电子电路中的对偶原理分析
【摘要】电子电路是我国当前所有电气设备的基础，没有电子电路这一基础构造，先进的电气设备自然也就无从谈起，因此可以说，详细的了解电子电路中的相关理论和具体构成，对于电子电路的完善起到了基础性作用，对于我国工业技术的发展也将产生极大的推动作用。正因如此，本文对于电子电路在正常运行中存在的对偶现象进行了分析，阐述其理论结构，并且探讨这一理论在实践中进行电路分析时的具体应用，以期能够为学界和业界提供相应的借鉴和思路。
【关键词】电子电路；对偶原理；电气设备；拓扑结构
随着人类科学技术的不断发展，当今工业实践中所采取的电子电路结构日益复杂，其内部的拓扑结构种类日益繁多，在电子电路中起到了基础性的作用，在理论上，所有的电路结构都可以说是多个基础性电子拓扑结构的总和。因此，若想能够真正的了解电子电路的结构及其作用，就必须对于电子电路的拓扑结构进行详细的研究，因此，采取对偶原理是最为有效地方式方法。
实践中，只有在平面电路中才能应用对偶原理，但是随着社会科学技术的不断发展，当今人们所应有的绝大多数不是平面的电子电路。因此，对偶原理在应用中受到了极大地限制，尤其是如何在非平面结构的电路中应该对偶原理便成为当今学界和业界所共同关注的重要问题，比如在1946年是，学者Block便对于这一问题进行了详细的研究，认为应当发展一种最大程度能够适用于各种非平面电路的变压器，以期来实现简便的对偶更换[1]。但是，在当今的实践中，这种设想中的变压器并没有得到出现和应用，对于非平面电路的变压器，我们仍然需要依照对偶原理进行详细、深入的分析和研究。
一、对偶原理基础结构
对偶原理是存在于自然界的一种客观规律，简而言之，其本质就是在自然世界中，两类客观变量存在着同样的性质和地位，其中，如果这两类客观变量中的某一变量定理得以成立，那么其对偶元素的对偶定理也成立。因此可以说，采取对偶原理，可以非常便捷、方便、准确的对于客观事实进行分析和研究，几乎所有的人类自然科学领域都应用到对偶原理，在电力学中自然也不例外[2]。
具体到电子电路中，所谓的对偶原理即可以定义如下：如果电路中存在着一个已经成立的关系式，那么使用对偶元素对其中的一个元素进行替换，其关系式发生相应的变化，但是依旧成立。比如我们所熟知的欧姆定律U=Ri，利用对偶原理，将原有元素和对偶元素X进行替代，那么整个线路的电压、电阻和电流也会发生互换，而U=Ri自然也成立[3]。
在实践中，经常利用和出现的对偶元素包括如下：
表1 实践中常见对偶元素
元素电压
U 电阻
R
电感
L
XVL
定律
磁链
Ψ
串联短路回路回路
电流
开路
电压
等效
电阻
对偶元素电流
i
电导
G
电容
C
KCL
定律
电荷
Q
并联开路节点节点
电压
短流
电流
等效
电号
二、对偶变换在电子电路各器件的变换
实践中，随着人类社会科技的不断发展，电子电路日益复杂化、精密化，其中存在着各种电子电路部件，其在电子电路的运行中起到着不同的保障作用，因此，若想利用对偶原理对于电子电路的各部件进行变换，就必须分析和研究这些部件的对偶器件。在实践中，具有对偶关系、并且较为常见的器件主要包括以下三种：电阻和电导元件、电感和电容元件、电压源和电流源。
这三种最为常见的电子电路器件主要采用的非线性的开关器件，在理论上，如果存在一个理想、静态的开关特性曲线，从而达到互换电压轴和电流轴的互相替换；如果从动态特性方面进行分析，则应当是可控开通与可控关断两者之间形成对偶关系，而且可控开通与不可控开通两者也亦是如此。如此可以推断，在电子电路的实践中，无论是不可控开通、不可控关断，还是可控开通与不可控开通，其性质都是对偶的[4]。
三、对偶原理在电子电路实践中的应用
在电子电力进行变换的过程中，利用对偶原理可以起到两个作用，首先是对于已知的变换电路中，可以通过对偶变换对于拓扑结构进行扩展和变换，并且发现新的功能；其次，是可以通过对偶分析分析已有电路中的内在联系，对电子电路进行详细、深入的研究和了解，以下对实践中对偶原理的应用进行分析。
（一）对偶变换在平面电子电路中的应用
平面电子电路较为简单、直接，利用一些基本的对偶原理即可以实现相应的对偶变换，比如在我们生活和生产实践中极为常见地电路串联和并联。但是，随着人类科学技术的不断发展，复杂的电子电路逐渐成为了发展的主流，对于这一稍显复杂的电子电路而言，采取简单的对偶原理就无法有效的进行分析和研究，需要学界和业界进一步的研究[5]。
（二）非对偶变换在非平面的电子电路中的应用
实践中，利用极为简单的方法即可以利用对偶原理对于处于平面的电子电路进行对偶变换，但是在我们的现实生活中，许多电子电路都不是平面的，利用传统的对偶原理无法对其进行有效的对偶变换，需要进行极为复杂的变换。
比如，以实践中极为常见的三相电压源型整流器和三相电流源型整流器为例，如果想要对于这个非平面的电子电路结构进行对偶变换，就需要进行负载侧反电势及其串联的负载电阻由诺顿等效电路来代替，即一个电流源与一个电导并联，以期实现对偶变换的目的[6]。
结束语
在当今社会人类的生产和生活之中，电子电路已经成为不可获取的工具，其为各种电器设备起到最为基础的保障作用，但是，在实践中，利用对偶原理对于电子电路各器件进行对偶更换一直是困扰学界和业界面临的难题之一。本次研究对于这一电子电路中的对偶原理的应用进行了初步的分析和研究，为对偶原理在实践中进行对偶变换的实践进行了的研究，以期促进学界和业界的思考和研究。
参考文献：
[1]伍小杰，董瑶，戴鹏，周娟.对偶原理在电力电子电路中的应用[J].电气电子教学学报，2007,05（01）：11-23.
[2]毛先柏，刘素凯，对偶原理在电路教学中的应用[J].电子世界，2014,12（02）：3-15.
[3]申旭，路向阳.对偶原理在电路中的应用[J].科技广场，2007,07（02）：98-104
[4]赵学云，潘殿文，李映.对偶原理及其在电路教学中的运用[J].电气电子教学学报》，1999，21（1）：9-11
[5]张兢，彭东林，余永辉，王玉菡，徐勤.对偶原理在电路基础课程中的应用探索[J].中国电力教育：上，2009,5（03）：44-57.
线性规划的对偶原理 3.1 线性规划的对偶问题 一、 对偶问题的提出 换位思考 家具厂的线性规划问题，该问题站在家具厂管理者的角度追求销售收入最大 213050max x x z += ?? ? ??≥≤+≤+0 ,50212034212121x x x x x x 某企业家有一批待加工的订单，有意利用该家具厂的木工和油漆工资源来加工他的产品。他 需要与家具厂谈判付给该厂每个工时的价格。如果该企业家已对家具厂的经营情况有详细了 解，他可以构造一个数学模型来研究如何才能既让家具厂觉得有利可图，肯把资源出租给他， 又使自己付的租金最少。 目标:租金最少；1y -付给木工工时的租金；2y -付给油漆工工时的租金 2150120min y y w += 所付租金应不低于家具厂利用这些资源所能得到的利益 1）支付相当于生产一个桌子的木工、油漆工的租金应不低于生产一个桌子的收 入 502421≥+y y 2）支付相当于生产一个椅子的木工、油漆工的租金应不低于生产一个椅子的收 入 30321≥+y y 3）付给每种工时的租金应不小于零 0,021≥≥y y 二、 原问题与对偶问题的数学模型 1. 对称形式的对偶
原问题和对偶问题只含有不等式约束时，一对对偶问题的模型是对称的，称为对称形式的对偶。 原问题： ?? ? ??≥≥=0min X b AX CX z 对偶问题： ?? ? ??≥≤=0max Y C YA Yb w 2. 非对称形式的对偶 若原问题的约束条件全部是等式约束（即线性规划的标准型），即 ?? ? ??≥==0min X b AX CX z 则其对偶问题的数学模型为 ?? ? ??≤=是自由变量Y C YA Yb w max 可把原问题写成其等价的对称形式： min z =CX AX ≥b AX ≤b X ≥0 即 min z =CX ? ? ????-A A X ≥??????-b b X ≥0 设Y 1=(y 1,y 2,…,y m ), Y 2=(y m+1,y m+2,…,y 2m )。根据对称形式的对偶模型，写出上述问题的对偶问题：
1.基本原理 自然界中的电荷只有两种，即正电荷和负电荷。电荷的多少，用电荷量表示。符号是Q 单位是库(仑)。在毛皮上摩擦后的橡胶制品能够吸引小纸片是物体带电的一种表现。我们还发现雷击、感应、加热、照射等等也能使物体带电。 有些传感器反映被测物理量大小是以电荷量来表示的。如利用晶体的压电效应，可以做成压力传感器、加速度传感器等。其输出电荷与所加其上的压力之比叫灵教度，比如，某传感器灵敏度为12pC/kg,表示每千克力输出12X10-12库仑的电荷。 我们知道，测量电荷使用电容器是比较好的方法，利用公式U=Q/C，使用标准电容C，测量电U，就可以知道电荷量Q。 由于传感器的引出线以及其他外部电容的存在(在本例中，我们以C21模拟这些电容的存在，C12作为普通标准电容器测量方法)，使得我们不容易得到准确的标准电容C，工程师们发明了电荷放大器，其基本原理，是利用运算放大器的特性，将所有电荷转移到反馈电容中(本例中是C3和C22),而由于运算放大器的虚短特点，C21两端电压近似为零，没有额外的电荷消耗在其他的电容上，我们只要测量标准的反馈电容两端电压，就可以得到电荷量的大小。 设计电荷型输出传感器的电子线路设计者，需婴把握以下两方面：一方面如何设计电荷放大器，把传感器输出电荷数量线性转换为容易处理的电压。这也是我们传感应用的电子产品设计的基本出发点。另一方面，我们设计好了产品，在传感器未知或不可测试时，怎么测定我们设计的电子产品的电荷利量准确性呢？ 本产品是一种电荷放大电路的设计，还配合设计了其标定电路。电荷泵标定电路可以用来产生标准电荷量的发生装置。电荷放大电路将电荷量又转化为电压信号。 电荷泵标定电路，是通过产生一个恒流源，其电流大小是可调节的。同时设计了一个时间可控开关。这个开关用来控制加载电流的时间，这样就可以得到固定电荷量的输出了。 电路中，通过多个电流镜像电路。我们将由U5A和Q5确定的电流，在Q3和Q10上形
§2 对偶与灵敏度分析 §2.1 LP 的对偶问题 无论从理论和实践角度，对偶理论是LP 中的一个最重要和有趣的概念，支持对偶理论的基本思想是：每一个LP 问题都存在一个与其对偶的问题，在求解一个问题解的时候，也同时给出了另一问题的解。 一、问题的提出 例2.1：设某工厂生产两种产品甲乙，生产过程需要4种设备ABCD 进行加工，每件产品加工所需机时数，每件产品的利润值及每种设备的可利用机时如下表： 1.问：充分利用设备时，应怎样安排甲乙产品的生产数量，利润才能最大？ 2.问：如有另外一家公司想租用该厂设备加工生产，那么，这家公司应至少对每台设备的机时价格为多少时，才能使该厂愿意出租设备？ 解：1.设甲乙产品各生产1x 2x 件
LP1：?????? ?≥≤≤+≤++=0 ,1648 212 2232211 21212 1x x x x x x x x x MaxZ 2.设每台设备的机时最低价分别为：1y ，2y ，3y ，4y LP2：??? ??=≥≥++≥+++++=4,3,2,1,03422242121681242 13 214 321i y y y y y y y y y y y MinZ i 二、原问题和对偶问题之间的关系： 1.对称形式下的原问题与对偶问题 对称形式下原问题的一般式： 矩阵形式： ????? ?? ??=≥≤+++≤+++≤++++++=n j x b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a x c x c x c MaxZ j m n mn m m n n n n n n ....... 21,0 (221) 1222221211 12121112211 ???≥≤=0X b AX CX Max 若用i y 代表第i 种资源的估价，则其对偶问题的一般式为： ????? ?? ??=≥≥+++≥+++≥++++++=m j y c y a y a y a c y a y a y a c y a y a y a y b y b y b MinZ j n m mn n n m mn m m m m ....... 21,0 (221) 1222221121 12211112211 ???≥≥=0Y C Y A Yb Min T T ω 2.非对称形式下原问题与对偶问题： 方法一：将非对称形式转化为对称形式，求出对偶问题，然后再还原。
电气原理图及接线图识读方法VS画图技巧2016-11-11 07:30 识图方法 电气图纸一般可分为两大类，一类为电力电气图，它主要是表 述电能的传输、分配和转换，如电网电气图、电厂电气控制图等。 另一类为电子电气图，它主要表述电子信息的传递、处理；如 电视机电气原理图。本文主要谈电力电气图的识读。 电力电气图分一次回路图、二次回路图。一次回路图表示一次电气 设备(主设备)连接顺序。一次电气设备主要包括发电机、变压器、 断路器、电动机、电抗器、电力电缆、电力母线、输电线等。 为对一次设备及其电路进行控制、测量、保护而设计安装的各类 电气设备，如测量仪表、控制开关、继电器、信号装置、自动装置 等称二次设备。表示二次设备之间连接顺序的电气图称二次回路 图。 一、电气图的种类 电气图主要有系统原理图、电路原理图、安装接线图。 1．系统原理图(方框图) 用较简单的符号或带有文字的方框，简单明了地表示电路系统的最 基本结构和组成，直观表述电路中最基本的构成单元和主要特征 及相互间关系。 2．电路原理图 电路原理图又分为集中式、展开式两种。集中式电路图中各元器件 等均以整体形式集中画出，说明元件的结构原理和工作原理。识读 时需清楚了解图中继电器相关线圈、触点属于什么回路，在什么情 况下动作，动作后各相关部分触点发生什么样变化。 展开式电路图在表明各元件、继电器动作原理、动作顺序方面， 较集中式电路图有其独特的优点。展开式电路图按元件的线圈、触 点划分为各自独立的交流电流、交流电压、直流信号等回路．凡属 于同一元件或继电器的电流、电压线圈及触点采用相同的文字。展
开式电路图中对每个独立回路，交流按U、V、W相序；直流按继电器动作顺序依次排列。识读展开式电路图时，对照每一回路右侧的文字说明，先交流后直流，由上而下，由左至右逐行识读。集中式、展开式电路图互相补充、互相对照来识读更易理解。 3．安装接线图 安装接线图是以电路原理为依据绘制而成，是现场维修中不可缺少的重要资料。安装图中各元件图形、位置及相互间连接关系与元件的实际形状、实际安装位置及实际连接关系相一致。图中连接关系采用相对标号法来表示。 二、识读电气图须知 1．学习掌握一定的电子、电工技术基本知识，了解各类电气设备的性能、工作原理，并清楚有关触点动作前后状态的变化关系。 2．对常用常见的典型电路，如过流、欠压、过负荷、控制、信号电路的工作原理和动作顺序有一定的了解。 3．熟悉国家统一规定的电力设备的图形符号、文字符号、数字符号、回路编号规定通则及相关的国标。了解常见常用的外围电气图形符号、文字符号、数字符号、回路编号及国际电工委员会(IEC)规定的通用符号和物理量符号(相关资料附后)。 4．了解绘制二次回路图的基本方法。电气图中一次回路用粗实线，二次回路用细实线画出。一次回路画在图纸左侧，二次回路画在图纸右侧。由上而下先画交流回路，再画直流回路。同一电器中不同部分(如线圈、触点)不画在一起时用同一文字符号标注。对接在不同回路中的相同电器，在相同文字符号后面标注数字来区别。 5．电路中开关、触点位置均在"平常状态"绘制。所谓"平常状态"是指开关、继电器线圈在没有电流通过及无任何外力作用时触点的状态。通常说的动合、动断触点都指开关电器在线圈无电、无外力作用时它们是断开或闭合的，一旦通电或有外力作用时触点状态随之改变。 三、识读电气图方法 1．仔细阅读设备说明书、操作手册，了解设备动作方式、顺序，有关设备元件在电路中的作用。
对偶问题 例题1：某养鸡场所用的混合饲料由n 种天然饲料配合而成。要求在这批配合饲料中必须含有m 种不同的营养成分，且第i 种营养成分的含量不低于bi 。已知第i 种营养成分在每单位第j 种天然饲料中的含量为a ij ，每单位第j 天然饲料的价格为c j 。试问，应如何对这n 种饲料配方，使这批饲料的费用最小 解 设x j 为第j 种天然饲料的用量。 显然，a ij x j 即为所用第j 种天然饲料中第i 种营养成分的含量，1n ij j j a x =∑为这 批混合饲料中第i 种营养成分的总含量；它不应低于bi 。于是，我们得下列线性规划模型(1—1)： 1 min n j j j f c x ==∑ 1 1,,..01,,n ij j i j j a x b i m s t x j n =?≥=???≥=? ∑ 现设想有一个饲料加工厂欲把这m 种营养成分分别制成m 种营养丸。 设第i 种营养丸的价格为ui(i ＝1，…，m)。则养鸡场采购一个单位的第j 种天然饲料，就相当于对这m 种营养丸分别采购数量a 1j ，…a mj ，所化费用为1m ij i i a u =∑养鸡场自然希望在用营养丸代替天然饲料时，在价格上能相对地比较便宜，故而饲料加工厂为了能与天然饲料供应者竞争，在制订价格时必然满足下述条件： 1 1, ,m ij i j i a u c j n =≤=∑ 另一方面，养鸡场如果全部采购营养丸来代替天然饲料进行配料，则第i 种营养丸就需采购bi 个单位，所化费用为b i u i ，总费用为z=∑b i u i 饲料加工厂面临的问题是：应把这m 种营养丸的单价ui(f=1，…，m)定为多少，才能使养鸡场乐意全部采用该厂生产的营养丸来取代这批天然饲料，且使本厂在竞争中得到最大收益。为该问题建立数学模型，即得如下线性规划(1—2)：
桥式整流电路图及工作原理介绍 桥式整流电路如图1所示，图（a）、（b）、（c）是桥式整流电路的三种不同画法。由电源变压器、四只整流二极管D1~4 和负载电阻RL组成。四只整流二极管接成电桥形式，故称桥式整流。 图1 桥式整流电路图 桥式整流电路的工作原理 如图2所示。
在u2的正半周，D1、D3导通，D2、D4截止，电流由TR次级上端经D1→ RL →D3回到TR 次级下端，在负载RL上得到一半波整流电压。 在u2的负半周，D1、D3截止，D2、D4导通，电流由Tr次级的下端经D2→ RL →D4 回到Tr次级上端，在负载RL 上得到另一半波整流电压。 这样就在负载RL上得到一个与全波整流相同的电压波形，其电流的计算与全波整流相同，即 UL = 0.9U2 IL = 0.9U2／RL 流过每个二极管的平均电流为 ID = IL／2 = 0.45 U2／RL 每个二极管所承受的最高反向电压为 什么叫硅桥,什么叫桥堆 目前，小功率桥式整流电路的四只整流二极管，被接成桥路后封装成一个整流器件，称"硅桥"或"桥堆"，使用方便，整流电路也常简化为图Z图1（c）的形式。桥式整流电路克服了全波整流电路要求变压器次级有中心抽头和二极管承受反压大的缺点，但多用了两只二极管。在半导体器件发展快，成本较低的今天，此缺点并不突出，因而桥式整流电路在实际中应用较为广泛。 二极管整流电路原理与分析 半波整流 二极管半波整流电路实际上利用了二极管的单向导电特性。
当输入电压处于交流电压的正半周时，二极管导通，输出电压v o=v i-v d。当输入电压处于交 流电压的负半周时，二极管截止，输出电压v o=0。半波整流电路输入和输出电压的波形如图所 示。 二极管半波整流电路 对于使用直流电源的电动机等功率型的电气设备，半波整流输出的脉动电压就足够了。但对于电子电路，这种电压则不能直接作为半导体器件的电源，还必须经过平滑（滤波）处理。平滑处理电路实际上就是在半波整流的输出端接一个电容，在交流电压正半周时，交流电源在通过二极管向负载提供电源的同时对电容充电，在交流电压负半周时，电容通过负载电阻放电。 电容输出的二极管半波整流电路仿真演示 通过上述分析可以得到半波整流电路的基本特点如下： （1）半波整流输出的是一个直流脉动电压。 （2）半波整流电路的交流利用率为50%。 （3）电容输出半波整流电路中，二极管承担最大反向电压为2倍交流峰值电压（电容输出 时电压叠加）。 （3）实际电路中，半波整流电路二极管和电容的选择必须满足负载对电流的要求。
数学建模对偶问题和灵敏度分析
对偶问题 例题1：某养鸡场所用的混合饲料由n 种天然饲料配合而成。要求在这批配合饲料中必须含有m 种不同的营养成分，且第i 种营养成分的含量不低于bi 。已知第i 种营养成分在每单位第j 种天然饲料中的含量为a ij ，每单位第j 天然饲料的价格为c j 。试问，应如何对这n 种饲料配方，使这批饲料的费用最小? 解 设x j 为第j 种天然饲料的用量。 显然，a ij x j 即为所用第j 种天然饲料中第i 种营养成分的含量，1n ij j j a x =∑为这批混 合饲料中第i 种营养成分的总含量；它不应低于bi 。于是，我们得下列线性规划模型(1—1)： 1 min n j j j f c x ==∑ 1 1,,..01,,n ij j i j j a x b i m s t x j n =?≥=???≥=? ∑ 现设想有一个饲料加工厂欲把这m 种营养成分分别制成m 种营养丸。 设第i 种营养丸的价格为ui(i ＝1，…，m)。则养鸡场采购一个单位的第j 种天然饲料，就相当于对这m 种营养丸分别采购数量a 1j ，…a mj ，所化费用为1m ij i i a u =∑养 鸡场自然希望在用营养丸代替天然饲料时，在价格上能相对地比较便宜，故而饲料加工厂为了能与天然饲料供应者竞争，在制订价格时必然满足下述条件： 1 1, ,m ij i j i a u c j n =≤=∑ 另一方面，养鸡场如果全部采购营养丸来代替天然饲料进行配料，则第i 种营养丸就需采购bi 个单位，所化费用为b i u i ，总费用为z=∑b i u i
第二章 对偶理论与灵敏度分析练习题答案 1．判断下列说法是否正确： (1) 任何线性规划问题存在并具有惟一的对偶问题；() (2) 根据对偶问题的性质，当原问题为无界解时，其对偶问题无可行解，反之，当对偶问题无可行解时，其原问题具有无界解；() (3) 设j ? x ，i ?y 分别为标准形式的原问题与对偶问题的可行解，*j x ，*i y 分别为其最优解，则恒有n n m m **j j j j i i i i j 1 j 1 i 1 i 1 ??c x c x b y b y ====≤=≤∑∑∑∑；() (4) 若线性规划的原问题有无穷多最优解，则其对偶问题也一定具有无穷多最优解；() (5) 已知*i y 为线性规划的对偶问题的最优解，若*i y 0>，说明在最优生产计划中第i 种资源已完全耗尽；() (6) 已知*i y 为线性规划的对偶问题的最优解，若*i y 0=，说明在最优生产计划中第i 种资源一定有剩余；() (7) 若某种资源的影子价格等于k ，在其他条件不变的情况下，当该种资源增加5个单位时，相应的目标函数值将增大5k ；() (8) 应用对偶单纯形法计算时，若单纯形表中某一基变量i x 0<，又x i 所在行的元素全部大于或等于零，则可以判断其对偶问题具有无界解；() $ (9) 若线性规划问题中的b i ，c j 值同时发生变化，反映到最终单纯形表中，不会出现原问题与对偶问题均为非可行解的情况；() (10) 在线性规划问题的最优解中，如某一变量x j 为非基变量，则在原来问题中，无论改变它在目标函数中的系数c j 或在各约束中的相应系数a ij ，反映到最终单纯形表中，除该列数字有变化外，将不会引起其他列数字的变化。() 2．下表是某一约束条件用“≤”连接的线性规划问题最优单纯形表格，其中x 4、x 5为松弛变量。 X B ｂ x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 — x 3 5/2 0 1/2 1 1/2 0 x 1 5/2 1 — -1/2 0 -1/6 1/3 σj 0 -4 0 -4 -2 ; 要求：(1)写出原线性规划问题及其对偶问题的数学模型；(2)直接由表写出对偶问题的最优解； (3)其它条件不变时，约束条件右端项b 1在何范围内变化，上述最优基不变。(4)若以单价购入
第二章 对偶理论与灵敏度分析练习题答案 1．判断下列说法是否正确： (1) 任何线性规划问题存在并具有惟一的对偶问题；() (2) 根据对偶问题的性质，当原问题为无界解时，其对偶问题无可行解，反之，当对偶问题无可行解时，其原问题具有无界解；() (3) 设j ? x ，i ?y 分别为标准形式的原问题与对偶问题的可行解，* j x ，*i y 分别为其最优解，则恒有n n m m **j j j j i i i i j 1j 1i 1i 1??c x c x b y b y ====≤=≤∑∑∑∑；() (4) 若线性规划的原问题有无穷多最优解，则其对偶问题也一定具有无穷多最优解；() (5) 已知*i y 为线性规划的对偶问题的最优解，若*i y 0>，说明在最优生产计划中第i 种资源已完全耗尽；() (6) 已知*i y 为线性规划的对偶问题的最优解，若*i y 0=，说明在最优生产计划中第i 种资源一定有剩余；() (7) 若某种资源的影子价格等于k ，在其他条件不变的情况下，当该种资源增加5个单位时，相应的目标函数值将增大5k ；() (8) 应用对偶单纯形法计算时，若单纯形表中某一基变量i x 0<，又x i 所在行的元素全部大于或等于零，则可以判断其对偶问题具有无界解；() (9) 若线性规划问题中的b i ，c j 值同时发生变化，反映到最终单纯形表中，不会出现原问题与对偶问题均为非可行解的情况；() (10) 在线性规划问题的最优解中，如某一变量x j 为非基变量，则在原来问题中，无论改变它在目标函数中的系数c j 或在各约束中的相应系数a ij ，反映到最终单纯形表中，除该列数字有变化外，将不会引起其他列数字的变化。() 2．下表是某一约束条件用“≤”连接的线性规划问题最优单纯形表格，其中x 4、x 5为松弛变量。 要求：(1) (3)其它条件不变时，约束条件右端项b 1在何范围内变化，上述最优基不变。(4)若以单价购入第一种资源是否值得，为什么若有人愿意购买第二种资源应要价多少，为什么
电子电路图原理分析 电器修理、电路设计都是要通过分析电路原理图,了解电器的功能和工作原理,才能得心应手开展工作的。作为从事此项工作的同志,首先要有过硬的基本功,要能对有技术参数的电路原理图进行总体了解,能进行划分功能模块,找出信号流向,确定元件作用。若不知电路的作用,可先分析电路的输入和输出信号之间的关系。如信号变化规律及它们之间的关系、相位问题是同相位,或反相位。电路和组成形式,是放大电路,振荡电路,脉冲电路,还是解调电路。 要学会维修电器设备和设计电路,就必须熟练掌握各单元电路的原理。会划分功能块,能按照不同的功能把整机电路的元件进行分组,让每个功能块形成一个具体功能的元件组合,如基本放大电路,开关电路,波形变换电路等。 要掌握分析常用电路的几种方法,熟悉每种方法适合的电路类型和分析步骤。 １．交流等效电路分析法 首先画出交流等效电路,再分析电路的交流状态,即：电路有信号输入时,电路中各环节的电压和电流是否按输入信号的规律变化、是放大、振荡,还是限幅削波、整形、鉴相等。 ２．直流等效电路分析法 画出直流等效电路图,分析电路的直流系统参数,搞清晶体管静态工作点和偏置性质,级间耦合方式等。分析有关元器件在电路中所处状态及起的作用。例如：三极管的工作状态,如饱和、放大、截止区,二极管处于导通或截止等。 ３．频率特性分析法 主要看电路本身所具有的频率是否与它所处理信号的频谱相适应。粗略估算一下它的中心频率,上、下限频率和频带宽度等,例如：各种滤波、陷波、谐振、选频等电路。 ４．时间常数分析法 主要分析由Ｒ、Ｌ、Ｃ及二极管组成的电路、性质。时间常数是反映储能元件上能量积累和消耗快慢的一个参数。若时间常数不同,尽管它的形式和接法相似,但所起的作用还是不同,常见的有耦合电路、微分电路、积分电路、退耦电路、峰值检波电路等。 最后,将实际电路与基本原理对照,根据元件在电路中的作用,按以上的方法一步步分析,就不难看懂。当然要真正融会贯通还需要坚持不懈地学习。 电子设备中有各种各样的图。能够说明它们工作原理的是电原理图，简称电路图。 电路图有两种 一种是说明模拟电子电路工作原理的。它用各种图形符号表示电阻器、电容器、开关、晶体管等实物，用线条把元器件和单元电路按工作原理的关系连接起来。这种图长期以来就一直被叫做电路图。 另一种是说明数字电子电路工作原理的。它用各种图形符号表示门、触发器和各种逻辑部件，用线条把它们按逻辑关系连接起来，它是用来说明各个逻辑单元之间的逻辑关系和整机的逻辑功能的。为了和模拟电路的电路图区别开来，就把这种图叫做逻辑电路图，简称逻辑图。 除了这两种图外，常用的还有方框图。它用一个框表示电路的一部分，它能简洁明了地说明电路各部分的关系和整机的工作原理。 一张电路图就好象是一篇文章，各种单元电路就好比是句子，而各种元器件就是组成句子的单词。所以要想看懂电路图，还得从认识单词——元器件开始。有关电阻器、电容器、电感线圈、晶体管等元器件的用途、类别、使用方法等内容可以点击本文相关文章下的各个链接，本文只把电路图中常出现的各种符号重述一遍，希望初学者熟悉它们，并记住不忘。 电阻器与电位器（什么是电位器） 符号详见图 1 所示，其中（ a ）表示一般的阻值固定的电阻器，（ b ）表示半可调或微调电阻器；（ c ）表示电位器；（ d ）表示带开关的电位器。电阻器的文字符号是“ R ”，电位器是“ RP ”，即在 R 的后面再加一个说明它有调节功能的字符“ P ”。
作业： 问题1：书本P71第7题 1、设x1 、x2 、x3分别为A产量，B产量，C产量 目标函数：Z=4 x1 +x2 +5x3 约束条件： +3x2 + 5x3<=45 6x 3x1 +4x2 +5x3<=30 x1 、x2 、x3>0 2、A的利润在3~6之间，最优计划不变。 3、设x1 、x2 、x3、x4 分别为A产量，B产量，C产量，D产量 目标函数：Z=4 x1 +x2 +5x3+2.5x4 约束条件： +3x2 + 5x3+3x4<=45 6x 3x1 +4x2 +5x3+2x4<=30 x1 、x2 、x3、x4>0 利润从35增加到37.5，值得生产。 4、见Excel 问题2：某厂拟生产甲、乙、丙三种产品，都需要在A，B两种设备上加工，有关数据如下表所示： （1）如何充分发挥设备能力，使产品总产值最大？ 设x1 、x2 、x3分别为甲产量，乙产量，丙产量 目标函数：Z=3 x1 +2x2 +x3 约束条件： +2x2 + 1x3<=400 x 2x1 +1x2 +2x3<=500 x1 、x2 、x3>0 最优解 甲产量乙产量丙产量 200 100 0 总产值最大800 （2） 200个甲产品在A设备上加工1小时，B设备上加工2小时。
100个乙产品在A设备上加工2小时，B设备上加工1小时。 丙产品不生产。 使得总产值最大为80万。 （3）试分别确定甲产品单位产值、B设备供量各自的影响范围。 甲产品的范围是198~201。 B设备供量的范围是200~800。 （4）若每月能以39万元租金租用外厂B设备300台时，则应否租用？为什么？ 原来的产值为80万，租用外厂之后的产值为120万，则产值增加了40万，而租金要39万，则增加的产值足够支付租金，最后剩余1万，说明能租用。 （5）若每月A设备提供量减少200台时，B设备供量增加100台时，试问最优解与影子价格有何变化？ 最优解是600 影子价格：A设备从0.333~3 ；B设备从1.333~0
线性规划的对偶理论与灵敏度分析习题
1 第二章 线性规划的对偶理论与灵敏度分析习题 1. 写出下列线性规划问题的对偶问题。 (1) ?????? ?≥=++≤++≥++++=无约束 3213213213213 21,0,5343322 43422min x x x x x x x x x x x x x x x z (2) ?????? ?≤≥≤++≥-+-=++++=0 ,0,8374355 22365max 321321321321321x x x x x x x x x x x x x x x z 无约束 (3) ????? ??????==≥=====∑∑∑∑====),,1;,,1(0),,1(),,1(min 1 111 n j m i x n j b x m i a x x c z ij m i j ij n j i ij m i ij n j ij
2 (4) ????? ??????=≥++==<=<=∑∑∑===) ,,,,1(0),,2,1(),,1(min 1 211 111 n n j x m m m i b x a m m i b x a x c z j n j i j ij n j i j ij n j j j 无约束 2. 判断下列说法是否正确，为什么? (1)如果线性规划的原问题存在可行 解，则其对偶问题也一定存在可行解； (2)如果线性规划的对偶问题无可行 解，则原问题也一定无可行解； ( 3)在互为对偶的一对原问题与对偶 问题中，不管原问题是求极大或极小，原问题可行解的目标函数值一定不超过其对偶问题可行解的目标函数值； (4)任何线性规划问题具有唯一的对 偶问题。 3. 已知某求极大化线性规划问题用单纯形法求解时的初始单纯形表及最终单纯形表如下表所示，求表中各括弧内未知数的值。 3 2 2 0 0 0
电路设计的基本原理和方法 本人经过整理得出如下的电路设计方法，希望对广大电子爱好者及热衷于硬件研发的朋友有所帮助。 电子电路的设计方法 设计一个电子电路系统时，首先必须明确系统的设计任务，根据任务进行方案选择，然后对方案中的各个部分进行单元的设计，参数计算和器件选择，最后将各个部分连接在一起，画出一个符合设计要求的完整的系统电路图。 一．明确系统的设计任务要求 对系统的设计任务进行具体分析，充分了解系统的性能，指标，内容及要求，以明确系统应完成的任务。 二．方案选择 这一步的工作要求是把系统要完成的任务分配给若干个单元电路，并画出一个能表示各单元功能的整机原理框图。 方案选择的重要任务是根据掌握的知识和资料，针对系统提出的任务，要求和条件，完成系统的功能设计。在这个过程中要敢于探索，勇于创新，力争做到设计方案合理，可靠，经济，功能齐全，技术先进。并且对方案要不断进行可行性和有缺点的分析，最后设计出一个完整框图。框图必须正确反映应完成的任务和各组成部分的功能，清楚表示系统的基本组成和相互关系。 三．单元电路的设计，参数计算和期间选择 根据系统的指标和功能框图，明确各部分任务，进行各单元电路的设计，参数计算和器件选择。 1．单元电路设计 单元电路是整机的一部分，只有把各单元电路设计好才能提高整机设计水平。 每个单元电路设计前都需明确各单元电路的任务，详细拟定出单元电路的性能指标，与前后级之间的关系，分析电路的组成形式。具体设计时，可以模仿传输的先进的电路，也可以进行创新或改进，但都必须保证性能要求。而且，不仅单元电路本身要设计合理，各单元电路间也要互相配合，注意各部分的输入信号，输出信号和控制信号的关系。 2．参数计算 为保证单元电路达到功能指标要求，就需要用电子技术知识对参数进行计算。例如，放大电路中各电阻值，放大倍数的计算；振荡器中电阻，电容，振荡频率等参数的计算。只有很好的理解电路的工作原理，正确利用计算公式，计算的参数才能满足设计要求。 参数计算时，同一个电路可能有几组数据，注意选择一组能完成电路设计要求的功能，在实践中能真正可行的参数。 计算电路参数时应注意下列问题： （1）元器件的工作电流，电压，频率和功耗等参数应能满足电路指标的要求； （2）元器件的极限参数必须留有足够充裕量，一般应大于额定值的1．5倍； （3）电阻和电容的参数应选计算值附近的标称值。 3．器件选择 （1）元件的选择 阻容电阻和电容种类很多，正确选择电阻和电容是很重要的。不同的电路对电阻和电容性能要求也不同，有解电路对电容的漏电要求很严，还有些电路对电阻，电容的性能和容量要求很高。例如滤波电路中常用大容量（100ｕF～3000uF）铝电解电容，为滤掉高频通常
第二章线性规划的对偶理论 2.1 写出下列线性规划问题的对偶问题 max z=2x1+2x2－4x3 x1 + 3x2 + 3x3 ≤30 4x1 + 2x2 + 4x3≤80 x1、x2，x3≥0 解：其对偶问题为 min w=30y1+ 80y2 y1+ 4y2≥2 3y1 + 2y2 ≥2 3y1 + 4y2≥－4 y1、y2≥0 2.2 写出下列线性规划问题的对偶问题 min z=2x1+8x2－4x3 x1 + 3x2－3x3 ≥30 －x1 + 5x2 + 4x3 = 80 4x1 + 2x2－4x3≤50 x1≤0、x2≥0，x3无限制 解：其对偶问题为 max w=30y1+80 y2+50 y3 y1－y2 + 4 y3≥2 3y1+5y2 + 2y3≤8 －3y1 + 4y2－4y3 =－4 y1≥0，y2无限制，y3≤0 2.3已知线性规划问题 max z=x1+2x2+3x3+4x4 x1 + 2x2 + 2x3 +3x4≤20 2x1 + x2 + 3x3 +2x4≤20 x1、x2，x3，x4≥0 其对偶问题的最优解为y1*=6/5，y2*=1/5。试用互补松弛定理求该线性规划问题的最优解。 解：其对偶问题为
min w=20y1+ 20y2 y1 + 2y2≥1 （1） 2y1 + y2 ≥2 （2） 2y1 +3y2≥3 （3） 3y1 +2y2≥4 （4） y1、y2≥0 将y1*=6/5，y2*=1/5代入上述约束条件，得（1）、（2）为严格不等式；由互补松弛定理可以推得x1*=0，x2*=0。又因y1*>0，y2*>0，故原问题的两个约束条件应取等式，所以 2x3*+3x4* = 20 3x3* +2x4* = 20 解得x3* = x4* = 4。故原问题的最优解为 X*=（0，0，4，4）T 2.4用对偶单纯形法求解下列线性规划 min z=4x1+2x2+6x3 2x1 +4x2 +8x3 ≥24 4x1 + x2 + 4x3≥8 x1、x2，x3≥0 解将问题改写成如下形式 max（－z）=－4x1－2x2－6x3 －2x1－4x2 －8x3 + x4=－24 －4x1－x2－4x3+x5 =－8 x1、x2，x3，x4，x5≥0 显然，p4、p5可以构成现成的单位基，此时，非基变量在目标函数中的系数全为负数，因此p4、p5构成的就是初始正侧基。整个问题的计算过程列在表2—7中。
线性规划的对偶问题文稿归稿存档编号：[KKUY-KKIO69-OTM243-OLUI129-G00I-FDQS58-
第二章线性规划的对偶问题 习题 2.1 写出下列线性规划问题的对偶问题 (1) max z ＝10x1＋ x2＋2x3 (2) max z ＝2x1＋ x2＋3x3＋ x4 st. x1＋ x2＋2 x3≤10 st. x1＋ x2＋ x3 ＋ x4≤5 4x1＋ x2＋ x3≤20 2x1－ x2＋3x3＝－4 x j≥0 （j＝1,2,3） x1－ x3＋ x4≥1 x1，x3≥0，x2，x4无约束 (3) min z ＝3x1＋2 x2－3x3＋4x4 (4) min z ＝－5 x1－6x2－7x3 st. x1－2x2＋3x3＋4x4≤3 st. －x1＋5x2－3x3≥15 x2＋3x3＋4x4≥－5 －5x1－6x2＋10x3≤20 2x1－3x2－7x3 －4x4＝2＝ x1－ x2－ x3＝－5 x1≥0，x4≤0，x2，，x3无约束 x1≤0， x2≥0，x3无约束 2.2 已知线性规划问题max z＝CX，AX=b，X≥0。分别说明发生下列情况时，其对偶问题的解的变化： （1）问题的第k个约束条件乘上常数λ（λ≠0）； （2）将第k个约束条件乘上常数λ（λ≠0）后加到第r个约束条件上；（3）目标函数改变为max z＝λCX（λ≠0）； （4）模型中全部x1用3 'x代换。 1 2.3 已知线性规划问题min z＝8x1＋6x2＋3x3＋6x4 st. x1＋2x2＋ x4≥3 3x1＋ x2＋ x3＋ x4≥6
x3 ＋ x4＝2 x1 ＋ x3 ≥2 x j≥0（j＝1,2,3,4） (1) 写出其对偶问题； (2) 已知原问题最优解为x*＝（1，1，2，0），试根据对偶理论，直接求出对偶问题的最优解。 2.4 已知线性规划问题min z＝2x1＋x2＋5x3＋6x4 对偶变量 st. 2x1 ＋x3＋ x4≤8 y1 2x1＋2x2＋x3＋2x4≤12 y2 x j≥0（j＝1,2,3,4） 其对偶问题的最优解y1*=4；y2*=1，试根据对偶问题的性质，求出原问题的最优解。 2.5 考虑线性规划问题max z＝2x1＋4x2＋3x3 st. 3x1＋4 x2＋2x3≤60 2x1＋ x2＋2x3≤40 x1＋3x2＋2x3≤80 x j≥0 （j＝1,2,3） （1）写出其对偶问题 （2）用单纯形法求解原问题，列出每步迭代计算得到的原问题的解与互补的对偶问题的解； （3）用对偶单纯形法求解其对偶问题，并列出每步迭代计算得到的对偶问题解及与其互补的对偶问题的解； （4）比较（2）和（3）计算结果。
第三章线性规划对偶理论与灵敏度分析习题 一、思考题 1．对偶问题和对偶变量的经济意义是什么？ 2．简述对偶单纯形法的计算步骤。它与单纯形法的异同之处是什么？ 3．什么是资源的影子价格？它和相应的市场价格之间有什么区别？ 4．如何根据原问题和对偶问题之间的对应关系，找出两个问题变量之间、解及检 验数之间的关系？ 5．利用对偶单纯形法计算时，如何判断原问题有最优解或无可行解？ 6．在线性规划的最优单纯形表中，松弛变量（或剩余变量）0>+k n x ，其经济意 义是什么？ 7．在线性规划的最优单纯形表中，松弛变量k n x +的检验数0>+k n σ（标准形为 求最小值），其经济意义是什么？ 8．将i j j i b c a ,,的变化直接反映到最优单纯形表中，表中原问题和对偶问题的解 将会出现什么变化？有多少种不同情况？如何去处理？ 二、判断下列说法是否正确 1．任何线性规划问题都存在且有唯一的对偶问题。 2．对偶问题的对偶问题一定是原问题。 3．若线性规划的原问题和其对偶问题都有最优解，则最优解一定相等。 4．对于线性规划的原问题和其对偶问题，若其中一个有最优解，另一个也一定 有最优解。 5．若线性规划的原问题有无穷多个最优解时，其对偶问题也有无穷多个最优解。 6．已知在线性规划的对偶问题的最优解中，对偶变量0>* i y ，说明在最优生产计 划中，第i 种资源已经完全用尽。 7．已知在线性规划的对偶问题的最优解中，对偶变量0=* i y ，说明在最优生产计 划中，第i 种资源一定还有剩余。 8．对于i j j i b c a ,,来说，每一个都有有限的变化范围，当其改变超出了这个范围 之后，线性规划的最优解就会发生变化。 9．若某种资源的影子价格为u ，则在其它资源数量不变的情况下，该资源增加k 个单位，相应的目标函数值增加 u k 。 10．应用对偶单纯形法计算时，若单纯形表中某一基变量0线性规划的对偶问题
第二章线性规划的对偶问题 习题 2.1 写出下列线性规划问题的对偶问题 (1) max z ＝10x1＋x2＋2x3(2) max z ＝2x1＋x2＋3x3＋x4 st. x1＋x2＋2 x3≤10 st. x1＋x2＋x3 ＋x4≤5 4x1＋x2＋x3≤20 2x1－x2＋3x3＝－4 x j≥0 （j＝1,2,3）x1－x3＋x4≥1 x1，x3≥0，x2，x4无约束 (3) min z ＝3x1＋2 x2－3x3＋4x4(4) min z ＝－5 x1－6x2－7x3 st. x1－2x2＋3x3＋4x4≤3 st. －x1＋5x2－3x3≥15 x2＋3x3＋4x4≥－5 －5x1－6x2＋10x3≤20 2x1－3x2－7x3 －4x4＝2＝x1－x2－x3＝－5 x1≥0，x4≤0，x2，，x3无约束x1≤0，x2≥0，x3无约束 2.2 已知线性规划问题max z＝CX，AX=b，X≥0。分别说明发生下列情况时，其对偶问题的解的变化： （1）问题的第k个约束条件乘上常数λ（λ≠0）； （2）将第k个约束条件乘上常数λ（λ≠0）后加到第r个约束条件上； （3）目标函数改变为max z＝λCX（λ≠0）； 'x代换。 （4）模型中全部x1用3 1 2.3 已知线性规划问题min z＝8x1＋6x2＋3x3＋6x4 st. x1＋2x2＋x4≥3 3x1＋x2＋x3＋x4≥6 x3 ＋x4＝2 x1 ＋x3 ≥2 x j≥0（j＝1,2,3,4） (1) 写出其对偶问题； (2) 已知原问题最优解为x*＝（1，1，2，0），试根据对偶理论，直接求出对偶问题的最优解。 2.4 已知线性规划问题min z＝2x1＋x2＋5x3＋6x4 对偶变量 st. 2x1 ＋x3＋x4≤8 y1 2x1＋2x2＋x3＋2x4≤12 y2 x j≥0（j＝1,2,3,4） 其对偶问题的最优解y1*=4；y2*=1，试根据对偶问题的性质，求出原问题的最优解。 ４７
2.1 写出线性规划问题的对偶问题，并进一步写出其对偶问题的对偶问题 (a) min z=2x1+2x2+4x3(b) max z=5x1+6x2+3x3 s.t. x1+3x2+4x3≥2 s.t. x1+2x2+2x3=5 2x1+x2+3x3≤3 -x1+5x2-3x3≥3 x1+4x2+3x3=5 4x1+7x2+3x3≤8 x1, x2≥0, x3无约束x1无约束,x2≥0, x3≤0 解：(a)对偶问题的原问题为 max w=2y1+3y2+5y3 s.t. y1+2y2+y3≤2 3y1+y2+4y3≤2 4y1+3y2+3y3=4 y1≥0, y2≤0, y3无约束 (b)原问题的对偶问题为 min w=5y1+3y2+8y3 s.t. y1-y2+4y3=5 2y1+5y2+7y3≥6 2y1-3y2+3y3≤3 y1无约束, y2≤0, y3≥0 2.3 已知线性规划问题： max z=x1+x2 s.t. -x1+ x2+ x3 ≤2 -2x1+x2- x3 ≤1 x1, x2, x3≥0 试应用对偶理论证明上述线性规划问题最优解为无界。 解：原问题的对偶问题为 min w=2y1+ y2 s.t. -y1- 2y2 ≥1 2y1+ 5y2 ≥1 y1- y2 ≥0 y1, y2≥0 由于约束条件3可得 y1-y2 ≥0 →y1≥y2 →-y1≤-y2 且y2≥0 所以 -y1-2y2 ≤-3y2≤0 （1） 由于约束条件1可得 -y1- 2y2 ≥1 （2） （1）（2）不等式组无解 所以其对偶问题无可行解,又知点X=(1,1,1)为原问题一个可行解,即原问题有可行解, 现在其对偶问题无可行解。根据对偶理论性质3原问题无界.