将椭圆的参数方程转换为普通方程
椭圆是一种常见的二维几何图形，它具有独特的形状和特征。椭圆的参数方程是一种描述椭圆的方程形式，它能够直观地表示出椭圆的形状和位置。然而，有时我们需要将椭圆的参数方程转换为普通方程，以便更方便地进行计算和分析。本文将介绍如何将椭圆的参数方程转换为普通方程。
让我们回顾一下椭圆的参数方程。一个椭圆可以由以下两个参数方程表示：
x = a * cos(t)
y = b * sin(t)
其中，a和b分别表示椭圆的长半轴和短半轴的长度，t表示参数，取值范围为0到2π。
为了将椭圆的参数方程转换为普通方程，我们需要利用三角函数的性质以及坐标系中的关系。首先，我们将参数方程中的cos(t)和sin(t)分别表示为x轴和y轴上的坐标值，即：
cos(t) = x / a
sin(t) = y / b
将上述两个等式代入椭圆的参数方程中，得到：
x = a * (x / a)
y = b * (y / b)
简化上述等式，得到：
x^2 / a^2 + y^2 / b^2 = 1
这就是椭圆的普通方程，也被称为椭圆的标准方程。在普通方程中，x和y分别表示椭圆上的点的坐标，a和b表示椭圆的长半轴和短半轴的长度。
椭圆的普通方程可以帮助我们更方便地计算和分析椭圆的性质。例如，可以通过普通方程确定椭圆的中心点、长半轴和短半轴的长度，进而计算出椭圆的周长和面积。
除了将椭圆的参数方程转换为普通方程，我们还可以将普通方程转换为参数方程。这样做可以更方便地描述椭圆的轨迹和位置。具体的转换方法可以通过将普通方程中的x和y表示为参数t的函数来实现。
总结起来，本文介绍了将椭圆的参数方程转换为普通方程的方法。通过将参数方程中的cos(t)和sin(t)表示为x轴和y轴上的坐标值，我们可以得到椭圆的普通方程。椭圆的普通方程可以帮助我们更方便地计算和分析椭圆的性质。同时，我们还可以通过将普通方程转换为参数方程来描述椭圆的轨迹和位置。
希望本文的内容能够对读者理解椭圆的参数方程转换为普通方程有所帮助，以及在相关的计算和分析中能够应用到这些知识。椭圆是数学中重要的几何图形之一，它在实际生活和科学研究中都有广泛的应用，因此对椭圆的理解和掌握是很有价值的。
高考数学专题——参数方程 一、基本知识要求 1．参数方程和普通方程的互化 (1通过消去参数，从参数方程得到普通方程． (2)寻找变量x ，y 中的一个与参数t 的关系，令x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变 数与参数的关系y ＝g (t )，那么? ????x ＝f （t ）， y ＝g （t ）就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的 互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致． 2．直线、圆和圆锥曲线的参数方程形式 直线参数方程：{x =x 0+t cos α y =y 0+t sin α （t 为参数） 圆的参数方程：{x =x 0+acos θ y =y 0+asin θ （θ为参数且0≤θ<2π） 椭圆的参数方程：{x =m cos t y =n sin t (t 为参数且0≤t <2π) 抛物线的参数方程：{x =2pt 2 y =2pt （t 为参数） 二、常考题型要求 常考题型：共4种大题型（包含参数方程与普通方程转化问题、求距离问题、 直线参数方程t 的几何意义、与动点有关的取值范围和最值问题） 1、参数方程与普通方程互化问题：（1）参数方程中可通过代入法、加减法、平方法等直接消去参数时，则直接消参；（2）参数方程中参数为角时，则通过构造sin 2θ＋cos 2θ＝1消去参数。 例1、【2020年高考全国II 卷理数】[选修4—4：坐标系与参数方程] 已知曲线C 1，C 2的参数方程分别为 C 1：（θ为参数），C 2：（t 为参数）．
（1）将C1，C2的参数方程化为普通方程； 【解析】（1）的普通方程为． 由的参数方程得，，所以． 故的普通方程为． 例2、【2020·广东省高三其他（理）】在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为＝（＞0），过 点的直线的参数方程为（t为参数），直线与曲线C相交 于A，B两点． （Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线的普通方程； 【答案】（Ⅰ）， 【解析】（Ⅰ）根据可将曲线C的极坐标方程化为直角坐标，两式相减消去参数得直线的普通方程为． 得,由韦达定理有．解之得：或（舍去） 试题解析：（Ⅰ）由得, ∴曲线的直角坐标方程为． 直线的普通方程为． 例3、【2020·山西省太原五中高三其他（理）】在直角坐标系中，曲线的参数方程为 (为参数).以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的
将椭圆的参数方程转换为普通方程 椭圆是一种常见的二维几何图形，它具有独特的形状和特征。椭圆的参数方程是一种描述椭圆的方程形式，它能够直观地表示出椭圆的形状和位置。然而，有时我们需要将椭圆的参数方程转换为普通方程，以便更方便地进行计算和分析。本文将介绍如何将椭圆的参数方程转换为普通方程。 让我们回顾一下椭圆的参数方程。一个椭圆可以由以下两个参数方程表示： x = a * cos(t) y = b * sin(t) 其中，a和b分别表示椭圆的长半轴和短半轴的长度，t表示参数，取值范围为0到2π。 为了将椭圆的参数方程转换为普通方程，我们需要利用三角函数的性质以及坐标系中的关系。首先，我们将参数方程中的cos(t)和sin(t)分别表示为x轴和y轴上的坐标值，即： cos(t) = x / a sin(t) = y / b 将上述两个等式代入椭圆的参数方程中，得到：
x = a * (x / a) y = b * (y / b) 简化上述等式，得到： x^2 / a^2 + y^2 / b^2 = 1 这就是椭圆的普通方程，也被称为椭圆的标准方程。在普通方程中，x和y分别表示椭圆上的点的坐标，a和b表示椭圆的长半轴和短半轴的长度。 椭圆的普通方程可以帮助我们更方便地计算和分析椭圆的性质。例如，可以通过普通方程确定椭圆的中心点、长半轴和短半轴的长度，进而计算出椭圆的周长和面积。 除了将椭圆的参数方程转换为普通方程，我们还可以将普通方程转换为参数方程。这样做可以更方便地描述椭圆的轨迹和位置。具体的转换方法可以通过将普通方程中的x和y表示为参数t的函数来实现。 总结起来，本文介绍了将椭圆的参数方程转换为普通方程的方法。通过将参数方程中的cos(t)和sin(t)表示为x轴和y轴上的坐标值，我们可以得到椭圆的普通方程。椭圆的普通方程可以帮助我们更方便地计算和分析椭圆的性质。同时，我们还可以通过将普通方程转换为参数方程来描述椭圆的轨迹和位置。
参数方程和普通方程的互化 曲线的参数方程和普通方程的互化 (1)曲线的参数方程和普通方程是在同一平面直角坐标系中表示曲线的方程的两种不同形式，两种方程是等价的可以互相转化． (2)将曲线的参数方程化为普通方程，有利于识别曲线的类型．参数方程通过消去参数就可得到普通方程． (3)普通方程化为参数方程，首先确定变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，其次将x ＝f (t )代入普通方程解出y ＝g (t )，则??? ? ?x ＝f (t )y ＝g (t ) (t 为参数)就是曲线的参数方程． (4)在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致． 1．参数方程? ????x ＝cos 2 θy ＝sin 2 θ，(θ为参数)表示的曲线是( ) A ．直线 B ．圆 C ．线段 D ．射线 解析：选C.x ＝cos 2 θ∈[0，1]，y ＝sin 2 θ∈[0，1]，所以x ＋y ＝1，(x ，y ∈[0，1])为线段． 2．能化为普通方程x 2 ＋y －1＝0的参数方程为( ) A.?????x ＝sin t y ＝cos 2t B.?????x ＝tan φy ＝1－tan 2φ C.???x ＝1－t y ＝t D.?????x ＝cos θ y ＝sin 2θ 解析：选B.对A ，可化为x 2＋y ＝1(y ∈[0，1])；对B ，可化为x 2 ＋y －1＝0；对C ，可化为x 2 ＋y －1＝0(x ≥0)；对D ，可化为y 2 ＝4x 2 －4x 4 .(x ∈[－1，1])． 3．(1)参数方程? ????x ＝2t y ＝t (t 为参数)化为普通方程为____________． (2)参数方程? ????x ＝1＋cos θ y ＝1－sin θ，(θ为参数)化为普通方程为____________． 解析：(1)把t ＝12x 代入y ＝t 得y ＝1 2x . (2)参数方程变形为??? ? ?x －1＝cos θ，y －1＝－sin θ， 两式平方相加，得(x －1)2 ＋(y －1)2 ＝1. 答案：(1)y ＝12 x (2)(x －1)2＋(y －1)2 ＝1
参数方程的消参方法 1、参数方程化为普通方程的过程就是消参过程常见方法有三种： （1）代入法：利用解方程的技巧求出参数t ，然后代入消去参数。 （2）三角法：利用三角恒等式消去参数 （3）整体消元法：根据参数方程本身的结构特征，从整体上消去。 化参数方程为普通方程为0),(=y x F ：在消参过程中注意变量x 、y 取值范围的一致性，必须根据参数的取值范围，确定)(t f 和)(t g 值域得x 、y 的取值范围。 2、常见曲线的参数方程 （1）过定点),(00y x P 倾斜角为 α的直线的参数方程 ? ??+=+=αα sin cos 00t y y t x x （t 为参数） （2）圆2 2 2 r y x =+参数方程?? ?==θ θ sin cos r y r x （θ为参数） （3）圆2 2 2 00()()x x y y r -+-=参数方程为：? ??+=+=θθ sin cos 00r y y r x x （θ为参数） （4）椭圆122 22=+b y a x 参数方程 ?? ?==θθ s i n c o s b y a x （θ为参数） （5）抛物线Px y 22 =参数方程? ??==Pt y Pt x 222 （t 为参数） 7．已知：直线l 过点)0,2(P ，斜率为 3 4，直线l 和抛物线x y 22 =相交于B A ,两点，设线段AB 的中点为M ，求（1）M P ,两点间的距离。（2）M 点的坐标。（3）线段AB 的长AB 。 解：由34tan =α得：53cos ,54sin ==αα，所以直线的参数方程为()为参数t t y t x ?? ?? ? =+=54532，代入x y 22=化简得：045625162=--t t ，4 25 ,8152121-==+t t t t （1）4 15221 =+=t t PM （2）?? ??? =?==?+=341554417415532y x 所以??? ??3,417M （3）()8 65 542 1221= -+= t t t t AB 10 (1) 写出经过点)5,1(0M ，倾斜角是3/π的直线l 的参数方程； (2) 利用这个参数方程，求这条直线l 与直线032=--y x 的交点到点M 0的距离。 (3) 求这条直线l 和圆162 2 =+y x 的两个交点到点M 0的距离的和与积。 解：(1)()为参数t t y t x ??? ??? ? +=+=235211 (2)3610+ (3)把()为参数t t y t x ??? ??? ?+=+=235211代入1622=+y x 化简得：() 0103512=+++t t ()3103642 122121+=-+= -t t t t t t ，1021=t t 1. 设是椭圆上的一个动点，则的最大值是 ，最小值是。P x y x y 2312222+=+ 分析一：注意到变量（x ，y ）的几何意义，故研究二元函数x+2y 的最值时，可转化为几何问题。若 设x+2y=t ，则方程x+2y=t 表示一组直线（t 取不同的值，方程表示不同的直线），显然（x ，y ）既满足2x 2+3y 2=12，又满足x+2y=t ，故点（x ，y ）是方程组的公共解。依题意，可知直线与椭圆总有公共点。从而转化为 研究消元后的一元二次方程的判别式。 231222022x y x y t x y t +=+=???+=≥? 解法一：
二次参数方程化为普通方程解法 二次参数方程是指形如x = f(t)和y = g(t)的方程，其中f(t)和g(t)都是关于参数t的二次函数。这种形式的方程在数学和物理等领域有广泛的应用，但在具体计算中，我们常常需要将其转化为普通方程形式，以便更好地进行分析和求解。 一般来说，将二次参数方程化为普通方程有两种常用的方法，分别是消元法和代入法。 我们来看消元法。消元法的基本思想是通过消去参数t，将参数方程转化为只含有自变量x和y的方程。具体步骤如下： 1. 将x = f(t)和y = g(t)两个参数方程联立起来，得到一个含有x和y的方程组。 2. 将其中一个方程中的t表示为另一个方程中的t的函数，然后代入到另一个方程中，得到一个只含有x和y的方程。 3. 对得到的方程进行化简和整理，最终得到普通方程。 举个例子来说明消元法的具体操作。假设有二次参数方程x = 2t^2 + 3t + 1和y = t^2 + 2t + 3，我们要将其转化为普通方程。 联立两个参数方程得到方程组： x = 2t^2 + 3t + 1 y = t^2 + 2t + 3
然后，将第一个方程中的t表示为第二个方程中的t的函数： t = (x - 1) / 2 将上式代入第二个方程中，得到只含有x和y的方程： y = ((x - 1) / 2)^2 + 2((x - 1) / 2) + 3 化简得到： y = (x^2 - 2x + 1) / 4 + (x - 1) + 3 进一步整理得到普通方程： 4y = x^2 + 2x + 4 这样，我们就成功地将二次参数方程化为了普通方程。 除了消元法，代入法也是将二次参数方程化为普通方程的常用方法。代入法的基本思想是将其中一个参数方程中的变量表示为另一个参数方程中的变量的函数，然后代入到另一个参数方程中，得到一个只含有一个变量的方程，再根据这个方程解出该变量，最终得到普通方程。 具体步骤如下： 1. 将x = f(t)和y = g(t)两个参数方程联立起来，得到一个含有x和y的方程组。 2. 将其中一个方程中的变量表示为另一个方程中的变量的函数，然
§3 参数方程化成普通方程 1.代数法消去参数 (1)这种方法是从参数方程中选出一个方程，解出参数，然后把参数的表达式代入另一个方程，消去参数，得到曲线的普通方程.我们通常把这种方法称为代入法. (2)通过代数方法，如乘、除、乘方等把参数方程中的方程适当地变形，然后把参数方程中的两个方程进行代数运算.消去参数. 2.利用三角恒等式消去参数 如果参数方程中的x ，y 都表示为参数的三角函数，那么可以考虑用三角函数公式中的恒等式消去参数，这是参数方程转化为普通方程的基本方法之一. 【思维导图】 【知能要点】 1.代数法消去参数把参数方程化为普通方程. 2.利用三角恒等式消去参数把参数方程化为普通方程. 题型一 代数法消去参数 这种方法的基本方法是由参数方程中的一个方程，解出参数，然后代入另一个参数方程中得普通方程，这种方法思路简单，可能运算量大.其次就是把参数方程适当地变形，然后把两参数方程进行代数运算消去参数，这种方法运算量小，但往往需要提前进行适当的变形. 【例1】 把参数方程化为普通方程. (1)?????x ＝1＋12t ，y ＝5＋32t ；
(2)?????x ＝（1－k 2）r 1＋k 2，y ＝2kr 1＋k 2. 解 (1)由x ＝1＋12t 得t ＝2x －2代入y ＝5＋32t 中得y ＝5＋32(2x －2)， 即：3x －y ＋5－3＝0就是它的普通方程. (2)?????x ＝（1－k 2）r 1＋k 2，y ＝2kr 1＋k 2 ??????x 2＝（1－k 2）2r 2（1＋k 2）2， y 2＝4k 2r 2（1＋k 2）2， 得x 2＋y 2＝（1－2k 2＋k 4）r 2＋4k 2r 2（1＋k 2）2＝（1＋2k 2＋k 4）r 2（1＋k 2） 2＝r 2. ∴x 2＋y 2＝r 2就是它的普通方程. 【反思感悟】 用代数法消去参数有时用一个参数方程解析出参数太复杂，如第 (2)小题，这时为了减少运算量，就要对参数方程的两个式子进行适当变形.即两 边取平方.然后相加消去参数. 1.将下列参数方程化成普通方程. (1)?????x ＝t ＋1t －1，y ＝2t t 3－1； (2)???x ＝2t 2－t －3，y ＝t 2－t －1；(3)?????x ＝p t 2＋pt 2，y ＝p t －pt . 解 (1)由x ＝t ＋1t －1，得t ＝x ＋1x －1.代入y ＝2t t 3－1化简得y ＝（x ＋1）（x －1）23x 2＋1 (x ≠1). (2)由x －2y ＝t －1得t ＝x －2y ＋1，代入y ＝t 2－t －1化简得x 2－4xy ＋4y 2＋x －3y －1＝0. (3)将y ＝p t －pt 的两边平方得y 2＝p 2t 2＋p 2t 2－2p 2＝p ? ?? ??p t 2＋pt 2－2p 2，以x ＝p t 2＋pt 2代入上式， 得y 2＝p (x －2p ). 题型二 利用三角恒等式消去参数 利用这种方法消去参数必须是x ，y 都表示成参数的三角函数，然后利用三角函数的恒等变形式消去参数，这种方法大部分都要对两个参数方程先进行适当的变
参数方程化普通方程 一、什么是参数方程和普通方程？ 1. 参数方程 参数方程是指用一个参数或一组参数来表示曲线上的各个点的坐标。 例如，可以用参数方程表示一个圆的边界上的点的坐标： - 圆的参数方程为： - x = r * cos(t) - y = r * sin(t) - 其中，r 是圆的半径，t 是参数，取值范围为 0 到2π。 2. 普通方程 普通方程是指用一个或多个变量的代数式直接表示曲线或曲面的方程。 例如，可以用普通方程表示一个圆的边界： - 圆的普通方程为： - (x - a)^2 + (y - b)^2 - r^2 = 0 - 其中，(a, b) 是圆心的坐标，r 是圆的半径。 二、参数方程化普通方程的方法 将参数方程化为普通方程有多种方法，我们将介绍两种常用的方法。 1. 消元法 (1) 基本步骤 消元法是指根据两个参数方程，通过消去参数来得到普通方程的方法。 以二维空间中的曲线为例，假设有两个参数方程： - x = f(t) - y = g(t) 可以按照以下步骤将其消元为普通方程： 1. 将第一个参数方程转化为关于 t 的代数式； 2. 将第二个参数方程中的 t 替换为第一步得到的关于 t 的代数式，得到关于 x 和 y 的代数式，即得到普通方程。
(2) 例子 以参数方程 x = t, y = t^2 为例，求其对应的普通方程。 首先，将 x = t 代入第二个参数方程 y = t^2，得到 y = x^2。因此，普通方程 为 y = x^2。 2. 中间变量法 (1) 基本步骤 中间变量法是指通过引入一个新的中间变量，使参数方程化为包含该中间变量的代数式，然后消去该中间变量得到普通方程的方法。 以二维空间中的曲线为例，假设有两个参数方程： - x = f(t) - y = g(t) 可以按照以下步骤将其化简为普通方程： 1. 将第一个参数方程表示为 x - f(t) = 0 的形式； 2. 将第二个参数方程表示为 y - g(t) = 0 的形式； 3. 消去 t，得到关于 x 和 y 的代数式，即得到普通方程。 (2) 例子 以参数方程 x = 2t, y = t^2 为例，求其对应的普通方程。 首先，将第一个参数方程表示为 x - 2t = 0。 然后，将第二个参数方程表示为 y - t^2 = 0。 将两个方程相减并消去 t，得到 4x - y^2 = 0。因此，普通方程为 4x = y^2。 三、参数方程化普通方程的应用 参数方程化普通方程在数学和物理领域有广泛的应用。 1. 几何图形的表示和计算 利用参数方程化普通方程的方法，可以更方便地表示和计算几何图形的性质。 例如，可以用参数方程表示一个椭圆的边界上的点的坐标： - 椭圆的参数方程为：- x = a * cos(t) - y = b * sin(t) - 其中，a 和 b 分别是椭圆的半长轴和半 短轴的长度，t 是参数，取值范围为 0 到2π。
参数方程 一、基础知识 1．曲线的参数方程 在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数 ? ???? x ＝f (t )，y ＝g (t )，并且对于t 的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数． 相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程F (x ，y )＝0叫做普通方程． 2．参数方程和普通方程的互化 (1)参数方程化普通方程：利用两个方程相加、减、乘、除或者代入法消去参数． (2)普通方程化参数方程：如果x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的 关系y ＝g (t )，则得曲线的参数方程? ???? x ＝f (t )，y ＝g (t ). 3．直线、圆、椭圆的参数方程 (1)过点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为???? ? x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0 ＋t sin α(t 为参数)． 直线参数方程的标准形式的应用 过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程是? ???? x ＝x 0＋t cos α， y ＝y 0＋t sin α.若M 1，M 2是l 上 的两点，其对应参数分别为t 1，t 2，则 ①|M 1M 2|＝|t 1－t 2|. ②若线段M 1M 2的中点M 所对应的参数为t ，则t ＝t 1＋t 2 2，中点M 到定点M 0的距离|MM 0| ＝|t |＝?? ??t 1＋t 22. ③若M 0为线段M 1M 2的中点，则t 1＋t 2＝0. ④|M 0M 1||M 0M 2|＝|t 1t 2|. (2)圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为???? ? x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0 ＋r sin θ(θ为参数)．
将参数方程化为普通方程的方法 摘要：《极坐标与参数方程》是全国卷高考选考的重要内容，大部分学校都选这部分内容，而且《极坐标与参数方程》对必修中的圆锥曲线解题有很大的帮助。极坐标方程和参数方程的综合问题一直是高考命题的热点，主要考查等价转换思想，代数式变形能力，逻辑思维推理能力，本文主要介绍的是将参数方程转化普通方程的高考常用的四种方法。 关键词：参数方程直接消参分离常数平方三角换元 1. 常见曲线参数方程 1.过定点倾斜角为的直线的参数方程 (为参数)． 2.圆的参数方程 (为参数)． 3.圆的参数方程 (为参数)． 4.椭圆的参数方程 (为参数)． 5.抛物线的参数方程 (为参数)． 二、将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，要选取适当的消参方法，常见的消参的方法有四种： 1.直接消参法：通过其中一个方程求出参数的值，再代入另外一个方程的化简。 2.分离常数消参法：把其中一个方程中的参数分离出来，代入另一个方程。 3.平方消参法：把两个方程平方后做稍微变形以后相加。
4.三角换元消参法：通过方程换元计算出，，再利用三角函数二倍角公式、三角恒等式消去参数。 1. 方法实际应用 (2019全国Ⅰ卷，22,10分)[选修4-4：坐标系与参数方程] 在直角坐标系中，曲线的参数方程为 (为参数)．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为 .【1】 (1)求的普通方程和的直角坐标方程； (2)求上的点到的距离的最小值． 解：(1)
将代入得：所以的普通方程为用除以得：将代入得：所以的普通方程为 根据经验分析： 椭圆方程： 令
已知参数方程怎样求普通方程 已知参数方程如何求普通方程？这是许多同学在学习数学时经常遇到 的问题。本文就为大家详细解答这个问题。 首先，我们需要了解什么是参数方程，什么是普通方程。参数方程是 指用参数t表示一条曲线上的点的坐标。比如，对于一个圆的参数方 程是：x = r cos t, y = r sin t。而普通方程则是用x和y表示曲线上 的点的坐标。例如，圆的普通方程是：x^2 + y^2 = r^2。 因此，我们可以看出，参数方程和普通方程是互相转换的，也就是说，如果我们已知参数方程，就可以求出对应的普通方程。 接下来，我们来具体介绍求解的方法。以二次曲线为例，假设现在有 一条抛物线的参数方程为x = t, y = t^2。想要将其转换为普通方程，需要按照以下步骤进行。 步骤一：将y表示成t。对于上述抛物线，可以把y=t^2转化为 t=sqrt(y)，然后将其代入x=t，得到x=sqrt(y)。 步骤二：消去参数t。对于上述抛物线，将t=sqrt(y)代入x=t中得到 x=sqrt(y)，再将t=sqrt(y)代入y=t^2中得到y=y^2，整理后可得到
方程y=x^2。 步骤三：检验结果。将x=sqrt(y)代入y=x^2中得到y=y^2，也就是说，通过普通方程和参数方程求得的结果是一致的。 综上所述，普通方程和参数方程是数学上非常基础的概念，它们可以相互转换，通过转换可以帮助我们更好地理解和分析曲线的性质。求解普通方程的方法就是将参数t表示成y或x，然后消去参数t，最后做好检验即可。 希望本文对大家理解普通方程和参数方程的转换方法有所帮助。如果还有其他数学问题需要解答，欢迎随时联系我们。
参数方程化普通方程 [重点难点]掌握参数方程化普通方程的方法，理解参数方程和消去参数后所得的普通方程的等价性；应明确新旧知识之间的联系，提高综合运用所学知识解决数学问题能力。 [例题分析] 1．把参数方程化为普通方程(1)(θ∈R，θ为参数) 解:∵y=2+1-2sin2θ, 把sinθ=x代入，∴y=3-2x2, 又∵|sinθ|≤1, |cos2θ|≤1, ∴|x|≤1, 1≤y≤3, ∴所求方程为y=-2x2+3 (-1≤x≤1, 1≤y≤3) (2)(θ∈R，θ为参数） 解:∵x2=(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ，把y=sinθcosθ代入，∴x2=1+2y。 又∵x=sinθ+cosθ=sin(θ+)y=sinθcosθ=sin2θ ∴|x|≤，|y|≤。∴所求方程为x2=1+2y (|x|≤, |y|≤) 小结:上述两个例子可以发现，都是利用三角恒等式进行消参。消参过程中都应注意等价性，即应考虑变量的取值范围，一般来说应分别给出x, y的范围。在这过程中实际上是求函数值域的过程，因而可以综合运用求值域的各种方法。 (3)(t≠1, t为参数) 法一:注意到两式中分子分母的结构特点，因而可以采取加减消参的办法。 x+y==1,又x=-1≠-1，y=≠2, ∴所求方程为x+y=1 (x≠-1, y≠2)。 法二:其实只要把t用x或y表示，再代入另一表达式即可。由x=, ∴x+xt=1-t, ∴(x+1)t=1-x，即t=代入y==1-x，∴x+y=1，（其余略）这种方法称为代入消参，这是非常重要的消参方法，其它不少方法都可以看到代入消参的思想。
§3 参数方程化成普通方程 1.了解参数方程化成普通方程的意义. 2.掌握参数方程化成普通方程的基本方法.(重点) 3.能够利用参数方程化成普通方程解决有关问题.(难点) [基础·初探] 教材整理 参数方程化为普通方程 参数方程和普通方程是曲线方程的两种不同形式，普通方程用代数式直接表示点的坐标之间的关系；参数方程是借助于参数间接地反映点的坐标之间的关系.两者之间可以互化，将参数方程化成普通方程的常用方法有： (1)代数法消去参数 ①代入法：从参数方程中选出一个方程，解出参数，然后把参数的表达式代入另一个方程，消去参数，得到曲线的普通方程. ②代数运算法：通过乘、除、乘方等运算把参数方程中的方程适当地变形，然后把参数方程中的两个方程进行代数运算，消去参数，得到曲线的普通方程. (2)利用三角恒等式消去参数 如果参数方程中的x ，y 都表示为参数的三角函数，那么可以考虑用三角函数公式中的恒等式消去参数，得到曲线的普通方程. 填空： (1)将参数方程⎩⎨⎧ x ＝t ， y ＝2t (t 为参数)化为普通方程是________. (2)将参数方程⎩ ⎨⎧ x ＝cos θ， y ＝sin θ(θ为参数)化为普通方程是________. (3)将参数方程⎩⎨⎧ x ＝2t 2， y ＝t ＋1 (t 为参数)化为普通方程是________. 【解析】 (1)把t ＝x 代入②得y ＝2x 即普通方程为y ＝2x . (2)由sin 2 θ＋cos 2 θ＝1得x 2＋y 2＝1. (3)由②得t ＝y －1，代入①得x ＝2(y －1)2. 【答案】 (1)y ＝2x (2)x 2＋y 2＝1 (3)x ＝2(y －1)2
参数方程与普通方程互化 一、引言 在数学中，方程是研究数学问题的基础。方程可以描述物理规律、经济模型、自然现象等各种问题，是数学建模的重要工具。在代数学中，我们常常用普通方程来表示问题，例如一元一次方程、二次方程等。然而，在某些情况下，使用普通方程描述问题可能会比较复杂，此时参数方程就能够提供更加简洁的表示方法。参数方程是一种用参数化变量表示的方程系统，通过引入参数，可以将复杂的方程化简为一系列简单的参数方程。参数方程与普通方程之间具有相互转换的关系，本文将介绍参数方程与普通方程的互化方法。 二、参数方程的基本概念 参数方程是一种常见的数学表达形式，它由一个或多个参数化变量组成。在参数方程中，每个变量都是独立的，并且可以通过参数的变化来表示方程中的不同解。例如，我们可以用参数方程来描述一个点在直线上的运动轨迹。设直线的方程为y = mx + b，参数方程可以表示为： x = t y = mt + b 在这个参数方程中，t是一个独立的参数，它的变化可以表达直线上所有的点。 三、参数方程与普通方程的转换 参数方程与普通方程之间可以通过参数的消除和引入来进行转换。下面将介绍几种常见的转换方法。 1. 从普通方程到参数方程的转换 如果我们已知一个普通方程，想要将其转换为参数方程，可以通过参数的引入来实现。具体步骤如下： （1）选取一个或多个参数，用它们表示方程中的变量。 （2）将参数代入普通方程中，得到参数方程。 例如，我们有一个圆的方程为x^2 + y^2 = r^2，我们希望将其转换为参数方程。我们可以选取参数θ表示角度，并引入参数方程：
x = r * cos(θ) y = r * sin(θ) 在这个参数方程中，当θ取遍所有的值时，圆上的所有点都可以覆盖到。 2. 从参数方程到普通方程的转换 如果我们已知一个参数方程，想要将其转换为普通方程，可以通过参数的消除来实现。具体步骤如下： （1）从一个参数方程中解出一个参数。 （2）将解出的参数代入另一个参数方程中，得到普通方程。 例如，我们有一个参数方程x = t，y = t^2，我们希望将其转换为普通方程。我们可以通过将t代入第二个参数方程中，得到普通方程： x = y^0.5 在这个普通方程中，y表示x的平方根，这样我们就成功地将参数方程转换为了普通方程。 四、参数方程与普通方程的应用 参数方程与普通方程在数学建模中有着广泛的应用。下面将介绍几个常见的应用场景。 1. 几何图形的描述 参数方程可以方便地描述几何图形的轨迹。例如，我们可以用参数方程来描述一个直线、圆、椭圆等几何图形的轨迹。参数方程可以通过引入参数来简化几何图形的方程，从而更加清晰地描述图形的性质。 2. 运动学问题的建模 在物理学中，运动学是研究物体运动的一门学科。参数方程在运动学问题的建模中有着重要的应用。例如，我们可以通过参数方程来描述一个物体在空间中的运动轨迹，或者描述它的速度、加速度等重要参数。参数方程的引入使得运动学问题的建模更加简洁、直观。
参数方程与普通方程的互化 姚建新 【学习目标】 1．参数方程与普通方程的互化 2．掌握化参数方程为普通方程的几种方法 3．培养严谨的数学思维品质 【学习难点和重点】等价变形 【课堂讲解】 参数方程和普通方程是直角坐标系下曲线方程的不同表示形式，它们都是表示曲线上点的坐标之间关系的，故在一般情况下，它们可以相互转化。将曲线的参数方程化为普通方程，可借助于以熟悉的普通方程的曲线来研究参数方程的曲线的类型、形状、性质等；而将普通方程化为参数方程，可用参变量作为中介来表示曲线上点的坐标，从而给研究曲线的有关问题带来方便。 例1：将下列曲线的参数方程化为普通方程： 一、代入法：先由x=f(t)或y=g(t)解出t(用x,y 表示)，在代入另一个方程从而消去参数t ，注意等价变形 （1）)(221R t t y t x ∈⎩⎨ ⎧-=+= (2)⎪⎩⎪⎨⎧--=+=1 912 2 t y t x 二、三角法：利用一些三角恒等式来消去参数，注意等价变形 (3))4 54 ( sin cos sin cos πθπ θθθ θ≤ ≤⎩⎨ ⎧+=⋅=y x （4）)2,0(sin 452cos 12⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡∈⎩⎨⎧-=+=πθθ θy x （5）)20(sin 4cos 5πθθ θ<≤⎩⎨ ⎧==y x 三、平方作差法：先将x=f(t)或y=g(t)两边分别平方，然后相减，即可消去参数，注意等 价变形 （6）)0(2112≠⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧ -=+=t t t y t t x （7）)0(112222≠⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨ ⎧-=+=t t t y t t x
四、线段型：通过观察，普通方程是一条直线，注意等价变形 （8）t y t t x (31⎪⎩⎪ ⎨⎧ =+=为参数） （9）θθ(cos 21⎩ ⎨⎧+==y x 为参数） 点评：参数方程化为普通方程的基本思想是“消去参数”，消去参数t 的方法有时是 从方程组的一个式子解出t 代入另一式；有时是利用三角、代数的恒等式进行消元。 例2：设x=2cos )20(πθθ<≤,将曲线的普通方程x 2+y 2 -4y=0化为参数方程 点评：把曲线的普通方程化为参数方程的关键是选择参数 。一般可设x=f(t)（或y=g(t)）,将x （或y ）代入F(x,y)=0解出y=g(t)(或x=f(t)),即可得参数方程：t t g y t f x () ()(⎩⎨ ⎧==是参数） 例3：点M 为椭圆 12 22 2=+ b y a x (a>b>0)在第一象限内线段AB 弧上的动点，求四边形OAMB 的面积S 的最大值 【课后反馈】 1. 将下列曲线的参数方程化为普通方程： （1）)(sin cos 2 2 R y x ∈⎪⎩⎪⎨⎧==θθθ （2）)0(1 21≥⎪⎩⎪⎨ ⎧-=+-=t t y t x （3）)(2cos sin 1R t t y t x ∈⎩⎨⎧=+= （4）),0,0() 1()1(是参数t t b a t t b y t t a x ≠≠⋅⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨⎧ -=+= （5）)(sin 21 R y x ∈⎩ ⎨ ⎧+==θθ 2. 椭圆⎩⎨ ⎧+=+=θ θsin 32cos 41y x 的长轴上两个顶点的坐标是__________ 3. 双曲线⎩⎨⎧+=+-=θ θ sec 322tan 22y x 的两条渐进线的夹角大小为___________ 4. 直线x+3y-4=0和圆ϕϕ ϕ≤⎩⎨ ⎧==0(sin 2cos 2y x )2π<的位置关系是（ ）
编写时间：2021 年 月 日 第二学期 总第 课时 编写人：马安山 课 题 参数方程与普通方程的互化 授课班级 高二 ( 17 ) 授课时间 2021 年 月 日 学习目标 1. 知识与技能：掌握参数方程化为普通方程几种基本方法. 2. 过程与方法：选取适当的参数化普通方程为参数方程. 3. 情感、态度和价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识. 教学重点 通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识. 教学难点 参数方程与普通方程的等价性. 课 型 新 课 主要教学方法 启发、诱导发现教学 教学模式 合作探究，归纳总结 教学手段与教具 多媒体教学 教 学 过 程 设 计 各环节教学反思 一、复习引入： 1. 圆的参数方程； 2. 椭圆的参数方程； 3. 直线的参数方程； 4. 双曲线的参数方程。 二、新课探究： 1. 参数方程化为普通方程的过程就是消参过程常见方法有三种： （1） 代入法：利用解方程的技巧求出参数t ，然后代入消去参数 （2） 三角法：利用三角恒等式消去参数整体消元法：根据参数方程 本身的结构特征，从整体上消去。 化参数方程为普通方程为0),(=y x F ：在消参过程中注意变量x 、y 取值范围的一致性，必须根据参数的取值范围，确定)(t f 和)(t g 值域得x 、y 的取值范围。 2.探析常见曲线的参数方程化为普通方程的方法，体会互化过程，归纳方法。 （1）圆2 2 2 r y x =+, 参数方程⎩ ⎨⎧==θθsin cos r y r x （θ为参数） （2）圆22020)-()-(r y y x x =+, 参数方程为：⎩⎨⎧+=+=θ θ sin cos 00r y y r x x （θ为参数）
3.1.3参数方程与普通方程的互化 学习目标 1．明确参数方程与普通方程互化的必要性. 2．掌握参数方程化为普通方程的几种基本方法，能选取适当的参数化普通方程为参数方程. 学习过程 一、学前准备 复习：1、在解方程组中通常用的消元方法有哪些？ 2. 写出圆222x y r +=的参数方程，圆()()22 2x a y b r -+-=呢？ 二、新课导学 ◆探究新知（预习教材P 24～P 26，找出疑惑之处） 问题１：方程()2 231x y -+=表示什么图形？ 问题2：上节课例2中求出点M 的参数方程是cos 3sin x y θθ =+⎧⎨ =⎩， 那么点M 的轨迹是什么？ 小结：1.曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式. 2.曲线的参数方程与普通方程一般可以互化. ◆应用示例 例1．把下列参数方程化为普通方程，并说明它表示什么曲线： （１）11x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩t 为参数） （２）sin cos 1sin 2x y θθθ =+⎧⎨=+⎩（θ为参数） 例2 .将椭圆普通方程22 194 x y +=按以下要求化为参数方程：（1）设3cos ,x ϕϕ=为参数 （2）2,y t t =为参数
◆反馈练习 1．把下列的参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线。 （1）cos ()cos 21x y θθθ=⎧⎨ =+⎩为参数） （2）5cos ()3sin x y ϕϕϕ=⎧⎨ =⎩为参数 2．根据下列要求，把曲线的普通方程化为参数方程： １）210 1,y x y y t t ---==-设为参数. 2）已知圆的方程y y x 222=+，选择适当的参数将它化为参数方程. 老城高中高二数学选修4-4导学案 编号： 课题:椭圆的参数方程 一、三维目标 1.知识与技能: (1).椭圆的参数方程. (2).椭圆的参数方程与普通方程的关系。 二、学习重难点 学习重点：椭圆参数方程的推导.参数方程与普通方程的相互转化 学习难点：(1)椭圆参数方程的建立及应用.(2)椭圆的参数方程与普通方程的互化 三、学法指导：认真阅读教材，按照导学案的导引进行自主合作探究式学习 四、知识链接: 将下列参数方程化成普通方程 1 )(sin cos 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==b y a x 2 )(sin cos 为参数ϕϕ ϕ⎩⎨⎧==a y b x 五、学习过程
第二节 参数方程 一、基础知识 1．曲线的参数方程 在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数⎩ ⎪⎨⎪ ⎧ x ＝f (t )，y ＝g (t )，并且对于t 的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数． 相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程F (x ，y )＝0叫做普通方程． 2．参数方程和普通方程的互化 (1)参数方程化普通方程：利用两个方程相加、减、乘、除或者代入法消去参数． (2)普通方程化参数方程：如果x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，则 得曲线的参数方程⎩ ⎪⎨⎪⎧ x ＝f (t )， y ＝g (t ). 3．直线、圆、椭圆的参数方程 (1)过点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩ ⎪⎨⎪⎧ x ＝x 0＋t cos α， y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)． 直线参数方程的标准形式的应用 过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程是⎩ ⎪⎨⎪⎧ x ＝x 0＋t cos α， y ＝y 0＋t sin α.若M 1，M 2是l 上的两点，其对应参 数分别为t 1，t 2，则 ①|M 1M 2|＝|t 1－t 2|. ②若线段M 1M 2的中点M 所对应的参数为t ，则t ＝t 1＋t 22，中点M 到定点M 0的距离|MM 0|＝|t |＝⎪⎪⎪⎪ t 1＋t 22. ③若M 0为线段M 1M 2的中点，则t 1＋t 2＝0. ④|M 0M 1||M 0M 2|＝|t 1t 2|. (2)圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数)． (3)椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为⎩ ⎪⎨⎪⎧ x ＝a cos φ，y ＝b sin φ (φ为参数)． 考点一 参数方程与普通方程的互化 [典例] 已知直线l 的参数方程为⎩ ⎪⎨⎪⎧ x ＝a －2t ， y ＝－4t (t 为参数)，圆C 的参数方程为 ⎩ ⎪⎨⎪ ⎧ x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)． (1)求直线l 和圆C 的普通方程；