全等三角形的构造技巧
一、利用角平分线，构造全等三角形
【方法剖析】因为角平分线本身已经具备全等的三个条件中的两个(角相等和公共边相等)，
故在处理角平分线问题时，常作以下辅助线构造全等三角形：
（1）在角的两边截取两条相等的线段；
（2）过角平分线上一点作角两边的垂线；
（3）延长角平分线的垂线.
（一）在角两边截取相等线段
例1.如图，AB ∥CD ，BE 平分∠ABC ，CE 平分∠BCD ，点E 在AD 上，求证：BC ＝AB ＋CD.
证明：在BC 上截取BF ＝AB ，连接EF.∵∠ABC 、∠BCD 的平分线交AD 于点E ，
∴∠ABE ＝∠FBE ，∠BCE ＝∠DCE ，
在△ABE 和△FBE 中，?????AB ＝FB ，∠ABE ＝∠FBE ，BE ＝BE ，
∴△ABE ≌△FBE.∴∠BAE ＝∠BFE.
∵AB ∥CD ，∴∠BAE ＋∠CDE ＝180°.∴∠BFE ＋∠CDE ＝180°.
∵∠BFE ＋∠CFE ＝180°，∴∠CFE ＝∠CDE.
在△FCE 和△DCE 中，?????∠CFE ＝∠CDE ，∠FCE ＝∠DCE ，CE ＝CE ，
∴△FCE ≌△DCE.∴CF ＝CD.
∴BC ＝BF ＋CF ＝AB ＋CD.
练习：
1.如图，BC ＞AB,BD 平分∠ABC 且AD=DC,求证: ∠A+∠C=1800. 分析：在边BC 上截取AB=BE,连接DE,则△BAD ≌△BED,这样，
AD 转移到了DE 的位置，∠A 与∠C 就建立了联系。也可看成 △BAD 翻折到了△BED 的位置。
（二）利用角平分线的性质，过角平分线上一点作角两边的垂线
例1.如图，∠AOB ＝90°,将三角尺的直角顶点落在∠AOB 的平分线上的任意一点P ，使三
角尺的两条直角边与∠AOB 的两边分别相交于点E 、F ，试证PE ＝PF.
图1 图2
分析：如图1，因为OC 是角平分线，所以本题可以过P 点作PM ⊥OA 于M ，PN ⊥OB 于N ，不
难发现只要证明△PME ≌△PNF ，即可得到PE ＝PF ，根据∠PME ＝∠PNF ＝90°、PM ＝PN(角平 B A M N E F O P B
A E F O P G A
B C E D
A B C E F D 分线性质)、∠MPE ＝∠NPF 这三个条件，利用ASA 可以证明△PME ≌△PNF 。
如图2,因为OP 是角平分线，则∠AOP ＝∠BOP ，所以本题还可以在OF 上截取OG ，使OG ＝OE ，利用SAS 可以证明△POE ≌△POG ，所以PE ＝PG ，只要再证明△PGF 是等腰△就可以得到PE ＝PF 。
练习：
1.如图1，CD 平分∠ACB,AD=DB,求证：AC=BC.
分析：利用角平分线DC 和相等线段AD=DB,过点D 作DE ⊥AC 于E,DF ⊥BC 于F,则△ABE ≌△BDF ，这样，角平分线DC 和AD=DB 就建立了联系。
图1 图2 图2
2.如图2，BD 平分∠ABC ，∠A+∠C=1800，求证:DC=DA.
分析：利用角平分BD 和要证明的相等线段AD=DC,过点D 作DE 垂直BA 的延长线于E,作DF ⊥BC 于F,则△ADE ≌△CFD ，这样，∠A 与∠C 就建立了联系。
3.如图3，AD ∥BC ，DC ⊥AD ，AE 平分∠BAD ，E 是DC 的中点．问：AD ，BC ，AB 之间有何关系？并说明理由．
解：AB ＝AD ＋BC.
理由：作EF ⊥AB 于F ，连接BE.
∵AE 平分∠BAD ，DC ⊥AD ，EF ⊥AB ，AD ∥BC ，∴EF ＝DE ，DC ⊥BC.
∵DE ＝CE ，∴EC ＝EF.∴Rt △BFE ≌Rt △BCE(HL)．∴BF ＝BC.
同理可证：AF ＝AD.∴AD ＋BC ＝AF ＋BF ＝AB ，即AB ＝AD ＋BC.
（三）延长角平分线的垂线
例1.如图，AC=BC, ∠C=900
,AD 是∠CAB 的平分线交BC 于D,作BE ⊥AD 的延长线于E, 求证:AD=2BE. 分析：延长∠CAB 的平分线AD 的垂线BE,交AC 的延长线于F, 则△ABD ≌△AFE ，这样，证明AD=2BE 就转化为证明AD=BF ，同时
也勾通了AC=BC 与∠C=900的联系。 练习：
1.如图，在△ABC 中，∠ABC ＝900，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，∠C ＝300，BE ⊥AD 于点E . 求证：AC －AB ＝2BE .
证明：延长BE 交AC 于点M .∵BE ⊥AD ，∴∠AEB ＝∠AEM ＝900
.
∵∠3＝900－∠1，∠4＝900－∠2，∠1＝∠2，∴∠3＝∠4，∴AB ＝AM .
A
B C E
F
D
A B C E F D
G F E D C A B 图3H F E D C A
B ∵BE ⊥AE ，∴BM ＝2BE .∵∠AB
C ＝900，∠C ＝300，∴∠BAC ＝600 .
∵AB ＝AM ，∴∠3＝∠4＝600，∴∠5＝900－∠3＝300，
∴∠5＝∠C ，∴CM ＝BM ，∴AC －AB ＝CM ＝BM ＝2BE .
二、利用相等的线段，构造全等三角形
【方法剖析】全等三角形的四种判定方法有一个共同的特征，就是至少有一组边相等，利用线段相等可以构造全等三角形。
例1.如图所示，在△ABC 中，∠A ＝90°,AB ＝AC, D 为AC 中点，AE ⊥BD 于点E ，延长AE 交BC 于点F,
求证：∠ADB ＝∠CDF 分析：欲证∠ADB ＝∠CDF ，首先应考虑证∠ADB 与∠CDF 所在的两个三角形全等，观察图形易知，∠CDF 所在的△CDF 不可能和∠ADB 所在的△ADE 或△ADB 全等，此时，应构造全等三角形解题。
题目中出现两组相等的线段，即AB ＝AC ，AD ＝CD ，
证法1：若以CD 、AD 为基础来构造，可以△CDF 为标准，去寻找一个包含AD 、∠ADB 的三角形与之全等，此时不难发现该三角形中应有一个45°的角，因此可作∠BAC 的平分线与BD 相交于G ，下面只须先证明△ABG ≌△CAF 得到AG ＝CF ，再证明△ADG ≌△CDF 即可。 证法2：如图3，若以AB 、AC 为基础来构造，可 以△ADB 为标准，去寻找一个与之全等的以AC 为
直角边的直角三角形，此时可过C 点作CH ⊥AC 交 AF 的延长线于H 。下面通过证明△BAD ≌△ACH ，从
而把∠ADB 转移到∠H ，把AD 转移到CH ，再证明 △CFD ≌△CFH 可证明结论。 练习：
1.如图1，△ABC 中，AB=AC,D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，且DF=EF,连接DE 交BC 于F,求证：BD=CE.
分析：以DF=FE 为依托，过D 点作DG ∥AE 交BC 于G,则△CEF ≌△GDF,这样就把BD=CE 联系起来了，实际上是把CE 转移到了DG 的位置。当然，也可以过点E 作AB 的平行线构造全等三角形，道理是一样的。以要证明的相等线段为依托也可以构造全等三角形。
图1 图2
2.如图2，AD ∥BC,AE 、BE 分别是∠DAB 、∠ABC 的平分线，求证：DE=CE.
分析：以要证明的线段DE=CE 为依托，即假设DE=CE,因为AD ∥BC （不必再作平行线）,所以延长AE 、BC 相交于G （也可以延长AE 后，在AE 上截取AE=EG ）,则可构造△ADE ≌△GCE ，从而把AE 、BE 分别平分∠DAB 、∠ABC 联系起来了。依托相等线段构造全等三角形可以经过相等线段的一端作平行线，也可截取相等线段来构造.
三、利用中点、中线，“倍长中线法”构造全等三角形
A
B C
E F D
G A
B C E D G
【方法剖析】题目的条件中常常出现中点、中线,此时可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形或延长中线(将中点处的线段延长一倍)，然后利用SAS 构造全等三角形． 例1.如图，AD 是△ABC 的中线， 求证：AB+AC>2AD
分析：延长中线AD 至M 点，使MD ＝AD ，
则△ACD ≌△MBD(SAS)，所以AC ＝BM ，从
而利用三角形三边之间的关系可解决本题。
例2.已知如图，AD ，AE 分别是△ABC 和△ABD 的中线，且BA ＝BD.求证：AE ＝12
AC. 证明：延长AE 至F ，使EF ＝AE ，连接DF.
∵AE 是△ABD 的中线，∴BE ＝DE. ∵∠AEB ＝∠FED ，∴△ABE ≌△FDE.∴∠B ＝∠BDF ，AB ＝DF.
∵BA ＝BD ，∴∠BAD ＝∠BDA ，BD ＝DF.
∵∠ADF ＝∠BDA ＋∠BDF ，∠ADC ＝∠BAD ＋∠B ，∴∠ADF ＝∠ADC.
∵AD 是△ABC 的中线，∴BD ＝CD.∴DF ＝CD.
又∵AD ＝AD ，∴△ADF ≌△ADC(SAS)．
∴AC ＝AF ＝2AE ，即AE ＝12
AC. 练习：
1.如图，AB ＝AE ，AB ⊥AE ，AD ＝AC ，AD ⊥AC ，点M 为BC 的中点，求证：DE ＝2AM. 证明：延长AM 至N ，使MN ＝AM ，连接BN.
∵点M 为BC 的中点，∴BM ＝CM.
又∵∠BMN ＝∠CMA ，∴△AMC ≌△NMB(SAS)．
∴AC ＝BN ，∠C ＝∠NBM ，∠ABN ＝∠ABC ＋∠C
＝180°－∠BAC ＝∠EAD.
又∵BN ＝AC ＝AD ，AB ＝EA ，
∴△ABN ≌△EAD(SAS)．
∴DE ＝NA.∴DE ＝2AM.
2.如图，操作：把正方形CGEF 的对角线CE 放在正方形ABCD 的边BC 的延长线上(CG>BC),取线段AE 的中点M 探究：线段MD 、MF 的关系，并加以证明通过观察发现，线段MD 、MF 的关系为：MD ＝MF ，MD ⊥MF
分析：注意到M 是BC 的中点，延长DM 交BE 于N 点， 则构造出与△MDA 全等的△MNE(ASA)所以MD ＝MN ，即
M 为DN 的中点，根据猜测的结论MD ⊥MF ，不难联想到 等腰△的“三线合一”性质，连FD 、FN ，只要证明
△FDN 是等腰直角△即可解决问题。而根据FC ＝FE 、 ∠FCD ＝∠FEN ＝45°、CD ＝NE(NE ＝AD)，这三个条件，
利用SAS 可证明△FCD ≌△FEN ，可以说明△FDN 是等腰Rt △.
四、利用“截长补短法”构造全等三角形
【方法剖析】截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系. 具体做法：截长，指在长线端中截取一段等于与特定线段相等；补短，指将一条短线端延长部分，使之与特定线段相等. 该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形，再利用三角形全等的有关性质来完成证明过程明．
M D B C A A N M F B D
C E
例1.如图，已知在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2 . 求证：AB＝AC＋CD .
证法一，截长法：
如图①，在AB上取一点E，使AE＝AC，连接DE.
∵AE＝AC，∠1＝∠2，AD＝AD，∴△ACD≌△AED ，∴CD＝DE，∠C＝∠3 .
∵∠C＝2∠B，∴∠3＝2∠B＝∠4＋∠B ，∴∠4＝∠B ，∴DE＝BE ，∴CD＝BE.
∵AB＝AE＋BE，∴AB＝AC＋CD .
证法二，补短法：
如图②，延长AC到点E，使CE＝CD，连接DE .
∵CE＝CD，∴∠4＝∠E .∵∠3＝∠4＋∠E，∴∠3＝2∠E .
∵∠3＝2∠B，∴∠E＝∠B .
∵∠1＝∠2，AD＝AD，∴△EAD≌△BAD，∴AE＝AB.
又∵AE＝AC＋CE，∴AB＝AC＋CD.
练习：
1.如图在△ABC中，∠BAC＝600，AD是∠BAC的平分线，且AC＝AB＋BD . 求∠ABC的度数 .
证法一：补短法：
延长AB到点E，使BE＝BD . 在△BDE中，
∵BE＝BD，∴∠E＝∠BDE，∴∠ABC＝∠BDE＋∠E＝2∠E .
又∵AC＝AB＋BD，∴AC＝AB＋BE，∴AC＝AE .
∵AD是∠BAC的平分线，∠BAC＝600，∴∠EAD＝∠CAD＝600÷2＝300 .
∵AD＝AD，∴△AED≌△ACD，∴∠E＝∠C .∵∠ABC＝2∠E，∴∠ABC＝2∠C .
∵∠BAC＝600，∴∠ABC＋∠C＝1800－600＝1200，∴3
2
∠ABC＝1200，∴∠ABC＝800 .
证法二：截长法
在AC上取一点F，使AF＝AB，连接DF.
∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD＝∠FAD .
∵AD＝AD，∴△BAD≌△FAD，∴∠B＝∠AFD，BD＝FD .
∵AC＝AB＋BD，AC＝AF＋FC，∴FD＝FC ，∴∠FDC＝∠C . ∵∠AFD＝∠FDC＋∠C，∴∠B＝∠FDC＋∠C＝2∠C .
∵∠BAC＋∠B＋∠C＝1800，∴3
2
∠ABC＝1200，∴∠ABC＝800 .
2.如图，∠ABC＋∠BCD＝1800，BE、CE分别平分∠ABC、∠DCB .求证：AB＋CD＝BC .
证法一：截长法
如图①，在BC上取一点F，使BF＝AB，连接EF .
∵∠1＝∠ABE，BE＝BE，∴△ABE≌△FBE，∴∠3＝∠4 .
∵∠ABC＋∠BCD＝180°， BE、CE分别平分∠ABC、∠DCB，
∴∠1＋∠2＝1
2
∠ABC＋
1
2
∠DCB ＝
1
2
×180°＝90°，
∴∠BEC＝90°，∴∠4＋∠5＝90°，∠3＋∠6＝90° .
∵∠3＝∠4 ，∴∠5＝∠6 .∵CE＝CE，∠2＝∠DCE ，
∴△CEF≌△CED，∴CF＝CD .∵BC＝BF＋CF，AB＝BF，∴AB＋CD＝BC 证法二：补短法
如图②，延长BA到点F，使BF＝BC，连接EF .
∵∠1＝∠ABE，BE＝BE，∴△BEF≌△BEC，∴EF＝EC，∠BEC＝∠BEF . ∵∠ABC＋∠BCD＝180°，BE、CE分别平分∠ABC、∠DCB，
∴∠1＋∠2＝1
2
∠ABC＋
1
2
∠DCB＝
1
2
×180°＝90°，
∴∠BEC＝90°，∴∠BEF＝∠BEC＝90°，∴∠BEF＋∠BEC＝180°，∴C、E、F三点共线 . ∵AB∥CD，∴∠F＝∠FCD .∵EF＝EC，∠FEA＝∠DEC，
∴△AEF≌△DEC，∴AF＝CD .∵BF＝AB＋AF，∴BC＝AB＋CD .
3.如图，Rt△ACB中，A＝BC，AD平分∠BAC交BC于点D，CE⊥AD交AD于点F，交AB于点
E . 求证：AD＝2DF＋CE .
证明：在AD上取一点G，使AG＝CE，连接CG .
∵CE⊥AD，∴∠AFC＝90°，∠1＋∠ACF＝90° .
∵∠2＋∠ACF＝90°，∴∠1＝∠2 .∵AC＝BC，AG＝CE，
∴△ACG≌△CBE，∴∠3＝∠B＝45°，∴∠2＋∠4＝90°－∠3＝45° .
∵∠2＝∠1＝1
2
∠BAC＝22.5°，∴∠4＝45°－∠2＝22.5°，∴∠4＝∠2＝22.5° .
又∵CF＝CF，DG⊥CF，∴△CDF≌△CGF，∴DF＝GF .∵AD＝AG＋DG，∴AD＝CE＋2DF . 4.如图，在△ABC中，∠A＝60°，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，BD，CE交于点O，试判断BE，CD，BC的数量关系，并加以证明．
解：BC＝BE＋CD.
证明：在BC上截取BF＝BE，连接OF.
∵BD 平分∠ABC ，∴∠EBO ＝∠FBO.
又∵OB ＝OB ，∴△EBO ≌△FBO.∴∠EOB ＝∠FOB.
∵∠A ＝60°，BD ，CE 分别平分∠ABC 和∠ACB ，
∴∠BOC ＝180°－∠OBC －∠OCB ＝180°－12∠ABC －12
∠ACB ＝180°－12
(180°－∠A)＝120°.∴∠EOB ＝∠DOC ＝60°. ∴∠BOF ＝60°，∠FOC ＝∠DOC ＝60°.
∵CE 平分∠DCB ，∴∠DCO ＝∠FCO.
又∵OC ＝OC ，∴△DCO ≌△FCO.∴CD ＝CF.∴BC ＝BF ＋CF ＝BE ＋CD.
5.如图，在△ABC 中，∠ABC ＝600，AD 、CE 分别平分∠BAC 、∠ACB . 求证：AC ＝AE ＋CD .
证明：如图，在AC 边上取点F ，使AE ＝AF ，连接OF .
∵∠ABC ＝60°，∴∠BAC ＋∠ACB ＝180°－∠ABC ＝120° .
∵AD 、CE 分别平分∠BAC 、∠ACB ，∴∠OAC ＝∠OAB ＝
21∠BAC ，∠OCA ＝∠OCB ＝21∠ACB ， ∴∠AOE ＝∠COD ＝∠OAC ＋∠OCA ＝21∠BAC+2
1∠ACB ＝60°， ∴∠AOC ＝1800－∠AOE ＝120° .
∵AE ＝AF ，∠EAO ＝∠FAO ，AO ＝AO ，∴△AOE ≌△AOF （SAS ），
∴∠AOF ＝∠AOE ＝60°，∴∠COF ＝∠AOC －∠AOF ＝60°，∴∠COF ＝∠COD .
∵CO ＝CO ，CE 平分∠ACB ，∴△COD ≌△COF （ASA ），∴CD ＝CF .
∵AC ＝AF ＋CF ，∴AC ＝AE ＋CD ，
6.如图，已知OD 平分∠AOB ，DC ⊥OA 于点C ，∠A ＝∠GBD . 求证：AO ＋BO ＝2CO .
证明：在线段AO 上取一点E ，使CE ＝AC ，连接DE .
∵CD ＝CD ，DC ⊥OA ，∴△ACD ≌△ECD ，∴∠A ＝∠CED .
∵∠A ＝∠GBD ，∴∠CED ＝∠GBD ，∴1800－∠CED ＝180°－∠GBD ，∴∠OED ＝∠OBD . ∵OD 平分∠AOB ，∴∠AOD ＝∠BOD .
∵OD ＝OD ，∴△OED ≌△OBD ，∴OB ＝OE ，
∴AO ＋BO ＝AO ＋OE ＝OE ＋2CE ＋OE ＝OE ＋CE ＋OE ＋CE ＝2（CE ＋OE ）＝2CO .
五、利用全等变换，构造全等三角形
【方法剖析】图形的翻折、旋转、平移这三种变换都是全等变换，即翻折、旋转、平移前后的两个图形全等，利用此性质可构造全等三角形。
C A B
D
E 1 2 K E
F B D A C 方法1：翻折法
例1.如图,等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠DBC ＝45°，翻折梯形ABCD ，使点B 重合于点D ，折痕分别交边AB 、BC 于点F 、E ，若AD ＝2,BC ＝8.
求(1)BE 的长， (2) ∠CDE 的正切值
分析：因翻折后点B 与点D 重合，连DE 、DF ，则△BFE ≌△DFE ，
所以BE ＝DE ，则∠EDB ＝∠DBE ＝45°,所以∠BED ＝90°，
即DE ⊥BC ，从而将求BE 的长的问题转化为求等腰梯形ABCD 的
高的问题。根据题中的已知条件可求解，求∠CDE 的正切值的问题也可以解决。
练习：
1.如图，在⊿ABC 中，BE 是∠ABC 的平分线，AD ⊥BE,垂足为D ，求证： ∠2= ∠ 1+∠C. 证明：延长AD 交BC 于F
在⊿ABD 和⊿FBD 中， ∵∠ADB=∠FDB=90°,∠ABD=∠FBD,BD=BD ∴⊿ABD ≌⊿FBD ，∴∠2=∠BFD ∵∠BFD=∠C+∠1(三角形外角等于和它不相邻的两内角和）
∴∠2=∠1+∠C 方法2:旋转法
如图，在正方形ABCD 中，E 为BC 上的一点，F 为CD 上的一点，BE+DF=EF,求∠EAF 的度数 解：如图，延长CB 到点G,使得BG=DF,连接AG ∵ ∠ABE=90°,∠D=90°, ∴ ∠D= ∠ABG=90°
在△ABG 和△ADF 中 ,AB=AD,∠ABG= ∠ADF=90°,BG=DF ∴△ABG ≌△ADF. ∴ AG=AF, ∠BAG= ∠DAF.
∴ ∠BAG+ ∠BAF=∠DAF+∠BAF. 即∠GAF=∠BAD=90°
∵BE +DF=EF ∴ BE+BG=EF 即GE =EF 在△AEG 和△AEF 中,AG=AF,AE=AE,GE=EF
∴ △AEG ≌ △AEF,∴∠EAG=∠EAF,∴∠EAF=2
1∠BAD=45°. 练习：
1.如图，已知E 、F 分别在正方形ABCD 的
边BC 和DC 上，且∠EAF ＝45°,AK 为自A 向EF
所引的垂线，K 为垂足，求证AK ＝AB 。
分析：将△ADF 绕A 点旋转至△ABG 处，则AF ＝AG ，
∠FAD ＝∠GAB 。因为∠FAD+∠BAE ＝45°，
所以∠GAB+∠BAE ＝45°即∠GAE ＝∠FAE ，根据SAS 条件 可得△GAE ≌△AFE ，从而AK ＝AB
2.如图，五边形ABCDE 中，AB ＝AE ，BC ＋DE ＝CD ，∠B ＋∠E ＝1800 . 求证：
AD
平分∠CDE .
证明：如图，延长CB 到点F ，使BF ＝DE ，连接AF 、AC .
F D A K E F B D A
C
∵∠1＋∠2＝180°，∠E ＋∠1＝180°，∴∠2＝∠E .
∵AB ＝AE ，∠2＝∠E ，BF ＝DE ，∴△ABF ≌△AED ，∴∠F ＝∠4，AF ＝AD .
∵BC ＋DE ＝CD ，∴BC ＋BF ＝CD ，即FC ＝CD .
又∵AC ＝AC ，∴△ACF ≌△ACD ，∴∠F ＝∠3 .∵∠F ＝∠4，∴∠3＝∠4，
∴AD 平分∠CDE .
方法3：平移法
例1.如图,在△ABC 中，AE ＝BF ，FH ∥EG ∥AC ，求证：EG+FH ＝AC 分析：由BF ＝AE ，FH ∥AC ，不难联想到将△BFH 平移至 与EA 重合的位置，即利用平移构造全等三角形。过E 点
作EM ∥BC 交AC 于M ，可证得△BFH ≌△EAM ，从而FH ＝AM ， 证明四边形EGCM 是平行四边形，得到EG ＝MC ，本题可以
圆满解决。
练习：
1.在△ABC 中，∠BAC=60°，∠C=40°，AP 平分∠BAC 交BC 于点P ，BQ 平分∠ABC 交AC 于点Q ，且AP 与BQ 于点O ，求证：AB+BP=BQ+AQ.
图1 图2 图3
证法一：如图2，延长AB 到D ，使BD=BP ，连接PD ，则∠D=∠5．
∵AP 、BQ 分别是∠BAC ，∠ABC 的平分线，∠BAC=60°，∠ACB=40°，
∴∠1=∠2=30°，∠ABC=180°-60°-40°=80°，∠3=∠4=40°=∠C ，∴QB=QC ， 又∠D+∠5=∠3+∠4=80°，∴∠D=40°．
在△APD 与△APC 中，∠D ＝∠C ，∠2＝∠1，AP ＝AP ，∴△APD ≌△APC （AAS ），∴AD=AC ． 即AB+BD=AQ+QC ，∴AB+BP=BQ+AQ ．
证法二：如图3，∴∠CBQ=21∠ABC=2
1×80°=40°， ∴∠CBQ=∠ACB ，∴BQ=CQ ，∴BQ+AQ=CQ+AQ=AC …①，
过点P 作PD ∥BQ 交CQ 于点D ，则∠CPD=∠CBQ=40°，∴∠CPD=∠ACB=40°，
∴PD=CD ，∠ADP=∠CPD+∠ACB=40°+40°=80°，
∵∠ABC=80°，∴∠ABC=∠ADP ，∵AP 平分∠BAC ，∴∠BAP=∠CAP ，
∵在△ABP 与△ADP 中，ABC ＝∠ADP ，∠BAP ＝∠CAP ，AP ＝AP ，
∴△ABP ≌△ADP （AAS ），∴AB=AD ，BP=PD ，
∴AB+BP=AD+PD=AD+CD=AC …②，
由①②可得，BQ+AQ=AB+BP ．
名师堂 校区地址： 南充 市顺庆区吉隆街 咨询电话： 2244028优学小班——提分更快、针对更强、时效更高 构造全等三角形种常用方法 在证明两个三角形全等时，选择三角形全等的五种方法（“SSS ”，“SAS ”，“ASA ”，“AAS ”，“HL ”）中，至少有一组相等的边，因此在应用时要养成先找边的习惯。如果选择找到了一组对应边，再找第二组条件，若找到一组对应边则再找这两边的夹角用“SAS ”或再找第三组对应边用“SSS ”；若找到一组角则需找另一组角（可能用“ASA ”或“AAS ”）或夹这个角的另一组对应边用“SAS ”；若是判定两个直角三角形全等则优先考虑“HL ”。上述可归纳为： () ()() ()S SSS S A SAS S S SAS A A AAS ASA ??? ????????? ?用用用用或 搞清了全等三角形的证题思路后，还要注意一些较难的一些证明问题，只要构造合适的全等三角形，把条件相对集中起来，再进行等量代换，就可以化难为易了．下面举例说明几种常见的构造方法，供同学们参考． 1．截长补短法 例1．如图（1）已知：正方形ABCD 中，∠BAC 的平分线交BC 于E ， 求证：AB+BE=AC ． 解法（一）（补短法或补全法）延长AB 至F 使AF=AC ， 由已知△AEF ≌△AEC ，∴∠F=∠ACE=45o， ∴BF=BE ，∴AB+BE=AB+BF=AF=AC ． 解法（二）（截长法或分割法）在AC 上截取AG=AB ，由已知 △ ABE ≌△AGE ，∴EG=BE, ∠AGE=∠ABE,∵∠ACE=45o, ∴CG=EG, ∴AB+BE=AG+CG=AC ． 2．平行线法（或平移法） 若题设中含有中点可以试过中点作平行线或中位线，对Rt △,有时可作出斜边的中线． 例2．△ABC 中，∠BAC=60°，∠C=40°AP 平分∠BAC 交BC 于P ，BQ 平分∠ABC 交AC 于Q ， 求证：AB+BP=BQ+AQ ． 证明：如图（1），过O 作OD ∥BC 交AB 于D ，∴∠ADO=∠ABC =180°－60°－40°=80°，又∵∠AQO=∠C+∠QBC=80°， ∴∠ADO=∠AQO ，又∵∠DAO=∠QAO ，OA=AO ， ∴△ADO ≌△AQO ，∴OD=OQ ，AD=AQ ，又∵OD ∥BP ， ∴∠PBO=∠DOB ，又∵∠PBO=∠DBO ，∴∠DBO=∠DOB ， ∴BD=OD ，∴AB+BP=AD+DB+BP =AQ+OQ+BO=AQ+BQ ． A B C P Q D O D
全等三角形的构造方法 全等三角形是初中数学中的重要内容之一，是今后学习其他内容的基础。判断三角形全等公理有SAS、ASA、AAS、SSS和HL，如果能够直接证明三角形的全等的，直接根据相应的公理就可以证明，但是如果给出的条件不全，就需要根据已知的条件结合相应的公理来进行分析，先推导出所缺的条件然后再证明。一些较难的一些证明问题要构造合适的全等三角形，把条件相对集中起来，再进行等量代换，就可以化难为易了。 构造方法有： 1．截长补短法。 2．平行线法（或平移法）：若题设中含有中点可以试过中点作平行线或中位线，对Rt△,有时可作出斜边的中线。 3．旋转法：对题目中出现有一个公共端点的相等线段时，可试用旋转方法构造全等三角形。 4．倍长中线法：题中条件若有中线，可延长一倍，以构造全等三角形，从而将分散条件集中在一个三角形内。 5．翻折法：若题设中含有垂线、角的平分线等条件的，可以试用轴对称性质，沿轴翻转图形来构造全等三角形。下面举例说明几种常见的构造方法，供同学们参考． 1．截长补短法（通常用来证明线段和差相等） “截长法”即把结论中最大的线段根据已知条件分成两段，使其中一段与较短线段相等，然后证明余下的线段与另一条线段相等的方法． “补短法”为把两条线段中的一条接长成为一条长线段，然后证明接成 的线段与较长的线段相等，或是把一条较短的线段加长，使它等于较长 的一段，然后证明加长的那部分与另一较短的线段相等．
例1.如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=AC，AD平分∠BAC 交BC于D，求证：AB=AC+CD． 例2 已知：如图，AB=AC，E为AB上一点，F是AC延长线上一点，且BE=CF，EF 交BC于点D．求证：DE=DF． (2)已知：如图，AB=AC，E为AB上一点，F是AC延长线上一点，且，EF交BC 于点D，且D为EF的中点． 求证：BE=CF．
全等三角形综合复习 1. 全等三角形的概念及性质; 2. 三角形全等的判定； 3. 角平分线的性质及判定。 知识点一：证明三角形全等的思路 通过对问题的分析，将解决的问题归结到证明某两个三角形的全等后，采用哪个全等判定定理加以证明，可以按下图思路进行分析： 找夹角SAS 已知两边找第三边SSS 找直角HL ACF BDE。 已知一边一角 边为角的对边 边为角的邻边 找任一角AAS 找夹角的另 一 边SAS 找夹边的另 一 角ASA 找边的对角AAS 已知两角 找夹边ASA 找任一对边AAS 例1.如图，A,F,E,B四点共线, AC CE，BD DF，AE BF，AC BD。求证:
知识点二：构造全等三角形 例2.如图，在ABC中, 例3.如图，在ABC中，AB BC , ABC 90°。F为AB延长线上一点，点E在BC上, BE BF，连接AE,EF 和CF。求证：AE CF。 知识点三：常见辅助线的作法 1.连接四边形的对角线 例 4.如图，AB//CD，AD//BC，求证：AB CD。 解题后的思考：连接四边形的对角线，是构造全等三角形的常用方法。
2?作垂线，利用角平分线的知识 例5.如图，AP,CP分别是ABC外角 BP为MBN的平分线。 解题后的思考：题目已知中有角平分线的条件，或者有要证明角平分线的结论时 , 角平分线上的一点向角的两边作垂线，利用角平分线的性质或判定来解答问题。 3. “截长补短”构造全等三角形 AB AC PB PC。 在AB上截取AN AC，连接PN 在APN与APC中 AN AC Q 1 2 AP AP APN APC (SAS) PN PC Q 在BPN 中，PB PN BN PB PC AB AC，即AB —AC>PB —PC。 例6.如图，在ABC中，AB AC， 1 2，P为AD上任意一点。求证： 常过 。求 证: 解答过程:
小专题(五) 构造全等三角形的方法技巧 (本专题部分习题有难度，请根据实际情况选做) 方法1 利用补形构造全等三角形 1．已知：如图，在△ABC 中，∠BCA ＝90°，AC ＝BC ，AE 平分∠BAC，B E⊥AE，求证：BE ＝1 2 AD. 方法2 利用“截长补短法”构造全等三角形 2．如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，∠C ＝2∠B ，试判断AB ，AC ，CD 三者之间的数量关系，并说明理由．(想一想，你会几种方法) 3．如图，在△ABC 中，∠A ＝60°，BD ，CE 分别平分∠AB C 和∠ACB，BD ，CE 交于点O ，试判断BE ，CD ，BC 的数量关系，并加以证明． 4．如图，AD ∥BC ，DC ⊥AD，AE 平分∠BAD，E 是DC 的中点．问：AD ，BC ，AB 之间有何关系？并说明理由． 5.(德州中考)问题背景： 如图1：在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝120°，∠B ＝∠ADC＝90°.E ，F 分别是BC ，CD 上的点．且∠EAF＝60°.探究图中线段BE ，EF ，FD 之间的数量关系． (1)小王同学探究此问题的方法是，延长FD 到点G.使DG ＝BE.连接AG ，先证明△ABE≌△A DG ，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是________________； (2)如图2，若在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＋∠D＝180°.E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且∠EAF＝1 2∠BAD ， 上述结论是否仍然成立，并说明理由． 方法3 利用“倍长中线法”构造全等三角形
构造全等三角形的基本方法 第一种：倍长中线法（利用中点、中线构造） 例题1、如图，△ABC中，AD是中线，AB=4，AC=6，AD的范围是．2】
第二种：利用角平分线 角平分线常见的辅助线作法： 例题2、已知在△ABC中，∠B=2∠C，∠A的平分线AD交BC边于点D．求证：AC=AB+BD． 3】 【例1】
例题3、BE是角平分线，AD垂直BE于D，求证：∠2=∠1+∠C 第三种：截长补短法（通常用来证明线段和差相等） “截长法”即把结论中最大的线段根据已知条件分成两段，使其中一段与较短线段相等，然后证明余下的线段与另一条线段相等的方法．“补短法”为把两条线段中的一条接长成为一条长线段，然后证明接成的线段与较长的线段相等，或是把一条较短的线段加长，使它等于较长的一段，然后证明加长的那部分与另一较短的线段相等． 例题5：如图（1）已知：正方形ABCD中，∠BAC的平分线交BC于E， 求证：AB+BE=AC． 例题6、AB//CD，BE,CE是角平分线，求证：BC=AB+CD
第四种：旋转 对题目中出现有一个公共端点的相等线段时，可试用旋转方法构造全等三角形 例3、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC内一点，且PA=6，PB=2，PC=4，求∠BPC的度数． 例4、如图，正方形ABCD中，DE=3，BF=1，∠EAF=45°，则EF= ．
例5、如图所示，两个边长都为2的正方形ABCD和OPQR，如果O点正好是正方形ABCD的中心，而正方形OPQR可以绕O点旋转，那么它们重叠部分的面积为 第五种：平行线法 例7、如图，△ABC中，AB＝AC。E是AB上异于A、B的任意一点，延长AC到D，使CD＝BE，连接DE交BC于F。求证：EF＝FD。
知识体系 利用三角形全等是证明线段或角相等的重要方法之一，但有时不能直接应用，就需要根据条件，通过作辅助线的方法构造全等三角形。构造全等三角形的方法主要有：中线倍长，截长补短，翻折，作平行线或垂线。 （1）遇到与中点有关的条件时，通常将过中点的线段延长一倍，构造 字形全等三角形。 （2）证一条线段等于另外两条线段和或差时，通常在较长的线段上截取一条线段等于较短的线段中的某一条，（此谓之“截长”），或将两条较短的线段转化到一条线段上，（此谓之“补短”）注意：不管是截长还是补短，都要证明截取或补上的线段所在的三角形与另一个对应三角形全等。 （3）遇角平分线时，通常用翻折构造全等或向角两边作垂线构造全等。 例题选讲 例1如图,在△ABC 中,AD 是∠BAC 的平分线,M 是BC 的中点,过M 作MF ∥AD 交BA 的延长线于F ,交AC 于P ,求证:CP =BF =21(AB +AC ) 例2如图，△ABC 中，D 为BC 的中点，M 为AB 上一动点，N 为AC 上一动点，且∠MDN =90°. （1）求证：BM +CN ＞MN ； F P M D C B A A M N C B D
（2）若M在AB的延长线上，N在CA的延长线上，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请证明，若不成立，说明理由； （3）若点M在BA的延长线上，点N在AC的延长线上，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请证明，若不成立，说明理由。 例3如图，在四边形ABCD中，AD=DC，BD平分∠ABC，求证：∠A+∠C=180° 变形1，如图，在四边形ABCD中，∠A+∠C=180°，BD平分∠ABC，求证：AD=DC 变形2，如图，在四边形ABCD中，DE⊥BC于E，BD平分∠ABC，若BE=1 2 （AB+AC），求证：∠A+∠C=180° A C B D M B A C N A D C B A D C B A D C B E
善于构造 活用性质 安徽 张雷 几何问题中,若出现角平分线这一条件时,可联想角平分线的特性,灵活利用角平分线的特性来解决问题. 1.显“距离”, 用性质 很多时候,题意中只给角平分线这个条件,图上并没有出现“距离”,而角平分线性质的运用又离不开这个“距离”,所以同学们应大胆地让“距离”现身（过角平分线上的一点向角的两边作垂线段） 例：三角形的三条角平分线交于一点，你知道这是为什么吗？ 分析：我们知道两条直线是交于一点的，因此可以想办法证 明第三条角平分线通过前两条角平分线的交点． 已知：如图，△ABC 的角平分线AD 与BE 交于点I ，求证：点I 在∠ACB 的平分线上． 证明：过点I 作IH ⊥AB 、IG ⊥AC 、IF ⊥BC ，垂足分别是点H 、 G 、F ． ∵点I 在∠BAC 的角平分线AD 上，且IH ⊥AB 、IG ⊥AC ∴IH=IG （角平分线上的点到角的两边距离相等） 同理 IH=IF ∴IG=IF （等量代换） 又IG ⊥AC 、IF ⊥BC ∴点I 在∠ACB 的平分线上（到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上）.即：三角形的三条角平分线交于一点． 【例2】已知：如图，PA 、PC 分别是△ABC 外角∠MAC 和∠NCA 的平分线， 它们交于点P ，PD ⊥BM 于D ，PF ⊥BN 于F ． 求证：BP 为∠MBN 的平分线． 【分析】要证BP 为∠MBN 的平分线，只需证PD=PF ，而PA 、PC 为外角平分线， 故可过P 作PE ⊥AC 于E ．根据角平分线性质定理有PD=PE ，PF=PE ，则有PD=PF ，故问题得证． 【证明】过P 作PE ⊥AC 于E ． ∵PA 、PC 分别为∠MAC 与∠NCA 的平分线．且PD ⊥BM ，PF ⊥BN ∴PD=PE ，PF=PE,∴PD=PF 又∵PD ⊥BM ，PF ⊥BN,∴点P 在∠MBN 的平分线上， D C B A E H I F G
构造全等三角形的方法-
构造全等三角形的方法 在证明两个三角形全等时，选择三角形全等的五种方法（“SSS”，“SAS”，“ASA”，“AAS”，“HL”）中，至少有一组相等的边，因此在应用时要养成先找边的习惯。如果选择找到了一组对应边，再找第二组条件，若找到第二组条件是对应边，则再找这两边的夹角用“SAS”或再找第三组对应边用“SSS”；若找到第二组条件是角，则需找另一组角（可能用“ASA”或“AAS”）或夹这个角的另一组对应边用“SAS”；若是判定两个直角三角形全等则优先考虑“HL”。搞清了全等三角形的证题思路后，还要注意一些较难的一些证明问题，只要构造合适的全等三角形，把条件相对集中起来，再进行等量代换，就可以化难为易了． 一、利用三角形的角平分线来构造全等三角形 （可以利用角平分线所在直线作对称轴，翻折三角形来构造全等三角形。） 1、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC。画一画。 法一：在AB上截取AE=AC，连结DE。 法二：延长AC到F，使AF=AB，连结DF。
ABC的角平分线，AD=CD. 求证：∠A+∠C=180° D B C 法一：证明：在BC上截取BE，使BE=AB，连结DE。法二：延长BA到F，使BF=BC，连结DF。∵BD是∠ABC的角平分线（已知）∵BD是∠ABC的角平分线（已知）∴∠1=∠2（角平分线定义）∴∠1=∠2（角平分线定义） 在△ABD和△EBD中在△BFD和△BCD中 ∵AB=EB（已知）BF=BC（已知） ∠1=∠2（已证）∠1=∠2（已证） BD=BD（公共边）BD=BD（公共边） ∴△ABD≌△EBD（S.A.S）∴△BFD≌△BCD（S.A.S） ∴∠A＝∠3（全等三角形的对应角相等）∴∠F＝∠C（全等三角形的对应角相等AD=DE（全等三角形的对应边相等）DF=DC（全等三角形的对应边相等）∵AD=CD（已知），AD=DE（已证）∵AD=CD（已知），DF=DC（已证）∴DE=DC（等量代换）∴DF=AD（等量代换） ∴∠4=∠C（等边对等角）∴∠4=∠F（等边对等角） ∵∠3+ ∠4＝180°（平角定义），∵∠F＝∠C（已证） ∠A＝∠3（已证）∴∠4=∠C（等量代换） ∴∠A+ ∠C＝180°（等量代换）∵∠3+ ∠4＝180°（平角定义） ∴∠A+ ∠C＝180°（等量代换） 法三：作DM⊥BC于M，DN⊥BA交BA的延长线于N。 ∵BD是∠ABC的角平分线（已知） ∴∠1=∠2（角平分线定义） ∵DN⊥BA，DM⊥BC（已知）∴∠N=∠DMB=90°（垂直的定义） 在△NBD和△MBD中 ∵∠N=∠DMB （已证） ∠1=∠2（已证） BD=BD（公共边） ∴△NBD≌△MBD（A.A.S） ∴ND=MD（全等三角形的对应边相等） ∵DN⊥BA，DM⊥BC（已知）∴△NAD和△MCD是Rt△ 在Rt△NAD和Rt△MCD中 ∵ND=MD （已证） AD=CD（已知）∴Rt△NAD≌Rt△MCD（H.L） ∴∠4=∠C（全等三角形的对应角相等）
专题：构造全等三角形 倍长中线法：即把中线延长一倍，来构造全等三角形。 1、如图1，在△ABC 中，AD 是中线，BE 交AD 于点F ，且AE ＝EF ． 试说明线段AC 与BF 相等的理由． 简析 由于AD 是中线，于是可延长AD 到G ，使DG ＝AD ，连结BG ，则 在△ACD 和△GBD 中，AD ＝GD ，∠ADC ＝∠GDB ，CD ＝BD ，所以△ACD ≌△GBD （SAS ）， 所以 AC ＝GB ，∠CAD ＝∠G ，而AE ＝EF ，所以∠CAD ＝∠AFE ， 又∠AFE ＝∠BFG ，所以∠BFG ＝∠G ，所以BF ＝BG ，所以AC ＝BF ． 说明 要说明线段或角相等，通常的思路是说明它们所在的两个 三角形全等，而遇到中线时又通常通过延长中线来构造全等三角形． 法一：如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC 。在AB 上截取AE=AC ，连结DE 。 （ 可以利用角平分线所在直线作对称轴，翻折三角形来构造全等三角形。） 法二：如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC 。延长AC 到F ，使AF=AB ，连结DF 。 (可以利用角平分线所在直线作对称轴，翻折三角形来构造全等三角形。) 法三：在△ABC 中，AD 平分∠BAC 。作DM ⊥AB 于M ，DN ⊥AC 于N 。 (可以利用角平分线所在直线作对称轴，翻折三角形来构造全等三角形) 图1 G C F B A E D
（还可以用“角平分线上的点到角的两边距离相等”来证DM=DN） 2、已知：如图，在四边形ABCD中，BD是∠ABC的角平分线，AD=CD，求证：∠A+∠C=180° 法一：证明：在BC上截取BE，使BE=AB，连结DE。法二：延长BA到F，使BF=BC，连结DF。 ∵BD是∠ABC的角平分线（已知）∵BD是∠ABC的角平分线（已知）∴∠1=∠2（角平分线定义）∴∠1=∠2（角平分线定义） 在△ABD和△EBD中在△BFD和△BCD中 ∵AB=EB（已知）BF=BC（已知） ∠1=∠2（已证）∠1=∠2（已证） BD=BD（公共边）BD=BD（公共边） ∴△ABD≌△EBD（S.A.S）∴△BFD≌△BCD（S.A.S） ∴∠A＝∠3（全等三角形的对应角相等）∴∠F＝∠C（全等三角形的对应角相等AD=DE（全等三角形的对应边相等）DF=DC（全等三角形的对应边相等）∵AD=CD（已知），AD=DE（已证）∵AD=CD（已知），DF=DC（已证）∴DE=DC（等量代换）∴DF=AD（等量代换） ∴∠4=∠C（等边对等角）∴∠4=∠F（等边对等角） ∵∠3+ ∠4＝180°（平角定义），∵∠F＝∠C（已证） ∠A＝∠3（已证）∴∠4=∠C（等量代换） ∴∠A+ ∠C＝180°（等量代换）∵∠3+ ∠4＝180°（平角定义） ∴∠A+ ∠C＝180°（等量代换） 法三：作DM⊥BC于M，DN⊥BA交BA的延长线于N。 ∵BD是∠ABC的角平分线（已知） ∴∠1=∠2（角平分线定义） ∵DN⊥BA，DM⊥BC（已知） ∴∠N=∠DMB=90°（垂直的定义） 在△NBD和△MBD中 ∵∠N=∠DMB （已证） ∠1=∠2（已证） BD=BD（公共边） ∴△NBD≌△MBD（A.A.S） ∴ND=MD（全等三角形的对应边相等） ∵DN⊥BA，DM⊥BC（已知） ∴△NAD和△MCD是Rt△ 在Rt△NAD和Rt△MCD中 ∵ND=MD （已证） AD=CD（已知）∴Rt△NAD≌Rt△MCD（H.L） ∴∠4=∠C（全等三角形的对应角相等） ∵∠3+ ∠4＝180°（平角定义），
构造全等三角形的方法 在证明两个三角形全等时,选择三角形全等的五种方法(“SSS”,“SAS”,“ASA”,“AAS”,“HL”)中,至少有一组相等的边,因此在应用时要养成先找边的习惯。如果选择找到了一组对应边,再找第二组条件,若找到第二组条件就是对应边,则再找这两边的夹角用“SAS”或再找第三组对应边用“SSS”;若找到第二组条件就是角,则需找另一组角(可能用“ASA”或“AAS”)或夹这个角的另一组对应边用“SAS”;若就是判定两个直角三角形全等则优先考虑“HL”。搞清了全等三角形的证题思路后,还要注意一些较难的一些证明问题,只要构造合适的全等三角形,把条件相对集中起来,再进行等量代换,就可以化难为易了. 一、利用三角形的角平分线来构造全等三角形 ( 可以利用角平分线所在直线作对称轴,翻折三角形来构造全等三角形。) 1、如图,在△ABC中,AD平分∠BAC。画一画。 法一:在AB上截取AE=AC,连结DE。 法二:延长AC到F,使AF=AB,连结DF。 法三:作DM⊥AB于M,DN⊥AC于N。 C B A C B A C B A 2、如图,DC∥AB,∠BAD与∠ADC的平分线相交于E,过E的直线 分别交DC、AB于C、B两点、求证:AD＝AB＋DC、 证明:在线段AD上取AF＝AB,连接EF, ∵AE就是∠BAD的角平分线,∴∠1＝∠2, ∵AF＝AB AE＝AE,∴△ABE≌△AFE,∴∠B＝∠AFE 由CD∥AB又可得∠C＋∠B＝180°,∴∠AFE＋∠C＝180°, 又∵∠DFE＋∠AFE＝180°,∴∠C＝∠DFE, ∵DE就是∠ADC的平分线,∴∠3＝∠4, 又∵DE＝DE,∴△CDE≌△FDE,∴DF＝DC, ∵AD＝DF＋AF,∴AD＝AB＋DC.
D C B A 【知识点1】 倍长中线（线段）造全等专题 几何证明题，用现有的条件没有办法证明出结论时，考虑添加辅助线。添加辅助线方法：遇到三角形的中线或中点，通常用倍长中线法，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”． 【例题讲解】 例1、已知，如图△ABC 中，AB=5，AC=3，则中线AD 的取值范围是_________. 解题思路：直接求中线的取值范围，有点困难，考虑用中线法，再利用三角形三边关系得解。答案：1 例3：已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF 解题思路：倍长中线AD 到点G ，等到一对全等三角形?DBG 和?DCA,从而得等 腰三角形BEG ，利用角的等量代换，得到∠FAE=∠AEF 从而得证。 【练一练】 1：已知：如图，在ABC ?中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC. 求证：AE 平分BAC ∠ 2：已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证：∠C=∠BAE 解题思路：倍长AE 到点F ，连接DF ，证明?ADF 全等于?ADC 第 1 题图 A B F D E C 例谈构造全等三角形的策略 济宁市梁山县小路口镇初级中学 李 丽 （适用于初二版9月刊） 全等三角形是初中数学中的重要内容之一，是今后学习其他知识的基础. 是 证明线段相等、角相等、直线平行等结论的重要手段和方法. 我们已经学过判断三角形全等的公理有SAS 、ASA 、AAS 、SSS 和HL ，如果所给条件充足，则可直接根据相应的公理证明，但是如果给出的条件不全，就需要根据已知的条件和求证的结论构造全等三角形. 那么，如何正确地发现、构造全等三角形呢？ 发现全等三角形的观察点： （1）可以从结论出发，寻找要证明的相等的两条线段（或两个角）分别在 哪两个可能全等的三角形中； （2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形全等； （3）可从条件和结论综合考虑，看它们能确定哪两个三角形全等； （4）若上述方法均不可行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形. 构造全等三角形的思路： ①延长中线构造全等三角形； ②利用翻折，构造全等三角形； ③引平行线构造全等三角形； ④作连线构造等腰三角形. 下面举例谈谈几种常见的构造全等三角形的策略： 一、遇到角平分线可利用角的对称性或角平分线的性质构造全等三角形. 例1、如图1，在△ABC 中，AD 是△ABC 的角平分线， AC ＝AB +BD .试说明∠B 与2∠C 相等的理论依据. 【解析】由于AC ＝AB +BD ，故可以在AC 上截取AE ＝AB ，连结DE ，因为AD 是∠BAC 的平分线，所以∠EAD ＝∠BAD ，而AD 公用，所以△AED ≌△ABD （SAS ），所以∠AED ＝∠ABD ，DE ＝DB ，因为AC ＝AB +BD ，则ED ＝EC ，所以∠C ＝∠EDC ，又∠AED ＝∠EDC +∠C ＝2∠C ，所以∠B ＝2∠C . 【反思】在几何解题中若遇到角平分线时，通常利用角的对称性，在角的两边截取相等的两部分，或过角平分线上的某一点作角两边的垂线构造全等三角形求解. 二、遇到中线可倍长中线构造全等三角形. 例2、如图2，AD 是△ABC 的中线，求证：AB ＋AC ＞2AD. 【证明】：延长AD 至E ，使AD ＝DE ，连接CE. ∵AD 是△ABC 的中线，∴BD ＝CD. 又∵∠1＝∠2，AD ＝DE ， ∴△ABD ≌△ECD （SAS ），∴AB ＝CE. 图1 B A C D E D 图3 F E A B C M 小专题构造全等三角形的方法技巧 方法1利用补形构造全等三角形 1．已知：如图，在△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝BC，AE平分∠BAC，BE⊥AE， 求证：BE＝1 2AD. 方法2利用“截长补短法”构造全等三角形 2．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝2∠B，试判断AB，AC，CD三者之间的数量关系，并说明理由．(想一想，你会几种方法) 3．如图，在△ABC中，∠A＝60°，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，BD，CE交于点O，试判断BE，CD，BC的数量关系，并加以证明． 4．如图，AD∥BC，DC⊥AD，AE平分∠BAD，E是DC的中点．问：AD，BC，AB之间有何关系？并说明理由． 5.(德州中考)问题背景： 如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°.E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF＝60°.探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系． (1)小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G.使DG＝BE.连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是________________； (2)如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°.E，F分别 是BC，CD上的点，且∠EAF＝1 2∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 方法3利用“倍长中线法”构造全等三角形 6．已知△ABC中，AB＝4 cm，BC＝6 cm，BD是AC边上的中线，求BD的取值范围． 7．已知：如图，AD，AE分别是△ABC和△ABD的中线，且BA＝BD.求证： AE＝1 2AC. 8．如图，AB＝AE，AB⊥AE，AD＝AC，AD⊥AC，点M为BC的中点，求证：DE＝2AM. 构造全等三角形的五种常用方法 在进行几何题的证明或计算时,需要在图形中添加一些辅助线，辅助线能使题目中的条件比较集中,能比较客易找到一些量之间的关系,使数学问题较轻松地解决.常见的辅助线作法有:翻折法、构造法、旋转法、倍长中线法和截长(补短)法,目的都是构造全等三角形. 方法1 翻折法 如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，AD⊥BE，垂足为D.求证：∠2＝∠1＋∠C. 跟踪训练1： 如图，在四边形OACB中，CM⊥OA于M，∠1=∠2，CA=CB．求证： （1）∠3+∠4=180°； （2）OA+OB=2OM． 方法2 构造法 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∠ABC=45°，点D为BC的中点，CE⊥AD于点E， 其延长线交AB于点F，连接DF．求证：∠ADC=∠BDF． 方法3 旋转法 如图，在正方形ABCD中，E为BC边上一点，F为CD边上一点， BE+DF=EF，求∠EAF的度数. 跟踪训练3： 如图，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=α，AD、BE交于点H，连CH． （1）求证：△ACD≌△BCE； （2）求证：CH平分∠AHE； （3）求∠CHE的度数．（用含α的式子表示） 方法4 倍长中线法 如图，在△ABC中，D为BC的中点． (1)求证：AB＋AC>2AD； (2)若AB＝5，AC＝3，求AD的取值范围． 方法5 截长补短法 如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系并证明. 构造全等三角形的方法技巧(第四周)姓名 方法1利用“角平分线”构造全等三角形 【方法归纳】因角平分线本身已经具备全等的三个条件中的两个(角相等和公共边相等)，故在处理角平分线问题时，常作以下辅助线构造全等三角形： (1)在角的两边截取两条相等的线段； (2)过角平分线上一点作角两边的垂线． 1．如图，AB∥CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，点E在AD上，求证：BC＝AB＋CD. 2．如图，已知∠AOB＝90°，OM是∠AOB的平分线，三角尺的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA，OB交于点C，D，求证：PC＝PD. 方法2利用“截长补短法”构造全等三角形 【方法归纳】截长补短法的具体做法：在某一条线段上截取一条线段与特定线段相等，或将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种方法适用于证明线段的和、差、倍、分等类的题目 4．如图，在△ABC中，∠A＝60°，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，BD，CE交于点O，试判断BE，CD， BC的数量关系，并加以证明． 之间 5．如图，AD ∥BC ，DC ⊥AD ，AE 平分∠BAD ，E 是DC 的中点．问：AD ，BC ，AB 有何关系？并说明理由． 方法3 利用“倍长中线法”构造全等三角形 【方法归纳】 将中点处的线段延长一倍，然后利用SAS 证三角形全等． 求证： 6．已知：如图，AD ，AE 分别是△ABC 和△ABD 的中线，且BA ＝BD.AE ＝12 AC. 求证：DE 7．如图，AB ＝AE ，AB ⊥AE ，AD ＝AC ，AD ⊥AC ，点M 为BC 的中点，＝2AM. ... . . 名师堂 校区地址： 市顺庆区吉隆街 咨询：2244028优学 小班——提分更快、针对更强、时效更高 构造全等三角形种常用方法 在证明两个三角形全等时，选择三角形全等的五种方法（“SSS ”，“SAS ”，“ASA ”，“AAS ”，“HL ”）中，至少有一组相等的边，因此在应用时要养成先找边的习惯。如果选择找到了一组对应边，再找第二组条件，若找到一组对应边则再找这两边的夹角用“SAS ”或再找第三组对应边用“SSS ”；若找到一组角则需找另一组角（可能用“ASA ”或“AAS ”）或夹这个角的另一组对应边用“SAS ”；若是判定两个直角三角形全等则优先考虑“HL ”。上述可归纳为： ()()() ()S SSS S A SAS S S SAS A A AAS ASA ??? ????????? ?用用用用或 搞清了全等三角形的证题思路后，还要注意一些较难的一些证明问题，只要构造合适的全等三角形，把条件相对集中起来，再进行等量代换，就可以化难为易了．下面举例说明几种常见的构造方法，供同学们参考． 1．截长补短法 例1．如图（1）已知：正方形ABCD 中，∠BAC 的平分线交BC 于E ， 求证：AB+BE=AC ． 解法（一）（补短法或补全法）延长AB 至F 使AF=AC ， 由已知△AEF ≌△AEC ，∴∠F=∠ACE=45o， ∴BF=BE ，∴AB+BE=AB+BF=AF=AC ． 解法（二）（截长法或分割法）在AC 上截取AG=AB ，由已知 △ ABE ≌△AGE ，∴EG=BE, ∠AGE=∠ABE,∵∠ACE=45o, ∴CG=EG, ∴AB+BE=AG+CG=AC ． 2．平行线法（或平移法） 若题设中含有中点可以试过中点作平行线或中位线，对Rt △,有时可作出斜边的中线． 例2．△ABC 中，∠BAC=60°，∠C=40°AP 平分∠BAC 交BC 于P ，BQ 平分∠ABC 交AC 于Q ， 求证：AB+BP=BQ+AQ ． 证明：如图（1），过O 作OD ∥BC 交AB 于D ，∴∠ADO=∠ABC =180°－60°－40°=80°，又∵∠AQO=∠C+∠QBC=80°， ∴∠ADO=∠AQO ，又∵∠DAO=∠QAO ，OA=AO ， ∴△ADO ≌△AQO ，∴OD=OQ ，AD=AQ ，又∵OD ∥BP ， ∴∠PBO=∠DOB ，又∵∠PBO=∠DBO ，∴∠DBO=∠DOB ， ∴BD=OD ，∴AB+BP=AD+DB+BP =AQ+OQ+BO=AQ+BQ ． A B C P Q D O D 全等三角形的证明方法 一、三角形全等的判定： （1）三组对应边分别相等的两个三角形全等(SSS)； （2）有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS) ； （3）有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA) ； （4）有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS) ； （5）直角三角形全等的判定：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL). 二、全等三角形的性质： （1）全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等； （2）全等三角形的周长相等、面积相等； （3）全等三角形的对应边上的高对应相等； （4）全等三角形的对应角的角平分线相等； （5）全等三角形的对应边上的中线相等； 三、找全等三角形的方法： （1）可以从结论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中； （2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等； （3）从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等； （4）若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。三角形全等的证明中包含两个要素：边和角。 ①积极发现隐含条件： 公共角对顶角公共边 ②观察发现等角等边: 等边对等角同角的余角相等同角的补角相等 等角对等边等角的余角相等等角的补角相等 ③推理发现等边等角: 图1:平行转化图2 :等角转化图3:中点转化 图4 :等量和转化图5:等量差转化图6:角平分线性质转化 图7:三线合一转化图8:等积转化图9:中垂线转化图10:全等转化 图11:等段转化 四、构造辅助线的常用方法： 1、关于角平分线的辅助线: 当题目的条件中出现角平分线时，要想到根据角平分线的性质构造辅助线。 角平分线具有两条性质：①角平分线具有对称性； ②角平分线上的点到角两边的距离相等。 关于角平分线常用的辅助线方法： （1）截取构造全等: 如下左图所示，OC是∠AOB的角平分线，D为OC上一点，F为OB上一点，若在OA上取一点E，使得OE=OF，并连接DE，则有△OED≌△OFD，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。 例1、如上右图所示，AB//CD，BE平分∠BCD，CE平分∠BCD，点E在AD上，求证：BC=AB+CD。提示：在BC上取一点F使得BF=BA，连结EF。 （2）角分线上点向角两边作垂线构造全等 利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。如下左图所示，过∠AOB的平分线OC上一点D 向角两边OA、OB作垂线，垂足为E、F，连接DE、DF。则有：DE=DF，△OED≌△OFD。 例2、如上右图所示，已知AB>AD, ∠BAC=∠FAC,CD=BC。求证：∠ADC+∠B=180° 实用标准文案 全等三角形的证明 全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等． 寻找对应边和对应角，常用到以下方法： (1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． (3)有公共边的，公共边常是对应边． (4)有公共角的，公共角常是对应角． (5)有对顶角的，对顶角常是对应角． (6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)． 要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键． 全等三角形的判定方法： (1)边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． (2)角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． (3)边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等． (4)角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． (5)斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线． 拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础． 专题1、常见辅助线的做法 典型例题 找全等三角形的方法： （1）可以从结论出发，寻找要证明的相等的两条线段（或两个角）分别在哪两个可能全等的三角形中； （2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形全等； （3）可从条件和结论综合考虑，看它们能确定哪两个三角形全等； （4）若上述方法均不可行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。 精彩文档． 实用标准文案 三角形中常见辅助线的作法： 构造全等三角形种常用方法 在证明两个三角形全等时，选择三角形全等的五种方法（“SSS ”，“SAS ”，“ASA ”，“AAS ”，“HL ”）中，至少有一组相等的边，因此在应用时要养成先找边的习惯。如果选择找到了一组对应边，再找第二组条件，若找到一组对应边则再找这两边的夹角用“SAS ”或再找第三组对应边用“SSS ”；若找到一组角则需找另一组角（可能用“ASA ”或“AAS ”）或夹这个角的另一组对应边用“SAS ”；若是判定两个直角三角形全等则优先考虑“HL ”。上述可归纳为： () ()() ()S SSS S A SAS S S SAS A A AAS ASA ??? ????????? ?用用用用或 搞清了全等三角形的证题思路后，还要注意一些较难的一些证明问题，只要构造合适的全等三角形，把条件相对集中起来，再进行等量代换，就可以化难为易了．下面举例说明几种常见的构造方法，供同学们参考． 1．截长补短法 例1．如图（1）已知：正方形ABCD 中，∠BAC 的平分线交BC 于E ， 求证：AB+BE=AC ． 解法（一）（补短法或补全法）延长AB 至F 使AF=AC ， 由已知△AEF ≌△AEC ，∴∠F=∠ACE=45o， ∴BF=BE ，∴AB+BE=AB+BF=AF=AC ． 解法（二）（截长法或分割法）在AC 上截取AG=AB ，由已知 △ ABE ≌△AGE ，∴EG=BE, ∠AGE=∠ABE,∵∠ACE=45o, ∴CG=EG, ∴AB+BE=AG+CG=AC ． 2．平行线法（或平移法） 若题设中含有中点可以试过中点作平行线或中位线，对Rt △,有时可作出斜边的中线． 例2．△ABC 中，∠BAC=60°，∠C=40°AP 平分∠BAC 交BC 于P ，BQ 平分∠ABC 交AC 于Q ， 求证：AB+BP=BQ+AQ ． 证明：如图（1），过O 作OD ∥BC 交AB 于D ，∴∠ADO=∠ABC =180°－60°－40°=80°，又∵∠AQO=∠C+∠QBC=80°， ∴∠ADO=∠AQO ，又∵∠DAO=∠QAO ，OA=AO ， ∴△ADO ≌△AQO ，∴OD=OQ ，AD=AQ ，又∵OD ∥BP ， ∴∠PBO=∠DOB ，又∵∠PBO=∠DBO ，∴∠DBO=∠DOB ， ∴BD=OD ，∴AB+BP=AD+DB+BP =AQ+OQ+BO=AQ+BQ ． 说明：⑴本题也可以在AB 截取AD=AQ ，连OD ， 构造全等三角形，即“截长补短法”． ⑵本题利用“平行法”解法也较多，举例如下： ① 如图（2），过O 作OD ∥BC 交AC 于D ， 则△ADO ≌△ABO 来解决． ② 如图（3），过O 作DE ∥BC 交AB 于D ， A B C P Q D O O A B C P Q D 图（2） A B C P Q D E 图（3） O D - - -- 名师堂 校区地址： 市顺庆区吉隆街 咨询：2244028优学小班——提分更快、针对更强、时效更高构造全等三角形种常用 方法 在证明两个三角形全等时，选择三角形全等的五种方法（“SSS ”，“SAS ”，“ASA ”，“AAS ”，“HL ”）中，至少有一组相等的边，因此在应用时要养成先找边的习惯。如果选择找到了一组对应边，再找第二组条件，若找到一组对应边则再找这两边的夹角用“SAS ”或再找第三组对应边用“SSS ”；若找到一组角则需找另一组角（可能用“ASA ”或“AAS ”）或夹这个角的另一组对应边用“SAS ”；若是判定两个直角三角形全等则优先考虑“HL ”。上述可归纳为： ()()() ()S SSS S A SAS S S SAS A A AAS ASA ??? ????????? ?用用用用或 搞清了全等三角形的证题思路后，还要注意一些较难的一些证明问题，只要构造合适的全等三角形，把条件相对集中起来，再进行等量代换，就可以化难为易了．下面举例说明几种常见的构造方法，供同学们参考． 1．截长补短法 例1．如图（1）已知：正方形ABCD 中，∠BAC 的平分线交BC 于E ， 求证：AB+BE=AC ． 解法（一）（补短法或补全法）延长AB 至F 使AF=AC ， 由已知△AEF ≌△AEC ，∴∠F=∠ACE=45o， ∴BF=BE ，∴AB+BE=AB+BF=AF=AC ． 解法（二）（截长法或分割法）在AC 上截取AG=AB ，由已知 △ ABE ≌△AGE ，∴EG=BE,∠AGE=∠ABE,∵∠ACE=45o,∴CG=EG, ∴AB+BE=AG+CG=AC ． 2．平行线法（或平移法） 若题设中含有中点可以试过中点作平行线或中位线，对Rt △,有时可作出斜边的中线． 例2．△ABC 中，∠BAC=60°，∠C=40°AP 平分∠BAC 交BC 于P ，BQ 平分∠ABC 交AC 于Q ， 求证：AB+BP=BQ+AQ ． 证明：如图（1），过O 作OD ∥BC 交AB 于D ，∴∠ADO=∠ABC =180°－60°－40°=80°，又∵∠AQO=∠C+∠QBC=80°， ∴∠ADO=∠AQO ，又∵∠DAO=∠QAO ，OA=AO ， ∴△ADO ≌△AQO ，∴OD=OQ ，AD=AQ ，又∵OD ∥BP ， ∴∠PBO=∠DOB ，又∵∠PBO=∠DBO ，∴∠DBO=∠DOB ， ∴BD=OD ，∴AB+BP=AD+DB+BP =AQ+OQ+BO=AQ+BQ ． A B C P Q D O D构造全等三角形的策略
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