解直角三角形自测题锐角三角形与解直角三角形
【知识过关】
C．AC=1.2tan10°米 D．AB=米
5．（2016?黑龙江大庆）一艘轮船在小岛A的北偏东60°方向距小岛80海里的B处，沿正西方向航行3小时后到达小岛的北偏西45°的C处，则该船行驶的速度为海里/小时．
专题一：锐角三角函数实际应用
【例1】（10分）（2015o永州）如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点80米处有一所学校A．当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心50米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大．若一直重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为18千米/时．
（1）求对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离；
（2）求卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间．
【练习】
【例2】如图是一座人行天桥的引桥部分的示意图，上桥通道由两段互相平行并且与地面成37°角的楼梯AD、 BE和一段水平平台DE构成。已知天桥高度BC≈4.8米，引桥水平跨度AC=8米。
（1）求水平平台DE的长度；
（2）若与地面垂直的平台立枉MN的高度为3米，求两段楼梯AD与BE的长度之比。 (参考数据：取sin37°=0.60，cos37°=0.80，tan37°=0.75)
【练习】
1.（2015o北海,第24题12分）如图，A为某旅游景区的最佳观景点，游客可从B处乘坐缆车先到达小观景平台DE观景，然后再由E处继续乘坐缆车到达A处，返程时从A处乘坐升降电梯直接到达C处，已知：AC⊥BC于C，DE∥BC，BC=110米，DE=9米，BD=60米，α=32°，β=68°，求AC的高度．（参考数据：sin32°≈0.53；cos32°≈0.85；tan32°≈0.62；sin68°≈0.93；cos68°≈0.37；tan68°≈
2.48）
2.（8分）（2015o岳阳）如图是放在水平地面上的一把椅子的侧面图，椅子高为AC，椅面宽
为BE，椅脚高为ED，且AC⊥BE，AC⊥CD，AC∥ED．从点A测得点D、E的俯角分别为64°和53°．已知ED=35cm，求椅子高AC约为多少？
（参考数据：tan53°≈，sin53°≈，tan64°≈2，sin64°≈）
专题二：锐角三角函数与图形综合
【练习】
1.（本题10分）如图，在中，是的直径，与交于点．点在上，连接，，连接并延长交于点，．
（1）求证：△ADE∽△AEC；
【练习】
2．（2016?湖北十堰）如图1，AB为半圆O的直径，D为BA的延长线上一点，DC为半圆O的切线，切点为C．
（1）求证：∠ACD=∠B；
（2）如图2，∠BDC的平分线分别交AC，BC于点E，F；
①求tan∠CFE的值；②若AC=3，BC=4，求CE的长．
【例3】（2016o泸州）如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD．
（1）求证：CD2=CAoCB；
（2）求证：CD是⊙O的切线；
【练习】
1.（2016?湖北鄂州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90?，AO是△ABC的角平分线。以O为圆心，OC为半径作⊙O。
（1）（3分）求证：AB是⊙O的切线。
（2）（3分）已知AO交⊙O于点E，延长AO交⊙O于
点D， tanD＝，求的值。
【练习】
1．（2016o呼和浩特）如图，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，
延长DA交△ABC的外接圆于点F，连接FB，FC．
（1）求证：∠FBC=∠FCB；
（2）已知FAoFD=12，若AB是△ABC外接圆的直径，FA=2，求CD的长．【练习】
中考解直角三角形 考点一、直角三角形的性质 1、直角三角形的两个锐角互余：可表示如下：∠C=90°?∠A+∠B=90° 2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 4、勾股定理： 如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2 ＋b 2 ＝c 2 . 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 A B C a b c 弦股 勾 勾：直角三角形较短的直角边 股：直角三角形较长的直角边 弦：斜边 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 有下面关系：a 2 ＋b 2 ＝c 2 ，那么这个三角形是直角三角形。 考点二、直角三角形的判定 1、有一个角是直角的三角形是直角三角形、有两个角互余的三角形是直角三角形 2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a 2 +b 2 =c 2 ，那么这个三角形是直角三角形。（经典直角三角形：勾三、股四、弦五） 用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是： （1）确定最大边（不妨设为c ）； （2）若c 2 ＝a 2 ＋b 2 ，则△ABC 是以∠C 为直角的三角形； 若a 2 ＋b 2 ＜c 2 ，则此三角形为钝角三角形（其中c 为最大边）； 若a 2 ＋b 2 ＞c 2 ，则此三角形为锐角三角形（其中c 为最大边） 4. 勾股定理的作用： （1）已知直角三角形的两边求第三边。 （2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。 （3）用于证明线段平方关系的问题。 （4）利用勾股定理，作出长为n 的线段 考点三、锐角三角函数的概念 1、如图，在△ABC 中，∠C=90° ①锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记为sinA ，即c a sin =∠= 斜边的对边A A ②锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记为cosA ，即c b cos =∠= 斜边的邻边A A ③锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记为tanA ，即b a tan = ∠∠= 的邻边的对边A A A
解直角三角形练习题 一、 真空题： 1、 在Rt △ABC 中，∠B ＝900，AB ＝3，BC ＝4，则sinA= 2、 在Rt △ABC 中，∠C ＝900，AB ＝,35cm BC cm = 则SinA= cosA= 3、 Rt △ABC 中，∠C ＝900，SinA=5 4 ,AB=10,则BC ＝ 4、α是锐角，若sin α=cos150,则α＝ 若sin53018\=0.8018，则cos36042\= 5、 ∠B 为锐角，且2cosB －1＝0则∠B ＝ 6、在△ABC 中，∠C ＝900，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝9，b ＝12，则sinA= sinB= 7、 Rt △ABC 中，∠C ＝900，tanA=0.5,则cotA= 8、 在Rt △ABC 中，∠C ＝900，若b a 32=则tanA= 9．等腰三角形中，腰长为5cm ，底边长8cm ，则它的底角的正切值是 10、若∠A 为锐角，且tan 2A+2tanA －3＝0则∠A ＝ 11、Rt △ABC 中，∠A ＝600，c=8，则a ＝ ，b ＝ 12、在△ABC 中，若32=c ,b ＝3，则tanB= ,面积S ＝ 13、在△ABC 中，AC ：BC ＝1：3，AB ＝6，∠B ＝ ，AC ＝ BC ＝ 14、在△ABC 中，∠B ＝900，AC 边上的中线BD ＝5，AB ＝8，则tanACB=
二、选择题 1、在Rt △ABC 中，各边的长度都扩大2倍，那么锐角A 的正弦、余弦值 （ ） A 、都扩大2倍 B 、都扩大4倍 C 、没有变化 D 、都缩小一半 2、若∠A 为锐角，且cotA ＜3，则∠A （ ） A 、小于300 B 、大于300 C 、大于450且小于600 D 、大于600 3、在Rt △ABC 中，已知a 边及∠A ，则斜边应为 （ ） A 、asinA B 、 A a sin C 、acosA D 、A a cos 4、等腰三角形底边与底边上的高的比是2：3，则顶角为（ ） A 、600 B 、900 C 、1200 D 、1500 5、在△ABC 中，A ，B 为锐角，且有sinA ＝cosB ，则这个三角形是（ ） A 、等腰三角形 B 、直角三角形 C 、钝角三角形 D 、锐角三角形 6、有一个角是300的直角三角形，斜边为1cm ，则斜边上的高为（ ） A 、41cm B 、21cm C 、43cm D 、2 3 cm
课 题 解直角三角形 授课时间： 备课时间： 教学目标 1. 了解勾股定理 2. 了解三角函数的概念 3. 学会解直角三角形 重点、难点 三角函数的应用及解直角三角形 考点及考试要求 各考点 教学方法：讲授法 教学内容 （一）知识点（概念）梳理 考点一、直角三角形的性质 1、直角三角形的两个锐角互余 可表示如下：∠C=90°?∠A+∠B=90° 2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 ∠A=30° 可表示如下： ?BC= 2 1AB ∠C=90° 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ∠ACB=90° 可表示如下： ?CD=2 1 AB=BD=AD D 为AB 的中点 4、勾股定理 直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即2 2 2 c b a =+ 5、摄影定理 在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项 ∠ACB=90° BD AD CD ?=2 ? AB AD AC ?=2 CD ⊥AB AB BD BC ?=2 6、常用关系式 由三角形面积公式可得： AB ?CD=AC ?BC 7.图中角α可以看作是点A 的 角 也可看作是点B 的 角； （1）
9、（1）坡度（或坡比）是坡面的 铅直 高度（h ）和水平长度（l ）的比。 记作i,即i = l h ； （2）坡角——坡面与水平面的夹角。记作α，有i ＝l h =tan α （3）坡度与坡角的关系：坡度越大，坡角α就越 大 ，坡面就越 陡 考点二、直角三角形的判定 1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。 2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系2 2 2 c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。 考点三、锐角三角函数的概念 1、如图，在△ABC 中，∠C=90° ①锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记为sinA ，即 c a sin =∠= 斜边的对边A A ②锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记为cosA ，即 c b cos =∠= 斜边的邻边A A ③锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记为tanA ，即 b a tan =∠∠= 的邻边的对边A A A ④锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记为cotA ，即a b cot =∠∠=的对边的邻边A A A 2、锐角三角函数的概念 锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数 3、一些特殊角的三角函数值 三角函数 0° 30° 45° 60° 90° sinα 21 22 23 1 cos α 1 23 2 2 21 0 tan α 0 33 1 3 不存在 cot α 不存在 3 1 3 3 0 4、各锐角三角函数之间的关系 （1）互余关系 sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A) tanA=cot(90°—A)，cotA=tan(90°—A) （2）平方关系 1cos sin 22=+A A （3）倒数关系 tanA ?tan(90°—A)=1
第17讲 锐角三角函数（解直角三角形） ?【基础知识归纳】? ?归纳1. 锐角三角函数的定义：在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=c ，BC=a ，AC=b ， 则∠A 的正弦：sinA=∠A 的对边斜边= a c ； ∠A 的余弦：cosA=∠A 的邻边斜边= b c ∠A 的正切：tanA=∠A 的对边∠A 的邻边= a b ； 它们统称为∠A 的锐角三角函数 [注意] 锐角三角函数值只与角的大小有关，与 边的长度 无关. ?归纳2. 特殊角的三角函数值 sin30°= 1 2 ； cos30°； tan30° sin45°= 2； cos45°= 2 ； tan45°= 1 sin60°； cos60°= 1 2 ； tan60° ?归纳3. 解直角三角形 (1) 定义：在直角三角形中，除直角外，共有5个元素，即 3 条边和 2 个锐角． 由这些元素中的一些已知元素，求出其它未知元素的过程叫做 解直角三角形 (2) 常用关系：在Rt △ABC 中，∠C=90°，则： ①三边关系(勾股定理)：22a b += 2c ②两锐角关系(互余)：∠A ＋∠B= 90° ③边与角关系：锐角三角函数 ?归纳4.解直角三角形的应用中的专业名词 (1)仰角和俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线 上方 的叫仰角．．， 视线在水平线 下方 的叫俯角．． (2)坡度和坡角 坡度: 坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i =h l 坡角: 坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作a ：i=tana (3)方向角(或方位角): 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角 ?【常考题型剖析】?
初三解直角三角形练习题 一、 真空题： 1、 在Rt △ABC 中，∠B ＝900，AB ＝3，BC ＝4，则sinA= 2、 在Rt △ABC 中，∠C ＝900，AB ＝,35cm BC cm = 则SinA= cosA= 3、 Rt △ABC 中，∠C ＝900，SinA=5 4 ,AB=10,则BC ＝ 4、α是锐角，若sin α=cos150,则α＝ 若sin53018\=0.8018，则cos36042\= 5、 ∠B 为锐角，且2cosB －1＝0则∠B ＝ 6、在△ABC 中，∠C ＝900，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝9，b ＝12，则sinA= sinB= 7、 Rt △ABC 中，∠C ＝900，tanA=0.5,则cotA= 8、 在Rt △ABC 中，∠C ＝900，若b a 32=则tanA= 9．等腰三角形中，腰长为5cm ，底边长8cm ，则它的底角的正切值是 10、若∠A 为锐角，且tan 2A+2tanA －3＝0则∠A ＝ 11、Rt △ABC 中，∠A ＝600，c=8，则a ＝ ，b ＝ 12、在△ABC 中，若32=c ,b ＝3，则tanB= ,面积S ＝ 13、在△ABC 中，AC ：BC ＝1：3，AB ＝6，∠B ＝ ，AC ＝ BC ＝ 14、在△ABC 中，∠B ＝900，AC 边上的中线BD ＝5，AB ＝8，则tanACB= 二、选择题
1、在Rt △ABC 中，各边的长度都扩大2倍，那么锐角A 的正弦、余弦值 （ ） A 、都扩大2倍 B 、都扩大4倍 C 、没有变化 D 、都缩小一半 2、若∠A 为锐角，且cotA ＜3，则∠A （ ） A 、小于300 B 、大于300 C 、大于450且小于600 D 、大于600 3、在Rt △ABC 中，已知a 边及∠A ，则斜边应为 （ ） A 、asinA B 、 A a sin C 、acosA D 、A a cos 4、等腰三角形底边与底边上的高的比是2：3，则顶角为（ ） A 、600 B 、900 C 、1200 D 、1500 5、在△ABC 中，A ，B 为锐角，且有sinA ＝cosB ，则这个三角形是（ ）A 、等腰三角形 B 、直角三角形 C 、钝角三角形 D 、锐角三角形 6、有一个角是300的直角三角形，斜边为1cm ，则斜边上的高为（ ） A 、41cm B 、21cm C 、43cm D 、2 3 cm 三、求下列各式的值 1、sin 2600+cos 2600 2、sin600－2sin300cos300 3. sin300－cos 2450 4. 2cos450+|32 |
2018 中考解直角三角形真题
解直角三角形 参考答案与试题解析 一．选择题（共9 小题） 1．（2018?孝感）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，则sinA 等于（） 分析】先根据勾股定理求得BC=6，再由正弦函数的定义求解可得．解答】解：在Rt△ ABC中，∵ AB=10、AC=8， ∴ BC= = =6， ∴sinA= = = 故选：A． 2．（2018?绵阳）一艘在南北航线上的测量船，于 A 点处测得海岛B在点A的南偏东30°方向，继续向南航行30 海里到达C点时，测得海岛B在C点的北偏东15°方向，那么海岛B离此航线的最近距离是（）（结果保留小数点后两位）（参考数据：≈1.732 ，≈ 1.414 ）A．4.64 海里B． 5.49 海里C． 6.12 海里D．6.21 海里 【分析】根据题意画出图形，结合图形知∠ BAC=3°0 、∠ ACB=1°5 ，作 BD⊥AC于点D，以点B为顶点、BC为边，在△ ABC内部作∠ CBE=∠ACB=1°5 ，设BD=x，则AB=BE=CE=、2xAD=DE= x，据此得出AC=2 x+2x，根据题意列出方程，求解可得． 【解答】解：如图所示，
由题意知，∠ BAC=3°0 、∠ ACB=1°5 ， 作BD⊥AC于点D，以点B为顶点、BC为边，在△ ABC内部作∠ CBE=∠ACB=1°5 ，则∠BED=3°0 ，BE=CE，
设BD=x， 则AB=BE=CE=2，x AD=DE= x ， ∴ AC=AD+DE+CE=2x+2x，∵AC=30， ∴ 2 x+2x=30， 解得：x= ≈5.49 ， 故选：B． 3．（2018?重庆）如图，旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上，旗杆与地面垂直，在教学楼底部 E 点处测得旗杆顶端的仰角∠ AED=5°8 ，升旗台底部到教学楼底部的距离DE=7 米，升旗台坡面CD的坡度i=1 ：0.75 ，坡长CD=2米，若旗杆底部到坡面CD的水平距离BC=1 米，则旗杆AB的高度约为（）（参考数据：sin58 °≈ 0.85 ，cos58°≈ 0.53 ，tan58 °≈ 1.6） A．12.6 米B．13.1 米C．14.7 米D．16.3 米 【分析】如图延长AB交ED的延长线于M，作CJ⊥ DM于J．则四边形BMJC是矩形．在Rt△ CDJ 中求出CJ、DJ，再根据，tan ∠AEM= 构建方程即可解决问题；【解答】解：如图延长AB交ED的延长线于M，作CJ⊥DM于J．则四边形BMJC 是矩形． 在Rt△ CJD ，设CJ=4k， DJ=3k， 22 则有9k2+16k2=4，
解直角三角形50题 一、选择题： 1.如图,在两建筑物之间有一旗杆,高15米,从A点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C点,且俯角α为60°,又从A点测得D点的俯角β为30°,若旗杆底端G为BC的中点,则矮建筑物的高CD为( ) A.20米 B.10 米 C.15 米 D.5 米 2.若一个三角形三个内角度数的比为1:2:3,那么这个三角形最小角的正切值为（） A. B. C. D. 3.如图，点A、B、O是正方形网格上的三个格点，⊙O的半径为OA，点P是优弧AmB上的一点，则cos∠APB的值是（） A.45° B.1 C. D.无法确定 4.如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为A，关于∠A的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是（） A.sinA的值越大，梯子越陡 B.cosA的值越大，梯子越陡 C.tanA的值越小，梯子越陡 D.陡缓程度与∠A的函数值无关 5.当锐角α>30°时，则cosα的值是（） A.大于 B.小于 C.大于 D.小于 6.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=60°,那么sinA+cosB的值为（） A.1 B. C. D. 7.如图,长4m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°,为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45°，则调整后的楼梯AC的长为（） A.2m B.2m C.(2﹣2)m D.(2﹣2)m
8.如图，有一轮船在A处测得南偏东30°方向上有一小岛P，轮船沿正南方向航行至B处，测得小岛P在南偏东45°方向上，按原方向再航行10海里至C处，测得小岛P在正东方向上，则A，B之间的距离是( ) A.10海里 B.(10－10)海里 C.10海里 D.(10－10)海里 9.在Rt△ABC中，∠C=90°，若tanA=，则sinA=（） A. B. C. D. 10.一座楼梯的示意图如图,BC是铅垂线,CA是水平线，BA与CA的夹角为θ.现要在楼梯上铺一条地毯,已知CA=4米,楼梯宽度1米,则地毯的面积至少需要（） A.米2 B.米2 C.（4+）米2 D.（4+4tanθ）米2 11.已知∠A为锐角，且sinA≤0.5，则（） Ａ.0°≤A≤60° B.60°≤A ＜90° C.0°＜A ≤30° D.30°≤A≤90° 12.如图,已知∠α的一边在x轴上,另一边经过点A（2,4）,顶点为（﹣1,0）,则sinα的值是（） A.0.4 B. C.0.6 D.0.8 13.如图,轮船沿正南方向以30海里/时的速度匀速航行,在M处观测到灯塔P在西偏南68°方向上,航行2小时后到达N处,观测灯塔P在西偏南46°方向上,若该船继续向南航行至离灯塔最近位置，则此时轮船离灯塔的距离约为（由科学计算器得到sin68°=0.9272，sin46°=0.7193，sin22°=0.3746，sin44°=0.6947）（） A.22.48 B.41.68 C.43.16 D.55.63 14.2sin60°的值等于（） A.1 B. C. D.
解直角三角形单元测试题 一、选择题： 1、在△ABC中，若三边BC、CA、AB满足 BC:CA:AB=5:12:13，则sinA的值是( ) A. B. C. D. 2、已知∠A为锐角，且sinA≤，则（） A.0°≤A≤60° B.60°≤A ＜90° C.0°＜A ≤30° D.30°≤A≤90° 3、在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，那么sinA+cosB的值为（） A.1 B. C. D. 4、已知在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanB的值为（） A． B． C． D． 5、如图，点A、B、O是正方形网格上的三个格点，⊙O的半径为OA，点P是优弧上 的一点，则cos∠APB的值是（） A．45° B．1 C． D．无法确定 6、如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到 △AC′B′，则tanB′的值为（） A． B． C． D． 7、如图，已知在△ABC中，cosA=，BE、CF分别是AC、AB边上的高，联结EF，那 么△AEF和△ABC的周长比为（） A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：9 8、如图，小敏同学想测量一棵大树的高度.她站在B处仰望树顶,测得仰角为30°,再往大 树的方向前进4 m，测得仰角为60°.已知小敏同学身高(AB)为1.6 m,则这棵树的高 度约为(结果精确到0.1 m,≈1.73)( ) A．3.5 m B．3.6 m C．4.3 m D．5.1 m 9、如图，有一轮船在A处测得南偏东30°方向上有一小岛P，轮船沿正南方向航行至B处， 测得小岛P在南偏东45°方向上，按原方向再航行10海里至C处，测得小岛P在正东方向 上，则A，B之间的距离是( ) A．10海里 B．(10－10)海里 C．10海里 D．(10－10)海里
解直角三角形 一、选择题 1、如图，已知正方形ABCD 的边长为2，如果将线段BD 绕着点B 旋转后，点D 落在CB 的延长线上的D ′处，那么tan ∠BAD ′等于（ ） (A)．1 (B)．2 (C)．22 (D)．22 2、如果α是锐角，且54 cos =α，那么αsin 的值是（ ）． （A ）259 （B ） 54 （C ）53 （D ）2516 3、等腰三角形底边长为10㎝，周长为36cm ，那么底角的余弦等于（ ）． （A ）513 （B ）12 13 （C ）1013 （D ）5 12 4、. 以下不能构成三角形三边长的数组是 ( ) （A ）（1，3，2） （B ）（3，4，5） （C ）（3，4，5） （D ）（32，42，52） 5、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，下列式子中正确的是（ ）． （A ）B A sin sin = （B ）B A cos sin = （C ）B A tan tan = （D ）B A cot cot = 6、在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于E ，设∠ADE=α，且53 cos =α, AB = 4, 则AD 的长为（ ）． （A ）3 （B ）316 （C ）320 （D ）516 7、某市在“旧城改造”中计划在一 块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美 化环境，已知这种草皮每平方米a 元，则购买这种草皮至少要（ ）． （A ）450a 元 （B ）225a 元 （C ）150a 元 （D ）300a 元 8、已知α为锐角，tan （90°－α）=3，则α的度数为（ ） （A ）30° （B ）45° （C ）60° （D ）75° 9、在△ABC 中，∠C =90°，BC =5，AB =13，则sin A 的值是( ) （A ）135 （B ）1312 （C ）125 （D ）512 10、如果∠a 是等边三角形的一个内角，那么cos a 的值等于（ ）．
《解直角三角形》复习及中考题型练习 一、直角三角形的性质 1、直角三角形的两个锐角互余 几何表示：∵∠C=90°∴∠A+∠B=90° 2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 几何表示：∵∠C=90°∠A=30°∴BC=2 1 AB 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 几何表示：∵∠ACB=90° D 为AB 的中点 ∴ CD=2 1AB=BD=AD 4、勾股定理：222c b a =+ 5、射影定理：在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的射影和斜边的比例中项。 即：∵∠ACB=90°CD ⊥AB ∴ BD AD CD ?=2 AB AD AC ?=2 AB BD BC ?=2 6、等积法：直角三角形中，两直角边之积等于斜边乘以斜边上的高。（a b c h ?=?） 由上图可得：AB ?CD=AC ?BC 二、锐角三角函数的概念 如图，在△ABC 中，∠C=90° c a sin =∠= 斜边的对边A A c b cos =∠= 斜边的邻边A A b a tan =∠∠= 的邻边的对边A A A 锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数 锐角三角函数的取值范围：0≤sin α≤1，0≤cos α≤1，tan α≥0， 三、特殊角的三角函数值（熟记） 四、 解直角三角形 在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。 三种基本关系：1:、边边关系：2 2 2 a b c += 2、角角关系：∠A+∠B=90° 3、边角关系：即四种锐角三角函数 类型 已知条件 解法 两边 两直角边a 、b 2 2 c a b =+，tan a A b = ，90B A ∠=?-∠ 直角边a ，斜边c 22 b c a =-，sin a A c =，90B A ∠=?-∠ 一边 一锐角 直角边a ，锐角A 90B A ∠=?-∠，cot b a A =，sin a c A = 斜边c ，锐角A 90B A ∠=?-∠，sin a c A =g ，cos b c A =g 五、对实际问题的处理 （1）俯、仰角. （2）方位角、象限角. （3）坡角（是斜面与水平面的夹角）、坡度（是坡角的正切值）. 仰角 俯角 北 东 南 α h L i i=h/L=tg α A C B D
课题解直角三角形模型 教学目标 1. 熟悉特殊的三角函数，理解三角函数表示的意义，学会利用三角函数求线段长度和角度； 2. 学会解决常考的解直角三角形题型。 重难点学会解决常考的解直角三角形题型 导案学案 教学流程 一、进门考（建议不超过10分钟） 1.（2017?绍兴）如图，学校的实验楼对面是一幢教学楼，小敏在实验楼的窗口C测得教学楼 顶部D的仰角为18°，教学楼底部B的俯角为20°，量得实验楼与教学楼之间的距离AB=30m． （1）求∠BCD的度数． （2）求教学楼的高BD．（结果精确到0.1m，参考数据：tan20°≈0.36，tan18°≈0.32） 二、基础知识网络总结与巩固 知识回顾：三角函数中常用的特殊函数值。 函数名0°30°45°60°90° sinα0 1 cosα 1 0 tanα0 无穷大 cotα无穷大 1 0
1.解直角三角形的定义： 在直角三角形中，除直角外，共有5个元素，即3条边和2个锐角．由这些元素中的一些已知元素，求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。 2.解直角三角形的常用关系： 在Rt △ABC 中，∠C=90°，则： ①三边关系：a 2＋b 2= c 2 ； ②两锐角关系：∠A ＋∠B= 90°； ③边与角关系：sin A=cos B= a c ，cos A=sin B= b c ，tan A=a b ； ④平方关系：1cos sin 2 2 =+A A ⑥倒数关系：tan A ?tan(90°—A)=1 ⑦弦切关系：tan A= A A cos sin 3.解直角三角形的两种基本类型————①已知两边长； ②已知一锐角和一边。 注意：已知两锐角不能解直角三角形。 4.解非直角三角形的方法： 对于非直角三角形，往往要通过作辅助线构造直角三角形来解，作辅助线的一般思路是： ①作垂线构成直角三角形； ②利用图形本身的性质，如等腰三角形顶角平分线垂直于底边。 5.常见的几种图形辅助线： 三、重难点例题启发与方法总结 类型一 背靠背 例1.（2017?恩施州）如图，小明家在学校O 的北偏东60°方向，距离学校80米的A 处，小华家在学校O 的南偏东45°方向的B 处，小华家在小明家的正南方向，求小华家到学校的距离．（结果精确到1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）
解直角三角形练习题1 一. 选择题：（每小题2分，共20分） 1. 在△EFG 中，∠G=90°，EG=6，EF=10，则tanE=（ ） A. 43 B. 34 C. 53 D. 3 5 2. 在△ABC 中，∠A=105°，∠B=45°，tanC 的值是（ ） A. 2 1 B. 33 C. 1 D. 3 3. 在△ABC 中，若2 2cos =A ，3tan =B ，则这个三角形一定是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角 形 D. 等腰三角形 4. 如图18，在△EFG 中，∠EFG=90°，FH ⊥EG ，下面等式中，错误的是（ ） A. EG EF G = sin B. EF EH G = sin C. FG GH G = sin D. FG FH G = sin 5. sin65°与cos26°之间的关系为（ ） A. sin65°
解直角三角形 本章知识结构梳理 一、锐角三角函数 1、梯子越陡——倾斜角＿＿＿＿＿ 倾斜角越大——铅直高度与梯子的比＿＿＿＿＿ 倾斜角越大——水平宽度与梯子的比＿＿＿＿＿ 倾斜角越大——铅直高度与水平宽度的比＿＿＿＿ 2、直角三角形AB 1C 1 和直角三角形ABC 有什么关系? 边之间的关系呢？ 3、三角函数定义： 注意：sinA ，cosA ，tanA 都是一个完整的符号，单独的sin ，cos ，tan 是没有意义的，其中A 前面的“∠”一般省略不写 例1、把Rt △ABC 各边的长度都扩大3倍得Rt △A ′B ′C ′，那么锐角A ，A ′的余弦值的关系为（ ） A ．cosA=cosA ′ B ．cosA=3cosA ′ C ．3cosA=cosA ′ D ．不能确定 例2、在△ABC 中，∠C=90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ，b ，c ，则下列各项中正确的是（ ） A ．a=c ·sin B B ．a=c ·cosB C ．a=c ·tanB D ．以上均不正确 例3、在Rt △ABC 中，∠C=90°，cosA= 23 ，则tanB 等于（ ） 锐角三角函数 1锐角三角函数的定义 ⑴、正弦； ⑵、余弦； ⑶、正切。 2、30°、45°、60°特殊角的三角函数值。 3、各锐角三角函数间关系 ⑴、定义； ⑵、直角三角形的依据 ⑶、解直角三角形的应用。 ①、三边间关系； ②、锐角间关系； ③、边角间关系。
A ． 35 B ．3 C ．2 5 D ． 2 例4、已知：α是锐角，tan α= 7 24 ，则sin α=_____，cos α=_______． 4、取值范围：0＜sinA ＜1，0＜cosA ＜1，tanA ＞0 解直角三角形的知识在生活和生产中有广泛的应用，如在测量高度、距离、角度，确定方案时常用到解直角三角形。解这类题关键是把实际问题转化为数学问题，常通过作辅助线构造直角三角形来解决。 坡度（坡比） 方向角度 俯角仰角 例6、如图，在四边形ABCD 中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC=2，CD=3，求AB ?的值． 例7、如图，∠C=90°，∠DBC=30°，AB=BD ，根据此图求tan15°的值．
《解直角三角形》 一、选择题：（满分24分） 1．在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，则tan A 的值是（ ） A ．45 B ．35 C ．43 D ．34 2. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝ ，则sin B 的值为（ ） A ． B ．513 C ． D ． 3. 已知0°＜α＜90°，则m ＝sin α＋cos α的值（ ） A ．m ＞1 B ．m ＝1 C ．m ＜1 D ．m ≥1 4.在ABC △中，若23sin (1tan )02 A B -+-=，则C ∠的度数是（ ） A ．45? B ． 60? C ．75? D ．105? 5. 如果直线2y x =与x 轴正半轴的夹角为α，那么下列结论正确的是（ ） A. sin 2α= B. cos 2α= C. tan 2α= D. 1tan 2 α= 6.如图，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若△ABC 的三个顶点在图中相应的格点上，则tan ∠ACB 的值为（ ） A ．13 B ．12 C ．22 D ．3 7. 如图，坡角为30的斜坡上两树间的水平距离AC 为2m ，则坡面距离AB 为（ ） Ａ．4m 3 43 Ｄ．43 8. 如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD ，坝顶宽10米，坝高12米，斜坡AB 的坡度1:1.5i =，则坝底AD 的长度为( )
A ．26米 B ．28米 C ．30米 D ．46米 第6题图 第7题图 第8题图 二、填空题：（每小题3分，共24分） 9. 在Rt △ABC 中,∠C ＝90o，BC ＝5，AB ＝13，sin A ＝_________. 10.计算：=?+0030cos 60tan 45sin 2 ＝ ． 11.如图，在地面上的点A 处测得树顶B 的仰角为α度，AC ＝7米，则树高BC 为 米（用含α的代数式表示）． 12．如图，小明爬一土坡，他从A 处爬到B 处所走的直线距离AB ＝4米，此时，他离地面高度为h ＝2米，则这个土坡的坡角∠A ＝ ． 13．在一次夏令营活动中，小明同学从营地A 出发，要到A 地的北偏东60°方向的C 处，他先沿正东方向走了200米到达B 地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C (如图)，那么，由此可知，B C 、两地相距 米. 第11题图 第12题图 第13题图 14．一架梯子AB 斜靠在墙上，若梯子底端到墙的距离是AC ＝3米，且3cos 4BAC ∠=，则梯子AB 的长度为 米. 15.如图，在△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝45°，AC ＝ ，则AB 的长为 ． 16.如图，在半径为5的⊙O 中，弦AB ＝6，点C 是优弧 上一点（不与A ，B 重合），那么cos C ∠的值是 . 第15题图 第16题图 三、解答题（本大题共8个小题，满分52分）： 17. （本题4分）计算：00(32)4sin 60223-+-- 18.（本题4分） 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8．若∠BPC ＝12 ∠BAC ，试求tan ∠BPC 的值． 19.（本题6分）如图，某数学兴趣小组想测量一棵树CD 的高度，他们先在点A 处测得树顶C 的仰角为30°，然后沿AD 方向前行10m ，到达B 点，在B 处测得树顶C 的仰角高度为60° （A 、B 、D 三点在同一直线上）．请你根据他们测量数据计算这棵树CD 的高度（结果精确到0.1m ）．（参考数据：≈1.414，≈1.732） 20.（本题6分）如图，在Rt ?ABC 中，∠ACB ＝90°，D 是AB 的中点，过D 点作AB 的垂线交AC 于点E ，BC ＝6，5 3sin =A ，求DE. ＡＢ
解直角三角形自测题锐角三角形与解直角三角形 【知识过关】 C．AC=1.2tan10°米 D．AB=米 5．（2016?黑龙江大庆）一艘轮船在小岛A的北偏东60°方向距小岛80海里的B处，沿正西方向航行3小时后到达小岛的北偏西45°的C处，则该船行驶的速度为海里/小时． 专题一：锐角三角函数实际应用 【例1】（10分）（2015o永州）如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点80米处有一所学校A．当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心50米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大．若一直重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为18千米/时． （1）求对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离； （2）求卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间． 【练习】 【例2】如图是一座人行天桥的引桥部分的示意图，上桥通道由两段互相平行并且与地面成37°角的楼梯AD、 BE和一段水平平台DE构成。已知天桥高度BC≈4.8米，引桥水平跨度AC=8米。 （1）求水平平台DE的长度； （2）若与地面垂直的平台立枉MN的高度为3米，求两段楼梯AD与BE的长度之比。 (参考数据：取sin37°=0.60，cos37°=0.80，tan37°=0.75) 【练习】 1.（2015o北海,第24题12分）如图，A为某旅游景区的最佳观景点，游客可从B处乘坐缆车先到达小观景平台DE观景，然后再由E处继续乘坐缆车到达A处，返程时从A处乘坐升降电梯直接到达C处，已知：AC⊥BC于C，DE∥BC，BC=110米，DE=9米，BD=60米，α=32°，β=68°，求AC的高度．（参考数据：sin32°≈0.53；cos32°≈0.85；tan32°≈0.62；sin68°≈0.93；cos68°≈0.37；tan68°≈ 2.48） 2.（8分）（2015o岳阳）如图是放在水平地面上的一把椅子的侧面图，椅子高为AC，椅面宽
2019中考试题分类——解直角三角形 注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！ 1.〔2018江苏苏州，26，8分〕如图，斜坡AB 长60米，坡角〔即∠BAC 〕为30°，BC ⊥AC ， 现计划在斜坡中点D 处挖去部分坡体〔用阴影表示〕修建一个平行于水平线CA 的平台DE 和一条新的斜坡BE .〔请将下面2小题的结果都精确到0.1米，参考数据〕. ⑴假设修建的斜坡BE 的坡角(即∠BAC )不大于45°,那么平台DE 的长最多为▲米； ⑵一座建筑物GH 距离坡脚A 点27米远〔即AG=27米〕，小明在D 点测得建筑物顶部H 的仰角(即 ∠HDM )为30°.点B 、C 、A 、G 、H 在同一个平面上，点C 、A 、G 在同一条直线上，且HG ⊥CG ，问建筑物GH 高为多少米？ 30°30°H M G D E F C B A 【答案】解：⑴11.0〔10.9也对〕. ⑵过点D 作DP ⊥AC ，垂足为P . 在Rt △DPA 中，，. 在矩形DPGM 中，，. 在Rt △DMH 中，. ∴. 答：建筑物GH 高为45.6米. 2、如图5，一天，我国一渔政船航行到A 处时，发现正东方 向的我领海区域B 处有一可疑渔船，正在以12海里∕小时的 速度向西北方向航行，我渔政船立即沿北偏东60o方向航行， 1.5小时后，在我领海区域的C 处截获可疑渔船。问我渔政船 的航行路程是多少海里？(结果保留根号) 知识点考察：①解直角三角形，②点到直线的距离，③两角 互 余的关系④方向角，⑤特殊角的三角函数值。 能力考察：①作垂线，②逻辑思维能力，③运算能力。 分析：自C 点作AB 的垂线，垂足为D ，构建Rt △ACD ，
《解直角三角形》典型例题 例1 在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=60°，a=4，解这个三角形． 分析 本题实际上是要求∠A 、b 、c 的值．可根据直角三角形中各元素间的关系解决． 解 （1） ； （2）由a b B = tan ，知 ； （3）由c a B = cos ，知860cos 4 cos =? == B a c ． 说明 此题还可用其他方法求b 和c ． 例 2在Rt △ABC 中, ∠C=90°，∠A=30°，3=b ,解这个三角形． 解法一 ∵ ∴ 设 ,则 由勾股定理,得 ∴ ． ∴ ． 解法二 13 3 330tan =? =?=b a 说明 本题考查含特殊角的直角三角形的解法,它可以用目前所学的解直角三角形的方法,也可以用以前学的性质解题． 例 3 设 中， 于D ，若 ，解三 角形ABC ．
分析“解三角形ABC”就是求出的全部未知元素．本题CD不是 的边，所以应先从Rt入手． 解在Rt中，有： 在Rt中，有 说明（1）应熟练使用三角函数基本关系式的变形，如： （2）平面几何中有关直角三角形的定理也可以结合使用，本例中 “”就是利用“对30°角的直角边等于斜边的一半”这一定理．事实上，还可以用面积公式求出AB的值： 所以解直角三角形问题，应开阔思路，运用多种工具． 例4在中，，求． 分析（1）求三角形的面积一方面可以根据面积公式求出底和底上的高的长，也可以根据其中规则面积的和或差； （2）不是直角三角形，可构造直角三角形求解．
解如图所示，作交CB的延长线于H，于是在Rt△ACH中，有 ，且有 ； 在中，，且 ， ∴； 于是，有 ， 则有 说明还可以这样求：
2017年中考试题权威汇编锐角三角函数 20. 如图，大楼AB右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE,在小楼的顶端D处测得障碍物 边缘点C的俯角为30°测得大楼顶端A的仰角为45°（点B, C, E在同一水平直线上），已知AB=80m , DE=10m，求障碍物B, C两点间的距离（结果精确到0.1m）（参考数据：?V.414,頁羽.732） 22.某中学广场上有旗杆如图1所示，在学习解直角三角形以后，数学兴趣小组测量了旗杆的高度. 如图2,某一时刻，旗杆AB的影子一部分落在平台上，另一部分落在斜坡上，测得落在平台上的影长BC为4米，落在斜坡上的影长CD为3米，AB丄BC,同一时刻，光线与水平面的夹角为72° 1米的竖立标杆PQ 在斜坡上的影长QR为2米，求旗杆的高度（结果精确到0.1 米）.（参考数据：sin72° 0^5, cos72°出31, tan72° 3-08) “一号龙卷风”给小岛o造成了较大的破坏，救灾部门迅速组织力量，从仓储处调集物资，计划先用汽车运到与D在同一直线上的C,B,A三个码头中的一处，再用货船运到小岛O.已知：OA 丄 AD , / ODA=1 5°, / OCA=30 °, / OBA =45 ° , CD=20km.若汽车行驶的速度为50km/ 时，货船航行的速度为25km/时，问这批物资在哪个码头装船，最早运抵小岛O?（在物资搬 运能力上每个码头工作效率相同；参考数据：、2 - 1.4; 3 -1.7） （第22题） 【考点】解直角三角形的应用. 口 口 口 口 □ 口 □ 口
22 .南海是我国的南大门，如图所示，某天我国一艘海监执法船在南海海域正在进行常态 化巡航，在A 处测得北偏东30。方向上，距离为20海里的B 处有一艘不明身份的船只正在 向正东方向航行，便迅速沿北偏东75。的方向前往监视巡查，经过一段时间后，在C 处成功 拦截不明船只，问我海监执法船在前往监视巡查的过程中行驶了多少海里（最后结果保留 整数）？ （参考数据：COS75 ° =0.2588 , sin75 °0.9659 , tan75 ° =3.732，忑= 1.732，忑=1.414 ） ）为了维护海洋权益，新组建的国家海洋局加大了在南海的巡逻力度。一天，我两艘海监船刚好在我某岛东 西海岸线上的A 、B 两处巡逻，同时发现一艘不明国籍的船只停在 C 处海域。如图所示，AB = 60 ...6「2 海里，在B 处测得C 在北偏东450的方向上，A 处测得C 在北偏西30o 的方向上，在海岸线 AB 上有 灯塔D ，测得AD = 120 、. 6 - . 2海里。 （1） （4分）分别求出 A 与C 及B 与C 的距离AC , BC （结果保留根号） （2） （5分）已知在灯塔 D 周围100海里范围内有暗礁群， 我在A 处海监船沿AC 前往C 处盘查，途中有无触礁 的危险？ （参考数据：、2 = 1.41, ,3 = 1.73, .6 = 2.45） 21. 如图，某建筑物 AC 顶部有一旗杆 AB ，且点A , B , C 在同一条直线上，小明在地面 D 处观测旗杆顶端 B 的仰角为30°然后他正对建筑物的方向前进了 20米到达地面的E 处，又测得旗杆顶端 B 的仰角为60° 已知建筑物的高度 AC=12m ，求旗杆AB 的高度（结果精确到 0.1米）.参考数据： 矶羽.73，占羽.41. 第21题图 C