三角恒等变换
一、教学目标
进一步掌握三角恒等变换的方法，如何利用正、余弦、正切的和差公式与二倍角公式，对三角函数式进行化简、求值和证明：
二、知识与方法：
1. 11个三角恒等变换公式中，余弦的差角公式是其它公式的基础，由它出发，用-β代替β、2
π±β代替β、α=β等换元法可以推导出其它公式。你能根据下图回顾推导过程吗？
2．化简，要求使三角函数式成为最简：项数尽量少，名称尽量少，次数尽量底，分母尽量不含三角函数，根号内尽量不含三角函数，能求值的求出值来；
3．求值，要注意象限角的范围、三角函数值的符号之间联系与影响，较难的问题需要根据上三角函数值进一步缩小角的范围。
4．证明是利用恒等变换公式将等式的左边变同于右边，或右边变同于，或都将左右进行变换使其左右相等。
5. 三角恒等变换过程与方法，实际上是对三角函数式中的角、名、形的变换，即（1）找差异：角、名、形的差别；（2）建立联系：角的和差关系、倍半关系等，名、形之间可以用哪个公式联系起来；（3）变公式：在实际变换过程中，往往需要将公式加以变形后运用或逆用公式，如升、降幂公式， cos α= cos βcos （α-β）- sin βsin （α-β），1= sin 2α+cos 2α，0030tan 130tan 1-+=000030
tan 45tan 130tan 45tan -+=tan （450+300）等。 例题
例1 已知sin （α+β）=
32，sin （α-β）=51，求β
αtan tan 的值。
例2求值：cos24°﹣sin6°﹣cos72°
例3 化简（1）
0070sin 120sin 3-；（2）sin 2αsin 2β+cos 2αcos 2β-21cos2αcos2β。
例4 设为锐角，且3sin 2α+2sin 2β=1，3sin2α-2sin2β=0，求证：α+2β=2π。
（新）人教高中数学A版必修一第五章第5节《三角恒等变换》优质 说课稿 今天我说课的内容是新人教高中数学A版必修一的第五章第5节《三角恒等变换》。现实世界中的许多运动、变化都有着循环往复、周而复始的规律，这种变化规律称为周期性.这些现象都可以用三角函数刻画.前面我们学习了函数的一般概念，并研究了指数函数、对数函数等，知道了函数的研究内容、过程和方法，以及如何用某类函数刻画相应现实问题的变化规律.第五章我们将利用这些经验，学习刻画周期性变化规律的三角函数.三角函数是怎样的函数?它具有哪些特性?如何利用三角函数模型刻画各种周期性变化现象?本章我们就来研究这些问题.本节主要讲三角恒等变换知识。本节教学承载着实现上述目标的任务，为了更好地教学，下面我从课程标准、教材分析、核心素养、教学重难点、教学方法、教学过程等方面进行说课。 一、说课程标准 普通高中数学课程标准（２０１７年版２０２０年修订）【内容要求】１．函数概念与性质：本单元的学习，可以帮助学生建立完整的函数概念，不仅把函数理解为刻画变量之间依赖关系的数学语言和工具，也把函数理解为实数集合之间的对应关系；能用代数运算和函数图象揭示函数的主要性质；在现实问题中，能利用函数构建模型，解决问题。３．三角函数:三角函数是一类最典型的周期函数。本单元的学习，用几何直观和代数运算的方法研究三角函数的周期性、奇偶性（对称性）、单调性和最大（小）值等性质.内容包括：三角恒等变换。二、教材分析。 本节知识位于三角函数与数学变换的结合点上，能较好反应三角函数及变换之间的内在联系和相互转换，本节课内容的地位体现在它的基础性上。作用体现在它的工具性上。前面学生已经掌握了两角和与差
三角恒等变换 一、教学目标 进一步掌握三角恒等变换的方法，如何利用正、余弦、正切的和差公式与二倍角公式，对三角函数式进行化简、求值和证明： 二、知识与方法： 1. 11个三角恒等变换公式中，余弦的差角公式是其它公式的基础，由它出发，用-β代替β、2 π±β代替β、α=β等换元法可以推导出其它公式。你能根据下图回顾推导过程吗？ 2．化简，要求使三角函数式成为最简：项数尽量少，名称尽量少，次数尽量底，分母尽量不含三角函数，根号内尽量不含三角函数，能求值的求出值来； 3．求值，要注意象限角的范围、三角函数值的符号之间联系与影响，较难的问题需要根据上三角函数值进一步缩小角的范围。 4．证明是利用恒等变换公式将等式的左边变同于右边，或右边变同于，或都将左右进行变换使其左右相等。 5. 三角恒等变换过程与方法，实际上是对三角函数式中的角、名、形的变换，即（1）找差异：角、名、形的差别；（2）建立联系：角的和差关系、倍半关系等，名、形之间可以用哪个公式联系起来；（3）变公式：在实际变换过程中，往往需要将公式加以变形后运用或逆用公式，如升、降幂公式， cos α= cos βcos （α-β）- sin βsin （α-β），1= sin 2α+cos 2α，0030tan 130tan 1-+=000030 tan 45tan 130tan 45tan -+=tan （450+300）等。 例题 例1 已知sin （α+β）= 32，sin （α-β）=51，求β αtan tan 的值。
例2求值：cos24°﹣sin6°﹣cos72° 例3 化简（1） 0070sin 120sin 3-；（2）sin 2αsin 2β+cos 2αcos 2β-21cos2αcos2β。 例4 设为锐角，且3sin 2α+2sin 2β=1，3sin2α-2sin2β=0，求证：α+2β=2π。
简单的三角恒等变换教学设计（第1课时） 一、教学内容与学情分析 本节课教学内容是《普通高中课程标准实验教科书·数学（4）》（人教A版）中第三章的第二节“简单三角恒等变换”（第一课时）．本节课主要研究如何让利用已有的三角函数公式进行简单的恒等变换，以及三角恒等变换在数学中的应用，引导学生对变换对象和变换目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何让选择共识，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力。 二、教学目标 1．知识和技能目标 （1）掌握运用和（差）角公式、倍角公式进行三角变换的方法和思路； （2）弄清代数变换与三角变换的不同点 2．过程和方法目标 （1）能够利用换元、逆用公式等方法对三角函数式进行恒等变换，化简三角函数式，提高学生的推理能力； （2）弄清代数变换与三角变换的不同点，认真体会三角变换的特点，提高推理、运算能力； （3）由特殊到一般，由具体到抽象，不断提升学生的探究能力和数学思维能力，培养学生学数学地思考问题、解决问题。 3．情感和价值目标 （1）认识事物之间的的区别和联系，体会事物的变化是有规律的唯物主义思想． （2）提高学生的数学能力，培养学生的创新精神、实践能力和理性精神． 三、教学重难点 1．教学重点： （1）半角公式、积化和差、和差化积公式的推导训练 （2）三角变换的内容、思路和方法,在与代数变换相比较中体会三角变换的特点 2．教学难点： 认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力 四、教法选择 1．观察学习是重要的学习方法．这节课采用的第一个方法就是“观察、比较法”； 2．根据新课标的教学理念，教学中要培养学生合作共事的团队精神，这节课
【新教材】 人教统编版高中数学A版必修第一册第五章 教案教学设计+课后练习及答案
5.1.1《任意角和弧度制---任意角》教案 教材分析： 学生在初中学习了o 0～o 360，但是现实生活中随处可见超出o 0～o 360范围的角.例如体操中有“前空翻转体o 540”，且主动轮和被动轮的旋转方向不一致.因此为了准确描述这些现象，本节课主要就旋转度数和旋转方向对角的概念进行推广. 教学目标与核心素养： 课程目标 1.了解任意角的概念. 2.理解象限角的概念及终边相同的角的含义． 3.掌握判断象限角及表示终边相同的角的方法． 数学学科素养 1.数学抽象：理解任意角的概念，能区分各类角； 2.逻辑推理：求区域角； 3.数学运算：会判断象限角及终边相同的角. 教学重难点： 重点：理解象限角的概念及终边相同的角的含义； 难点：掌握判断象限角及表示终边相同的角的方法． 课前准备：多媒体 教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。 教学工具：多媒体。 教学过程： 一、情景导入 初中对角的定义是：射线OA 绕端点O 按逆时针方向旋转一周回到起始位置，在这个过程中可以得到o 0～o 360范围内的角.但是现实生活中随处可见超出 o 0～o 360范围的角.例如体操中有“前空翻转体o 540”，且主动轮和被动轮的旋转方向不一致.请学生思考，如何定义角才能解决这些问题呢？
要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探. 二、预习课本，引入新课 阅读课本168-170页，思考并完成以下问题 1．角的概念推广后，分类的标准是什么？ 2．如何判断角所在的象限？ 3．终边相同的角一定相等吗？如何表示终边相同的角？ 要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。 三、新知探究 1．任意角 (1)角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． (2)角的表示 如图，OA是角α的始边，OB是角α的终边，O是角的顶点．角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”． (3)角的分类 按旋转方向，角可以分为三类： 名称定义图示 正角 按逆时针方向旋转形成的角 负角 按顺时针方向旋转形成的角 零角 一条射线没有作任何旋转形成的角 2．象限角 在平面直角坐标系中，若角的顶点与原点重合，角的始边与 x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角
湘教版高中高一数学必修二《三角恒等变换》说课稿 一、引言 本次说课的内容是湘教版高中高一数学必修二中的《三角 恒等变换》单元。在这一章节中，学生将学习三角函数的基本定义、性质和恒等变换的应用。通过本单元的学习，学生将更加深入地了解三角函数，并能够运用所学的知识解决实际问题。 二、教材分析 本单元包括以下几个主要内容： 1.三角函数的基本概念和性质：介绍正弦函数、余弦 函数、正切函数的概念和性质，学习周期性、奇偶性、单 调性等基本特征。 2.三角函数的恒等变换：学习和掌握正弦、余弦、正 切等三角函数的恒等变换公式，例如和角公式、差角公式、倍角公式等，以及它们的应用。 3.三角函数的图像变换：通过对三角函数图像的平移、 伸缩、翻转等变换的研究，掌握三角函数图像的变化规律 以及相关应用。 三、教学目标 本单元的教学目标主要包括以下几个方面： 1.掌握三角函数的基本定义和性质，理解正弦、余弦、 正切函数的周期性、奇偶性和单调性等特点。 2.理解三角函数的恒等变换公式，能够正确使用和推 导和角公式、差角公式、倍角公式等。
3.能够通过三角函数的图像变换，准确描述三角函数 图像的平移、伸缩、翻转等变化规律，并能够应用到实际问题中。 4.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力，提高 其数学建模能力。 四、教学重点与难点 本单元的教学重点和难点主要集中在以下几个方面： 1.掌握和角公式、差角公式、倍角公式的应用，特别 是在求解三角函数的值、化简三角函数表达式等方面的应用能力。 2.理解三角函数的图像变换，包括平移、伸缩、翻转 等变换规律，并能够运用到实际问题中。 五、教学方法和过程 为了达到本单元的教学目标，本课采用了以下教学方法和过程： 1.情景教学法：通过引入实际生活中的问题和情境， 激发学生的学习兴趣和思维能力，提高他们的数学建模能力。 2.讨论互动法：鼓励学生积极参与课堂讨论，提出问 题、解答问题，促进学生之间的互动和合作。 3.实例分析法：通过具体的实例和计算，让学生掌握 和角公式、差角公式、倍角公式等的应用方法，提高他们的计算能力。 4.案例解析法：通过分析实际问题，引导学生运用所 学知识解决实际问题，培养他们的解决问题的能力。
简单的三角恒等变换 整体设计 一、教学分析 本节主要包括利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换,以及三角恒等变换在数学中的应用.本节的内容都是用例题来展现的,通过例题的解答,引导学生对变换对象和变换目标进行对比、分析,促使学生形成对解题过程中如何选择公式,如何根据问题的条件进行公式变形,以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识,从而加深理解变换思想,提高学生的推理能力. 本节把三角恒等变换的应用放在三角变换与三角函数间的内在联系上,从而使三角函数性质的研究得到延伸.三角恒等变换不同于代数变换，后者往往着眼于式子结构形式的变换，变换内容比较单一.而对于三角变换，不仅要考虑三角函数是结构方面的差异，还要考虑三角函数式所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，它是一种立体的综合性变换.从函数式结构、函数种类、角与角之间的联系等方面找一个切入点，并以此为依据选择可以联系它们的适当公式进行转化变形，是三角恒等变换的重要特点. 二、三维目标 1．知识与技能： 通过经历二倍角的变形公式推导出半角的正弦、余弦和正切公式，能利用和与差的正弦、余弦公式推导出积化和差与和差化积公式,体会化归、换元、方程、逆向使用公式等数学思想，提高学生的推理能力. 2．过程与方法： 理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并会利用公式进行简单的恒等变形,体会三角恒等变换在数学中的应用. 3．情感态度与价值观： 通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力. 三、重点难点 教学重点：1.半角公式、积化和差、和差化积公式的推导训练. 2.三角变换的内容、思路和方法,在与代数变换相比较中,体会三角变换的特
第2课时 （一）导入新课 思路1.(问题导入)三角化简、求值与证明中，往往会出现较多相异的角，我们可根据角与角之间的和差、倍半、互补、互余等关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获得解决，如：α=(α+β)-β，2α=(α+β)+(α-β)=( 4 π +α)-( 4 π -α)， 4 π +α= 2 π -( 4 π -α)等，你能总结出三角变换的哪些策略？由此探讨展开. 思路 2.(复习导入)前面已经学过如何把形如y=asinx+bcosx 的函数转化为形如y=Asin(ωx+φ)的函数，本节主要研究函数y=asinx+bcosx 的周期、最值等性质.三角函数和代数、几何知识联系密切，它是研究其他各类知识的重要工具.高考题中与三角函数有关的问题，大都以恒等变形为研究手段.三角变换是运算、化简、求值、证明过程中不可缺少的解题技巧，要学会创设条件灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能. （二）推进新课、新知探究、提出问题 ①三角函数y=sinx ，y=cosx 的周期,最大值和最小值是多少？ ②函数y=asinx+bcosx 的变形与应用是怎样的？ ③三角变换在几何问题中有什么应用？ 活动：教师引导学生对前面已学习过的三角函数的图象与性质进行复习与回顾，我们知道正弦函数，余弦函数的图象都具有周期性、对称性、单调性等性质.而且正弦函数，余弦函数的周期都是2kπ（k∈Z 且k≠0），最小正周期都是2π.三角函数的定义与变化时，会对其周期性产生一定的影响，例如，函数y=sinx 的周期是2kπ（k∈Z 且k≠0），且最小正周期是2π，函数y=sin2x 的周期是kπ（k∈Z 且k≠0），且最小正周期是π.正弦函数，余弦函数的最大值是1，最小值是-1，所以这两个函数的值域都是[-1，1]. 函数y=asinx+bcosx=2 2 b a +（ 2 2 2 2 sin b a b x b a a ++ +cosx ）, ∵(sin , cos 1)( )( 2 2 2 222 2 22 2 =+=+=+++b a b b a a b a b b a a ?从而可令 φ , 则有asinx+bcosx=2 2 b a +（sinxcosφ+cosxsinφ）
《简单的三角恒等变换》说课稿 各位领导、各位专家、各位老师： 大家好！我是来自公安县第二中学的李祥平，我说课的题目是《简单的三角恒等变换》。下面，我将从以下方面来说说这节课的分析和设计： 1、教材分析：本课是人教版《普通高中课程标准实验教科书》A版必修4第三章《三角恒等变换》第二节《简单的三角恒等变换》的第一课时。本节主要包括利用已有的公式进行简单的恒等变换，以及三角恒等变换在数学中的应用。其内容都是用例题来展现的，通过例题的解答，引导学生对变换对象和变换目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变形过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识；从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力，教科书把三角恒等变换的应用放在三角变换与三角函数间的内在联系上，从而使三角函数的性质的研究得到延伸。 本节共安排四个例题，为1个课时。例1和例2并不看重例题所得的结果(结论不要求记忆)，而看重得到结果的过程，例1后的思考，主要是为了引导学生对“所包含的角、以及这些角的三角函数种类的差异”对三角变换的影响进行认识，从而更好的把握“三角恒等变换的特点。例3、例4是三角恒等变换在数学中应用的举例。它是三角函数中对函数y=Asin (ωx+?)的性质研究得到延伸，体现了三角变换在化简中的应用。 2、学情分析：学生对于公式的简单应用，尚能掌握。对于认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，提高从整体上把握变换过程的能力，是学生学习的难点。教学过程中的重点是引导学生以已有的公式为依据，以推导积化和差、和并化积、半角公式为基本训练。学习三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力。 3、教学学法与教学手段分析：观察、归纳、启发、探究相结合的教学方法。让学生亲身去体验，去观察、去发现、去探索、去交流。在教学过程中，将采用以下教学方法：开放式探究法、启发引导法、小组合作讨论法、反馈式评价法。因本节容量较大，故辅助以多媒体教学，既突出了知识的产生过程，遵循了学生的认知规律，又便于学生观察总结。让学生在学习中体会化归、方程等数学思想，提高学生的推理能力。 4、教学目标 通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，方法思想，提高学生的推理能力。 5、教学重点与难点 教学重点：引导学生以已有的公式为依据，以积化和差、和差化积、半角公式的推导作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，让学生掌握对“所包含的角、以及这些角的三角函数种类的差异”。体会三角变换的特点，提高推理、运算能力。 教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高以整体上把握变换过程的能力。 情感、态度与价值观：通过公式的推导，了解半角公式和倍角公式之间的内在联系，从而培养学生逻辑推理能力和辩证唯物主义观点，努力培养学生的学习兴趣。 6、教学过程设计 为了更好地突出本节课的教学重点，分散教学难点，我把本节课的教学实施分为以下部分。 一、复习旧知，导入新课 二、学习新知，探究例题 三、变式演练，提高能力 四、反思评价，深化认识 教学过程
【新教材】 人教统编版高中数学必修第一册A版第五章教案教学设计
5.1.1《任意角和弧度制---任意角》教案 教材分析： 学生在初中学习了o 0～o 360，但是现实生活中随处可见超出o 0～o 360范围的角.例如体操中有“前空翻转体o 540”，且主动轮和被动轮的旋转方向不一致.因此为了准确描述这些现象，本节课主要就旋转度数和旋转方向对角的概念进行推广. 教学目标与核心素养： 课程目标 1.了解任意角的概念. 2.理解象限角的概念及终边相同的角的含义． 3.掌握判断象限角及表示终边相同的角的方法． 数学学科素养 1.数学抽象：理解任意角的概念，能区分各类角； 2.逻辑推理：求区域角； 3.数学运算：会判断象限角及终边相同的角. 教学重难点： 重点：理解象限角的概念及终边相同的角的含义； 难点：掌握判断象限角及表示终边相同的角的方法． 课前准备：多媒体 教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。 教学工具：多媒体。 教学过程： 一、情景导入 初中对角的定义是：射线OA 绕端点O 按逆时针方向旋转一周回到起始位置，在这个过程中可以得到o 0～o 360范围内的角.但是现实生活中随处可见超出 o 0～o 360范围的角.例如体操中有“前空翻转体o 540”，且主动轮和被动轮的旋转方向不一致.请学生思考，如何定义角才能解决这些问题呢？
要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探. 二、预习课本，引入新课 阅读课本168-170页，思考并完成以下问题 1．角的概念推广后，分类的标准是什么？ 2．如何判断角所在的象限？ 3．终边相同的角一定相等吗？如何表示终边相同的角？ 要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。 三、新知探究 1．任意角 (1)角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． (2)角的表示 如图，OA是角α的始边，OB是角α的终边，O是角的顶点．角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”． (3)角的分类 按旋转方向，角可以分为三类： 名称定义图示 正角 按逆时针方向旋转形成的角 负角 按顺时针方向旋转形成的角 零角 一条射线没有作任何旋转形成的角 2．象限角 在平面直角坐标系中，若角的顶点与原点重合，角的始边与 x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角
湘教版高中高一数学必修二《简单的三角恒等变换》说课稿 一、教材分析 《湘教版高中高一数学必修二》是一本适用于高中一年级 学生的数学教材，本次说课的内容为其中的第二章——简单的三角恒等变换。该章节主要介绍了基本的三角函数以及与之相关的三角恒等式的概念，是学生日后学习更高级数学的重要基础。 二、教学目标 1. 知识与技能目标 •熟练掌握正弦、余弦和正切函数的定义及其性质； •掌握常用三角恒等式的证明方法； •学会利用三角恒等式化简等式和方程； •能够在实际问题中应用三角函数和三角恒等变换进行计算。 2. 过程与方法目标 •培养学生观察问题、发现规律和解决问题的能力； •激发学生的数学兴趣与学习主动性； •注重引导学生深入思考，培养学生的逻辑思维能力； •提倡合作学习，促进学生的交流与合作能力。 3. 情感与价值目标 •培养学生的数学思维，提高学生的综合素质； •增强学生对数学应用的信心和兴趣； •培养学生的观察、发现和解决问题的能力； •培养学生的合作意识和团队精神。
三、教学重点与难点 1. 教学重点 •正弦、余弦和正切函数的定义及其性质； •常用三角恒等式的证明方法； •利用三角恒等式化简等式和方程。 2. 教学难点 •三角恒等式的具体证明方法； •利用三角恒等式进行等式和方程的化简。 四、教学过程 1. 导入与引入 首先，以一个简单的问题开始导入本节课内容。假设有一条斜坡，我们要测量斜坡的高度，但无法直接测量。请学生思考一下，能否通过已知的角度和距离来计算斜坡的高度？引导学生思考，然后引出三角函数的概念。 2. 知识讲解与演示 接下来，通过讲解示意图和实际演示，详细介绍正弦、余弦和正切函数的定义及其性质。包括三角函数的定义、函数值域、周期性等。 3. 例题分析与解答 为了帮助学生更好地理解三角函数的运用，选择一些简单的例题进行分析和解答。比如求已知三角函数值，求已知三角函数关系式的某个角度值等。
三角恒等变换 单元教学设计 一、本单元内容在《课程标准》与《考试大纲》中的目标表述 1、本单元教学内容的范围 3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.1.1 两角差的余弦公式 3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式 3.2 简单的三角恒等变换 2、本单元教学内容在模块内容体系中的地位和作用 变换是数学的重要工具，也是数学学习的主要对象之一.代数变换是学生熟悉的，与代数变换一样，三角变换也是只变其形不变其质的，它可以揭示那些外形不同但实质相同的三角函数式之间的内在联系.在本册第一章，学生接触了同角三角函数式的变换.在本章，学生将运用向量方法推导两角差的余弦公式，由此出发推导其它三角函数恒等变换公式，并运用这些公式进行简单的三角恒等变换.通过本章学习，要进一步提高学生的推理能力和运算能力. 三角恒等变换在数学及应用科学中应用广泛，同时有利于发展学生的推理能力和计算能力.本章将通过三角恒等变换揭示一些问题的数学本质. 3、本单元教学内容总体教学目标 （1）和差角公式与二倍角公式 经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，掌握用向量证明数学问题的方法，进一步体会向量法的作用． 能从两角差的余弦公式导出两角和的余弦公式，以及两角和与差的正弦、正切公式，了解公式间的内在联系. 能应用公式解决比较简单的有关应用问题. 经历运用正弦、余弦、正切的和角公式，推导出它们对应的倍角公式及公式 2C 的两种变形，再运用二倍 角的变形公式推导出半角的正弦、余弦和正切公式的过程，掌握倍角公式和半角公式，能正确运用公式进行简单的三角函数式的化简、求值、恒等式的证明. 了解公式之间的内在联系，培养学生的逻辑推理能力.
《三角恒等变换》习题题教学设计 一、教学目标 进一步掌握三角恒等变换的方法，如何利用正、余弦、正切的和差公式与二倍角公式，对三角函数式进行化简、求值和证明： 二、知识与方法： 1. 11个三角恒等变换公式中，余弦的差角公式是其它公式的基础，由它出发，用-β代替β、2π±β代替β、α=β等换元法可以推导出其它公式。你能根据下图回顾推导过程吗？ 2．化简，要求使三角函数式成为最简：项数尽量少，名称尽量少，次数尽量底，分母尽量不含三角函数，根号内尽量不含三角函数，能求值的求出值来； 3．求值，要注意象限角的范围、三角函数值的符号之间联系与影响，较难的问题需要根据上三角函数值进一步缩小角的范围。 4．证明是利用恒等变换公式将等式的左边变同于右边，或右边变同于，或都将左右进行变换使其左右相等。 5. 三角恒等变换过程与方法，实际上是对三角函数式中的角、名、形的变换，即（1）找差异：角、名、形的差别；（2）建立联系：角的和差关系、倍半关系等，名、形之间可以用哪个公式联系起来；（3）变公式：在实际变换过程中，往往需要将公式加以变形后运用或逆
用公式，如升、降幂公式， cos α= cos βcos （α-β）- sin βsin （α-β），1= sin 2α+cos 2α，0030tan 130tan 1-+=000030 tan 45tan 130tan 45tan -+=tan （450+300）等。 例题 例1 已知sin （α+β）= 32，sin （α-β）=51，求β αtan tan 的值。 例2求值：cos24°﹣sin6°﹣cos72° 例3 化简（1） 0070sin 120sin 3-；（2）sin 2αsin 2β+cos 2αcos 2β-21cos2αcos2β。 例4 设为锐角，且3sin 2α+2sin 2β=1，3sin2α-2sin2β=0，求证：α+2β= 2 π。 例5 如图所示，某村欲修建一横断面为等腰梯形的水渠，为降低成本，必须尽量减少水与水渠壁的接触面。若水渠断面面积设计为定值m ，渠深8米。则水渠壁的倾角α应为多少时，方能使修建的成本最低？ 分析：解答本题的关键是把实际问题转化成数学模型，作出横断面的图形，要减少水与水渠壁的接触面只要使水与水渠断面周长最小，利用三角形的边角关系将倾角为α和横断面的周长L 之间建立函数关系，求函数的最小值 8 A E D B C
三角恒等变换教学设计 （经典版） 编制人：__________________ 审核人：__________________ 审批人：__________________ 编制学校：__________________ 编制时间：____年____月____日 序言 下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。文档下载后可定制修改，请根据实际需要进行调整和使用，谢谢! 并且，本店铺为大家提供各种类型的经典范文，如幼儿教案、小学教案、中学教案、教学活动、评语、寄语、发言稿、工作计划、工作总结、心得体会、其他范文等等，想了解不同范文格式和写法，敬请关注! Download tips: This document is carefully compiled by this editor. I hope that after you download it, it can help you solve practical problems. The document can be customized and modified after downloading, please adjust and use it according to actual needs, thank you! In addition, this shop provides you with various types of classic sample essays, such as preschool lesson plans, elementary school lesson plans, middle school lesson plans, teaching activities, comments, messages, speech drafts, work plans, work summary, experience, and other sample essays, etc. I want to know Please pay attention to the different format and writing styles of sample essays!
教学准备 市学案检查2、多媒体课件3、教案 教学过程 一、高考考点考情分析 二、热身练习1（2013新课标全国卷）2（2014江西高考）3（2013广东文）4（2015四川文）5市学案P37T12 设计意图：这五道小题包括三角变换和解三角形中三角公式与正余弦定理的多种应用，第一是通过学生板演看学生对这块的掌握情况；第二进一步强调课标要求引出高考要求，寻找自己与高考的距离。 三、要点归纳（学生归纳教师补充）（两组公式，两个定理） 面积公式S △ABC ＝12bcsin A ＝12acsin B ＝1 2 absin C.
四、典型例题 例1（2015天津文）△ABC 中，内角A,B,C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为315， 12,cos , 4b c A -==- （I ）求a 和sinC 的值； （II ）求 cos 26A π⎛ ⎫+ ⎪ ⎝⎭ 的值。 分析：（1）选择面积公式 以及已知条件求出b ，c 选择余弦定理，选择正弦定理 （2）选择二倍角公式，两角和公式 解：（Ⅰ）在三角形ABC 中，由cosA=﹣，可得sinA=，△ABC 的面积为3 ， 可得：， 可得bc=24，又b ﹣c=2，解得b=6，c=4， 由a2=b2+c2﹣2bccosA ，可得a=8， 由 ，解得sinC= ； （ Ⅱ ） cos （ 2A+ ） =cos2Acos ﹣ sin2Asin = =． 点评：1.本题考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式，正余弦定理的应用，考查计算能力. 2.注意规范答题以及符号和公式的选择. 趁热打铁 （2015文）AB C ∆中，角C B,A,所对的边分别为c b a ,,，已知 33cos = B ， 32,96 )sin(== +ac B A ，求A sin 和c 的值. 解（学生黑板板演）在ABC ∆中，由 3cos B = ，得6 sin B =. 因为A B C π++=，所以 6sin sin()C A B =+= ，
8.2.4 三角恒等变换的应用 教学目标 1.能用二倍角公式导出半角公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想方法. 2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法. 3.能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用． 教学知识梳理 知识点一 半角公式 【答案】不是，要使得式子有意义的角才适用． 知识点二 辅助角公式 辅助角公式： a sin x ＋ b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋θ).⎝ ⎛⎭⎫其中tan θ＝b a 教学案例 案例一 应用半角公式求值 例1.已知sin θ＝45，且5π2<θ<3π，求cos θ2和tan θ2 的值． 解：∵sin θ＝45，5π2<θ<3π.∴cos θ＝－1－sin 2θ＝－35 . 又5π4<θ2<3π2.∴cos θ2 ＝－1＋cos θ2＝－1－352＝－55. tan θ2＝1－cos θ1＋cos θ＝1－⎝⎛⎭⎫－351＋⎝⎛⎭⎫－35＝2. 反思感悟 利用半角公式求值的思路 (1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解． (2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围．
(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α ，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正弦、余弦值时，常先利用sin 2α2 ＝1－cos α2，cos 2α2＝1＋cos α2 计算． (4)下结论：结合(2)求值． 跟踪训练1.已知α为钝角，β为锐角，且sin α＝45，sin β＝1213，求cos α－β2 . 解：∵α为钝角，β为锐角， sin α＝45，sin β＝1213 . ∴cos α＝－35，cos β＝513 . cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－35×513＋45×1213＝3365 . 又∵π2<α<π，0<β<π2，∴0<α－β<π.0<α－β2<π2 . ∴cos α－β2＝1＋cos(α－β)2＝1＋33652＝76565. 案例二 三角函数式的化简 例2.化简：(sin α＋cos α－1)(sin α－cos α＋1)sin 2α 解：原式＝⎝⎛⎭⎫2sin α2cos α2－2sin 2α22sin α2cos α2＋2sin 2α2 2sin αcos α ＝4sin 2α2⎝⎛⎭⎫cos 2α2－sin 2α24sin α2cos α2 cos α ＝sin α2cos αcos α2 cos α ＝tan α2 . 反思感悟 三角函数式化简的要求、思路和方法 (1)化简的要求：①能求出值的应求出值．②尽量使三角函数种数最少．③尽量使项数最少．④尽量使分母不含三角函数．⑤尽量使被开方数不含三角函数． (2)化简的思路：对于和式，基本思路是降次、消项和逆用公式；对于三角分式，基本思路
课题《三角恒等变换讲评》 授课时间45分钟执教人 教材和学情分析 教材分析 《三角恒等变换》高考主要考查两角和与差的三角函数、二倍角的三角函数在求值、化简中的应用， 特别是化一公式的运用。 学生分析 《三角函数》是高考数学的大题的第一题，大部分学生能够很熟悉的解答这类题，但是在两角和与差、 求最值问题等方面依然存在空白点，因此授课过程中要注重学生转化思维的训练。 教学目标（1）和与差的三角函数公式 （a）会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式； （b）能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式； （c）能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解他们的内在联系； （2）简单的三角恒等变换 能运用上述公式进行简单的恒等变换； 教学重点1、导出两角和差的三角函数的十一个公式，并了解它们的内在联系，为运用这些公式进行简单的恒 等变换打好基础； 教学难点 两角差的余弦公式的探索与证明。 教具准备粉笔、黑板刷、ppt 教学主要过程和内容教学 流程教学内容 学 生 活 教 具 使 教学用 时 目标检核
动用 高考中的地位三角函数是历年高考重点考察内容之一，三角恒等变换的考查， 经常以选择与填空题的形式出现，还常在解答题中与其它知识结 合起来考查，其中升幂公式、降幂公式、辅助角公式是考查的重 点．在考查三角知识的同时，又考查用函数思想、数形结合思想 解决问题的能力。 1min 考试分析1.试卷分析：本张试卷主要考察三角函数两角和差的正弦余弦正切公式以及二倍角的正余弦和正切公式的灵活运用，主要集中在三角函数求值化简和综合运用三个方面 2. 出错较多的题目：9, 16 ，17, 19, 21 3. 存在的问题： （1）基础知识掌握不牢 （2）审题不清 （3）运用方法不当 （4）计算题的格式不规范 （5）计算错误较多 潜水探幽 1．两角和与差的三角函数 β α β α β αsin cos cos sin ) sin(± = ±； β α β α β αsin sin cos cos ) cos( = ±； tan tan tan() 1tan tan αβ αβ αβ ± ±=。 2．二倍角公式 α α αcos sin 2 2 sin=； α α α α α2 2 2 2sin 2 1 1 cos 2 sin cos 2 cos- = - = - =； 2 2tan tan2 1tan α α α = - 。 4min