6.1 平方根
第1课时算术平方根
要点感知1一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x叫做a的__________,记作“__________”,读作“__________”,a叫做__________.
预习练习1-1(2014·枣庄)2的算术平方根是( )
A.±2
B.2
C.±4
D.4
要点感知2 规定：0的算术平方根为__________.
预习练习2-1 若一个数的算术平方根等于它本身，则这个数是( )
A.1
B.-1
C.0
D.0或1
要点感知3被开方数越大,对应的算术平方根也__________.
预习练习3-1比较大小：6__________7，4__________15.
知识点1 算术平方根
1.若x是64的算术平方根，则x=( )
A.8
B.-8
C.64
D.-64
2.(2013·南充)0.49的算术平方根的相反数是( )
A.0.7
B.-0.7
C.±0.7
D.0
3.(-2)2的算术平方根是( )
A.2
B.±2
C.-2
D.2
4.下列各数没有算术平方根的是( )
A.0
B.-1
C.10
D.102
5.求下列各数的算术平方根：
(1)144；(2)1；(3)16
25
；(4)0.008 1；(5)0.
6.求下列各数的算术平方根.
(1)0.062 5；(2)(-3)2；(3)225
121
；(4)108.
知识点2 估算算术平方根
7.(2014·安徽)设n为正整数，且n65n+1，则n的值为( )
A.5
B.6
C.7
D.8
8.(2013·枣庄)估计6+1的值在( )
A.2到3之间
B.3到4之间
C.4到5之间
D.5到6之间
9.某公司要设计一块面积为10平方米的正方形广告牌，公司在设计广告时，必须知道这个正方形的边长.这个正方形的边长是多少？估计边长的值(结果精确到十分位).
知识点3 用科学计算器求一个正数的算术平方根
10.用计算器比较23+1与3.4的大小正确的是( )
A.23+1=3.4
B.23+1>3.4
C.23+1<3.4
D.不能确定
11.我们可以利用计算器求一个正数a的平方根，其操作方法的顺序进行按键输入：.小明按键输入
显示的结果为4，则他按键输入后显示的结果为__________.
12.用计算器求下列各式的值（精确到0.001）：
(1)800；(2)0.58；(3)2401.
13.(2014·百色)100( )
A.100
B.10
C.10
D.±10
14.(2014·台州)30( )
A.4
B.5
C.6
D.7
15.(2013·东营16( )
A.±4
B.4
C.±2
D.2
16.下列说法中：①一个数的算术平方根一定是正数；②100的算术平方根是10,100；③(-6)2的算术平方根是6；④a2的算术平方根是a.正确的有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
17.已知a、b为两个连续的整数，且28 18.用计算器求值，填空： 8955__________(精确到十分位)； __________(精确到个位)； __________(精确到0.1)； __________(精确到0.001). 19.=22.84,填空： （1； （2则x=__________. 20.计算下列各式： ；；. 21.比较下列各组数的大小： 与；(3)5；与1.5. 22.求下列各式中的正数x的值： (1)x2=(-3)2；(2)x2+122=132. 23.中国的跳水队被冠以“梦之队”的称号,他们辉煌的战绩鼓舞了几代中国人.跳水运动员要在空中下落的短暂过程中完成一系列高难度的动作.如果不考虑空气阻力等其他因素影响,人体下落到水面所需要的时间t与下落的高度h 之间应遵循下面的公式：h=1 2 gt2（其中h的单位是米,t的单位是秒,g=9.8 m/s2）.在一次3米板(跳板离地面的高度是 3米)的训练中,运动员在跳板上跳起至高出跳板1.2米处下落,那么运动员在下落过程中最多有多长时间完成动作？（精确到0.01秒） 6.1 平方根 第1课时算术平方根 要点感知1一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x叫做a的__________,记作“__________”,读作“__________”,a叫做__________. 预习练习1-1(2014·枣庄)2的算术平方根是( ) A.±2 B.2 C.±4 D.4 要点感知2 规定：0的算术平方根为__________. 预习练习2-1 若一个数的算术平方根等于它本身，则这个数是( ) A.1 B.-1 C.0 D.0或1 要点感知3被开方数越大,对应的算术平方根也__________. 预习练习3-1比较大小：6__________7，4__________15. 知识点1 算术平方根 1.若x是64的算术平方根，则x=( ) A.8 B.-8 C.64 D.-64 2.(2013·南充)0.49的算术平方根的相反数是( ) A.0.7 B.-0.7 C.±0.7 D.0 3.(-2)2的算术平方根是( ) A.2 B.±2 C.-2 D.2 4.下列各数没有算术平方根的是( ) A.0 B.-1 C.10 D.102 5.求下列各数的算术平方根： (1)144；(2)1；(3)16 25 ；(4)0.008 1；(5)0. 6.求下列各数的算术平方根. (1)0.062 5；(2)(-3)2；(3)225 121 ；(4)108. 知识点2 估算算术平方根 7.(2014·安徽)设n为正整数，且n65n+1，则n的值为( ) A.5 B.6 C.7 D.8 8.(2013·枣庄)估计6+1的值在( ) A.2到3之间 B.3到4之间 C.4到5之间 D.5到6之间 9.某公司要设计一块面积为10平方米的正方形广告牌，公司在设计广告时，必须知道这个正方形的边长.这个正方形的边长是多少？估计边长的值(结果精确到十分位). 知识点3 用科学计算器求一个正数的算术平方根 10.用计算器比较23+1与3.4的大小正确的是( ) A.23+1=3.4 B.23+1>3.4 C.23+1<3.4 D.不能确定 11.我们可以利用计算器求一个正数a的平方根，其操作方法的顺序进行按键输入：.小明按键输入 显示的结果为4，则他按键输入后显示的结果为__________. 12.用计算器求下列各式的值（精确到0.001）： (1)800；(2)0.58；(3)2401. 13.(2014·百色)100( ) A.100 B.10 C.10 D.±10 14.(2014·台州)30( ) A.4 B.5 C.6 D.7 15.(2013·东营16( ) A.±4 B.4 C.±2 D.2 16.下列说法中：①一个数的算术平方根一定是正数；②100的算术平方根是10,100；③(-6)2的算术平方根是6；④a2的算术平方根是a.正确的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 17.已知a、b为两个连续的整数，且28 2.2 平方根 第1课时 算术平方根 第一环节：问题情境 方法一：问题导入 内容：上节课学习了无理数，了解到无理数产生的实际背景和引入的必要性，掌握了无理数的概念，知道有理数和无理数的区别是： 有理数是有限小数或无限循环小数，无理数是无限不循 环小数．比如上一节课我们做过的：由两个边长为1 的小正方形，通过剪一剪，拼一拼，得到一个边长为a 的大的正方形，那么有22=a ，a ＝ ，2是有 理数，而a 是无理数．在前面我们学过若a x =2，则a 叫x 的平方，反过来x 叫a 的什么呢？本节课我们一起来学习． 方法二：问题导入 内容：前面我们学习了勾股定理，请大家根据勾股定理，结 合图形完成填空： =2x ，=2y ，=2z ，=2w ． 目的：方法一和二都是带着问题进入到这节课的学习，让学生体会到学习算术平方根的必要性． 效果：能表示22=x ，32=y ，42=z ，52=w ；能求得2=z ，但不能求得x ，y ，w 的值． 说明：方法一的引入是由上节课“数怎么又不够用了”的例子，起到了承前启后的作用，方法二的引入是由学生学习了第一章“勾股定理”后的应用，说明学习这节课的必要性．相对而言，建议选用方法二． 第二环节：初步探究 内容1：情境引出新概念 22=x ，32=y ，42=z ，52=w ，已知幂和指数，求底数x ，你能求出来吗？ 目的：让学生体验概念形成过程，感受到概念引入的必要性． 效果：学生可以估算出x ，y 是1到2之间的数，w 是2到3之间的数，但无法表示x ，y ，w ，从而激发学生继续往下学习的兴趣，进而引入新的运算——开方． 说明：无论是用方法一引入，还是方法二引入，都是激发学生继续往下学习的兴趣，都可以提出同样的问题“已知幂和指数，求底数x ，你能求出来吗？” 内容2：在上面思考的基础上，明晰概念： 一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记为“a ”，读作“根号a ”．特别地，我们规定0的算术平方 《平方根(第1课时)》教学设计 通州区先锋初级中学黄孝培 一、内容和内容解析 本节课内容属于《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》中的“数与代数”领域，是在已学的数的平方运算基础上，通过逆向思维得出算术平方根的定义、意义和求法。 算术平方根是后面学习平方根、二次根式、一元一次方程以及解三角形等知识的基础，也为学习高中数学中的不等式、函数以及解析几何的大部分知识做好准备。学生在七年级上册中已经学习了有理数，而算术平方根的学习，第一次在学生面前展示了无理数的形式，将数的范围由有理数扩充到了实数。因此，本节课内容在整个数学学科的学习中起到承上启下的重要作用，使得学生对于数的认识进行了一次质的飞跃！ 二、目标和目标解析 （一）教学目标 1、经历从实际问题情境中抽象出代数模型，让学生体会其中模型化思想，进一步了解建模思想。 2、通过实际问题抽象为数学问题中让学生体会互逆运算，培养学生的逆向思维。 3、了解算术平方根的概念，会用根号表示数的算术平方根并理解根号的意义。 4、会利用算术平方根的定义求一个非负数的算术平方根。 （二）目标解析 1.学生目前的学习对象已经由具体的数发展为抽象的数学符号，而学生对于思想方法的理解和掌握又是循序渐进的，通过本节的教学，利用“问题情境——建立模型——求解与解释——应用与拓展——回顾与反思”的方式，让学生在分析问题中获得相应概念和解决问题的方法，为本章平方根、立方根的学习奠定基础。 2.逆向思维的运用在数学中处处可见，通过该目标消除学生对算术平方根的模糊认识，真正理解该定义，使学生能透过现象看本质，激活思维，学会思考。 3.数学思想的教学一般要经过渗透、领悟、应用、巩固四个阶段，而不是复制和一味的灌输，教学中，让学生理解算术平方根的定义，并运用定义分析算术平方根的意义、根号的意义，从而熟练的归纳、概括出求某些数算术平方根的方法。 三、教学问题诊断分析 本课内容由实际问题引入，利用逆向思维，得出算术平方根的定义，学生对于这种抽象思想的理解和体会并不深刻，如果仅停留在模仿和生搬硬套的水平上，方法本身并不难，绝大部分学生能掌握，但是直接以根号的形式出现时，学生会感到茫然、不知所措，这样对于学生思维的发展和能力的提高毫无益处。 因此教学的难点在于理解算术平方根的概念，特别是符号语言与文字叙述之间的转换和联系，能形成抽象的概念。突破这一难点的关键是：给学生充足的思考、探索、交流的时间，让他们在探索和交流中体会概念，体验根号的意义，悟出求算术平方根的方法。 教学难点：算术平方根概念的理解，并能熟练运用。 四、教学支持条件分析 根据本节课教学特点，为更好实现教学目标，可借助计算机辅助教学，借助多媒体高效、便捷的优势，借助幻灯片把一些文字性的内容快速、清晰地呈现，易于在学生脑海中留下深刻印象。 五、教学过程设计 （一）创设情境，引入新知 问题1：同学们，好消息！ 学校要给我们教室装一个正方形屏幕的液晶电视，不过呢校长要考考我们，什么时候过关什么时候就来安装啦！大家有信心吗？ 【设计意图】通过从实际生活的切入，引起学生的共鸣，调动课堂活跃气氛，同时又为后面的问题提出做好铺垫。 （二）观察探究、形成新知 课题：6.1 平方根、立方根（2） 第二课时 算术平方根 学习目标： 1．了解算术平方根的概念,会用根号表示数的算术平方根； 2. 会用平方运算求某些非负数的算术平方根； 3．能运用算术平方根解决一些简单的实际问题． 学习重点： 会用平方运算求某些非负数的算术平方根，能运用算术平方根解决一些简单 的实际问题． 学习难点： 区别平方根与算术平方根 一、学前准备 【旧知回顾】 1．下列说法正确的是………………………………………（ ） A ．81-的平方根是9± B ．任何数的平方根也是非负数 C ．任何一个非负数的平方根都不大于这个数 D ．2是4的平方根 2.一个数的平方根是它本身，则这个数是………………………（ ） A ．1 B ．0 C ．±1 D．1或0 3．若a 的一个平方根是b ，则它的另一个平方根是 ． 4．已知3612=x ，则=x ；已知22)4 1(-=x ，则=x ． 【新知预习】 1、算术平方根的定义： 。记作： 2、平方根和算术平方根之间的关系 3、想一想，填一填： 1．填空： （1）0的平方根是_______，算术平方根是______. （2）25的平方根是_______，算术平方根是______. （3）641 的平方根是_______，算术平方根是______. 二、探究活动 【初步感悟】 1、判断下列说法是否正确： （1）6是36的平方根；（ ） （2）36的平方根是6；（ ） （3）36的算术平方根是6；（ ） （4）()23-的算术平方根是3；（ ） （5）3-的算术平方根是3；（ ） 提醒：注意平方根与算术平方根之间的区别和联系。 【讨论提高】 （1）25的算术平方根是_______，平方根是_______； (－4)2的平方根是_________，算术平方根是 . （2）若0|5|)12(2=-+-y x ，则y x 51 6-的算术平方根___________ 【例题研讨】 例1． 求下列各数的平方根和算术平方根： ⑴225 ⑵1.69 ⑶41 2 ⑷16 ⑸30 用平方法求算术平方根的近似值 四川 倪先德 我们知道，实数的大小比较和运算，常常需要求近似值．而求算术平方根的近似值通常使用计算器，但如果我们身边没有计算器时，如何求算术平方根的近似值呢？这里，我们介绍一种用平方法求算术平方根近似值的方法． 例1 求19的近似值． 析解：因为16＜19＜25，所以4＜19＜5．因此19等于4加上一个纯小数，不妨设这个纯小数为a ．则19=4+a ． 用“平方法”得：2 2816)4(19a a a ++=+= 因为a 是一个纯小数，2a 远远小于a 816+．在求19的近似值时，可以把它忽略不 计．即a 81619+≈ 此时，容易求得4.0≈a 所以19精确到小数点后面第一位的近似值是4+0.4=4.4． 如果要求更准确一点的近似值． 再设19=4.4+b ，再用平方法得：228.836.19)4.4(19b b b ++=+=． 同样，由于2b 远远小于b 8.836.19+，求19的近似值时，可以把它忽略不计．即b 8.836.1919+≈．求得：04.0-≈b ． 所以19精确到小数点后面第二位的近似值是4.4+（－0.04）=4.36． 如此，进行下去，可以求得精确度更高的近似值，只是计算量会越来越大，不过我们通常要求的精确度不是很高． 掌握了以上原理之后，可以直接省略完全平方展开式中的二次项，从而使过程简化． 例2 求31的近似值． 解：设31=5+a ，则：a a 1025)5(312+≈+= 求得6.0≈a 所以31精确到小数点后面第一位的近似值是5+0.6=5.6． 再设31=5.6+b ，则：b b 2.1136.31)6.5(312+≈+=． 求得：03.0-≈b ． 所以31精确到小数点后面第二位的近似值是5.6+（－0.03）=5.57． …… 你会做了吗？那就请你试试求110的近似值．并用计算器验证一下是否正确． 学科教师辅导讲义 知识点2：估算 估算算术平方根的大小主要是利用逼近法，即利用与被开方数最接近的完全平方数来估计这个被开方数的算术平方根的大小. 规律小结 确定一个无限不循环小数的整数部分，一般采用估算法（估算到个位）；确定其小数部分的方法是：首先确实其整数部分，然后利用这个数减去它的整数部分. 例2.如果17-=m ，那么m 的取值围是（ ） A.10< 2.平方根与算术平方根的区别与联系 例2.求下列各数的平方根和算术平方根： （1）0.0009 （2）8125 （3）25-）（ 知识点4：平方根的性质 平方根的性质：①正数有两个平方根，它们互为相反数；②0的平方根是0；③负数没有平方根. 规律小结：一个正数a 的平方根有两个记作a ± ，表示a 的正的平方根和负的平方根，其中正的平方根a 也叫做a 的算术平方根. 注：一个正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个. 例3.一个正数x 的两个平方根分别是31-+a a 与，则a 的值为（ ） A.2 B.-1 C.1 D.0 随堂巩固 一、选择题. 1. 4的算术平方根是（ ） A.2 B.-2 C.±2 D.16 2.下列说确的是（ ） A.5是25的算术平方根 B.16是4的算术平方根 C.-6是()2 6-的算术平方根 D.0没有算术平方根 3.下列整数中，与 最接近的是（ ） A.4 B.5 C.6 D.7 4.一个正方形的面积是15，估计它的边长大小在（ ） A.2与3 之间 B.3与4 之间 C.4与5之间 D.5与6之间 5.81的平方根是（ ） A.3± B.3 C.9± D.9 6.下列语句正确的是（ ） A.-2是-4的平方根 B.2是()22-的算术平方根 C.()22-的平方根是2 D.4的平方根是2或-2 7.252=a ，3=b ，则a+b 的值是（ ） A.-8 B.8± C.2± D.8±或2± 二、填空题 1.化简：（1）4 12= ； （2） = . 2.大于2且小于5的整数是 . 3.使式子11=-x 成立的未知数x 的值是 。 4.已知一个正数的平方根是23-x 和65+x ，则这个数是 5.已知m,n 为两个连续的整数，且n m <<11，则n m += . 3004.0 算术平方根课后练习 一、选择题： 1. 81的算术平方根是（ ） A ．9± B ．9 C ．-9 D ．3 2. 已知正方形的边长为 a ，面积为 S ，下列说法中：①a S =；②S a =；③S 是a 的算术平方根；④a 是S 的算术平方根。正确的是（ ） A ．①③ B ．②③ C ．①④ D ．②④ 3. 如果5.1=y ，那么y 的值是（ ） A ．2.25 B ．22.5 C ．2.55 D ．25.5 4. 计算()22-的结果是（ ） A ．-2 B ．2 C ．4 D ．-4 5. 下列各式中正确的是（ ） A ．525±= B ． ()662-=- C ．()222-= D ．()332=- 二、填空题： 1. 一个数的算术平方根是25，这个数是________。 2. 算术平方根等于它本身的数有______________。 3. 81的算术平方根是__________。 4. 144=_______；4925=________；=-01.0________；002 5.0=_______。 5. ()=2196_________；()=-28_________；256 169-=___________。 三、解答题： 1. 求下列各数的算术平方根： (1) 3.24 (2) 12149 (3) 100001 2. 求下列各式的值： (1) 144 169- (2) 0625.0 (3) 1692254-+ 3. 回答下列问题： (1) ()2 5-有没有算数平方根？如果没有，说明理由；如果有，写出它的算术平方根。 (2) 3-是()2 3-的算术平方根吗？如果不是，请写出它的算术平方根。 4. 用长3cm 、宽2.5cm 的邮票30枚，拼成一个正方形，则这个正方形的边长是多少？ 第2课时用计算器求算术平方根及其大小比较 【学习目标】 1. 步了解无限不循环小数的特点. 2.会用计算器求算术平方根. 【学习重点和难点】 1.学习重点：感受无理数。 2.学习难点：感受无理数。 【学习过程】 一、自主探究 1.填空：如果一个正数的平方等于a，那么这个正数叫做a的_______________，记作_______. 2.填空： (1)因为_____2＝36，所以36的算术平方根是_______ _____； (2)因为(____)2＝ 9 64 ，所以 9 64 的算术平方根是_______ _____； (3)因为_____2＝0.81，所以0.81的算术平方根是_______ ＝_____； (4)因为_____2＝0.572，所以0.572的算术平方根是_______ ＝_____. 3.这个正方形的面积等于4，它的边长等于多少？ 谁会用算术平方根来说这个正方形边长和面积的关系？这个正方形的面积等于1，它的边长等于多少？ 用算术平方根来说这个正方形边长和面积的关系？ （指准图）这个正方形的边长等于面积1 等于多少？ （看下图）这个正方形的面积等于2，它的边长等于什么？ .（上面三个图的位置如下所示） 2＝1 在1和2之间的数有很多， 第一条线索是那个数在1和2之间，第二条线索是那个数的平方恰好等于2.根据这两条线索，我们来找等. 我们在1和2之间找一个数，譬如找1.3，（板书：1.32＝）1.3的平方等于多少？（师生共同用计算器计算）1.69不到2，说明1.3比我们要找的那个数小.1.3小了，那我们找1.5，1.5的平方等于多少？（师生共同 面积＝4 面积＝1 面积＝2 边长＝4＝2 边长＝2 边长＝1＝1 面积＝2 面积＝1 面积＝4 2.2.1 算术平方根 班级：姓名： 〖学习目标〗 1.了解数的算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根； 2.通过学习过程的参与，培养学习的主动性，提高数学表达能力和运算能力。 〖重点难点〗 重点：算术平方根的概念和性质； 难点：对算术平方根意义的理解。 〖导学流程〗 浅层加工 一、预习自测 1.阅读本小节教材内容； 2.思考边长为1的正方形的对角线的长度等于多少？应该如何表示？用我们已经学过的有理数能表示吗？ 二、问题发现 对于本小节内容，你有什么疑惑？ 深度建构 一、问题情境 如图所示为意大利比萨斜塔。1589年，著名科学家伽利略在比萨斜塔做过一个实验，证明了物体下落速度与它的重量无关。如果两个物体受到的空气阻力相同，或将空气阻力略去不计，那么，两个重量不同的物体将以同样的速度下落，同时到达地面。 现已知自由下落物体的距离s(m)与下落时间t(s)的关系为s=4.9t2， 有一铁球从19.6米高的建筑物上自由落下，到达地面需要多长时间？学海拾贝总结纠错 编号：年级—20180901(年+月+序号) 编制：审核：上课时间： 二、问题探究 （1）根据图形填空： ________;________;________;________;2222====w z y x （2）x ，y ，z ，w 中哪些是有理数？哪些是无理数？你能表示它们吗？ 定义：如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个正数x 就叫做a 的_____________， 记作a ，读作“根号a ”。特别地，0的算术平方根是0，即00=. 例1. 求下列各数的算术平方根： （1）900； （2）1； （3） 6449； （4）15. 即学即练1.下列说法： 1、-4的算术平方根是-2； 2、3的算术平方根是9； 3、7是7的算术平方根； 4、64的算术平方根是8. 其中错误的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 例2. 已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三边长，且满足关系式03)4(32 =-+-+-c b a （1）求a ，b ，c 的值； （2）判断△ABC 的形状，并说明理由。 即学即练2.已知x ，y 为实数，且满足01)1(1=-?--+y y x ，求20202021y x -的值。 两种方法求一个数的算术平方根的近似值 方法一：二分法 1，2）之间，取（1，2）的中点 1.5，1.52=2.25， 1，1.5）之间，再取（1，1.5）中点1.25，1.252 =1.5625， （1.25，1.5）之间，再取（1.25，1.5）中点1.375，1.3752=1.890625， … … 方法二：用平方法求算术平方根的近似值 我们知道，实数的大小比较和运算，常常需要求近似值．而求算术平方根的近似值通常使用计算器，但如果我们身边没有计算器时，如何求算术平方根的近似值呢？这里，我们介绍一种用平方法求算术平方根近似值的方法． 例1 求19的近似值． 析解：因为16＜19＜25，所以4＜19＜5．因此19等于4加上一个纯小数，不妨设这个纯小数为a ．则19=4+a ． 用“平方法”得：22816)4(19a a a ++=+= 因为a 是一个纯小数，2 a 远远小于a 816+．在求19的近似值时，可以把它忽略不计．即a 81619+≈ 此时，容易求得4.0≈a 所以19精确到小数点后面第一位的近似值是4+0.4=4.4． 如果要求更准确一点的近似值． 再设19=4.4+b ，再用平方法得：228.836.19)4.4(19b b b ++=+=． 同样，由于2b 远远小于b 8.836.19+，求19的近似值时，可以把它忽略不计．即b 8.836.1919+≈．求得：04.0-≈b ． 所以19精确到小数点后面第二位的近似值是4.4+（－0.04）=4.36． 如此，进行下去，可以求得精确度更高的近似值，只是计算量会越来越大，不过我们通常要求的精确度不是很高． 掌握了以上原理之后，可以直接省略完全平方展开式中的二次项，从而使过程简化． 例2 求31的近似值． 算术平方根列表 √0 = 0 √1 = 1 √2 = 1.31 √3 = 1.888 √4 = 2 √5 = 2.979 √6 = 2.318 √7 = 2.459 √8 = 2.619 √9 = 3 √10 = 3.838 √11 = 3.54 √12 = 3.775 √13 = 3.399 √14 = 3.394 √15 = 3.742 √16 = 4 √17 = 4.766 √18 = 4.928 √19 = 4.067 √20 = 4.958 √21 = 4.584 √22 = 4.343 √23 = 4.272 √24 = 4.636 √25 = 5 √26 = 5.278 √27 = 5.663 √28 = 5.918 √29 = 5.45 √30 = 5.166 √31 = 5.002 √32 = 5.238 √33 = 5.803 √34 = 5.53 √35 = 5.962 √36 = 6 √38 = 6.898 √39 = 6.84 √40 = 6.676 √41 = 6.285 √42 = 6.786 √43 = 6.2 √44 = 6.08 √45 = 6.937 √46 = 6.527 √47 = 6.104 √48 = 6.551 √49 = 7 √50 = 7.548 √51 = 7.285 √52 = 7.798 √53 = 7.052 √54 = 7.953 √55 = 7.566 √56 = 7.788 √57 = 7.075 √58 = 7.391 √59 = 7.861 √60 = 7.483 √61 = 7.665 √62 = 7.181 √63 = 7.377 √64 = 8 √65 = 8.855 √66 = 8.596 √67 = 8.245 √68 = 8.532 √69 = 8.807 √70 = 8.076 √71 = 8.636 √72 = 8.857 √73 = 8.753 √74 = 8.263 塔甸中学2012-2013学年教案 备课时间：第12周星期一2012 年11月12日上课时间：第12周星期二晚自习课题用计算器求算术平方根 教学目标知识与能力1．了解算术平方根的概念，会求正数的算术平方根并会用符号表示；2．会用计算 器求算术平方根；3．了解无限不循环小数的特点 过程与方法 通过探究2的大小，培养学生估算意识，了解两个方向无限逼近的数学思想；通过 拼大正方形的活动，体现解决问题方法的多样性，发展形象思维；在探究活动中， 学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和探究的结果 情感态度与价值观 1．通过学习算术平方根，认识数学与人类生活的密切联系 2．通过探究活动，锻炼克服困难的意志，建立自信心，提高学习热情 教学 重点 算术平方根的概念，感受无理数 教学 难点探究 2的大小的过程 教学 方法 “尝试指导，效果回授”教学法，发现法、练习法、合作学习。 教学突破思路借助PPT软件展示引例及变式训练题组，增大课堂容量，吸引学生眼球，最大限度地激发学生的学习兴趣，优化课堂结构，提高课堂教学效率。 教学设计 教师导学学生活动 活动1 创设情景，引入算术平方根 2003年10月16日，我国进行首次载人航天飞行取得圆满成 功.中华民族探索太空的千年梦想实现了.宇宙在脱离地球轨 道进入正常运行轨道的速度要满足一个条件，即介于第一宇 宙速度与第二宇宙速度之间，第一宇宙速度和第二宇宙速度 分别满足：第一宇宙速度v1（米/秒）： gR v= 2 1，第二宇宙 速度v2 （米/秒）： gR v2 2 2 =． 小欧同学准备参加学校举行的美术作品比赛.他想裁出一块 面积为25dm2的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛， 请你帮他计算一下这块正方形画布的边长应取多少？ 小欧还要准备一些面积如下的正方形画布，请你帮他把这些 正方形的边长都算出来： 面积 1 9 16 36 25 4 边长 1 3 4 6 5 2 活动3 动动脑，动动手，探究2的大小 你能用两个面积为单位1的小正方形拼成一个大正方形吗？ 上面的问题，实际上是已知一个 正数的平方，求这个正数的问题 一般地，如果一个正数x的平方 等于a，即a x= 2 ，那么这个正 数x叫做a的算术平方根，a的 算术平方根记为a，读作“根号 a”，a叫做“被开方数” . 规定：0的算术平方根是0 . 活动 2 通过一些简单例 题，进一步了解算术平方根 1.你能求出下列各数的算术 平方根吗？ ()()()0001 .0 3 64 49 2 100 1 2.请同学们同桌之间合作,一 位同学说一个正数,另一位同学 说出这个正数的算术平方根. 3. 16的算术平方根等于 ________ 4.16的值等于_________ 5. 16的算术平方根等于 _________ 教师：皮成帅 6.1 平方根（1） 教学内容和内容分析 1.教学内容 人民教育出版社《义务教育课教科书·数学》（七年级下册）第六章“实数”“6.1 平方根（1）”。 2.内容分析 平方根是初中数学中的重要概念，与之对应的开平方运算是学生在学习了加、减、乘、除、乘方等五种运算的基础上引入的一种新的运算。它们为引入无理数作铺垫，是学习实数的准备知识，同时也是今后学习二次根式、一元二次方程等知识的基础。通过学习算术平方根，建立初步的数感和符号感。 教学目标和目标解析 1.教学目标 （一）教学知识点 （1）了解算术平方根的概念。 （2）会求一些数的算术平方根，并用算术平方根符号表示。 （二）能力训练要求 （1）通过解决生活中的实际问题，让学生体验数学与生活实际是紧密联系的。 （2）通过自主探究活动培养学生自学能力，锻炼学生克服困难的意志，建立自信心，提高学习热情。 2.目标解析 由于实际问题中所求的答案往往是正数的情况，所以本节主要介绍算术平方根的概念和求法，让学生看到算术平方根与实际的联系，在学习算术平方根的基础上再学习平方根。 教学问题诊断分析 算术平方根的概念，这是本节课的重点，根据算术平方根的概念正确求出非负数的算术平方根是本节课的难点。本节的开始设置了一个问题情境，把这个问题情境抽象成数学问题就是已知正方形的面积求正方形的边长，这是典型的求算术平方根的问题。由于学生熟悉平方运算，再结合正方形的面积和边长的关系，学生很容易解决这个问题，它们都是已知一个正数的平方，求这个正数的问题，进而从具体到抽象的给出算术平方根的概念，使学生理解算术平方根的意义。给 学生充足的时间和空间，理解和感知算术平方根的概念，通过独立思考和小组间的讨论、交流，释疑解难，提出共同的问题，使学生的自主性和合作性得到很好的发展，教学目标得到很好的落实。 教学支持条件分析 借助中国象棋中马走日，象飞田吸引学生注意力，激发学生的学习兴趣。每名学生备有一份讲义，一共五问，以便通过动手操作进行算术平方根概念的理解和求出非负数的算术平方根。课后讲义收回，以便深入了解学生本节课学习后对算术平方根的掌握情况。 教学过程设计 1.创设情境，导入新课 师：中国象棋是在中国有着悠久的历史的棋类运动。它不仅能丰富文化生活，陶冶情操，更有助于开发智力，启迪思维，锻炼辨证分析能力和培养顽强意志，深受广大群众喜爱。相信我班个别同学的抽屉里曾经有这样一副中国象棋。 那怎样下象棋呢？有这样四句口诀： 马走日字象飞田；车走直路炮翻山； 士走斜路护将边；小卒一去不回还。 如图所示，若棋盘中每个小正方形的边长为1，那么卒走一步、士走一步、马走一步、象走一步，它们走过的距离各是多少？它们走过的距离是整数吗？是分数吗？是有理数吗？ 生：卒走一步的距离是1，是整数也是有理数。马、象走一步的距离是多少就不太清楚了。 师：不知道没关系，相信通过第六章的学习，一定能解决这个问题！这节课我们先来学习算术平方根。 （教师板书：6.1.1 算术平方根） 幻灯片展示教材第40页的问题。 学校要举行美术作品比赛，小鸥想裁出一块 面积为25 dm2的正方形画布，画上自己的得意之 作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？ 师：这块正方形画布的边长应取多少？ 生：5dm 师：你能说一说解决这个问题的思路吗？ 算术平方根与平方根 知识点1：平方根的概念及其性质 1、概念：一般地，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根或二次方根．这 就是说，如果2x ＝a ，那么x 叫做a 的平方根． 2、表示：正数 a 的平方根可表示为士2a ，读作“正负根号a ”，其中“ 2 '’是根指 数，当根指数是 2时可省略不写，“”读作“根号” , “a ”是被开方数． 3、性质：（1）一个正数a 有两个平方根，其中一个是“a ”，另一个为“一a ”， 它们互为相反数； （2）0 的平方根是0； （3）负数没有平方根． 注意：1.被开方数 a 是非负数（非负数即指正数和零）， 2. 平方与开方是互逆运算关系 例1.填空： 1、 的平方是64，所以64的平方根是 ； 2、平方数是它本身的数是 ；平方数是它的相反数的数是 ； 3、若x 的平方根是±2，则x= ； 4、在下列各数中0， 254 ， 2(5)--，222x x ++，|1|a -，||1a -数是 个． 5、求下列各数的平方根： （1）0；（2）1；（3）1.21；（4）8；（4）（-3）2；（5）49 151；（6）47 6、计算：（1）22810-；（2） 9141+；（3）144 251；（4）-1691。 变式练习： 1、若a x =2，则（ ） A 、x>0 B 、x≥0 C、a>0 D 、a≥0 2、一个数若有两个不同的平方根，则这两个平方根的和为（ ） A 、大于0 B 、等于0 C 、小于0 D 、不能确定 3、下列说法正确的是（ ） A ．1的平方根是1±； B ．24±= C 、81的平方根是3±； D 、0没有平方根； 4的平方根是 ，3 5 ±是 的平方根． 课题: 6.1。1平方根教学目标1.了解算术平方根的概念，会用根号表示正数的算术平方根，并了解算术平方根的非负性。 2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的算术平方根。 重点、难点教学重点：算术平方根的概念。 教学难点：根据算术平方根的概念正确求出非负数的算术平方根。 教学环节教学过程师生活动 回顾旧知自主探究 1.你能求出下列各数的平方吗? 0,-1,5,2.3,- 1 5 ,-3,3,1, 1 5 2.若已知一个数的平方为下列各数,你能把这个数的取值 说出来吗? 25,0,4, 4 25 , 1 144 ,- 1 4 ,1.69 1探究1 小欧学校要举行金秋美术作品比赛，小欧很高兴，他 想裁出一块面积为252 dm的正方形画布，画上自己的得意之作 参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少dm？ 上面的问题，实际上是已知一个正数的平方，求这个正数的问 题。 定义一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么 这个正数x叫做a的算术平方根,a的算术平方根记为a,读作 “根号a”,a叫做被开方数.规定:0的算术平方根是0. 2．探究2例1 求下列各数的算术平方根: (1) 100 (2) 1 (3) 49 64 (4) 196 (5) 0.0001 观察上面的运算可知：对所有正数，被开方数越大，对应 点算术平方根也越大 练一练1。某数的算术平方根等于它本身,则这个数为 _______;? ()26-的算术平方根是__________， 4的算术平方 根是81的算术平方根是 师生问答 情境引入学生 看课本40页，思 考问题并填表。 教师板书课 题，定义 学生思考，小 组交流，教师 点拨。 二元一次方程的解法（复习） 例1、 下列方程中哪些是二元一次方程？ x z x 631526++=- 711=+y x y x - 13=++y x xy 说明：判断一个方程是不是二元一次方程应先将方程进行整理变形为一般形式后再看是否 满足以下条件：1、要是整式方程（即在方程的分母中不能含有字母） 2、要含有两个未知数 3、未知项的次数要是1次 （请注意这里说的是未知项而不是未知数，所谓未知项是指未知数 所在的单项式，而不是指未知数本身。未知项的次数就是指未知数所在的单项式的次数。） 例2、已知二元一次方程623=+y x ，（1）用含y x 的代数式表示。 （2）x y 的代数式表示用含。 数学方法强调：在这里应将前面的一个字母看作是已知数来对待，在解答时需先将所有含有要表示的未知数的项移到等号的左边，其它的项都移到等号的右边。 例3、已知???==1 2y x 是方程组???=+=-+12)1(2y nx y m x 的解，求2003)(n m +的解。 说明：此题的基本思想是代入已知解，要注意到是方程组的解就一定满足方程组中的每一个方程，即可以将方程组的解代入到方程式组中的每一个方程中去仍然成立。 练习：方程组???-=+=-154by ax y x 和方程组???=-=+18 431826by ax y x 有相同解，求教3a+b 的值。 例4、若方程组? ??=+=15cy bxy ax 是关于和x y 的二元一次方程组，则a 和b 和 c 各应满足什么条件？ 说明：此题要注意到如果是二元一次方程组则bxy 就应为零，因为它不是一次项，所以只要抓住0=bxy 就可得到最重要的条件即b=0，同时a 和b 不能为0就可以了。 练习：甲、乙两人解答方程组???-=-=+24155by x y ax 由于甲看错了字母a,解得的值为? ??-=-=13y x ，乙看错了字母b ，得到的方程组的解为???==4 5y x ，试计算20032002)101(b a -+的值。 算术平方根（二次根式）知识点汇总 知识点一： 二次根式的概念： 0a ≥）的式子叫做二次根式。 注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须 注意：因为负数没有平方根，所以0a ≥是 知识点二：取值范围 1.二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a ≧0所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。 2.二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a ﹤0 0a ≥）的非负性 0a ≥）表示a 0a ≥0(0)a ≥≥ 注：0a ≥）表示a 的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算 术平方根是0，所以非负数（0a ≥0(0)a ≥≥这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多， 0=，则a=0,b=00b =，则a=0,b=020b =，则a=0,b=0。 知识点四：二次根式2的性质 ：2(0)a a =≥ 文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。 注：二次根式的性质公式2(0)a a =≥是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可 以反过来应用：若，则2a =，如：22=， 212=. 知识点五：二次根式的性质 a = 文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。 注： 1a 是正数还是负数，若是正数或0，则 等于a 本身，即a a ==(0)a ≥；若a 是负数，则等于a 的相反数-a,即 (0)a a a ==-≤； 2、a 的取值范围可以是任意实数，即不论a 取何值，一定有意义； 3、化简a ，再根据绝对值的意义来进行化简。 知识点六：2 1、不同点：22表示一个正数a 的算术平方根的平方， 而a 的平方的算术平方根；在2中，0a ≥a 可以是正实数， 0，负实数。但220≥0≥. 2、相同点：当被开方数都是非负数，即当0a ≥时，20a ≤时，2无意义， 而a =-. 6.1 平方根 第 1 课时 算术平方根 要点感知 1 一般地 ,如果一个正数 x 的平方等于 a,即 x 2 =a,那么这个正数 x 叫做 a 的__________,记作“__________ ”, 读作“ __________” ,a 叫做 __________. 预习练习 1-1 (2014 ·枣庄 )2 的算术平方根是 () A.± 2 B. 2 C.± 4 D.4 要点感知 2 规定： 0 的算术平方根为 __________. 预习练习 2-1 若一个数的算术平方根等于它本身，则这个数是 () A.1 B.-1 C.0 D.0 或 1 要点感知 3 被开方数越大 ,对应的算术平方根也 __________. 预习练习 3-1 比较大小： 6 __________ 7 ， 4__________ 15 . 知识点 1 算术平方根 1.若 x 是 64 的算术平方根，则 x=( ) A.8 B.-8 C.64 D.-64 2.(2013·南充 )0.49 的算术平方根的相反数是 ( ) A.0.7 B.-0.7 C.± 0.7 D.0 3.(-2)2 的算术平方根是 () A.2 B.± 2 C.-2 D. 2 4.下列各数没有算术平方根的是 ( ) A.0 B.-1 C.10 D.102 5.求下列各数的算术平方根： (1)144 ； (2)1； (3) 16 ； (4)0.008 1 ； (5)0. 25 6.求下列各数的算术平方根 . (1)0.062 5； (2)(-3)2 ； (3) 225 ； (4)108. 121 知识点 2 估算算术平方根 7.(2014·安徽 )设 n 为正整数，且 n ＜ 65 ＜ n+1，则 n 的值为 ( ) 算术平方根练习 一、选择题： 1. 81的算术平方根是（ ） A ．9± B ．9 C ．-9 D ．3 2. 已知正方形的边长为 a ，面积为 S ，下列说法中：①a S =；②S a =；③S 是a 的算术平方根；④a 是S 的算术平方根。正确的是（ ） A ．①③ B ．②③ C ．①④ D ．②④ 3. 如果5.1=y ，那么y 的值是（ ） A ．2.25 B ．22.5 C ．2.55 D ．25.5 4. 计算()22-的结果是（ ） A ．-2 B ．2 C ．4 D ．-4 5. 下列各式中正确的是（ ） A ．525±= B ． ()662-=- C ．()222-= D ．()332=- 二、填空题： 1. 一个数的算术平方根是25，这个数是________。 2. 算术平方根等于它本身的数有______________。 3. 81的算术平方根是__________。 4. 144=_______；4925=________；=-01.0________；002 5.0=_______。 5. ()=2196_________；()=-28_________；256 169-=___________。 三、解答题： 1. 求下列各数的算术平方根： (1) 3.24 (2) 12149 (3) 100001 2. 求下列各式的值： (1) 144 169- (2) 0625.0 (3) 1692254-+ 3. 回答下列问题： (1) ()2 5-有没有算数平方根？如果没有，说明理由；如果有，写出它的算术平方根。 (2) 3-是()2 3-的算术平方根吗？如果不是，请写出它的算术平方根。 4. 用长3cm 、宽2.5cm 的邮票30枚，拼成一个正方形，则这个正方形的边长是多少？ 13.1.1算术平方根练习 一、课堂练习： 1.填空：(1)因为 2=64，所以64的算术平方根是 ，即＝ ； (2)因为 2=0.25，所以0.25的算术平方根是 ，即 ＝ ； (3)因为 2=1649，所以1649的算术平方根是 ，即＝ . 2. 16的算术平方根是 ；16的算术平方根是 ； 4的算术平方根是 ；4的算术平方根是 ， 3、不用计算器你能比较上面数的大小吗？ （1）7和3 （2）7-2和1 算术平方根 要求（1）了解算术平方根的概念，会用根号表示数的算术平方根。（2）了解乘方与开方互 为逆运算，会用平方运算求算术平方根。 分析：（1）第一项课标要求的维度目标是结果目标，行为动词是知道，学习水平为了解， 学习内容是算术平方根的概念。第二项课标要求的维度目标是结果目标，行为动词是会，学 习水平是理解水平，学习内容是用根号表示数的算术平方根。（2）第一项课标要求的维度 目标是结果目标，行为动词是知道、认识,学习水平为了解，学习内容是了解乘方与开方互为 逆运算；第二项维度目标是结果目标，行为动词是会，学习水平为理解水平，学习内容是用 平方运算求算术平方根。 教材分析： 《算术平方根》是在学习有理数乘方知识基础上进行学习的，教材编排通过一个问题情境， 引出已知正方形面积求边长的问题，接着让学生通过填表的方式，计算几个不同面积的正方 形的边长，使学生感受思考平方数的逆运算，这些问题抽象成数学问题就是已知一个正数的 平方，求这个正数的问题。通过实例初步感知——深刻感受——抽象内化三步，在探究中建 立数感、符号意识，培养逆向思维和合作探究能力及解决问题的意识和能力。算术平方根是 学习实数运算及二次根式等内容的基础。 学情分析： 优势：学生已掌握一些完全平方数，知道一些完全平方数是哪些有理数的平方，同时对乘方 运算也有一定的认识。对新知有好奇心，有一定思维理解力、判断力，初步的解决问题能力，对学习本课内容很有帮助。 劣势：学习算术平方根需要与乘方运算接轨，但由于间隔时间过长，他们会有不同程度的遗忘，甚至有些概念已有些模糊，而且学生计算能力有待于不断提高。应让学生动手操作，师生、生生合作探究学习，经历学习过程 教学重、难点： 课标要求“初步认识算术平方根的概念，会用根号表示数的算术平方根”。教材分析中指出： 算术平方根是学习二次根式的基础，所以通过对课标和教材的分析，确定本课的教学重点是：让学生理解算术平方根的概念及会用根号表示数的算术平方根，并正确的读写有关算术平方 根的式子。 课标要求“了解乘方与开方互为逆运算，会用平方运算求算术平方根”。但学情分析中可以看 出以前学生虽然学过乘方运算，但有些概念已模糊，而且学生计算能力弱。根据课标内容分 析和学情分析。所以，确定本节课的教学难点为：让学生能根据算术平方根的概念正确求出 某些非负数的算术平方根，并知道算术平方根的非负性 学习目标： 1、通过问答、操作、思考、归纳活动，学生理解算术平方根的意义、符号表示，感受数学 可以记录生活，简练生活。 2、通过观察、思考、问答探究等形式，学生学习掌握已知一个正数的平方，求这个正数问 题的方法及规范书写方法，掌握求一个非负数的算术平方根。 教学流程： 活动一、温故孕新（预设时间5分钟）(完整版)算术平方根练习题(2)
北师大8上教案：2.2 第1课时 算术平方根2
算术平方根
算术平方根
用平方法求算术平方根的近似值
算术平方根、平方根知识点
算术平方根练习题
用计算器求算术平方根及其大小比较
2.2.1算术平方根
两种方法求一个数的算术平方根的近似值
算术平方根列表
用计算器求算术平方根
算术平方根
算术平方根及平方根2
人教版初一数学下册算术平方根的概念
平方根：算术平方根
算术平方根(二次根式)知识点汇总
(完整版)算术平方根练习题(2).doc
(完整版)算术平方根练习题
算术平方根
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