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高考复数专题复习

复数

【考纲解读】 1．复数的概念

① 理解复数的基本概念．② 理解复数相等的充要条件． ③ 了解复数的代数表示法及其几何意义． 2．复数的四则运算

① 会进行复数代数形式的四则运算．② 了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．【考点预测】

高考对此部分容考查的热点与命题趋势为:

1.复数是历年来高考重点容之一,经常以选择题与填空题形式考查,难度不大，在考查复数的概念及运算的同时，又考查转化与化归思想等数学思想，以及分析问题与解决问题的能力.

2.2015年的高考将会继续保持稳定,坚持复数的相关概念及其运算,命题形式会更加灵活. 【要点梳理】 1.复数的有关概念 (1)复数的概念

形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则a ＋b i 为实数，若b ≠0，则a ＋b i 为虚数，若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数． (2)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ?a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )． (3)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭?a ＝c ；b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )． (4)复数的模

向量OZ →

的模r 叫做复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2. 2．复数的四则运算

设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则 (1)加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； (2)减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ； (3)乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ；

(4)除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝

a ＋

b i

c －

d i

c ＋

d i c －d i

＝ac ＋bd ＋bc －ad i c 2＋d 2

(c ＋d i≠0)．

【例题精析】

考点一复数的有关概念

例1. (2012年高考卷文科4)设,R a b ∈，i 是虚数单位，则“0ab =”是“复数i

b a +为纯虚数”的（）A ．充分不必要条件 B 。必要不充分条件 C 。充分必要条件 D 。既不充分也不必要条件

【名师点睛】本小题主要考查复数的有关概念,复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部、虚部满足的方程即可．【变式训练】

1.(2011年高考卷3)设复数i 满足i z i 23)1(+-=+（i 是虚数单位），则z 的实部是_________ 【答案】1

【解析】因为321(32)()23i

z i i i i

-++=

=-+-=+，所以13z i =+,故z 的实部是1. 考点二复数的四则运算

例2.(2012年高考卷文科2) 已知i 是虚数单位，则

31i

+-=( ) A 1-2i B 2-i C 2+i D 1+2i

【变式训练】

2. （2012年高考新课标全国卷文科2）复数z ＝－3+i

2+i

的共轭复数是 ( )

（A ）2+i （B ）2－i （C ）－1+i （D ）－1－i

【易错专区】问题：复数的综合应用

例.（2012年高考卷3）设a b ∈R ，，117i

i 12i

a b -+=

-（i 为虚数单位），则a b +的值为．

【课时作业】

1. (2012年高考全国卷理科1)复数

131i

-+=+( ) A ．2i + B ．2i - C ．12i + D ．12i - 【答案】C 【解析】

i i

i i i i i i 212

42)1)(1()1)(31(131+=+=-+-+-=++-，选C. 2. (2011年高考卷理科2)复数z=22i

-+(i 为虚数单位)在复平面对应的点所在象限为( )

（A ）第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限【答案】D

【解析】因为22(2)34255

i i i

z i ---===+,故复数z 对应点在第四象限,选D. 3. (2011年高考卷理科1) i 是虚数单位，复数

131i

--=( )

A.2i -

B. 2i +

C.12i --

D. 12i -+ 【答案】A

【解析】因为

13(13)(1)

212

i i i i i --+==--，故选A. 4.(2011年高考卷理科1)设 i 是虚数单位，复数ai

i 1+2-为纯虚数，则实数a 为( )

（A ）2 (B) -2 (C) 1-2 (D) 1

5.(2011年高考卷理科2)把复数z 的共轭复数记作z ，若1z i =+，i 为虚数单位，则

(1)z z +=( )

（A ）3i - （B ）3i + （C ）13i +（D ）3 【答案】 A

【解析】(1)1(1)(1)123z z z zz i i i i i +=+=-++-=-+=- 故选A. 6.(2011年高考卷理科1)若i

z i

1+2=

，则复数z =( ) A. i -2- B. i -2+ C. i 2- D. i 2+ 【答案】D

【解析】因为i

z i

1+2==()()i i i 1+2-=2-，所以复数z =i 2+,选D. 7．（2010年高考卷文科2）复数z =1i

+在复平面上对应的点位于( )

(A)第一象限

（B ）第二象限

（C ）第三象限

（D ）第四象限

8. (2012年高考卷理科12)已知复数2

(3)z i =+ (i 为虚数单位)，则|z|=_____. 【答案】10

【解析】2

(3)z i =+=2

9686i i i ++=+，228610z =+=.

9．(2011年高考卷理科19)（12分）已知复数1z 满足1(2)(1)1z i i -+=-（i 为虚数单位），

复数2z 的虚部为2，12z z ?是实数，求2z .

【考题回放】

1.（2012年高考卷文科1）若复数z 满足(2)117i(i z i -=+为虚数单位)，则z 为( ) (A)3+5i (B)3－5i (C)－3+5i (D)－3－5i 【答案】A 【解析】i i

i i i i i i z 535

2515)2)(2()2)(711(2711+=+=+-++=-+=

.故选A. 2.（2012年高考卷文科3）复数1

=+( ) (A)

1122i - (B)11

i + (C) 1i - (D) 1i + 【答案】A 【解析】

11111(1)(1)222

i i i

i i i --===-++-，故选A. 3.(2012年高考卷文科1)设i 为虚数单位，则复数34i

+=( ) A -4-3i B -4+3i C 4+3i D 4-3i 【答案】D 【解析】因为

34i i +=(34)()

i i +?-=43i -,故选D. 4.(2012年高考卷文科1)i 是虚数单位，复数534i i

+-=( )

（A ）1-i （B ）-1+I （C ）1+I （D ）-1-i

5．(2012年高考卷文科2)在复平面，复数

103i

+对应的点的坐标为( ) A ． (1 ,3) B ．(3,1) C ．(-1,3) D ．(3 ,-1)

【答案】A

【解析】本题考查的是复数除法的化简运算以及复平面，实部虚部的概念。

i i

i i i i i i i i i 3110

301091030)3)(3()3(103102

2+=+=--=-+-=+，实部为1，虚部为3，对应复平面上的点为(1,3)，故选A ．

6.（2012年高考卷文科1）复数z 满足()2z i i i -=+，则z =（）（A ）1i -- （B ）1i - （C ）13i -+ （D ）12i -

7. (2012年高考卷文科2)复数z=i （i+1）（i 为虚数单位）的共轭复数是( ) A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i 【答案】A

【解析】由z=i （i+1）=1i -+，及共轭复数定义得1z i =--.

8.(2011年高考卷理科1)复数

234

1i i i i

++=-( ) （A ）1122i -

- (B) 1122i -+ (C) 1122i - (D) 1122

i +

9. (2012年高考卷文科1)计算：31i

-=+ （i 为虚数单位）【答案】 12i - 【解析】

31i i -=+242

-=12i -. 10. (2012年高考卷文科12)若=a+bi （a ，b 为实数，i 为虚数单位），则a+b=____________.

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一、复数选择题 1．若复数z 为纯虚数，且()373z i m i -=+，则实数m 的值为（） A ．97 - B ．7 C ． 97 D ．7- 2．复数312i z i =-的虚部是（） A ．65i - B ．35 i C ． 35 D ．65 - 3．已知i 是虚数单位，则复数41i i +在复平面内对应的点在（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 4．已知复数1z i i =+-（i 为虚数单位），则z =（） A ．1 B ．i C i D i 5．已知i 为虚数单位，若复数()12i z a R a i +=∈+为纯虚数，则z a +=（） A B ．3 C ．5 D ．6．在复平面内，复数z 对应的点是()1,1-，则1 z z =+（） A ．1i -+ B ．1i + C ．1i -- D ．1i - 7．已知复数z 的共轭复数212i z i -=+，i 是虚数单位，则复数z 的虚部是（） A ．1 B ．-1 C ．i D ．i - 8．复数11z =，2z 由向量1OZ 绕原点O 逆时针方向旋转3 π而得到.则21 arg()2z z -的值为（） A ． 6 π B ． 3 π C ． 23 π D ． 43 π 9．若( )()3 24z i i =+-，则在复平面内，复数z 所对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 10．已知i 是虚数单位，a 为实数，且3i 1i 2i a -=-+，则a ＝（） A ．2 B ．1 C ．-2 D ．-1 11．已知()312++=+a i i bi (,a b ∈R ，i 为虚数单位)，则实数+a b 的值为（） A ．3 B ．5 C ．6 D ．8 12．复数()()212z i i =-+，则z 的共轭复数z =（）

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一、复数选择题 1．复数11z i =-，则z 的共轭复数为（） A ．1i - B ．1i + C ．1122i + D ．1122i - 2．设复数1i z i = +，则z 的虚部是（） A ．12 B ．12i C ．12- D ．12 i - 3．设复数(,)z a bi a R b R =+∈∈，它在复平面内对应的点位于虚轴的正半轴上，且有1z =，则a b +=（） A ．-1 B ．0 C ．1 D ．2 4．若复数1z i i ?=-+，则复数z 的虚部为（） A ．－1 B ．1 C ．－i D ．i 5．在复平面内复数Z=i （1﹣2i ）对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 6．复数312i z i = -的虚部是（） A ．65i - B ．35i C ．35 D ．65- 7．))5511--+＝（） A ．1 B ．-1 C ．2 D ．-2 8．已知复数512z i = +，则z =（） A ．1 B C D ．5 9．已知复数()211i z i -=+，则z =（） A ．1i -- B ．1i -+ C ．1i + D ．1i - 10．已知2021(2)i z i -=，则复平面内与z 对应的点在（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 11．复数112z i =+，21z i =+（i 为虚数单位），则12z z ?虚部等于（）． A ．1- B ．3 C ．3i D ．i - 12．复数()()212z i i =-+在复平面内对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限

2018高考共轭复数类型题全解(附答案)

共轭复数的运算专项练习(2016—2018高考)(附答案) 2018年 1、（全国卷1）设z=i i +-11+2i , 则z =（） A. 0 B. 2 1 C. 1 D. 2 2、（全国卷2）=-+i i 2121（） A.i 5354-- B.i 5354+- C.i 5453-- D.i 5453+- 3、（全国卷3）（1+i ）（2-i ）=（） A.-3-i B.-3+i C.3-i D.3+i 4、（浙江卷）复数i -12（i 为虚数单位）的共轭复数是（） A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i 5、（江苏卷）若复数z 满足i ·z=1+2i,其中i 是虚数单位，则z 的实部为_______ 6、（天津卷）i 是虚数单位，复数 =++i i 2176_______ 7、（北京卷）在复平面内，复数i -11的共轭复数对应的点位于（） A. 第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2018答案 1、因为,22)1)(1(211)1(2i i i i i i i i i z i =+-=+-+=++-= -所以,1=z 故选C 。 2、 i i i i i i i 5 453)21)(21()21)(21(2121+-=+-++=-+，故选D 3、 i i i i i i +=-+-=-+322)2)(1(2，选D 4、因为i i i i i i i +=-+=+-+=-11)1(2)1)(1()1(2122，所以复数i -12的共轭复数为1-I,故选B.

5、复数i i i i i z -=-+=+= 2))(21(21的实部是2. 6、 i i i i i i i i -=-=-+-+=++45520)21)(21()21)(76(2176 7、 i i i 21212111+=+=-，其共轭复数为i 2121-，对应的点为（21，2 1-），故选D. 2017年 1、设有下面四个命题 1P :若复数z 满足R z ∈1，则R z ∈ 2P :若复数z 满足R z ∈2 ，则R z ∈ 3P : 若复数21,z z 满足R z z ∈21，则21z z = 4P : 若复数R z ∈，则R z ∈. 其中的真命题为 A. 1P ,3P B 1P .4P C. 2P ,3P D. 2P ,4P 2、=++i i 13 A.1+2i B.1-2i C.2+i D. 2-i 3、设复数z 满足（1+i ）z=2i,则z = A.21 B.22 C. 2 D. 2 4、已知R a ∈，i 是虚数单位，若i a z 3+=，4=?z z ，则a= A.1或-1 B. 7-7或 C. 3- D. 3 5、已知R a ∈，i 为虚数单位，若 i i +-2a 为实数，则a 的值为________. 6、已知i R b a bi a 43,,)(2+=∈+（i 是虚数单位），则=+22b a ________,

全国名校高考专题训练-复数

2008年全国名校高考专题训练 13复数一、选择题 1、(省执信中学、纪念中学、外国语学校三校期末联考)若复数 i i a 213++（a R ∈，i 为虚数单位）是纯虚数,则实数a 的值为（） A 、-6 B 、13 C.3 2 D.13 答案：A 2、(省皖南八校2008届高三第一次联考)定义运算 bc ad d c b a -=,,，则符合条件 01121=+-+i i i z ，，的复数_ z 对应的点在（） A ．第一象限； B ．第二象限； C ．第三象限； D ．第四象限；答案：A 3、(省市2008届第一次调研考试)若复数()()22ai i --是纯虚数（i 是虚数单位），则实数a =（） A.－4； B.4； C.－1； D.1；答案：B 4、(省市2008届高三第一次模拟考试)复数 i i ?--2123=（） A ．－i B ．I C ． 22－i D ．－22+i 答案：B 5、(省市2008届高三第二次教学质量检测)计算 242(1)12i i i +---等于（） A.0 B.2 C.－4i D.4i 答案：D 6、(市东城区2008年高三综合练习一）若复数z ai z i z 且复数满足,1)1(+=-在复平面上

对应的点位于第二象限，则实数a 的取值围是（） A ．1>a B ．11<<-a C ．1--