第1章弹性力学基础
第1节材料力学和弹性力学
一、弹性力学的基本假设
大量的工程问题都涉及到应力、应变及位移的分析计算，弹性力学（又称弹性理论）就是研究物体在外部因素（如外力、温度变化等）作用下产生的应力、应变及其位移规律的一门科学，它是固体力学的一个分支。弹性力学的基本任务就是针对各种具体情况，确定弹性体内应力与应变的分布规律。也就是说，当已知弹性体的形状、物理性质、受力情况和边界条件时，确定其任一点的应力、应变状态和位移。弹性力学所研究的对象是理想弹性体，其应力与应变之间的关系为线性关系，即符合虎克定律。所谓理想弹性体，是指符合下述四个假定的物体，即：
1. 连续性假定
假定物体整个体积都被组成该物体的介质所填满，不存在任何空隙。尽管物体都是由微小粒子组成的，不符合这一假定，但只要粒子的尺寸以及相邻粒子之间的距离都比物体的尺寸小得很多，则连续性假定就不会引起显著的误差。有了这一假定，物体内的一些物理量（如应力、应变等等）才能连续，因而才能用坐标的连续函数来表示它们的变化规律。
2．完全弹性假定
假定物体满足虎克定律，应力与应变间的比例常数称为弹性常数。弹性常数不随应力或应变的大小和符号而变。由材料力学已知：脆性材料在应力未超过比例极限以前，可以认为近似的完全弹性体；而韧性材料在应力未达到屈服极限以前，也可以认为是近似的完全弹性体。这个假定，使得物体在任意瞬时的应变将完全取决于该瞬时物体所受到的外力或温度变化等因素，而与加载的历史和加载顺序无关。
3. 均匀性假定
假定整个物体是由同一材料组成的。这样，整个物体的所有各部分才具有相同的弹性，因而物体的弹性常数才不会随位置坐标而变，可以取出该物体的任意一小部分来加以分析，然后把分析所得的结果应用于整个物体。如果物体是由多种材料组成的，但是只要每一种材料的颗粒远远小于物体而且在物体内是均匀分布的，那么整个物体也就可以假定为均匀的。
4. 各向同性假定
假定物体的弹性在各方向都是相同的。即物体的弹性常数不随方向而变化。对于非晶体材料，是完全符合这一假定的。而由木材、竹材等作成的构件，就不能当作各向同性体来研究。至于钢材构件，虽然其内部含有各向异性的晶体，但由于晶体非常微小，并且是随机排列的，所以从统计平均意义上讲，钢材构件的弹性基本上是各向同性的。
上述假定，都是为了研究问题的方便，根据研究对象的性质、结合求解问题的范围，而作出的基本假定。这样便可以略去一些暂不考虑的因素，使得问题的求解成为可能。
在弹性力学中，所研究的问题主要是理想弹性体的线性问题。为了保证研究的问题限定
在线性范围，还需要作小位移和小变形的假定。这就是说，要假定物体受力以后，物体所有各点的位移都远远小于物体原来的尺寸，并且其应变和转角都小于1。所以，在建立变形体的平衡方程时，可以用物体变形以前的尺寸来代替变形后的尺寸，而不致引起显著的误差，并且，在考察物体的变形及位移时，对于转角和应变的二次幂或其乘积都可以略去不计。对于工程实际中的问题，如果不能满足这一假定，一般需要采用其他理论进行分析求解（如大变形理论等）。
二、弹性力学材料力学的区别与联系
弹性力学和材料力学既相互区别又相互联系。
1．研究的内容：基本上没有什么区别
弹性力学和材料力学均是研究弹性体在外力作用下的平衡和运动，以及由此产生的应力和变形。
2．研究的对象：有相同也有区别
材料力学基本上只研究杆、梁、柱、轴等杆状构件，即长度远大于宽度和厚度的构件。弹性力学虽然也研究杆状构件，但还研究材料力学无法研究的板与壳及其它实体结构，即两个尺寸远大于第三个尺寸，或三个尺寸相当的构件。
3．研究的方法：有较大的区别
虽然都从静力学、几何学与物理学三方面进行研究，但是在建立这三方面条件时，采用了不同的分析方法。材料力学是对构件的整个截面来建立这些条件的，因而要常常引用一些截面的变形状况或应力情况的假设（如图1-1 a）所示）。这样虽然大大简化了数学推演，但是得出的结果往往是近似的，而不是精确的。而弹性力学是对构件的无限小单元体来建立这些条件的，因而无须引用那些假设，分析的方法比较严密，得出的结论也比较精确（如图1-1 b）所示）。所以，我们可以用弹性力学的解答来估计材料力学解答的精确程度，并确定它们的适用范围。
a) 材料力学对构件应力情况假设b) 弹性力学对构件应力问题处理方法
图1-1 材料力学与弹性力学应力情况处理方法
总之，弹性力学与材料力学既有联系又有区别。它们都同属于固体力学领域，但弹性力学比材料力学研究的对象更普遍，分析的方法更严密，研究的结果更精确，因而应用的范围更广泛。但是，弹性力学也有其固有的弱点。由于研究对象的变形状态较复杂，处理的方法又较严谨，因而解算问题时，往往需要冗长的数学运算。但为了简化计算，便于数学处理，
它仍然保留了材料力学中关于材料性质的假定。
第２节 弹性力学的基本概念
一、外力和内力
作用于弹性体的外力(或称荷载)可能有表面力和体力两种。
表面力，是分布于物体表面的力，如静水压力，一物体与另一物体之间的接触压力等。单位面积上的表面力通常分解为平行于坐标轴的三个成分，用记号Z Y X 、、来表示。
体力，是分布于物体体积内的外力，如重力、磁力、惯性力等。单位体积内的体力亦可分解为三个成分，用记号X 、Y 、Z 表示。 二、应力的概念
弹性体受外力以后，其内部将产生应力。弹性体内微小的平行六面体PABC ，如图1-2所示，称为体素。
令 PA=dx ，PB=dy ，PC=dz
每一个面上的应力分解为一个正应力和两个剪应力，分别与三个坐标轴平行正应力用ζ表示，剪应力用η来表示。
正应力用ζx 为了表明这个正应力的作用面和作用方向，加上一个角码，例如，正应力ζx
是作用在垂直于x 轴的面上同时也沿着x 轴方向作用的。
剪应力用η加上两个角码，前一个角码表明作用面垂直于哪一个坐标轴，后一个角码表明作用方向沿着哪一个坐标轴。例如，剪应力ηxy 是作用在垂直于x 轴的面上而沿着y 轴方向作用的。
由此可见，正方体各个面上的应力可按坐标轴方向分解为一个正应力和两个剪应力，即每个面上的应力都可用三个应力分量来表示。
符号规定：若应力作用面的外法线方向与坐标作轴的正方向一致，则该面上的应力分量
图1-2 直角坐标系下的应力分量
沿坐标轴的正向为正，逆坐标正向为负。相反，如果应力作用面的外法线方向与坐标作轴的负方向一致，则该面上的应力分量沿坐标轴的负向为正，正向为负。 三、剪应力互等定律
作用在两个互相垂直的面上并且垂直于该两面交线的剪应力是互等的。(大小相等，正负号也相同)。因此剪应力记号的两个角码可以对调，即
ηxy =ηyx ，ηyz =ηzy ，ηzx =ηxz
由此可见，剪切力的两个下标是可以任意对换的。这样只要用ζx ，ζy ，ζz ，ηxy ，ηyz ，ηzx
这六个应力分量就可以完全描述作用在图1-2中微小正方体各个面上的应力。当该正方体足够小时，作用在正方体各面上的应力分量就可视为点P 的应力分量。因此，一个点的应力可由ζx ，ζy ，ζz ，ηxy ，ηyz ，ηzx 这六个应力分量完全描述。
一般说来，弹性体内各点的应力状态都不相同，因此，描述弹性体内应力状态的上述六个应力分量并不是常量，而是坐标x 、y 、z 的函数。六个应力分量的总体，可以用一个列矩阵{ζ}来表示：
四、位移
弹性体在受外力以后，还将发生变形。物体的变形状态，一般有两种方式来描述：一种方式是给出各点的位移,另一种方式是给出各体素的变形。
弹性体内任一点的位移，用此位移在x 、y 、z 三个坐标轴上的投影u 、v 、w 来表示。以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。这三个投影称为位移分量。一般情况下，弹性体受力以后，各点的位移并不是定值，而是坐标的函数。 五、应 变
体素的变形可以分为两类：一类是长度的变化，一类是角度的变化。
任一线素的长度的变化与原有长度的比值称为线应变(或称正应变)，用符号ε来表示。沿坐标轴的线应变，则加上相应的角码，分别用εx 、εy 、εz 来表示。当线素伸长时，其线应变为正。反之，线素缩短时，其线应变为负。这与正应力的正负号规定相对应。
任意两个原来彼此正交的线素，在变形后其夹角的变化值称为角应变或剪应变，用符号γ来表示。两坐标轴之间的角应变，则加上相应的角码，分别用γxy 、γyz 、γzx 来表示。规定当夹角变小时为正，变大时为负，与剪应力的正负号规定相对应(正的ηxy 引起正的γxy ，等等)。
{}[]1)
-(1 T zx yz xy z y x
zx yz xy z y x τττσσστττσσσσ=????
?
?????????????=
六、应变分量矩阵
弹性体内任一点，如果已知这三个垂直方向的正应变及其相应的三个剪应变，则该点任意方向的正应变和任意二垂直线间的剪应变均可求出，当然也可求出它的最大和最小正应变。因此，这六个量可以完全确定该点的应变分量，它们就称为该点的应变分量。
六个应变分量的总体，可以用一个列矩阵{ε}来表示：
第３节 平衡微分方程
一般情况下，物体内不同的点将受不同的应力。这就是说，各点的应力分量都是点的位置坐标（x ，y ，z ）的函数，而且在一般情况下，都是坐标的单值连续函数。所谓求一个物体内部的应力分布规律，实际上就是求出各应力分量与坐标（x ，y ，z ）之间具体的函数关系。在弹性力学中分析问题时，一般要从三个方面来考虑，即静力学方面、几何学方面和物理学方面。在静力学方面，根据平衡条件来导出应力分量和和体力分量的关系式，即平衡微分方程，它是弹性力学中的基本关系之一。
平衡微分方程反映了外力与应力的关系：
平衡微分方程有三个方程。
第4节 几何方程
一、 几何方程
由应变分量与位移分量之间的关系，可得到反映应变分量与位移分量之间的关系得方程——几何方程。
{}[]2)
-(1 T
zx yz xy
z y x
zx yz xy z y x γγγεεεγγγεεεε=????
?
?????????????=
{}??????????????
????????????????-++++=??????????????????????????????????=r w r w u r v r z w z u r v r u w r z v r u r z z rz z r 1 1 1 ??θ??θ????????θ??????γγγεεεεθθθ几何方程有直角坐标和柱坐标两种形式。
直角坐标系： (1-4)
圆柱坐标： (1-5)
几何方程有六个方程。 二、刚体位移
由几何方程可见，当弹性体的位移分量完全确定时，应变分量是完全确定的。反过来，
当应变分量完全确定时，位移分量却不完全确定；这是因为，具有确定形状的物体，可能发生不同的刚体位移。为了说明这一点，在几何方程中令：
有：
{}???
???
??????????
??
????????????????+
++=??????????????????????????????????=x w z u z v y w y u x v z w y v x u zx yz xy z y x ??????????????????γγγεεεε0
======zx yz xy z y x γγγεεε000000=??+??=??+??=??+??=??=??=??y
u x w x w z v z v y u z w y v x u ，，，，，
8)
-(1 E
E
x
z x
y σμ
εσμε-=-=
，积分后，得：
式中的u 0、v 0、w 0、ωx 、ωy 、ωz 是积分常数
积分常数的几何意义：u 0代表弹性体沿x 方向的刚体移动。v 0及w 0分别代表弹性体沿y
方向及Z 方向的刚体移动。ωz 代表弹性体绕Z 轴的刚体转动。同样，ωx 及ωy 分别代表弹性体绕x 轴及y 轴的刚体位移。为了完全确定弹性体的位移，必须有六个适当的约束条件来确定u 0、v 0、w 0、ωx 、ωy 、ωz 这六个刚体位移。
第5节 物理方程
如图1-3所示，当沿x 轴方向的两个对面受有均匀分布的正应力时，在满足先前假定的材料性质条件下，正应力不会引起角度的任何改变，而其在x 方向的单位伸长则可表以方程
式中E 为弹性模量。
弹性体在x 方向的伸长还伴随有侧向收缩，即在y 和z 方向的单位缩短可表示为：
图1-3 弹性体受均匀正应力
式中μ为泊松系数。方程(1-7)和(1-8)既可用于简单拉伸，也可用于简单压缩，且在弹性极限之内，两种情况下的弹性模量和泊松系数相同。
设图1-3中的弹性体在各面上都受有均匀分布的正应力，则合成应变的分量可用(1-7)和(1-8)式求得。实验证明，只须将三个应力中的每一应力所引起的应变分量叠加，就得到合成应变的分量。
7)
-(1 E
x
x σε=
6)-(1 000??
?
??
-+=-+=-+=x y w w z x v v y z u u y x x z z y ωωωωωω[][][]9)
-(1 )(1
)(1)(1??
??
?
????+-=+-=+-=
y x z z z x y y z y x x E E E
σσμσεσσμσεσσμσε
单位伸长与应力之间的关系完全由两个物理常数E 及μ所确定。两个常数也可用来确定剪应力与剪应变之间的关系。
如果弹性体的各面有剪应力作用，如图1-2所示，任何两坐标轴的夹角的改变仅与平行于这两轴的剪应力分量有关，即得到：
式中G 称为剪切模量，它与弹性模量E ，泊松系数μ存在如下的关系：
方程(1-9)中的正应变与方程(1-10)中的剪应变是各自独立的。因此，由三个正应力分量与三个剪应力分量引起的一般情形的应变，可用叠加法求得；即将(1-7)和(1-8)的六个关系式写在一起，得式(1-12)，称为弹性方程或物理方程，这种空间状态的应力应变关系称为广义虎克定律。
（1-12）
将应变分量表为应力分量的函数，可称为物理方程的第一种形式。若将式(1-12)改写成应力分量表为应变分量的函数的形式，并将式(1-11)代入，可得物理方程矩阵的形式表示如下：
10)-(1 1
11zx zx yz yz xy xy G
G G τγτγτγ===
，，11)
-(1 )
1(2μ+=
E
G [][][]
?
????
??
??
??
????===+-=+-=+-=
zx zx yz
yz xy xy
y x z z z x y y z y x x G G
G E
E E
τγτγτγσσμσεσσμσεσσμσε1
11
)(1
)(1
)(113)-(1 )1(2210
00)1(2210000
00)
1(221000000
11100011
10
00111)21)(1()1(????
?
?
??
???
??????????????
???????????
???????????
?????????-------------+-=??????
??
?
??
???????????zx yz xy z y x zx yz xy z y x E γγγεεεμμμμ
μμ
μμ
μμμμ
μμμ
μ
μμ
μμμτττσσσ
式(1-13)可简写为：{σ}=[D]{ε} （1-14） [D]称为弹性矩阵，它完全决定于弹性常数E 和μ，即
第6节 虚功原理及虚功方程
一、虚功原理和虚功方程
图1-4a 示一平衡的杠杆，对C 点的力矩平衡方程：
图1-4b 表示杠杆绕支点C 转动时的刚体位移图：
综合可得： 即：
式(1-16)是以功的形式表述的。表明图a 的平衡力系在图b 的位移上做功时，功的总和必须
等于零。这就叫做虚功原理。
进一步分析。当杠杆处于平衡状态时，ΔA 和ΔB 这两个位移是不存在的，但是如果某种原因，例如人为地振一下让它倾斜，一定满足(1-16)式的关系。
将这个客观存在的关系抽象成一个普遍的原理，去指导分析和计算结构。
对于在力的作用下处于平衡状态的任何物体，不用考虑它是否真正发生了位移，而假想
[]15)-(1 )1(2210
0)1(2210000)1(221000
111111)21)(1()1(???
????
?
??????????????
?
????
??
?----------+-=μμμμμμ
μμ
μ
μμμμμμ称对E D a
b P P B A = a
b
A B =??A
B
B A a b P P ??==图1-4 杠杆平衡力系
16)-(1 0=?-?B
B P A A P
图1-5 虚功原理图
它发生了位移，(由于是假想，故称为虚位移)，那么，物体上所有的力在这个虚位移上的总功必定等于零。这就叫做虚位移原理，也称虚功原理。在图1-4a 中的P A 和P B 所作的功就不是发生在它本身(状态a)的位移上，(因为它本身是平衡的，不存在位移)，而是在状态(b)的位移上作的功。可见，这个位移对于状态(a)来说就是虚位移，亦即是状态(a)假象的位移。
必须指出，虚功原理的应用范围是有条件的，它所涉及到的两个方面，力和位移并不是随意的。对于力来讲，它必须是在位移过程中处于平衡的力系；对于位移来讲，虽然是虚位移，但并不是可以任意发生的。它必须是和约束条件相符合的微小的刚体位移。
注意：当位移是在某个约束条件下发生时，则在该约束力方向的位移应为零，因而该约束力所作的虚功也应为零。这时该约束力叫做被动力。(如图1-4中的反力R C ，由于支点C 没有位移，故R C 所作的虚功对于零)。反之，如图1-4中的P A 和P B 是在位移过程中做功的力，称为主动力。因此，在平衡力系中应当分清楚哪些是主动力，哪些是被动力，而在写虚功方程时，只有主动力作虚功，而被动力是不作虚功的。
虚功原理：在力的作用下处于平衡状态的体系，当发生与约束条件相符合的任意微小的刚体位移时，体系上所有的主动力在位移上所作的总功(各力所作的功的代数和)恒对于零。 虚功原理用公式表示为：
这就是虚功方程，其中P 和?相应的代表力和虚位移。
虚功方程(1-17)是按刚体的情况得出的，即假设图1-4的杠杆是绝对刚性，没有任何的变形，因而在方程(1-16)或(1-17)中没有内功项出现，而只有外功项。
将虚功原理用于弹性变形时，总功W 要包括外力功(T)和内力功(U)两部分，即：W=T-U ；内力功(-U)前面有一负号，是由于弹性体在变形过程中，内力是克服变形而产生的，所有内力的方向总是与变形的方向相反，所以内力功取负值。
根据虚功原理，总功等于零得：T-U=0 即，外力虚功T=内力虚功U
弹性力学中的虚功原理可表达为：在外力作用下处于平衡状态的弹性体，如果发生了虚位移，那么所有的外力在虚位移上的虚功(外力功)等于整个弹性体内应力在虚应变上的虚功(内力功)。
二、虚功原理在弹性体中的应用
如图1-5所示，i 点外力分量U i 、V i 、W i ，j 点外力分量U j 、V j 、W j ，外力分量用{F}表示；引起的应力分量用{σ}表示，即
17)
-(1 0=?∑=P W {}{}?????
?????
????????????=?????
?
?
???????????????=zx yz xy z y x j j j i i i W V U W V U F τττσσσσ，
假设发生了虚位移，虚位移分量为u i * 、v i *、w i * 、u j * 、v j *、w j *，用{δ*}表示；引起的虚应变分量用{ε*}表示，即
在虚位移发生时，外力在虚位移上的虚功是：
式中{δ*}T 是{δ*}的转置矩阵。
同样，在虚位移发生时，在弹性体单位体积内，应力在虚应变上的虚功是：
因此，在整个弹性体内，应力在虚应变上的虚功是：
根据虚功原理得到：
这就是弹性变形体的虚功方程，它通过虚位移和虚应变表明外力与应力之间的关系。
注意：在虚位移发生时，约束力(支座反力)是不做功的，因为约束力在其所约束的方向是没有位移的。但是如果解除了某一个约束，而代之以约束力，那么，在虚位移发生时，这个约束力就要在相应的虚位移上做虚功，而这个约束力的分量及其相应的虚位移分量就应当作为列矩阵{F}及{δ*}中的元素进入虚功方程(1-18)。
第7节 两种平面问题
弹性力学可分为空间问题和平面问题，严格地说，任何一个弹性体都是空间物体，一般的外力都是空间力系，因而任何实际问题都是空间问题，都必须考虑所有的位移分量、应变分量和应力分量。但是，如果所考虑的弹性体具有特殊的形状，并且承受的是特殊外力，就有可能把空间问题简化为近似的平面问题，只考虑部分的位移分量、应变分量和应力分量即
{}
{}
?????
?????????????????=?????
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*******
zx yz xy z y x j j j i i i w v u w v u γγγεεεεδ，{
}{}F w W v V u U w W v V u U T j j j j j j i i i i i i **
*****δ=???++++++{
}{}σεγτγτγτεσεσεσT zx zx yz yz xy xy z z y y x x *******=+++++{}{}???dxdydz
T
σε*{}{}{}{}18)
-(1 **???=dxdydz F T
T
σεδ
可。平面问题一般可以分为两类，一类是平面应力问题，另一类是平面应变问题。 一、平面应力问题
如图1-6所示，厚度为t 的很薄的均匀木板。只在边缘上受到平行于板面且不沿厚度变化的面力，同时，体力也平行于板面且不沿厚度变化。
平面应力问题可简记为“平板问题”。
以薄板的中面为xy 面，以垂直于中面的任一直线为z 轴。由于薄板两表面上没有垂直和平行于板面的外力，所以板面上各点均有：
另外由于平板很薄，外力又不沿厚度变化。
于是，在六个应力分量中，只需要研究剩下的平行于xoy 平面的三个应力分量，即ζx 、、ζy 、ηxy =ηyx ，所以称为平面应力问题。
应力矩阵(1-1)可简化为：
物理方程(1-12)中后两式可见，这时的剪应变：
由物理方程(1-12)中的第三式可见：
一般ζz =0，εz 并不一定等于零，但可由ζx 及ζy 求得，在分析问题时不必考虑。于是只
图1-6 平面应力问题
{}19)
-(1 ??
?
???????=xy y x τσσσ0
0==zx yz γγ，)
(y x z E
σσμ
ε+-
=0
00=====yz zy xz zx z ττττσ，，
需要考虑εx 、εy 、γxy 三个应变分量即可，于是应变矩阵(1-2)简化为：
物理方程(1-12)简化为：
转化成应力分量用应变分量表示的形式：
将(1-22)式用矩阵方程表示：
它仍然可以简写为：
弹性矩阵[D]则简化为：
平面应力问题中，几何方程只有εx 、εy 、γxy 三个应变分量需要考虑，所以几何方程(1-4)
{}20)
-(1 ??
?
??
?????=xy y x γεεε[][]21)
-(1 )1(2111????
?
????+==-=-=
xy
xy xy
x y y y x x E G E E
τμτγμσσεμσσε[][]22)-(1 211)1(21122
2
???
?
?
?
???-?-=+=+-=+-=
xy
xy xy
y
x y y x x E E E E
γμμγμτεμεμσμεεμσ23)
-(1 2100010112
?
??
??
??????????
?
?????
?--=?
?
?
??
?????xy y x xy y x E γεεμμμμτσσ{}[]{}
εσD ={}24)
-(1 210
00101
12?????
???
???
?
--=μμ
μ
μE D
可简化为：
弹性体的虚功方程可简化为：
二、平面应变问题
纵向(即Z 向)很长，且沿横截面不变的物体，受有平行于横截面而且不沿长度变化的面
力和体力，如图1-7所示。
由于物体的纵向很长(在力学上可近似地作为无限长考虑)，截面尺寸与外力又不沿长度变化；当以任一横截面为xy 面，任一纵线为z 轴时，则所有一切应力分量、应变分量和位移分量都不沿z 方向变化，它们都只是x 和y 的函数。此外，在这一情况下，由于对称(任一横截面都可以看作对称面)，所有各点都只会有x 和y 方向的位移而不会有z 方向的位移，即 w = 0
因此，这种问题称为平面位移问题，但习惯上常称为平面应变问题。
平面应变问题可简记为“水坝问题”。
既然w = 0，而且u 及v 又只是x 和y 的函数，由几何方程(1-4)可见εz = γy = γz x = 0。于是只剩下三个应变分量：εx 、εy 、γxy ，几何方程仍然简化为方程(1-27)。
因为γyz = 0 , γzx = 0，由物理方程(1-13)中后两式可见：ηyz =0，ηzx =0，又由物理方程(1-11)
中的第三式可见：ζz = μ（ζx +ζy ）。
{}25)
-(1 ??
?
?
?
?
?
?????????????+??????=??????????=x v y u y v x u xy y x γεεε{}{}{}{}26)
-(1 **??=dxdyt F T
T
σεδ图1-7 平面应变问题
{}27)
-(1 ??
?
??
?
?
??
???????????+??????=??????????=x v y u y v x u xy y x γεεε
在平面应变问题中，虽然εz = 0，但ζz 一般并不等于零，不过它可以由ζx 及ζy 求得，在分析问题时不必考虑，于是也就只有三个应力分量ζx 、ζy 、ηxy 需要考虑。物理方程(1-13)简化为：
它仍然可以简写为：{σ} =[D]{ε} 弹性矩阵[D]则为：
平面应变问题，由于在z 方向没有外力，应力和应变也不沿z 方向变化，所以虚功方程(1-17)仍然适用，其中的t 可以取为任意数值，但{F}必须是这个t 范围内的外力。
说明：工程中有许多问题很接近于平面应变问题，如受内压力的圆管、滚柱轴承中的滚柱等等，但它们的沿Z 向长度都不是无限长的。故在靠近两端的部分，其应力应变状态比较复杂，并不符合平面应变问题的条件；因此将这类问题当作平面应变问题来考虑时，对于离开两端有一定距离的地方，得出的结果还是相当满意的；但对靠近两端的部位，却有较大的出入，往往需要加以处理。
第8节 圣维南原理
一、圣维南原理
如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对于同一点的主矩也相同），那么，近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所受的影响可以不计。 二、举例
如图1-8所示，设有柱形构件，在两端截面的形心受到大小相等而方向相反的拉力P ，
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如图1-8a 。如果把一端或两端的拉力变换为静力等效的力，如图1-8b 或1-8c ，只有虚线划出的部分的应力分布有显著的改变，而其余部分所受的影响是可以不计的。如果再将两端的拉力变换为均匀分布的拉力，集度等于P/A ，其中A 为构件的横截面面积，如图1-8d ，仍然只有靠近两端部分的应力受到显著的影响。
(c) (d)
图1-8 圣维南原理
注意：在上述四种情况下，离开两端较远的部分的应力分布，并没有显著的差别。
第9节 弹性力学问题的基本解法
前面我们已经学习了平衡微分方程、几何方程和物理方程，这三个方程为弹性力学的三大方程，三个方程中各物理量之间的关系如下：
弹性力学的基本方程有三个：
1）平衡微分方程： 反映了体力分量和应力分量的关系，3个方程； 2）几何方程：反映应变分量和位移分量的关系，6个方程； 3）物理方程：反映了应力分量和应变分量的关系，6个方程。
图1-9 弹性力学方程之间的关系
弹性力学问题中有15个的未知量，即三个位移分量、6个应力分量和6个应变分量，而弹性力学问题的基本方程有15个，加上边界条件（用以求解积分常数），可求出各个未知量。
弹性力学问题的解法有三种：位移法、应力法和混合法。
位移法的解题思路是：以3个位移分量为基本未知函数，求得位移分量，由几何方程（反映应变分量和位移分量的关系）求得6个应变分量，由物理方程（反映了应力分量和应变分量的关系）求得6个应力分量。本书所介绍的有限元法都是采用位移法进行求解的。
应力法的解题思路是：以6个应力分量为基本未知函数，求得应力分量，由物理方程（反映了应力分量和应变分量的关系）求得6个应变分量，由几何方程（反映应变分量和位移分量的关系）求得3个位移分量。
混合法是结合位移法和应力法进行求解的过程。
第10节常用单元的位移模式
一、单元位移模式的概念
对弹性体划分网格，每一个网格叫单元，每一单元中线与线的交点叫节点，以节点位移为基本未知量，选择一个简单的函数近似表示位移随坐标变化的规律，这个函数就叫单元的位移模式。
二、常用单元的位移模式
假设：
a1、a2…….为待定常数；
u为单元中某节点的x位移；
v为单元中某节点的y位移；
w为单元中某节点的y位移；
x、y、z为某节点的x、y、z坐标。
1.三节点三角形单元的位移模式
三节点三角形单元的形状如图1-10所示，其位移模式是：u=a1+a2x+a3y
v=a4+a5x+a6y
2.四节点矩形单元的位移模式
四节点四边形单元的形状如图1-11
所示，其位移模式是：u=a1+a2x+a3y+a4xy
v=a5+a6x+a7y+a8xy
3.六节点三角形单元的位移模式
六节点三角形单元的形状如图1-12所示，其位移模式是：u=a1+a2x+a3y+a4x2+a5xy+a6y2
v=a7+a8x+a9y+a10x2+a11xy+a12y2
4.八节点矩形单元的位移模式
八节点矩形单元的形状如图1-13所示，其位移模式是：图1-10 三节点三角形单元图1-11 四节点矩形单元图1-12 六节点三角形单元
u=a1+a2x+a3y+a4x2+a5xy+a6y2+a7x2y+a8xy2
v=a9+a10x+a11y+a12x2+a13xy+a14y2+a15x2y+a16xy2
5.空间单元——四面体单元的位移模式
空间四面体的单元位移模式是：
u=a1+a2x+a3y+a4z
v=a5+a6x+a7y+a8z
w=a9+a10x+a11y+a12z
八节点矩形单元四面体单元
弹性力学复习资料 一、简答题 1．试写出弹性力学平面问题的基本方程，它们揭示的是那些物理量之间的相互关系在应用这些方程时，应注意些什么问题 答：平面问题中的平衡微分方程：揭示的是应力分量与体力分量间的相互关系。应注意两个微分方程中包含着三个未知函数σx、σy、τxy=τyx ，因此，决定应力分量的问题是超静定的，还必须考虑形变和位移，才能解决问题。 平面问题的几何方程: 揭示的是形变分量与位移分量间的相互关系。应注意当物体的位移分量完全确定时，形变量即完全确定。反之，当形变分量完全确定时，位移分量却不能完全确定。 平面问题中的物理方程：揭示的是形变分量与应力分量间的相互关系。应注意平面应力问题和平面应变问题物理方程的转换关系。 2．按照边界条件的不同，弹性力学问题分为那几类边界问题试作简要说明。 答：按照边界条件的不同，弹性力学问题分为位移边界问题、应力边界问题和
混合边界问题。 位移边界问题是指物体在全部边界上的位移分量是已知的，也就是位移的边界值是边界上坐标的已知函数。 应力边界问题中，物体在全部边界上所受的面力是已知的，即面力分量在边界上所有各点都是坐标的已知函数。 混合边界问题中，物体的一部分边界具有已知位移，因而具有位移边界条件;另一部分边界则具有应力边界条件。 3．弹性体任意一点的应力状态由几个应力分量决定试将它们写出。如何确定它们的正负号 答：弹性体任意一点的应力状态由6个应力分量决定，它们是：x 、y 、z 、xy 、yz 、、zx 。正面上的应力以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。负面上的应力以沿坐标轴负方向为正，沿坐标轴正方向为负。 4．在推导弹性力学基本方程时，采用了那些基本假定什么是“理想弹性体”试举例说明。 答：答：在推导弹性力学基本方程时，采用了以下基本假定： （1）假定物体是连续的。 （2）假定物体是完全弹性的。 （3）假定物体是均匀的。 （4）假定物体是各向同性的。 （5）假定位移和变形是微小的。 符合（1）~（4）条假定的物体称为“理想弹性体”。一般混凝土构件、一般土质地基可近似视为“理想弹性体”。 5．什么叫平面应力问题什么叫平面应变问题各举一个工程中的实例。 答：平面应力问题是指很薄的等厚度薄板只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的 面力，同时体力也平行于板面并且不沿厚度变化。如工程中的深梁以及平板坝的平板 支墩就属于此类。 平面应变问题是指很长的柱型体，它的横截面在柱面上受有平行于横截面而且不沿长 度变化的面力，同时体力也平行于横截面而且也不沿长度变化，即内在因素和外来作 用都不沿长度而变化。 6．在弹性力学里分析问题，要从几方面考虑各方面反映的是那些变量间的关系 答：在弹性力学利分析问题，要从3方面来考虑：静力学方面、几何学方面、物理学方面。 平面问题的静力学方面主要考虑的是应力分量和体力分量之间的关系也就是平面问 题的平衡微分方程。平面问题的几何学方面主要考虑的是形变分量与位移分量之间的 关系，也就是平面问题中的几何方程。平面问题的物理学方面主要反映的是形变分量与应力分量之 间的关系，也就是平面问题中的物理方程。 7．按照边界条件的不同，弹性力学平面问题分为那几类试作简要说明 答：按照边界条件的不同，弹性力学平面问题可分为两类： （1）平面应力问题 ： 很薄的等厚度板，只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的面力。这一类问题可以简化为平面应力问题。例如深梁在横向力作用下的受力分析问题。在该种问题中只存在 yx xy y x ττσσ=、、三个应力分量。 （2）平面应变问题 ： 很长的柱形体，在柱面上受有平行于横截面并且不沿长度变化的面力，而且体力
第一章习题 1-1 试举例证明，什么是均匀的各向异性体，什么是非均匀的各向同性体，什么是非均匀的各向异性体。 1．均匀的各向异性体： 如木材或竹材组成的构件。整个物体由一种材料组成，故为均匀的。材料力学性质沿纤维方向和垂直纤维方向不同，故为各向异性的。 2．非均匀的各向同性体： 实际研究中，以非均匀各向同性体作为力学研究对象是很少见的，或者说非均匀各向同性体没有多少可讨论的价值，因为讨论各向同性体的前提通常都是均匀性。设想物体非均匀（即点点材性不同），即使各点单独考察都是各向同性的，也因各点的各向同性的材料常数不同而很难加以讨论。 实际工程中的确有这种情况。如泌水的水泥块体，密度由上到下逐渐加大，非均匀。但任取一点考察都是各向同性的。 再考察素混凝土构件，由石子、砂、水泥均组成。如果忽略颗粒尺寸的影响，则为均匀的，同时也必然是各向同性的。反之，如果构件尺寸较小，粗骨料颗粒尺寸不允许忽略，则为非均匀的，同时在考察某点的各方向材性时也不能忽略粗骨料颗粒尺寸，因此也必然是各向异性体。因此，将混凝土构件作为非均匀各向同性体是很勉强的。 3．非均匀的各向异性体： 如钢筋混凝土构件、层状复合材料构件。物体由不同材料组成，故为非均匀。材料力学性质沿纤维方向和垂直纤维方向不同，故为各向异性的。 1-2一般的混凝土构件和钢筋混凝土构件能否作为理想弹性体？一般的岩质地基和土质地基能否作为理想弹性体？ 理想弹性体指：连续的、均匀的、各向同性的、完全（线）弹性的物体。 一般的混凝土构件（只要颗粒尺寸相对构件尺寸足够小）可在开裂前可作为理想弹性体，但开裂后有明显塑性形式，不能视为理想弹性体。 一般的钢筋混凝土构件，属于非均匀的各向异性体，不是理想弹性体。 一般的岩质地基，通常有塑性和蠕变性质，有的还有节理、裂隙和断层，一般不能视为理想弹性体。在岩石力学中有专门研究。 一般的土质地基，虽然是连续的、均匀的、各向同性的，但通常具有蠕变性质，变形与荷载历史有关，应力-应变关系不符合虎克定律，不能作为理想弹性体。在土力学中有专门研究。 1-3 五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么用途？ 连续性假定使变量为坐标的连续函数。完全（线）弹性假定使应力应变关系明确为虎克定律。均匀性假定使材料常数各点一样，可取任一点分析。各向同性使材料常数各方向一样，坐标轴方位的任意选取不影响方程的唯一性。小变形假定使几何方程为线性，
一、基本物理量 应力张量：在直角坐标系中，过弹性体内任一点取分别平行于三个坐标平面的三个微平面，它们的外法线方向分别为三个坐标轴的方向，将三个剪应力平行于坐标轴的两个分量；由此共得九个应力分量，记为： ??? ? ??????=zz zy zx yz yy yx xz xy xx ττττττττττ；每个分量的第一下标表示应力分量所在平面的外法线方向，第二下标表示应力分量 的方向。应力分量的正负号规定为：当应力分量所在平面的外法线方向与某坐标轴同向时，应力分量的方向也与相应坐标轴同向；当应力分量所在平面的外法线方向与某坐标轴反向时，应力分量的方向也与相应坐标轴反向。 3、应变 弹性体内某一点的正应变（线应变）：设P 为弹性体内任意点，过P 点某一微元线段变形前的长度为l ?，变形后的长度为'l ?，定义P 点l 方向的正应变为：l l l l ll ??-?=→?'lim 0ε。即正应变表示单位长度线段的伸长 或缩短。 弹性体内某一点的剪应变（角应变）：设r l ?和s l ?为过P 点的两微元线段，变形前两线段相互垂直，定义变形后两线段间夹角的改变量（弧度）为角应变，夹角减小则角应变为正。 应变张量：在直角坐标系中，过弹性体内任一点取分别平行三个坐标轴的线段，按上述原则定义各应变分 量，得：??? ? ? ?????=zz zy zx yz yy yx xz xy xx εεεεεεεεεε；两个下标相同的分量为正应变，其它为剪应变。 关于主应变和主应变方向的讨论与主应力基本相同，可以证明，主应变方向与主应力方向重合。 4、外力 体积力：作用于弹性体内部每一点上，如重力、电磁力、惯性力等。设V ?为包含P 点的微元体，作用于该微元体上的体积力为V F ?，则定义P 点的体积力为：{}T z y x V V f f f V =??=→?F f 0lim 。 表面力：作用于弹性体表面，如压力，约束力等。设S ?为包含P 点的微元面，作用于该微元面上的表面力为S F ?，则定义P 点的表面力为：{}T z y x S S s s s S =??=→?F s 0lim 。 二、基本方程 1、平衡方程
弹性力学基础知识归
一.填空题 1.最小势能原理等价于平衡微分方程和应力边界条件 2.—组可能的应力分量应满足平衡微分方程和相容方程。 二.简答题 1.简述圣维南原理并说明它在弹性力学中的作用。 如果把物体一小部分边界上的面力变换为分布不同但是静力等效的面力(主矢和主矩相同)，则近处的应力分布将有显著改变，远处所受的影响则忽略不计。 作用；(1)将次要边界上复杂的集中力或者力偶变换成为简单的分布的面力。 (2)将次要的位移边界条件做应力边界条件处理。 2.写出弹性力学的平面问题的基本方程。应用这些方程时，应注意什么问题？ (1).平衡微分方程：决定应力分量的问题是超静定的。 (2).物理方程：平面应力问题和应变问题的物理方程是不一样的，注意转换。 (3).几何方程：注意物体的位移分量完全确定时，形变分量也完全确定。但是形变分量完全确定时，位移分量不完全确定。 3.按照边界条件的不同，弹性力学分为哪几类边界问题？应力边界条件，位移边界条件和混合边界条件。
4.弹性体任意一点的应力状态由几个分量决定？如何确定他们的正负号？ 由六个分量决定。在确定方向的时候，正面上的应力沿正方向为正，负方向为负。负面上的应力沿负方向为正，正方向为负。5.什么叫平面应力问题和平面应变问题？举出工程实例。 平面应力问题是指很薄的等厚度薄板只在板边上受平行于板面并且不沿厚度变化的面力，同时体力也平行于板面并且不沿厚度变化。例如工程中的深梁和平板坝的平板支墩。 平面应变问题是指很长的柱形体，它的横截面在柱面上受有平行于横截面并且不沿长度变化的面力，同时体力也不沿长度变化。例如 6.弹性力学中的基本假定有哪几个？什么是理想弹性体？举例说明。 （1 ）完全弹性假定。 （2）均匀性假定。 （3）连续性假定。 （4 ）各向同性假定。 （5）小变形假定。 满足完全弹性假定，均匀性假定，连续性假定和各向同性假定的是理想弹性体。一般混凝土构件和一般土质地基可以看做为理想
第二章弹性力学基础 弹性力学又称弹性理论，它是固体力学的一个分支。弹性力学任务是确定结构或机械零件在外载荷作用或温度改变等原因而发生的应力、位移和应变。 弹性力学与材料力学总的任务是相同的，但弹性力学研究的问题比材料力学要更加深刻和精确，并研究材料力学所不能解决的一些问题。 材料力学-----研究杆状构件（长度>>高度和宽度）在拉压、剪切、弯曲、扭转作用下的应力和位移。 弹性力学-----研究板壳、挡土墙、堤坝、地基等实体结构。对杆状构件作较精确的分析，也需用弹性力学。 结构力学-----研究杆状构件所组成的结构。例如桁架、刚架。
第一节弹性力学假设 在弹性力学中，所研究的问题主要是理想弹性体的线性问题，所谓理想弹性体的线性问题，是指符合以下假定的物体。 1. 假设物体是线弹性的 假定物体服从虎克定律，即应变与引起该应变的应力成正比，反映这一比例关系的常数，就是弹性常数。即该比例关系不随应力、应变的大小和符号而变。 由材料力学已知： 脆性材料的物体：在应力?比例极限以前，可作为近似的完全弹性体； 韧性（塑性）材料的物体：在应力＜屈服极限以前，可作为近似的完全弹性体。 这个假定，使得物体在任意瞬时的应变将完全取决于该瞬时物体所受到的外力或温度变化等因素，而与加载的历史和加载顺序无关。 2. 假设物体是连续性的 假设整个物体的体积都被该物体介质完全充满，不留下任何空隙。有了这一假定决定了应力、应变、位移是连续的，可用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。 注：实际上，一切物体都是由微粒组成的，都不能符合该假定。但是由于物体粒子的尺寸以及相邻粒子间的距离，
都比物体自己本身的尺寸小得很多，因此连续性假设不会引起显着的误差。 3. 假设物体是均匀性、各向同性的 整个物体是由同一材料组成的。这样整个物体的所有各部分才具有相同的弹性，因而物体的弹性常数不随坐标而变化，可以取出该物体的任意一小部分来加以分析，然后把分析所得结果应用于整个物体。 各向同性是指物体内一点的弹性在所的各个方向上都是相同的，故物体的弹性常数不随方向而变化。 对于非晶体材料，是完全符合这一假定。而由木材，竹材等做成的构件，就不能作为各向同性体来研究；钢材构件基本上是各向同性的。 弹性常数？ 凡是符合以上三个假定的物体，就称为理想弹性体。 4. 假设物体的位移和应变是微小的 假定物体在载荷或温度变化等外界因素的作用下所产生的位移远小于物体原来的尺寸，应变分量和转角都远小于1。 因此 ①在建立物体变形以后的平衡方程时，可用变形前的尺寸代替变形后的尺寸，而不至于引起显著的误差。
基本概念： （1） 面力、体力与应力、应变、位移的概念及正负号规定 （2） 切应力互等定理： 作用在两个互相垂直的面上，并且垂直于改两面交线的切应力是互等的（大小相等，正负号也相同）。 （3） 弹性力学的基本假定： 连续性、完全弹性、均匀性、各向同性和小变形。 （4） 平面应力与平面应变； 设有很薄的等厚度薄板，只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的面力或约束。同时，体力也平行与板面并且不沿厚度方向变化。这时， 0,0,0z zx zy σττ===，由切应力互等，0,0,0z xz yz σττ===，这样只剩下平行于xy 面的三个平面应力分量，即,,x y xy yx σσττ=，所以这种问题称为平面应力问题。 设有很长的柱形体，它的横截面不沿长度变化，在柱面上受有平行于横截面且不沿长度变化的面力或约束，同时，体力也平行于横截面且不沿长度变化，由对称性可知，0,0zx zy ττ==，根据切应力互等，0,0xz yz ττ==。由胡克定律， 0,0zx zy γγ==，又由于z 方向的位移w 处处为零，即0z ε=。因此，只剩下平行于xy 面的三个应变分量，即,,x y xy εεγ，所以这种问题习惯上称为平面应变问题。 （5） 一点的应力状态； 过一个点所有平面上应力情况的集合，称为一点的应力状态。 （6） 圣维南原理；（提边界条件） 如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主失相同，主矩也相同），那么，近处的应力分布将有显著的改变，但是远处
所受到的影响可以忽略不计。 （7） 轴对称； 在空间问题中，如果弹性体的几何形状、约束情况，以及所受的外力作用，都是对称于某一轴（通过该轴的任一平面都是对称面），则所有的应力、变形和位移也就对称于这一轴。这种问题称为空间轴对称问题。 一、 平衡微分方程： (1) 平面问题的平衡微分方程； 00yx x x xy y y f x y f x y τστσ??++=????++=??（记） (2) 平面问题的平衡微分方程（极坐标）； 10210f f ρρ?ρ? ρ?ρ?ρ? ??σ?τσσ?ρρ??ρ ?σ?ττρ???ρρ -+++=+++= 1、平衡方程仅反映物体部的平衡，当应力分量满足平衡方程，则物体部是平衡的。 2、平衡方程也反映了应力分量与体力（自重或惯性力）的关系。 二、 几何方程； （1） 平面问题的几何方程； x y xy u x v y v u x y εεγ?= ??=???=+ ??（记） （2） 平面问题的几何方程（极坐标）；
第一章绪论 1、所谓“完全弹性体”就是指(B)。 A、材料应力应变关系满足虎克定律 B、材料的应力应变关系与加载时间、历史无关 C、本构关系为非线性弹性关系 D、应力应变关系满足线性弹性关系 2、关于弹性力学的正确认识就是(A )。 A、计算力学在工程结构设计中的作用日益重要 B、弹性力学从微分单元体入手分析弹性体,因此与材料力学不同,不需要对问题作假设 C、任何弹性变形材料都就是弹性力学的研究对象 D、弹性力学理论像材料力学一样,可以没有困难的应用于工程结构分析 3、下列对象不属于弹性力学研究对象的就是(D )。 A、杆件 B、板壳 C、块体 D、质点 4、弹性力学研究物体在外力作用下,处于(弹性)阶段的(应力)、(应变)与(位移) 5、弹性力学可以解决材料力学无法解决的很多问题;并对杆状结果进行精确分析,以及验算材力结果的适用范围与精度。与材料力学相比弹性力学的特点有哪些？ 答:1)研究对象更为普遍; 2)研究方法更为严密; 3)计算结果更为精确; 4)应用范围更为广泛。 6、材料力学研究杆件,不能分析板壳;弹性力学研究板壳,不能分析杆件。(×) 改:弹性力学不仅研究板壳、块体问题,并对杆件进行精确的分析,以及检验材料力学公式的适用范围与精度。 7、弹性力学对杆件分析(C) A、无法分析 B、得出近似的结果 C、得出精确的结果 D、需采用一些关于变形的近似假定 8、图示弹性构件的应力与位移分析要用什么分析方法？(C) A、材料力学 B、结构力学
C 、弹性力学 D 、塑性力学 解答:该构件为变截面杆,并且具有空洞与键槽。 9、弹性力学与材料力学的主要不同之处在于( B )。 A 、任务 B 、研究对象 C 、研究方法 D 、基本假设 10、重力、惯性力、电磁力都就是体力。(√) 11、下列外力不属于体力的就是(D) A 、重力 B 、磁力 C 、惯性力 D 、静水压力 12、体力作用于物体内部的各个质点上,所以它属于内力。(×) 解答:外力。它就是质量力。 13、在弹性力学与材料力学里关于应力的正负规定就是一样的。( × ) 解答:两者正应力的规定相同,剪应力的正负号规定不同。 14、图示单元体右侧面上的剪应力应该表示为(D) A 、xy τ B 、yx τ C 、zy τ D 、yz τ 1τ2 τ3τ4τO x z 15、按弹性力学规定,下图所示单元体上的剪应力( C )。
弹性力学基本知识考试必备 一、 基本概念： （1） 面力、体力与应力、应变、位移的概念及正负号规定 （2） 切应力互等定理： 作用在两个互相垂直的面上，并且垂直于改两面交线的切应力是互等的（大小相等，正负号也相同）。 （3） 弹性力学的基本假定： 连续性、完全弹性、均匀性、各向同性和小变形。 （4） 平面应力与平面应变； 设有很薄的等厚度薄板，只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的面力或约束。同时，体力也平行与板面并且不沿厚度方向变化。这时，0,0,0z zx zy σττ===，由切应力互等，0,0,0z xz yz σττ===，这样只剩下平行于xy 面的三个平面应力分量，即,,x y xy yx σσττ=，所以这种问题称为平面应力问题。 设有很长的柱形体，它的横截面不沿长度变化，在柱面上受有平行于横截面且不沿长度变化的面力或约束，同时，体力也平行于横截面且不沿长度变化，由对称性可知，0,0zx zy ττ==，根据切应力互等，0,0xz yz ττ==。由胡克定律，0,0zx zy γγ==，又由于z 方向的位移w 处处为零，即0z ε=。因此，只剩下平行于xy 面的三个应变分量，即,,x y xy εεγ，所以这种问题习惯上称为平面应变 问题。
（5）一点的应力状态； 过一个点所有平面上应力情况的集合，称为一点的应力状态。 （6）圣维南原理；（提边界条件） 如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主失相同，主矩也相同），那么，近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所受到的影响可以忽略不计。（7）差分法的基本概念： 是微分方程的近似解法，具体的讲，差分法就是把微分用差分来代替，把导数用差分商来代替，从而把基本方程和边界条件（微分方程）近似用差分方程来表示，把求解微分方程的问题变成求解代数方程问题。 （8）极小势能原理： 在给定外力作用下，在满足位移边界条件的所有各组位移中间，实际存在的一组位移应使总势能成为极值，对于稳定平衡状态，这个值是极小值。 （9）轴对称； 在空间问题中，如果弹性体的几何形状、约束情况，以及所受的外力作用，都是对称于某一轴（通过该轴的任一平面都是对称面），则所有的应力、变形和位移也就对称于这一轴。这种问题称为空间轴对称问题。
《弹性力学》试题参考答案（答题时间：100分钟） 一、填空题（每小题4分） 1．最小势能原理等价于弹性力学基本方程中： 平衡微分方程 ， 应力边界条件 。 2．一组可能的应力分量应满足： 平衡微分方程 ，相容方程（变形协调条件） 。 3．等截面直杆扭转问题中， M dxdy D =?? 2?的物理意义是 杆端截面上剪应力对转轴的矩等于杆截面内的扭矩 M 。 4．平面问题的应力函数解法中，Airy 应力函数?在边界上值的物理意义为 边界上某一点（基准点）到任一点外力 的矩 。 5．弹性力学平衡微分方程、几何方程的张量表示为： 0,=+i j ij X σ ，)(2 1,,i j j i ij u u +=ε。 二、简述题（每小题6分） 1．试简述力学中的圣维南原理，并说明它在弹性力学分析中的作用。 圣维南原理：如果物体的一小部分边界上的面力变换为分布不同但静力等效的面力（主矢与主矩相同），则近处的应力分布将有显著的改变，但远处的应力所受影响可以忽略不计。 作用：（1）将次要边界上复杂的面力（集中力、集中力偶等）作分布的面力代替。 （2）将次要的位移边界条件转化为应力边界条件处理。 2．图示两楔形体，试分别用直角坐标和极坐标写出其应力函数?的分离变量形式。 题二（2）图 （a ）???=++= )(),(),(222θθ??f r r cy bxy ax y x （b ）???=+++= )(),(),(3 3223θθ??f r r dy cxy y bx ax y x 3．图示矩形弹性薄板，沿对角线方向作用一对拉力P ，板的几何尺寸如图，材料的弹性模量E 、泊松比 μ 已知。试 求薄板面积的改变量S ?。 题二（3）图
第一章 教学参考资料 （一）本章的学习要求及重点 1．弹性力学的研究内容，及其研究对象和研究方法，认清他们与材料力学的区别。 2．弹性力学的几个主要物理量的定义、量纲、正负方向及符号规定等，及其与材料力学相比的不同之处。 3．弹性力学的几个基本假定，及其在建立弹性力学基本方程时的应用。 （二）本章内容提要 1．弹性力学的内容─弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。 2．弹性力学中的几个基本物理量： 体力—— 分布在物体体积内的力、记号为,,,x y z f f f 。量纲为L -2MT -2，以坐标正向为正。 面力—— 分布在物体表面上的力，记号为,,,x y z f f f 。量纲为L -2MT -2 ，以坐标正向为正。 应力—— 单位截面面积上的内力，记号x xy στ??，量纲为L -2MT -2，以正面正向为正，负面负向为正；反之为负。 形变—— 用线应变, x y εε和切应变xy γ表示，量纲为1，线应变以伸长为正，切应变以直角减小为正。 位移—— 一点位置的移动，记号为,,u v w ，量纲为L ，以坐标正向为正。 3．弹性力学中的基本假定 理想弹性体假定—连续性，完全弹性，均匀性，各向同性。小变形假定。 4．弹性力学问题的研究方法 已知：物体的边界形状，材料性质，体力,边界上的面力或约束。 求解：应力、形变和位移。 解法：在弹性体区域V 内， 根据微分体上力的平衡条件，建立平衡微分方程；根据微分线段上应变和位移的几何条件，建立几何方程；根据应力和应变之间的物理条件，建立物理方程。 在弹性体边界S 上，根据面力条件，建立应力边界条件，根据约束条件，建立位移边界条件。 然后在边界条件下，求解区域内的微分方程，得出应力、形变和位移。 （三）弹性力学的发展简史 与其他任何学科一样，从这门力学的发展史中，我们可以看出人们认识自然的不断深化的过程：从简单到复杂，从粗糙到精确，从错误到正确的演变历史。许多数学家、力学家和实验工作者做了幸勤的探索和研究工作，使弹性力学理论得以建立，并且不断地深化和发展。 1．发展初期（约于1660~1820）— 这段时期主要是通过实验探索了物体的受力与变形之间的关系。1678年，胡克通过实验，发现了弹性体的变形与受力之间成比例的规律。1807年，杨做了大量的实验，提出和测定了材料的弹性模量。伯努利（1705）和库仑（1776）研究了梁的弯曲理论。一些力学家开始了对杆件等的研究分析。
1 图2.4 习题解答 第二章 2.1计算：(1)pi iq qj jk δδδδ，(2)pqi ijk jk e e A ，(3)ijp klp ki lj e e B B 。 解：(1)pi iq qj jk pq qj jk pj jk pk δδδδδδδδδδ===; (2)()pqi ijk jk pj qk pk qj jk pq qp e e A A A A δδδδ=-=-; (3)()ijp klp ki lj ik jl il jk ki lj ii jj ji ij e e B B B B B B B B δδδδ=-=-。 2.2证明：若ij ji a a =，则0ijk jk e a =。 证：20ijk jk jk jk ikj kj ijk jk ijk kj ijk jk ijk jk i e a e a e a e a e a e a e a ==-=-=+。 2.3设a 、b 和c 是三个矢量，试证明： 2[,,]??????=???a a a b a c b a b b b c a b c c a c b c c 证：123111 2 123222123333 [,,]i i i i i i i i i i i i i i i i i i a a a b a c a a a a b c b a b b b c b b b a b c c a c b c c c c c a b c ??????=???==a a a b a c b a b b b c a b c c a c b c c 。 2.4设a 、b 、c 和d 是四个矢量，证明： ()()()()()()???=??-??a b c d a c b d a d b c 证：()()i j ijk k l m lmn n i j l m ijk lmk a b e c d e a b c d e e ???=?=a b c d e e ()()()()()i j l m il jm im jl i i j j i i j j a b c d a c b d a d b c δδδδ=-=- ()()()()=??-??a c b d a d b c 。 2.5设有矢量i i u =u e 。原坐标系绕z 轴转动θ系，如图2.4所示。试求矢量u 在新坐标系中的分量。 解：11cos βθ'=，12sin βθ'=，130β'=， 21sin βθ'=-，22cos βθ'=，230β'=， 310β'=，320β'=，331β'=。 1112cos sin i i u u u u βθθ''==+，
第二章 平面问题的基本理论 【2-9】试列出图2-17，图2-18所示问题的全部边界条件。在其端部小边界上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件。 x y 2 h 1h b g ρo () 2h b >> h x y l /2/2 h M N F S F 1 q q 图2-17 图2-18 【分析】有约束的边界上可考虑采用位移边界条件，若为小边界也可写成圣维南原理的三个积分形式，大边界上应精确满足公式（2-15）。 【解答】图2-17： 上（y =0） 左(x =0) 右（x =b ） l 0 -1 1 m -1 () x f s () 1g y h ρ+ () 1g y h ρ-+ () y f s 1gh ρ 代入公式（2-15）得 ①在主要边界上x=0，x=b 上精确满足应力边界条件： ()()100(),0;===-+=x xy x x g y h σρτ ()()1b b (),0; ===-+=x xy x x g y h σρτ ②在小边界0y =上，能精确满足下列应力边界条件： () () ,0y xy y y gh σρτ===-= ③在小边界2y h =上，能精确满足下列位移边界条件： ()()2 2 0,0 ====y h y h u v 这两个位移边界条件可以应用圣维南原理，改用三个积分的应力边界条件来代替，当板厚=1δ时，可求得固定端约束反力分别为： 10,,0s N F F gh b M ρ==-=
由于2y h =为正面，故应力分量与面力分量同号，则有： ()()()22210000 0b y y h b y y h b xy y h dx gh b xdx dx σρστ===?=-???=???=?? ??? ⑵图2-18 ①上下主要边界y=-h/2，y=h/2上，应精确满足公式（2-15） l m x f (s) y f (s) 2h y =- 0 -1 0 q 2 h y = 1 -1q -/2()y y h q σ==-，-/2()0yx y h τ==，/2()0y y h σ==，/21()yx y h q τ==- ②在x =0的小边界上，应用圣维南原理，列出三个积分的应力边界条件：负面上应力与面力符号相反，有 /20/2/2 0/2/20 /2()()()h xy x S h h x x N h h x x h dx F dx F ydx M τσσ=-=-=-?=-??=-???=-???? ③在x=l 的小边界上，可应用位移边界条件0,0====l x l x v u 这两个位移边界条件也可改用三个积分的应力边界条件来代替。 首先，求固定端约束反力，按面力正方向假设画反力，如图所示，列平衡方程求反力： 110,x N N N N F F F q l F q l F ''=+=?=-∑ 0,0y S S S S F F F ql F ql F ''=++=?=--∑ 2 211110,'02222 A S S q lh ql M M M F l ql q lh M M F l =+++-=?=---∑ 由于x=l 为正面，应力分量与面力分量同号，故 M ' N F 'S F '
弹性力学中的基本假定1连续性假定在物体体积内都被连续介质所充满，没有任何空隙，亦即从宏观角度上认为物体是连续的。因此，所有的物理量均可以用连续函数来表示，从而可以应用数学分析工具2完全弹性假定物体是完全弹性的。这个假定包含两点含义：a.当外力取消时，物体回复到原状，不留任何残余变形，即所谓“完全弹性”b.应力与相应的应变成正比，即所谓“线性弹性”。根据完全弹性假定，物体中的应力与应变之间的物理关系可以用胡克定律来表示3均匀性物体是由同种材料组成的，物体内任何部分的材料性质均相同。这样，物体的弹性常数等不随位置坐标而变化4各向同性物体内任一点各方向的材料性质都相同。这样，弹性常数等也不随方向而变化。凡符合以上四个假定的物体，称为理想弹性体5小变形假定假定物体的位移和应变是微小的。物体在受力后，其位移远小于物体的尺寸，其应变远小于1。用途：a.简化几何方程，使几何方程成为线性方程。b.简化平衡微分方程面力是作用于物体表面上的外力 体力是作用于物体体积内的外力 应力单位截面积上的内力 切应力互等定理作用于两个互相垂直面上，并且垂直于该两面交线的切应力是互等的 形变就是物体形状的改变。通过任一点作3个沿正坐标方向的微分线段，并以这些微分线段的应变来表示该点的形变 成为平面应力问题条件1等厚度薄板2面力只作用于板边，其方向平行与中面，且沿厚度不变3体力作用于体积内，其方向平行于中面，且沿厚度不变4约束只作用于板边，其方向平行于中面，且沿厚度不变 成为平面应变问题条件1常截面长住体2面力作用于柱面上，其方向平行于横截面，且沿长度方向不变3体力作用于体积内，其方向平行于横截面，且沿长度方向不变4约束作用于柱面上，其方向平行于横截面，且沿长度方向不变 平衡微分方程表示区域内任一点（x，y）的微分体的平衡条件 平衡问题中一点应力状态1求斜面应力分量2由斜面应力分量求斜面上的正应力和切应力3求一点的主应力及应力方向4求一点的最大和最小的正应力和切应力 几何方程表示任一点的微分线段上，形变分量与位移分量之间的关系式 形变与位移的关系1如果物体的位移确定，则形变完全确定2当物体的形变分量确定时，位移分量不完全确定 边界条件表示在边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。可分为：位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件 位移边界条件实质上是变形连续条件在约束边界上的表达式 应力分量和正的面力分量的正负号规定不同在正坐标面上，应力分量与面力分量同号；在负坐标面上，应力分量与面力分量异号 应力边界条件两种表达方式：1在边界点取出一个微分体，考虑其平衡条件2在同一边界上，应力分量应等于对应的面力分量（数值相同，方向一致） 圣维南原理如果把物体的一小部分边界上的面力，变化为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对于同一点的主矩也相同）那么近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所受的影响可以不计只能应用于一小部分边界上（又称局部边界、小边界和次要边界） 圣维南原理推广如果物体一小部分边界上的面力是一个平衡力系（主矢量及主矩都等于零），那么这个面力就只会使近处产生显著的应力而远处的应力可以不计 应力边界条件上应用圣维南原理就是在小边界上将精确的应力边界条件式，代之为静力等效的主矢量和主矩的条件 形变协调条件的物理意义1形变协调条件是连续体中位移连续性的必然结果2形变协调条件是形变对应的位移存在且连续的必要条件
第二章应力状态分析 一、内容介绍 弹性力学的研究对象为三维弹性体，因此分析从微分单元体入手，本章的任务就是从静力学观点出发，讨论一点的应力状态，建立平衡微分方程和面力边界条件。 应力状态是本章讨论的首要问题。由于应力矢量与内力和作用截面方位均有关。因此，一点各个截面的应力是不同的。确定一点不同截面的应力变化规律称为应力状态分析。首先是确定应力状态的描述方法，这包括应力矢量定义，及其分解为主应力、切应力和应力分量；其次是任意截面的应力分量的确定—转轴公式；最后是一点的特殊应力确定，主应力和主平面、最大切应力和应力圆等。应力状态分析表明应力分量为二阶对称张量。本课程分析中使用张量符号描述物理量和基本方程，如果你没有学习过张量概念，请进入附录一，或者查阅参考资料。 本章的另一个任务是讨论弹性体内一点－微分单元体的平衡。弹性体内部单元体的平衡条件为平衡微分方程和切应力互等定理；边界单元体的平衡条件为面力边界条件。 二、重点 1、应力状态的定义：应力矢量；正应力与切应力；应力分量； 2、平衡微分方程与切应力互等定理； 3、面力边界条件； 4、应力分量的转轴公式； 5、应力状态特征方程和应力不变量； 知识点： 体力；面力；应力矢量；正应力与切应力；应力分量；应力矢量与应力 分量；平衡微分方程；面力边界条件；主平面与主应力；主应力性质； 截面正应力与切应力；三向应力圆；八面体单元；偏应力张量不变量； 切应力互等定理；应力分量转轴公式；平面问题的转轴公式；应力状态 特征方程；应力不变量；最大切应力；球应力张量和偏应力张量 §2.1 体力和面力 学习思路:
本节介绍弹性力学的基本概念——体力和面力，体力F b和面力F s的概念均不难理解。 应该注意的问题是，在弹性力学中，虽然体力和面力都是矢量，但是它们均为作用于一点的力，而且体力是指单位体积的力；面力为单位面积的作用力。 体力矢量用F b表示，其沿三个坐标轴的分量用F b i（i=1，2，3）或者F b x、F b y和F b z表示，称为体力分量。 面力矢量用F s表示，其分量用F s i（i=1，2，3）或者F s x、F s y和F s z表示。 体力和面力分量的方向均规定与坐标轴方向一致为正，反之为负。 学习要点： 1、体力； 2、面力。 1、体力 作用于物体的外力可以分为两种类型：体力和面力。 所谓体力就是分布在物体整个体积内部各个质点上的力，又称为质量力。例如物体的重力，惯性力，电磁力等等。 面力是分布在物体表面上的力，例如风力，静水压力，物体之间的接触力等。为了表明物体在xyz坐标系内任意一点P 所受体力的大小和方向，在P点的邻域取一微小体积元素△V，如图所示 设△V 的体力合力为△F，则P点的体力定义为 令微小体积元素△V趋近于0，则可以定义一点P的体力为
弹性理论基础 产生弹性形变的介质叫弹性介质。 （一）各向同性介质和各向异性介质 对弹性介质，如果沿不同方向测定的物理性质均相同，称各向同性介质，否则是各向异性介质。 （二）均匀介质、层状介质 若介质的弹性性质不仅与测定方向无关，而且与坐标位置无关，就称为均匀介质；非均匀介质中，介质的性质表现出成层性，称这种介质为层状介质；其中每一层是均匀介质；不同介质层的分界处称界面（平面或曲面）；两个界面之间的间隔称为该层的厚度。 （三）连续介质 将速度v是空间连续变化函数的介质定义为连续介质。连续介质是层状介质的一种极限情况。即当层状介质的层数无限增加，每层厚度无限减小，层状介质就过渡为连续介质，如 v=v0 (1+bz)叫线性连续介质。 （四）单相介质和双相介质 只考虑单一相态的介质称单相介质，由两种相态组成例如一种是固相一种是流相的，称为双相介质。 二、弹性模量 （一）应力与应变 1.应力：弹性体受力后产生的恢复原来形状的内力称内应力，简称为应力。应力和外力相抗衡，阻止弹性体的形变。对于一个均匀各向同性的弹性圆柱体，设作用于s面上的法向应力为N，若力f在s面上均匀分布，则应力pn定义为 Pn=f/s ，若外力f非均匀分布，则可以取一小面元△S,作用于小面元上的力为△f，则应力定义为（lim(△f/△S)）。因此应力的数学定义为：单位横截面上所产生的内聚力称为内力。根据力的分解定理，可以将力分解成垂直于单元面积的应力—法向应力（正应力）；相切于单元面积的应力—切向应力（剪切应力）。 2.应变：物理定义：弹性体受应力作用，产生的体积和形状的变化称为应变。只发生体积变化而形状不变的应变称正应变；反之，只发生形状变化的应变称切应变。数学定义：弹性理论中，将单位长度所产生的形变称应变。 3.应力与应变的关系：应力与应变成正比关系的物体叫完全弹性体，虎克定律表示了应力与应变之间的线性关系。对于一维弹性体，虎克定律为： F=kx； F: 外力； x: 形变； k: 弹性系数。对于三维弹性体，用广义虎克定律表示应力与应变之间的关系。
固体力学的重要分支，它研究弹性物体在外力和其他外界因素作用下产生的变形和内力，又称弹性理论。它是材料力学、结构力学、塑性力学和某些交叉学科的基础，广泛应用于建筑、机械、化工、航天等工程领域。 弹性体是变形体的一种，它的特征为：在外力作用下物体变形，当外力不超过某一限度时，除去外力后物体即恢复原状。绝对弹性体是不存在的。物体在外力除去后的残余变形很小时，一般就把它当作弹性体处理。 人类从很早时就已经知道利用物体的弹性性质了，比如古代弓箭就是利用物体弹性的例子。当时人们还是不自觉的运用弹性原理，而人们有系统、定量地研究弹性力学，是从17世纪开始的。 弹性力学所依据的基本规律有三个：变形连续规律、应力-应变关系和运动(或平衡)规律，它们有时被称为弹性力学三大基本规律。弹性力学中许多定理、公式和结论等，都可以从三大基本规律推导出来。连续变形规律是指弹性力学在考虑物体的变形时，只考虑经过连续变形后仍为连续的物体，如果物体中本来就有裂纹，则只考虑裂纹不扩展的情况。这里主要使用数学中的几何方程和位移边界条件等方面的知识。
弹性力学所依据的基本规律有三个：变形连续规律、应力-应变关系和运动（或平衡）规律，它们有时被称为弹性力学三大基本规律。弹性力学中许多定理、公式和结论等，都可以从三大基本规律推导出来。 ①变形连续规律弹性力学（和刚体的力学理论不同）考虑到物体的变形，但只限于考虑原来连续、变形后仍为连续的物体，在变形过程中，物体不产生新的不连续面。如果物体中本来就有裂纹，则弹性力学只考虑裂纹不扩展的情况。 反映变形连续规律的数学方程有两类：几何方程和位移边界条件。几何方程反映应变和位移的联系，它的力学含义是，应变完全由连续的位移所引起，
第二章 弹性力学的基本原理 §2.1 应力分析 2.1.1应力与应力张量 应力被定义为：用假想截面将物体截开，在截面上一点P 的周围取一微元S ?, 设S ?的外法线为ν, S ?上的力为T ?，如极限ν???T S T S =→/lim 0 存在，则称νT 为P 点在该截面上的应力矢量。 考察三个面为与坐标面平行的截面(即以321,,x x x 三个坐标轴为法线的三个截面), )3()2()1( , ,T T T 分别表示三个截面上的应力矢量。每一个应力矢量又分解为沿三个坐标轴的应力分量，有 j ij i e T σ=)( (i ,j =1,2,3) (2.1) 这里的张量运算形式满足“求和约定”，即凡是同一指标字母在乘积中出现两次时，则理解为对所有同类求和，即j ij e σ应理解为∑=3 1j j ij e σ。这样的求和指标j 称之为假指标或哑指标。由此得到 九个应力分量表示一点的应力状态，这九个分量组成应力张量： ? ?? ?? ??=333231232221131211σσσσσσσσσσij 或??? ? ? ??=zz zy zx yz yy yx xz xy xx ij στττστττσσ (2.2) 在本书第一章致第九章，应力分量符号(正负号)规定如下：对于正应力，我们规定张应力为正，压应力为负。对于剪应力，如果截面外法向与坐标轴的正方向一致，则沿坐标轴正方向的剪应力为正，反之为负。如果沿截面外法向与坐标轴的正方向相反，则沿坐标轴正方向的剪应力为负。 2.1.2 柯西(Cauchy)方程 记S 为过P 点的外法向为n 的斜截面。外法线n 的方向可由其方向余弦记为),,cos(11x n n =α ),cos(22x n n =α, ),cos(33x n n =α。 设此斜截面ABC ?的面积为S , 则如图2.1, 过此点所取的小四面体OABC 另外三个面为与坐标面平行的截面(即以321,,x x x 三个坐标轴为法线的三个截面), 其面积分别为 ??? ?? ?=?=?=?=?=?=333222111),cos(:),cos(:),cos(:n n n S x S S OAB S x S S OAC S x S S OBC α?α?α?n n n (2.3) 此截面上的应力矢量记为)(n T , 即 j n j n T e T )()(= (2.4) 另外三个面上的应力矢量分别为)1(T -, )2(T -, )3(T -。 考虑此微元(四面体OABC 的平衡，其平衡方程为 ()031 3)3(2)2(1)1()(=??+?+?+?-?h S S S S S n f T T T T (2.5) 其中f 为作用于此单元上的体力，h 为O 点至截面ABC 的垂直距离，h S ?3 1 为此微元的体积。当