易错点02 方程与不等式
1.分式方程：解分式方程去分母时，漏乘整式项，忘记验根；
2.一元二次方程：忽视一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)中“a≠0”；
01解分式方程去分母时，漏乘整式项，忘记验根【典例】（2020春?玄武区期末）解分式方程：
（1）＝；
（2）＝﹣2．
1．（2020?苏州）解方程：+1＝．
2．（2020春?高新区期中）解方程：
易错点02 方程（组）与不等式（组）1．一次方程（组）及其应用 2．分式方程及其应用 3．一元二次方程及其应用 4．一次不等式（组）及其应用 01各种方程（组）的解法要熟练掌握，方程（组）无解的意义是找不到等式成立的条件。 1．解方程组：． 1．已知关于x的方程+m+x＝3有一个实数根是x＝1，试求m的值． 2．已知方程组与有相同的解，求m和n值． 【解析】两个方程组的解相同，也就是有一组x、y的值是这四个方程的公共解，当然也是其中任意两个方程的公共解，所以可以把原来的方程组打乱，重新组合起来求解．【答案】解：由已知可得， 解得， 把代入剩下的两个方程组成的方程组， 得，
解得m＝﹣1，n＝﹣4． 3．已知，关于x、y二元一次方程组的解满足方程2x﹣y＝13，求a的值． 4．若方程＝x﹣2m有一个根x＝1，求m的值及方程的其他的根． 02运用不等式的性质３时，容易忘记改不变号的方向而导致结果出错。不等式（组）的解得问题要先确定解集，确定解集的方法运用数轴。 1．解不等式≥，并在数轴上表示解集． 2．解不等式组：并把它的解集在数轴上表示出来． 3．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 4．解不等式组 请结合题意填空，完成本题的答案．
（1）解不等式①，得； （2）解不等式②，得； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式组的解集为． 03关于一元二次方程的取值范围的题目易忽视二次项系数不为0。 1．已知：关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围； （2）如果m为非负整数，且该方程的根都是整数，求m的值． 2．已知m是方程x2﹣x﹣2＝0的一个实数根，求代数式（m2﹣m）（m﹣+1）的值． 3．已知关于x的一元二次方程（m+2）x2+2x+m2﹣4＝0有一个解是0，求m的值及方程的另一根． 4．已知关于x的方程5x2﹣kx﹣10＝0的一个根为﹣5，求它的另一个根及k的值． 04关于一元一次不等式组有解、无解的条件易忽视
不等式的易错点以及典型例题 1.同向不等式能相减，相除吗？ 2.不等式的解集的规书写格式是什么？（一般要写成集合的表达式） 3.分式不等式 ()() ()0≠>a a x g x f 的一般解题思路是什么？（移项通分，分子分母分解因式，x 的系数变为正值，奇穿偶回） 4.解指数对数不等式应该注意什么问题？（指数函数与对数函数的单调性, 对数的真数大于零.） 5.含有两个绝对值的不等式如何去绝对值？(一般是根据定义分类讨论) 6.利用重要不等式ab b a 2≥+ 以及变式2 2??? ??+≤b a ab 等求函数的最值时， 你是否注意到a ，b +∈R （或a ，b 非负），且“等号成立”时的条件，积ab 或和a ＋b 其中之一应是定值？(一正二定三相等) 7. ) R b , (a , b a 2ab 2222+∈+≥≥+≥+ab b a b a (当且仅当c b a ==时，取等号）； a 、b 、c ∈R ，ca bc ab c b a ++≥++222（当且仅当c b a ==时，取等号）； 8.在解含有参数的不等式时，怎样进行讨论？（特别是指数和对数的底1 0<a ）讨论完之后，要写出：综上所述，原不等式的解集是……． 9.解含参数的不等式的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键．” 10.对于不等式恒成立问题，常用的处理方式？（转化为最值问题） 11.在解决有关线性规划应用问题时，有以下几个步骤：先找约束条件，作出可行域，明确目标函数，其中关键就是要搞清目标函数的几何意义，找可行域时要注意把直线方程中的y 的系数变为正值。如：求2<5a-2b<4,-3<3a+b<3求a+b 的取值围，但也可以不用线性规划。 11.不等式易错典型例题
学生姓名陈 年级初一 授课时间2012.6 .2 教师姓名刘 课时 2 不等式易错题、难题集合 （注意：运用不等式的性质是解题的关键！ ！ ！ ！ ！ ！不等式的性质切记！ !!!!!!!） -，选择题 1.下列不等式一定成立的是（） A.5a >4a B.X +2 v X +3 C. — a >— 2a D.- a 2. 右一a >a ,贝U a 必为（） A.正整数B .负整数C .正数D .负数 3. 若a > b ,则下列不等式一定成立的是（ ） b a A . <1 B. >1 C.-a>-b D.a-b>0 a b 4. 若a — b v 0,则下列各式中一定正确的是（ ） a <0 D . b A. a >b B . ab>0 C —a >— b 5.如果b A.- a 那么 1 1 b 6. 若果 x-y>x,x+y>y A.0
不等式易错题分析 Prepared on 24 November 2020
不等式易错题分析 一、解一元二次不等式的易错题 （一）、随意消项致误 例题1：解不等式; 22(44)(43)0x x x x -+-+≥ 错解：原不等式可化为：2(2)(1)(3)0x x x ---≥ 解得2(2)0,(1)(3)0x x x -≥∴--≥ 所以31x x ≥≤或 原不等式的解集为：{}|31x x x ≥≤或 剖析：错误是由于随意消项造成的，事实上，当2(2)0x -=时，原不等式亦成立 正解：原不等式可化为：20x -≠且(1)(3)0(2)0x x x --≥-=或 解得31x x ≥≤或或x=2 所以原不等式的解集为：{}31x x ≥≤x|或或x=2 （二）、函数不清致误 例题2：已知函数22(45)4(1)3y m m x m x =+-+-+的图像都在x 轴的下方，求实数m 的取值范围。 错解：，依题意，对,0x R y ∈>恒成立，于是函数的图像开口方向向上，且图 像与x 轴无交点。故[]2224504(1)43(45)0 m m m m m ?+->???=--+-
正解：当2450m m +-≠时，同上述解答有119m <<， 若2450m m +-=时，则m=1或m=5 若m=1，,则已知函数化为3y =，则对,0x R y ∈>恒成立； 若m=5，则已知函数化为243y x =+，对,0x R y ∈>不恒成立，故此情形舍去。 所以m 的取值范围为119m ≤< （三）、漏端点致误 例题3：已知集合{}{}2|20,|3A x x x B x a a =--≤=<+，且A B φ=，则实数a 的取值范围是____________ 错解：{}{}2|20|12A x x x x x =--≤=-≤≤ 若使A B φ=，需满足231a a >+<-或，解得24a a ><-或，所以实数a 的取值范围是24a a ><-或。 剖析：上面的解法错误原因在于忽视了集合{}|12A x x =-≤≤的两个端点值-1和2，其实当2a =时{}|25B x x =<<，满足A B φ=；当31a +=-时，即4a =-时也满足A B φ=。 正解：{}{}2|20|12A x x x x x =--≤=-≤≤若使A B φ=，需满足231a a ≥+≤-或，解得24a a ≥≤-或，所以实数a 的取值范围是 24a a ≥≤-或。 (四)、条件非充要致误 例题4：若方程2(2)50x m m +-+-=的两根均大于2，求实数m 的取值范围。 错解：设两根为12,x x ，则有题意可得：1212044x x x x ?≥??+>??>?2(2)(5)02454m m m m ?---≥??->??->?
不等式易错题 一．填空题（共23小题） 1．（2012?谷城县校级模拟）若不等式组恰有两个整数解．则实数a的取值范围是． 2．（2009?凉山州）若不等式组的解集是﹣1＜x＜1，则（a+b）2009=． 3．（2012春?金坛市期中）如果不等式a≤x≤3有且仅有3个整数解，那么a的范围 是． 4．不等式x＜a的非负整数解有3个，则a的取值范围是． 5．（2012秋?白下区校级月考）不等式a≤x≤3只有6个整数解，则a的范围是． 6．若关于x的不等式1﹣|x|＞ax的解集中有无穷多个整数，则a的取值范围是． 7．（2014春?吉州区校级期中）已知不等式3x+a≤9有三个非负整数解，则a的取值范围是． 8．（2013?黄石模拟）若不等式的整数解有3个，则m的取值范围是． 9．（2011秋?常熟市期中）若不等式组有4个整数解，则a的取值范围是． 10．（2012春?成华区期中）若关于x的不等式组有5个整数解，则m的取值范围是． 11．若有5个整数x使得不等式1+a≤x＜2成立，则a的取值范围是．
12．（2013?青羊区校级模拟）已知关于x的不等式组的整数解有3个，则m的取值范围是． 13．（2012春?大邑县校级期中）若不等式组有4个整数解，则m的取值范围是． 14．若不等式组无解，则m的取值范围是． 15．（2009春?吴江市期末）若关于x的不等式2m一1＜x＜m+l无解，则m的取值范围是． 16．（2010春?昌宁县校级期末）若不等式组无解，则m的取值范围是．17．（2011?潍城区模拟）不等式组无解，则m的取值范围是．18．（2011春?化州市期中）不等式组无解，则a的取值范围是．19．（2009春?天长市期末）不等式ax＞b的解集是x＜，则a的取值范围是． 20．（2011春?连云港校级期中）若不等式（2a﹣3）x＜2a﹣3的解集为x＞1，则a的取值范围是． 21．（2009春?雅安校级期中）已知关于x的不等式mx＜5m的解集是x＞5，则m的取值范围是． 22．（2009春?榕江县校级期末）不等式组的解集为x＞2，则a的取值范围 是． 23．（2014春?金坛市校级月考）不等式mx﹣2＜3x+4的解集是x＞，则m的取值范围 是 ．
不等式易错点分析 易错点一：忽视字母之间的联系性，使字母范围扩大 例1.已知函数c ax x f -=2 )(满足1)1(4-≤≤-f ，5)2(1≤≤-f ，求)3(f 的最大值与最小值． 典型错解：由题意得???≤-≤--≤-≤-54114c a c a ?? ?≤-≤-≤-≤=5414 1c a a c ，同向不等式相加可得 930≤≤a ，即30≤≤a ，又由41≤-≤a c ，可得71≤≤c ． ∴2790≤≤a ，17-≤-≤-c ，即2697≤-≤-c a ，而c a f -=9)3(， ∴)3(f 的最大值是26，最小值是 —7． 错因分析：在26)3(7≤≤-f 中，当且仅当1,3==c a 时，右等号成立；当且仅当 7,0==c a 时， 左等号成立，这两组字值均不满足???≤-≤--≤-≤-5 411 4c a c a ，因此26)3(7≤≤-f 中的左右等号均不能成立，故26、－7不是要求的最值．究其原因，是将a 、c 的范围扩大了． 正确解答：由c a f -=)1(，c a f -=4)2(，c a f -=9)3(， 可设)2()1()3(nf mf f +=，则c a c a n c a m -=-+-9)4()(， ∴??? ????=-=????-=--=+38 35194n m n m n m ，∴)2(38)1(35)3(f f f +-=， 而1)1(4-≤≤-f ，5)2(1≤≤-f ， ∴ 320)1(3535≤ -≤f ，340)2(3838≤≤-f ，∴20)2(3 8)1(351≤+-≤-f f ， 即20)3(1≤≤-f ， 当?? ?=--=-544c a c a ，即???==7 3 c a 时，右边等号成立； 当???-=--=-141c a c a ，即? ??==10c a 时，左边等号成立；两组值均满足???≤-≤--≤-≤-54114c a c a ， 故)3(f 的最大值是20，最小值是1-.
方程与不等式之无理方程易错题汇编及答案 一、选择题 1．20 x=化为有理方程_______ 【答案】3x2+1=0 【解析】 【分析】 先移项，然后方程两边平方即可去根号，转化为有理方程． 【详解】 2x = 两边平方得：x2-1=4x2,即3x2+1=0． 故答案是：3x2+1=0． 【点睛】 本题考查了无理方程的解法，利用平方法是转化为整式方程的基本方法． 2．1 =的解为 【答案】x=1 【解析】 试题分析：方程两边平方即可去掉绝对值符号，解方程求得x的值，然后把x的值代入进行检验即可． 试题解析：方程两边平方，得：2-x=1， 解得：x=1． 经检验：x=1是方程的解． 考点：无理方程． 3．x =-的根是______． 【答案】x=﹣2 【解析】 先把方程两边平方去根号后求解，再根据x＜0，即可得出答案． 解：由题意得：x＜0， 两边平方得：x+6=x2， 解得x=3（不合题意舍去）或x=﹣2； 故答案为：x=﹣2． 4．1 =的解是x=_____． 【答案】4 【解析】 分析：这是一道无理方程，解此方程量先将无理方程两边平方，转化为一元一次方程来解.
详解：两边平方得：x-3=1， 移项得：x=4． 经检验x=4是原方程的根． 故本题答案为：x=4． 点睛：本题由于两边平方，可能产生增根，所以解答以后要验根． 5．5 =的根为_____． 【答案】﹣2或﹣7 【解析】 【分析】 把无理方程转化为整式方程即可解决问题． 【详解】 两边平方得到：， ， ∴（x+11）（2-x）=36， 解得x=-2或-7， 经检验x=-2或-7都是原方程的解． 故答案为-2或-7 【点睛】 本题考查无理方程，解题的关键是学会把无理方程转化为整式方程． 6．0的根是____． 【答案】x=1 【解析】 【分析】 将无理方程化为一元二次方程，然后求解即可． 【详解】 原方程变形为x（x-1）=0， ∴x=0或x-1=0， ∴x=0或x=1， ∴x=0时，被开方数x-1=-1＜0， ∴x=0不符合题意，舍去， ∴方程的根为x=1， 故答案为x=1． 【点睛】 本题考查了无理方程，将无理方程化为一元二次方程是解题的关键．
初一不等式与不等式组经典题易错题 偏难题15题 1. 若不等式组?? ?>≤
8.已知方程组?? ?-=++=+②①m y x m y x 12,312的解满足x ＋y ＜0，求m 的取值范围． 9.若方程组 的解满足x ＜1且y ＞1，求k 的整数解。 10.当k 取何值时，方程组?? ?-=+=-52,53y x k y x 的解x ，y 都是负数．
11.已知a 是自然数，关于x 的不等式组?? ?>-≥-0 2,43x a x 的解集是x ＞2，求a 的值． 关于x 的不等式组? ??->-≥-123,0x a x 的整数解共有5个，求a 的取值范围． 12.（类型相同）k 取哪些整数时，关于x 的方程5x ＋4＝16k －x 的根大于2且小于10? 13.某次数学竞赛活动，共有16道选择题，评分办法是：答对一题给6分，答错一题倒扣2分，不答题不得分也不扣分．某同学有一道题未答，那么这个学生至少答对多少题，成绩才能在60分以上?
方程与不等式之不等式与不等式组易错题汇编含答案 一、选择题 1．关于x 的不等式412x -≥-的正整数解有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．3个 D ．4个 【答案】C 【解析】 【分析】 先解不等式求出解集，根据解集即可确定答案. 【详解】 解不等式412x -≥-得3x ≤， ∴该不等式的正整数解有：1、2、3， 故选：C. 【点睛】 此题考查不等式的正整数解，正确解不等式是解题的关键. 2．关于 x 的不等式组21231x x a -??恰好只有 4 个整数解，则 a 的取值范围为（ ） A ．-2≤a ＜-1 B ．-2＜a≤-1 C ．-3≤a ＜-2 D ．-3＜a≤-2 【答案】A 【解析】 【分析】 首先确定不等式组的解集，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a 的不等式，从而求出a 的范围． 【详解】 解：21231x x a -??①② 解不等式组①，得x<72 ， 解不等式组②，得x>a+1， 则不等式组的解集是a+1 本题主要考查了一元一次不等组的整数解.正确解出不等式组的解集，确定a+1的范围，是解决本题的关键．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 3．已知关于x 的不等式组的解集在数轴上表示如图，则b a 的值为（ ） A ．﹣16 B ． C ．﹣8 D ． 【答案】B 【解析】 【分析】 求出x 的取值范围，再求出a 、b 的值，即可求出答案. 【详解】 由不等式组 ， 解得. 故原不等式组的解集为1-b x -a ， 由图形可知-3x 2， 故 ， 解得，则b a =． 故答案选B ． 【点睛】 本题考查的知识点是在数轴上表示不等式的解集，解题的关键是熟练的掌握在数轴上表示不等式的解集. 4．关于x 的不等式组() 02332x m x x ->??-≥-?恰有五个整数解，那么m 的取值范围为（ ） A ．21m -≤<- B ．21m -<< C ．1m <- D ．2m ≥- 【答案】A 【解析】 【分析】 先求出不等式组的解集，然后结合有五个整数解，即可求出m 的取值范围． 【详解】 解：()02332x m x x ->??-≥-? 不等式易错题分析 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998 不等式易错题分析 一、解一元二次不等式的易错题 （一）、随意消项致误 例题1：解不等式; 22(44)(43)0x x x x -+-+≥ 错解：原不等式可化为：2(2)(1)(3)0x x x ---≥ 解得2(2)0,(1)(3)0x x x -≥∴--≥ 所以31x x ≥≤或 原不等式的解集为：{}|31x x x ≥≤或 剖析：错误是由于随意消项造成的，事实上，当2(2)0x -=时，原不等式亦成立 正解：原不等式可化为：20x -≠且(1)(3)0(2)0x x x --≥-=或 解得31x x ≥≤或或x=2 所以原不等式的解集为：{}31x x ≥≤x|或或x=2 （二）、函数不清致误 例题2：已知函数22(45)4(1)3y m m x m x =+-+-+的图像都在x 轴的下方，求实数m 的取值范围。 错解：，依题意，对,0x R y ∈>恒成立，于是函数的图像开口方向向上，且图 像与x 轴无交点。故[]2224504(1)43(45)0 m m m m m ?+->???=--+- 正解：当2450m m +-≠时，同上述解答有119m <<， 若2450m m +-=时，则m=1或m=5 若m=1，,则已知函数化为3y =，则对,0x R y ∈>恒成立； 若m=5，则已知函数化为243y x =+，对,0x R y ∈>不恒成立，故此情形舍去。 所以m 的取值范围为119m ≤< （三）、漏端点致误 例题3：已知集合{}{}2|20,|3A x x x B x a a =--≤=<+，且A B φ=，则实数a 的取值范围是____________ 错解：{}{}2|20|12A x x x x x =--≤=-≤≤ 若使A B φ=，需满足231a a >+<-或，解得24a a ><-或，所以实数a 的取值范围是24a a ><-或。 剖析：上面的解法错误原因在于忽视了集合{}|12A x x =-≤≤的两个端点值-1和2，其实当2a =时{}|25B x x =<<，满足A B φ=；当31a +=-时，即4a =-时也满足A B φ=。 正解：{}{}2|20|12A x x x x x =--≤=-≤≤若使A B φ=，需满足 231a a ≥+≤-或，解得24a a ≥≤-或，所以实数a 的取值范围是 24a a ≥≤-或。 (四)、条件非充要致误 例题4：若方程2(2)50x m m +-+-=的两根均大于2，求实数m 的取值范围。 错解：设两根为12,x x ，则有题意可得：1212044x x x x ?≥??+>??>?2(2)(5)02454m m m m ?---≥??->??->? 初中不等式综合练习(经典题--易错题) 不等式 一、选择题 1．如果不等式ax ≤2的解集是x ≥－4，则a 的值为 （ ）． （A ）a =21- （B ）a ≤2 1 - （C ）a ＞21- （D ）a ＜2 1 2．不等式组?? ?≥->+4 24, 532x x 的解集为 （ ）． （A ）x ＞1 （B ）x ＞3 2 （C ）x ≥1 （D ）x ≥3 2 3.如果10< x ＋1＞x （D ）x ＋1＜x 5.不等式组?? ?≤->+0 3, 02x x 的最大整数解是 （ ）． （A ）x =－2 （B ）x =2 （C ）x =3 （D ）x =4 6.下列不等式解法正确的是（ ） A ．如果221>- x ， 那么1- 1．如果a 、b 、c 满足c不等式易错题分析
初中不等式综合练习(经典题--易错题)
2014年高考数学黄金易错点专题汇编：专题07 不等式