一、是非题：
１． 函 数 ()x f 在 []b a , 上 连 续 ，且()()b f a f =，则 至 少 存 在 一 点
()b a ,∈ξ，使()0=ξ'f ．
错误 ∵不满足罗尔定理的条件。
２．若函数()x f 在0x 的某邻域内处处可微，且()00='x f ，则函数()x f 必在0x 处取得
极值．
错误 ∵驻点不一定是极值点，如：3
x y =，0=x 是其驻点，但不是极值点。 ３．若函数()x f 在0x 处取得极值，则曲线()x f y =在点()()00,x f x 处必有平 行 于x 轴
的切线．
错误 ∵曲线3
x y =在0=x 点有平行于x 轴的切线，但0=x 不是极值点。 ４．函数x x y sin +=在()+∞∞-,内无极值．
正确 ∵0cos 1≥+='x y ，函数x x y sin +=在()+∞∞-,内单调增，无极值。 ５．若函数()x f 在()b a ,内具有二阶导数，且()()0,0>''<'x f x f ，则曲线()x f y =在()b a ,内单调减少且是向上凹．
正确
二、填空：
１．设()x bx x a x f ++=2
ln （b a ,为常数）在2,121==x x 处有极值，则=a
（ 23-
），=b （ 16
- ）． ∵()12++='bx x
a
x f ，当2,121==x x 时，
012=++b a ，0142=++b a ，解之得6
1
,32-=-=b a
２．函数()()
1ln 2
+=x x f 的极值点是（ 0=x ）．
∵()x x
x f 211
2
?+=
'，令()0='x f ，得0=x 。又0>x ，()0>'x f ； 0 1ln 2 +=x x f 在0=x 取得极小值。 ３．曲线()x x x f -=3 的拐点是（ ()0,0 ）． ∵()122 -='x x f ，()x x f 4=''，令()0=''x f ，得0=x 。 又0>x ，()0>''x f ；0 的拐点是()0,0。 ４．曲线()x x f ln =的凸区间是（ ()+∞,0 ）． ∵()x x f 1= '，()21 x x f -=''，使()x f ''无意义的点为0=x 。 当0>x 时，()0<''x f ，∴曲线()x x f ln =的凸区间是()+∞,0。 ５．若21 2sin lim 0=-→x b e ax x ，则=a （ 1 ），=b （ 1 ）． ∵x b e ax x 2sin lim 0-→=-=→x b e ax x 2lim 021lim 210=-→x b e ax x ，即1lim 0=-→x b e ax x 又当0→x 时，1-x e ～x ，∴1,1==b a 。 三、选择填空： １．下列函数中，在区间[]1,1-上满足罗尔定理条件的是（ c ． ） a ．()x e x f = b ．()x x g ln = c ．()2 1x x h -= d ．()????? =≠=0 01sin x x x x x k ∵()x e x f =在端点的值不相等；()x x g ln =在区间[]1,1-上不连续； 对()????? =≠=0 01sin x x x x x k 在0=x 不可导； ()2 1x x h -=在区间[]1,1-上满足罗尔定理的条件。∴c 是正确的。 ２．罗尔定理的条件是其结论的（ a ． ） a ．充分条件 b ．必要条件 c ．充要条件 ３．函数()??? ??+∞ <<≤≤-=x x x x x f 11102 32在区间[]2,0上（ a ． ） a ．满足拉格朗日定理条件 b ．不满足拉格朗日定理条件 ∵12 3lim 201=--→x x ，11 lim 01=+→x x ，()()11lim 1f x f x ==→ ∴函数()x f 在1=x 连续，函数()x f 在[]2,0上连续。 ∵()()12311 1 2-=-=' ? ?? ? ??-='==-x x x x f ，()11111 21 -=??? ??-=' ? ? ? ??='==+x x x x f ∴函数()x f 在1=x 可导，函数()x f 在[]2,0上可导。 ∴函数()x f 在[]2,0上满足拉格朗日定理条件，因而a 是正确的。 ４．设()x f 在0x 有二阶导数，()00='x f ， ()00=''x f ，则()x f 在0x 处( a ． ) a ．不能确定有无极值 b ．有极大值 c ．有极小值 ５．设函数()x f 在()a ,0具有二阶导数，且()()0>'-''x f x f x ，则()x x f '在()a ,0内是（a ．） a ．单调增加的 b ．单调减少的 ∵()()()02>'-''=' ??? ???'x x f x f x x x f （∵()()0>'-''x f x f x ） ∴()x x f '在()a ,0内是单调增加的，因而a ．是正确的。 ６．函数()x f 的连续但不可导的点（ d ． ） a ．一定不是极值点 b ．一定是极值点 c ．一定不是拐点 d ．一定不是驻点 四、计算题： １．0 sin lim tan x x x x x →-- 解 22 2220000sin 1cos 122lim lim lim lim tan 1sec tan 2 x x x x x x x x x x x x x x →→→→--====----- 2．() x x e x x --→1cos 1lim 20 解 ()()()2220001cos sin lim lim lim 11x x x x x x x x x x x x e →→→-===-?-?-- ３．?? ? ??--→111 lim 0x x e x 解 ()2000001 11111lim lim lim lim lim 12221x x x x x x x x x x e x e x e x x e x x x x e →→→→→-----??-===== ?--? ? ４．x x x sin ln lim 0 → 解 22 000002 ln sin cot lim ln sin lim lim lim lim 011tan x x x x x x x x x x x x x x x →→→→→===-=-=- ５．1 1sin lim 2 -+→x x x x 解 原式 )) 222 1lim lim 12x x x x x →→→? +===+= ６．sin lim sin x x x x x →∞-+ 解 sin 1sin lim lim 1sin sin 1x x x x x x x x x x →∞→∞- -==++ ７．()???? ? ?-++→x x x x x 11ln lim 210 解 ()()112200ln 1ln 11lim lim x x x x x x x x x x ++→→??++--= ? ??? ()()()2 1ln 1ln 111lim lim 2x x x x x x x x →→++-++-== ()00ln 11lim lim 222 x x x x x x →→+=== ８．()201ln lim x x x +→ 解 ()2200ln 1lim lim x x x x x x →→+==∞ ９．()x x x +?+→1ln ln lim 0 解 ()000000002 1 ln lim ln ln 1lim ln lim lim 0 11 x x x x x x x x x x x x →+→+→+→+?+====- 10． 求函数()32 31x x y -?=的极值． 解 定义域为R 对函数两边取自然对数得（不妨设01x <<） 12 ln ln ln(1)33 y x x =+- 11233(1)y y x x '=+- 所以 123133(1)3(1)x y y x x x x ??-'=+==??--?? 令0y '=，得1 3 x =；0x =，1x =为不可导点 列表 所以极大值为1()3y =，极小值为(1)0y =． 11．若直角三角形的一直角边与斜线之和为常数，求有最大面积的直角三角形． 解 设两直角边分别为x 、y ，则面积1 2 S xy = （0,0x y >>） 设常数为c ．由c x =22 2c y x c -=． 所以22 4c y S y c -= ?（0y c <<） 2344c y S c '=-，令23044c y S c '=-= ，得y =，所以3c x = 驻点唯一，故当两直角边分别为 3c 12．求乘积为常数0a >，且其和为最小的两个正数． 解 设其中一正数为x 、则另一正数为a x ；设这两个正数之和为S ． a S x x =+（0x >） 21a S x '=- ，令0S '= ，得x = 13．设圆柱形有盖茶缸V 为常数，求表面积为最小时，底半径x 与高y 之比． 解 底半径为x ，则高y 为 2 V x π；设表面积为S ． 2 2 22222V V S x x x x x ππππ=+?=+ ； 2 24V S x x π'=- ，令 0S '= ，得x = 驻点唯一， 故当底半径x = ，高y = 导数及应用 《导数及其应用》单元测试卷 一、 选择题 1．已知物体的运动方程是 s 1 t 4 4t 3 16t 2 （ t 表示时间， s 表示位移），则瞬时速度为 4 0 的时刻是：（ ） A ． 0 秒、 2 秒或 4 秒 B ． 0 秒、 2 秒或 16 秒 C ． 2 秒、 8 秒或 16 秒 D ． 0 秒、 4 秒或 8 秒 2．下列求导运算正确的是（ ） A ． ( x 1 ) 1 1 B ． (log 2 x) 1 x x 2 x ln 2 C ． (3x ) 3x log 3 e D ． x 2 cos x 2sin x 3．曲线 y x 3 2x 4 在点 (13)， 处的切线的倾斜角为（ ） A ． 30° B ． 45° C ． 60° D ． 120° 4．函数 y=2x 3-3x 2-12x+5 在 [0,3] 上的最大值与最小值分别是（ ） A.5 , -15 B.5 , 4 C.-4 , -15 D.5 , -16 5．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶 路程 s 看作时间 t 的函数，其图像可能是（ ） s s s s O tO tO t O t A ． 1 B ． C ． D ． 6．设函数 f (x) 2x 1(x 0), 则 f ( x) （ ） x A ．有最大值 B ．有最小值 C ．是增函数 D ．是减函数 7．如果函数 y=f ( x ) 的图像如右图，那么导函数 y=f ( x ) 的图像可能是 （ ） 8．设 f ( x) x ln x ，若 f '(x 0 ) 2 ，则 x 0 （ ） A ． e 2 B ． e C ． ln 2 D ． ln 2 2 《导数及其应用》单元测试 一、填空题（本大题共14题，每小题5分，共计70 分） 1、函数()cos sin f x x x x =+的导数()f x '= ； 2、曲线2 4x y =在点(2,1)P 处的切线斜率k =_________ ___； 3、函数13)(2 3+-=x x x f 的单调减区间为_________ __ _____； 4、设()ln f x x x =，若0'()2f x =，则0x =__________ ______； 5、函数3 2 ()32f x x x =-+的极大值是___________； 6、曲线3 2 ()242f x x x x =--+在点(1,3)-处的切线方程是________________； 7、函数93)(2 3 -++=x ax x x f ，已知)(x f 在3-=x 时取得极值，则a =_______ __； 8、设曲线2 ax y =在点（1,a ）处的切线与直线062=--y x 平行,则=a ____________； 9、已知曲线3lnx 4x y 2-=的一条切线的斜率为2 1 ，则切点的横坐标为_____________； 10、曲线3 x y =在点(1,1)处的切线与x 轴、直线2=x 所围成的三角形的面积为 ； 11、已知函数3 ()128f x x x =-+在区间[3,3]-上的最大值与最小值分别为,M m ， 则M m -=___________； 12、设曲线ax y e =在点(01)，处的切线与直线210x y ++=垂直，则a = ； 13、已知函数)(x f x y '=的图像如右图所示（其中)(x f '是函数))(的导函数x f ， 下面四个图象中)(x f y =的图象大致是______ ______； ① ② 14、将边长为1的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形， 记2 (S =梯形的周长） 梯形的面积 ，则S 的最小值是___ ____。 一、是非题： １． 函 数 ()x f 在 []b a , 上 连 续 ，且()()b f a f =，则 至 少 存 在 一 点 ()b a ,∈ξ，使()0=ξ'f ． 错误 ∵不满足罗尔定理的条件。 ２．若函数()x f 在0x 的某邻域内处处可微，且()00='x f ，则函数()x f 必在0x 处取得 极值． 错误 ∵驻点不一定是极值点，如：3 x y =，0=x 是其驻点，但不是极值点。 ３．若函数()x f 在0x 处取得极值，则曲线()x f y =在点()()00,x f x 处必有平 行 于x 轴 的切线． 错误 ∵曲线3 x y =在0=x 点有平行于x 轴的切线，但0=x 不是极值点。 ４．函数x x y sin +=在()+∞∞-,内无极值． 正确 ∵0cos 1≥+='x y ，函数x x y sin +=在()+∞∞-,内单调增，无极值。 ５．若函数()x f 在()b a ,内具有二阶导数，且()()0,0>''<'x f x f ，则曲线()x f y =在()b a ,内单调减少且是向上凹． 正确 二、填空： １．设()x bx x a x f ++=2 ln （b a ,为常数）在2,121==x x 处有极值，则=a （ 23- ），=b （ 16 - ）． ∵()12++='bx x a x f ，当2,121==x x 时， 012=++b a ，0142=++b a ，解之得6 1 ,32-=-=b a ２．函数()() 1ln 2 +=x x f 的极值点是（ 0=x ）． ∵()x x x f 211 2 ?+= '，令()0='x f ，得0=x 。又0>x ，()0>'x f ； 0 选修2-2第一章《导数及其应用》单元测试题 一、选择题：(每小题有且只有一个答案正确，每小题5分，共50分) 1．下列结论中正确的是（ ） A ．导数为零的点一定是极值点 B ．如果在0x 附近的左侧0)('>x f ，右侧0)(' 导数单元测试题 11.29 一、填空题 1．函数()2 2)(x x f π=的导数是_______ 2．函数x e x x f -?=)(的一个单调递增区间是________ 3．若函数b bx x x f 33)(3 +-=在()1,0内有极小值，则实数b 的范围是_______ 4．若曲线4 y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为______ 5．曲线x y e =在点2 (2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为_________ 6．设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是_______ 7．已知二次函数2 ()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有 ()0f x ≥，则 (1) '(0) f f 的最小值为________ 8．设2 :()e ln 21x p f x x x mx =++++在(0)+∞，内单调递增，:5q m -≥，则p 是q 的______________条件 9． 函数)(x f 的图像如图所示，下列数值排序正确的是（ ） （A ）)2()3()3()2(0/ / f f f f -<<< y （B ） )2()2()3()3(0/ / f f f f <-<< （C ）)2()3()2()3(0/ / f f f f -<<< （D ）)3()2()2()3(0/ / f f f f <<-< O 1 2 3 4 x 10．函数()ln f x x x =的单调递增区间是＿＿＿＿． (高等数学)第四章导 数的应用 第四章导数的应用 第一节中值定理 一.费马定理 1.定义1.极值设函数?Skip Record If...?在点?Skip Record If...?的某邻域?Skip Record If...?内对一切?Skip Record If...?有 ?Skip Record If...?或（?Skip Record If...?）， 则称?Skip Record If...?在点?Skip Record If...?处取得极大值（或极小值）；并称?Skip Record If...?为?Skip Record If...?的极大值点（或极小值点）. 注意：极大值、极小值在今后统称为极值； 极大值点、极小值点在今后统称为极值点； 2.定理1.极值的必要条件（费马定理）设?Skip Record If...?在点?Skip Record If...?的某邻域?Skip Record If...?内有定义，且在?Skip Record If...?处可导,若 ?Skip Record If...?为极值，则必有：?Skip Record If...?. 证明：不妨设?Skip Record If...?为极大值。按极大值的定义，则?Skip Record If...?的某个邻域，使对一切此邻域内的?Skip Record If...?有?Skip Record If...?--------------（1） 所以，?Skip Record If...? ?Skip Record If...?--------（2） 又因为?Skip Record If...?存在，所以应有?Skip Record If...?---------（3） 故，由（2）式及（3）式，必有?Skip Record If...?. 1．注意：使?Skip Record If...?的点?Skip Record If...?可能为?Skip Record If...?的极大值点（或极小值点），也可能不是.比如：?Skip Record If...? 导数及其应用测试卷 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。） 1.函数()2 sin f x x =的导数是（） A.2sin x B.2 2sin x C.2cos x D.sin2x 2．已知()2 1 cos 4 f x x x =+，() ' f x为() f x的导函数，则() ' f x的图像是（） 3.若2 x=-是函数21 ()(1)x f x x ax e- =+-的极值点，则() f x的极小值为（） A.1 - B.3 2e- - C.3 5e- D.1 4．若曲线() ln y x a =+的一条切线为y ex b =+，其中,a b为正实数，则 2 e a b + + 的取值范围是（） A. 2 , 2 e e ?? ++∞ ? ?? B.[) ,e+∞ C.[) 2,+∞ D.[) 2,e 5．已知函数2x y=的图象在点) , (2 x x处的切线为l，若l也与函数x y ln =，)1,0( ∈ x的 图象相切，则 x必满足（） A． 2 1 < 《导数及其应用》单元测试题（理科） （满分150分 时间：120分钟 ） 一、选择题（本大题共8小题，共40分，只有一个答案正确） 1．函数()2 2)(x x f π=的导数是（ ） (A) x x f π4)(=' (B) x x f 24)(π=' (C) x x f 2 8)(π=' (D) x x f π16)(=' 2．函数x e x x f -?=)(的一个单调递增区间是（ ） (A)[]0,1- (B) []8,2 (C) []2,1 (D) []2,0 3．已知对任意实数x ，有()() ()(f x f x g x g x -=--=，，且0x >时，()0()f x g x ''>>，，则0x <时（ ） A ．()0()0f x g x ''>>， B ．()0()0f x g x ''><， C ．()0()0f x g x ''<>， D ．()0()0f x g x ''<<， 4． =-+? dx x x x )1 11(322 1 （ ） (A)8 7 2ln + (B)872ln - (C)452ln + (D)812ln + 5．曲线1 2 e x y =在点2 (4e )，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） Ａ． 2 9e 2 Ｂ．24e Ｃ．2 2e Ｄ．2 e 6．设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ） 7．已知二次函数2 ()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有 高等数学中导数的求解及应用 摘要：高等数学是一门方法学科，因此可以说是许多专业课程的基础。然而导 数这一章节在高等数学中是尤为重要的，在高等数学的整个学习过程中，它起着 承前启后的作用，是学习高等数学非常重要的任务。本文详细地阐述了导数的求 解方法和在实际中的应用。 关键词：高等数学导数求解应用 导数的基本概念在高等数学中地位很高，是高等数学的核心灵魂，因此学习 导数的重要性是不言而喻的。然而这种重要性很多同学没有意识到，更不懂得如 何求解导数以及运用导数来解决有关的问题。我通过自己的学习和认识，举例子 说明了几种导数的求解方法以及导数在实际中的应用。 一、导数的定义 1.导数的定义 设函数y=f（x）在点x0的某一邻域内有定义，如果自变量x在x0的改变量 为△x（x0≠0，且x0±△x仍在该邻域内）时，相应的函数有增量△y=f（x0+△x）- f（x0）。 若△y与△x之比，当△x→0时，有极限lim ＝lim存在，就称此极限为该函数y=f(x)在点x0的导数，且有函数y=f(x)在点x=x0处可导，记 为f`(x0)。 2.导数的几何意义 函数y=f(x)在点x0处的导数在几何上表示曲线y=f(x)在点〔x0，f（x0）〕处 的切线斜率，即f`（x0）=tan，其中是切线的倾角。如果y=f(x)在点x0处的导数 为无穷大，这时曲线y=f(x)的割线以垂直于x轴的直线x=x0为极限位置，即曲线 y=f(x)在点〔x0，f（x0）〕处具有垂直于x轴的切线x=x0。根据导数的几何意义 并应用直线的点斜式方程，可知曲线y=f(x)在点〔x0，f（x0）〕处的切线方程。 二、导数的应用 1.实际应用 假设某一公司每个月生产的产品固定的成本是1000元，关于生产数量x的 可变成本函数是0.01x2+10x元，若每个产品的销售价格是30元，求：总成本的 函数，总收入的函数，总利润的函数，边际收入，边际成本及边际利润等为零时 的产量。 解：总的成本函数是可变成本函数和固定成本函数之和： 总成本的函数C(x)=0.01x2+10x+1000 总收入的函数R(x)=px=30x（常数p是产品数量） 总利润的函数I(x)=R(x)-C(x)=30x-0.01x2-10x-1000=-0.01x2+20x-1000 边际收入R(x)Γ=30 边际成本C(x)=0.02x+20 边际利润I(x)=-0.02x+20 令I(x)=0得-0.02x+20=0，x=1000。也就是每月的生产数量为1000个时，边际利润是零。这也就表明了，当每月生产数目为1000个时，利润也不会再增加了。 2.洛必达法则的应用 如果当x→a（或x→∞）时，两个函数f（x）与F（x）都趋于零或都趋于无 穷大，那么极限lim可能存在，也可能不存在。通常把这种极限叫做未定式，分别简记为或。对于这类极限，即使它存在也不能用“商的极限等于极限的商” 《导数及其应用》单元测试题（文科） 一、选择题（本大题共10小题，共50分，只有一个答案正确） 1．函数()2 2)(x x f π=的导数是（ ） (A) x x f π4)(=' (B) x x f 24)(π=' (C) x x f 28)(π=' (D) x x f π16)(=' 2．函数x e x x f -?=)(的一个单调递增区间是（ ） (A)[]0,1- (B) []8,2 (C) []2,1 (D) []2,0 3．已知对任意实数x ，有()()()()f x f x g x g x -=--=， ，且0x >时，()0()0f x g x ''>>，， 则0x <时（ ） A ．()0()0f x g x ''>>， B ．()0()0f x g x ''><， C ．()0()0f x g x ''<>， D ．()0()0f x g x ''<<， 4．若函数b bx x x f 33)(3 +-=在()1,0内有极小值，则（ ） （A ） 10<b （D ） 2 1 < b 5．若曲线4 y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ） A ．430x y --= B ．450x y +-= C ．430x y -+= D ．430x y ++= 6．曲线x y e =在点2 (2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） Ａ．2 94 e Ｂ．2 2e Ｃ．2 e Ｄ．2 2 e 7．设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ） 8．已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有 ()0f x ≥，则 (1) '(0) f f 的最小值为（ ） A ．3 B ． 52 C ．2 D ．32 9．设2 :()e l n 21x p f x x x m x =++++ 在(0)+∞，内单调递增，:5q m -≥，则p 是q 的（ ） Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充分必要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件 10． 函数)(x f 的图像如图所示，下列数值排序正确的是（ ） （A ）)2()3()3()2(0/ / f f f f -<<< （B ） )2()2()3()3(0/ / f f f f <-<< （C ）)2()3()2()3(0/ / f f f f -<<< （D ）)3()2()2()3(0/ / f f f f <<-< O 1 2 3 4 x 二．填空题（本大题共4小题，共20分） 11．函数()ln (0)f x x x x =>的单调递增区间是＿＿＿＿． 12．已知函数3 ()128f x x x =-+在区间[3,3]-上最大值、最小值分别为,M m ，则M m -=＿． 导数及其应用测试题 一 选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1、一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为s ＝13t 3-3 2 t 2+2t ，那么速度为零 的时刻是( ) A 0秒 B 1秒末 C 2秒末 D 1秒末和2秒末 2 曲线3()2f x x x =+-在0p 处的切线平行于直线41y x =-，则0p 点的坐标为（ ） A (1,0) B (2,8) C (1,0)和(1,4)-- D (2,8)和(1,4)-- 3 若()2 24ln f x x x x =--，则()'f x ＞0的解集为 A ．()0,+∞ B. ()()1,02,-?+∞ C. ()2,+∞ D. ()1,0- 4、（原创题）下列运算中正确的是（ ） ①22()()()ax bx c a x b x '''++=+ ② 22(sin 2)(sin )2()x x x x ''''-=- ③222 sin (sin )()()x x x x x '' -'= ④(cos sin )(sin )cos (cos )sin x x x x x x '''?=+ A ①④ B ①② C ②③ D ③④ 5、（改编题）下列函数中,在),0(+∞上为增函数的是 （ ） A.2sin y x =- B.x xe y = C.x x y -=3 D.x x y -+=)1ln( 6. (改编题)若函数f(x)=x 3 -3x+a 有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是( ) A (-2,2) B [-2,2] C (-∞,-1) D (1,+∞) 7 设函数f(x)＝kx 3 ＋3(k －1)x 2 2k -＋1在区间（0，4）上是减函数，则k 的取值范围是（ ） A 、1 3 k < B 、103 k <≤ C 、103 k ≤≤ D 、13 k ≤ 8 （原创题）若函数1 ()()f x x x a x a =+ >-在3x =处取最小值,则=a ( ) A 1 B 2 C 4 D 2 或4 9 设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如下图所示，则导函数y=f '(x) 1、下列函数在给定区间上满足罗尔定理条件的是（ ）． ]1,1[,)()](2 ,23[,sin )()](4,2[,)4()()](0,2[,1)()(2-=-=--=-= x x f D x x f C x x f B x x f A π π 2、函数f(x)=sinx 在[0，π]上满足罗尔定理结论的ξ=（ ）． （A ） 0（B ） 2 π（C ）π （D ）23π 3、下列函数在[1，e]上满足拉格朗日定理条件的是（ ）． （A ）)ln(ln x （B ） x ln （C ）)2ln(x - （D ） x ln 1 4、函数f(x)=2x 2-x+1在区间[-1，3]上满足拉格朗日定理的ξ等于（ ）． (A) 4 3- (B)0 (C) 43 (D) 1 5、函数x x y 4 + =的单调减区间为（ ）． (A)(,2),(2,)-∞-+∞ (B) )2,2(- (C) (,0),(0,)-∞+∞ (D) (2,0),(0,2)- 6、若x 0为f(x)的极小点，则下列命题正确的是（ ）． (A) 0)(0='x f (B) 0)(0≠'x f (C) )(0x f '不存在 (D)0)(0='x f 或)(0x f '不存在 7、若在（a ，b ）内，0)(,0)(<''<'x f x f ，则f(x)在（a ，b ）内为（ ）． (A)单调上升而且是凸的(B) 单调上升而且是凹的(C) 单调下降而且是凸的(D) 单调下降而且是凹的 8、曲线29623++-=x x x y 的拐点是（ ）． （A ）（1，6）（B ） （2，3）（C ） （2，4）（D ） （3，2） 9、()y f x =在(a,b)内可导，且12a x x b <<<，则下列式子正确的是（ ）． （A ）在12(,)x x 内只有一点ξ，使 2121 ()() ()f x f x f x x ξ-'=-成立； （B ）在12(,)x x 内任一点ξ处均有2121()()()f x f x f x x ξ-'=-成立；（C ）在1(,)a x 内至少有一点ξ，使 11()() ()f x f a f x a ξ-'=-成立； （D ）在12(,)x x 内至少有一点ξ，使 2121 ()() ()f x f x f x x ξ-'=-成立． 10、求下列极限时，（ ）可用罗必达法则得出结果． （A ）sin lim sin x x x x x →∞- +；（B ）22sin lim x x x →∞； （C ）lim x →+∞； （D ）lim (arctan )2x x x π→+∞-． 11、下列命题中正确的是（ ）． （A ）若0x 为()f x 的极值点，则必有0()0f x '=；（B ）若0()0f x '=，则0x 必为()f x 的极值点； （C ）若()f x 在(a,b)内存在极大值，也存在极小值，则极大值必定大于极小值； 高二数学选修2-2导数及其应用测试题 一、 选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的，请将所选答案写在答题卡上) 1．设x x y sin 12-=，则='y （ ）． A ．x x x x x 22sin cos )1(sin 2--- B ．x x x x x 22sin cos )1(sin 2-+- C ．x x x x sin )1(sin 22-+- D ．x x x x sin ) 1(sin 22--- 2．设1ln )(2+=x x f ，则=)2('f （ ） ． A ． 54 B ．52 C ．51 D ．5 3 3．已知2)3(',2)3(-==f f ，则3 ) (32lim 3--→x x f x x 的值为（ ）． A ．4- B ．0 C ．8 D ．不存在 4．曲线3 x y =在点)8,2(处的切线方程为（ ）． A ．126-=x y B ．1612-=x y C ．108+=x y D ．322-=x y 5．已知函数d cx bx ax x f +++=2 3)(的图象与x 轴有三个不同交点)0,(),0,0(1x ， )0,(2x ，且)(x f 在1=x ，2=x 时取得极值，则21x x ?的值为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．不确定 6．在R 上的可导函数c bx ax x x f +++=22 131)(2 3， 当)1,0(∈x 取得极大值，当)2,1(∈x 取得极小值，则 1 2 --a b 的取值范围是（ ）． A ．)1,4 1( B ．)1,2 1( C ．)4 1,21(- D ．)2 1,21(- 7．函数)cos (sin 21)(x x e x f x += 在区间]2 ,0[π 的值域为（ ）． A ．]21,21[2π e B ．)2 1 ,21(2πe C ．],1[2πe D ．),1(2π e 3． 2019 年高考浙江】已知 a, b ∈ R ，函数 f ( x ) = ? 1 1 ．若函数 y = f ( x ) - ax - b ?? 3 x 0) 专题 03 导数及其应用 1． 【2019 年高考全国Ⅱ卷文数】曲线 y=2sinx+cosx 在点(π，-1)处的切线方程为 A ． x - y - π - 1 = 0 C ． 2 x + y - 2π + 1 = 0 B ． 2 x - y - 2π - 1 = 0 D ． x + y - π + 1 = 0 2．【2019 年高考全国Ⅲ卷文数】已知曲线 y = a e x + x ln x 在点（1，a e ）处的切线方程为 y =2x +b ，则 A ． a = e ，b = -1 C ． a = e -1，b = 1 B ．a=e ，b =1 D ． a = e -1 ， b = -1 ? x , x < 0 ? 【 3 - (a + 1)x 2 + ax, x ≥ 0 2 恰有 3 个零点，则 A ．a <–1，b <0 C ．a >–1，b <0 B ．a <–1，b >0 D ．a >–1，b >0 4．【2019 年高考全国Ⅰ卷文数】曲线 y = 3(x 2 + x)e x 在点 (0， 处的切线方程为____________． 5．【2019 年高考天津文数】曲线 y = cos x - x 2 在点 (0,1) 处的切线方程为__________. 4 6．【2019 年高考江苏】在平面直角坐标系 x Oy 中，P 是曲线 y = x + ( x > 0) 上的一个动点，则点 P 到直 x 线 x + y = 0 的距离的最小值是 ▲ . 7．【2019 年高考江苏】在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 在曲线 y=lnx 上，且该曲线在点 A 处的切线经过 点（-e ，-1)(e 为自然对数的底数），则点 A 的坐标是 ▲ . 8．【2019 年高考全国Ⅰ卷文数】已知函数 f （x ）=2sinx -xcosx -x ，f ′（x ）为 f （x ）的导数． （1）证明：f ′（x ）在区间（0，π）存在唯一零点； （2）若 x ∈[0，π]时，f （x ）≥ax ，求 a 的取值范围． 单元综合测试三(第三章) 时间：90分钟 分值：150分 第Ⅰ卷(选择题，共60分) 一、选择题(每小题5分，共60分) 1．已知f (x )＝(x ＋a )2，且f ′(1 2)＝－3，则a 的值为( ) A ．－1 B ．－2 C ．1 D ．2 解析：f (x )＝(x ＋a )2，∴f ′(x )＝2(x ＋a )． 又f ′(1 2)＝－3，∴1＋2a ＝－3，解得a ＝－2. 答案：B 2．函数y ＝sin x (cos x ＋1)的导数是( ) A ．y ′＝cos2x －cos x B ．y ′＝cos2x ＋sin x C ．y ′＝cos2x ＋cos x D ．y ′＝cos 2x ＋cos x 解析：y ′＝(sin x )′(cos x ＋1)＋sin x (cos x ＋1)′＝cos 2x ＋cos x －sin 2x ＝cos2x ＋cos x . 答案：C 3．函数y ＝3x －x 3的单调递增区间是( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，－1) C ．(－1,1) D ．(1，＋∞) 解析：f ′(x )＝3－3x 2>0?x ∈(－1,1)． 答案：C 4．某汽车启动阶段的路程函数为s (t )＝2t 3－5t 2＋2，则t ＝2秒时，汽车的加速度是( ) A ．14 B ．4 C ．10 D ．6 解析：依题意v (t )＝s ′(t )＝6t 2－10t ， 所以a (t )＝v ′(t )＝12t －10，故汽车在t ＝2秒时的加速度为a (2)＝24－10＝14. 答案：A 5．若曲线f (x )＝x sin x ＋1在x ＝π 2处的切线与直线ax ＋2y ＋1＝0互相垂直，则实数a 的值为( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2 解析：f ′(x )＝x cos x ＋sin x ，f ′(π 2)＝1， ∴k ＝－a 2＝－1，a ＝2. 答案：D 6．已知P ，Q 为抛物线x 2＝2y 上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为( ) A ．1 B ．3 C ．－4 D ．－8 解析： 高中数学选修2-2第一章导数及其应用单元检测试卷 一、 选择题（每题5分，共60分） 1.满足()()f x f x '=的函数是 A . f (x )＝1－x B. f (x )＝x C . f (x )＝0 D . f (x )＝1 2.曲线3 4y x x =-在点（－1，－3）处的切线方程是 A . 74y x =+ B. 72y x =+ C. 4y x =- D. 2y x =- 3.若关于x 的函数2m n y mx -=的导数为4y x '=,则m n +的值为 A. 3- B. 1- C. 1 D . 3 4.设ln y x x =-，则此函数在区间(0,1)为 A ．单调递增， B.有增有减 C.单调递减， D.不确定 5. 已知()f x =3x ·sin x x ，则(1)f '= A . 31+cos1 B. 31sin1+cos1 C. 3 1 sin1-cos1 D.sin1+cos1 6．函数f (x )＝x 3－3x +1在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是 A . 1，－1 B. 3，-17 C. 1，－17 D. 9，－19 7．f (x )与g (x )是定义在R 上的两个可导函数，若f (x )、g (x )满足f ′(x )＝g ′(x )， 则 A f (x )=g (x ) B f (x )－g (x )为常数函数 C f (x )=g (x )=0 D f (x )+g (x )为常数函数 8.函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 有极小值点 A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 9．设函数()f x 在定义域可导，()y f x =的图象如图1所示，则导函数()y f x '=可能为 （ ） A C D 第9次课2学时 第二章导数与微分 导数和微分是高等数学中的重要内容之一，也是今后讨论一切问题的基础。导数反映出函数相对于自变量的变化快慢的程度，而微分则指明当自变量有微小变化时函数大体上变化多少，它从根本上反映了函数的变化情况。本章主要学习和讨论导数和微分的概念以及它们的计算方法，以后将陆续的介绍它们的用途。 §2、1导数的概念 一、 引例 1、 切线问题：切线的概念在中学已见过。从几何上看，在某点的切线就是一直线，它在该点和曲线相切。准确地说，曲线在其上某点P 的切线是割线PQ 当Q 沿该曲线无限地接近于P 点的极限位置。 设曲线方程为 )(x f y =，设P 点的坐标为),(00y x p ，动点Q 的坐标为),(y x Q ，要求出曲线 在P 点的切线，只须求出P 点切线的斜率k 。由上知，k 恰好为割线PQ 的斜率的极限。我们不难求 得PQ 的斜率为： 0) ()(x x x f x f --；因此，当Q P →时，其极限存在的话，其值就是k ，即 0) ()(lim x x x f x f k x x --=→。 若设α为切线的倾角，则有αtan =k 。 2、速度问题：设在直线上运动的一质点的位置方程为)(t s s =（t 表示时刻），又设当t 为0t 时刻时， 位置在)(0t s s =处，问：质点在0t t =时刻的瞬时速度是多少？ 为此，可取0t 近邻的时刻t ，0t t >，也可取0t t <，在由0t 到t 这一段时间内，质点的平均速度 为 00)()(t t t s t s --,显然当t 与0t 越近，用0 0) ()(t t t s t s --代替0t 的瞬时速度的效果越佳，特别地，当 0t t →时， 0) ()(t t t s t s --→某常值0v ，那么0v 必为0t 点的瞬时速度，此时， 二、导数的定义 综合上两个问题，它们均归纳为这一极限0 0) ()(lim x x x f x f x x --→（其中0x x -为自变量x 在0x 的 增量，)()(0x f x f -为相应的因变量的增量），若该极限存在，它就是所要讲的导数。 定义：设函数 )(x f y =在0x 点的某邻域内有定义，且当自变量在0x 点有一增量x ?（x x ?+0仍 在该邻域中）时，函数相应地有增量y ?，若增量比极限：x y x ??→?0lim 即0 0)()(lim 0x x x f x f x x --→存在，就称函数 y f x =（）在x 0处可导，并称这个极限值为)(x f y =在0x x =点的导数，记为)(0x f '， 0x x y ='， x x dx dy =或 x x dx df =。 即0 00) ()(lim )(0 x x x f x f x f x x --='→等等，这时，也称)(x f y =在0x x =点可导或有导数，导数存在。 兴国三中高二数学（文）期末复习题《导数及其应用》 命题：高二数学备课组 一、选择题 1.0()0f x '=是函数()f x 在点0x 处取极值的: A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 2、设曲线21y x =+在点))(,(x f x 处的切线的斜率为()g x ，则函数()cos y g x x =的部分图象可以为 A. B. C. D. 3．在曲线y ＝x 2 上切线的倾斜角为π4 的点是( ) A ．(0,0) B ．(2,4) C.? ????14，116 D.? ?? ??12，14 4.若曲线y ＝x 2 ＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( ) A ．a ＝1，b ＝1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝1，b ＝－1 D ．a ＝－1，b ＝－1 5．函数f (x )＝x 3 ＋ax 2 ＋3x －9，已知f (x )在x ＝－3时取得极值，则a 等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 6. 已知三次函数f (x )＝13x 3－(4m －1)x 2＋(15m 2 －2m －7)x ＋2在x ∈(－∞，＋∞)是增函数，则m 的取值 范围是( ) A ．m <2或m >4 B ．－4 第三章 微分中值定理与导数的应用 一、选择题 1、则，且存在，，设 ,1)x (f )x (f )x (f 0)x (f 0)x (f 00000-=+''''='>（ ） 是否为极值点不能断定的极值点 不是 的极小值点是的极大值点 是0000x )D ()x (f x )C ( )x (f x )B ()x (f x )A ( 2、处必有在则处连续且取得极大值，在点函数 x )x (f x x )x (f y 00==（ ） 0)x (f )B ( 0)x ('f )A (00<''= 或不存在 且 0)x (f )D (0)x (f 0)x (f )C (0'00=<''= 3、的凸区间是 x e y x -=（ ） ) , 2( (D) ) , (2 (C) 2) , ( (B) 2) , ( (A)∞+-∞+--∞-∞ 4、在区间 [-1，1] 上满足罗尔定理条件的函数是 （ ） (A)x x sin )x (f = (B)2)1x ()x (f += (C) 3 2 x )x (f = (D)1x )x (f 2+= 5、设f (x) 和g (x) 都在x=a 处取得极大值，F (x)=f (x)g (x)，则F(x)在x=a 处（ ） (A) 必取得极大值 (B)必取得极小值 (C)不取极值 (D)不能确定是否取得极值 6、满足罗尔定理的区间是使函数 )x 1(x y 322-=（ ） (A) [-1,1] (B) [0,1] (C) [-2,2] (D) ] 5 4, 5 3[- 7、x 2 e x y -=的凹区间是（ ） (A))2,(-∞ (B) )2,(--∞ (C) ) 1(∞+， (D) ) 1(∞+-， 8、函数)x (f 在0x x = 处连续，若0x 为)x (f 的极值点，则必有（ ） ． (A)0)(0='x f (B)0)(0≠'x f (C)0)(0='x f 或)(0x f '不存在 (D))(0x f '不存在 9、当a= ( ) 时，处取到极值在 3 x 3sin3x asinx f(x)π=+ =（ ） (A) 1 (B) 2 (C) 3 π (D) 0 10、间是适合罗尔定理条件的区使函数 )x 1(x )x (f 322-=（ ） ] 5 4 , 5 3[)D ( ]2,2[)C ( ]1,1[)B ( ]1,0[)A (- -- 11、()，则上的凹弧与凸弧分界点为连续曲线，若 )x (f y )x (f x 00=（ ） 的极值必定不是的极值点为必定为曲线的驻点 ， 必为曲线的拐点， )x (f x )D ( )x (f x )C ( ))x (f x ( )B ( ))x (f x ( )A (000000 二、填空题 1、__________________e y 82 x 的凸区间是曲线-=． 2、______________ 2 x y x 的极小值点是函数=． 3、的凸区间为曲线 x 3 e y x += _____________________ ．(完整版)导数及其应用单元测试卷.docx
(完整版)《导数及其应用》单元测试卷
高数导数的应用习题及答案
高中数学选修2-2第1章《导数及其应用》单元测试题
《导数及其应用》单元测试题详细答案
最新(高等数学)第四章导数的应用
《导数及其应用》测试卷
最新《导数及其应用》单元测试题(理科)
高等数学中导数的求解及应用
《导数及其应用》文科测试题(详细答案)
导数及其应用测试题
《高等数学》训练题：导数的应用及答案
(完整版)高二数学选修2-2导数及其应用测试题(含答案)
2019高考数学试题汇编之导数及其应用(原卷版)
第三章.导数及其应用测试卷(含详细答案)
高中数学选修2-2第一章导数及其应用单元检测试卷
同济大学高等数学《导数及其应用》教案
导数及其应用测试题(有详细答案)
高等数学第三章微分中值定理与导数的应用题库(附带答案)
相关主题
文本预览