§2.3 二元函数的极限与连续
定义设二元函数在点的某邻域内有意义, 若存在
常数A,,当（即）时，都有
则称A是函数当点趋于点时的极限,记作
或
或或。
必须注意这个极限值与点趋于点的方式无关,即不论P以什么方
向和路径（也可是跳跃式地，忽上忽下地）趋向。只要P与充分接近, 就能
使与A接近到预先任意指定的程度。注意：点P趋于点点方式可有无穷多
种,比一元函数仅有左,右两个单侧极限要复杂的多（图8-7）。
图8-7
同样我们可用归结原则,若发现点P按两个特殊的路径趋于点时,极限
存在,但不相等, 则可以判定在该点极限不存在。这是判断多元函数极限不
存在的重要方法之一。
一元函数极限中除了单调有界定理外,其余的有关性质和结论, 在二元函数极
限理论中都适用，在这里就不一一赘述了。
例如若有, 其中
。
求多元函数的极限, 一般都是转化为一元函数的极限来求, 或利用夹逼定理
来计算。例4 求。解由于
,
而,根据夹逼定理知 ,所以
。
例5求（a≠0)。解
。例6求。解
由于且,所以根据夹逼定理知
.例7研究函数
在点处极限是否存在。解当x2+y2≠0时，我们研究函数
，沿x→0,y=kx→0这一方式趋于
（0，0）的极限，有,。很显然，对于不同的k 值，可得到不同的极
限值,所以极限不存在,但
。
注意：的区别, 前面两个求极限方式的
本质是两次求一元函数的极限, 我们称为累次极限, 而最后一个是求二元函数的
极限,我们称为求二重极限。
例8 设函数。它关于原点的两个累次极限都不存在,因
为对任何,当时,的第二项不存在极限；同理对任何
时,的第
一项也不存在极限,但是, 由于, 因此
。
由例7知, 两次累次极限存在, 但二重极限不存在。由例8可知,二重极限存
在,但二个累次极限不存在。我们有下面的结果:
定理1若累次极限和二重极限
都存在,则
三者相等（证明略）。推论若存在
但不相等,则二重极限不
存在。定义设在点的某邻域内有意义,且,则
称函数在点处连续,记
上式称为函数(值)的全增量。则二元函数连续的定义可写为
。
定义为函数(值)对x的偏增量。
为函数（值）对y的
偏增量。若在点处不连续,则称点是的间
断点, 若在某区域
G上每一点都连续,则称在区域G上连续。若在闭区域G 的每一内点都连
续,并在G的连界点处成立
,
则称在闭域G上连续。闭域上连续的二元函数的图形称为连续曲面。
关于一元函数连续的有关性质, 如最值定理、介值定理、Cantor 定理,对于
二元函数也相应成立。可以证明如下的重要结果：
定理2设在平面有界闭区域G上连续,则
（1）必在G上取到最大值,最小值及其中间的一切值; （2）
在G上一致连续,即,当时,都有
。以上关于二元函数的极限和连续的有关性质和结论在n元函数中仍然成立。