P
四点共圆问题
四点共圆是平面几何证题中一个十分有利的工具，四点共圆这类问题一般有以下两种形式： （1） 证明某四点共圆或者以四点共圆为基础证明若干点共圆； （2） 通过某四点共圆得到一些重要结论，进而解决问题 下面给出与四点共圆有关的一些基本知识
（1） 若干个点与某定点的距离相等，则这些点在一个圆上；
（2） 在若干个点中有两点，其他点对这两点所成线段的视角均为直角，则这些点共圆； （3） 若四点连成的四边形对角互补或有一外角等于它的内对角，则这四点共圆；
（4） 若点C 、D 在线段AB 的同侧，且ACB ADB ∠=∠，则A B C D 、、、四点共圆； （5） 若线段AB CD 、交于E 点，且AE EB CE ED =g g ，则A B C D 、、、四点共圆； （6） 若相交线段PA PB 、上各有一点C D 、，且PA PC PB PD =g g ，则A B C D 、、、四点共圆。 四点共圆问题不但是平面几何中的重要问题，而且是直线形和圆之间度量关系或者位置关系相互转化的媒介。
例1、已知PQRS 是圆内接四边形，0
90PSR ∠=，过点Q 作PR PS 、的垂线，垂足分别为点H K 、求证：HK 平分QS
例2、给定锐角ABC V ，以AB 为直径的圆与边AB 上的高线'
CC 及其延长线交于点M N 、，以AC 为直径的圆与AC 上的高线'
BB 及其延长线交于点P Q 、。证明：M P N Q 、、、四点共圆。
例3、在等腰ABC V 中，P 为底边BC 上任意一点，过点P 做两腰的平行线分别与AB AC 、交于点
Q R 、，又点'P 是点P 关于直线QR 的对称点。求证：点'P 在ABC V 分析：
C P'
C 例4、ABC
D 是圆内接四边形，AC 是圆的直径，BD AC ⊥，AC 与BD 的交点为
E ，点
F 在DA 的延长线上，连结BF ，点
G 在BA 的延长线上，使得//DG BF ，点
H 在GF 的延长线上，GF . 证明：B E F H 、、、四点共圆。
例5、在ABC V 的边AB AC 、上分别取点Q P 、，使得1
PBC QCB A ∠=∠=∠。求证：BQ CP =
例6、在梯形ABCD 中，//AD BC ，1BC BD ==，,1AB AC CD =<，且0
180BAC BDC ∠+∠=，求CD 的长
例7、在锐角ABC V 中AB AC ≠,AD 是高，H 是AD 上一点，联结BH 并延长交AC 于点E ，联结CH 并延长交AB 于F ，已知B C E F 、、、四点共圆，问：点H 是否一定是ABC V 的垂心？证明你的结论
C
E
例8、已知ABC V 的重心G 关于边BC 的对称点是'G ，证明：'A B G C 、、、四点共圆的充要条件是2
2
2
2AB AC BC +=
例9、若过一点的三个圆的三个不同的交点共线，则三个圆的圆心和它们的公共点共圆。
例10、已知凸五边形ABCDE 中，3,BAE BC CD DE α∠===，且满足
01802BCD CDE α∠=∠=-，求证：A B C D E 、、、、五点共圆
例11、已知A e 和B e 相交于C D 、，延长AC 交B e 于E ，延长BC 交A e 于F ，试证：C 是DEF V 的内心
A
H P
C
E Q D
课后思考题：
1、设D 是等腰Rt ABC V 底边BC 的中点，过C D 、两点（但不过点A ）任作一圆交直线AC 于E ，联结BE ，交此圆于点F ，求证：AF BE ⊥
2、AB 为O e 的直径，点C 在O e 上且OC AB ⊥，P 为O e 上一点，位于点B C 、之间，直线CP 与AB 的延长线交于点Q ，过Q 作直线与AB 垂直，交直线AP 于点R ，求证：BQ QR =
3、如图，在ABC V 中，,AD BC BE CA ⊥⊥，AD 与BE 交于点H ，P 为边AB 的中点，过点C 作
CQ PH ⊥，垂足为Q ，求证：2PE PH PQ =g
4、凸四边形ABCD 的内切圆，切边AB BC CD DA 、、、1111A B C D 、、、11111111A B B C C D D A 、、、，点E F G H 、、、分别为11111111A B B C C D D A 、、、的中点，
求证：四边形EFGH 为矩形的充分必要条件是A B C D 、、、四点共圆
5、如图，在锐角△ABC 中，AB P 四点共圆问题 四点共圆是平面几何证题中一个十分有利的工具，四点共圆这类问题一般有以下两种形式： （3） 证明某四点共圆或者以四点共圆为基础证明若干点共圆； （4） 通过某四点共圆得到一些重要结论，进而解决问题 下面给出与四点共圆有关的一些基本知识 （7） 若干个点与某定点的距离相等，则这些点在一个圆上； （8） 在若干个点中有两点，其他点对这两点所成线段的视角均为直角，则这些点共圆； （9） 若四点连成的四边形对角互补或有一外角等于它的内对角，则这四点共圆； （10） 若点C 、D 在线段AB 的同侧，且ACB ADB ∠=∠，则A B C D 、、、四点共圆； （11） 若线段AB CD 、交于E 点，且AE EB CE ED =g g ，则A B C D 、、、四点共圆； （12） 若相交线段PA PB 、上各有一点C D 、，且PA PC PB PD =g g ，则A B C D 、、、四点共圆。 四点共圆问题不但是平面几何中的重要问题，而且是直线形和圆之间度量关系或者位置关系相互转化的媒介。 例1、已知PQRS 是圆内接四边形，0 90PSR ∠=，过点Q 作PR PS 、的垂线，垂足分别为点H K 、求证：HK 平分QS 证法一：利用P K H Q 、、、四点共圆从而得出=TKS QRP TSK ∠∠=∠然后得出=TKQ TQK ∠∠进而证明TS TK TQ == 证法二：利用P K H Q 、、、四点共圆得出G K S Q 、、、四点共圆 进而有四边形G KQ S 为矩形 例2、给定锐角ABC V ，以AB 为直径的圆与边AB 上的高线' CC 及其延长线交于点M N 、，以AC 为直径的圆与AC 上的高线' BB 及其延长线交于点P Q 、。证明：M P N Q 、、、四点共圆。 证法一：设MN PQ 、交于点D 则'DP DQ DC DC =g g 'DN DM DB DB =g g ,又易知''B B C C 、、、四点共圆 第1讲 四点共圆 典型例题 一. 基础练习 【例1】 如图，P 为ABC △内一点，D 、E 、F 分别在BC 、CA 、AB 上．已知P 、D 、C 、E 四 点共圆，P 、E 、A 、F 四点共圆，求证：B 、D 、P 、F 四点共圆． 【例2】 如图7-55，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，过B 、C 两点作一圆，AB 、CD 的延长线交该圆于点 E 、 F ．求证：A 、D 、E 、F 四点共圆． 【例3】 如图，⊙1O 、⊙2O 相交于A 、B 两点，P 是BA 延长线上一点，割线PCD 交⊙1O 于C 、D ， 割线PEF 交⊙2O 于E 、F ，求证：C 、D 、E 、F 四点共圆． P E C B A D F P F D C B A E 【例4】 如图7-56，在△ABC 中，AD =AE ，BE 与CD 交于点P ，DP =EP ，求证：B 、C 、E 、D 四点共 圆． 【例5】 如图，已知ABC △是⊙O 的内接三角形，⊙O 的直径BD 交AC 于E ，AF BD ⊥于F ，延长 AF 交BC 于G ，求证：2AB BG BC =?． 【例6】 如图7－63，在ABCD □的对角线上，任取一点P ，过点P 作AB 、CD 的公垂线EG ，又作AD 、 BC 的公垂线FM ．求证：EF //GM ． 【例7】 如图7-66，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，DE ⊥AC ，AF ⊥BD ，点E 、F 是垂足．求证： EF //BC ． O G F E C D B A 【例8】 如图7-60，已知△ABC ，AB 、AC 的垂直平分线交AC 、AB 的延长线于点F 、E ．求证：E 、F 、 C 、B 四点共圆． 【例9】 如图，已知：60ABD ACD ∠=∠=o ， 1 902 ADB BDC ∠=∠-∠o ．求证：ABC △是等腰三角形． 二. 综合提高 【例10】 如图7-61，在⊙O 中，AB ∥CD ，点P 是AB 的中点，CP 的延长线交⊙O 于点F ，又点E 为弧 BD 上任一点，连EF 交AB 于点G ．求证：P 、G 、E 、D 四点共圆． 【例11】 如图7-62，在△ABC 中，∠BAC 为直角，AB =AC ，BM =MC ，过M 、C 任作一圆，与AC 交于 点E ，BE 与圆交于F 点，求证：AF ⊥BE ． C D B A 初中数学竞赛：共圆点问题 同在一个圆上的许多点称为共圆点，或者说这些点共圆．证明这些点共圆常常利用以下一些方法思考： (1)要证明若干点共圆，先设法发现其中以某两点为端点的线段恰为一直径，然后证明其他点对这条线段的视角均为直角． (2)要证明四点共圆，可证明以这点为顶点的四边形的对角互补，或证某两点视另两点所连线段的视角相等． (3)如果两线段AB，CD相交于E点，且AE·EB=CE·ED，则A，B，C，D四点共圆． (4)若相交直线PA，PB上各有一点C，D，且PA·PC=PB·PD，则A，B，C，D四点共圆． (5)若四边形一个外角等于其内对角，则四边形的四顶点共圆． (6)要证明若干点共圆，先证其中四点共圆，然后再证其余点都在此圆上． 共圆点问题不但是几何中的重要问题，而且也是直线形和圆之间度量关系或位置关系相互转化的媒介． 例1 设⊙O1，⊙O2，⊙O3两两外切，Y是⊙O1，⊙O2的切点，R，S分别是⊙O1，⊙O2与⊙O3的切点，连心线O1O2交⊙O1于P，交⊙O2于Q．求证：P，Q，R，S四点共圆．分析如图3－54，连YR，则∠PRY=90°，所以∠PRS为钝角，设法证明∠Q与∠PRS互补，则P，R，S，Q共圆． 证连RY，PR，RS，SQ，并作切线RX，则在四边形PRSQ中， 所以 所以P，Q，R，S四点共圆． 例2 设△ADE内接于圆O，弦BC分别交AD，AE边于F，G， 分析欲证F，D，E，G四点共圆，由于已知条件中交弦较多，因此，用圆幂定理的逆定理，若能证出AF·AD=AG·AE成立，则F，D，E，G必共圆． 径，所以∠FDN=∠FMN=90°， 所以F，D，N，M四点共圆，所以 AD·AF=AN·AM． 同理，AG·AE=AN·AM，所以 AD·AF=AG·AE， 所以F，D，E，G四点共圆． 例3 在锐角△ABC中，BD，CE是它的两条高线，分别过B，C引直线DE的垂线，BF⊥DE于F，CG⊥DE于G，求证：EF=DG(图3－56)． 分析由已知，四边形BCGF为直角梯形，FG为一腰，要证EF=DG，易想，若OH为梯形中位线，则OH⊥FG于H，如果证得EH=HD，则FE=DG便是显然的了． 证过BC中点O，作OH⊥DE于H．因为BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，所以 最新整理初三数学教案数学竞赛平面几何讲座：四点 共圆问题 第四讲四点共圆问题 “四点共圆”问题在数学竞赛中经常出现，这类问题一般有两种形式：一是以“四点共圆”作为证题的目的，二是以“四点共圆”作为解题的手段，为解决其他问题铺平道路. 1“四点共圆”作为证题目的 例1．给出锐角△ABC，以AB为直径的圆与AB边的高CC′及其延长线交于M，N.以AC为直径的圆与AC边的高BB′及其延长线将于P，Q.求证：M，N，P，Q四点共圆. 分析：设PQ，MN交于K点，连接AP，AM. 欲证M，N，P，Q四点共圆，须证 MK KN＝PK KQ， 即证(MC′-KC′)(MC′+KC′) ＝(PB′-KB′) (PB′+KB′) 或MC′2-KC′2=PB′2-KB′2.① 不难证明AP=AM，从而有 AB′2+PB′2=AC′2+MC′2. 故MC′2-PB′2=AB′2-AC′2 =(AK2-KB′2)-(AK2-KC′2) =KC′2-KB′2.② 由②即得①，命题得证. 例2．A、B、C三点共线，O点在直线外， O1，O2，O3分别为△OAB，△OBC， △OCA的外心.求证：O，O1，O2， O3四点共圆. 分析：作出图中各辅助线.易证O1O2垂直平分OB，O1O3垂直平分OA.观察△OBC及其外接圆，立得∠OO2O1=∠OO2B=∠OCB.观察△OCA及其外接圆，立得∠OO3O1=∠OO3A=∠OCA. 由∠OO2O1=∠OO3O1O，O1，O2，O3共圆. 利用对角互补，也可证明O，O1，O2，O3四点共圆，请同学自证. 2以“四点共圆”作为解题手段 这种情况不仅题目多，而且结论变幻莫测，可大体上归纳为如下几个方面. (1)证角相等 例3．在梯形ABCD中，AB∥DC，AB＞CD，K，M分别在AD，BC上，∠DAM＝∠CBK. 求证：∠DMA＝∠CKB. 分析：易知A，B，M，K四点共圆.连接KM， 有∠DAB＝∠CMK.∵∠DAB+∠ADC ＝180°， ∴∠CMK+∠KDC＝180°. 故C，D，K，M四点共圆∠CMD＝∠DKC. 但已证∠AMB＝∠BKA， ∴∠DMA＝∠CKB. (2)证线垂直 例4．⊙O过△ABC顶点A，C，且与AB， 高二数学竞赛班二试平面几何讲义 第五讲 四点共圆（一） 班级 姓名 一、知识要点： 1. 判定“四点共圆”的方法: （1)若对角互补，则四点共圆； （2）若线段同一侧的两点对线段的张角相等，则四点共圆； （3）圆的割线定理成立，则四点共圆； （4）圆的相交弦定理成立，则四点共圆； 2. “四点共圆”问题在数学竞赛中经常出现，这类问题一般有两种形式：一是以“四点共圆”作为证题的目的，二是以“四点共圆”作为解题的手段，为解决其他问题铺平道路. 二、例题精析： 例1. 在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＞CD ，K ，M 分别在AD ，BC 上，∠DAM ＝∠CBK. 求证：∠DMA ＝∠CKB. （第二届袓冲之杯初中竞赛） A B C D K M ·· 例2.给出锐角△ABC，以AB为直径的圆与AB边的高CC′及其延长线交于M，N.以AC为直径的圆与AC边的高BB′及其延长线将于P，Q.求证：M，N，P，Q 四点共圆. (第19届美国数学奥林匹克) 例3．A、B、C三点共线，O点在直线外，O1，O2，O3分别为△OAB，△OBC， △OCA的外心.求证：O，O1，O2， O3四点共圆. (第27届莫斯科数学奥林匹克) A B C K M N P Q B′ C′ A B C O O O O 1 2 3 ？ ？ 三、精选习题： 1．⊙O1交⊙O2于A，B两点，射线O1A交⊙O2于C点，射线O2A 交⊙O1于D点.求证：点A是△BCD的内心. 2．△ABC为不等边三角形.∠A及其外角平分线分别交对边中垂线于A1，A2；同样得到B1，B2，C1，C2.求证：A1A2=B1B2=C1C2. 第四讲 四点共圆问题 “四点共圆”问题在数学竞赛中经常出现，这类问题一般有两种形式：一是以“四点共圆”作为证题的目的，二是以“四点共圆”作为解题的手段，为解决其他问题铺平道路. 1 “四点共圆”作为证题目的 例1．给出锐角△ABC ，以AB 为直径的圆与AB 边的高CC ′及其延长线交于M ， N .以AC 为直径的圆与AC 边的高BB ′及其延长线将于P ，Q .求证：M ，N ，P ，Q 四点共圆. 分析：设PQ ，MN 交于K 点，连接AP ，AM . 欲证M ，N ，P ，Q 四点共圆，须证 MK ·KN ＝PK ·KQ ， 即证(MC ′-KC ′)(MC ′+KC ′) ＝(PB ′-KB ′)·(PB ′+KB ′) 或MC ′2-KC ′2=PB ′2-KB ′2 . ① 不难证明 AP =AM ，从而有 AB ′2+PB ′2=AC ′2+MC ′2. 故 MC ′2-PB ′2=AB ′2-AC ′2 =(AK 2-KB ′2)-(AK 2-KC ′2) =KC ′2-KB ′2. ② 由②即得①，命题得证. 例2．A 、B 、C 三点共线，O 点在直线外， O 1，O 2，O 3分别为△OAB ，△OBC ， △OCA 的外心.求证：O ，O 1，O 2， O 3四点共圆. 分析：作出图中各辅助线.易证O 1O 2垂直平分OB ，O 1O 3垂直平分OA .观察△OBC 及其外接圆，立得∠OO 2O 1=2 1∠OO 2B =∠OCB .观察△OCA 及其外接圆，立得∠OO 3O 1=2 1∠OO 3A =∠OCA . 由∠OO 2O 1=∠OO 3O 1?O ，O 1，O 2，O 3共圆. 利用对角互补，也可证明O ，O 1，O 2，O 3四点共圆，请同学自证. 2 以“四点共圆”作为解题手段 这种情况不仅题目多，而且结论变幻莫测，可大体上归纳为如下几个方面. (1)证角相等 例3．在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＞CD ，K ，M 分别在AD ，BC 上，∠DAM ＝∠CBK . 求证：∠DMA ＝∠CKB . 分析：易知A ，B ，M ，K 四点共圆.连接KM ， 有∠DAB ＝∠CMK .∵∠DAB +∠ADC ＝180°， ∴∠CMK +∠KDC ＝180°. 故C ，D ，K ，M 四点共圆?∠CMD ＝∠DKC . A B C K M N P Q B ′C ′A B C O O O O 123？？A B C D K M ·· P 四点共圆问题 四点共圆是平面几何证题中一个十分有利的工具，四点共圆这类问题一般有以下两种形式： （1） 证明某四点共圆或者以四点共圆为基础证明若干点共圆； （2） 通过某四点共圆得到一些重要结论，进而解决问题 下面给出与四点共圆有关的一些基本知识 （1） 若干个点与某定点的距离相等，则这些点在一个圆上； （2） 在若干个点中有两点，其他点对这两点所成线段的视角均为直角，则这些点共圆； （3） 若四点连成的四边形对角互补或有一外角等于它的内对角，则这四点共圆； （4） 若点C 、D 在线段AB 的同侧，且ACB ADB ∠=∠，则A B C D 、、、四点共圆； （5） 若线段AB CD 、交于E 点，且AE EB CE ED =g g ，则A B C D 、、、四点共圆； （6） 若相交线段PA PB 、上各有一点C D 、，且PA PC PB PD =g g ，则A B C D 、、、四点共圆。 四点共圆问题不但是平面几何中的重要问题，而且是直线形和圆之间度量关系或者位置关系相互转化的媒介。 例1、已知PQRS 是圆内接四边形，0 90PSR ∠=，过点Q 作PR PS 、的垂线，垂足分别为点H K 、求证：HK 平分QS 例2、给定锐角ABC V ，以AB 为直径的圆与边AB 上的高线' CC 及其延长线交于点M N 、，以AC 为直径的圆与AC 上的高线' BB 及其延长线交于点P Q 、。证明：M P N Q 、、、四点共圆。 例3、在等腰ABC V 中，P 为底边BC 上任意一点，过点P 做两腰的平行线分别与AB AC 、交于点 Q R 、，又点'P 是点P 关于直线QR 的对称点。求证：点'P 在ABC V 分析： 精品文档 九年级数学四点共圆例题讲解 知识点、重点、难点 四点共圆是圆的基本内容，它广泛应用于解与圆有关的问题．与圆有关的问题变化多，解法灵活，综合性强，题型广泛，因而历来是数学竞赛的热点内容。 在解题中，如果图形中蕴含着某四点在同一个圆上，或根据需要作出辅助圆使四点共圆，利用圆的有关性质定理，则会使复杂问题变得简单，从而使问题得到解决。因此，掌握四点共圆的方法很重要。 、、、＝＝＝OCOB四个点到定点DO 判定四点共圆最基本的方法是圆的定义：如果A的距离相等，即BOAC、、、D四点共圆．，那么ACB OD 由此，我们立即可以得出 1.如果两个直角三角形具有公共斜边，那么这两个直角三角形的四个顶点共圆。 将上述判定推广到一般情况，得： 2.如果四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆。 3.如果四边形的外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆。 4.如果两个三角形有公共底边，且在公共底边同侧又有相等的顶角，那么这两个三角形的四个顶点共圆。 运用这些判定四点共圆的方法，立即可以推出： 正方形、矩形、等腰梯形的四个顶点共圆。 其实，在与圆有关的定理中，一些定理的逆定理也是成立的，它们为我们提供了另一些证明四点共圆的方法．这就是： 、、、D四点共圆。B =CE·ED，则AC· 1.相交弦定理的逆定理：若两线段AB和CD相交 于E，且AEEB、、、BPD，则APA，且·PB =PC 2．割线定理的逆定理：若相交于点P的两线段PB·PD上各有一点A、C 、D四点共圆。C 3.托勒密定理的逆定理：若四边形ABCD中，AB·CD＋BC·DA= AC·BD，则ABCD是圆内接四边形。 另外，证多点共圆往往是以四点共圆为基础实现的一般可先证其中四点共圆，然后证其余各点均在这个圆上，或者证其中某些点个个共圆，然后判断这些圆实际是同一个圆。 例题精讲 、、、、、、、、、、F四点共圆，上。已知PPDAC1例：如图，P为△ABC内一点，DEEF分别在BCECAAB、、、 知识点、重点、难点 四点共圆是圆的基本内容，它广泛应用于解与圆有关的问题．与圆有关的问题变化多，解法灵活，综合性强，题型广泛，因而历来是数学竞赛的热点内容。 在解题中，如果图形中蕴含着某四点在同一个圆上，或根据需要作出辅助圆使四点共圆，利用圆的有关性质定理，则会使复杂问题变得简单，从而使问题得到解决。因此，掌握四点共圆的方法很重要。 判定四点共圆最基本的方法是圆的定义：如果A、B、C、D四个点到定点O的距离相等，即OA＝OB＝OC＝OD，那么A、B、C、D四点共圆． 由此，我们立即可以得出 1.如果两个直角三角形具有公共斜边，那么这两个直角三角形的四个顶点共圆。 将上述判定推广到一般情况，得： 2.如果四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆。 3.如果四边形的外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆。 4.如果两个三角形有公共底边，且在公共底边同侧又有相等的顶角，那么这两个三角形的四个顶点共圆。 运用这些判定四点共圆的方法，立即可以推出： 正方形、矩形、等腰梯形的四个顶点共圆。 其实，在与圆有关的定理中，一些定理的逆定理也是成立的，它们为我们提供了另一些证明四点共圆的方法．这就是： 1.相交弦定理的逆定理：若两线段AB和CD相交于E，且AE·EB=CE·ED，则A、B、C、D四点共圆。 2．割线定理的逆定理：若相交于点P的两线段PB、PD上各有一点 A、C，且PA·PB =PC·PD，则A、 B、 C、D四点共圆。 3.托勒密定理的逆定理：若四边形ABCD中，AB·CD＋BC·DA= AC·BD，则ABCD是圆内接四边形。 另外，证多点共圆往往是以四点共圆为基础实现的一般可先证其中四点共圆，然后证其余各点均在这个圆上，或者证其中某些点个个共圆，然后判断这些圆实际是同一个圆。 例题精讲 例1：如图，P为△ABC内一点，D、E、F分别在 BC、CA、AB上。已知P、D、C、E四点共圆，P、E、A、F四点共圆，求证：B、D、P、F四点共圆。 证明连PD、PE、PF．由于P、D、C、F四点共圆，所以∠BDP = ∠PEC．又由于A、E、P、F四点共圆，所以∠PEC =∠AFP．于是∠BDP= ∠AFP，故B、D、P、F四点共圆。 例2：设凸四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直，垂足为E，证明：点E关于AB、BC、CD、DA的对称点共圆。 证明以E为相似中心作相似变换，相似比为，此变换把E关于 1 2 AB、BC、CD、DA的对称点变为E在AB、BC、CD、DA上的射影P、Q、R、S（如图）.只需证明PQRS是圆内接 四边形。 由于四边形ESAP、EPBQ、EQCR及 ERDS都是圆内接四边形（每个四边形都有一 组对角为直角），由E、P、B、Q共圆有∠ EPQ = ∠EBQ.由E、Q、C、R共圆有∠ERQ=∠ ECQ，于是∠EPQ＋∠ERQ= ∠EBQ＋∠ ECQ=90°.同理可得∠EPS＋∠ERS =90°.从而有∠SPQ＋∠QRS =180°，故PQRS是圆内接四边形。 例3：梯形ABCD的两条对角线相交于点K，分别以梯形的两腰为直径各作一圆，点K位于这两个圆之外，证明：由点K向这两个圆所作的切线长度相等。 证明如图，设梯形ABCD的两腰为AB和 CD，并设AC、BD与相应二圆的第二个交点 分别为M、N.由于∠AMB、∠CND是半圆上 的圆周角，所以∠AM B=∠CND = 90°．从 而∠BMC =∠BNC=90°，故B、M、N、C四 点共圆，因此∠MNK=∠ACB．又∠ACB =∠ KAD，所以∠MNK =∠KAD.于是M、N、D、A四点共圆，因此KM·KA = KN·KD.由切割线定理得K向两已知圆所引的切线 相等。 例4：如图，A、B为半圆O上的任意两点，AC、 BD垂直于直径EF，BH⊥OA，求证：DH=AC. 证法一在BD上取一点A'，使A'D = AC，则 ACDA'是矩形。连结A'H、AB、OB.由于BD⊥EF 、 第七讲和圆有关的角、圆内接四边形与四点共圆 一、知识要点： （一）、和圆有关的角有五种：圆心角、圆周角、圆内角、圆外角、弦切角。 圆周角是这五种角的核心。 1、定理1：圆心角的度数等于它所对的弧的度数，圆周角的度数等于 它所对的弧的度数的一半。 定理2：同圆或等圆中同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等。 定理3：直径（或半周）所对的圆周角是直角；圆周角是直角，它所对的弦是直径。 定理4：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 2、圆内角：顶点在圆内的角叫做圆内角（圆心角是其特殊情形）； 定理5：圆内角的度数等于它和它的对顶角所对的两条弧度数和的一半。 3、圆外角：顶点在圆外，两边与圆相交的角叫做圆外角； 定理6：圆外角的度数等于它所夹得两弧度数的差的绝对值的一半 4、弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做 弦切角。 弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹得弧的圆心角的度数的一 半，弦切角的度数等于它所夹得弧的圆周角的度数。 （二）、圆内接四边形与四点共圆 1、圆内接四边形：在圆内，四边形的四个顶点均在同一个圆上的 四边形叫做圆内接四边形。 性质：（1）、圆内接四边形的对角互补； （2）、圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角 （就是和它相邻的内角的对角）。 2、判定四点共圆的方法： ①、到一定点等距离的几个点在同一个圆上； ②、同斜边的直角三角形的各顶点共圆； ③、同底同侧张等角的三角形的各顶点共圆； ④、如果一个四边形的一组对角互补，那么它的四个顶点共圆； ⑤、如果一个四边形的一个外角等于它的内对角，那么它的四个 顶点共圆； ⑥、四边形ABCD 的对角线相交于点P ，若 PA ·PC=PB ·PD,则它的 四个顶点共圆； ⑦、四边形ABCD 的一组对边AB 、DC 的延长线相交于点P,若 PA ·PB=PC ·PD,则它的四个顶点共圆。 说明：上述关于七种判定四点共圆的基本方法的命题的逆命题也使成立的。 二、要点分析： 1、在以圆为框架的有关证明三角形全等、相似等问题，常常要用到和圆有关的角。因此熟练地掌握这些角的概念和性质是解决有关圆的问题中极其重要的一环； 2、圆内接四边形和四点共圆之间有着非常密切的联系，这是因为顺次连接 初二数学联赛班八年级 第1讲四点共圆 典型例题 一.基础练习 【例1】如图，P为ABC △内一点，D、E、F分别在BC、CA、AB上．已知P、D、C、E四点共圆，P、E、A、F四点共圆，求证：B、D、P、F四点共圆． 【例2】如图7-55，在梯形ABCD中，AD∥BC，过B、C两点作一圆，AB、CD的延长线交该圆于点 E、F．求证：A、D、E、F四点共圆． 【例3】如图，⊙ 1 O、⊙ 2 O相交于A、B两点，P是BA延长线上一点，割线PCD交⊙ 1 O于C、D， 割线PEF交⊙ 2 O于E、F，求证：C、D、E、F四点共圆． P E C B A D F ? 2 O P 1 O ? F D C B A E 初二数学联赛班 八年级 【例4】 如图7-56，在△ABC 中，AD =AE ，BE 与CD 交于点P ，DP =EP ，求证：B 、C 、E 、D 四点共 圆． 【例5】 如图，已知ABC △是⊙O 的内接三角形，⊙O 的直径BD 交AC 于E ，AF BD ⊥于F ，延长 AF 交BC 于G ，求证：2AB BG BC =?． 【例6】 如图7－63，在A B C D □的对角线上，任取一点P ，过点P 作AB 、CD 的公垂线EG ，又作AD 、 BC 的公垂线FM ．求证：EF //GM ． 【例7】 如图7-66，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，DE ⊥AC ，AF ⊥BD ，点E 、F 是垂足．求证： EF //BC ． O ?G F E C D B A 初二数学联赛班八年级 【例8】如图7-60，已知△ABC，AB、AC的垂直平分线交AC、AB的延长线于点F、E．求证：E、F、 C、B四点共圆． 【例9】如图，已知：60 ABD ACD ∠=∠=， 1 90 2 ADB BDC ∠=∠-∠．求证：ABC △是等腰三角形． 二.综合提高 【例10】如图7-61，在⊙O中，AB∥CD，点P是AB的中点，CP的延长线交⊙O于点F，又点E为弧BD上任一点，连EF交AB于点G．求证：P、G、E、D四点共圆． 【例11】如图7-62，在△ABC中，∠BAC为直角，AB=AC，BM=MC，过M、C任作一圆，与AC交于点E，BE与圆交于F点，求证：AF⊥BE． D B A 九年级数学四点共圆例题讲解 知识点、重点、难点 四点共圆是圆的基本内容，它广泛应用于解与圆有关的问题．与圆有关的问题变化多，解法灵活，综合性强， 题型广泛，因而历来是数学竞赛的热点内容。 在解题中，如果图形中蕴含着某四点在同一个圆上，或根据需要作出辅助圆使四点共圆，利用圆的有关性质定理，则会使复杂问题变得简单，从而使问题得到解决。因此，掌握四点共圆的方法很重要。 判定四点共圆最基本的方法是圆的定义：如果A、B、C、D四个点到定点O的距离相等，即OA＝OB＝OC＝OD，那么A、B、C、D四点共圆． 由此，我们立即可以得出 1.如果两个直角三角形具有公共斜边，那么这两个直角三角形的四个顶点共圆。 将上述判定推广到一般情况，得： 2.如果四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆。 3.如果四边形的外角等于它的内对角，那么这个四边形的四个顶点共圆。 4.如果两个三角形有公共底边，且在公共底边同侧又有相等的顶角，那么这两个三角形的四个顶点共圆。 运用这些判定四点共圆的方法，立即可以推出： 正方形、矩形、等腰梯形的四个顶点共圆。 其实，在与圆有关的定理中，一些定理的逆定理也是成立的，它们为我们提供了另一些证明四点共圆的方法．这就是： 1.相交弦定理的逆定理：若两线段AB和CD相交于E，且AE·EB=CE·ED，则A、B、C、D四点共圆。 2．割线定理的逆定理：若相交于点P的两线段PB、PD上各有一点A、C，且PA·PB =PC·PD，则A、B、 C、D四点共圆。 3.托勒密定理的逆定理：若四边形ABCD中，AB·CD＋BC·DA= AC·BD，则ABCD是圆内接四边形。 另外，证多点共圆往往是以四点共圆为基础实现的一般可先证其中四点共圆，然后证其余各点均在这个圆上， 或者证其中某些点个个共圆，然后判断这些圆实际是同一个圆。 例题精讲 例1：如图，P为△ABC内一点，D、E、F分别在BC、CA、AB上。已知P、D、C、E四点共圆，P、E、A、F 四点共圆，求证：B、D、P、F四点共圆。 证明连PD、PE、PF．由于P、D、C、F四点共圆，所以∠BDP = ∠PEC．又由于A、E、P、F四点共圆，所以∠PEC =∠AFP．于是∠BDP= ∠AFP，故B、D、P、F四点共圆。 例2：设凸四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直，垂足为E，证明：点E关于AB、BC、CD、DA的对称点共圆。 初中数学竞赛：四点共圆问题 “四点共圆”问题在数学竞赛中经常出现，这类问题一般有两种形式：一是以“四点共圆”作为证题的目的，二是以“四点共圆”作为解题的手段，为解决其他问题铺平道路. 1“四点共圆”作为证题目的 例1．给出锐角△ABC ，以AB 为直径的圆与AB 边的高CC ′及其延长线交于M ， N .以AC 为直径的圆与AC 边的高BB ′及其延长线将于P ，Q .求证：M ，N ，P ，Q 四点共圆. 分析：设PQ ，MN 交于K 点，连接AP ，AM . 欲证M ，N ，P ，Q 四点共圆，须证 MK ·KN ＝PK ·KQ ， 即证(MC ′-KC ′)(MC ′+KC ′) ＝(PB ′-KB ′)·(PB ′+KB ′) 或MC ′2-KC ′2=PB ′2-KB ′2 . ① 不难证明 AP =AM ，从而有 AB ′2+PB ′2=AC ′2+MC ′2. 故 MC ′2-PB ′2=AB ′2-AC ′2 =(AK 2-KB ′2)-(AK 2-KC ′2) =KC ′2-KB ′2. ② 由②即得①，命题得证. 例2．A 、B 、C 三点共线，O 点在直线外， O 1，O 2，O 3分别为△OAB ，△OBC ， △OCA 的外心.求证：O ，O 1，O 2， O 3四点共圆. 分析：作出图中各辅助线.易证O 1O 2垂直平分OB ，O 1O 3垂直平分OA .观察△OBC 及其外接圆，立得∠OO 2O 1=2 1 ∠OO 2B =∠OCB .观察△OCA 及其外接圆， 立得∠OO 3O 1=2 1 ∠OO 3A =∠OCA . 由∠OO 2O 1=∠OO 3O 1?O ，O 1，O 2，O 3共圆. 利用对角互补，也可证明O ，O 1，O 2，O 3四点共圆，请同学自证. 2以“四点共圆”作为解题手段 这种情况不仅题目多，而且结论变幻莫测，可大体上归纳为如下几个方面. (1)证角相等 例3．在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＞CD ，K ，M 分别在AD ，BC 上，∠DAM ＝∠CBK . 求证：∠DMA ＝∠CKB . 分析：易知A ，B ，M ，K 四点共圆.连接KM ， 有∠DAB ＝∠CMK .∵∠DAB +∠ADC ＝180°， ∴∠CMK +∠KDC ＝180°. 故C ，D ，K ，M 四点共圆?∠CMD ＝∠DKC . A B C K M N P Q B ′C ′A B C O O O O 1 23 ？ ？A B C D K M ·· 第十四讲 圆内接四边形与四点共圆 【趣题引路】 著名的“九点圆”是由欧拉于1765年了解到的.后来又由年仅22岁的费尔巴赫(1800-1834)于1822年重新发现,并称之为九点圆,这九个点是(如图)?:? 三角形ABC 的三条边的中点A ′、B ′、 C ′，E 、C ′、A ′、B ′与F 、C ′、A ′、B ′.?? 故A ′、B ′、C ′、D 、E 、F 六点共圆. 在△HBC,△HCA 和△HAB 中,同理可证 L 、M 、N 也同圆于上面六个点所共的圆.?因 此,A ′、B ′、C ′、D 、E 、F 、L 、M 、N 九点 共圆. 我们知道,任何三角形都有内切圆、外 接圆、旁切圆等，? 还有鲜为人知的五点圆、第二莱莫恩六点圆、泰劳(Taylor) 六点圆，七点圆、富曼八点圆等等。 【知识延伸】 圆内接四边形和四点共圆之间有着非常密切的联系,?这是因为顺次连结共圆四点就成为圆内接四边形.实际上,在许多题目的已知条件中,并没有给出圆,有时需要通过证明四点共圆,把实际存在的圆找出来,然后再借助圆的性质得到要证明的结论.确定四点共圆的办法主要有: 1.诸点到某定点的距离相等,则诸点在同一圆周上. 2.若四边形对角互补或有一个外角等于它的内对角,则这四点共圆. 3.同底同侧的等角的三角形的各顶点共圆;同斜边的直角三角形的各顶点共圆. 4.若直线AB 与CD 相交于P,而且PA ·PB=PC ·PD,则A 、B 、C 、D 共圆. 要证多点共圆,一般根据题目条件先证四点共圆,再证其他点也在这个圆上. 例1 已知,四边形ABCD 内接于圆,连对角线AC 、BD. 求证:AC ·BD=AB ·CD+AD ·BC. 证明 作ABK=∠CBD,BK 交AC 于点K,(如图). 由于∠BAK=∠BDC,∴△BAK ∽△BDC, ∴AB DB AK CD 即AB ·CD=AK ·BD ① ∵∠BCK=∠BDA, ∠CBK=∠CBD+∠DBK=∠KBA+∠DBK=∠DBA 例1 如图，E、F、G、H分别是菱形ABCD各边的中点．求证：E、F、G、H 四点共圆． 证明菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，连接OE、OF、OG、OH． ∵AC和BD 互相垂直， ∴在Rt△AOB、Rt△BOC、Rt△COD、Rt△DOA中，E、F、G、H，分别是AB、BC、CD、DA的中点， 即E、F、G、H四点共圆． (2)若四边形的两个对角互补(或一个外角等于它的内对角)，则四点共圆． 例2 如图，在△ABC中，AD⊥BC，DE⊥AB，DF⊥AC． 求证：B、E、F、C四点共圆． 证明∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠AED＋∠AFD=180°， 即A、E、D、F四点共圆， ∠AEF=∠ADF． 又∵AD⊥BC，∠ADF＋∠CDF=90°， ∠CDF＋∠FCD=90°， ∠ADF=∠FCD． ∴∠AEF=∠FCD， ∠BEF＋∠FCB=180°， 即B、E、F、C四点共圆． (3)若两个三角形有一条公共边，这条边所对的角相等，并且在公共边的同侧，那么这两个三角形有公共的外接圆． 证明在△ABC中，BD、CE是AC、AB边上的高． ∴∠BEC=∠BDC=90°，且E、D在BC的同侧， ∴E、B、C、D四点共圆． ∠AED=∠ACB，∠A=∠A， ∴△AED∽△ACB． 上述三种方法是证“四点共圆”的基本方法，至于证第四点在前三点(不在同一直线上)所确定的圆上就不叙述了． 【例1】在圆内接四边形ABCD中，∠A-∠C=12°，且∠A∶∠B=2∶3．求∠A、∠B、∠C、∠D的度数． 解∵四边形ABCD内接于圆， ∴∠A+∠C=180°． ∵∠A-∠C=12°， ∴∠A=96°，∠C=84°． ∵∠A∶∠B=2∶3， ∠D=180°-144°=36°． 利用圆内接四边形对角互补可以解决圆中有关角的计算问题． 【例2】已知：如图1所示，四边形ABCD内接于圆，CE∥BD交AB 的延长线于E．求证：AD·BE=BC·DC． 证明：连结AC． ∵CE∥BD， 四点共圆 四点共圆的定义 四点共圆的定义：如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”。 证明四点共圆有下述一些基本方法： 【方法1】从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上，若能证明这一点，即可肯定这四点共圆．或利用圆的定义，证各点均与某一定点等距。 【方法2 】如果各点都在某两点所在直线同侧，且各点对这两点的张角相等，则这些点共圆．（若能证明其两张角为直角，即可肯定这四个点共圆，且斜边上两点连线为该圆直径。）【方法3 】把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆． 【方法4】把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段，若能证明它们各自被交点分成的两线段之积相等，即可肯定这四点共圆；或把被证共圆的四点两两连结并延长相交的两线段，若能证明自交点至一线段两个端点所成的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线 段之积，即可肯定这四点也共圆．即利用相交弦、切割线、割线定理的逆定理证四点共圆。【方法5】证被证共圆的点到某一定点的距离都相等，从而确定它们共圆． 【方法6】根据托勒密定理的逆定理，在四边形ABCD中，若AC*BD=AB*CD+AD*BC，那么A，B，C，D四点共圆。或根据西姆松定理的逆定理证四点共圆。 【方法7】证明五点或五点以上的点共圆，可以分别证各四点共圆，且四点中有三点相同。 【方法8】证连结各点所得凸多边形与某一圆内接凸多边形相似。 上述六种基本方法中的每一种的根据，就是产生四点共圆的一种原因，因此当要求证四点共圆的问题时，首先就要根据命题的条件，并结合图形的特点，在这8种基本方法中选择一种证法，给予证明． 一．某些知识的补充 1．已知：ABCD共圆，AB中点为E、CD中点为F，EF中点为G，过E点分别作AD、BC的垂线，垂足为H、I求证：GH=GI 首先可这样转化图形：作E点关于AD、BC边的轴对称点S、T，显然I、H分别是ES、ET中点。由中位线，可将原题转化为证：FS＝FT。再延长AD、BC相交于P点。由A、B、C、D是圆内接四边形。知△PCD∽△PAB，而PF、PE分别是这两个三角形的对应中线，故∠DPF＝∠BPE；这就表明E和F是∠APB内的两个“等角点”（即指满足左、右两角相等）。 下面是等角点的一个常用性质（Poncelet定理）： “设E、F是∠APB内的两点，满足∠APF＝∠BPE。作E关于PA、PB的轴对称点S、T。求证：FS ＝FT。” 第20讲 共点、共线与共圆问题 本节主要内容有共点、共线与共圆概念及常用证明方法．所谓共点，指n 条(n ≥3)直线经过同一点．或n 个(n ≥3)圆经过同一点; 共线，指的三个及以上的点在同一条直线上; 共圆，指不在一条直线上的三点确定一个圆,以及有四点或四个以上的点在同一个圆上．证明中常用到Menelaus 定理、Ceva 定理、Fermat 点、Simson 线、Euler 线、四点共圆等知识． A 类例题 例1 设线段AB 的中点为C ，以AC 为对角线作平行四边形AECD 、 BFCG ，又作平行四边形CFHD 、CGKE ，求证：H 、C 、K 三点共线． 分析 C 为AB 中点，若C 为HK 的中点，则AKBH 为平行四边形．反之，若平行四边形成立，则H 、C 、K 共线． 证明 连AK 、DG 、BH ． ∵ AD ∥EC ∥KG ，AD ＝EC ＝KG ，∴ 四边形AKGD 是平行四边形． ∴ AK ∥GD ，AK ＝GD ． 同理，BH ∥GD ，BH ＝GD ，∴ BH ∥AK ，BH ＝AK ， ∴ 四边形AKBH 是平行四边形．故AB 、HK 互相平分，即HK 经过AB 的中点C ． ∴ H 、C 、K 三点共线． 说明 证明具有特殊的性质的几个点共线． 例2 求证：过圆内接四边形各边中点向对边所作的四条垂线，交于一点． 分析 画出图形，是必要的，可以研究一下两条垂线的交点的性质，不难发现证明的方法． 证明 若ABCD 是特殊图形(矩形、等腰梯形)，易知结论成立． 如图，设圆内接四边形ABCD 的对边互不平行．E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、DA 的中点，EE '⊥CD ，FF '⊥DA ，GG '⊥AB ，HH '⊥BC ，垂足分别为E '，F '，G '，H '． K H G E F B C D A 高中数学竞赛平面几何讲座四点共圆问题 “四点共圆”问题在数学竞赛中经常出现，这类问题一般有两种形式：一是以“四点共圆”证题的目的，二是以“四点共圆”作为解题的手段，为解决其他问题铺平道路。 作为判断四点共圆的方法除了定义外，还有以下定理： 定理1若四边形的两个对角互补，则四点共圆。 定理2若四边形的一个外角等于它的内对角，则四点共圆。 定理3两三角形有公共底边，且在公共底边同侧又有相等的顶角，则四点共圆。 定理4（相交弦定理的逆定理）若两条线段AB和CD相交于点E，且AE·EB=CE·ED,则A,B,C,D四点共圆。 定理5（切割定理的逆定理）若相交于点P的两条线段PB,PD上各有一点A,C,且PA·PB=PC·PD,则A,B,C,D四点共圆 定理6（托勒密定理的逆定理）若四边形ABCD的两组对边乘积的和等于它的两条对角线的乘积，即AB·CD+BC·DA=AC·BD,则A,B,C,D四点共圆。 1 “四点共圆”作为证题目的 2 以“四点共圆”作为解题手段 这种情况不仅题目多，而且结论变幻莫测，可大体上归纳为如下几个方面. (1)证角相等 题2．在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＞CD ，K ，M 分别在AD ，BC 上，∠DAM ＝∠CBK . 求证：∠DMA ＝∠CKB . (2)证线垂直 题3．⊙O 过△ABC 顶点A ，C ，且与AB ，BC 交于K ，N (K 与N 不同).△ABC 外接圆和△ BKN 外接圆相交于B 和M .求证：∠BMO =90°. .(3)判断图形形状 例4．四边形ABCD 内接于圆，△BCD ，△ACD ，△ABD ，△ABC 的内心依次记为I A ，I B ， I C ，I D . 试证：I A I B I C I D 是矩形. 题5.凸四边形ABCD 有内切圆,该内切圆切边AB,BC,CD,DA 的切点分别为1111,,,.A B C D 连接11111111,,,,A B B C C D D A 点,,,E F G H 分别是11111111,,,A B B C C D D A 的中点。求证：四边形EFGH 为矩形的充要条件是A,B,C,D 四点共圆。 (4)计算 第四讲 四点共圆问题 “四点共圆”问题在数学竞赛中经常出现，这类问题一般有两种形式：一是以“四点共圆”作为证题的目的，二是以“四点共圆”作为解题的手段，为解决其他问题铺平道路.判定“四点共圆”的方法，用得最多的是统编教材《几何》二册所介绍的两种（即P 89定理和P 93例3），由这两种基本方法推导出来的其他判别方法也可相机采用. 1 “四点共圆”作为证题目的 例1．给出锐角△ABC ，以AB 为直径的圆与AB 边的高CC ′及其延长线交于M ， N .以AC 为直径的圆与AC 边的高BB ′及其延长线将于P ，Q .求证：M ，N ，P ，Q 四点共圆. (第19届美国数学奥林匹克) 分析：设PQ ，MN 交于K 点，连接AP ，AM . 欲证M ，N ，P ，Q 四点共圆，须证 MK ·KN ＝PK ·KQ ， 即证(MC ′-KC ′)(MC ′+KC ′) ＝(PB ′-KB ′)·(PB ′+KB ′) 或MC ′2-KC ′2=PB ′2-KB ′2 .① 不难证明 AP =AM ，从而有 AB ′2+PB ′2=AC ′2+MC ′2. 故 MC ′2-PB ′2=AB ′2-AC ′2 =(AK 2-KB ′2)-(AK 2-KC ′2) =KC ′2-KB ′2.② 由②即得①，命题得证. 例2．A 、B 、C 三点共线，O 点在直线外， O 1，O 2，O 3分别为△OAB ，△OBC ， △OCA 的外心.求证：O ，O 1，O 2， O 3四点共圆. (第27届莫斯科数学奥林匹克) 分析：作出图中各辅助线.易证O 1O 2垂直平分OB ，O 1O 3垂直平分OA .观察△OBC 及其外接圆，立得∠OO 2O 1=2 1 ∠OO 2B =∠OCB .观察△OCA 及其外接圆， 立得∠OO 3O 1=2 1 ∠OO 3A =∠OCA . 由∠OO 2O 1=∠OO 3O 1 O ，O 1，O 2，O 3共圆. 利用对角互补，也可证明O ，O 1，O 2，O 3四点共圆，请同学自证. 2 以“四点共圆”作为解题手段 这种情况不仅题目多，而且结论变幻莫测，可大体上归纳为如下几个方面. (1)证角相等 例3．在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＞CD ，K ，M 分别在AD ，BC 上，∠DAM ＝∠CBK . 求证：∠DMA ＝∠CKB . （第二届袓冲之杯初中竞赛） 分析：易知A ，B ，M ，K 四点共圆.连接KM ， A B C K M N P Q B ′C ′A B C O O O O 1 23 ？ ？C D K M 高中数学竞赛辅导（证共圆问题） 一、利用圆的定义（找到某一点，证明四点到这一点的距离相等，则此四点共圆） 1．K 为△ABC 内任一点，在△ABC 内作三条直线，AL 、BM 、CN ，使∠BAL=∠CAK, ∠ABM=∠CBK, ∠BCN=∠ACK,且AL=AK ，BM=BK ，CN=CK ，求证：K 、L 、M 、N 四点共圆。 2．给定锐角三角形△ABC ，在BC 边上取点A 12,A （2A 位于1A 与C 之间），在AC 边上取点B 12,B （2B 位于1B 与A 之间），在AB 边上取点C 12,C （2C 位于1C 与B 之间），使得∠122112211221AA A AA A BB B BB B CC C CC C =∠=∠=∠=∠=∠，直线1AA 、1BB 和1CC 可构成一个三角形，直线2AA 、2BB 和2CC 可构成另一个三角形，直线1AA 、1BB 和1CC ，证明：这两个三角形的六个顶点共圆。 3．设1234A A A A 为圆的内接四边形，1234,,,H H H H 分别为234341412123 ,,,A A A A A A A A A A A A V V V V 的垂心，求证：1234,,,H H H H 四点共圆。 二、利用角的关系 （1）证明四点为顶点的四边形的内对角互补，则四点共圆；（2）证明四点为顶点的丝包线的一外角等于其内对角，则四点共圆；（3）线段同旁张等角，则四点共圆。 4．凸四边形ABCD 中，AC ⊥BD ，作垂足E 关于AB 、BC 、CD 、DA 的对称点P 、Q 、R 、S ，求证：P 、Q 、R 、S 四点共圆。 5．已知O 是⊙O 1、⊙O 2、⊙O 3的公共点，点A 、B 、C 分别是⊙O 2与⊙O 3、⊙O 1与⊙O 3、⊙O 1与⊙O 2的交点，若A 、B 、C 三点共线，求证：O 、O 1、O 2、O 3四点共圆。 6．已知在凸五边形ABCDE 中，03,,1802BAE BC CD DE BCD CDE αα∠===∠=∠=-，求证：A 、B 、C 、D 、E 五点共圆。初中数学竞赛——圆4.四点共圆
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