们规定：0
的相反向量仍是零向量．易知对任意向量a 有()
a a --=
．
向量共线与表示它们的有向线段共线不同：向量共线时表示向量的有向线段可以是平行的，不一定在一条直线上；而有向线段共线则线段必须在同一条直线上．规定。与任一向量平行．
图7-1
图7-1三个向量a 、b 、c 所在的直线平行，易知这三个向量平行，记作a b c
∥∥，我们也可以称这三
个向量共线．
例l ．如图7-2所示，128A A A 、是O 上的八个等分点，则在以128A A A 、及圆O 九个点中任意两点为起点与终点的向量中，模等于半径的向量有多少?
?
A 8
A 7
A 6
A 5A 4
A 3
A 2A 1
图7-2
解：（1）模等于半径的向量只有两类，一类是()128i OA i = 、共8个；另一类是()128i
AO i =
、也有8个．两类合计16个．
（2）以128A A A 、为顶点的O 的内接正方形有两个，一个是正方形1257A A A A ；另一个是正方形2468A A A A ．在题中所述的向量中，只有这两个正方形的边（看成有向线段，每一边对应两个向量）的
√2倍的向量共有42216??＝个．
注意：（1）在模等于半径的向量个数的计算中，要计算i OA 与()128i
AO i = 、两类．一般地我们易想到()128i OA i = 、这8个，而易遗漏()128i
AO i = 、这8个． （2
13A A 对应向量13A A 与31A A
，因此与（1）一样，在解题过程中主要要防止漏算．认为满足条件的向量个数为8是错误的． 例2．在平面中下列各种情形中，将各向量的终点的集会分别构成什么图形? （1）把所有单位向量的起点平移到同一点O ．
（2）把平行于直线l 的所有单位向量的起点平移到直线l 上的p 点． （3）把平行于直线l 的所有向量的起点平移到直线l 的点p ． 解：（1）以点O 为圆心，l 为半径的圆．
（2）直线l 上与点p 的距离为1个长度单位的两个点．
（3）直线l ．
例3．判断下列命题的真假：
①直角坐标系中坐标轴的非负轴都是向量； ②两个向量平行是两个向量相等的必要条件；
③向量AP 与CD
是共线向量，则A 、B 、C 、D 必在同一直线上； ④向量a 与向量b 平行，则a 与b
的方向相同或相反； ⑤四边形ABCD 是平行四边形的宽要条件是
AB DC =
． 解：①直角坐标系中坐标轴的非负半轴，虽有方向之别，但无大小之分，故命题是错误的．
②由于两个向量相等，必知这两个向量的方向与长度均一致，故这两个向量一定平行，所以，此命题正确；
③不正确．AB 与CD
共线，可以有AB 与CD 平行；
2 ? ? 2 河北省衡水中学 2018 高三第一次模拟理科数学试题 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 1. 设全集为实数集 R ， M x 2 ， N x 1 x ，则图中阴影部分表示的集合是 ( ) A ． {x -2 ≤ x < 1} B ． {x -2 ≤ x ≤ 2 } C ． {x 1 < x ≤ 2} D ． {x x < 2} 2. 设 a ∈ R , i 是虚数单位，则“ a = 1 ”是“ a + i 为纯虚数”的（ ） a - i A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 3．若{a n } 是等差数列，首项 a 1 > 0, a 2011 + a 2012 > 0 ， a 2011 ? a 2012 和 S n > 0 成立的最大正整数 n 是（ ） A ．2011 B ．2012 C ．4022 D ．4023 < 0 ，则使前 n 项 4. 在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标显示疫情已受控制，以便向该地区居众显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续 7 天每天新增感染人数不超过 5 人”， 根据连续 7 天的新增病例数计算，下列各选项中，一定符合上述指标的是（ ） ①平均数 x ≤ 3 ；②标准差 S ≤ 2 ；③平均数 x ≤ 3 且标准差 S ≤ 2 ； ④平均数 x ≤ 3 且极差小于或等于 2；⑤众数等于 1 且极差小于或等于 1。 A ．①② B ．③④ C ．③④⑤ D ．④⑤ 5. 在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1 中，对角线 B 1D 与平面A 1BC 1 相交于点E ，则点 E 为△A 1BC 1 的（ ） A ．垂心 B ．内心 C ．外心 D ．重心 ?3x - y - 6 ≤ 0, 6.设 x , y 满足约束条件 ? x - y + 2 ≥ 0, ?x , y ≥ 0, a 2 + b 2 的最小值是（ ） 若目标函数 z = ax + b y (a , b > 0) 的最大值是 12，则 A. 6 13 B. 36 5 C. 6 5 D. 36 13 7.已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为 （ ） A ．16 B ．4 C ．8 D ．2 8．已知函数 f ( x ) = 2 s in( x +) (ω > 0, -π < ? < π) 图像 的一部分（如图所示），则ω 与? 的值分别为（ ） A ． 11 , - 5π B ． 1, - 2π C ． 7 , - π D ． 10 6 4 , - π 5 3 3 10 6 9. 双曲线 C 的左右焦点分别为 F 1, F 2 ,且 F 恰为抛物线 y 2 = 4x 的焦点,设双 曲线C 与该抛物线的一个交点为 A ,若 ?AF 1F 2 是以 AF 1 为底边的等腰三角形, 则双曲线C 的离心率为（ ） A ． B ．1 + C ．1 + D ． 2 + 10. 已知函数 f (x ) 是定义在 R 上的奇函数，若对于任意给定的不等实数 x 1, x 2 ，不等式 2 3 3 1
高中数学函数知识点梳理 1. .函数的单调性 (1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈?那么 []1212()()()0x x f x f x -->? []b a x f x x x f x f ,)(0)()(2 121在?>--上是增函数； []1212()()()0x x f x f x --'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数. 注：如果函数)(x f 和)(x g 都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(x g x f +也是减函数;如果函数)(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)]([x g f y =是增函数. 2. 奇偶函数的图象特征 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数． 注：若函数)(x f y =是偶函数，则)()(a x f a x f --=+；若函数)(a x f y +=是偶函数，则)()(a x f a x f +-=+. 注：对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是函数2b a x +=;两个函数)(a x f y +=与)(x b f y -= 的图象关于直线2 b a x +=对称. 注：若)()(a x f x f +--=,则函数)(x f y =的图象关于点)0,2 (a 对称;若)()(a x f x f +-=,则函数)(x f y =为周期为a 2的周期函数. 3. 多项式函数110()n n n n P x a x a x a --=+++的奇偶性 多项式函数()P x 是奇函数?()P x 的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数()P x 是偶函数?()P x 的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 23.函数()y f x =的图象的对称性 (1)函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ?+=- (2)()f a x f x ?-=. (2)函数()y f x =的图象关于直线2 a b x +=对称()()f a mx f b mx ?+=- ()()f a b mx f mx ?+-=. 4. 两个函数图象的对称性 (1)函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称. (2)函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a b x m += 对称. (3)函数)(x f y =和)(1x f y -=的图象关于直线y=x 对称. 25.若将函数)(x f y =的图象右移a 、上移b 个单位，得到函数b a x f y +-=)(的图
6．函数的单调性 黄文辉 学习目标 1．理解函数的单调性，体会怎样由图象语言、文字语言的自然描述转化到数学符号语言描述函数的单调性． 2．能差别或证明一些简单的单调性． 3．能够通过图象来判断单调性和单调区间． 4．理解最大（小）值及其几何意义． 5．掌握一次、二次函数、反比例函数的单调性． 一、夯实基础 基础梳理 2．单调性与单调区间 如果函数() y f x =在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数() y f x =在这一区间具有单调性，区间D叫做() y f x =的__________． 3．题型分析 （1）用定义证明（判断）函数的单调性；（2）求函数的单调区间；（3）利用函数的单调性求参数的取值范围． 基础达标 1．给出函数：①()1 f x ax =+；② 1 () f x x =-；③2 ()(1) f x a x =+；④2 ()23 f x x x =+-， [] 02 x∈，，其中在其定义域上是增函数的函数的个数是（） A．0 B．1 C．2 D．3 2．已知函数() y f x =满足条件：(2)(1)(1)(0) f f f f ->--< ，，则关于这一函数正确的说法是（）
A ．函数()y f x =在区间[]21--， 上单调递减，在区间[]10-，上单调递增 B ．函数()y f x =在区间[]21--， 上单调递减，在区间[]10-，上单调递减 C ．函数()y f x =在区间[]20-， 上的最小值是(1)f - D ．函数()y f x =在区间[]21--， 上一定不单调递增，在区间[]10-，上一定不单递减 3．函数()f x 是定义在R 上单调递减函数，且过点(32)-，和(12)-，，根据函数()f x 的图象，可以得知不等式()2f x <的解集是（ ） A ．(3)-+∞， B ．(31)-， C ．(1]-∞， D ．()-∞+∞， 4．解决下列问题： （1）函数2()2(1)2f x x a x =+-+在区间[4)+∞，上是增函数，则实数a 的取值范围是__________． （2）根据函数265y x x =-+的图象，写出其单调递增区间是__________． （3）根据函数121y x x x =+-+-的图象，写出其单调递减区间是__________． 5．根据最大值的定义，证明1 ()f x x x =+((0))x ∈-∞，的最大值为2-， 写出取最大值时的x ． 二、学习指引 自主探究 1．下列函数哪几个函数在给定的区间内任意取两个自变量12x x ，，当12x x <时，都有12()()f x f x <？ （1）y x =，(12]x ∈-，； （2）2[0)y x x =∈+∞，， ； （3）3 y x =- ，(0)x ∈-∞，； （4）310()20x x y x x x +?=∈-∞+∞? +>? ，， ，，≤； （5）3 (15)y x x = ∈，，； （6）23020x x y x x ?+=?-+>? ，， ，≤()x ∈-∞+∞，． 2．（1）根据函数单调性定义，在观察函数的图象基础上，请写出一次函数(0)y kx b k =+≠、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠有的单调区间．
河北衡水中学2019高三第一次调研考试--数学（文） 高三年级数学试卷〔文科〕 本试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷(非选择题)两部分。第一卷共2页，第二卷共2页。 共150分。考试时间120分钟。 第一卷〔选择题 共60分〕 一、 选择题〔每题5分，共60分。每题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的 序号填涂在答题卡上〕 A 假设q 那么pB 假设?p 那么?qC 假设q ?那么p ?D 假设p 那么q ? 2假设集合{} 0A x x =≥，且A B B =，那么集合B 可能是〔〕 A 、 {}1,2 B.{}1x x ≤ C.{}1,0,1- D.R 3等差数列}a {n 中，前15项的和90S 15=，那么8a 等于〔〕、 A 、245 B 、 6 C 、4 45 D 、12 4()f x 在R 上是奇函数，且)()2(x f x f -=+2(4)),(0,2)()2,(7)f x f x f x x f +=∈==当时，则 () A.2- B.2 C.98- D.98 5函数 ???≤->-=) 0(1) 0(log )(2 2x x x x x f ，那么不等式0)(>x f 的解集为〔〕 A.}10|{<
深圳中学2021届高三数学达标测试（6） 一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分.每个小题仅有一个答案是正确的） 1．设集合{ln A x x =≤∣，{|6}B x x =≤，则A B =（ ） A ．{}|03x x <≤ B ．{}|6x x ≤ C ．{}|06x x <≤ D ．{|36}x x ≤≤ 2．已知e 为自然对数的底数，又lg0.5a =，0.5b e =，0.5e c =，则（ ） A ．a b c << B ．a c b << C ．c a b << D ．b c a << 3．已知函数()3 21213 f x ax ax x =+++在R 上为增函数，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[)0,+∞ B ．()0,2 C ．[]0,2 D ．[)0,2 4．函数()sin ()x x e e x f x x --=的部分图象大致是（ ） A ． B ． C ． D ． 5．已知函数()2 2f x x m =-，()3ln g x x x =-，若()y f x =与()y g x =在公共点处的切线相同， 则m =（ ） A ．3- B ．1 C ．2 D ．5 6．已知函数()()()()()()12345f x x x x x x =-----，则曲线()y f x =在点()3,0处的切线方程为（ ） A ．412y x =+ B ．412y x =-+ C ．412y x =-- D ．412y x =-
7．已知函数()()1sin 02f x x x ωωω=->，若()f x 在π3π,22?? ???上无零点，则ω的取值范围 是（ ） A ．280,,9 9????+∞ ?? ?? ??? B ．2280,,939????? ??????? C ．280,,199????? ??????? D ．[)28,991,?? ??∞ ?+ 8．在ABC ?sin sin A B C +的最大值为（ ） A 12 B ．2 C D 二、多项选择题：（共4小题，每小题5分，共20分.全部选对5分，对而不全3分，若错选，则0分） 9．已知函数()cos f x x x =+，下列说法正确的是（ ） A ．()f x 的最小正周期为π B ．()f x 1 C ．()f x 在区间2,33ππ?? ? ??? 上为减函数 D ． 56 π 为()f x 的一个零点 10．对于?ABC ，有如下命题，其中正确的有（ ） A ．若sin 2sin 2A B =，则ABC 为等腰三角形 B ．若sin cos A B =，则ABC 为直角三角形 C ．若222sin sin cos 1A B C ++<，则ABC 为钝角三角形 D ．若AB =1AC =，30B =?，则ABC
衡水中学2020—2021学年度上学期高三年级七调考试 文数试卷 本试卷共4页，23题（含选考题）．全卷满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑．答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域无效． 5．考试结束一定时间后，通过扫描二维码查看讲解试题的视频． 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于实轴对称，123z i =+，则 2 1 13z z =（ ） A ．112i - B ．131255 i - + C ．512i -+ D ．512i -- 2．已知集合{}M a =，{40}N x ax =-=∣，若M N N =，则实数a 的值是（ ） A ．2 B ．2- C ．2或2- D ．0，2或2- 3．已知直线210x y --=的倾斜角为α，则 2 1tan 2tan 2 α α -=（ ） A ．14 - B ．1- C ．1 4 D ．1 4．由我国引领的5G 时代已经到来，5G 的发展将直接带动包括运营、制造、服务在内的通信行业整体的快速发展，进而对GDP 增长产生直接贡献，并通过产业间的关联效应和波及效应，间接带动国民经济各行业的发展，创造出更多的经济增加值．如图是某单位结合近年数据，对今后几年的5G 经济产出所作的预测．结合图，下列说法不正确的是（ ） A ．5G 的发展带动今后几年的总经济产出逐年增加 B ．设备制造商的经济产出前期增长较快，后期放缓
河北省衡水中学2018高三第一次模拟理科数学试题 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1．设全集为实数集R ，{} 24M x x =>，{} 13N x x =<≤，则图中阴影部分表示的集合是( ) A ．{}21x x -≤< B ．{}22x x -≤≤ C ．{}12x x <≤ D ．{}2x x < 2．设,a R i ∈是虚数单位，则“1a =”是“ a i a i +-为纯虚数”的（ ） A.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 3．若{}n a 是等差数列，首项10,a >201120120a a +>，201120120a a ?<，则使前n 项和0n S >成立的最大正整数n 是（ ） A ．2011 B ．2012 C ．4022 D ．4023 4. 在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标显示疫情已受控制，以便向该地区居众显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，根据连续天的新增病例数计算，下列各选项中，一定符合上述指标的是（ ） ①平均数3x ≤；②标准差2S ≤；③平均数3x ≤且标准差2S ≤； ④平均数3x ≤且极差小于或等于2；⑤众数等于1且极差小于或等于1。 A C ．③④⑤D ．④⑤ 5. 在长方体ABCD —A 1 B 1 C 1 D 1中，对角线B 1D 与平面A 1BC 1相交于点 E ，则点E 为△A 1BC 1的（ ） A ．垂心 B ．内心 C ．外心 D ．重心 6.设y x ,满足约束条件?? ? ??≥≥+-≤--,0,,02,063y x y x y x 若目标函数y b ax z +=)0,(>b a 的最大值是12，则 22a b +的最小值是（ ） A ．613 B ． 365 C ．65 D ．3613 （ ） A ．16π B ．4π C ．8π D ．2π 8．已知函数()2sin()f x x =+ω?(0,)ω>-π
【最新整理，下载后即可编辑】 河北衡水中学2016-2017学年度 高三下学期数学第三次摸底考试（理科） 必考部分 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则集合等于（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】,选D. 2. ，若，则等于（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】设,则 ,选A. 点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如 . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为
3. 数列为正项等比数列，若，且，则此数列的前5项和等于（） A. B. 41 C. D. 【答案】A 【解析】因为，所以 ，选A. 4. 已知、分别是双曲线的左、右焦点，以线段为边作正三角形，如果线段的中点在双曲线的渐近线上，则该双曲线的离心率等于（） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】由题意得渐近线斜率为，即，选D. 5. 在中，“”是“”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】时，，所以必要性成立；时， ，所以充分性不成立，选B. 6. 已知二次函数的两个零点分别在区间和内，则 的取值范围是（） A. B. C. D.
【答案】A学|科|网... 【解析】由题意得，可行域如图三角形内部（不包括三角形边界，其中三角形三顶点为）： ，而，所以直线过C取最大值， 过B点取最小值，的取值范围是，选A. 点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得. 7. 如图，一个简单几何体的正视图和侧视图都是边长为2的等边三角形，若该简单几何体的体积是，则其底面周长为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由题意，几何体为锥体，高为正三角形的高，因此底面积为，即底面为等腰直角三角形，直角边长为2，周长为，选C.
河北衡水中学2017—2018学年度第一学期高三模拟考试 数学试卷（理科） 一、选择题（每小题5分，共60分.下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上） 1.设集合2{|log (2)}A x y x ==-，2{|320}B x x x =-+<，则A C B =（ ） A ．(,1)-∞ B ．(,1]-∞ C ．(2,)+∞ D ．[2,)+∞ 2.在复平面内，复数 2332i z i -++对应的点的坐标为(2,2)-，则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3.已知ABC ?中，sin 2sin cos 0A B C += c =，则tan A 的值是（ ） A ． 3 B ．3 C ．3 4.设{(,)|0,01}A x y x m y =<<<<，s 为(1)n e +的展开式的第一项（e 为自然对数的底数） ， m ，若任取(,)a b A ∈，则满足1ab >的概率是（ ） A ． 2e B ．2e C ．2e e - D ．1 e e - 5.函数4lg x x y x = 的图象大致是（ ） A ． B ． C ． D ． 6.已知一个简单几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为2448π+，则该几何体的表面积为（ ） A ．2448π+ B ．2490π++ C ．4848π+ D ．2466π++7.已知117 17a = ，16log b = 17log c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b a c >> D ．c b a >> 8.执行如下程序框图，则输出结果为（ ） A ．20200 B ．5268.5- C ．5050 D ．5151- 9.如图，设椭圆E ：22 221(0)x y a b a b +=>>的右顶点为A ，右焦点为F ，B 为椭圆在第二象 限上的点，直线BO 交椭圆E 于点C ，若直线BF 平分线段AC 于M ，则椭圆E 的离心率是（ ） A ． 12 B ．23 C ．13 D ．1 4 10.设函数()f x 为定义域为R 的奇函数，且()(2)f x f x =-，当[0,1]x ∈时，()sin f x x =，则函数()cos()()g x x f x π=-在区间59 [,]22 - 上的所有零点的和为（ ） A ．6 B ．7 C ．13 D ．14 11.已知函数2 ()sin 20191 x f x x = ++，其中'()f x 为函数()f x 的导数，求(2018)(2018)f f +-'(2019)'(2019)f f ++-=（ ） A ．2 B ．2019 C ．2018 D ．0 12.已知直线l ：1()y ax a a R =+-∈，若存在实数a 使得一条曲线与直线l 有两个不同的交点，且以这两个交点为端点的线段长度恰好等于a ，则称此曲线为直线l 的“绝对曲线”. 下面给出
13．对数函数的应用 姚亮 学习目标 1．进一步熟悉对数函数与指数函数关系，进一步熟悉对数函数概念、性质． 2．能运用对数函数有关知识解决含有对数符号的函数有关问题． 3．渗透应用意识，初步建立函数思想在方程、不等式中的应用． 一、夯实基础 基础梳理 基础达标 1．已知指函数x y a =图象经过()m n ，点，则对数函数()log a y ax =一定经过点（ ）． A ．()n m ， B ．()m n ， C ．()1m n +， D ．()1n m +， 2．若函数()()log a f x x b =+的大致图象如图所示，其中a b ，为常数，则函数()x g x a b =+的大致图象是（ ）． D. C. B. A. 3．（2011年天津）已知2log 3.4 5a =，4log 3.6 5 b =，3log 0.3 12c ?? = ? ?? 则（ ）． A ．a b c >> B ．b a c >> C ．a c b >> D ．c a b >> 4．函数()12 log 3y x a =-的定义域是23?? +∞ ???，，则a =__________． 5．（2010年湖北）放射性元素由于不断有原子放射微粒子而变成其他元素，其含量不断减 少，这种现象称为衰变，假设在放射性同位素绝137的衰变过程中，其含量M （单位：太贝克）与时间t （单位年）满足函数关系：()30 02t M t M =，其中0M 为0t =时铯137的含量，已知30t =时，铯137含量的变化率是10ln 2-（太贝克/年），则()60M =（ ）． A ．5太贝克 B ．75ln 2太贝克 C ．150ln2太贝克 D ．150太贝克 二、学习指引 自主探究 1．下列是关于指数成长函数、指数衰退函数的实际问题，试着解决它们，并体会对数运算在解决这两类问题中的作和．
河北衡水中学2021届全国高三第一次联合考试 数学 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符题目要求的． 1．设集合A ＝{x |x 2-4x +3≤0}，B ＝{x ∈Z |1＜x ＜5}，则A ∩B ＝ A ．{2} B ．{3} C ．{2，3} D ．{1，2，3} 2．若复数z ＝1-i ，则| |1z z =- A ．1 B C ． D ．4 3．某班级要从6名男生、3名女生中选派6人参加社区宣传活动，如果要求至少有2名女生参加，那么不同的选派方案种数为 A ．19 B ．38 C ．55 D ．65 4．数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，…称为斐波那契数列，是意大利著名数学家斐波那契于1202年在他撰写的《算盘全书》中提出的，该数列的特点是：从第三项起，每一项都等于它前面两项的和在该数列的前2020项中，偶数的个数为 A ．505 B ．673 C ．674 D ．1010 5．已知非零向量a ，b 满足||||a b =，且|||2|a b a b +=-，则a 与b 的夹角为 A ．2π3 B ．π2 C ．π3 D ．π6 6．为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取合并检测法，即将多人的拭子样本合并检测，若为阴性，则可以确定所有样本都是阴性的，若为阳性，则还需要对本组的每个人再做检测．现对20名密切接触者的拭子样本进行合并检测，每份样本的检测结果是阴性还是阳性都是相互独立的，每人检测结果呈阳性的概率为p ，且检测次数的数学期望为20，则p 的值为 A ．12011()20- B ．12111()20- C ．12011()21- D ．121 11()21 - 7．已知未成年男性的体重G （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）的关系可用指数模型G ＝a e bx 来描述，根据大数据统计计算得到a ＝2.004，b ＝0.0197．现有一名未成年男性身高为110 cm ，体重为17.5 kg ，预测当他体重为35 kg 时，身高约为(ln 2≈0.69) A ．155 cm B ．150 cm C ．145 cm D ．135 cm 8．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M 为CC 1的中点，点N 在侧面ADD 1A 1内，若BM ⊥A 1N ．则△ABN 面积的最小值为 A B C ．1 D ．5 二、选择题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9．已知π3cos()55α+=，则3 sin(2π)5 α-= A ．2425- B ．1225- C ．1225 D ．24 25 10．已知抛物线C ：y 2＝4x ，焦点为F ，过焦点的直线l 抛物线C 相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则下列说法一定正确的是 A ．|A B |的最小值为2 B ．线段AB 为直径的圆与直线x ＝-1相切 C ．x 1x 2为定值 D ．若M (-1，0)，则∠AMF ＝∠BMF
河北衡水中学2020年高三第一次教学质量检测 数学试题（理科） （考试时间：120分钟满分：150分） 第Ⅰ卷（满分60分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只一项是符合题目要求的. 1.设集合{}1,2,4A =，{}240B x x x m =-+=．若{}1A B ?=，则B = ( ) A. {}1,3- B. {}1,0 C. {}1,3 D. {}1,5 【答案】C 【解析】 ∵ 集合{}124A ， ，= ，{}2|40B x x x m =-+=，{}1A B =I ∴1x =是方程240x x m -+=的 解，即140m -+= ∴3m = ∴{}{ } {}2 2 |40|43013B x x x m x x x =-+==-+==，，故选C 2.z 是z 的共轭复数，若()2,2(z z z z i i +=-=为虚数单位) ，则z =（ ） A. 1i + B. 1i -- C. 1i -+ D. 1i - 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：设,,,z a bi z a bi a b R =+=-∈，依题意有22,22a b =-=， 故1,1,1a b z i ==-=-. 考点：复数概念及运算． 【易错点晴】在复数的四则运算上,经常由于疏忽而导致计算结果出错.除了加减乘除运算外,有时要结合共轭复数的特征性质和复数模的相关知识,综合起来加以分析.在复数的四则运算中,只对加法和乘法法则给出规定,而把减法、除法定义为加法、乘法的逆运算.复数代数形式的运算类似多项式的运算,加法类似合并同类项;复数的加法满足交换律和结合律,复数代数形式的乘法类似多项式乘以多项式,除法类似分母有理化;用类比的思想学习复数中的运算问题. 3.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下
高中数学总复习（五） 复习内容：高中数学第五章-平面向量 复习范围：第五章 1. 长度相等且方向相同的两个向量是相等的量. 注意：①若b a ,为单位向量，则b a =. （?） 单位向量只表示向量的模为1，并未指明向量的方向. ②若b a =，则a ∥b . （√） 2. ①()a μλ=()a λμ ②()a a a μλμλ+=+ ③() b a b a λλλ+=+ ④设()()R y x b y x a ∈==λ,,,,2211 ()2121,y y x x b a ++=+ ()2121,y y x x b a --=- ()21,y x a λλλ= 2121y y x x b a +=? 2 1 21y x a += （向量的模，针对向量坐标求模） ⑤平面向量的数量积：θcos b a b a ?=? ⑥a b b a ?=? ⑦()() () b a b a b a λλλ?=?=? ⑧()c b c a c b a ?+?=?+ 注意：①()() c b a c b a ??=??不一定成立；c b b a ?=?c a =. ②向量无大小（“大于”、“小于”对向量无意义），向量的模有大小. ③长度为0的向量叫零向量，记0 ，0 与任意向量平行，0 的方向是任意的，零向量与零向量相等，且00 =-. ④若有一个三角形ABC ，则 0；此结论可推广到n 边形. ⑤若a n a m =（R n m ∈,），则有n m =. （?） 当a 等于0 时，0 ==a n a m ，而n m ,不一定相等. ⑥a ·a =2||a ，||a =2a （针对向量非坐标求模） ，||b a ?≤||||b a ?. ⑦当0 ≠a 时，由0=?b a 不能推出0 ≠b ，这是因为任一与a 垂直的非零向量b ，都有a ·b =0. ⑧若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c （×）当b 等于0时，不成立. 3. ①向量b 与非零向量．．．．a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得a b λ=（平行向量或共线向量）. 当,0 λ 与共线同向：当,0 λ与共线反向；当 则为,与任何向量共线. 注意：若,= （×） 若c 是a 的投影，夹角为θ，则c a =?θcos ，=θcos （√） ②设a =()11,y x ，()22,y x b =
2．集合间的基本关系 张长印 学习目标 1．理解集合之间包含与相等的含义． 2．会求给定集合的子集． 3．了解空集的含义． 一、夯实基础 基础梳理 1．子集、集合相等及真子集． （1）子集 （2）集合相等 如果集合A 是集合B 的__________（A B ?），3一集合B 是集合A 的__________()B A ?，此时，集合A 与集合B 中的元素是一样的，因此，集合A 与2集合B 相等，记作__________． （3）真子集 2．空集 （1）定义：不含任何__________的集合叫做空集，记为?． （2）规定：空集是任何集合的__________，即A ??． 3．题型分析 （1）集合间关系的判断；（2）两集合相等；（3）集合间的关系及应用． 基础达标 1．以下式子中，正确的个数为（ ）． ①{}{}1331-=-， ，；②{}012?∈，，；③0∈?；④{}00ü；⑤{}0?ü． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2．设{}4M x x =∈ 3．满足条件{}{}12123445A ?，，，，，，ü的集合A 的个数是__________． 4．（1）设x ，y ∈R ，(){}A x y y x ==，，()1y B x y x ??==???? ，，则A 与B 的关系为__________． （2）{}2A a a =-≤，{} 246B y y x x ==---，则A 与B 的关系为__________． 5．设{}12A x x =<<，{}B x x a =<，若A 真包含于B ，则a 的取值范围是__________． 二、学习指引 自主探究 1．根据子集的定义，解决下列问题： （1）写出*N ，N ，Z ，Q ，R 的包含关系，并用Venn 图表示； （2）判断正误： ①空集没有子集． （ ） ②空集是任何一个集合的真子集． （ ） ③任一集合必有两个或两个以上子集． （ ） ④若B A ?，那么凡不属于集合A 的元素，则必不属于B ． （ ） 2．符号“∈”与“?”有何区别与联系？ 3．（1）“A 包含于B ”等价于“对于任意x A ∈，都有x B ∈”，那么“A 不包含于B ”的等价条件是什么？若A B ?，则A 是由B 中的部分元素所组成的，这种说法对叶绿素？ （2）如果要你证明A B =或证明A B ü，你的思路是什么？ （3）若{}21A x x k k ==+∈Z ，，{}41B x x k k ==±∈Z ，，判断A 、B 是否相等并说明理由． 4．思维拓展： 由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理．．．．（简称归纳）． 请分别写出下列集合()112A i n =，，，的所有子集，写出i A 的子集个数，并归纳推理出n = …… 结论：{}12n n A a a a =， ，，的子集个数为__________．你能否说出其中的道理？ 案例分析 6?设x,y满足约束条件3x y 6 2 0, 0, 若目标函数z ax by (a,b 0)的最大值是12,则x,y 0, a2 b2的最小值是( 6 A.— 13 36 D. 36 13 7.已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为() A . 16 B . 4 &已知函数f x C. 8 D. 2 2sin( x ) ( 0, 的一部分(如图所示)，则与的值分别为( 11 5_ 10’ 6 7 _ 10, 6 )图像 ) 4 _ 5' 3 2 B . 1, 一 双曲线C的左右焦点分别为F1,F2 ,且F2恰为抛物线的焦点,设双曲线C与该抛物线的一 个交点为为底边的等腰三角形，则双曲线C的离心率为( ) A . 10.已知函数f (x)是定义在R上的奇函数，若对于任意给定的不等实数x1,x2，不等式 X1f(xj X2f(X2) X1f(X2)X2f(xJ 恒成立，则不等式f(1 x) 0 的解集为( 9. y2 4x 1 2C. 1 3D. 2 A,若ARF2是以 河北省衡水中学2018高三第一次模拟理科数学试题 12小题，每小题5分，共60分) 3 ，则图中阴影部分表示的集合是 4. 在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标显示疫情已受控制，以便向该地区居众 显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是连续7天每天新增感染人数不超过5人”，根据连续7天的新增病例数计算，下列各选项中，一定符合上述指标的是( ) ①平均数x 3 :②标准差|S 2 :③平均数x 3且标准差S 2 ； ④平均数x 3且极差小于或等于2;⑤众数等于1且极差小于或等于 A .①② B .③④C.③④⑤D .④⑤ 5. 在长方体ABCD —A1B1C1D1中，对角线B1D与平面A1BC1相交于点E,则点E A1BC 1 的() A .垂心B.内心 2 x 1 B . X2x2 1 x 2 D . X X 2 ” 是 2?设a R,i是虚数单位，则为纯虚数”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 3. 若｛a n｝是等差数列，首 项 和S n 0成立的最大正整数 A. 2011 B. 2012 B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件 0, 31 0, 32011 32012 n是( ) C. 4022 a 2011 a 2012 0，则使前n项 D. 4023 一、选择题(本大题共 1.设全集为实数集R, xx2 4 , N 1。 C.外心 D.重心 5 4．平面的基本性质 陈丽萍 学习目标 1．了解平面的定义，理解平面的基本性质． 2．理解三条公理和三条推论，并能运用它找出两个平面的交线，解决“三线共点”和“三点共线”的问题． 一、夯实基础 基础梳理 公理1：如果一条直线上的___________在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。 符号表示：A l B l A B l ααα∈∈∈∈??，，，． 公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条___________的直线。 符号表示：P α∈，且P l βαβ∈?=，且P l ∈。 公理3：经过______________三点，有且只有一个平面。 符号表示：点A 、B 、C 不共线，?存在唯一平面α，使A b C ααα∈∈∈，， 基础达标 1．两个平面的公共点可能是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．0或无数个 2．点P 在直线l 上，而直线l 在平面α内，用符号表示为（ ） A ．p l l α??， B ．p l l α∈∈， C ．p l l α?∈， D ．p l l α∈?， 3．下列命题： ①空间不同三点确定一个平面； ②两个平面有三个公共点，它们必然重合； ③三条直线两两相交，它们必在同一平面内； ④一条直线与两条平行直线都相交，这三条直线必在同一平面内； ⑤一条直线和两平行线中的一条相交，也必和另一条相交； ⑥三角形是平面图形； ⑦四边表是平面图形； ⑧平行四边形、梯形都是平面图形； ⑨两组对边相等的四边形是平行四边形。 其中正确的命题是_______（填序号） 4．下面是四个命题的叙述语（其中A 、B 表示点，a 表示直线，α表示平面） ①A B AB ααα??∴?，；②A B AB ααα∈∈∴∈，； a 32a n a n a 初中数学总复习知识点 1.数的分类及概念：整数和分数统称有理数（有限小数和无限循环小数），像√3，π，0.101001???叫无理数；有理数和无理数统称实数。实数按正负也可分为：正整数、正分数、0、负整数、负分数，正无理数、负无理数。 2.自然数（0和正整数）；奇数2n-1、偶数2n 、质数、合数。科学记数法：n a 10 （1≤a ＜10,n 是整数）,有效数字。 3．（1）倒数积为1；（2）相反数和为0,商为-1；（3）绝对值是距离，非负数。 4．数轴：①定义（“三要素”）；②点与实数的一一对应关系。 (2)性质：若干个非负数的和为0，则每个非负数均为0。 5非负数：正实数与零的统称。（表为：x ≥0）(1)常见的非负数有: 6．去绝对值法则：正数的绝对值是它本身，“+（ ）”；零的绝对值是零,“0”； 负数的绝对值是它的相反数，“-（ ）”。 7．实数的运算：加、减、乘、除、乘方、开方；运算法则，定律，顺序要熟悉。 8.代数式，单项式，多项式。整式，分式。有理式，无理式。根式。 9. 同类项。合并同类项（系数相加，字母及字母的指数不变）。 10. 算术平方根： （正数a 的正的平方根）； 平方根： 11. （1）最简二次根式：①被开方数的因数是整数，因式是整式;②被开方数中不含有开得尽方的因数或因式； （2）同类二次根式：化为最简二次根式以后，被开方数相同的二次根式；（3）分母有理化：化去分母中的根号。 12.因式分解方法：把一个多项式化成几个整式的积的形式A.提公因式法;B.公式法;C.十字相乘法;D.分组分解法。 13.指数：n 个a 连乘的式子记为 。（其中a 称底数，n 称指数， 称作幂。） 正数的任何次幂为正数；负数的奇次幂为负数，负数的偶次幂为正数。2018年河北省衡水中学高三一模理科数学试题(1)
广东深圳中学高中数学必修二导学案4平面的基本性质
(精心整理)深圳中考数学知识点归纳
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