实验报告
实验课程：随机信号分析实验项目：随机信号通过线性系统的仿真学员姓名：学号：
专业班次：队别：
实验日期：实验成绩：
教员签字：
内容要求：一、实验目的; 二、实验内容或任务；三、实验仪器设备（名称、型号、精度、数量）；四、实验原理与线路图；五、实验步骤与结果记录（数据、图表等）；六、实验结果分析与结论。
一、实验目的
（1）掌握对随机过程通过线性系统后的统计特性的分析方法。
（2）掌握典型系统对随机过程的影响。
二、实验内容
（1）白噪声通过线性系统的仿真和分析；
（2）高斯过程通过线性系统的仿真和分析。
三、实验仪器和设备
（1）计算机一台。
（2）Matlab软件。
四、实验原理
随机信号通过线性系统分析的中心问题是：给定系统的输入函数（或统计特性：均值和自相关函数）和线性系统的特性，求输出函数。设L为线性变换，信
号)
(t
(t
Y为系统的输出，也是随机信号。即有：X为系统输入，)
t
L=
Y
X
)(
)]
(
[t
众所周知，LTI系统又可以表示为
=)
*
(
y?+∞∞--
)(
)(
)(
t
(
)
=
u
h
u
x
t
du
t
y
t
x
其中)]
t
hδ
L
=是系统的冲激响应。如果考虑傅里叶变换，令
[
(
)
(t
)()(),()(),()(ωωωj Y t y j X t x j H t h ???
则
)()()(ωωωj H j X j Y =
下面来分析输出随机信号的均值和相关函数。
依定理5.1，对于任何稳定的线性系统有
{}{})]([)]([t X E L t X L E =
依定理5.2，如果)(t X 为平稳过程，)(t h 为实LTI 系统，)()()(t h t X t Y *=,则)()(t Y T X 和是联合广义平稳的，并且有
)
()()()()
()()()
()()()
0(ττττττττττ-**=-*=*==h h R R h R R h R R j H m m X Y X XY X YX X Y 其中，dt t h j H j H ?+∞∞-===)()()0(0ωω，是系统的直流增益。 进一步得到推论：若系统的频率响应函数为)(ωj H ，则其功率谱与互功率谱关系如下：
)()()()()()()
()()(2
ωωωωωωωωωj H S S j H S S j H S S X XY X Y X YX *===
五、实验步骤与结果记录
在本实验中我利用simulink 模拟的方法分析了随机信号通过LTI 系统的具体过程:图1 是用MATLAB 的sumulink 模拟白噪声通过图1 的RC 电路，用示波器观察输入和输出的波形，改变RC
的值，使电路时间常数改变，观察输出波形的变化。
图1 实验RC 电路
对于上述低通RC 滤波器， 用传递函数描述，令RC
1=α，则有 αα
+=S S H )(
在 Similink 里，有时域连续系统的传递函数模块，如图2所示：
图2 传递函数参数设定窗口
在上图中，三个选项分别为“分母系数”、“分子系数”和“误差限制”，根据上面的分析， 可知
αα
+=S S H )(，RC
1=α 这里的“分母系数”、“分子系数”分别对应)(S H 分子中的α和分母中的S 的系数以及α的值。在仿真中，可以根据实际情况自由选择。比如可以选取1=α，这样便有
1
1)(+=S S H 输入的白噪声可以直接调用Simulink 里面的“带限白噪声”模块产生
图3 “带限白噪声”参数设定窗口
上述的带限白噪声模块中Seed 参数代表了随机数发生器初始化的状态，可以自行设定。下面是实验的原理框图：
1
s +1
Trans fer Fcn1
s +0.1
0.1
Trans
fer Fcn Scope3
Scope2
Scope1
Band-Limited
White Nois e
图4 实验框图
实验观察到的波形如下所示:
图5 原始白噪声信号
图6 输出信号波形）（1
1)(+=S S H
图7 输出信号波形
）（1
0.1.0)(+=S S H 高斯信号通过线性系统可以按照同样的方法进行仿真。实验框图如下所示 1
s +1
Trans fer Fcn11
s
+1Trans fer Fcn Sine Wave Scope5
Scope4
Scope3
Scope2
Scope1
Gaus s ian
Gaus s ian Nois e
Generator
图8 高斯信号通过LTI 系统框图
该实验仿真了高斯信号通过低通线性系统的过程，以及正弦信号加高斯信号通过低通线性系统的过程，实验结果如下图所示
图9 原始高斯信号
图10 高斯信号通过低通滤波器输出波形）（1
1)(+=S S H
图11 正弦信号波形
图12 高斯加正弦信号
图13 高斯加正弦信号通过低通滤波器
通过观察系统输出信号的时域波形可以看出，低通LTI系统滤除了输入信号的高频成分。对低频正弦信号而言，高斯信号包含了大量的高频成分，他们叠加在一起表现为正弦信号附带显著的毛刺。将他们作为低通滤波器的输入信号，输出信号的毛刺得到了明显平滑，显现了滤波的功能。
六、实验总结
综合测试(三) 一、选择题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 1、若想使连续时间信号在通过线性非时变系统传输时，波形不会产生失真，而仅仅是延时一段时间输出，则要求系统的单位冲激响应必须满足（） A. B. C. D. 2、序列和等于（） A. 1 B. C. D. 3、连续时间信号的单边拉普拉斯变换为（） A. B. C. D. 4、下列各式中正确的是（） A． B. C.D．
5、单边Z变换对应的原时间序列为（） A．B． C．D． 6．请指出是下面哪一种运算的结果？（）A．左移6 B. 右移6 C．左移2 D. 右移2 三、描述某系统的微分方程为y”(t) + 4y’(t) + 3y(t) = f(t) 求当f(t) = 2e-2t，t≥0；y(0)=2，y’(0)= -1时的解；（ 15分） 解: (1) 特征方程为λ2 + 4λ+ 3 = 0 其特征根λ1= –1，λ2= –2。齐次解为 y h(t) = C1e -t + C2e -3t 当f(t) = 2e–2 t时，其特解可设为 y p(t) = Pe -2t 将其代入微分方程得 P*4*e -2t + 4(–2 Pe-2t) + 3Pe-t = 2e-2t 解得 P=2 于是特解为 y p(t) =2e-t 全解为： y(t) = y h(t) + y p(t) = C1e-t + C2e-3t + 2e-2t 其中待定常数C1,C2由初始条件确定。 y(0) = C1+C2+ 2 = 2， y’(0) = –2C1–3C2–1= –1 解得 C1 = 1.5 ，C2 = –1.5 最后得全解 y(t) = 1.5e– t – 1.5e – 3t +2 e –2 t , t≥0 三、描述某系统的微分方程为y”(t) + 5y’(t) + 6y(t) = f(t) 求当f(t) = 2e-t，t≥0；y(0)=2，y’(0)= -1时的解；（ 15分） 解: (1) 特征方程为λ2 + 5λ+ 6 = 0 其特征根λ1= –2，λ2= –3。齐次解为 y h(t) = C1e -2t + C2e -3t
1. 非线性系统的传输特性为：()x y g x be ==其中b 为正的实常数。已知输入()X t 是一个均值为m x ,方 差为 2x σ 的平稳高斯噪声。试求 （1）输出随机信号Y （t ）的一维概率密度函数； （2）输出随机信号Y （t ）的均值和方差。 作业 2 非线性系统的传输特性为 ()y g x b x ==，b 为正的实常数。已知输入()X t 是一个均值为0方差为1 的平稳高斯噪声。试求 （1）输出随机信号()Y t 的一维概率密度函数； （2）输出随机信号()Y t 的平均功率。 作业 3.单向线性检波器的传输特性为 ||0()00b x x y g x x >?==?≤? 输入()X t 是一个均值0的平稳高斯信号，其相关函数为()x R τ。求检波器输出随机信号()Y t 的均值和方差。 4.设有非线性系统如图所示。输入随机信号()X t 为高斯白噪声，其功率谱密度0()2x N S ω=。若电路本 身热噪声忽略不计，且平方律检波器的输入阻抗为无穷大。试求输出随机信号的自相关函数和功率谱密度函数。 5. 非线性系统的传输特性为 20()00 x e x y g x x ?≥==?
作业 7.设非线性系统的传输特性为2 y x =。若输入随机信号()X t 是0均值单位方差，相关系数为()r τ的高斯平稳过程，求输出()y t 的一维概率密度函数和二维概率密度函数。 8. 设非线性系统的传输特性y x =。若输入随机信号()X t 是0均值单位方差，相关系数为()r τ的高斯平稳过程，求输出()y t 的均值和自相关函数。 作业 9. 设非线性系统的传输特性y x =。若输入随机信号()X t 是0均值的高斯平稳过程，求输出低频直流功率、低频总功率和低频起伏功率。 10. 一般说来，信号和噪声同时作用于非线性系统的输入端，其输出功率有三部分组成： 0()s Ω---信号自身所得到的输出平均功率 0()N Ω---噪声自身所得到的输出平均功率 0()SN Ω---信号与噪声得到的输出平均功率 对于通信系统中的非线性系统，计算输出信噪比的公式为： 0000 ()()()s N SN S N Ω??= ?Ω+Ω?? 对于通信系统中的非线性系统，计算输出信噪比的公式为： 000 0()()()s SN N S N Ω+Ω??= ?Ω?? 设窄带中放的幅频特性为： 0,()0,K H ωωωω?±≤?=?? 其他 其输入为()()t t S t N t +，其中信号0()(1)sin t S t A t ξω=+，ξ是（-1，1）间均匀分布的随机变量。()t N t 是单边功率谱密度为0N 的白噪声。求()()t t S t N t +通过窄带中放，再通过包络检波，输出信号的信噪比。 11. 设窄带中放的幅频特性为： 0,()0,K H ωωωω?±≤?=?? 其他 其输入为()()t t S t N t +，其中信号0()sin t S t A t ω=，ξ是（-1，1）间均匀分布的随机变量。()t N t 是单边功率谱密度为0N 的白噪声。求()()t t S t N t +通过窄带中放，再通过平方率检波器，输出信号的信噪比。 12. 设3 ()()()Y t X t X t =+，若()X t 是理想白噪声，求()Y t 的自相关函数。
第五、六章自测题标准答案 1. 判断题 (1) 当且仅当一个连续时间线性时不变系统的阶跃响应是绝对可积的，则该系统是稳定的。 （ × ） (2) 若h (t )是一个线性时不变系统的单位冲激响应，并且h(t)是周期的且非零，则系统是非稳定的。 （ √ ） (3) 对于一个因果稳定的系统，可以利用ωωj s s H j H ==|)()( 求系统的频率响应。 （ √ ） (4) 一个稳定的连续时间系统，其系统函数的零极点都必定在s 平面的左半平面。 （ × ） 2．填空题 （1）某二阶系统起始状态为2_)0(',1_)0(=-=r r ；初始条件为,1)0(',3)0(==++r r 则确定零输入响应待定系数的初始条件为)0(+zi r = -1 ，)0('+zi r = 2 ；而确定零状态响应待定系数的初始条件为 )0(+zs r = 4 ，)0('+zs r = -1 。 （2）2 3)(2++=-s s e s F s 的逆变换为 )(][ )1(2)1(t e e t t ε-----。 （3）)()sin( )(t t t f εφα+=的拉普拉斯变换为2 22 2sin cos )(αφαα φ+? ++?=s s s s F 。 3．求图5-1中所示单边周期信号的拉氏变换。 图5-1 解： +---+- -=)2 3()()2()()(T t T t T t t t f εεεε 4．一个单位冲激响应为h (t )的因果LTI 系统有下列性质： （1）当系统的输入为t e t x 2)(=时，对所有t 值，输出t e t y 26 1)(= 。 （2）单位冲激响应h(t)满足微分方程 )()()(2) (4t b t e t h dt t dh t εε+=+-。这里b 为一个未知常数。 确定该系统的系统函数。 解：本题中用到了特征函数的概念。一个信号，若系统对该信号的响应仅是一个常数（可能是复数）乘以输入，则该信号为系统的特征函数。（请注意：上面所指的系统必须是线性时不变系统。） 因为t e t x 2)(=是因果LTI 系统的特征函数，所以t t s e e s H t y 2226 1|)()(= ?==。即
实验三 随机过程通过线性系统的分析 实验目的 1. 理解和分析白噪声通过线性系统后输出的特性。 2. 学习和掌握随机过程通过线性系统后的特性，验证随机过程的正态化问题。 实验原理 1.白噪声通过线性系统 设连续线性系统的传递函数为)(ωH 或)(s H ，输入白噪声的功率谱密度为2)(0N S X =ω，那么系统输出的功率谱密度为 2 )()(0 2 N H S Y ? =ωω （3.1） 输出自相关函数为 ? ∞ ∞ -= ωωπ τωτd e H N R j Y 2 0)(4)( （3.2） 输出相关系数为 ) 0() ()(Y Y Y R R ττγ= （3.3） 输出相关时间为 ?∞ =0 0)(ττγτd Y （3.4） 输出平均功率为 [] ? ∞ = 2 02)(2)(ω ωπ d H N t Y E （3.5） 上述式子表明，若输入端是具有均匀谱的白噪声，则输出端随机信号的功率谱主要由系统的幅频特性)(ωH 决定，不再是常数。 2.等效噪声带宽 在实际中，常常用一个理想系统等效代替实际系统的)(ωH ，因此引入了等效噪声带宽的概念，他被定义为理想系统的带宽。等效的原则是，理想系统与实际系统在同一白噪声的激励下，两个系统的输出平均功率相等，理想系统的增益等于实际系统的最大增益。 实际系统的等效噪声带宽为 ? ∞ = ?0 2 2 max )()(1ωωωωd H H e （3.6）
或 ? ∞ ∞ --= ?j j e ds s H s H H j )()()(212 max ωω （3.7） 3.线性系统输出端随机过程的概率分布 （1）正态随机过程通过线性系统 若线性系统输入为正态过程，则该系统输出仍为正态过程。 （2）随机过程的正态化 随机过程的正态化指的是，非正态随机过程通过线性系统后变换为正态过程。任意分布的白噪声通过线性系统后输出是服从正态分布的；宽带噪声通过窄带系统，输出近似服从正态分布。
第七、八章习题答案 7.1 绘出下列离散信号的图形。 （2）2()()k k δε- 解： 7.5 判断下列信号是否是周期性信号，如果是则其周期为多少？ （2）0.4j k e π （3）sin(0.2)cos(0.3)k k ππ+ 解： （2） 0.40.4cos(0.4)sin(0.4) cos[0.4()]cos(0.4)0.42515sin(0.4)55j k j k e k j k k T k T n T n n T k e πππππππππ=++=?=?=?==因为当时，同理的周期为。所以的周期为。 （3） s i n [0.2()] s i n (0.2)0.2210 120 [0.3]cos(0.3)0.323 3sin[0.2()][0.3]20k T k T n T n n k T k T n T n n k T k T ππππππππππ+=?=?==+=?=?= =+++因为当时,T=10。 cos ()当时,T=20。 所以,cos ()是周期信号,周期为。 7.6一个有限长连续时间信号，时间长度为2分钟，频谱包含有直流至100Hz 分量的连续时间信号。为便于计算机处理，对其取样以构成离散信号，求最小的理想取样点。 解： min max min 10011200200 260224000 1200 m s m s s f Hz f sf Hz T s f ===?==?==min 由采样定理可知采样周期最大值所以在分钟内最小的理想采样点数: n
7.7设一连续时间信号，其频谱包含有直流、1kHz 、2kHz 、3kHz 四个频率分量，幅度分别为0.5、1、0.5、0.25；相位谱为0，试以10kHz 的采样频率对该信号取样，画出取样后所得离散序列在0到25kHz 频率范围内的频谱。 解：由采样定理可知采样后的频谱为原序列频谱以采样频率为周期进行周期延拓。故在0~25kHz 范围内有三个周期。其频谱如下图所示: 1 0.50.25 7.12一初始状态不为零的离散系统。当激励为()e k 时全响应为 11()[()1]()2k y k k ε=+，当激励为()e k -时全响应为21 ()[()1]()2 k y k k ε=--，求当初 始状态增加一倍且激励为4()e k 时的全响应。 解：设初始状态不变，当激励为()e k 时，系统的零输入响应为()zi y k ，零状态响应为()zs y k 。按题意得到： 1111 ()()()[()1]()(1) 2 ,(),1 ()()()[()1]()(2) 2 (1),(2),11 ()[()()]() 2211 ()[()()1]() 22 ,4(),()k zi zs k zi zs k k zi k k zs y k y k y k k e k y k y k y k k y k k y k k e k y k εεεε+++=+=+-=-=--=--=+-+=根据线性非时变系统的性质当激励为时全响应为联立两式可解得 所以当初始状态增加一倍且激励为时11 2()4()[43()()]() 22 k k zi zs y k y k k ε+=+-- 7.13试列出图P7-13所示系统的差分方程。 （a ）
实验报告 实验课程：随机信号分析实验项目：随机信号通过线性系统的仿真学员姓名：学号： 专业班次：队别： 实验日期：实验成绩： 教员签字： 内容要求：一、实验目的; 二、实验内容或任务；三、实验仪器设备（名称、型号、精度、数量）；四、实验原理与线路图；五、实验步骤与结果记录（数据、图表等）；六、实验结果分析与结论。 一、实验目的 （1）掌握对随机过程通过线性系统后的统计特性的分析方法。 （2）掌握典型系统对随机过程的影响。 二、实验内容 （1）白噪声通过线性系统的仿真和分析； （2）高斯过程通过线性系统的仿真和分析。 三、实验仪器和设备 （1）计算机一台。 （2）Matlab软件。 四、实验原理 随机信号通过线性系统分析的中心问题是：给定系统的输入函数（或统计特性：均值和自相关函数）和线性系统的特性，求输出函数。设L为线性变换，信 号) (t (t Y为系统的输出，也是随机信号。即有：X为系统输入，) t L= Y X )( )] ( [t 众所周知，LTI系统又可以表示为 =) * ( y?+∞∞-- )( )( )( t ( ) = u h u x t du t y t x 其中)] t hδ L =是系统的冲激响应。如果考虑傅里叶变换，令 [ ( ) (t
)()(),()(),()(ωωωj Y t y j X t x j H t h ??? 则 )()()(ωωωj H j X j Y = 下面来分析输出随机信号的均值和相关函数。 依定理5.1，对于任何稳定的线性系统有 {}{})]([)]([t X E L t X L E = 依定理5.2，如果)(t X 为平稳过程，)(t h 为实LTI 系统，)()()(t h t X t Y *=,则)()(t Y T X 和是联合广义平稳的，并且有 ) ()()()() ()()() ()()() 0(ττττττττττ-**=-*=*==h h R R h R R h R R j H m m X Y X XY X YX X Y 其中，dt t h j H j H ?+∞∞-===)()()0(0ωω，是系统的直流增益。 进一步得到推论：若系统的频率响应函数为)(ωj H ，则其功率谱与互功率谱关系如下： )()()()()()() ()()(2 ωωωωωωωωωj H S S j H S S j H S S X XY X Y X YX *=== 五、实验步骤与结果记录 在本实验中我利用simulink 模拟的方法分析了随机信号通过LTI 系统的具体过程:图1 是用MATLAB 的sumulink 模拟白噪声通过图1 的RC 电路，用示波器观察输入和输出的波形，改变RC 的值，使电路时间常数改变，观察输出波形的变化。 图1 实验RC 电路 对于上述低通RC 滤波器， 用传递函数描述，令RC 1=α，则有 αα +=S S H )( 在 Similink 里，有时域连续系统的传递函数模块，如图2所示：
第二章 随机过程分析 学习指导 1.1.1 要点 随机过程分析的要点主要包括随机过程的概念、分布函数、概率密度函数、数字特征、通信系统中常见的几种重要随机过程的统计特性。 1. 随机过程的概念 随机过程是一类随时间作随机变化的过程，它不能用确切的时间函数描述。可从两种不同角度理解：对应不同随机试验结果的时间过程的集合，随机过程是随机变量概念的延伸。 2. 随机过程的分布函数和概率密度函数 如果ξ(t )是一个随机过程，则其在时刻t 1取值ξ(t 1)是一个随机变量。ξ(t 1)小于或等于某一数值x 1的概率为P [ ξ(t 1) ≤ x 1 ]，随机过程ξ(t )的一维分布函数为 F 1(x 1, t 1) = P [ξ(t 1) ≤ x 1] (2-1) 如果F 1(x 1, t 1)的偏导数存在，则ξ(t )的一维概率密度函数为 1111111 (,) (, ) (2 - 2)?=?F x t f x t x 对于任意时刻t 1和t 2，把ξ(t 1) ≤ x 1和ξ(t 2) ≤ x 2同时成立的概率 {}212121122(, ; , )(), () (2 - 3)F x x t t P t x t x ξξ=≤≤ 称为随机过程 (t )的二维分布函数。如果 2212122121212 (,;,) (,;,) (2 - 4)F x x t t f x x t t x x ?=??? 存在，则称f 2(x 1, x 2; t 1, t 2)为随机过程 (t )的二维概率密度函数。 对于任意时刻t 1，t 2，…，t n ，把 {}n 12n 12n 1122n n ()(),(),,() (2 - 5) =≤≤≤L L L F x x x t t t P t x t x t x ξξξ，，，；，，，称为随机过程 (t )的n 维分布函数。如果 n n 12n 12n n 12n 12n 12n (x )() (2 - 6)?=???L L L L L F x x t t t f x x x t t t x x x ，，，；，，，，，，；，，， 存在，则称f n (x 1, x 2, …, x n ; t 1, t 2, …, t n )为随机过程 (t )的n 维概率密度函数。 3. 随机过程的数字特征 随机过程的数字特征主要包括均值、方差、自相关函数、协方差函数和互相关函数。 随机过程 (t )在任意给定时刻t 的取值 (t )是一个随机变量，其均值为 []1()(, )d (2 - 7)E t xf x t x ξ∞ -∞ =?
实验一 信号的MATLAB 表示 三、 实验内容： 1. 用MA TLAB 表示连续信号：t Ae α，)cos(0?ω+t A ，)sin(0?ω+t A 。 t Ae α t=0:001:10; A=1; a=-0.4; ft=A*exp(a*t); plot(t,ft) )cos(0?ω+t A t=0:0.1:10; A=1; a=1; b=pi/4; ft=A*sin(a*t+b); plot(t,ft)
)sin(0?ω+t A t=0:0.1:10; A=1; a=1; b=pi/4; ft=A*cos(a*t+b); plot(t,ft)
2. 用信号处理工具箱提供的函数表示抽样信号、矩形脉冲信号及三角脉冲信号。y=sinc(t) y=sinc(t); plot(t,y) y=rectpuls(t, width) t=0:0.01:4; T=1; y=rectpuls(t-2*T, 2*T); plot(t,y)
y=tripuls(t , width, skew) t=-5:0.01:5; width=2;skew=0.6; y=tripuls(t, width, skew); plot(t,y) 3. 编写如图所示的MA TLAB 函数，并画出)5.0(t f ，)5.02(t f 的图形。 )(t f t=-2:0.01:3; ft=rectpuls(t+0.5, 1)+(1-t).*rectpuls(t-0.5,1)-rectpuls(t-1.5, 1); plot(t,ft)
f 5.0(t ) function ft=f(t) ft=rectpuls(t+0.5, 1)+(1-t).*rectpuls(t-0.5,1)-rectpuls(t-1.5, 1); plot(t,ft) t=-5:0.01:5; y=f(0.5*t); plot(t,y)
计算机与信息技术学院设计性实验报告 一、 实验目的 1、 了解随机信号自身的特性，包括均值（数学期望）、均方值、方差、相关函 数、概率密度、频谱及功率谱密度等。 2、 研究随机信号通过线性系统后的均值、均方值、方差、相关函数、概率密度、 频谱及功率谱密度有何变化，分析线性系统受随机信号激励后的响应。 3、 掌握线性系统的设计与仿真 4、 掌握随机信号的分析方法。 二、 实验仪器或设备 装有MATLAB 软件的电脑一台 三、 总体设计（设计原理、设计方案及流程等） 线性动态系统分析的中心问题是给定一个输入信号求输出响应。在确定信号输入的情况下，输出响应都有一个明确的表达式。而对于随机信号而言，要想得到输出响应的确定表达是可能的。然而，一个随机信号可以方便的通过其均值方差、相关函数、频谱及功率谱密度等特性来加以描述。我们在这里研究的问题是如何根据线性系统输入随机信号的统计特性及线性系统的特性，确定线性系统输出的统计特性。 当输入离散信号为双侧平稳随机信号时，信号经过线性系统后的统计特性： 输出过程的均值为： 其中 y m 是信号经线性系统后的均值，x m 是输入信号的均值。 输出过程的自相关函数为 ) (*)()(*)(*)()(m h m R m h m h m R m R xy x y -=-= 线性系统输出的自相关是输入的自相关同系统冲击响应的自相关的卷积。 输出过程的互相关函数为 ) (*)()(m R m h m R x xy = 输出信号的均方值（平均功率）为； ) ()()()]([00 2 j k R j h k h n Y E k j x -=∑∑∞=∞ = 输出的均值为常数，输出自相关函数只是m 的函数。 输出信号的功率谱密度：
随机信号分析 ----通过线性系统和非线性系统后的特性分析 一、实验目的 1、了解随机信号自身的特性，包括均值、均方值、方差、相关函数、概率密度、频谱及功率谱密度等的概念和特性 2、研究随机信号通过线性系统和非线性系统后的均值、均方值、方差、相关函数、概率密度、频谱及功率谱密度有何变化，分析线性系统和非线性系统所具有的性质 3、掌握随机信号的分析方法。 4、熟悉常用的信号处理仿真软件平台：matlab、c/c++、EWB。 二、实验仪器 1、256MHz以上内存微计算机。 2、20MHz双踪示波器、信号源。 3、matlab或c/c++语言环境、EWB仿真软件。 4、fpga实验板、面包板和若干导线。 三、实验步骤 1、根据选题的内容和要求查阅相关的文献资料，设计具体的实现程序流程或电路。 2、自选matlab、EWB或c仿真软件。如用硬件电路实现，需用面包板搭建电路并调试成功。 3、按设计指标测试电路。分析实验结果与理论设计的误差，根据随机信号的特征，分析误差信号对信号和系统的影响。 四、实验任务与要求 1、用matlab或c/c++语言编程并仿真 2、输入信号为x(t)加上白噪声n(t),用软件仿真通过滤波器在通过限幅器后的信号y1(t),在仿真先平方律后在通过滤波器后的信号y2(t).框图如下: 3、计算x(t)、a、b、c、y(t)的均值、均方值、方差、频谱、功率谱密度，自相关函数，并绘出函数曲线。 五．实验过程与仿真 1、输入信号的获取与分析
(a)输入信号的获取 按照实验要求，Matlab仿真如下： %输入信号x的产生 t=0:1/16000:0.01; x1=sin(1000*2*pi*t)+sin(2000*2*pi*t)+sin(3000*2*pi*t); x=awgn(x1,5,'measured'); %加入高斯白噪声n=x-x1; %高斯白噪声 (b)输入信号及其噪声的分析 %输入信号x自相关系数 x_arr=xcorr(x); tau = (-length(x)+1:length(x)-1)/16000; %输入信号x的频谱和功率谱 x_mag=abs(fft(x,2048)); f=(0:2047)*16000/2048; x_cm=abs(fft(x_arr,2048)); %画出高斯白噪声n的时域图和频域图 figure(1) subplot(1,2,1) plot(t,n) title('高斯白噪声n') xlabel('t/s') ylabel('n(t)') grid on subplot(1,2,2) N=fft(n,2048); plot(f(1:length(f)/2),N(1:length(f)/2)) title('高斯白噪声n的频谱图') xlabel('f/Hz') ylabel('幅值') grid on 结果为：
实验三 随机信号通过线性系统的分析 一、实验目的 1 模拟产生特定相关函数的连续随机序列或者离散的随机序列，考察其特性。 2 模拟高斯白噪声环境下信号通过系统的问题，实现低通滤波。 3 掌握系统输出信号的数字特征和功率谱密度的求解。 二、实验设备 1计算机 2 Matlab 软件 三、实验原理 随机信号通过线性系统分析的中心问题是：给定系统的输入函数（或统计特性：均值和 自相关函数）和线性系统的特性，求输出函数。 如下图所示，H 为线性变换，信号X (t )为系统输入， Y (t )为系统的输出，它也是随机信号。 图3.1 随机信号通过系统的示意图 并且满足： H [X (t )] = Y (t ) 在时域： 若X(t)时域平稳，系统冲激响应为h(t),则系统输入和输出的关系为： ()()*()()()()()Y t X t h t X h t d h X t d ττττττ∞∞ -∞-∞==-=-?? 输出期望：∑∞ ===0m X Y )m (h m )]t (Y [E m 输出的自相关函数：)(h )(h )(R )(R X Y τ*τ-*τ=τ 输出平均功率：??∞∞-∞∞--= τdvdu )u (h )v (h )u v (R )(R X Y 互相关：)()()()()(ττσσσττh R d h R R X X XY *=-= ?∞∞- 在频域： 输入与输出的关系：)(H )(X )(Y ωω=ω
输出的功率谱：2X X Y )(H )(S )(H )(H )(S )(S ωω=ωω-ω=ω 功率谱：)(H )(S )(S X XY ωω=ω 四、实验内容与步骤 1已知平稳随机过程X(n)的相关函数为：5),()(22==σδσ m m R ； 线性系统的单位冲击响应为111,0,)(+- =≥=实验者学号后两位r k r k h k 。 编写程序求： 1）输入信号的功率谱密度、期望、方差、平均功率； 2）利用时域分析法求输出信号的自相关函数、功率谱密度、期望、方差、平均功率； 3）利用频域分析法求输出信号的自相关函数、功率谱密度、期望、方差、平均功率； 4）利用频域分析法或时域分析法求解输入输出的互相关函数、互功率谱密度。 2 用MATLAB 的sumulink 模拟白噪声通过下图的RC 电路，用示波器观察输入和输出的波形，改变RC 的值，改变电路的时间常数，观察输入输出波形的变化。 图3.2 RC 电路 实验步骤： 步骤一 打开Simulink 仿真窗口，找到相应的模块，连接成相应仿真图； 步骤二 对各个模块进行参数设计； 步骤三 对设计好的仿真模块进行仿真，观察输入和输出的波形图。 步骤四 改变相应的ＲＣ的值重新观察结果，进行分析。 五、实验报告要求 1 写出时域分析、频域分析的必要原理，以及求上述特征的必要公式； 2 输出上述各步骤地功率谱密度和相关函数的序列波型，输出各数字特征的值； 3 附上程序和必要的注解； 4 对实验的结果做必要的分析（如时域分析法与频域分析法求解结果的对比等）。
实验名称线性系统对随机过程的响应 一、实验目的 通过本仿真实验了解正态白色噪声随机过程通过线性系统后相关函数以及功率谱的变化；培养计算机编程能力。 二、实验平台 MATLAB R2014a 三、实验要求 (1)运用正态分布随机数产生函数产生均值为m=0,根方差σ=1的白色正态分布 序列{u(n)|n=1,2,…,2000}，画出噪声u(n)的波形图。 (2)设离散时间线性系统的差分方程为 x(n)=u(n)-0.36u(n-1)+0.85u(n-2)(n=3,4,…,2000). 画出x(n)的波形图。 (3)随机过程x(n)的理论上的功率谱函数为 在[0,π]范围内对w进行采样，采样间隔0.001π，计算S(i×0.001π) (i=1,2,…,1000);画出波形图。 (4)根据步骤二产生的数据序列x(n)计算相关函数的估计值 与理论值1.1296、-0.666、0.85、0、0、0的差异。 (5)根据相关函数的估计值对随机过程的功率谱密度函数进行估计 在[0，π]范围内对w进行采样，采样间隔0.001π，计算S(i×0.001π) (i=1,2,…,1000);画出波形图，比较其与理论上的功率谱密度函数S(w)的差异。 (6)依照实验1的方法统计数据x(n)在不同区间出现的概率，计算其理论概率， 观察二者是否基本一致。
四、实验代码及结果 A、运用正态分布随机数产生函数产生均值为m=0,根方差σ=1的白色正态分布序列{u(n)|n=1,2,…,2000}，画出噪声u(n)的波形图。 代码实现： 波形图： 分析：运用正态分布随机数产生函数产生均值为0，根方差σ=1的白色噪声样本序列。 B、设离散时间线性系统的差分方程为 x(n)=u(n)-0.36u(n-1)+0.85u(n-2)(n=3,4,…,2000). 画出x(n)的波形图。 代码实现：
下载可编辑复制 第一章 信号与系统（一） 1-1画出下列各信号的波形【式中)() (t t t r ε=】为斜升函数。 （2）∞<<-∞=-t e t f t ,)( （3）)()sin()(t t t f επ= （4）)(sin )(t t f ε= （5）)(sin )(t r t f = （7）)(2)(k t f k ε= （10）)(])1(1[)(k k f k ε-+= 解：各信号波形为 （2）∞<<-∞=-t e t f t ,)( （3）)()sin()(t t t f επ=
下载可编辑复制 （4）)(sin )(t t f ε= （5）)(sin )(t r t f =
下载可编辑复制 （7）)(2)(k t f k ε= （10）)(])1(1[)(k k f k ε-+=
下载可编辑复制 1-2 画出下列各信号的波形[式中)()(t t t r ε=为斜升函数]。 （1）)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε （2）)2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f （5） )2()2()(t t r t f -=ε （8）)]5()([)(--=k k k k f εε （11）)]7()()[6 sin()(--=k k k k f εεπ （12） )]()3([2)(k k k f k ---=εε 解：各信号波形为 （1） )2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε
下载可编辑复制 （2） )2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f （5） )2()2()(t t r t f -=ε
1 / 257 信号与线性系统课后答案 第一章 信号与系统（一） 1-1画出下列各信号的波形【式中)() (t t t r ε=】为斜升函数。 （2）∞<<-∞=- t e t f t ,)( （3）)()sin()(t t t f επ= （4）)(sin )(t t f ε= （5）)(sin )(t r t f = （7）)(2)(k t f k ε= （10）)(])1(1[)(k k f k ε-+= 解：各信号波形为 （2）∞<<-∞=-t e t f t ,)( （3）) ()sin()(t t t f επ=
2 / 257 （4）)(sin )(t t f ε= （5）) (sin )(t r t f =
3 / 257 （7）)(2)(k t f k ε= （10）) (])1(1[)(k k f k ε-+=
4 / 257 1-2 画出下列各信号的波形[式中)()(t t t r ε=为斜升函数]。 （1）)2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε （2）)2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f （5） )2()2()(t t r t f -=ε （8）)]5()([)(--=k k k k f εε （11）)]7()()[6 sin()(--=k k k k f εεπ （12） )]()3([2)(k k k f k ---=εε 解：各信号波形为 （1） ) 2()1(3)1(2)(-+--+=t t t t f εεε
5 / 257 （2） )2()1(2)()(-+--=t r t r t r t f （5） ) 2()2()(t t r t f -=ε
1.下列信号的分类方法不正确的是（ A ）： A 、数字信号和离散信号 B 、确定信号和随机信号 C 、周期信号和非周期信号 D 、因果信号与反因果信号 2.下列说法正确的是（ D ）： A 、两个周期信号x (t )，y (t )的和x (t )+y(t )一定是周期信号。 B 、两个周期信号x (t )，y (t )的周期分别为2和2，则其和信号x (t )+y(t ) 是周期信号。 C 、两个周期信号x (t )，y (t )的周期分别为2和π，其和信号x (t )+y(t )是周期信号。 D 、两个周期信号x (t )，y (t )的周期分别为2和3，其和信号x (t )+y(t )是周期信号。 3.下列说法不正确的是（ D ）。 A 、一般周期信号为功率信号。 B 、 时限信号(仅在有限时间区间不为零的非周期信号)为能量信号。 C 、ε(t )是功率信号； D 、e t 为能量信号; 4.将信号f (t )变换为（ A ）称为对信号f (t )的平移或移位。 A 、f (t –t 0) B 、f (ｋ–k 0) C 、f (at ) D 、f (-t ) 5.将信号f (t )变换为（ A ）称为对信号f (t )的尺度变换。 A 、f (at ) B 、f (t –k 0) C 、f (t –t 0) D 、f (-t ) 6.下列关于冲激函数性质的表达式不正确的是（ B ）。 A 、)()0()()(t f t t f δδ= B 、()t a at δδ1 )(= C 、 )(d )(t t εττδ=? ∞ - D 、)()-(t t δδ= 7.下列关于冲激函数性质的表达式不正确的是（ D ）。 A 、?∞ ∞ -='0d )(t t δ B 、)0(d )()(f t t t f =? +∞ ∞ -δ C 、 )(d )(t t εττδ=? ∞ - D 、?∞∞ -=')(d )(t t t δδ 8.下列关于冲激函数性质的表达式不正确的是（ B ）。 A 、)()1()()1(t f t t f δδ=+ B 、)0(d )()(f t t t f '='? ∞ ∞-δ C 、 )(d )(t t εττδ=? ∞ - D 、)0(d )()(f t t t f =?+∞ ∞ -δ 9.下列基本单元属于数乘器的是（ A ） 。
第三章 随机信号通过线性系统的分析 本章主要内容： ● 线性系统的基本理论 ● 随机信号通过连续时间系统的分析 ● 随机信号通过离散时间系统的分析 ● 色噪声的产生与白化滤波器 ● 等效噪声带宽 ● 解析过程 ● 窄带随机过程基本概念 ● 窄带高斯过程包络与相位的概率密度 ● 窄带高斯过程包络平方的概率密度 3.1随机信号通过连续时间系统的分析 在给定系统的条件下，输出信号的某个统计特性只取决于输入信号的相应的统计特性。分析方法：卷积积分法；频域法。 3.1.1、时域分析法 1、输出表达式（零状态响应，因果系统） 输入为随机信号 )(t X 某个实验结果 的一个样本函数
),(ζt x ，则输出),(ζt y 为： 对于所有的ζ，输出为一族样本函数构成随机过程Y(t)： 2. 输出的均值：)(*)()(t h t m t m X Y = 证明： 3．系统输入与输出之间的互相关函数 )(*),(),(22121t h t t R t t R X XY = )(*),(),(12121t h t t R t t R X YX = 证明：
4、系统输出的自相关函数 已知输入随机信号的自相关函数，求系统输出端的自相关函数。 显然，有： 5、系统输出的高阶距 输出n阶矩的一般表达式为 注意：上面的分析方法是零状态响应的一般分析方法。它既适用
于输入是平稳随机信号的情况，也适用于输入是非平稳的情况。 3.1.2、系统输出的平稳性及其统计特性的计算 1、双侧随机信号 在这种情况下，系统输出响应在t＝0时已处于稳态。 （1）若输入X(t)是宽平稳的，则系统输出Y(t)也是宽平稳的，且输入与输出联合宽平稳。 那么
随机信号分析实验：随机过程通过线性系统的分析
实验三 随机过程通过线性系统的分析 实验目的 1. 理解和分析白噪声通过线性系统后输出的特性。 2. 学习和掌握随机过程通过线性系统后的特性，验证随机过程的正态化问题。 实验原理 1.白噪声通过线性系统 设连续线性系统的传递函数为)(ωH 或)(s H ，输入白噪声的功率谱密度为2)(0 N S X =ω，那么系统输出的功率谱密度为 2 )()(02 N H S Y ? =ωω （3.1） 输出自相关函数为 ? ∞ ∞ -= ω ωπ τωτd e H N R j Y 2 )(4)( （3.2） 输出相关系数为 ) 0()()(Y Y Y R R ττγ= （3.3） 输出相关时间为 ?∞ =0 )(ττγτd Y （3.4） 输出平均功率为 [] ? ∞ = 2 02)(2)(ω ωπ d H N t Y E （3.5） 上述式子表明，若输入端是具有均匀谱的白噪声，则输出端随机信号的功率谱主要由系统的幅频特性)(ωH 决定，不再是常数。 2.等效噪声带宽
在实际中，常常用一个理想系统等效代替实际系统的)(ωH ，因此引入了等效噪声带宽的概念，他被定义为理想系统的带宽。等效的原则是，理想系统与实际系统在同一白噪声的激励下，两个系统的输出平均功率相等，理想系统的增益等于实际系统的最大增益。 实际系统的等效噪声带宽为 ?∞ =?0 2 2 max )()(1 ωωωωd H H e （3.6） 或 ? ∞ ∞ --= ?j j e ds s H s H H j )()()(212 max ωω （3.7） 3.线性系统输出端随机过程的概率分布 （1）正态随机过程通过线性系统 若线性系统输入为正态过程，则该系统输出仍为正态过程。 （2）随机过程的正态化 随机过程的正态化指的是，非正态随机过程通过线性系统后变换为正态过程。任意分布的白噪声通过线性系统后输出是服从正态分布的；宽带噪声通过窄带系统，输出近似服从正态分布。
计算机与信息工程学院设计性实验报告 一、实验目的 了解随机信号自身的特性，并研究随机信号通过线性系统后的均值、均方值、方差、相关函数、频谱及功率谱密度有何变化，分析线性系统所具有的性质 二、实验仪器或设备 1、一台计算机 2、MATLAB r2013a 三、实验内容 输入信号为 x 1(t )加上白噪声n(t )变成x (t ),用软件仿真x (t )通过滤波器后的信号y 1(t ),框图如下: 其中： x 1(t )=sin (2000×2πt )+2sin (5000×2πt) 计算x(t)、y1(t)的均值、均方值、方差、频谱、功率谱密度，自相关函数，并绘出 函数曲线。 四、MATLAB 仿真程序 %输入信号x 的产生 clc t=0:1/16000:0.01; x1=sin(2000*2*pi*t)+2*sin(5000*2*pi*t); x=awgn(x1,5,'measured'); %加入高斯白噪声 n=x-x1; %输入信号x 的均值，方差，均方值和自相关系数 x_mean=mean(x) x_var=var(x) x_st=x_var+x_mean^2 x_arr=xcorr(x); tau = (-length(x)+1:length(x)-1)/16000;
%输入信号的频谱和功率谱 x_mag=abs(fft(x,2048)); f=(0:2047)*16000/2048; x_cm=abs(fft(x_arr,2048)); %画输入信号的时域,频谱图和频谱图 subplot 221 plot(t,x) title('输入信号x') xlabel('t/s'); ylabel('x(t)'); grid on; subplot 222 plot(tau,x_arr) title('输入信号x的自相关系数') xlabel('\tau/s') ylabel('R_x_1(\tau)') subplot 223 plot(f(1:length(f)/2),x_mag(1:length(f)/2)) title('输入信号x的频谱') xlabel('f/Hz') ylabel('幅值') grid on; subplot 224 plot(f(1:length(f)/2),x_cm(1:length(f)/2)) title('输入信号x的功率谱') xlabel('f/Hz') ylabel('S_x_1（f)') %---------------高通滤波器的频谱和相频特性-----------------------------% [B,A]=butter(20,4500/(16000/2),'high'); figure(2) freqz(B,A,2048); title('高通滤波器的频率特性曲线') grid on %---------------输入信号通过高通滤波器后的信号y1-----------------------% y1=filter(B,A,x); %信号y1的均值，方差，均方值和自相关系数 y1_mean = mean(y1) y1_var=var(y1) y1_st=y1_var+y1_mean^2 y1_arr=xcorr(y1); %信号y1的频谱和功率谱 y1_mag=abs(fft(y1,2048)); y1_cm=abs(fft(y1_arr,2048)); %画出信号y1的时域图，频谱图和功率谱图 figure(3) subplot 221