高中函数大题专练
１、已知关于x 的不等式2(4)(4)0kx k x --->，其中k R ∈。
⑴试求不等式的解集A ；
⑵对于不等式的解集A ，若满足A Z B = （其中Z 为整数集）。试探究集合B 能否为有限集？若能，求出使得集合B 中元素个数最少的k 的所有取值，并用列举法表示集合
B ；若不能，请说明理由。
２、对定义在[0,1]上，并且同时满足以下两个条件的函数()f x 称为G 函数。
① 对任意的[0,1]x ∈，总有()0f x ≥；
② 当12120,0,1x x x x ≥≥+≤时，总有1212()()()f x x f x f x +≥+成立。 已知函数2()g x x =与()21x h x a =?-是定义在[0,1]上的函数。 （1）试问函数()g x 是否为G 函数？并说明理由； （2）若函数()h x 是G 函数，求实数a 的值；
（3）在（2）的条件下，讨论方程(21)()x g h x m -+=()m R ∈解的个数情况。
3.已知函数|
|212)(x x x f -
=. （1）若2)(=x f ，求x 的值；
（2）若0)()2(2≥+t mf t f t 对于[2,3]t ∈恒成立，求实数m 的取值范围.
4.设函数)(x f 是定义在R 上的偶函数.若当0x ≥时，1
1,()0,f x x
?-?=???
0;
0.x x >= （1）求)(x f 在(,0)-∞上的解析式.
（2）请你作出函数)(x f 的大致图像.
（3）当0a b <<时，若()()f a f b =，求ab 的取值范围.
（4）若关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 有7个不同实数解，求,b c 满足的条件.
5．已知函数()(0)||
b
f x a x x =-
≠。 （1）若函数()f x 是(0,)+∞上的增函数，求实数b 的取值范围；
（2）当2b =时，若不等式()f x x <在区间(1,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围； （3）对于函数()g x 若存在区间[,]()m n m n <，使[,]x m n ∈时，函数()g x 的值域也是
[,]m n ，则称()g x 是[,]m n 上的闭函数。若函数()f x 是某区间上的闭函数，试探
求,a b 应满足的条件。
6、设bx ax x f +=2)(，
求满足下列条件的实数a 的值：至少有一个正实数b ，使函数)(x f 的定义域和值域相同。
7．对于函数)(x f ，若存在R x ∈0 ，使00)(x x f =成立，则称点00(,)x x 为函数的不动点。 （1）已知函数)0()(2≠-+=a b bx ax x f 有不动点（1，1）和（-3，-3）求a 与b 的值； （2）若对于任意实数b ，函数)0()(2≠-+=a b bx ax x f 总有两个相异的不动点，求a 的取值范围；
（3）若定义在实数集R 上的奇函数)(x g 存在（有限的）n 个不动点，求证：n 必为奇数。
8．设函数)0(1
)(≠+
=x x
x x f ，的图象为1C 、1C 关于点A （2，1）的对称的图象为2C ，2C 对应的函数为)(x g .
（1）求函数)(x g y =的解析式；
（2）若直线b y =与2C 只有一个交点，求b 的值并求出交点的坐标.
9．设定义在),0(+∞上的函数)(x f 满足下面三个条件：
①对于任意正实数a 、b ，都有()()()1f a b f a f b ?=+-； ②(2)0f =；
③当1>x 时，总有()1f x <. （1）求)2
1
()1(f f 及的值；
（2）求证：),0()(+∞在x f 上是减函数.
10． 已知函数)(x f 是定义在[]2,2-上的奇函数，当)0,2[-∈x 时，3
2
1)(x tx x f -=（t 为常数）。
（1）求函数)(x f 的解析式；
（2）当]6,2[∈t 时，求)(x f 在[]0,2-上的最小值，及取得最小值时的x ，并猜想)
(x f 在[]2,0上的单调递增区间（不必证明）；
（3）当9≥t 时，证明：函数)(x f y =的图象上至少有一个点落在直线14=y 上。
11.记函数()2
7
2++-
=
x x x f 的定义域为A ，()()()[]()R a b ax b x x g ∈>+-=,012lg 的定义域为B ，
（1）求A ： （2）若B A ?，求a 、b 的取值范围
12、设()()1,011
≠>-+=
a a a a x f x
x 。 （1）求()x f 的反函数()x f 1-：
（2）讨论()x f
1
-在()∞+.1上的单调性，并加以证明：
（3）令()x x g a log 1+=，当[]()()n m n m <+∞?,1,时，
()x f 1-在[]n m ,上的值域是
()()[]m g n g ,，求a 的取值范围。
13．集合A 是由具备下列性质的函数)(x f 组成的：
(1) 函数)(x f 的定义域是[0,)+∞； (2) 函数)(x f 的值域是[2,4)-；
(3) 函数)(x f 在[0,)+∞上是增函数．试分别探究下列两小题：
（Ⅰ）判断函数1()2(0)f x x ≥，及21
()46()(0)2
x f x x =-?≥是否属于集合A ？并简
要说明理由．
（Ⅱ）对于（I ）中你认为属于集合A 的函数)(x f ，不等式)1(2)2()(+<++x f x f x f ，
是否对于任意的0≥x 总成立？若不成立，为什么？若成立，请证明你的结论．
14、设函数f(x)=ax 2
+bx+1（a,b 为实数）,F(x)=??
?<->)
0()()
0()(x x f x x f
（1）若f(-1)=0且对任意实数x 均有f(x)0≥成立，求F(x)表达式。
（2）在（1）的条件下,当x []2,2-∈时,g(x)=f(x)-kx 是单调函数,求实数k 的取值范围。 （3）（理）设m>0,n<0且m+n>0,a>0且f(x)为偶函数，求证：F(m)+F(n)>0。
15．函数f(x)=
b
ax x
+(a ，b 是非零实常数)，满足f(2)=1，且方程f(x)=x 有且仅有一个解。
(1)求a 、b 的值；
(2)是否存在实常数m ，使得对定义域中任意的x ，f(x)+f(m –x)=4恒成立？为什么？ (3)在直角坐标系中，求定点A(–3,1)到此函数图象上任意一点P 的距离|AP|的最小值。
函数大题专练答案
１、已知关于x 的不等式2(4)(4)0kx k x --->，其中k R ∈。
⑴试求不等式的解集A ；
⑵对于不等式的解集A ，若满足A Z B = （其中Z 为整数集）。试探究集合B 能否为有限集？若能，求出使得集合B 中元素个数最少的k 的所有取值，并用列举法表示集合
B ；若不能，请说明理由。
解：（1）当0k =时，(,4)A =-∞；当0k >且2k ≠时，4
(,4)(,)A k k
=-∞+
+∞ ； 当2k =时，(,4)(4,)A =-∞+∞ ；（不单独分析2k =时的情况不扣分）
当0k <时，4
(,4)A k k
=+
。 （2） 由（1）知：当0k ≥时，集合B 中的元素的个数无限；
当0k <时，集合B 中的元素的个数有限，此时集合B 为有限集。
因为4
4k k
+≤-，当且仅当2k =-时取等号，
所以当2k =-时，集合B 的元素个数最少。
此时()4,4A =-，故集合{}3,2,1,0,1,2,3B =---。
２、对定义在[0,1]上，并且同时满足以下两个条件的函数()f x 称为G 函数。
① 对任意的[0,1]x ∈，总有()0f x ≥；
② 当12120,0,1x x x x ≥≥+≤时，总有1212()()()f x x f x f x +≥+成立。
已知函数2()g x x =与()21x h x a =?-是定义在[0,1]上的函数。 （1）试问函数()g x 是否为G 函数？并说明理由； （2）若函数()h x 是G 函数，求实数a 的值；
（3）在（2）的条件下，讨论方程(21)()x
g h x m -+=()m R ∈解的个数情况。 解：（1） 当[]0,1x ∈时，总有2g x x 0()=≥，满足①，
当12120,0,1x x x x ≥≥+≤时，
22221212121212g x x x x 2x x x x g x g x +=++≥+=+()()()，满足② （2）若a 1<时，h 0a 10()=-<不满足①，所以不是G 函数；
若a 1≥时，h x ()在x 01[,]∈上是增函数，则h x 0≥()，满足①
由1212h x x h x h x +≥+()()() ，得1212x x x x
a 21a 21a 21+?-≥?-+?-，
即12x x
a 121211[()()]---≤， 因为 12120,0,1x x x x ≥≥+≤
所以 1x
0211≤-≤ 2x
0211≤-≤ 1x 与2x 不同时等于1 11x x
021211()()∴≤--<
11x x 1
a 12121()()
∴≤
---
当12x x 0==时，11x x 1
112121min ()()()
=--- a 1∴≤，
综合上述：a 1{}∈
（3）根据（２）知： a=1，方程为x x
42m -=，
由x 02110x 1
?≤-≤?≤≤? 得 x 01∈[,] 令x 2t 12=∈[,]，则2
211m t t t 24
=-=--()
由图形可知：当m 02∈[,]时，有一解；
当m 02∈-∞?+∞(,)(,)时，方程无解。
３.已知函数||2
12)(x x x f -
=. （1）若2)(=x f ，求x 的值；
（2）若0)()2(2≥+t mf t f t 对于[2,3]t ∈恒成立，求实数m 的取值范围.
[解] （1）当0 12)(-=. 由条件可知 22 1 2=- x x ，即 012222=-?-x x ， 解得 212±=x . 02>x ，() 21log 2+=∴x . （2）当]2,1[∈t 时，021*******≥??? ? ?-+??? ??- t t t t t m ， 即 ()()121242--≥-t t m . 0122>-t ， ∴ ()122+-≥t m . ()2[2,3],12[65,17]t t ∈∴-+∈-- ， 故m 的取值范围是[17,)-+∞. ４.设函数)(x f 是定义在R 上的偶函数.若当0x ≥时，1 1,()0,f x x ?-?=??? 0; 0.x x >= （1）求)(x f 在(,0)-∞上的解析式. （2）请你作出函数)(x f 的大致图像. （3）当0a b <<时，若()()f a f b =，求ab 的取值范围. （4）若关于x 的方程0)()(2 =++c x bf x f 有7个不同实数解，求,b c 满足的条件. [解]（1）当(,0)x ∈-∞时，11()()11f x f x x x =-=-=+-. （2）)(x f 的大致图像如下：. （3）因为0a b <<，所以()()f a f b = 2 2 11111111112a b a b a b ???? ?-=-?-=-?+= ? ????? ， 2a b ab ?+=> 解得ab 的取值范围是(1,)+∞. （4）由（2），对于方程()f x a =，当0a =时，方程有3个根；当01a <<时，方程有4个根，当1a ≥时，方程有2个根；当0a <时，方程无解.…15分 所以，要使关于x 的方程0)()(2 =++c x bf x f 有7个不同实数解，关于)(x f 的方程 0)()(2=++c x bf x f 有一个在区间(0,1)的正实数根和一个等于零的根。 所以0,()(0,1)c f x b ==-∈，即10,0b c -<<=. ５．已知函数()(0)|| b f x a x x =- ≠。 （1）若函数()f x 是(0,)+∞上的增函数，求实数b 的取值范围； （2）当2b =时，若不等式()f x x <在区间(1,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围； （3）对于函数()g x 若存在区间[,]()m n m n <，使[,]x m n ∈时，函数()g x 的值域也是 [,]m n ，则称()g x 是[,]m n 上的闭函数。若函数()f x 是某区间上的闭函数，试探 求,a b 应满足的条件。 解：（1） 当(0,)x ∈+∞时，()b f x a x =- 设12,(0,)x x ∈+∞且12x x <，由()f x 是(0,)+∞上的增函数，则12()()f x f x < 121212 () ()()0b x x f x f x x x --= < 由12x x <，12,(0,)x x ∈+∞知12120,0x x x x -<>，所以0b >，即(0,)b ∈+∞ （2）当2b =时，2 ()|| f x a x x =- <在(1,)x ∈+∞上恒成立，即2a x x <+ 因为2x x + ≥2 x x = 即x = (1,)+∞，所以2 x x +在(1,)x ∈+∞ 上的最小值为 a < （3） 因为()|| b f x a x =- 的定义域是(,0)(0,)-∞+∞ ，设()f x 是区间[,]m n 上的闭函数，则0mn >且0b ≠ （4） ①若0m n << 当0b >时，()||b f x a x =-是(0,)+∞上的增函数，则()()f m m f n n =??=? ， 所以方程b a x x - =在(0,)+∞上有两不等实根， 即2 0x ax b -+=在(0,)+∞上有两不等实根，所以 21212 4000a b x x a x x b ?->?+=>???=>?，即0,0a b >>且2 40a b -> 当0b <时，()||b b f x a a x x -=- =+在(0,)+∞上递减，则()()f m n f n m =??=?，即 0b a n a m b mn b a m n ?-=?=????? =-??-=?? ，所以0,0a b =< ②若0m n << 当0b >时，()||b b f x a a x x =-=+是(,0)-∞上的减函数，所以()()f m n f n m =??=? ，即0b a n a m b mn b a m n ? +=?=?????=??+=?? ，所以0,0a b => ６、设bx ax x f += 2)(，求满足下列条件的实数a 的值：至少有一个正实数b ，使函数 )(x f 的定义域和值域相同。 解：（1）若0=a ，则对于每个正数b ，bx x f =)(的定义域和值域都是),0[+∞ 故0=a 满足条件 （2）若0>a ，则对于正数b ，bx ax x f += 2)(的定义域为D [)+∞?? ? ?? -∞-=,0, a b ， 但)(x f 的值域[)+∞?,0A ，故A D ≠，即0>a 不合条件； （3）若0 b D -= a b x f -= 2))((max ， )(x f 的值域为]2,0[a b -，a b a b -= -2420-=????-=- a a 综上所述：a 的值为0或4- ７．对于函数)(x f ，若存在R x ∈0 ，使00)(x x f =成立，则称点00(,)x x 为函数的不动点。 （1）已知函数)0()(2≠-+=a b bx ax x f 有不动点（1，1）和（-3，-3）求a 与b 的值； （2）若对于任意实数b ，函数)0()(2≠-+=a b bx ax x f 总有两个相异的不动点，求a 的取值范围； （3）若定义在实数集R 上的奇函数)(x g 存在（有限的）n 个不动点，求证：n 必为奇数。 解：（1）由不动点的定义：0)(=-x x f ，∴0)1(2 =--+b x b ax 代入1=x 知1=a ，又由3-=x 及1=a 知3=b 。 ∴1=a ，3=b 。 （2）对任意实数b ，)0()(2 ≠-+=a b bx ax x f 总有两个相异的不动点，即是对任意的实数b ，方程0)(=-x x f 总有两个相异的实数根。 ∴0)1(2 =--+b x b ax 中04)1(2 >+-=?ab b ， 即01)24(2>+-+b a b 恒成立。故04)24(2 1<--=?a ，∴10< 故当10< （3）)(x g 是R 上的奇函数，则0)0(=g ，∴（0，0）是函数)(x g 的不动点。 若)(x g 有异于（0，0）的不动点),(00x x ，则00)(x x g =。 又000)()(x x g x g -=-=-，∴),(00x x --是函数)(x g 的不动点。 ∴)(x g 的有限个不动点除原点外，都是成对出现的， 所以有k 2个（k N ∈），加上原点，共有12+=k n 个。即n 必为奇数 ８．设函数)0(1 )(≠+ =x x x x f ，的图象为1C 、1C 关于点A （2，1）的对称的图象为2C ，2C 对应的函数为)(x g . （1）求函数)(x g y =的解析式； （2）若直线b y =与2C 只有一个交点，求b 的值并求出交点的坐标. 解．（1）设),(v u p 是x x y 1+ =上任意一点，u u v 1 +=∴ ① 设P 关于A （2，1）对称的点为?? ?-=-=????=+=+∴y v x u y v x u y x Q 2424),,( 代入①得4 1 24142-+-=?-+ -=-x x y x x y ));,4()4,((4 1 2)(+∞?-∞∈-+ -=∴x x x x g （2）联立,094)6(4122 =+++-??? ???-+-==b x b x x x y b y 004)94(4)6(22=?=-=+?-+=?∴b b b b b 或,4=b （1）当0=b 时得交点（3，0）； （2）当4=b 时得交点（5，4）. 9．设定义在),0(+∞上的函数)(x f 满足下面三个条件： ①对于任意正实数a 、b ，都有()()()1f a b f a f b ?=+-； ②(2)0f =； ③当1>x 时，总有()1f x <. （1）求)2 1 ()1(f f 及的值； （2）求证：),0()(+∞在x f 上是减函数. 解（1）取a=b=1，则(1)2(1) 1.(1)1f f f =-=故 又11(1)(2)(2)()12 2 f f f f =?=+-. 且(2)0f =. 得：1()(1)(2)11122 f f f =-+=+= （2）设,021x x <<则：222111111 ()()()()[()()1]x x f x f x f x f x f f x x x -=?-=+-1()f x - 2 1 ( )1x f x =- 依1,01221>< 再依据当1>x 时，总有()1f x <成立，可得2 1 ( )1x f x < 即0)()(12<-x f x f 成立，故),0()(+∞在x f 上是减函数。 10． 已知函数)(x f 是定义在[]2,2-上的奇函数，当)0,2[-∈x 时，3 2 1)(x tx x f -=（t 为常数）。 （1）求函数)(x f 的解析式； （2）当]6,2[∈t 时，求)(x f 在[]0,2-上的最小值，及取得最小值时的x ，并猜想) (x f 在[]2,0上的单调递增区间（不必证明）； （3）当9≥t 时，证明：函数)(x f y =的图象上至少有一个点落在直线14=y 上。 解：（1）(]2,0∈x 时，[)0,2-∈-x ， 则 332 1 )(21)()(x tx x x t x f +-=-- -=-， ∵函数)(x f 是定义在[]2,2-上的奇函数，即()()x f x f -=-，∴()3 2 1x tx x f +-=-，即 321)(x tx x f -=，又可知 ()00=f ，∴函数)(x f 的解析式为 32 1 )(x tx x f -= ， []2,2-∈x ； （2）()?? ? ??- =221x t x x f ，∵]6,2[∈t ，[]0,2-∈x ，∴0212≥-x t ， ∵ ()[] 27832121213 3 222 2222 t x t x t x x t x x f =????? ? ??-+-+≤??? ??-=，∴2221x t x -=， 即 36,322t x t x -== [])0,236(-∈-t 时，t t f 9 62min -= 。 猜想)(x f 在[]2,0上的单调递增区间为?? ? ?? ?36,0t 。 （3）9≥t 时，任取2221≤<≤-x x ，∵ ()()()() 0212221212121 ? ???++--=-x x x x t x x x f x f ， ∴()x f 在[]2,2-上单调递增，即()()()[]2,2f f x f -∈，即()[]42,24--∈t t x f ，9≥t ，∴1442,1424≥--≤-t t ， ∴[]42,2414--∈t t ，∴当9≥t 时，函数)(x f y =的图象上至少有一个点落在直线 14=y 上。 11.记函数()2 7 2++- = x x x f 的定义域为A ，()()()[]()R a b ax b x x g ∈>+-=,012lg 的定义域为B ， （1）求A ： （2）若B A ?，求a 、b 的取值范围 解：（1）()[)+∞?-∞-=? ?? ???≥+-=???? ?? ≥++- =,32,0230272x x x x x x A ， （2）()()012>+-ax b x ，由B A ?，得0>a ，则a orx b x 1 2-<>，即 ??? ??+∞???? ??-∞-=,21,b a B ， ??????? <-≤-<<01232 0a b ?????<<≥?602 1b a 。 12、设()()1,011 ≠>-+=a a a a x f x x 。 （1）求()x f 的反函数()x f 1-： （2）讨论()x f 1-在()∞+.1上的单调性，并加以证明： （3）令()x x g a log 1+=，当[]()()n m n m <+∞?,1,时，()x f 1-在[]n m ,上的值域是 ()()[]m g n g ,，求a 的取值范围。 解：（1）()()111 1log 1 -<>+-=-x x x x x f a 或 （2）设211x x <<，∵()()() 0112111121212211<++-=+--+-x x x x x x x x ∴10< x f x f -->，∴()x f 1-在()∞+.1上是减函数：1>a 时， ()()2111x f x f --<，∴()x f 1-在()∞+.1上是增函数。