23、锐角三角函数
要点一：锐角三角函数的基本概念 一、选择题
1.（2009·漳州中考）三角形在方格纸中的位置如图所示，则tan α的值是（）
A ．
35B ．43 C ．34 D ．4
5
2.（2008·威海中考）在△ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝
1
3
，则sin B ＝（） A ．
1010B ．23 C ．3
4
D ．31010 3.（2009·齐齐哈尔中考）如图，O ⊙是ABC △的外接圆，AD 是O ⊙的直径，若O ⊙的半径为
3
2
，2AC =，则sin B 的值是（）
A ．
23B ．32 C ．34 D ．43
4.（2009·湖州中考）如图，在Rt ABC △中，ACB ∠=Rt ∠，1BC =，2AB =，则下列结论正确的是（） A ．3sin A =
B ．1
tan 2
A =C ．3cos
B =．tan 3B =5.（2008·温州中考）如图，在Rt AB
C △中，C
D 是斜边AB 上的中线，已知2CD =，
3AC =，则sin B 的值是（）
A ．
23B ．32C ．34
D ．
4
3
6.（2007·泰安中考）如图，在ABC △中，90ACB ∠=o
，CD AB ⊥于，若23AC =
32
AB=，则tan BCD
∠
的值为（）
（A）（B）
2
2
（C）
6
3
（D）
3
3
二、填空题
7.（2009·梧州中考）在△ABC中，∠C＝90°，BC＝6 cm，
5
3
sin=
A，则AB的长是cm．8.（2009·孝感中考）如图，角的顶点为O，它的一边在x轴的正半轴上，另一边OA上有一
点P（3，4），则sinα=．
9.（2009·庆阳中考）如图，菱形ABCD的边长为10cm，DE⊥AB，
3
sin
5
A=，则这个菱形的面积=cm2．
三、解答题
10.(2009·河北中考) 如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，
弦CD是水位线，CD∥AB，且CD = 24 m，OE⊥CD于点E．已测得sin∠DOE =
12
13
．（1）求半径OD；
A
C
B
D
O
B
E
C D
（2）根据需要，水面要以每小时0.5 m 的速度下降， 则经过多长时间才能将水排干？
11.（2009·綦江中考）如图，在矩形ABCD 中，是BC 边上的点，AE BC =，DF AE ⊥，垂足为，连接DE ．
（1）求证：ABE △DFA ≌△；
（2）如果10AD AB =，=6，求sin EDF ∠的值．
12.（2008·宁夏中考）如图，在△ABC 中，∠=90°，
sin=5
4
，AB =15，求△ABC 的周长和tan 的值．
13.（2008·肇庆中考）在Rt △ABC 中，∠C = 90°，a =3 ，c =5，求sin A 和tan A 的值. 14.（2007·芜湖中考）如图，在△ABC
中，AD 是BC 上的高，tan cos B DAC =∠，
(1) 求证：AC=BD ； (2)若12
sin 13
C =
，BC =12，求AD 的长． 要点三、解直角三角形在实际问题中的运用 一、选择题
1.（2009·白银中考）某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为（ ）
D
A
B
C
E
F
A ．8米
B ．
83米 C ．
83
3
米D ．433米
3.（2009·益阳中考）如图，先锋村准备在坡角为的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB 为（） A. αcos 5 B.
αcos 5 C. αsin 5 D. α
sin 5
4.（2009·兰州中考）如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m ．如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4m ，那么相邻两树间的坡面距离为（）
A ．5m
B ．6m
C ．7m
D ．8m
二、填空题
6.（2009·沈阳中考）如图，市政府准备修建一座高AB ＝6m 的过街天桥，已知天桥的坡面AC 与地面BC 的夹角∠ACB 的正弦值为 3
5
，则坡面AC 的长度为m ．
7.（2009·衡阳中考）某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距
α
5米
A
B
离为52米，则这个坡面的坡度为_________.
10.(2008·庆阳中考)如图，一架梯子斜靠在墙上，若梯子底端到墙的距离AC =3米，
3
cos 4
BAC ∠=
，则梯子长AB =米.
11.（2007·湖州中考）小明发现在教学楼走廊上有一拖把以15°的倾斜角斜靠在栏杆上，严重影响了同学们的行走安全。他自觉地将拖把挪动位置，使其的倾斜角为75°，如果拖把的总长为 1.80m ，则小明拓宽了行路通道_______________m ．（结果保留三个有效数字，参考数据：sin15°≈26，cos15°≈0.97）
三、解答题
13.（2009·郴州中考）如图，数学活动小组来到校园内的一盏路灯下测量路灯的高度，测角仪AB 的高度为1.5米，测得仰角为30°，点B 到电灯杆底端N 的距离BN 为10米，求路灯的高度MN 是多少米？（取=1.414，=1.732，结果保留两位小数）
【解析】在直角三角形MPA 中，30α∠=°，10AP =米 MP=10·tan300 =10×3
3
≈5.773米 因为 1.5AB =米
所以MN=1.5+5.77=7.27米
答：路灯的高度为7.27米
14.（2009·眉山中考）海船以5海里/小时的速度向正东方向行驶，在A 处看见灯塔B 在海船的北偏东60°方向，2小时后船行驶到C 处，发现此时灯塔B 在海船的北偏西45方向，求此时灯塔B 到C 处的距离。
【解析】如图，过B 点作BD ⊥AC 于D
∴∠DAB ＝90°－60°＝30°，∠DCB ＝90°－45°＝45° 设BD ＝x ，在Rt △ABD 中，AD ＝tan30°＝3x 在Rt △BDC 中，BD ＝DC ＝x BC ＝2x
又AC ＝5×2＝10 ∴310+=x x ，得5(31)x =-， ∴25(31)5(62)BC =
?-=-（海里）
答：灯塔B 距C 处5(62)-海里
15.（2009·常德中考）如图，某人在D 处测得山顶C 的仰角为30o ，向前走200米来到山脚A 处，测得山坡AC 的坡度为i=1∶0.5，求山的高度（不计测角仪的高度，3 1.73≈，结果保留整数）．
【解析】设山高BC =，则AB =
1
2
x ，
tan 30
12002
BC x BD x
=
=
+o
，得 (231)400x -=，
解得400400(231)
16211231
x +=
=-≈米
16.（2008·广安中考）如图，某幼儿园为了加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾角由45o
降为30o，已知原滑滑板AB 的长为5米，点D 、B 、C 在同一水平地面上． （1）改善后滑滑板会加长多少？（精确到0.01）
（2）若滑滑板的正前方能有3米长的空地就能保证安全，原滑滑板的前方有6米长的空地，像这样改造是否可行？说明理由。
(参考数据：2 1.414,3 1.732,6 2.449=== )
要点二、特殊角的三角函数值 一、选择题
1.（2009·钦州中考）sin30°的值为（）
A ．
3
B ．
2 C ．
12
D ．
3 答案：C
2.（2009·长春中考）．菱形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，
452AOC OC ∠==°，，则点的坐标为（）
A ．2，
B ．2)，
C ．(211)，
D ．(121)，
答案：C
3.(2009·定西中考)某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为（ ） A ．8米 B
．C
．3
米D
．3米
答案：C
4.（2008·宿迁中考）已知为锐角，且2
3
)10sin(=
?-α，则等于（） Ａ．?50Ｂ．?60 Ｃ．?70 Ｄ．?80 答案：Ｃ
5.（2008·毕节中考） A （cos60°，－tan30°）关于原点对称的点A 1的坐标是（）
A ．123?- ??， B
．23?- ??， C
．123?-- ??，D ．122?- ??
， 答案：A
6.（2007·襄樊中考）计算：2cos 45tan 60cos30+o o o
g
等于（） （A ）（B ）（C ）（D ） 答案：C 二、填空题
7. （2009·
荆门中考）104cos30sin 60(2)2008)-??+--=______．
【解析】104cos30sin 60(2)2008)-??+--
1
4()121
3()1
232=+--=+--= 答案：
2
3
8.（2009·百色中考）如图，在一次数学课外活动中，测得电线杆底部B 与钢缆固定点C 的距离为4米，钢缆与地面的夹角为60o，则这条钢缆在电线杆上的固定点A 到地面的距离AB 是米．（结果保留根号）．
答案：439.（2008·江西中考）计算：（1）1
sin 60cos302
-=o
o
g ． 【解析】1sin 60cos302
-=o
o
g .412143212323=-=-? 答案：
1
4
10.（2007·济宁中考）计算
sin 60tan 45cos30?
-??
的值是。
答案：0 三、解答题
11.（2009·黄石中考）计算：3－
1+(2π－1)0－
3
3
tan30°－tan45° 【解析】3－
1+(2π－1)0－
3
3
tan30°－tan45° 11
11330=
+--=
12.（2009·崇左中考）计算：0
200912sin 603tan 30(1)3??-++- ???
°°．
【解析】原式=33231123
?
-?+-=0． 13.（2008·33602458-+o o 33sin 6028+=o
o
32
3222
-+ =2.5 【解析】（1）在Rt ABC △中，
5
sin 452(m)2AC AB ==
o g 5
cos 452(m)2BC AB ==o g
Rt ADC △中
sin 30AC
AD =
=o
tan 30AC CD ==o
2.07(m)AD AB ∴-≈
改善后的滑滑板会加长2.07m ． （2）这样改造能行．
因为 2.59(m)CD BC -≈，而63 2.59->
2018中考数学专题练习《锐角三角函数》 (时间:100分钟 满分:120分) 一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1.下列各数是有理数的是( ) A. B. 4π C. sin 45? D. 1 cos60? 2一个公共房门前的台阶高出地面1.2米，台阶拆除并改造成供轮椅行走的斜坡，数据如图1所示，则下列关系或说法正确的是( ) A.斜坡AB 的坡度是10o B.斜坡AB 的坡度是tan10? C. 1.2tan10AC =?米 D. 1.2 cos10AB = ? 米 3.在ABC ?中，A ∠，B ∠都是锐角，且1 sin 2 A = ，cos 2B =，则ABC ?三个角 的大小关系是( ) A. C A B ∠>∠>∠ B. B C A ∠>∠>∠ C. A B C ∠>∠>∠ D. C B A ∠>∠>∠ 4.如图2，在R t A B C ?中，90A ∠=?，AD BC ⊥于点D ，:3:2BD CD =，则t a n B 的值是( ) A. 32 B. 2 3 C. D. 5.如图3，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的点，过点C 作⊙O 的切线，交AB 的延长 线于点E ，30A ∠=?，则s sin E 的值为( ) A. 1 2 B. 2 C. D.
6.数学社团的同学们对某塔的高度进行了测量，如图4，他们在A 处仰望塔顶，测得仰角为30o，再往楼的方向前进60 m 至B 处，测得仰角为60o，若学生的身高忽略不计， 1.7≈，结果精确到1m ，则该楼的高度CD 为( ) A.47 m B.51 m C.53 m D.54 m 7.如图5，点O 是摩天轮的圆心，长为110米的AB 是其垂直地面的直径，小莹在地面C 点处利用测角仪测得摩天轮的最高点A 的仰角为33o，测得圆心O 的仰角为21o，则小莹所在C 点到直径AB 所在直线的距离约为(参考数据:tan330.65?≈，tan 210.38?≈)( ) 图 5 A.169米 B.204米 C.240米 D.407米 8.如图6，在ABC ?中，已知90ABC ∠=?，点D 沿BC 自B 向C 运动(点D 与点B ， C 不重合)，作BE AD ⊥于E ，CF AD ⊥交AD 的延长线于F ，则BE CF +的值( ) A.不变 B.增大 C.减小 D.先变大，再变小 9.如图7，轮船从B 处以每小时50海里的速度沿南偏东30o方向匀速航行，在B 处观测灯塔A 位于南偏东75o的方向上，轮船航行半小时到达C 处，在C 处观测灯塔A 位于北偏东60o的方向上，则C 处与灯塔A 的距离是( ) A. B.
求锐角三角函数值的经典题型+方法归纳(超级经典好用)
求锐角三角函数值的几种常用方法 一、定义法 当已知直角三角形的两条边，可直接运用锐角三角函数的定义求锐角三角函数的值． 例1 如图1，在△ABC 中，∠C =90°，AB =13，BC =5，则sin A 的值是( ) (A )513 (B )1213 (C )512 (D )13 5 对应训练： 1．在Rt △ABC 中，∠ C ＝90°，若BC ＝1，AB 5，则tan A 的值为 ( ) A ． 5 B 25 C ．1 2 D ．2 二、参数（方程思想）法 锐角三角函数值实质是直角三角形两边的比值，所以解题中有时需将三角函数转化为线 段比，通过设定一个参数，并用含该参数的代数式表示出直角三角形各边的长，然后结合相关条件解决问题． 例2 在△ABC 中，∠C =90°，如果tan A =5 12，那么sin B 的值是 ． 对应训练： 1．在△ABC 中，∠C =90°，sin A=5 3，那么tan A 的值等于（ ）. A ．35 B . 45 C . 34 D . 43 2．已知△ ABC 中， ο 90=∠C ，3cosB=2， AC=5 2 ，则 AB= ． 3．已知Rt △ABC 中，,12,4 3 tan ,90==?=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B ．
4．已知：如图，⊙O 的半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点，?=∠4 3sin AOC 求：AB 及OC 的长． 三、等角代换法 当一个锐角的三角函数不能直接求解或锐角不在直角三角形中时，可将此角通过等 角转换到能够求出三角函数值的直角三角形中，利用“两锐角相等，则三角函数值也相等” 来解决． 例3 在Rt △ABC 中，∠BCA =90°，CD 是AB 边上的中线，BC =5，CD =4，则cos ∠ACD 的值为 ． 对应训练 1.如图，O ⊙是ABC △的外接圆，AD 是O ⊙的直径， 若O ⊙的半径为32，2AC =，则sin B 的值是（ ）A ．2 3
第一篇基础知识梳理 第一章数与式 §1.1实数 A组2015年全国中考题组 一、选择题 1．(2015·浙江湖州，1，3分)－5的绝对值是() A．－5 B．5 C．－1 5 D. 1 5 解析∵|－5|＝5，∴－5的绝对值是5，故选B. 答案 B 2．(2015·浙江嘉兴，1，4分)计算2－3的结果为() A．－1 B．－2 C．1 D．2 解析2－3＝－1，故选A. 答案 A 3．(2015·浙江绍兴，1，4分)计算(－1)×3的结果是() A．－3 B．－2 C．2 D．3 解析(－1)×3＝－3，故选A. 答案 A 4．(2015·浙江湖州，3，3分)4的算术平方根是() A．±2 B．2 C．－2 D. 2 解析∵4的算术平方根是2，故选B. 答案 B 5．(2015·浙江宁波，3，4分)2015年中国高端装备制造业收入将超过6万亿元，其中6万亿元用科学记数法可表示为()
A．0.6×1013元B．60×1011元 C．6×1012元D．6×1013元 解析6万亿＝60 000×100 000 000＝6×104×108＝6×1012，故选C.答案 C 6．(2015·江苏南京，5，2分)估计5－1 2介于() A．0.4与0.5之间B．0.5与0.6之间C．0.6与0.7之间D．0.7与0.8之间解析∵5≈2.236，∴5－1≈1.236， ∴5－1 2≈0.618，∴ 5－1 2介于0.6与0.7之间． 答案 C 7．(2015·浙江杭州，2，3分)下列计算正确的是() A．23＋26＝29B．23－26＝2－3 C．26×23＝29D．26÷23＝22 解析只有“同底数的幂相乘，底数不变，指数相加”，“同底数幂相除，底数不变，指数相减”，故选C. 答案 C 8．★(2015·浙江杭州，6，3分)若k＜90＜k＋1(k是整数)，则k＝() A．6 B．7 C．8 D．9 解析∵81＜90＜100，∴9＜90＜100.∴k＝9. 答案 D 9．(2015·浙江金华，6，3分)如图，数轴上的A，B，C，D四点中，与表示数－3的点最接近的是 () A．点A B．点B C．点C D．点D
中考数学真题汇编:锐角三角函数 (WORD版本真题试卷+名师解析答案，建议下载保存) 一、选择题 1.的值等于（） A. B. C. 1 D. 【答案】B 2.如图，过点，，，点是轴下方上的一点，连接，，则的度数是（） A. B. C. D. 【答案】B 3.如图，一把直尺，的直角三角板和光盘如图摆放，为角与直尺交点，,则光盘的直径是( ) A.3 B. C. D. 【答案】D
4.如图，旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上，旗杆与地面垂直，在教学楼底部E点处测得旗杆顶端的仰角，升旗台底部到教学楼底部的距离米，升旗台坡面CD的坡度，坡长米，若旗杆底部到坡面CD的水平距离米，则旗杆AB的高度约为（）（参考数据：，，） A. 12.6米 B. 13.1米 C. 14.7米 D. 16.3米 【答案】B 5.一艘在南北航线上的测量船，于A点处测得海岛B在点A的南偏东30°方向，继续向南航行30海里到达C点时，测得海岛B在C点的北偏东15°方向，那么海岛B离此航线的最近距离是（结果保留小数点后两位）（参考数据：）（） A. 4.64海里 B. 5.49海里 C. 6.12海里 D. 6.21海里 【答案】B 6.如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC=α，∠ADC=β，则竹竿AB与AD的长度之比为（） A. B. C. D. 【答案】B
7. 如图，已知在中，，，，则的值是（） A. B. C. D. 【答案】A 8. 如图，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC相互垂直，∠CAB=α，则拉线BC的长度为（A、D、B 在同一条直线上）（） A. B. C. D. h?cosα 【答案】B 二、填空题 9.如图．一-艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行,在处测得岛礁在东北方向上，继续航行1．5小时后到达处此时测得岛礁在北偏东方向,同时测得岛礁正东方向上的避风港在北偏东方向为了在台风到来之前用最短时间到达处,渔船立刻加速以75海里/小时的速度继续航行 ________小时即可到达(结果保留根号) 【答案】 10.如图，旗杆高AB=8m，某一时刻，旗杆影子长BC=16m，则tanC=________。