课程研究报告（课程设计）
电与磁的对偶性
姓名
学号
课程名称
专业
同组同学
得分
电与磁的对偶性
摘要：电荷及电流产生的电磁场和磁荷及磁流产生的电磁场之间存在着对应关系。只要将其结果表示式中各个对应参量用对偶原理的关系置换以后，所获得的表示式即可代表具有相同分布特性的磁荷与磁流
产生的电磁场。
关键词：电荷、磁荷、对偶、电磁场 题目内容：
假设自然界存在磁荷和磁流，磁荷产生磁场与电荷产生电场满足相同的规律，磁流产生电场与电流产生磁场满足相同的规律，导出在这一前提下电磁场的Maxwell 方程组表达式，证明电荷、电流激发的电磁场满足的方程与磁荷和磁流激发电磁场满足的方程互为对偶方程。
1、 无源区麦克斯韦方程组：
如果把其中的两个按如下方式写成一组：
0E H E t μ
??=?????=-???
0H E H t ε
??=?????=???
（1）
得到两组完全相同的方程组，它们关于E 和H
（除了有一负号）是对称的。这种对称性使得对其中一组作E H → 、H E →-
、
εμ→、με→代换，得到另外一组方程。
0E H E t μ??=?????=-??? →,,E H H E εμμε??→→-??→→?? 0H E H t ε??=?????=???
(2) 它们仍然是麦克斯韦方程组，并与原方程相同。数学上成这种具有相同形式的两组方程为对偶方程容易证明两组对偶的互为对偶的方程，其解也具有对偶性。 2、 广义麦克斯韦方程（有源区）
在有源区，麦克斯韦方程组不是对称的，其原因是自然界还没有发现类似于电荷的磁荷，也没有发现类似于“电流”的“磁流”，其激发的电磁场与电荷荷电流激发的电磁场相互对偶，则推
广后所得到的麦克斯韦方程就具有对偶性。
设理想的磁荷密度为m ρ、磁流密度为m J
，并满足守恒定律，
即
()(),,0m
m
r t r t t
J ρ?
?+=?
进一步假设磁荷在激发磁场方面与电荷在激发电场相一致，磁流几番电场与电流激发磁场一致。根据这一假设，推广的麦克斯韦方程组和边界条件是：
, ,e m
m e
H E E J t E
H H J t ρμερεμ???=??=--???
????=??=+???
（3） ()()
2122
121,1 ,n es n ms
n ms n es e D D e E E J e B B e H H J ρρ???-=?-=-???
???-=?-=-????
(4) 式中下表ms 表示表示“磁量源”，下表es 表示“电量源”，
ms J 是磁流密度，其量纲为V/2m ；m ρ是磁荷密度，其量纲为
Wb/3m 。等式右边用负号，表示磁流与电场之间是左手螺旋关系。
式（3）为广义麦克斯韦方程组。当然遐想的“磁荷”和“磁流”不可能是随意的，必须建立在合理的理论基础之上。 3、 广义麦克斯韦方程的对偶性
广义麦克斯韦方程组仍然是线性方程，满足叠加定理。因此，总场是电荷、电流、磁荷、磁流各自独立所产生场的叠加，如果用下表e 和m 分别为来自电荷、电流和磁荷、磁流的贡献，总场
为,e m m e E E E H H H =+=+
。它们分别满足的方程和边界条件是：
,0,e e
e e e
e e e H E E t E H H J t ρμεε???=??=-????
???=??=+???
（5a ）
()()
21211212
,,n e e es n ms ms es n e n e e e e D D e B B e E E J e H H J ρρ?-=-=?
??????-=-?-=-??????
（5b ） 0,,e
m m m
m m
m m
H E E J t E H H t μρεμ???=??=-???
????=??=???
（6a ）
()()
21211212
,,0n m m es n m m ms ms n m n m m m e D D e B B e E E J e H H ρρ?-=-=?
??????-=-?-=??????
（6b ） 比较方程（5）和（6），可以获得如下对应关系：
e m
e m H E E E ?→-??→??
εμμε→??→? m
m
J J ρρ?→???→?
根据对偶方程的解也具有对偶的性质得到如下结论：设空间
存在方程（5）描述的电磁场问题，其解为e E ，e H
；那么在同一空间中方程方程（6）描述的电磁场问题，其解m E ，m H
也存在，且与e E ，e H 对偶。因此 m E ，m H
不必直接求解而可以通
过对偶变换
e m e m
H E E E ?→-??→??
εμ
με→??→? m m
J J ρρ?→?
?
?→?
获得，反之亦然。 [例题]：根据对偶原理，利用电偶极子激发的场求出磁偶极子激
发的场。
解：在静电场中，位于坐标原点的电偶极子z e p e QL =
激发的静电
场是
33
2cos sin 44e e r
P p E e e r r
θθ
θπεπε=+
（1） 通过对偶变量替换，得到磁偶极子m z m p e p =
激发的磁场为：
33
2cos sin 44m m r P p H e e ur ur θθθ
ππ=+ （2）
将式（2）与小电流圆环激发的磁场进行比较，得到m z p e I s μ=?
。
4、电位与磁位的对偶
类似的，对应于矢量电位A 有矢量磁位m A
；对应于标量电位?
有标量磁位m ?，即对应于：1
e m e H A A E t μ
??=?????
??=?-???
有 1
m m m
m m
E A A H t ε??=????
???=?-???
当电源量和磁源量同时存在时，总场量应为它们分别产生的场量之和：
1
1m m m A E A t A H A t ?ε?ε??=-?--????????=?-+?????
5.参考文献：
[1] 作者：谢处方 饶克谨 文献名称：电磁场与电磁波 高等教育出版社，318-319（页码）
[2] 作者.：柯亨玉 文献名称：电磁场理论. 人民邮电出版社,
134-136(页码)
电子电路中的对偶原理分析 【摘要】电子电路是我国当前所有电气设备的基础，没有电子电路这一基础构造，先进的电气设备自然也就无从谈起，因此可以说，详细的了解电子电路中的相关理论和具体构成，对于电子电路的完善起到了基础性作用，对于我国工业技术的发展也将产生极大的推动作用。正因如此，本文对于电子电路在正常运行中存在的对偶现象进行了分析，阐述其理论结构，并且探讨这一理论在实践中进行电路分析时的具体应用，以期能够为学界和业界提供相应的借鉴和思路。 【关键词】电子电路；对偶原理；电气设备；拓扑结构 随着人类科学技术的不断发展，当今工业实践中所采取的电子电路结构日益复杂，其内部的拓扑结构种类日益繁多，在电子电路中起到了基础性的作用，在理论上，所有的电路结构都可以说是多个基础性电子拓扑结构的总和。因此，若想能够真正的了解电子电路的结构及其作用，就必须对于电子电路的拓扑结构进行详细的研究，因此，采取对偶原理是最为有效地方式方法。 实践中，只有在平面电路中才能应用对偶原理，但是随着社会科学技术的不断发展，当今人们所应有的绝大多数不是平面的电子电路。因此，对偶原理在应用中受到了极大地限制，尤其是如何在非平面结构的电路中应该对偶原理便成为当今学界和业界所共同关注的重要问题，比如在1946年是，学者Block便对于这一问题进行了详细的研究，认为应当发展一种最大程度能够适用于各种非平面电路的变压器，以期来实现简便的对偶更换[1]。但是，在当今的实践中，这种设想中的变压器并没有得到出现和应用，对于非平面电路的变压器，我们仍然需要依照对偶原理进行详细、深入的分析和研究。 一、对偶原理基础结构 对偶原理是存在于自然界的一种客观规律，简而言之，其本质就是在自然世界中，两类客观变量存在着同样的性质和地位，其中，如果这两类客观变量中的某一变量定理得以成立，那么其对偶元素的对偶定理也成立。因此可以说，采取对偶原理，可以非常便捷、方便、准确的对于客观事实进行分析和研究，几乎所有的人类自然科学领域都应用到对偶原理，在电力学中自然也不例外[2]。
线性规划的对偶原理 3.1 线性规划的对偶问题 一、 对偶问题的提出 换位思考 家具厂的线性规划问题，该问题站在家具厂管理者的角度追求销售收入最大 213050max x x z += ?? ? ??≥≤+≤+0 ,50212034212121x x x x x x 某企业家有一批待加工的订单，有意利用该家具厂的木工和油漆工资源来加工他的产品。他 需要与家具厂谈判付给该厂每个工时的价格。如果该企业家已对家具厂的经营情况有详细了 解，他可以构造一个数学模型来研究如何才能既让家具厂觉得有利可图，肯把资源出租给他， 又使自己付的租金最少。 目标:租金最少；1y -付给木工工时的租金；2y -付给油漆工工时的租金 2150120min y y w += 所付租金应不低于家具厂利用这些资源所能得到的利益 1）支付相当于生产一个桌子的木工、油漆工的租金应不低于生产一个桌子的收 入 502421≥+y y 2）支付相当于生产一个椅子的木工、油漆工的租金应不低于生产一个椅子的收 入 30321≥+y y 3）付给每种工时的租金应不小于零 0,021≥≥y y 二、 原问题与对偶问题的数学模型 1. 对称形式的对偶
原问题和对偶问题只含有不等式约束时，一对对偶问题的模型是对称的，称为对称形式的对偶。 原问题： ?? ? ??≥≥=0min X b AX CX z 对偶问题： ?? ? ??≥≤=0max Y C YA Yb w 2. 非对称形式的对偶 若原问题的约束条件全部是等式约束（即线性规划的标准型），即 ?? ? ??≥==0min X b AX CX z 则其对偶问题的数学模型为 ?? ? ??≤=是自由变量Y C YA Yb w max 可把原问题写成其等价的对称形式： min z =CX AX ≥b AX ≤b X ≥0 即 min z =CX ? ? ????-A A X ≥??????-b b X ≥0 设Y 1=(y 1,y 2,…,y m ), Y 2=(y m+1,y m+2,…,y 2m )。根据对称形式的对偶模型，写出上述问题的对偶问题：
课程研究报告（课程设计） 电与磁的对偶性 姓名 学号 课程名称 专业 同组同学 得分 电与磁的对偶性 摘要：电荷及电流产生的电磁场和磁荷及磁流产生的电磁场之间存在着对应关系。只要将其结果表示式中各个对应参量用对偶原理的关系置换以后，所获得的表示式即可代表具有相同分布特性的磁荷与磁流
产生的电磁场。 关键词：电荷、磁荷、对偶、电磁场 题目内容： 假设自然界存在磁荷和磁流，磁荷产生磁场与电荷产生电场满足相同的规律，磁流产生电场与电流产生磁场满足相同的规律，导出在这一前提下电磁场的Maxwell 方程组表达式，证明电荷、电流激发的电磁场满足的方程与磁荷和磁流激发电磁场满足的方程互为对偶方程。 1、 无源区麦克斯韦方程组： 如果把其中的两个按如下方式写成一组： 0E H E t μ ??=?????=-??? 0H E H t ε ??=?????=??? （1） 得到两组完全相同的方程组，它们关于E 和H （除了有一负号）是对称的。这种对称性使得对其中一组作E H → 、H E →- 、 εμ→、με→代换，得到另外一组方程。 0E H E t μ??=?????=-??? →,,E H H E εμμε??→→-??→→?? 0H E H t ε??=?????=??? (2) 它们仍然是麦克斯韦方程组，并与原方程相同。数学上成这种具有相同形式的两组方程为对偶方程容易证明两组对偶的互为对偶的方程，其解也具有对偶性。 2、 广义麦克斯韦方程（有源区） 在有源区，麦克斯韦方程组不是对称的，其原因是自然界还没有发现类似于电荷的磁荷，也没有发现类似于“电流”的“磁流”，其激发的电磁场与电荷荷电流激发的电磁场相互对偶，则推
对偶理论的性质及证明 性质1(对称性) 对偶问题的对偶问题是原问题 证明 设原问题为 max z ..0CX AX b s t X =≤??≥? (1) 对偶问题为 min ..0w Yb YA C s t X =≥??≥? (2) 对偶问题的对偶问题为 max ..0CU AU b s t U ?=≤??≥? (3) 比较式(1)和式(3), 显然二者是等价的, 命题得证. 性质2(弱对偶性) 设原问题为式(1),对偶问题为式(2),X 是原问题的任意一个可 行解,Y 是对偶问题的任意一个可行解,那么总有 CX Yb ≤ (4) 证明 根据式(1), 由于AX b ≤, 又由于0Y ≥, 从而必有 YAX Yb ≤ (5) 根据式(2), 由于YA c ≥, 又由于0X ≥, 从而必有 YAX CX ≥ (6) 结合式(5)和式(6), 立即可得CX Yb ≤,命题得证. 性质3(最优性) 设*X 原问题式(1)的可行解,*Y 是对偶问题式(2)的可行解,当是 **CX Y b =时,*X 是原问题式(1)的最优解,*Y 是对偶问题式(2)的最优解. 证明 设X 是式(1)的最优解, 那么有 *CX CX ≥ (7) 由于**CX Y b =,那么 *CX Y b ≥ (8) 根据弱对偶性质, 又有 *CX Y b ≤ (9)
从而*CX CX =, 也就是*X 是原问题式(1)的最优解。 同理，也可证明*Y 是对偶问题式(2)的最优解。 性质4(无界性) 设原问题为无界解，则对偶问题无解。 证明 用反证法证明。 设原问题为式(1)，对偶问题为式(2)。 假定对偶问题有解，那么存在一个可行解为Y 。这时对偶问题的目标函数值为Yb T =。 由于原问题为无界解，那么一定存在一个可行解X 满足CX T >，因此CX Yb >。 而根据弱对偶性，又有CX Yb ≤，发生矛盾。从而对偶问题没有可行解。 性质5(强对偶性、对偶性定理) 若原问题有最优解，那么对偶问题也有最优解，且最优目标函数值相等。（复习矩阵算法） 证明 设B 为原问题式(1)的最优基，那么当基（1）实地访谈。选择不同地区、不同行业、不同发展规模、不同历史、不同风 格的企业高层管理人员或技术部门负责人，进行半结构化的访谈，进一步收集信息 并完善研究思路。 （2）协同学方法。运用协同学方法对装备制造业突破性创新系统的演进进行仿 真研究，通过对系统演化的轨迹及过程进行分析，从产业生命周期的四阶段提出装 备制造业突破性创新机制系统根据生命周期发展过程的不同策略。 （3）结构方程模型。通过规范的问卷调查程序和数据处理方法，建立起合乎研 究要求的数据库，再通过对获得的数据采用结构方程模型(SEM)等统计分析方法， 以验证提出的概念模型与假设是否成立。为B 时的检验数为1B C C B A --，其中B C 为由基变量的价值系数组成的价值向量。 既然B 为原问题式(1)的最优基，那么有10B C C B A --≤。 令1B Y C B -=，那么有0C YA YA C -≤?≥，从而1B Y C B -=是对偶问题式(2)的可行解。 这样一来，1B Y C B -=是对偶问题的可行解，1B X B b -=是原问题的最优基可行解。 由于1B B N N B CX C X C X C B b -=+=，而1B Y b C B b -=，从而有CX Yb =。根据性质3，命 题得证。 性质6(对偶松弛定理、松弛性) 若??, X Y 分别是原问题和对偶问题的可行解，那么?0s YX =和?0s Y X =，当且仅当??, X Y 为最优解。 证明 设原问题和对偶问题的标准型是 原问题 对偶问题
对偶原理在电路教学中的应用 【摘要】本文分析了电路中所存在的对偶现象，阐述了对偶原理在电路分析时的应用，探讨了对偶原理及其在电路课程教学中及早建立对偶概念的必要性，根据电路理论中对偶原理，并运用心理学的观点，闲述了对偶原理在电路教学中的重要作用及应用时的关键点。 【关键词】对偶性原理；对偶元素；电路教学 1.引言 对偶，是客观世界中存在的一种特殊规律，其实质是指客观世界中两类变量的性质和地位完全一致。若对某一变量的定理成立，应用对偶原理，其对偶元素的对偶定理也成立。对偶性原理是认识事物和解决问题的一种简捷方便且行之有效的分析方法。几乎所有的学科领域都会涉及到对偶性原理的研究和运用，电路也一样，许多电路变量、电路元件、电路定律、定理及计算方法等都存在着明显的对偶关系。在电路的教学过程中，及时给学生建立对偶的概念并引导他们正确运用对偶原理，将能有效提高该课程的教学效率。 2.电路对偶特性的反映形式 电路中存在着“两类约束”。每一元件上电压电流之间的关系由元件的伏安关系式来描述，它与元件自身特性有关，称为“元件约束”；在电路中，由于各元件间的相互联接，必然又导致各元件的电流之间及电压之间存在一定的“约束”关系，这类约束关系称之为“拓扑约束”或“结构约束”，表示这类约束关系的是基尔霍夫定律，它包括基尔霍夫电流定律和基尔霍夫电压定律。电路中的许多变量、元件、结构及定律都是成对出现的，并且存在相类似的一一对应的特性。这种特性就称为电路的对偶性。电路的对偶性，存在于电路变量、电路元件、电路定律、电路结构和电路方程之间的一一对应中。 1）电路元件对偶：电阻R—电导G；电感L—电容C；理想电压源—理想电流源；实际电压源—实际电流源等； 2）电路结构对偶：串联与并联；开路与短路；回路与结点等； 3）电路定律对偶：电路定律是基于电路元件及结构的。前两者的对偶，必然导致电路定律的对偶。例如欧姆定律：电阻R：u=Ri——电导G：i=Gu；基尔霍夫定律：针对回路的KVL定律（ΣU=0）——针对结点的KCL定律（Σ I=0）； 4）电路方程式对偶：由于电路结构及电路定律的对偶，必然导致电路方程式的对偶，从而方程的解必然对偶； 5）电路分析方法对偶：例如无源二端网络中，电阻串联与电导并联的计算
临沂大学课程研究报告/课程设计 临沂大学 YINYI UNIVERSITY 课程研究报告（课程设计） 电与磁的对偶性
摘要：假设自然界存在磁荷和磁流，磁荷产生磁场与电荷产生电场满足相同的规律，磁流产生电场与电流产生磁场满足相同的规律，，电荷、电流激发的电磁场满足的方程与磁荷和磁流激发电磁场满足的方程互为对偶方程。 关键字：Maxwell，对偶性，磁荷，磁流，电荷，电流 内容：
一、无源区的Maxwell 方程组 ｛ {0 E H E t μ ??=???=-? ｛ 0H E H t ε ??=???=? 以上两组方程形式完全相同，它们关于E 和H （除有一负号外）是对称的，对其中一组作 ,,,E H H E εμμε→→→→代换得到 ｛ E H H t μ ??=???=-?→→ ｛,, ,E H H E εμμε→→-→→｝→← ｛ 0H E H t ε ??=???=? 数学上称这种具有相同形式的两组方程为对偶方程。 二、有源区的Maxwell 方程 在有源区，由于在自然界还没有发现与电荷电流相对应的真实的磁荷、磁流，所以Maxwell 方程是不对称的。宏观电磁场运动中，Maxwell 方程的两个独立方程 { (2.1)(2.2) B E t D H J t ???=- ????=+? 对于线性均匀各向同性戒指，其结构方程,,D E B H J E εμσ===，所以有 { (2.3)(2.4) H E t E H E t μ σε???=-????=+? 对方程2.3两边求旋度，再利用2.4式和电场的高斯定理，得 22 2()(2.5)E J E t t ρ εμμε ???-=+??? 同样对2.4两边取旋度，并利用磁场的高斯定理得 22 2 (2.6)H H J t με??-=-??? 磁场的高斯定理表明，磁感应强度B 是一无散的矢量场，可用矢量位表示，设
1、 （2013北大保送生测试）若{}1,2,3,4,5,6,7,8,9的某非空子集中所有元素的和为奇数， 则称之为奇子集。求该集合中子集的奇子集的个数 解：同理可定义偶子集。令{}=1,2,3,4,5,6,7,8,9A ，B A ?,B A B =-。则B B ?=?, B B A = 。A 为奇子集。将B 与B 进行配对，二者必定一奇一偶。故奇子集的个数为98 2=2=2562 2、 设X 为n 元集，其子集全体为12m ,,,A A A ，记号i A 表示集合i A 的元素个数，试求 i 1 =m i S A =∑ 法一：111 1 1 2n n k k n n n k k S kC nC n ---=== ==?∑∑ 法二：设i A X ?，i i A X A =-，则()() 111222n S A A A A n -=++++=? 3、 若1111231996n m + ++= ，其中(),1n m =，则()____mod1997n ≡ 解：112 1119961996n m ???? =++++ ? ????? 199719971997119962199519961=+++??? () 2 19971996!c = ()2 21996!1997n cm ?=，两边同时模1997 4、 定义集合{}1,2,4,6,9X =的交错和为964216-+-+=，单元素集的交错和为该元素， 空集交错和为0.求集合{}1,2,3,,Y n = 的所有子集的交错和的和 解:设A Y ?,{}12,,,k A a a a = ，若A 不含元素n ，则取{}12,,,,k B n a a a = ，否则就取{}B A n =-。则A 与B 的交错和之和为n 12n n -?
电路的对偶 摘要：电路的元件、参数、结构和定律等均具有对偶现象，利用电路的对偶关系，为分析电路提供一种便捷的方法。 s引言： 对偶是自然界中普遍存在的一种特殊现象。在分析和研究自然规律中，利用对偶现象，可以有效地揭示元素之间一些相似或相对的内在联系，简化认知事物的过程。 一、电路的对偶现象 在纯电阻电路中，串联总电阻与各电阻的关系为：总电阻RS=R1+R2+R3+…+Rn；同样在纯电阻电路中，并联总电导与各电导的关系为：总电导GS=G1+G2+G3+…+Gn。它们的数学表达形式很相似，这种相似性表现为对偶。又如电容元件的电流与加在它两端的电压关系为：i=Cdu/dt；而电感元件的电压与流经它的电流关系为：u=Ldi/dt。这两种元件的电流电压关系表达式也呈现对偶现象。 二、电路的对偶关系 电路中某些元素之间的关系（或方程），用它们的对偶元素对应地置换后，所得的新关系（新方程）也一定成立，后者与前者互为对偶。 [1]电路元素之间的一些对偶关系如下表： （一）电路元件的对偶 组成电路的元件中，两者之间互为对偶的元件有电阻R与电导G、电容C与电感L、电压源US与电流源IS等。下图是电源的对偶： 图1和图2是电压源和电流源的模型，其对应的电压和电流表达式分别如下：U=US-RSI，I=IS-GSU，它们互为对偶。 （二）电路的结构对偶 由电路元件组成的不同结构之间的对偶有串联与并联、开路与短路、回路与节点等。 （三）电路的定律对偶 基尔霍夫定律包含电流和电压两个定律，这两个定律互为对偶。KCL指出：任一时刻，流入电路中的任一节点的各支路电流代数和恒等于零，即Σi=0。而KVL指出：任一时刻，沿电路中的任一回路绕行一周，所有支路电压代数和恒等于零，即Σu=0。KCL与KVL是对偶关系。它的子元素如电流与电压、节点与回路、串联与并联也互为对偶。 （四）电路参数的对偶 二端口网络是具有2个端口的电路，端口与电路内部网络相连接。图3是反映二端口网络的阻抗参数的等效电路。 阻抗参数Z的矩阵方程形式为： Z11 Z12Z21 Z22 图4是反映二端口的导纳参数的等效电路。 导纳参数Y的矩阵方程的形式为： Y11 Y12Y21 Y22 以上二端口网路的开路阻抗参数Z和短路导纳参数Y互为对偶。 （五）电路结论的对偶 电路中某些结论存在对偶，如开路电流为零与短路电压为0互为对偶的结论；又如数字电路运算中A?A=A与A+A=A这两个结论也互为对偶。 三、电路对偶的分析 由于电路对偶的存在，运用它来分析电路，可同时获得电路及它的对偶电路的解，一举两得。 （一）无源网络的对偶 在单相交流电路中，分析R-L串联电路（图5）和它的对偶电路（图6）的电压、电流的关系。
第二章 对偶理论与灵敏度分析练习题答案 1．判断下列说法是否正确： (1) 任何线性规划问题存在并具有惟一的对偶问题；() (2) 根据对偶问题的性质，当原问题为无界解时，其对偶问题无可行解，反之，当对偶问题无可行解时，其原问题具有无界解；() (3) 设j ? x ，i ?y 分别为标准形式的原问题与对偶问题的可行解，* j x ，*i y 分别为其最优解，则恒有n n m m **j j j j i i i i j 1j 1i 1i 1??c x c x b y b y ====≤=≤∑∑∑∑；() (4) 若线性规划的原问题有无穷多最优解，则其对偶问题也一定具有无穷多最优解；() (5) 已知*i y 为线性规划的对偶问题的最优解，若*i y 0>，说明在最优生产计划中第i 种资源已完全耗尽；() (6) 已知*i y 为线性规划的对偶问题的最优解，若*i y 0=，说明在最优生产计划中第i 种资源一定有剩余；() (7) 若某种资源的影子价格等于k ，在其他条件不变的情况下，当该种资源增加5个单位时，相应的目标函数值将增大5k ；() (8) 应用对偶单纯形法计算时，若单纯形表中某一基变量i x 0<，又x i 所在行的元素全部大于或等于零，则可以判断其对偶问题具有无界解；() (9) 若线性规划问题中的b i ，c j 值同时发生变化，反映到最终单纯形表中，不会出现原问题与对偶问题均为非可行解的情况；() (10) 在线性规划问题的最优解中，如某一变量x j 为非基变量，则在原来问题中，无论改变它在目标函数中的系数c j 或在各约束中的相应系数a ij ，反映到最终单纯形表中，除该列数字有变化外，将不会引起其他列数字的变化。() 2．下表是某一约束条件用“≤”连接的线性规划问题最优单纯形表格，其中x 4、x 5为松弛变量。 要求：(1) (3)其它条件不变时，约束条件右端项b 1在何范围内变化，上述最优基不变。(4)若以单价购入第一种资源是否值得，为什么若有人愿意购买第二种资源应要价多少，为什么
间接效用函数与消费中的对偶性 （一）间接效用函数 1、直接效用函数：效用是消费量的函数，)(x u u =。 2、间接效用函数：令),(w p x x **=为效用最大化问题的解， )],([),(w p x u w p v *=为间接效用函数。w 为收入。 3、直接效用函数描述的偏好独立于市场，间接效用函数反映最优化程度和市 场价格。 4、推导罗伊恒等式 w w p v p w p v w p x j j ????-=),() ,(),(，n j ,,2,1 = 推导：由于)(max ),(x u w p v =，所以，),(w p v 关于w p ,得偏导数，按包络 定理等于求)(max x u 关于w p ,的导数，求导如下： )()(),(x p w x u x L ?-+=λλ ),(),(),(w p x x w x L w m p v =***=??=??λλ x p x L p m p v ?-=??=??***λλ),(),( x w m p v p m p v =????-) ,() ,( 罗伊恒等式的含义：如果间接效用函数已知，且连续可导，那么，就可 以求出马歇尔需求函数。 （二）对偶性定理 1、对偶性问题：是指一些成对的问题和概念，它们阐述的行为原则是一致的，只是（目标函数和约束条件的）表达正好相反。（见肖红叶著《高级微观经济学》35页。） 2、用对偶性定理描述直接效用函数与间接效用函数的关系，或直接效用函
数与间接效用函数间存在对偶关系。 显示偏好理论（46页）（参阅厉以宁《西方经济学》67-71页、肖红叶著《高级微观经济学》18页、黄亚钧、姜纬《微观经济学》第一版63-67页） 1、前面是从偏好（或效用函数）到最优选择，显示偏好理论则是从主体的选 择行为观察主体的偏好。 2、假定（见肖红叶著《高级微观经济学》18页。） （一）显示偏好弱公理 1、在0p 价格下，消费者既可以购买0q （这是一个商品组合！），也可以购买1q （这是一个商品组合！），但他购买了0q ，这一行为显示消费者相对于1q 更偏好0q 。假定消费者购买0q 正好花光了所有收入，即000y q p =。而 010y q p <。当价格变为1p 后（看来价格上升了） ，花光所有收入0y ，消费者也只能买1q ，即011y q p =（当然也可以假定111y q p =，由于价格上升了，由000y q p =可知，00001y q p q p =>，即在1p 价格下，消费者买不起0q 。由于011y q p =，所以，1101q p q p >，即不存在1101q p q p <。 2、上述情况对应于图1，0q 所在的预算约束线对应收入0y 和价格0p ，因为，当收入和价格给定时，就可以得到一条确定的预算约束线。1q 所在的预算约束线对应收入1y 和价格1p 。当预算线是0q 所在的预算约束线时，消费者既可以购买0q （000y q p =），也可以购买1q （010y q p <），但他购买了0q ，这一行为显示消费者相对于1q 更偏好0q 。当预算线是1q 所在的预算约束线时，消费者购买了1q ，没有购买0q ，这是因为在现在的预算约束下，他买不起0q ，而不是显示消费者相对于0q 更偏好1q 。偏好还是0q 优于1q 。也就是说，这两次购买行为中，消费者显示的偏好是一致的。