第四章 线性系统的可控性和可观性
§4-1 问题的提出
经典控制理论中用传递函数描述系统的输入—输出特性，输出量即被控量，只要系统是因果系统并且是稳定的，输出量便可以受控，且输出量总是可以被测量的，因而不需要提出可控性和可观性的概念。
现代控制理论是建立在用状态空间法描述系统的基础上的。状态方程描述输入)(t u 引起状态)(t x 的变化过程；输出方程描述由状态变化所引起的输出)(t y 的变化。可控性和可观性正是定性地分别描述输入)(t u 对状态)(t x 的控制能力，输出)(t y 对状态)(t x 的反映能力。它们分别回答：
“输入能否控制状态的变化”——可控性
“状态的变化能否由输出反映出来”——可观性
可控性和可观性是卡尔曼（Kalman ）在1960年首先提出来的。可控性和可观性的概念在现代控制理论中无论是理论上还是实践上都是非常重要的。例如：在最优控制问题中，其任务是寻找输入)(t u ，使状态达到预期的轨线。就定常系统而言，如果系统的状态不受控于输入)(t u ，当然就无法实现最优控制。另外，为了改善系统的品质，在工程上常用状态变量作为反馈信息。可是状态)(t x 的值通常是难以测取的，往往需要从测量到的)(t y 中估计出状态)(t x ；如果输出)(t y 不能完全反映系统的状态)(t x ，那么就无法实现对状态的估计。
状态空间表达式是对系统的一种完全的描述。判别系统的可控性和可观性的主要依据就是状态空间表达式。
【例如】
（1）u x x ??
????+??????=202001
[]x y 01=
分析：上述动态方程写成方程组形式：??
?
??=+==1221122x
y u x x x x
从状态方程来看，输入u 不能控制状态变量1x ，所以状态变量1x 是不可控的；从输出方程看，输出y 不能反映状态变量2x ，所以状态变量2x 是不能观测的。
即状态变量1x 不可控、可观测；状态变量2x 可控、不可观测。
（2）u x x ??
????+??????=112001
[]x y 11=
分析：上述动态方程写成方程组形式：??
?
??+=+=+=2122
112x
x y u x x u x x
由于状态变量1x 、2x 都受控于输入u ，所以系统是可控的；输出y 能反映状态变量1x ，又能反映状态变量2x 的变化，所以系统是可观测的。
即状态变量1x 可控、可观测；状态变量2x 可控、可观测。
（3）u x x
??
????+??????=111001 []x y 11=
分析：上述动态方程写成方程组形式：??
?
??+=+=+=212211x
x y u x x
u x x
从状态方程看，输入u 能对状态变量1x 、2x 施加影响，似乎该系统的所有状态变量都是可控的；从输出方程看，输出y 能反映状态变量1x ，2x 的变化，似乎系统是可观测的。
实际上，这个系统的两个状态变量既不是完全可控的，也不是完全可观测的。
要解释和说明这一情况，就必须首先弄清楚可控性和可观性的严格定义及判别方法。
§4-2 线性定常连续系统的可控性
一、线性定常连续系统状态可控性的定义
定义4.1（状态可控性定义）：
对于线性定常系统
Bu Ax x
+= ，如果存在一个分段连续的输入)(t u ，能在],[0f t t 有限时间间隔内，使得系统从某一初始状态)(0t x 转移到指定的任一终端状态)(f t x ，
则称此状态是可控的。若系统的所有状态都是可控的，则称此系统是状态完全可控的，简称系统是可控的。
关于可控性定义的说明：
（1）上述定义可以在二阶系统的相平面上来说明。假如相平面中的P 点能在输入的作用下转移到任一指定状态n P P P ,,,21 ，那么相平面上的P 点是可控状态。假如可控状态“充满”整个状态空间，即对于任意初始状态都能找到相应的控制输入)(t u ，使得在有限时间间隔内，将此状态转移到状态空间中的任一指定状态，则该系统称为状态完全可控。
（2）在可控性定义中，把系统的初始状态取为状态空间中的任意有限点)(0t x ，而终端状态也规定为状态空间中的任意点)(f t x ，这种定义方式不便于写成解析形式。为了便于数学处理，而又不失一般性，我们把上面的可控性定义分两种情况叙述：
①把系统的初始状态规定为状态空间中的任意非零点，而终端目标规定为状态空间中的原点。于是原可控性定义可表述为：
对于给定的线性定常系统Bu Ax x
+= ，如果存在一个分段连续的输入)(t u ，能在
1
可控状态的图形说明
],[0f t t 有限时间间隔内，将系统由任意非零初始状态)(0t x 转移到零状态)(f t x ，则称此系
统是状态完全可控的，简称系统是可控的。
②把系统的初始状态规定为状态空间的原点，即0)(0=t x ，终端状态规定为任意非零有限点，则可达定义表述如下：
对于给定的线性定常系统Bu Ax x
+= ，如果存在一个分段连续的输入)(t u ，能在],[0f t t 有限时间间隔内，将系统由零初始状态)(0t x 转移到任一指定的非零终端状态)(f t x ，
则称此系统是状态完全可达的，简称系统是可达的（能达的）。
二、可控性的判别准则
定理4.1：（可控性秩判据）
对于n 阶线性定常系统Bu Ax x
+= ，其系统状态完全可控的充分必要条件是：由A 、
B 构成的可控性判别矩阵
][1
2B A B A AB B Q n c
-= 满秩，即
n rankQ c =
其中，n 为该系统的维数。
【例4.2.1】判别下列状态方程的可控性。
（1）u x x
??????+??????--=011012 （2）u x x ?
?
?
???+??????=111001 （3）u x x ??????+??????-=100110 （4）u x x ????
??????+??????????=100110110010011 对于线性定常系统，可控性和可达性是等价的；
在以后对可控性的讨论中，均规定目标状态为状态空间中的原点，并且我们所关心的，只是是否存在某个分段连续的输入)(t u ，能否把任意初始状态转移到零状态，并不要求算出具体的输入和状态轨线。
解：（1）?
??
???-==0021][AB B
Q c ，n rankQ c <=1，∴系统不可控。 （2）???
???==1111][AB B
Q c ，n rankQ c <=1，∴系统不可控。 （3）??
?
???==0110][AB B
Q c ，n rankQ c ==2，∴系统可控。 （4）??
??
?
?????==121110010101121110][2B A AB
B
Q c ，n rankQ c <=2，
∴系统不可控。
定理4.2：
设线性定常系统Bu Ax x
+= ，具有互不相同的实特征值，则其状态完全可控的充分必要条件是：系统经非奇异变换后的对角标准型
u B x x n +??
??
??????=λλ001
中，B 阵不存在全零行。
【例4.2.2】判别下列系统的状态可控性。
（1）u x x ??????????+??????????---=752100050007 （2）u x x ?????
?????+??????????---=750100050007 （3）u x x ??????????+??????????---=570410100050007 （4）u x x ????
??????+??????????---=570010100050007 解：
（1）状态方程为对角标准型，B 阵中不含有元素全为零的行，故系统是可控的。 （2）状态方程为对角标准型，B 阵中含有元素全为零的行，故系统是不可控的。 （3）系统可控。
（4）系统不可控。
【例4.2.3】判别下列系统的状态可控性。
u x x ????
??????+??????????=111200020002 解：在应用定理4.2这个判别准则时，应注意到“特征值互不相同”这个条件，如果特征值不是互不相同的，即对角阵A 中含有相同元素时，上述判据不适用。应根据定理4.1的秩判据来判断。对于本题： ??
??
?
?????==421421421][2B A AB
B
Q c ，31<=c rankQ ，即系统是不可控的。
定理4.3：
若线性定常系统Bu Ax x
+= ，具有重实特征值，且每一个重特征值只对应一个独立特征向量，则系统状态完全可控的充分必要条件是：系统经非奇异变换后的约当标准型
u B x J J x k +??
??
??????=001
中，每个约当小块i J （k i ,,2,1 =）最后一行所对应的B 阵中的各行元素不全为零。
【例4.2.4】判别下列系统的状态可控性。
（1）u x x
??????+??????--=204014 （2）u x x ?
?
?
???+??????--=024014 （3）u x x
??????
??????+??
????
??????----=020010003013004
014 （4）u x x
?????
???????+??????
??????----=10
020********
04
014 （5）u x x ??????????+??????????=010********* （6）u x x ????
?
?????+??????????=110200020012
解：（1）系统是可控的。 （2）系统是不可控的。 （3）系统是可控的。 （4）系统是不可控的。 （5）系统是不可控的。
（6）系统不可控（注意定理4 .3中“且每一个重特征值只对应一个独立特征向量”这一关键点）。当不满足定理4.3中的条件时，应使用秩判据。 ??
??
?
?????==421421410][2B A AB
B
Q c ，32<=c rankQ ，即系统是不可控的。
§4-3 线性定常离散系统的可控性
定义4.2（离散系统的可控性定义）：
对于n 阶线性定常离散系统)()()1(k Hu k Gx k x +=+，若存在控制作用序列
{})1(,),1(),0(-n u u u ，在有限时间间隔],0[nT t ∈内，能使系统从任意非零初始状态
)0(x 经有限步转移到零状态，即0)(=nT x ，则称此系统是状态完全可控的，简称系统是
可控的。
【例4.3.1】设离散系统的状态方程为
)(100)(101201111)1(k u k x k x ????
??????+??????????--=+ 试分析能否找到控制作用 ),1(),0(u u ，将初始状态T
x ]112[)0(=转移到零状态。 解：利用递推法：
0=k )0()0()1(hu Gx x +=
)0(100300)0(100112101201111u u ????
??????+??????????=??????????+????????????????????--= 为检验该系统能否在第一步由)0(x 转移到零状态，对上式令0)1(=x ，若能够解出)0(u ，则表示在第一步上就可以把给定初始状态转移到零状态，且控制作用为)0(u 。为此，令
0)1(=x ，则有03)0(=+u ，即
3)0(-=u
表明对该系统若取3)0(-=u ，能将T
x ]112[)0(=在第一步上转移到零状态。
【例4.3.2】设离散系统的状态方程为
)(100)(101201111)1(k u k x k x ????
??????+??????????--=+ 试分析能否找到控制作用 ),1(),0(u u ，将初始状态T
x ]111[)0(=转移到零状态。 解：利用递推，有
0=k )0()0()1(hu Gx x +=
)0(100211)0(100111101201111u u ????
??????+??????????-=??????????+????????????????????--= 显然，若令0)1(=x ，该方程解不出)0(u ，这说明对于该系统不能在第一步由初始状态转移到零状态，须再递推一步。
1=k )1()1()2(hu Gx x +=
)1()0()0(2
hu Ghu x G ++=
)1(100)0(121330u u ????
??????+??????????-+??????????-=
若令0)2(=x ，该线性方程解对)0(u 、)1(u 无解，说明该系统不能在第二步由初始状态转移到零状态，还须递推一步。
2=k )2()2()3(hu Gx x +=
)2()1()0()0(2
3
hu Ghu hu G x G +++=
)2(100)1(121)0(212360u u u ????
??????+??????????-+??????????--+??????????-= 若令0)3(=x ，上式便是一个含有三个未知量的齐次方程
????
?
?????-=????????????????????---360)2()1()0(112021012u u u 解此齐次方程，有
T
u u u ??
????-=??????????-??????????---=??????????-595
12
56360112
021012)2()1()0(1
就是说，该系统在)2(),1(),0(u u u 的控制作用下，能在第三步上由初始状态
T x ]111[)0(=转移到零状态。
定理4.4：（线性定常离散系统可控性秩判据）
线性定常离散系统)()()1(k Hu k Gx k x +=+，其状态完全可控的充分必要条件是：由G 、H 构成的可控性判别矩阵
][1
2H G H G GH H Q n c -=
满秩，即
n rankQ c =
【例4.3.3】设离散系统的状态方程为
)(121)(011220001)1(k u k x k x ????
??????+??????????--=+ 试判别其可控性。
解： ????
?
?????==111222111][2
H G GH H Q c
n rankQ c <=1
所以离散系统是不可控的。
【例4.3.4】设离散系统的状态方程为
)(001001)(301010121)1(k u k x k x ????
??????+??????????-=+ 试判别其可控性。
解： ????
?
?????==240100101010402101][2
H G GH H Q c
n rankQ c ==3
所以离散系统是可控的。
【例4.3.5】设离散系统的状态方程为
)(101)(011220001)1(k u k x k x ????
??????+??????????--=+ 试判别其可控性；若初始状态T
x ]012[)0(=，确定使0)3(=x 的控制序列
)2(),1(),0(u u u ；研究使0)2(=x 的可能性。
解： ????
??????----==31122011
1][2
H G GH H Q c
n rankQ c ==3，所以离散系统是状态完全可控的。
0=k )0()0()1(hu Gx x +=)0(101122u ????
?
?????+??????????-= 1=k )1()0()0()2(2hu Ghu x G x ++=)1(101)0(121062u u ????
?
?????+??????????--+??????????= 2=k )2()1()0()0()3(23hu Ghu hu G x G x +++=
)2(101)1(121)0(3214122u u u ????
?
?????+??????????--+??????????--+??????????= 令0)3(=x ，即
????
??????---=????????????????????----4122)2()1()0(113022111
u u u 解此齐次方程，有
????
??????--=??????????8115)2()1()0(u u u 若令0)2(=x ，即解如下方程组：
??
??
??????--=????????????????--062)1()0(110211u u
此方程组无解。也就是说不能在第二个采样周期内使给定状态转移到原点。
§4-4 可控标准型及输出可控性
一、可控标准型问题
1、可控标准型
我们称如下SISO 系统或MIMO 系统的状态方程为可控标准型。
u x a a a a x n ??
?
??
???
????????+???????
?????????----=-100010000100001
012
10
原因是与此状态方程相对应的可控性判别矩阵
[
]
?????????
?
?????
???????
?
-??
-??-==---- 1
111
21101001
00010000
n n n n c a a a b A b A Ab b
Q n rankQ c =，所以系统是可控的。
%Example for MATLAB
A=sym('[0,1,0,0;0,0,1,0;0,0,0,1;-a0,-a1,-a2,-a3]'); b=sym('[0;0;0;1]');
Qc=simplify([b,A*b,A^2*b,A^3*b])
运行结果：
[0, 0, 0, 1] [0, 0, 1, -a3] [0, 1, -a3, -a2+a3^2] [1, -a3, -a2+a3^2, -a1+2*a3*a2-a3^3]
2、如何将可控系统的状态方程化为可控标准型
一个可控系统，当A ，b 不具有可控标准型时，可以选择适当的变换化为可控标准型。设系统状态方程为：
bu Ax x
+= 进行非奇异变换：x P x =，变换为：
u b x A x
+= 其中：
?????????????
???----==--12
10
1
10000100001
0n a a a a AP P A
， ??
?
????
?
????????==-10001
b P b
【例4.4.1】已知系统的状态方程为
u x x ??
????+??????=112001
试判别状态可控性，如可控将状态方程化为可控标准型。
解：（1）首先判别可控性 []??
?
???==2111Ab b Q c ，2=c rankQ ，故系统是可控的。
（2）化可控标准型
①?
?
??
??=2111c Q ②??????--=-11121
c Q ③[]1111-=-P 可控标准型变换阵P 的确定方法： （1）计算可控性判别矩阵：[]
b A b A Ab b Q n
c 1
2-= （2）计算1-c Q ，并设1
-c Q 的一般形式为： ??
??
??????=-nn n n c q q q q Q 11111
（3）取1-c Q 的最后一行，构成1
1-P []nn n q q P 11
1=- （4）按下列方式构造1
-P 阵 ??
???
??
???????=-----11111111n A P A P P P （5）1
1)(--=P P ，P 便是化可控标准型的非奇异变换阵。
④??
????--=??????=---211111111
A P P P
⑤?
?????--==--1112)(1
1P P ?
?
????-=??????--??????????
??--==-32101112200121111AP P A ??
?
???=????????????--==-101121111
b P b
即有可控标准型
u x x ??
????+????
??-=103210
%Example 4.4.1 for MATLAB program
A=[1,0;0,2]; b=[1;1]; Qc=[b,A*b] x=rank(Qc); if x==2
'该系统状态完全可控' invQc=inv(Qc);
invp1=invQc(length(Qc),:); invp=[invp1;invp1*A]; p=inv(invp) AA=invp*A*p bb=invp*b else
'该系统状态不可控' end
二、输出可控性
定义4.3（输出可控性定义）：
对于线性定常系统Bu Ax x
+= Du Cx y +=，如果存在一个分段连续的输入)(t u ，能在],[0f t t 有限时间间隔内，使得系统从任意初始输出)(0t y 转移到指定的任意最终输出
)(f t y ，则称该系统是输出完全可控的，简称系统输出可控。
定理4.5：（系统输出可控性判据）
设线性定常连续系统Bu Ax x
+= ，Du Cx y +=，其输出可控的充分必要条件是：由A 、B 、C 、D 构成的输出可控性判别矩阵
][12D B CA B CA CAB CB Q n yc -=
的秩等于输出变量的维数q ，即 q rankQ yc =
【例4.4.2】判断下列系统的状态、输出可控性。
u x x
??
?
???-+?
?????--=112110 []x y 01= 解：（1）状态可控性判别矩阵 []??
????--==1111Ab b
Q c ， 21<=c rankQ ，故状态不可控。
（2）输出可控性判别矩阵 [][]011-==d cAb cb
Q yc
q rankQ yc ==1，所以系统输出可控。
三、连续状态方程离散化后的可控性
1、原连续系统状态可控，离散化后，如果采样周期选择不当，便不能保持原连续系统的可控性。
2、当连续系统不可控时，不管采样周期T 如何选择，离散化后的系统一定是不可控的。
说明： 一般而言，系统输出可控性和状态可控性之间没有什么必然的联系。即输出可控不一定状态可控，状态可控不一定输出可控。
非线性控制理论和方法 姓名：引言 人类认识客观世界和改造世界的历史进程，总是由低级到高级，由简单到复杂，由表及里的纵深发展过程。在控制领域方面也是一样，最先研究的控制系统都是线性的。例如，瓦特蒸汽机调节器、液面高度的调节等。这是由于受到人类对自然现象认识的客观水平和解决实际问题的能力的限制，因为对线性系统的物理描述和数学求解是比较容易实现的事情，而且已经形成了一套完善的线性理论和分析研究方法。但是，现实生活中，大多数的系统都是非线性的。非线性特性千差万别，目前还没一套可行的通用方法，而且每种方法只能针对某一类问题有效，不能普遍适用。所以，可以这么说，我们对非线性控制系统的认识和处理，基本上还是处于初级阶段。另外，从我们对控制系统的精度要求来看，用线性系统理论来处理目前绝大多数工程技术问题，在一定范围内都可以得到满意的结果。因此，一个真实系统的非线性因素常常被我们所忽略了，或者被用各种线性关系所代替了。这就是线性系统理论发展迅速并趋于完善，而非线性系统理论长期得不到重视和发展的主要原因。控制理论的发展目前面临着一系列严重的挑战, 其中最明显的挑战来自大范围运动的非线性复杂系统, 同时, 现代非线性科学所揭示的分叉、混沌、奇异吸引子等, 无法用线性系统理论来解释, 呼唤着非线性控制理论和应用的突破。 1.传统的非线性研究方法及其局限性 传统的非线性研究是以死区、饱和、间隙、摩擦和继电特性等基本的、特殊的非线性因素为研究对象的, 主要方法是相平面法和描述函数法。相平面法是Poincare于1885年首先提出的一种求解常微分方程的图解方法。通过在相平面上绘制相轨迹, 可以求出微分方程在任何初始条件下的解。它是时域分析法在相空间的推广应用, 但仅适用于一、二阶系统。描述函数法是 P. J.Daniel于1940
3、最小实现 定义4.9（最小实现定义）： 传递函数矩阵)(s G 的一个实现（没有相同的零、极点或相同零、极点已经对消） Cx y Bu Ax x =+= 称为最小实现。如果)(s G 中不存在其它实现 x C y u B x A x =+= 使x 的维数小于x 的维数。 定理4.11： 传递函数矩阵)(s G 的一个实现∑),,(C B A Cx y Bu Ax x =+= 为最小实现的充分必要条件是∑),,(C B A 既是可控的又是可观测的。 【例4.9.4】试求如下传递函数矩阵的最小实现。 ?? ???? ++++=)3)(2(1 ) 2)(1(1 )(s s s s s G 解：（1） ?? ? ? ?? ++++++++=?)3)(2)(1(1 ) 3)(2)(1(3 )(21s s s s s s s s s G 说 明： 设传递函数矩阵为r m s G ?)(，在求其最小实现时，先初选一种实现（可控标准型实现或可观测标准型实现）。r 为输入变量的维数，m 为输出变量的维数。 初选规则是： （1）m r >时，先初选可观测标准型实现。 （2）m r <时，先初选可控标准型实现。
[]13) 3)(2)(1(1 +++++= s s s s s [][]{}13116 1161 2 3 ++++=s s s s 即 60=a ，111=a ，62=a []13 0=β，[]111=β，[]00 2=β 由21)()(??=s G s G r m ，2=r ，1=m ，m r >，故先选可观测标准型。 12100000=???????? ??---=m m m m m m m m m m o I a I I a I I a A ???? ? ?? ? ??---=61 01101 600 ??? ? ???? ??=??????????=00 11 13 210βββo B ，[][]10 001===m m m m o I C （2）检验可观测标准型实现∑),,(o o o C B A 是否可控。 [] ???? ? ?????------==53 1 1 11111311660013 2 o o o o o c B A B A B Q n rankQ c ==3，故∑),,(o o o C B A 可控可观测，∑),,(o o o C B A 为最小实现。 四、可控性、可观测性与传递函数矩阵的关系 定理4.12 ： SISO 系统可控且可观测的充分必要条件是：由动态方程导出的传递函数不存在零极点对消（即传递函数不可约）。 SISO 系统可控的充分必要条件是：b A sI 1 )(--不存在零极点对消。 SISO 系统可观测的充分必要条件是：1 )(--A sI c 不存在零极点对消。 【例4.9.5】试分析下列系统的可控性、可观测性与传递函数的关系。 （1）u x x ?? ????+???? ??-=105.15 .210 ，[]x y 15.2=
实验六 连续时间系统的零极点分析 实验目的： 1、学会用Matlab 求解系统函数的零极点； 2、学会用Matlab 分析系统函数的极点分布与系统稳定性的关系。 实验原理： 1、系统零极点绘制 系统函数H(s)通常是一个有理分式，其分子和分母均为多项式。利用Matlab 中的roots 函数，可以求出分子和分母多项式的根，即可计算出H(s)的零极点。 例如：多项式542)(24+++=s s s s N 的根可以由下列语句求出： N ＝[1 0 2 4 5]；r=roots(N)； 求出零极点后以零极点的实部和虚部作图，即可得出零极点的分布图。例如：执行zs=roots(b)；ps=roots(a)；（b ，a 分别为分子分母多项式系数向量），再执行plot(real(zs),imag(zs),’o’,real(ps),imag(ps),’x’,’markersize’,12);就能够画出系统的零极点分布图。 绘制系统零极点的分布图再Matlab 中还有一种更加简便的方法，即利用函数pzmap ，调用形式为： pzmap(sys) 它表示画出由sys 所描述的系统的零极点分布图。利用sys ＝tf(b,a)来构建系统模型，这在实验2中已经介绍过，b,a 分别为系统函数H(s)的分子分母多项式系数向量。 2、 系统函数的零极点与系统的稳定性 根据信号与线性系统中的知识我们知道：当系统函数的极点全部位于s 平面的左平面时，系统是稳定的。在绘制好系统零极点分布图后，就可以根据这个知识点判断系统的稳定性。 注意：在绘制系统零极点分布图时，可以适当变换坐标的显示范围，来达到增强零极点分布图可读性的效果。 实验内容： 一、用两种方法绘制如下系统函数的零极点分布图，并且判断系统是否稳定。
第四章 线性系统的可控性和可观性 §4-1 问题的提出 经典控制理论中用传递函数描述系统的输入—输出特性，输出量即被控量，只要系统是因果系统并且是稳定的，输出量便可以受控，且输出量总是可以被测量的，因而不需要提出可控性和可观性的概念。 现代控制理论是建立在用状态空间法描述系统的基础上的。状态方程描述输入)(t u 引起状态)(t x 的变化过程；输出方程描述由状态变化所引起的输出)(t y 的变化。可控性和可观性正是定性地分别描述输入)(t u 对状态)(t x 的控制能力，输出)(t y 对状态)(t x 的反映能力。它们分别回答： “输入能否控制状态的变化”——可控性 “状态的变化能否由输出反映出来”——可观性 可控性和可观性是卡尔曼（Kalman ）在1960年首先提出来的。可控性和可观性的概念在现代控制理论中无论是理论上还是实践上都是非常重要的。例如：在最优控制问题中，其任务是寻找输入)(t u ，使状态达到预期的轨线。就定常系统而言，如果系统的状态不受控于输入)(t u ，当然就无法实现最优控制。另外，为了改善系统的品质，在工程上常用状态变量作为反馈信息。可是状态)(t x 的值通常是难以测取的，往往需要从测量到的)(t y 中估计出状态)(t x ；如果输出)(t y 不能完全反映系统的状态)(t x ，那么就无法实现对状态的估计。 状态空间表达式是对系统的一种完全的描述。判别系统的可控性和可观性的主要依据就是状态空间表达式。 【例如】 （1）u x x ?? ? ???+??????=202001 []x y 01= 分析：上述动态方程写成方程组形式：?? ? ??=+==1221122x y u x x x x 从状态方程来看，输入u 不能控制状态变量1x ，所以状态变量1x 是不可控的；从输出方程看，输出y 不能反映状态变量2x ，所以状态变量2x 是不能观测的。 即状态变量1x 不可控、可观测；状态变量2x 可控、不可观测。
实验三 连续时间系统的模拟 一、 实验目的 学习根据给定的连续系统的传输函数，用基本运算单元组成模拟装置。 二、 实验原理 1． 线性系统的模拟 系统的模拟就是用基本运算单元组成的模拟装置来模拟实际的系统。这些实际的系统可以是电的或非电的物理量系统，也可以是社会、经济和军事等非物理量系统。模拟装置可以与实际系统的内容完全不同，但是两者之间的微分方程完全相同，输入输出关系即传输函数也完全相同。模拟装置的激励和响应是电物理量，而实际系统的激励和响应不一定是电物理量，但它们之间的关系是一一对应的。所以，可以通过对模拟装置的研究来分析实际系统，最终达到在一定条件下确定最佳参数的目的。对于那些用数学手段较难处理的高阶系统来说，系统模拟就更为有效。 2． 传输函数的模拟 若已知实际系统的传输函数为： 10111()()()n n n n n n a s a s a Y s H s F s s b s b --+++==+++ （1） 分子、分母同乘以n s -得： 11011111() ()()()1() n n n n a a s a s P s Y s H s F s b s b s Q s ------+++=== +++ （2） 式中1()P s -和1()Q s -分别代表分子、分母的s 负幂次方多项式。因此： 111 ()()()() Y s P s F s Q s --=? （3） 令：11 ()() X F s Q s -= （4） 则111()()n n F s XQ s X b s X b s X ---==++ + （5） 1 1()n n X F s b s X b s X --??=-+ +?? (6) 1101()()n n Y s P s X a X a s X a s X ---==+++ (7) 根据式（6）可以画出如图1所示的模拟框图。在该图的基础上考虑式（7）就可以画出如图2所示系统模拟框图。在连接模拟电路时，1s -用积分器，1b -、2b -、3b -及0a 、1a 、2a 均用标量乘法器，负号可用倒相器，求和用加法器。值得注意的问题是，积分运算单元有积分 时间常数τ，即积分运算单元的实际传递函数为1/s τ-，所示标量乘法器的标量12,, ,n b b b ---应分别乘以12,, ,n τττ。同理，01,, ,n a a a 应分别乘以012,,, ,n ττττ。此外， 本实验采用的积分器是反相积分器，即传递函数为1/s τ--，所以01,,,n a a a 还应分别乘以
第三章 线性系统的可控性与可观性
§1 可控、可观测性的概念 §2 线性系统的可控性 §3 线性系统的可观测性
c
e a e a
§4 线性系统的可控与可观测标准型
t
y c
第三章 线性系统的可控性与可观性
§1 可控、可观测性的概念 §2 线性系统的可控性 §3 线性系统的可观测性
c
§4 线性系统的可控与可观测标准型
t
y c
1
c
u1 u2 up
e a
M
系 统
M
x1 , x2 ,L, xn
y1 y2 yq
可控 ——系统所有状态变量都可以由
输入来影响和控制？
可观 ——系统所有状态变量都可以由
输出完全反映？
t
y c
1960年，美籍匈牙利人 R.E.Kalman 发表 “On the General Theory of Control Systems”等 论文，引入状态空间法分析系统，提出可控性、 可观测性、最佳调节器和 kalman 滤波等概念， 奠定了现代控制理论的基础。
c
e a
t
y c
2
例：已知系统的动态方程：
& ? x1 ? ? 4 0 ? ? x1 ? ?1 ? ? x ? = ? 0 ? 5? ? x ? + ? 2 ? u ?? 2 ? ? ? ? &2 ? ? ?x ? y = [0 ? 6]? 1 ? ? x2 ?
c
L
& x1 = 4 x1 + u
& x2 = ?5 x2 + 2u
e a e a
iL
R
u 可以控制 x1、x2 ， 系统完全可控！ y 无法反映 x1，
y = ?6 x2
系统不完全可观！
系统可控、不可观测！
t
y c
例：已知桥式电路
选取 x1 = iL , x2 = uC
R R
u
c
C
y = x2 = uC
若 x2 (t0 ) = uC (t0 ) = 0 则 x2 (t ) ≡ 0, t ≥ t0
R
uC
u 只能控制 x1，不能控制 x2
x2 不可控！
y = x2 ≡ 0 不能由 y 反映 x1的变化
系统不可控、不可观测！
t
x1 不可观测！
y c
3
《现代控制理论》MOOC课程 1.5 离散时间系统、时变系统和非线性系统的状态空间表达式
一. 时间离散系统 离散系统的状态空间表达式可用差分方程组表示为 x(k +1)=Gx(k)+Hu (k)y k =Cx k +Du(k) 二. 线性时变系统 其系数矩阵的元素中至少有一个元素是时间t 的函数； 线性时变系统的状态空间表达式为： x =A t x +A t u y=C t x +D t u
三. 非线性系统 x =f (x,u , t ） y=g (x,u,t) 1.非线性时变系统的状态空间表达式 式中，f ，g 为函数向量； x =f (x,u ） y=g (x,u) 2.非线性定常系统的状态空间表达式 当非线性系统的状态方程中不显含时间t 时，则称为非线性定常系统
3.非线性系统的线性化 x =f (x,u ） y =g (x,u) 设是非线性系统x 0，u 0的一个平衡状态, 即。 f (x 0,u 0)=0 , y 0= g (x 0,u 0)若只考虑附近小范围的行为，则可将非线性系统取一次近似而予以线性化。x 0，u 0，y 0将非线性函数f 、g 在附近作泰勒级数展开，并忽略高次项，仅保留一次项： x 0，u 0f x,u =f x 0,u 0 +?ef ex x 0,u 0δx +?ef eu x 0,u 0δu g x,u =g x 0,u 0+?eg ex x 0,u 0δx +?eg eu x 0,u 0 δu
则非线性系统的一次线性化方程可表示为：δx =x ?x 0=?ef ex x 0,u 0δx +?ef eu x 0,u 0δu δy =y ?y 0=?eg ex x 0,u 0δx +?eg eu x 0,u 0 δu 将微增量用符号表示，线性化状态方程就表示为： δx ，δu ，δy ?x ，?u ，?y ?x =A ?x +B ?u ?y =C ?x +D ?u 其中,A =?ef ex x 0,u 0,B =?ef eu x 0,u 0,?C =eg ex x 0,u 0,D =?eg eu x 0,u 0
第一题： 1. num=[1,0]; den=[1,32,60]; p=roots(den); z=roots(num); plot(real(p),imag(p),'*');hold on; plot(real(z),imag(z),'o');grid on 稳定 -30-25-20-15-10-50 2. num=[1,0]; den=[1,32,60]; T=0:0.1:3; y1=impulse(num,den,T); y2=step(num,den,T); U=sin(T); y3=lsim(num,den,U,T); subplot(1,1,1);plot(T,y1);title('脉冲响应');grid on;
-2-1.5-1-0.500.51 1.52 2.53 第二题： 1. num=[1,0]; den=[1,32,60]; T=0:0.1:3; y1=impulse(num,den,T); y2=step(num,den,T); U=sin(T); y3=lsim(num,den,U,T); subplot(1,1,1);plot(T,y1);title('脉冲响应');grid on;
00.51 1.52 2.53-0.20 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 2. num=[1,0]; den=[1,-1,-6]; T=0:0.1:3; y1=impulse(num,den,T); y2=step(num,den,T); U=sin(T); y3=lsim(num,den,U,T); subplot(1,1,1);plot(T,y1);title('脉冲响应');grid on;
通信信道的随机线性控制 Sekhar Tatikonda 会员IEEE Anant Sahai, 会员IEEE Sanjoy Mitter 终身会员IEEE 摘要我们研究线性随机控制系统时，有一个通信信道连接传感器到控制器。问题由信道编码器和解码器以及控制器满足某些给定的控制目标的设计。特别是，我们检查的作用传播对经典的线性二次高斯问题。我们给的条件下，估计和控制之间的持有和确定性等价控制律优化经典的分离性能。然后我们提出了连续的率失真框架。我们目前所能达到的性能界限和显示控制和通信成本之间固有的权衡。特别是，我们证明了最优二次型成本分解为两个方面：一个完整的知识成本与顺序的率失真成本。 指数条款确定性等价控制，通信约束的网络控制，顺序，分离，率失真，线性随机系统。 一、引言 最近的技术进步已经引导网络控制系统的设计活动的增加。在本文中，我们研究一个随机控制问题，那里是一个通信信道连接传感器到控制器。这个问题出现时，控制器和设备，在地理位置上是分离的，有一个带限和可能是嘈杂的通信信道连接。此外，出现时，控制器和设备之间没有大的地理分离的通信约束，但有一个共享的通信介质，被用在在同一地区的其他用户，或作为更大的系统的一部分。虽然我们不明确地检查每一本文的网络问题，我们认为，通信约束的作用，一个基本的了解，将是一个更完整的网络控制理论的本质。 我们考虑的系统是由一个设备，一个编码器，信道，解码器，和一个控制器。设备和信道是直接给我们的。我们的任务是设计的编码器，解码器，控制器，以满足某些给定的控制目标。因为我们有一个分布式信息系统模式的选择，[ 26 ]，可以有显着的影响控制性能是可以实现的。我们讨论了在编码器的信息模式的选择上需要实现控制目标的通信要求的影响。尤其是，我们研究的对象，传播对经典的线性二次高斯（LQG）问题。为此我们提出的顺序的率失真（SRD）框架。我们得到的边界上所能达到的性能和显示控制和通信成本之间固有的权衡。特别是，我们将最优LQG成本分解为两个方面：一个完整的知识成本与顺序的率失真成本。 手稿收到2003年6月4日；2003年12月19日修订。由客座编辑P. antsaklis和J. Baillieul推荐。这项工作是由美国陆军研究办公室在穆里格兰特：传感器数据融合在大的daad19-00-1-0466阵列，并由国防部在穆里格兰特：协同控制subaward复杂自适应网络03-132。 S. Tatikonda，美国耶鲁大学，纽黑文，CT 06520 USA（电子邮件：ekhar.tatikonda@https://www.doczj.com/doc/268240126.html,）。 A. Sahai ，加利福尼亚大学伯克利分校，CA 94720 USA。 S. Mitter，美国麻省理工大学，剑桥，MA 02139 USA。 数字对象标识符10.1109/tac.2004.834430。 有两个经典的概念，在本文中我们研究的分离。第一个概念是状态估计和控制之间的控制理论的分离。我们目前的条件下，确保确定性等价控制律的最优性。这些工作是建立在Bar-Shalom and Tse [3]的基础上。第二个是信源编码和信道编码之间的信息理论的分离。特别是，在长时间的延迟的限制下，它是已知的可以不失一般性的，设计的信源编码器和信道编码器分别[ 11 ]。这种分离是众所周知的应用广泛，[ 25 ]，但是，在一般情况下，失败的短期延迟和不稳定的过程。在大量的延迟限制下，[ 18 ]表明不稳定过程的估计可以适当修改分离定理，但这个信息理论的结果并不延伸到有限的延迟的情况下。由于延迟是一个重要的问题，在控制中的应用我们不能用信息理论的分离效果，去解决我们的问题。处理这种延迟的问题，我们提出了连续的率失真框架首先介绍[ 13 ]和进一步发展[ 19] ，[ 20 ]，和[ 23 ]。
第二章 连续时间系统的时域分析 §2-1 引 言 线性连续时间系统的时域分析，就是一个建立和求解线性微分方程的过程。 一、建立数学模型 主要应用《电路分析》课程中建立在KCL 和KVL 基础上的各种方法。 线性时不变系统的微分方程的一般形式可以为： )()(...)()()()(...)()(0111101111t e b t e dt d b t e dt d b t e dt d b t r a t r dt d a t r dt d a t r dt d m m m m m m n n n n n ++++=++++------ 二、求解（时域解） 1、时域法 将响应分为通解和特解两部分： 1） 通解：通过方程左边部分对应的特征方程所得 到的特征频率，解得的系统的自然响应（或自由响应）； 2） 特解：由激励项得到系统的受迫响应；
3）代入初始条件，确定通解和特解中的待定系数。 经典解法在激励信号形式简单时求解比较简单，但是激励信号形式比较复杂时求解就不容易，这时候很难确定特解的形式。 2、卷积法（或近代时域法，算子法） 这种方法将响应分为两个部分，分别求解： 1）零输入响应：系统在没有输入激励的情况下，仅仅由系统的初始状态引起的响应 r )(t ； zi 2）零状态响应: 状态为零（没有初始储能）的条件下，仅仅由输入信号引起的响应 r )(t 。 zs ●系统的零输入响应可以用经典法求解，在其中 只有自然响应部分； ●系统的零状态响应也可以用经典法求解，但是 用卷积积分法更加方便。借助于计算机数值计算，可以求出任意信号激励下的响应（数值解）。 ●卷积法要求激励信号是一个有始信号，否则无
§4-5 线性定常连续系统的可观测性 一、可观测性的定义 定义4.4（可观测性定义）： 设线性定常连续系统的状态方程和输出方程为Bu Ax x += ，cx y =，如果对于任 一给定的输入)(t u ，存在一有限观测时间0t t f >，使得在],[0f t t 期间测量到的)(t y ，能唯一地确定系统的初始状态)(0t x ，则称此状态是可观测的。若系统的每一个状态都是可观测的，则称系统是状态完全可观测的，简称系统是可观测的。 二、线性定常连续系统可观测性的判别准则 定理4.6：（可观测性判别准则Ⅰ） 线性定常连续系统Bu Ax x += ，cx y =，其状态完全可观测的充分必要条件是： 由A 、C 构成的可观测性判别矩阵 ????? ? ??? ???=-1n o cA cA c Q 满秩，即 n r a n k Q o = 【例4.5.1】判别可观测性 （1）u x x ?? ? ???+??????-=110154 ，[]x y 11-= （2）u x x ??????-+??????--=1131 12 ，x y ?? ? ???-=0101 （3）u x x ?? ????+???? ??=1110 01 ，[]x y 11= 说明： 在定义中之所以把可观测性规定为对初始状态的确定，这是因为一旦确定了初始状态，便可根据给定输入，利用状态方程的解 ? -+-=t t d Bu t t x t t t x 0 )()()()()(00τττφφ 就可以求出各个瞬间状态。
解：（1）?? ? ???--=???? ??=5511 cA c Q o ，21<=o rankQ ，故系统是不可观测的。 （2）????? ???? ???---=??? ???=1212 101cA c Q o ，22==o rankQ ，故系统是可观测的。 （3）?? ? ???=??????=1111 cA c Q o ，21<=o rankQ ，故系统是不可观测的。 定理4.7：（可观测性判别准则Ⅱ） 设线性定常连续系统Bu Ax x += ，cx y =，A 阵具有互不相同的特征值，则其状态完全可观测的充分必要条件是系统经非奇异变换后的对角标准型 u B x x n +??? ? ? ?? ???=λλ0 01 ， x c y = 中的矩阵c 中不含元素全为零的列。 【例4.5.2】判别可观测性 （1）u x x ?? ? ? ? ?????+??????????=10030 020001 ，[]x y 23 5= 解：系统可观测。 （2）u x x ?? ? ? ? ?????+??????????=10030 020001 ，[]x y 03 5= 解：系统不可观测。 定理4.8：（可观测性判别准则 Ⅲ） 设线性定常连续系统Bu Ax x += ，cx y =，A 阵具有重特征值，且每一个特征值只对
《非线性与离散系统》课程教学大纲 Nonlinear and Discrete Control System 课程编号：2000492 学时数：32 适用专业：电气工程及其自动化学分数：2学分 执笔者：王艳邱瑞昌编写日期：2002.5 一、课程的性质和目的 课程性质：非线性离散控制系统是电气工程及其自动化专业的技术基础选修课之一。 主要目的：培养学生 １、掌握非线性控制系统、离散控制系统的分析方法； ２、学会使用非线性环节改善系统的动态性能及用离散系统的理论分析数字系统； ３、掌握典型非线性环节及采样系统的实验方法，获得实验技能的基本训练。 4．了解非线性控制系统和离散控制系统的发展方向。 二、课程教学内容 第一章非线性控制系统 内容：理解非线性控制系统的基本概念及其与线性控制系统的区别，掌握非线性控制系统的两种分析方法 描述函数法和相平面法；学会利用非线性特性改善系统的动态性能。了解如何运用计算机对非线性系统进行辅助分析和设计。 重点：描述函数法、相平面法。 难点：运用两种分析法分析非线性系统。 作业：9个。 自学内容：典型环节描述函数的求取，（自学不占课时，但要考试）。自学前给出求取描述函数的一般方法，自学后布置作业检验自学效果。 课堂讨论：如何利用非线性特性改善控制系统的动态性能。 实验环节：非线性控制系统的综合与校正、采样控制系统设计实验。 第二章线性离散控制系统 理解采样过程的数学描述，掌握采样定理，会确定采样周期；掌握信号如何恢复和保持，会运用Ｚ变换求取系统的脉冲传递函数；会分析线性离散系统的稳定性；学会运用时域分析法分析离散系统；了解数字控制器的模拟化和数字化的设计方法。 重点：采样定理、信号的采样和保持、Ｚ变换、脉冲传递函数、离散系统的稳定性。 难点：采样过程、离散系统的稳定性、数字控制器的设计。 作业：8个。 自学内容：Z变换与Z的反变换，（自学不占课时，但要考试）。自学前对内容作简要介绍，自学后布置作业检验自学效果。 课堂讨论：数字控制器的设计方法。 实验环节：采样控制系统的校正 三、课程教学的基本要求 本课程的教学环节包括：自学、课堂讲授、自制多媒体电子课件、习题课、课外作业、实验。通过本课程各个教学环节的教学，重点培养学生的自学能力、动手能力、分析问题和解决问题的能力。 （一）课堂讲授 1、教学方法： 采用启发式教学，鼓励学生自学，培养学生的自学能力；精选教学内容，精讲多练；思考题和课外作业为主，调动学生学习的主动性。
实验三 连续时间系统的时域分析 一 实验目的： 1、熟悉和掌握常用的用于信号与系统时域分析的MATLAB 函数； 2、掌握如何利用Matlab 软件求解一个线性时不变连续时间系统的零状态 响 应、冲激响应和阶跃响应。 二 实验原理： 在信号与线性系统中，LTI(线性时不变)连续时间系统以常系数微分方程描述，系统的零状态响应可以通过求解初始状态为零的微分方程得到。在Matlab 中，控制系统工具箱提供了一个用于求解零初始条件微分方程数值解的函数lsim ，其调用形式为： ),,(t f sys lsim y = 式中，t 表示计算系统响应的抽样点向量，f 是系统输入信号向量（即激励），sys 是LTI 系统模型，用来表示微分方程。在求解微分方程时，微分方程的LTI 系统模型sys 要借助Matlab 中的tf 函数来获得，其调用形式为： ),(a b tf sys = 式中，b 和a 分别为微分方程右端和左端各项的系数向量。例如对于三阶微分方程： )()()()()()()()(01230123t f b t f b t f b t f b t y a t y a t y a t y a +'+''+'''=+'+''+''' 可以用以下命令： b=[b3,b2,b1,b0]; a=[a3,a2,a1,a0]; sys=tf(b, a); 来获得LTI 模型。 系统的LTI 模型建立后，就可以求出系统的冲激响应和阶跃响应。在连续时 间LTI 中，冲击响应和阶跃响应是系统特性的描述。输入为单位冲击函数)(t δ所引起的零状态响应称为单位冲击响应，简称冲击响应，用)(t h 表示；输入为单位阶跃函数)(t ε所引起的零状态响应称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，用)(t u 表示。求解系统的冲激响应的函数是impulse ，求解系统的阶跃响应可以利用函数
连续时间非线性控制系统的采样镇定控制器的设计——基于近似离 散化模型上的方法 【摘要】：工程实践中遇到的动态系统通常是连续时间系统，与此相反，大多数复杂系统的反馈控制却是通过观察采样点上的系统行为来进行控制的，结果所得到的反馈控制系统是个混合系统，它含有连续信号和离散信号，这样的系统称之为采样系统，当今连续受控系统中数字控制器的广泛运用促进了对采样系统的研究，已有的线性采样系统理论显然不能满足处理非线性采样系统的需要，因此近年来非线性采样系统的分析与设计已经成为国际控制论界的持续的研究热点之一。利用计算机等一类离散控制装置来控制连续时间的受控对象时，都会遇到把连续时间系统化为等价的离散时间系统的问题，通过采样器和保持器来实现离散时间的采样控制，对于非线性连续受控系统，由于连续系统的时间离散化后一般得不到其等价的精确离散化模型表示的有限形式，实际上由其近似离散化模型代替来设计控制器，而近似会引起信号失真，那么基于近似离散化模型上设计的采样控制器，它是否同样对原连续受控系统有效?这是一个理论上需要认真研究的问题，1998年以来，A．Teel，D．Nesic等最先研究这样一类非线性控制系统的镇定问题，他们在采样间隔充分小的条件下，给出了各类以实用稳定方式的可镇定充分条件，通常对于实际控制器而言，其执行机构的工作响应频率是有限制的，控制器的采样周期不可能任意小，而在工业控制实践中，往往给定采样周期，然后进行控制器设
计，这是许多采样系统所面临的情况，因此当采样周期固定条件下的这样一类基本问题仍然没有解决，郑毓蕃教授首先研究了采样间隔固定条件下非线性采样系统的镇定问题，他用连续原型的方法研究了指数稳定类型的镇定问题，PKokotovic在2001年的国际自动化(Automatica[13])杂志上也提出这样的问题，本文在采样周期固定的条件下，研究基于近似离散化模型上设计的镇定采样控制器控制其连续受控系统的各类镇定问题，我们采用精确离散化模型与连续受控系统之间的镇定关系加上研究该精确离散化模型和近似离散化模型之间的镇定关系这样的技术路线，前者处理的方法与线性采样系统的理论有相似之处，因为精确离散化模型的状态在采样点上与连续受控系统的状态一致，而后者可纳入离散系统研究的轨道，唯一的区别是离散化模型是个含参数T的离散系统，利用离散李雅普诺夫函数直接方法，给出了关于参数了一致的指数稳定，渐近稳定以及输入到状态稳定概念并研究它们的各类镇定问题的充分条件，以及讨论相应的设计问题，全文包括以下几个部分：第一部分：对于基于近似离散化模型上设计控制器的非线性采样系统问题产生的背景，研究现状和发展前景作一个大概的回顾，并且对解决问题所采用的方法给出基本的框架，并提出了保证本文方法有效的2个基本假设。第二部分：含参数离散时间动力系统的李雅普诺夫函数理论是我们问题研究的数学基础，特别是含参数离散李雅普诺大逆定理的现代处理至关重要，它是相关的扰动分析的理论根基，为了研究的需要，我们用K类函数刻划含参数离散动力系统的各种稳定性，并且得到了相应稳定性的等价
现代控制理论试题 一、 名词解释（15分） 1、 能控性 2、能观性 3、系统的最小实现 4、渐近稳定性 二、 简答题（15分） 1、连续时间线性时不变系统（线性定常连续系统）做线性变换时不改变系统的那些性质？ 2、如何判断线性定常系统的能控性？如何判断线性定常系统的能观性？ 3、传递函数矩阵 的最小实现A 、B 、C 和D 的充要条件是什么？ 4、对于线性定常系统能够任意配置极点的充要条件是什么？ 5、线性定常连续系统状态观测器的存在条件是什么？ 三、 计算题（70分） 1、RC 无源网络如图1所示，试列写出其状态方程和输出方程。其中，为系统的输入，选两端的电压为状态变量 , 两端的电压为状态变量 ,电压 为为系统的输出 y 。 2、计算下列状态空间描述的传递函数 g(s) 3、 求出下列连续时间线性是不变系统的时间离散化状态方程： 其中，采样周期为T=2. 4、 求取下列各连续时间线性时不变系统的状态变量解 和 图1：RC 无源网络
5、确定是下列连续时间线性时不变系统联合完全能控和完全能观测得待定参数a的 取值范围： 6、对下列连续时间非线性时不变系统，判断原点平衡状态即是否为大范围渐近 稳定： 7、给定一个单输入单输出连续时间线性时不变系统的传递函数为 试确定一个状态反馈矩阵K，使闭环极点配置为,和。 现代控制理论试题答案 一、概念题 1、何为系统的能控性和能观性？ 答：（1）对于线性定常连续系统，若存在一分段连续控制向量u(t)，能在有限时间区间[t0,t1]内将系统从初始状态x(t0)转移到任意终端状态x(t1)，那么就称此状态是能控的。 （2）对于线性定常系统，在任意给定的输入u(t)下，能够根据输出量y(t)在有限时间区间[t0,t1]内的测量值，唯一地确定系统在t0时刻的初始状态x(t0 )，就称系统在t0时刻是能观测的。若在任意初始时刻系统都能观测，则称系统是状态完全能观测的，简称能观测的。 2、何为系统的最小实现？ 答：由传递函数矩阵或相应的脉冲响应来建立系统的状态空间表达式的工作，称为实现问题。在所有可能的实现中，维数最小的实现称为最小实现。 3、何为系统的渐近稳定性？
8.4线性系统的可控性和可观测性 8.4.1可控性和可观测性的概念 第三节介绍了系统的稳定性，本节接着介绍系统另外两个重要特性，即系统的可控性和可观测性，这两个特性是经典控制理论所没有的。在用传递函数描述的经典控制系统中，输出量一般是可控的和可以被测量的，因而不需要特别地提及可控性及可观测性的概念。现 代控制理论用状态方程和输出方程描述系统，输出和输入构成系统的外部变量，而状态为系 统的内部变量，系统就好比是一块集成电路芯片，内部结构可能十分复杂，物理量很多，而 外部只有少数几个引脚，对电路内部物理量的控制和观测都只能通过这为数不多的几个引脚进行。这就存在着系统内的所有状态是否都受输入控制和所有状态是否都可以从输出反映出来的问题，这就是可控性和可观测性问题。如果系统所有状态变量的运动都可以通过有限的控制点的输入来使其由任意的初态达到任意设定的终态，则称系统是可控的，更确切的说是 状态可控的；否则，就称系统是不完全可控的，简称为系统不可控。相应地，如果系统所有的状态变量任意形式的运动均可由有限测量点的输出完全确定出来，则称系统是可观测的，简称为系统可观测；反之，则称系统是不完全可观测的，简称为系统不可观测。 可控性与可观测性的概念，是用状态空间描述系统引伸出来的新概念，在现代控制理论 中起着重要的作用。可控性、可观测性与稳定性是现代控制系统的三大基本特性。 下面举几个例子直观地说明系统的可控性和可观测性。 (a) (b) (c) 图8-20 电路系统可控性和可观测性的直观判别 对图8-20所示的结构图，其中图（a）显见洛受U的控制，但X2与U无关，故系统不可控。系统输出量丫=捲，但X!是受X2影响的，y能间接获得X2的信息，故系统是可观测的。图（b）中的，X2均受u的控制，故系统可控，但y与X2无关，故系统不可观测。图 （c）中的X i、X2均受u的控制，且在y中均能观测到X i、X2，故系统是可控可观测的。 只有少数简单的系统可以从结构图或信号流图直接判别系统的可控性与可观测性，如果系统结构复杂，就只能借助于数学方法进行分析与研究，才能得到正确的结论。
§4-5 线性定常连续系统的可观测性 一、可观测性的定义 定义4.4（可观测性定义）： 设线性定常连续系统的状态方程和输出方程为Bu Ax x += ，cx y =，如果对于任 一给定的输入)(t u ，存在一有限观测时间0t t f >，使得在],[0f t t 期间测量到的)(t y ，能唯一地确定系统的初始状态)(0t x ，则称此状态是可观测的。若系统的每一个状态都是可观测的，则称系统是状态完全可观测的，简称系统是可观测的。 二、线性定常连续系统可观测性的判别准则 定理4.6：（可观测性判别准则Ⅰ） 线性定常连续系统Bu Ax x += ，cx y =，其状态完全可观测的充分必要条件是： 由A 、C 构成的可观测性判别矩阵 ????? ? ??? ???=-1n o cA cA c Q 满秩，即 n r a n k Q o = 【例4.5.1】判别可观测性 （1）u x x ?? ? ???+??????-=1101 54 ，[]x y 11-= （2）u x x ??????-+???? ??--=113112 ，x y ?? ? ???-=0101 说明： 在定义中之所以把可观测性规定为对初始状态的确定，这是因为一旦确定了初始状态，便可根据给定输入，利用状态方程的解 ? -+-=t t d Bu t t x t t t x 0 )()()()()(00τττφφ 就可以求出各个瞬间状态。
（3）u x x ?? ? ???+??????=1110 01 ，[]x y 11= 解：（1）?? ? ? ??--=??????=55 11 cA c Q o ，21<=o rankQ ，故系统是不可观测的。 （2）????? ???? ???---=??? ???=12 12 101cA c Q o ，22==o rankQ ，故系统是可观测的。 （3）?? ? ? ??=??????=11 11 cA c Q o ，21<=o rankQ ，故系统是不可观测的。 定理4.7：（可观测性判别准则Ⅱ） 设线性定常连续系统Bu Ax x += ，cx y =，A 阵具有互不相同的特征值，则其状态完全可观测的充分必要条件是系统经非奇异变换后的对角标准型 u B x x n +??? ? ? ?? ???=λλ0 01 ， x c y = 中的矩阵c 中不含元素全为零的列。 【例4.5.2】判别可观测性 （1）u x x ?? ? ? ? ?????+??????????=10030 020001 ，[]x y 23 5= 解：系统可观测。 （2）u x x ?? ? ? ? ?????+??????????=10030 020001 ，[]x y 03 5= 解：系统不可观测。
实验六--连续时间系统的零极点分析
实验六 连续时间系统的零极点分析 实验目的： 1、学会用Matlab 求解系统函数的零极点； 2、学会用Matlab 分析系统函数的极点分布与系统稳定性的关系。 实验原理： 1、系统零极点绘制 系统函数H(s)通常是一个有理分式，其分子和分母均为多项式。利用Matlab 中的roots 函数，可以求出分子和分母多项式的根，即可计算出H(s)的零极点。 例如：多项式542)(24+++=s s s s N 的根可以由下列语句求出： N ＝[1 0 2 4 5]；r=roots(N)； 求出零极点后以零极点的实部和虚部作图，即可得出零极点的分布图。例如：执行zs=roots(b)；ps=roots(a)；（b ，a 分别为分子分母多项式系数向量），再执行plot(real(zs),imag(zs),’o’,real(ps),imag(ps),’x’,’markersize’,12);就能够画出系统的零极点分布图。 绘制系统零极点的分布图再Matlab 中还有一种更加简便的方法，即利用函数pzmap ，调用形式为： pzmap(sys) 它表示画出由sys 所描述的系统的零极点分布图。利用sys ＝tf(b,a)来构建系统模型，这在实验2中已经介绍过，b,a 分别为系统函数H(s)的分子分母多项式系数向量。 2、 系统函数的零极点与系统的稳定性 根据信号与线性系统中的知识我们知道：当系统函数的极点全部位于s 平面的左平面时，系统是稳定的。在绘制好系统零极点分布图后，就可以根据这个知识点判断系统的稳定性。 注意：在绘制系统零极点分布图时，可以适当变换坐标的显示范围，来达到增强零极点分布图可读性的效果。 实验内容： 一、用两种方法绘制如下系统函数的零极点分布图，并且判断系统是否稳定。