7.3* 复数的三角表示 7.3.1 复数的三角表示式
7.3.2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义
课标要求
素养要求
通过复数的几何意义，了解复数的三角表示；了解复数的代数表示与三角表示之间的关系；了解复数乘除运算的三角表示及其几何意义.
通过了解复数的三角表示及复数乘、除的几何意义，体会数学抽象及数学运算素养.
教材知识探究
前面已经学习过了复数的两种表示.一是代数表示，即z ＝
a ＋
b i(a ，b ∈R )；二是几何表示，复数z 既可以用复平面上的点Z (a ，b )表示，也可以用复平面上的向量OZ
→来表示.现在需要学习复数的三角表示，即用复数z 的模和辐角来表示复数. 问题 复数的三角形式在复数的运算中有怎样的作用？
提示 复数的三角形式是彻底解决复数乘、除、乘方和开方问题的桥梁，相比之下，代数形式在这些方面显得有点力不从心，因此，做好由复数的代数形式向三角形式的转化是非常有必要的.
1.复数的三角形式
一般地，任何一个复数z ＝a ＋b i 都可以表示成r (cos__θ＋isin__θ)的形式，其中，r 是复数z 的模；θ是以x 轴的非负半轴为始边，向量OZ
→所在射线(射线OZ )为终
边的角，叫做复数z ＝a ＋b i 的辐角，r (cos θ＋isin θ)叫做复数z ＝a ＋b i 的三角表示式，简称三角形式，为了与三角形式区分开来，a ＋b i 叫做复数的代数表示式，简称代数形式. 2.辐角主值
规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作arg__z . 3.复数三角形式的乘法
两个复数相乘，积的模等于各复数模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和. r 1(cos θ1＋isin θ1)·r 2(cos θ2＋isin θ2)＝r 1r 2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]. 4.复数三角形式的除法
两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.
r 1（cos θ1＋isin θ1）r 2（cos θ2＋isin θ2）＝r 1
r 2
[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)].
教材拓展补遗
[微判断]
1.任何一个不为零的复数的辐角有无限多个.(√)
2.复数0的辐角是任意的.(√)
3.复数的代数形式可以转化为三角形式，三角形式可以转化为代数形式.(√) [微训练]
1.复数1＋i 的辐角主值为( ) A.π6
B.π3
C.π4
D.π2 解析 因为复数1＋i 对应的点在第一象限，所以arg(1＋i)＝π
4. 答案 C
2.将复数i 对应的向量ON
→绕原点按逆时针方向旋转π3，得到向量OM →，则OM →对应
的复数是( ) A.32＋12i
B.－32＋12i
C.－32－12i
D.32－12i
解析 i ＝cos π2＋isin π2，将ON →绕原点按逆时针方向旋转π3得到OM →
＝cos 5π6＋isin 5π6＝－32＋12i. 答案 B
3.若z ＝cos 30°＋isin 30°，则arg z 2＝( ) A.30°
B.60°
C.90°
D.120°
解析 因为z ＝cos 30°＋isin 30°，
则z 2＝(cos 30°＋isin 30°)2＝(cos 30°＋isin 30°)×(cos 30°＋isin 30°)＝cos 60°＋isin 60°，故arg z 2＝60°. 答案 B [微思考]
1.复数的辐角有怎样的特征？
提示 任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍，复数0因为它对应着零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辐角也是任意的.
2.你能根据复数的三角形式来解释i 2＝－1的几何意义吗？
提示 i 本身可以用坐标平面上y 轴的点(0，1)表示.而i 2＝i ×i 表示把y 轴上的点(0，1)绕原点逆时针转90度，就变为x 轴上的点(－1，0).
题型一 复数的代数形式化为三角形式 【例1】 将下列复数代数式化成三角形式： (1)3＋i ；(2)1－i.
解 (1)r ＝
（3）2＋12＝2，所以cos θ＝3
2，
对应的点在第一象限，所以arg(3＋i)＝π
6，
所以3＋i ＝2? ?
???cos π6＋isin π6.
(2)r ＝12
＋（－1）2
＝2，所以cos θ＝2
2，
对应的点在第四象限，所以arg(1－i)＝7π
4，
所以1－i ＝2? ?
?
??cos 7π4＋isin 7π4.
规律方法 将复数的代数形式转化为三角形式的步骤：
(1)先求复数的模；(2)决定辐角所在的象限；(3)根据象限求出辐角；(4)求出复数的三角形式.
【训练1】 复数z ＝3－i 的三角形式为( ) A.2? ?
?
??cos 2π3＋isin 2π3 B.2? ?
?
??cos 5π3－isin 5π3 C.2? ?
?
??cos 7π6－isin 7π6 D.2? ?
?
??cos 11π6＋isin 11π6 解析 因为r ＝2，所以cos θ＝3
2，与z ＝3－i 对应的点在第四象限，所以arg(3
－i)＝11π6，
所以z ＝3－i ＝2? ?
???cos 11π6＋isin 11π6.
答案 D
题型二 复数的三角形式化为代数形式
【例2】 复数z ＝3? ??
??sin 2π
3＋icos 2π3化为代数形式为( )
A.32＋32i
B.－32＋32i
C.－32－32i
D.32－32i
解析 z ＝3? ????sin 2π
3＋icos 2π3
＝3sin 2π3＋3icos 2π3＝3×32＋i 3×? ??
??
－12
＝32－32i. 答案 D
规律方法 将复数的三角形式化为复数代数形式的方法是：复数三角形式z ＝r (cos A ＋isin A )，代数形式为z ＝x ＋y i ，对应实部等于实部，虚部等于虚部，即x
＝r cos A ，y ＝r sin A .
【训练2】 将复数z ＝2????
??
cos ? ????－π4＋isin ? ????－π4化为代数形式为________.
解析 z ＝2? ?
???cos π4－isin π4＝2×cos π4－i 2×sin π4＝1－i.
答案 1－i
题型三 复数三角形式的乘法运算 【例3】 计算：
(1)2? ????cos 2π3＋isin 2π3×3? ?
?
??cos 5π6＋isin 5π6；
(2)2(cos 5°＋isin 5°)×4(cos 30°＋isin 30°)×1
2(cos 25°＋isin 25°).
解 (1)2? ????cos 2π3＋isin 2π3×3? ?
???cos 5π6＋isin 5π6
＝23? ?
???cos 3π2＋isin 3π2
＝－23i.
(2)2(cos 5°＋isin 5°)×4(cos 30°＋isin 30°)×12(cos 25°＋isin 25°)＝8(cos 35°＋isin 35°)×12(cos 25°＋isin 25°)
＝4(cos 60°＋isin 60°) ＝2＋23i.
规律方法 直接利用复数三角形式的乘法运算法则进行运算，即两个复数相乘，所得的结果是模相乘，辐角相加.
【训练3】 计算：(3＋i)(cos 60°＋isin 60°)＝________. 解析 法一 (3＋i)(cos 60°＋isin 60°) ＝2(cos 30°＋isin 30°)(cos 60°＋isin 60°) ＝2(cos 90°＋isin 90°)＝2i. 法二 (3＋i)(cos 60°＋isin 60°)＝(
)
3＋i ? ??
??12＋32i
＝32＋32i ＋12i －3
2＝2i.
答案 2i
题型四 复数三角形式的除法运算
【例4】 (1)设π<θ<5π
4，则复数cos 2θ＋isin 2θcos θ－isin θ的辐角主值为( )
A.2π－3θ
B.3θ－2π
C.3θ
D.3θ－π
解析 cos 2θ＋isin 2θcos θ－isin θ＝cos 2θ＋isin 2θcos （－θ）＋isin （－θ）
＝cos 3θ＋isin 3θ， ∵π<θ<5π4，∴3π<3θ<15π
4， ∴π<3θ－2π<7π
4，故本题应选B. 答案 B
(2)计算：8? ?
???cos 7π6＋isin 7π6÷
??????4? ????cos π3＋isin π3. 解 8? ?
???cos 7π6＋isin 7π6÷
??????4? ????cos π3＋isin π3 ＝2? ?
???cos 5π6＋isin 5π6 ＝2? ????－32＋12i ＝－3＋i.
规律方法 直接利用复数三角形式的除法运算法则进行运算，即两个复数相除，所得的结果是模相除，辐角相减.
【训练4】 计算：2i÷
????
??
12（cos 30°＋isin 30°）. 解 2i÷
????
??
12（cos 30°＋isin 30°） ＝2(cos 90°＋isin 90°)÷
??????
12（cos 30°＋isin 30°） ＝4(cos 60°＋isin 60°)＝2＋23i.
一、素养落地
1.通过了解复数的代数表示与三角表示之间的关系，体会数学抽象素养.通过了解复数乘除运算的三角表示及其几何意义体会数学运算素养.
2.代数形式与三角形式的互化：
3.复数三角形式的结构特征是：模非负，角相同，余弦前，加号连.否则不是三角形式.三角形式中θ应是复数z 的一个辐角，不一定是辐角主值. 二、素养训练
1.将复数i 对应的向量ON
→绕原点按顺时针方向旋转π3，得到向量OM →，则OM →对应
的复数是( )
A.32＋12i
B.－32＋12i
C.－32－12i
D.32－12i
解析 i ＝cos π2＋isin π2，将OM
→绕原点按顺时针方向旋转π3得到OM →＝cos π6＋isin π
6
＝32＋12i. 答案 A
2.将复数z ＝8? ??
??sin π
3＋icos π3化为代数形式为________.
解析 z ＝8? ????sin π
3＋icos π3＝8×32＋8×12i ＝43＋4i.
答案 43＋4i
3.arg ? ??
??
－12－32i ＝________.
解析 复数z ＝－12－32i 对应的点位于第三象限，且cos θ＝－1
2，所以arg ? ??
??－12－32i ＝4π3. 答案 4π3
4.计算(cos π＋isin π)÷? ?
?
??cos π3＋isin π3＝________.
解析 (cos π＋isin π)÷? ?
?
??cos π3＋isin π3＝cos 2π3＋isin 2π3＝－12＋32i.
答案 －12＋3
2i
基础达标
一、选择题
1.复数z 1＝1，z 2由z 1绕原点O 逆时针方向旋转π
6而得到，则arg(z 2z 1)的值为( ) A.π12
B.π6
C.π4
D.π3
解析 由题可知z 1＝1＝cos 0＋isin 0，z 2＝cos π6＋isin π6，所以z 2z 1＝cos π
6
＋isin
π6，所以arg(z 2z 1)＝π6. 答案 B
2.复数－12＋3
2i 的三角形式是( ) A.cos 60°＋isin 60° B.－cos 60°＋isin 60° C.cos 120°＋isin 60°
D.cos 120°＋isin 120°
解析 令z ＝－12＋3
2i ＝a ＋b i ，
则r ＝|z |＝1，a ＝－12，b ＝3
2， ?????cos θ＝a r ＝－1
2，
sin θ＝b r ＝32.
∴可取θ＝120°.
∴z ＝cos 120°＋isin 120°＝－12＋32i.
答案 D
3.设A ，B ，C 是△ABC 的内角，z ＝(cos A ＋isin A )÷(cos B ＋isin B )·(cos C ＋isin C )是一个实数，则△ABC 是( ) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形
D.形状不能确定
解析 arg z ＝A －B ＋C ＝π－2B ＝0，则B ＝π2. 答案 C
4.复数cos π3＋isin π
3经过n 次乘方后，所得的复数等于它的共轭复数，则n 的值等于( ) A.3
B.12
C.6k －1(k ∈Z )
D.6k ＋1(k ∈Z )
解析 由题意，得? ?
???cos π3＋isin π3n
＝cos n π3＋isin n π3＝cos π3－isin π3，
由复数相等的定义，得????
?cos n π3＝cos π3＝1
2，sin n π3＝－sin π3＝－32.
解得n π3＝2k π－π
3(k ∈Z )，∴n ＝6k －1. 答案 C
5.复数z ＝cos π15＋isin π
15是方程x 5＋α＝0的一个根，那么α的值为( )
A.32＋12i
B.12＋32i
C.－32－12i
D.－12－32i
解析 因为z ＝cos π15＋isin π
15是方程x 5＋α＝0的一个根， 所以α＝－x 5＝－? ?
???cos π15＋isin π155
＝－cos π3－isin π3＝－12－3
2i. 答案 D 二、填空题
6.设z ＝1＋i ，则复数z 2－3z ＋6
z ＋1的三角形式是________.
解析 将z ＝1＋i 代入z 2－3z ＋6
z ＋1，得
原式＝（1＋i ）2－3（1＋i ）＋61＋i ＋1＝3－i 2＋i
＝1－i
＝2? ?
?
??cos 7π4＋isin 7π4.
答案 2? ?
???cos 7π4＋isin 7π4
7.3? ????cos 512π＋isin 512π·6? ?
?
??cos 56π＋isin 56π＝______.
解析 3? ????cos 512π＋isin 512π·6? ?
???cos 56π＋isin 56π
＝32? ?
???cos 5π4＋isin 54π
＝32? ????－22－22i
＝－3－3i. 答案 －3－3i
8.设(1＋i)z ＝i ，则复数z 的三角形式为________. 解析 ∵(1＋i)z ＝i ，
∴z ＝i 1＋i ＝i （1－i ）2＝12(1＋i)＝
22? ?
???cos π4＋isin π4. 答案 22? ?
???cos π4＋isin π4
三、解答题
9.写出下列复数的三角形式：
(1)a i(a ∈R )；(2)tan θ＋i ? ????
π2<θ<π；(3)－3(sin θ－icos θ).
解 (1)a i ＝?????a ? ?
?
??cos π2＋isin π2（a ≥0）－a ? ??
??cos 32π＋isin 32π（a <0）
(2)tan θ＋i ? ????
π2<θ<π
＝－1cos θ??????cos ? ????32π－θ＋isin ? ????32π－θ
(3)－3(sin θ－icos θ) ＝3??????cos ? ????π2＋θ＋isin ? ????π2＋θ 10.求证：
(1)[r (cos θ＋isin θ)]2＝r 2(cos 2θ＋isin 2θ)；
(2)[r (cos θ＋isin θ)]3＝r 3(cos 3θ＋isin 3θ). 证明 (1)[r (cos θ＋isin θ)]2＝r 2(cos θ＋isin θ)2 ＝r 2(cos 2 θ－sin 2θ＋2icos θsin θ) ＝r 2(cos 2θ＋isin 2θ)， 所以待证式成立.
(2)[r (cos θ＋isin θ)]3＝[r (cos θ＋isin θ)]2· [r (cos θ＋isin θ)]＝r 2(cos 2θ＋isin 2θ)·r (cos θ＋isin θ)
＝r 3[cos(2θ＋θ)＋isin(2θ＋θ)] ＝r 3(cos 3θ＋isin 3θ)， 所以待证式成立.
能力提升
11.若复数?
????1＋i 1－i n
为实数，则正整数n 的最小值是( ) A.1
B.2
C.3
D.4
解析 因为1＋i
1－i ＝2i 2＝i ，所以? ?????1＋i 1－i n ＝i n 为实数，所以n 的最小值为2. 答案 B
12.设z 1＝3＋i ，z 2＝1－i ，z 3＝sin π12＋icos π12，求z 1·z 32
i 9·z －3的值.
解 ∵z 1＝3＋i ＝2? ?
???cos π6＋isin π6，
z 2＝1－i ＝2? ?
???cos 7π4＋isin 7π4，
∴待求式＝
2? ?
???cos π6＋isin π6·
????
??2? ????cos 7π4＋isin 7π43
i 8·i·? ??
??sin π12－icos π12
＝42? ????cos π6＋isin π6? ??
??cos 21π4＋isin 21π4cos π12＋isin π12
＝42??????
cos ? ????π6＋21π4－π12＋isin ? ????π6＋
21π4－π12 ＝42??????cos ? ????5π＋π3＋isin ? ?
???5π＋π3
＝－22－26i.
创新猜想
13.(多填题)复数2＋2i 的辐角主值为________，化为三角形式为________. 解析 因为复数2＋2i 对应的点在第一象限， 所以arg(2＋2i)＝π4，
所以对应的三角形式为22? ?
?
??cos π4＋isin π4.
答案 π4 22? ?
?
??cos π4＋isin π4
14.(多填题)计算：z ＝2÷
??????12?
?
???cos π6＋isin π6＝______，则|z |＝________. 解析 2÷
??????12? ????cos π6＋isin π6＝2(cos 0＋isin 0)÷??????12?
????cos π6＋isin π6 ＝4??????
cos ? ????－π6＋isin ? ????－π6＝23－2i ， 则|z |＝|23－2i|＝（23）2＋（－2）2＝16＝4.
答案 23－2i 4
三角函数 解三角形 ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα?<
第3课时三角形中的几何计算 学习目标核心素养 1.掌握三角形的面积公式的应 用．(重点 ) 2．掌握正、余弦定理与三角函数 公式的综合应用．(难点) 1.通过三角形面积公式的学习，培 养学生的数学运算的素养． 2．借助三角形中的综合问题的学 习，提升学生的数学抽象的素养. 1．三角形的面积公式 (1)S＝ 1 2a·h a＝ 1 2b·h b＝ 1 2c·h c(h a，h b，h c分别表示a，b，c边上的高)； (2)S＝ 1 2ab sin C＝ 1 2bc sin A＝ 1 2ca sin B； (3)S＝ 1 2(a＋b＋c)·r(r为内切圆半径)． 2．三角形中常用的结论 (1)∠A＋∠B＝π－∠C， ∠A＋∠B 2＝ π 2－ ∠C 2； (2)在三角形中大边对大角，反之亦然； (3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边； (4)三角形的诱导公式 sin(A＋B)＝sin_C，cos(A＋B)＝－cos_C， tan(A＋B)＝－tan_C? ? ? ? ? ∠C≠ π 2， sin A＋B 2＝cos C 2， cos A＋B 2＝sin C 2. 1．在△ABC中，已知a＝2，b＝3，∠C＝120°，则S△ABC＝()
A ．3 2 B ．33 2 C ．3 D ．3 B [S △AB C ＝12ab sin C ＝12×2×3×32＝33 2.] 2．在△ABC 中，a ＝6，∠B ＝30°，∠C ＝120°，则△ABC 的面积为________． 93 [由题知∠A ＝180°－120°－30°＝30°.∴6sin 30°＝b sin 30°，∴b ＝6，∴S ＝1 2×6×6×sin 120°＝9 3.] 3．若△ABC 的面积为3，BC ＝2，∠C ＝60°，则边AB 的长度等于________． 2 [在△ABC 中，由面积公式得S ＝12BC ·AC ·sin C ＝12×2·AC ·sin 60°＝3 2AC ＝3， ∴AC ＝2. ∵BC ＝2，∠C ＝60°， ∴△ABC 为等边三角形． ∴AB ＝2.] 三角形面积的计算 【例1】 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，∠B ＝π3，cos A ＝4 5，b ＝ 3. (1)求sin C 的值； (2)求△ABC 的面积． [解] (1)∵角A ，B ，C 为△ABC 的内角，且∠B ＝π3，cos A ＝4 5， ∴∠C ＝2π3－∠A ，sin A ＝3 5. ∴sin C ＝sin ? ?? ?? 2π3－A ＝32cos A ＋12sin A ＝3＋4310.
1 第三章第一节 数系的扩充与复数的概念 学习目标 1.在问题情境中了解数系的扩充过程，体会数与现实世界的联系。 2.理解复数基本概念以及复数相等的充要条件。 自学探究 问题1. 在实数集中方程x 2-1=0是什么？ 方程x 2 +1=0有实数解吗？联系从自然数系到实数系的扩充过程，你能 设想一种方法，使这个方程有解吗？ 问题2.复数的概念是什么？ 问题3.若复数a+bi=c+di ，则实数a 、b 、c 、d 满足什么条件？ 问题4.你能对复数集进行恰当地分类吗？并举出相应例子。 练习题： （一）完成课本104页1，2，3 （二）1.实数m 取何值时，复数z=m+1+(m-1)i 是实数？虚数？纯虚数？ 2.已知i 是虚数单位，复数Z=(m 2 -4)+(m+2)i ，当m 取何实数时，Z 是：（1）实数 （2）纯虚数 3. 如果222(32)z a a a a i =+-+-+为实数,求实数a 的值。 4.若(32)(5)172x y x y i i ++-=-，则,x y 的值是？ 5.已知复数a bi +与3(4)k i +-相等，且a bi +的实部、虚部分别是方程x 2 -4x+3=0的两根，试求：,,a b k 的值。 [思考]：你能得出判断一个数是实数、虚数，纯虚数的方法吗？ 第三章第二节 复数的几何意义 学习目标 1.通过复数与从原点出发的向量的对应关系了解复数的几何意义，从中体会数形结合的思想； 2.从复数几何意义的引入过程中体会用几何研究代数问题的方法。 自学探究 问题1.在直角坐标系中，有序实数对与点一一对应，类比此种对应，复数能与什么建立一一对应？ 问题2.复数Z= (,)a bi a b R +∈（ 可以与复平面的向量对应吗？复数的几何意义是什么？ 问题3.怎样求一个复数的模？ 练习题： （一）完成课本105页1，2，3；106页A 组全做 （二） 1.若复数12z i =+，求z 的模。 2.若复数22(34)(56)Z m m m m i =--+--表示的点在虚轴上，求实数m 的取值，并求z 的模。 3.在复平面内指出与复数112z i =+，223z i =，332z i =，42z i =-+对应的点1Z ，2Z ，3Z ，4Z . 试 判断这4个点是否在同一个圆上?并证明你的结论. 第三章第三节 复数代数形式的加减运算及其几何意义 1.会进行复数的代数形式的加、减运算，了解其几何意义； 2.通过复数加法几何意义的探究渗透数形结合、类比的数学思想。 自学探究 问题1.复数与复平面内的向量有一一对应的关系，类比向量加法，你能得出复数的加法运算法则吗？ 复数加法的几何意义呢？ 问题2.复数的加法满足交换律、结合律吗？请结合复数加法运算法则证明。 问题3.若复数z 1+z 2=z 3,你能否用z 2和z 3表示出z 1 ？请画图说明。 你能因此得出复数减法法则及其几何意义吗？ 练习题： （一）完成课本109页1，2 （二）计算 （1）(56)(2)(34)i i i -+---+ （2）5i -(-2+3i )+(4-7i ) 2 . 已知平行四边形OABC 的三个顶点O 、A 、C 对应的复数分别为0，32i +，24i -+，试求： （1）AO 表示的复数； （2）CA 表示的复数； （3）B 点对应的复数. 3.ABCD 是复平面内的平行四边形，A ，B ，C 三点对应的复数分别是13,,2i i i +-+，求点D 对应的复数. 4. 当2 13 m <<时，复数(3)(2)m i i +-+在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 第三章第四节 复数代数形式的乘除运算 学习目标 1. 理解共轭复数的概念； 2. 能进行复数的代数形式的乘、除运算，从中体会类比数学思想。 自学探究 问题1.类比(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd,你能得出(a+bi)(c+di)=? 问题2.复数的乘法是否满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律？请举例说明。 问题3.复数34i +与3-4i 有何关系？a bi +的共轭复数是什么？bi 的共轭复数是什么？ 思考：若12,z z 是共轭复数，那么（1）在复平面内，它们所对应的点的位置关系如何？ （2）12z z ?是一个怎样的数？有何特征？ 问题4.类比实数的除法是乘法的逆运算，请探究（1+2i ）Z =4+3i 中的复数Z =？ 你能得出复数除法运算法则吗？ 练习题： （一）完成课本111页1，2，3；112页A 组1至6题;116页A 组全做，B 组1，2题。 （二）1. 复数5 2 i -的共轭复数是（ ） A ．2i + B ．2i - C ．2i -- D ．2i - 2.如果复数212bi i -+的实部和虚部互为相反数，那么实数b 的值为（ ） A 2 B ．-2 C ．23- D ．2 3 3. 若12z i =，则22z z -的值为 4. 计算 （1）13()(1)2i -+； （2）3113 ()()22-- 5. 若复数z 满足11z i z -=+，则|1|z +的值为 第三章 数系的扩充与复数的引入（复习课） 1. 设134z i =-，223z i =-+，则12z z +在复平面内对应的点（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2. 2(1)i i -?等于（ ） A ．22i - B ．22i + C ．2- D ．2 3. 复数21 (1)i +的值是（ ） A ．2i B ．2i - C ．2 D ．2-
与三角函数有关的几何题 例1、如图3，直线AB 经过⊙O 上的点C ，并且OA OB =，CA CB =，⊙O 交直线 OB 于E D ，，连接EC CD ，． （1）求证：直线AB 是⊙O 的切线； （2）试猜想BC BD BE ，，三者之间的等量关系，并加以证明； （3）若1 tan 2 CED ∠= ，⊙O 的半径为3，求OA 的长． 析解：（1）证明：如图6，连接OC ． OA OB = ，CA CB =，OC AB ∴⊥． AB ∴是⊙O 的切线． （2）BC 2=BD ×BE ． ED 是直径，90ECD ∴∠= ． 90E EDC ∴∠+∠= ． 又90BCD OCD ∠+∠= ，OCD ODC ∠=∠， BCD E ∴∠=∠． 又CBD EBC ∠=∠ ，BCD BEC ∴△∽△． BC BD BE BC ∴ =．∴BC 2=BD ×BE . （3）1tan 2CED ∠= ，1 2 CD EC ∴ =． BCD BEC △∽△，1 2BD CD BC EC ∴==． 设BD x =，则2BC x =． 又BC 2=BD ×BE ，∴（2x ）2=x (x +6) 解之，得10x =，22x =．0BD x => ，2BD ∴=． 325OA OB BD OD ∴==+=+=．
2、已知：如图，AB 是⊙O 的直径，10AB =, DC 切⊙O 于点C AD DC ⊥，，垂足 为D ， AD 交⊙O 于点E ． （1）求证：BC EC =; （2）若4 cos 5 BEC ∠=, 求DC 的长． 3、如图，以线段AB 为直径的⊙O 交线段AC 于点E ，点M 是的中点， OM 交AC 于点D ，∠BOE=60°，cosC=，BC=2 ． （1）求∠A 的度数； （2）求证：BC 是⊙O 的切线； （3）求MD 的长度． 分析：（1）根据三角函数的知识即可得出∠A 的度数． （2）要证BC 是⊙O 的切线，只要证明AB ⊥BC 即可． （3）根据切线的性质，运用三角函数的知识求出MD 的长度． 解答：（1）解：∵∠BOE=60°，∴∠A=∠BOE=30°． （2）证明：在△ABC 中，∵cosC=，∴∠C=60°． 又∵∠A=30°，∴∠ABC=90°，∴AB ⊥BC ．∴BC 是⊙O 的切线． （3）解：∵点M 是 的中点，∴OM ⊥AE ． 在Rt △ABC 中，∵BC=2，∴AB=BC ?tan60°=2 × =6． ∴OA= =3，∴OD=OA=，∴MD=． 点评：本题综合考查了三角函数的知识、切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可． 4、如图，已知Rt △ABC 和Rt △EBC ，∠B=90°．以边AC 上的点O 为圆心、OA 为半径的⊙O 与EC 相切，D 为切点，AD ∥BC ． （1）用尺规确定并标出圆心O ；（不写作法和证明，保留作图痕迹） （2）求证：∠E=∠ACB ； （3）若AD=1， ，求BC 的长． B
新授课:3.2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义 教学目标 重点:复数代数形式的加法、减法的运算法则． 难点:复数加法、减法的几何意义. 知识点:.掌握复数代数形式的加、减运算法则; .理解复数代数形式的加、减运算的几何意义. 能力点:培养学生渗透转化、数形结合的数学思想方法,提高学生分析问题、解决问题以及运算的能力． 教育点:通过探究学习,培养学生互助合作的学习习惯,培养学生对数学探索和渴求的思想. 在掌握知识的同时,形成良好的思维品质和锲而不舍的钻研精神. 自主探究点：如何运用复数加法、减法的几何意义来解决问题. 考试点：会计算复数的和与差;能用复数加、减法的几何意义解决简单问题. 易错易混点：复数的加法与减法的综合应用. 拓展点：复数与其他知识的综合. 一、引入新课 复习引入 .虚数单位：它的平方等于,即; .对于复数： 当且仅当时,是实数; 当时,为虚数; 当且时,为纯虚数; 当且仅当时,就是实数. .复数集与其它数集之间的关系：. 一一对应 .复数几何意义： 复数复平面内的向量 我们把实数系扩充到了复数系,那么复数之间是否存在运算呢?答案是肯定的,这节课我们就来研究复数的加减运算. 【设计意图】通过复习回顾复数概念、几何意义等相关知识,使学生对这一知识结构有个清醒的初步认知,逐渐过渡到对复数代数形式的加减运算及其几何意义的学习情境,为探究本节课的新知识作铺垫. 二、探究新知
探究一:复数的加法 .复数的加法法则 我们规定,复数的加法法则如下: 设,是任意两个复数,那么： 提出问题： ()两个复数的和是个什么数,它的值唯一确定吗? ()当时,与实数加法法则一致吗? ()它的实质是什么?类似于实数的哪种运算方法? 学生明确: ()仍然是个复数,且是一个确定的复数; ()一致; ()实质是实部与实部相加,虚部与虚部相加,类似于实数运算中的合并同类项．【设计意图】加深对复数加法法则的理解,且与实数类比,了解规定的合理性:将实数的运算通性、通法扩充到复数,有利于培养学生的学习兴趣和创新精神． .复数加法的运算律 实数的加法有交换律、结合律,复数的加法满足这些运算律吗? 对任意的,有 （交换律）, （结合律）. 【设计意图】引导学生根据实数加法满足的运算律,大胆尝试推导复数加法的运算律,学生先独立思考,然后小组交流.提高学生的建构能力及主动发现问题,探究问题的能力． .复数加法的几何意义 复数与复平面内的向量有一一对应关系,那么请同学们猜想一下,复数的加法也有这种对应关系吗? 设分别与复数对应,则有,由平面向量的坐标运算有 . 这说明两个向量的和就是与复数对应的向量.因此,复数的加法可以按照向量加法的平行四边形法则来进行.这就是复数加法的几何意义.如图所示：
1．如图，在ABC ?中，点D 在边BC 上， 4 CAD π ∠= ， 72AC = ， cos 10 ADB ∠=-． （1）求sin C ∠的值； （2）若ABD ?的面积为7，求AB 的长． 【答案】(1) sin C ∠= 4 5 ;(2) AB = 【解析】试题分析：（1）由同角三角函数基本关系式可求sin ADB ∠，由4 C ADB π ∠=∠- ，利用两角差 的正弦函数公式及特殊角的三角函数值即可求值得解；（2）先由正弦定理求AD 的值，再利用三角形面积公式求得BD ，与余弦定理即可得解AB 的长度. 试题解析：（1 ）因为cos 10ADB ∠=- ，所以sin 10 ADB ∠=， 又因为4 CAD π ∠= ，所以4 C ADB π ∠=∠- ， 所以sin sin 4C ADB π? ? ∠=∠- ?? ? sin cos cos sin 4 4 ADB ADB π π =∠-∠ 4 1021025 = +?=． （2）在ADC ?中，由正弦定理 sin sin AD AC C ADC =∠∠， 故( )74sin sin sin sin sin sin AC C AC C AC C AD ADC ADB ADB π? ?∠?∠?∠==== ∠-∠∠ = 又11sin 72210 ABD S AD AB ADB BD ?= ???∠=??=，解得5BD =． 在ADB ?中，由余弦定理得 2 2 2 2cos AB AD BD AD BD ADB =+-??∠ 8252537AB ?=+-??=?= ?? 2．在ABC ?中，内角A,B,C,所对应的边为,,a b c 且b c ≠,且 22sin sin cos cos C B B B C C -=
三角形中的几何计算 【知识与技能】 1.通常对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的度量问题. 2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关三角形的边和角以及三角形的面积等问题. 3.深刻理解三角形的知识在实际中的应用，增强应用数学建模意识，培养分析问题和解决实际问题的能力. 【重点】应用正、余弦定理解三角形. 【难点】灵活应用正、余弦定理及三角恒等变换解决三角形中的几何计算. 【三角形常用面积公式】（对应教材P25页B 组第2小题） （1）S = 2 1 ； （2）S = 21ab sin C =21 =21 ； （3）S = 2 1 ·r · (r 为三角形内切圆半径)； （4）2a b c S p ++?= =?? 其中(海伦公式)； （5）22sin sin sin sin sin sin b A C c A B S B C = == ; （6）4abc S R = (其中R 为三角形外接圆半径)。 类型1 三角形中的面积计算问题 【例1】△ABC 中，已知C ＝120°，AB ＝23，AC ＝2，求△ABC 的面积． 解：由正弦定理AB sin C ＝AC sin B ，∴sin B ＝AC sin C AB ＝2sin 120°23＝12.因为AB >AC ，所以C >B ， ∴B ＝30°，∴A ＝30°.所以△ABC 的面积S ＝12AB ·AC ·sin A ＝1 2 ·23·2·sin 30°＝ 3. 小结：由于三角形的面积公式有三种形式，实际使用时要结合题目的条件灵活运用；如果已知两边及其夹角可以直接求面积，否则先用正、余弦定理求出需要的边或角，再套用公式计算． 【练习】(2013·蒙阴高二检测)在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝2，且△ABC 的面积S △ABC ＝3 2 ，则边BC 的长为________． 解：由S △ABC ＝ 32，得12AB ·AC sin A ＝32，即12×2AC ×32＝32 ，∴AC ＝1.由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝22＋12－2×2×1×1 2 ＝3.∴BC ＝ 3. 类型2 三角形中的长度、角度计算问题 【例2】如图所示，在四边形ABCD 中，AD ⊥CD,AD =10,AB =14,∠BDA =60°, ∠BCD =135°,求BC 的长. 解：在△ABD 中，由余弦定理，得AB 2=AD 2+BD 2-2AD ·BD ·cos ∠ADB ,
一．选择题（共10小题） 1．（2015?遵义校级一模）已知i是虚数单位，则复数z=i2015的虚部是（） A．0 B．﹣1 C．1 D．﹣i 2．（2015?安庆校级三模）设i是虚数单位，则复数1﹣2i+3i2﹣4i3等于（） A．﹣2﹣6i B．﹣2+2i C．4+2i D．4﹣6i 3．（2015?广西校级学业考试）实数x，y满足（1+i）x+（1﹣i）y=2，则xy的值是（） A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2 4．（2015?泉州校级模拟）如果复数z=a2+a﹣2+（a2﹣3a+2）i为纯虚数，那么实数a的值为（）A．﹣2 B．1 C．2 D．1或﹣2 5．（2015?潍坊模拟）设复数z=1+bi（b∈R）且|z|=2，则复数的虚部为（） A．B．C．±1 D． 6．（2015?浠水县校级模拟）已知复数z与（z+2）2﹣8i是纯虚数，则z=（） A．﹣2i B．2i C．﹣i或i D．2i或﹣2i 7．（2015?新课标II）若a为实数，且（2+ai）（a﹣2i）=﹣4i，则a=（） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 8．（2015?南平模拟）已知x，y∈R，i为虚数单位，且yi﹣x=﹣1+i，则（1﹣i）x+y的值为（）A．2 B．﹣2i C．﹣4 D．2i 9．（2015?宜宾模拟）在复平面内，复数3﹣4i，i（2+i）对应的点分别为A、B，则线段AB的中点C对应的复数为（） A．﹣2+2i B．2﹣2i C．﹣1+i D．1﹣i 10．（2015?上饶校级一模）已知i为虚数单位，a∈R，若a2﹣1+（a+1）i为纯虚数，则复数z=a+（a﹣2）i 在复平面内对应的点位于（） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 二．填空题（共5小题） 11．（2015?岳阳二模）已知z=x+yi，x，y∈R，i为虚数单位，且z=（1+i）2，则ix+y=．12．（2015春?常州期中）计算i+i2+…+i2015的值为． 13．（2015春?肇庆期末）从{0，1，2，3，4，5} 中任取2个互不相等的数a，b组成a+bi，其中虚数有个． 14．（2015?泸州模拟）设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z=． 15．（2014?奎文区校级模拟）设O是原点，向量、对应的复数分别为2﹣3i，﹣3+2i，那么，向量 对应的复数是． 三．解答题（共8小题） 17．（2015?赫章县校级模拟）已知复平面内平行四边形ABCD，A点对应的复数为2+i，向量对应的复数为1+2i，向量对应的复数为3﹣i． （1）求点C，D对应的复数； （2）求平行四边形ABCD的面积． 18．（2015春?蠡县校级期末）实数m取什么数值时，复数z=m2﹣1+（m2﹣m﹣2）i分别是：
基础巩固强化 一、选择题 1．若OZ →＝(0，－3)，则OZ →对应的复数为( ) A ．0 B ．－3 C ．－3i D ．3 [答案] C [解析] 由OZ →＝(0，－3)，得点Z 的坐标为(0，－3)， ∴OZ →对应的复数为0－3i ＝－3i.故选C. 2．复数z 与它的模相等的充要条件是( ) A ．z 为纯虚数 B ．z 是实数 C ．z 是正实数 D ．z 是非负实数 [答案] D [解析] ∵z ＝|z |，∴z 为实数且z ≥0. 3．已知复数z ＝a ＋i(其中a ∈R ，i 为虚数单位)的模为|z |＝2，则a 等于( ) A ．1 B ．±1 C. 3 D ．±3 [答案] D [解析] ∵|z |＝2，∴a 2＋1＝4，∴a ＝±3. 4．在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A 、B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( ) A ．4＋8i B ．8＋2i
C ．2＋4i D ．4＋i [答案] C [解析] 由题意，得点A (6,5)，B (－2,3)．由C 为线段AB 的中点，得点C (2,4)， ∴点C 对应的复数为2＋4i. 5．复数z ＝(a 2－2a )＋(a 2－a －2)i 对应的点在虚轴上，则( ) A ．a ≠2或a ≠1 B ．a ≠2或a ≠－1 C ．a ＝2或a ＝0 D ．a ＝0 [答案] C [解析] 由题意知a 2－2a ＝0， 解得a ＝0或2. 6．当2 3
7．1.2 复数的几何意义 考点 学习目标 核心素养 复平面 了解复平面的概念 数学抽象 复数的几何意义 理解复数、复平面内的点、复平面内的向量之间的对应关系 直观想象 复数的模 掌握复数的模的概念，会求复数的模 数学运算 共轭复数 掌握共轭复数的概念，并会求一个复数的共轭复数 数学运算 问题导学 预习教材P70－P72的内容，思考以下问题： 1．复平面是如何定义的？ 2．复数与复平面内的点及向量的关系如何？复数的模是实数还是虚数？ 3．复数z ＝a ＋b i 的共轭复数是什么？ 1．复平面 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 2．复数的两种几何意义 (1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )←――→一一对应 复平面内的点Z (a ，b )． (2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ) ←――→一一对应平面向量OZ →. ■名师点拨 (1)复平面内的点Z 的坐标是(a ，b )，而不是(a ，b i)．也就是说，复平面内的虚轴上的单位长度是1，而不是i. (2)当a ＝0，b ≠0时，a ＋b i ＝0＋b i ＝b i 是纯虚数，所以虚轴上的点(0，b )(b ≠0)都表示纯虚数． (3)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中的z ，书写时应小写；复平面内的点Z (a ，b )中的Z ，书写时应大写． 3．复数的模
复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )对应的向量为OZ →，则OZ → 的模叫做复数z 的模或绝对值，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2． ■名师点拨 如果b ＝0，那么z ＝a ＋b i 是一个实数a ，它的模等于|a |(a 的绝对值)． 4．共轭复数 (1)一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数． (2)虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数． (3)复数z 的共轭复数用z －表示，即如果z ＝a ＋b i ，那么z － ＝a －b i ． ■名师点拨 复数z ＝a ＋b i 在复平面内对应的点为(a ，b )，复数z － ＝a －b i 在复平面内对应的点为(a ，－b )，所以两个互为共轭复数的复数，它们所对应的点关于x 轴对称． 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)原点是实轴和虚轴的交点．( ) (2)实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示纯虚数．( ) (3)若|z 1|＝|z 2|，则z 1＝z 2.( ) (4)若z 1与z 2互为共轭复数，则|z 1|＝|z 2|.( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√ 复数1－2i 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案：D 复数z ＝1＋3i 的模等于( ) A ．2 B ．4 C.10 D ．2 2 答案：C 复数z ＝－2＋5i 的共轭复数z － ＝________． 答案：－2－5i
三角函数相关几何计算训练 1．（2011?南宁）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=15°，AB=8，则AC?BC的值为（） A．14 B．16C．4D．16 2．如图，在?ABCD中，AB：AD=3：2，∠ADB=60°，那么cosA的值等于（） A．B．C．D． 3．（2013?遵义模拟）如图，△ABC内接于⊙O，AD为⊙O的直径，交BC于点E，若DE=2，OE=3，则tanC?tanB=（） A．2B．3C．4D．5 4．路边路灯的灯柱BC垂直于地面，灯杆BA的长为2m，灯杆与灯柱BC成120度角，锥形灯罩轴线AD与灯杆AB 垂直，且灯罩轴线AD正过道路路面的中心线（D在中心线上），已经点C与D点之间的距离为12m，则BC的高（）m． A．B．12 C．D． 5．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，D为BC的中点，将△ABC折叠，使点A与点D重合，EF为折痕，则sin∠BED的值是（） A．B．C．D． 6．（2011?西城区一模）如图，点A在半径为3的⊙O内，OA=，P为⊙O上一点，当∠OPA取最大值时，PA的长等于（）
A．B．C．D． 7．将一副直角三角板中的两块按如图摆放，连AD，则tan∠DAC的值为（） A．B．C．D． 8．如图，在△ABC中，∠A=30°，E为AC上一点，且AE：EC=3：1，EF⊥AB于F，连接FC，则tan∠CFB等于（） A．B．C．D． 9．（2007?临沂）如图，客轮在海上以30km/h的速度由B向C航行，在B处测得灯塔A的方位角为北偏东80°，测得C处的方位角为南偏东25°，航行1小时后到达C处，在C处测得A的方位角为北偏东20°，则C到A的距离是（） A．15km B．15km C．15（+）km D．5（+3）km 10．（2004?武汉）已知：如图，⊙O1与⊙O2外切于C点，AB一条外公切线，A、B分别为切点，连接AC、BC．设⊙O1的半径为R，⊙O2的半径为r，若tan∠ABC=，则的值为（） A．B．C．2D．3 11．如图在梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥CD，BC=CD=2AD，E是CD上一点，∠ABE=45°，则tan∠AEB的值等于（）
13. 三角函数的综合运用 知识考点： 本课时主要是解直角三角形的应用，涉及到的内容包括航空、航海、工程、测量等领域。要求能灵活地运用解直角三角形的有关知识，解决这些实际问题。熟悉仰角、俯角、坡度、方位角等概念，常用的方法是通过数形结合、建立解直角三角形的数学模型。 精典例题： 【例1】如图，塔AB 和楼CD 的水平距离为80米，从楼顶C 处及楼底D 处测得塔顶A 的仰角分别为450和600 ，试求塔高与楼高（精确到0.01米）。 （参考数据：2＝1.41421…，3＝1.73205…） 分析：此题可先通过解Rt △ABD 求出塔高AB ，再利用CE ＝BD ＝80米，解Rt △AEC 求出AE ，最后求出CD ＝BE ＝AB －AE 。 解：在Rt △ABD 中，BD ＝80米，∠BAD ＝600 ∴AB ＝56.13838060tan 0 ≈=?BD （米） 在Rt △AEC 中，EC ＝BD ＝80米，∠ACE ＝450 ∴AE ＝CE ＝80米 ∴CD ＝BE ＝AB －AE ＝56.5880380≈-（米） 答：塔AB 的高约为138. 56米，楼CD 的高约为58. 56米。 【例2】如图，直升飞机在跨河大桥AB 的上方P 点处，此时飞机离地面的高度PO ＝450米，且A 、B 、O 三点在一条直线上，测得大桥两端的俯角分别为0 30=α，045=β，求大桥AB 的长（精确到1米，选用数据：2＝1.41，3＝1.73） 分析：要求AB ，只须求出OA 即可。可通过解Rt △POA 达到目的。 解：在Rt △PAO 中，∠PAO ＝0 30=α ∴OA ＝345030cot 450cot 0 ==∠?PAO PO （米） 在Rt △PBO 中，∠PBO ＝0 45=β ∴OB ＝OP ＝450（米） ∴AB ＝OA －OB ＝3294503450≈-（米） 答：这座大桥的长度约为329米。 评注：例1和例2都是测量问题（测高、测宽等），解这类问题要理解仰角、俯角的概念，合理选择关系式，按要求正确地取近似值。 【例3】一艘渔船正以30海里／小时的速度由西向东追赶鱼群，在A 处看见小岛C 在 船的北偏东600方向，40分钟后，渔船行至B 处，此时看见小岛C 在船的北偏东300 方向，已知以小岛C 为中心周围10海里以内为我军导弹部队军事演习的着弹危险区，问这艘渔船继续向东追赶鱼群，是否有进入危险区域的可能？ 分析：此题可先求出小岛C 与航向（直线AB ）的距离，再与10海里进行比较得出结论。 0450 60 例1图 F E D C B A 例2图 β α A B O P
高考数学一轮复习专题训练(40) 复数的概念、几何意义及运算 班级________姓名____________学号______成绩______日期____月____日 一、填空题 1. 复数z＝ 1 1－i 的虚部是________． 2. 设z＝(2－i)2(i为虚数单位)，则复数z的模为________． 3. 若复数a＋i 1＋i 为纯虚数，则实数a的值是________． 4. 若复数z＝2－i 3－4i ，则z的共轭复数为z＝________． 5. 在复平面内，复数1－i 2＋i ＋i2 019对应的点位于第 ________象限． 6. 若复数z＝ 1 a－2 ＋(a2－4)i(a∈R)是实数，则a＝ ________．
7. 已知i是虚数单位，则满足z－i＝|3＋4i|的复数z在复平面上对应点在第________象限． 8. 满足条件|z－i|＝|z＋3|的复数z在复平面上对应点的轨迹是________． 9. 已知i是虚数单位，a、b∈R，则“a＝b＝1”是“(a ＋b i)2＝2i”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”) 10. 若复数(m2－3m－4)＋(m2－5m＋6)i表示的点在虚轴上，则实数m的值为________． 11. 设a∈R，若复数a＋i 1＋i (i为虚数单位)的实部和虚部相 等，则a＝________． 12. 已知方程x2＋(4＋i)x＋4＋a i＝0(a∈R)有实根b，且z＝a＋b i，则复数z＝________． 13. 若复数(x－2)＋y i(x，y∈R)的模为3，则y x的最大值
第三章第一节 数系的扩充与复数的概念 学习目标 1.在问题情境中了解数系的扩充过程，体会数与现实世界的联系。 2.理解复数基本概念以及复数相等的充要条件。 自学探究 问题1. 在实数集中方程x 2-1=0是什么？ 方程x 2 +1=0有实数解吗？联系从自然数系到实数系的扩充过程，你能 设想一种方法，使这个方程有解吗？ 问题2.复数的概念是什么？ 问题3.若复数a+bi=c+di ，则实数a 、b 、c 、d 满足什么条件？ 问题4.你能对复数集进行恰当地分类吗？并举出相应例子。 练习题： （一）完成课本104页1，2，3 （二）1.实数m 取何值时，复数z=m+1+(m-1)i 是实数？虚数？纯虚数？ 2.已知i 是虚数单位，复数Z=(m 2 -4)+(m+2)i ，当m 取何实数时，Z 是：（1）实数 （2）纯虚数 3. 如果222(32)z a a a a i =+-+-+为实数,求实数a 的值。 4.若(32)(5)172x y x y i i ++-=-，则,x y 的值是？ 5.已知复数a bi +与3(4)k i +-相等，且a bi +的实部、虚部分别是方程x 2 -4x+3=0的两根，试求：,,a b k 的值。 [思考]：你能得出判断一个数是实数、虚数，纯虚数的方法吗？ 第三章第二节 复数的几何意义 学习目标 1.通过复数与从原点出发的向量的对应关系了解复数的几何意义，从中体会数形结合的思想； 2.从复数几何意义的引入过程中体会用几何研究代数问题的方法。 自学探究 问题1.在直角坐标系中，有序实数对与点一一对应，类比此种对应，复数能与什么建立一一对应？ 问题2.复数Z= (,)a bi a b R +∈（ 可以与复平面的向量对应吗？复数的几何意义是什么？ 问题3.怎样求一个复数的模？ 练习题： （一）完成课本105页1，2，3；106页A 组全做 （二） 1. 若复数1z =，求z 的模。 2.若复数22(34)(56)Z m m m m i =--+--表示的点在虚轴上，求实数m 的取值，并求z 的模。 3.在复平面内指出与复数112z i =+ ，2z = ，3z =，42z i =-+对应的点1Z ，2Z ，3Z ，4Z . 试 判断这4个点是否在同一个圆上?并证明你的结论.
三角函数的几何意义 ——三角函数线导学 一、教材分析 正弦线、余眩线、正切线分别是正眩、余弦、正切函数的一种几何表示.这三种线段都是与单位圆有关的有向线段.一条线段有两个端点，如果规定其中一个端点为起点，另一个为终点，这条线段就被看作带有方向，于是把它叫做有向线段.表示有向线段时，要先写起点的字母，后写终点的字母.当有向线段与数轴平行时，我们可根据此线段的方向（从起点向终点）与数轴的方向相同或相反，分别把它的长度加上正号或负号，这样所得的数，就是此有向线段的数值，它是一个实数.学生将来学习解析儿何时，上述“数轴”可推广为与任何方向（即不限于水平和垂直方向）的有向线段平行的任一“有向直线”. 与单位圆有关的某些特定的有向线段的数值可以用来表示三角函数值，称它们为三角函数线（分别叫做正眩线、余弦线、正切线……）.三角函数线是有向线段，在用字母表示这些线段时，要注意它们的方向，分清起点和终点，书写顺序不能颠倒.为此可以这样规定: 凡含原点的线段，均以原点为起点；不含原点的线段，均以此线段与坐标轴的公共点为起点.教科书中只介绍了正弦线、余弦线、正切线，其他三角函数线不宜向学生介绍.只作课外阅读。 在学习这一部分内容时，一定要紧密结合教科书屮的图 4 —12,并强调：正弦线、正切线的方向与y轴一致，向上为正，向下为负，它们的数值分别等于角Q的正弦值、正切值; 余弦线的方向与x轴一致，向右为正，向左为负，它的数值等于角a的余弦值.这里的关键是讲清以下三个式子的全部含义:
y y sin CL = —= — =y = MP, x x cos Q = — = — = x = OM, tan a =y = ^ = ^ = AT. x OM OA 此外，作正切线时，必须使AT (这里起点A —定是单位圆与x 轴的非负半轴的交点)在 点八处与单位圆相切，终点T 是切线与角a 的终边的交点. 二、要点解读 (1)三角函数线 虽然在初中你已经在使用了正弦、余弦、正切等三角函数的名称，但是你未必了解这些 名称的来历，也许还有点纳闷，为什么用这些与圆密切相关的函数名称？其实这些函数名称, 是从儿何上来的，因为各三角函数值，都有它的儿何意义. 对已经给定的角a (暂时先考虑为第一象限角)，在它的终边上取点P(x,y)f 使O 片1,以 OP 为半径厂作一个圆(习惯上，称半径等于单位长度1的圆为单位圆，见图4-22),交兀轴 I y 的正半轴于点 f A 过点A 作单位圆的切线，与OP 的延长线 交于点T.据三角函数的定义 MP=y= sin a, BP= OM=x= cosa ； 乂因为RiAOAT^RlAOMP 相似，所以 虫=竺=厶 盹， OA OM x 即 tana=AT. 上面讨论表明，角a 三角函数值，是这个角在一个以顶点为圆心的单位圆上所截取的一 些线段的长： sincr=MP, cosa=(BP=)OM, tan a= AT. 下面我们來看一看，这些线段表示什么.MP 是过P 、与角。始边垂直的弦(sine),垂 直又称正交，因此MP 是正交弦，简单一点，就命名线段MP 为正弦线；是与角。的始 边垂直(正交)的切^(tangent).因此命名它为正切线；至BP=O M 则是对a 的余角作同样 解释的结果，因此线段名称应为“余角正交弦"，也简化一下，就称为余弦^(cosine).因为 三角函数值正好是这些命名线段的长度，顺理成章地就成为相应函数的名称了，同时简化的 英文名称也就被采用为函数符号.以后我们把正弦线MR 正切线余弦线通称三 角函数线.因为OM=EP,在习惯上，是把线段OM 称作 \ M ] x 图 4-22
第2章 2 (本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！) 一、选择题(每小题5分，共20分) 1．△ABC 的两边长分别为2,3，其夹角的余弦值为13 ，则其外接圆的直径为( ) A.922 B.924 C.928 D ．9 2 解析： 设另一条边为x ， 则x 2＝22＋32－2×2×3×13 ， ∴x 2＝9，∴x ＝3.设cos θ＝13 ， 则sin θ＝223 . ∴2R ＝3sin θ＝3223 ＝924 . 答案： B 2．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A 、B 、C 的对边，如果a 、b 、c 成等差数列，∠B ＝30°，△ABC 的面积为32 ，那么b 等于( ) A.1＋32 B ．1＋ 3 C.2＋32 D ．2＋ 3 解析： ∵2b ＝a ＋c ，S ＝12ac sin B ＝32 ， ∴ac ＝6. ∴b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac cos B －2ac . ∴b 2＝4b 2－63－12， ∴b 2＝23＋4，b ＝1＋ 3. 答案： B 3．锐角△ABC 中，b ＝1，c ＝2，则a 的取值范围是( ) A ．1＜a ＜3 B ．1＜a ＜ 5 C.3＜a ＜ 5 D ．不确定
解析： 若c 为最大边， 则有b 2＋a 2－c 2＝a 2－3＞0， ∴a ＞3；若a 为最大边， 则有b 2＋c 2－a 2＝5－a 2＞0， ∴a ＜5，∴3＜a ＜ 5. 答案： C 4．一梯形的两腰长分别为2和6，它的一个底角为60°，则它的另一个底角的余弦值为 ( ) A.36 B.336 C ．±36 D ．± 336 解析： 如图所示，设梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C ＝60°，在 过点D 作AB 的平行线DB ′与BC 相交于B ′. 在△B ′CD 中，B ′D ＝AB ＝6，CD ＝2，∠C ＝60°，∠DB ′C ＝∠B ， 于是由正弦定理知：B ′D sin C ＝CD sin ∠DB ′C ， ∴sin ∠DB ′C ＝CD B ′D ·sin C ＝26×sin 60°＝36， ∴cos ∠DB ′C ＝1－sin 2∠DB ′C ＝ 1－????362＝336. ∴cos ∠B ＝ 336 ，故选B. 答案： B 二、填空题(每小题5分，共10分) 5．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若(3b －c )cos A ＝a cos C ，则cos A ＝________. 解析： 根据正弦定理的变形 a ＝2R sin A ， b ＝2R sin B ， c ＝2R sin C ， 故(3b －c )cos A ＝a cos C ， 等价于：(3×2R sin B －2R sin C )cos A ＝2R sin A cos C ， 整理得3sin B cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B . 又sin B ≠0，∴cos A ＝ 33 . 答案： 33 6．如图，四边形ABCD 中，∠B ＝∠C ＝120°，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，则该四边形的面积等于________．