西安电子科技大学
考试时间 120 分钟
试 题
班级 学号 姓名 任课教师 一﹑简答下列问题（25分）
1. 随机变量与随机过程的区别是什么？给出一个常见的随机过程的例子。（2分） A ． 随机变量与时间t 无关而仅与样本有关，而随机过程()X t 与样本和时间都有关，是一族与样本有关的时间函数。若t 固定，()X t 是一个随机变量。例如，电子元件上的热噪声电压。
B ． 一维随机变量是一与时间无关的一维分布函数来描述的，而随机过程是由有限维分布函数来描述的。随机过程是我们周围随处可见的随机现象，例如在一段时间内我们自身的血压就是一随机过程。
2. 随机变量的分布函数与随机过程的分布函数的区别是什么？分别写出描述服从高斯分布的随机变量和平稳正态过程的二维概率密度函数。（4分）
A ．随机变量的分布函数是指在状态空间上的分布，而随机过程的分布函数是指随时间变化的状态空间上的分布。
B ．随机过程的分布是与时间有关的有限维分布，随机变量的分布是与时间无关的固定维分布。
一维标准正态随机变量的概率密度：2())2x f x =-
平稳正态过程的二维概率密度函数： 1111
222
11((),())exp 22T x x x x x x
x m x m f x t x t x m x m τπ-??--???? ?+=
-???? ?--??????
K K 其中：22
(())()
()(())x E X t R R E X t τττ??=??+??
K
3.严平稳与宽平稳的主要区别是什么？（2分）
A ．严平稳是指有限维分布函数只与给定的时间间隔有关的随机过程；而宽平稳是指均值为常数，相关函数只与时间间隔有关的随机过程。
B ．严平稳是指统计特性与时间起点无关而仅与时间间隔有关的随机过程，而宽平稳是指一阶矩与时间无关和二阶矩与时间间隔有关的随机过程。
4. 写出两个复数过程1()Z t 和2()Z t 的自相关函数和互相关函数的表达式。（2分）
*1212(,)()()Z R t t E Z t Z t ??=?? ， 12*121122(,)()()Z Z R t t E Z t Z t ??=??
5. 遍历性（各态历经）过程的定义是什么？（2分） A ． 时间平均等于集合（统计）平均
B ． 时间均值等于统计均值，时间相关函数等于统计相关函数。
6. 写出在齐次条件下，马尔可夫链的n 步转移概率矩阵与一维转移概率矩阵之间的关系。（2分）
()n n =P P
7. 当线性系统的输入端为高斯过程，线性系统的输出端是什么分布的随机过程？为什么？（2分）
高斯分布的随机过程。
线性系统是对输入进行线性变换，而高斯过程具有线性变换不变性。
8. 写出实随机过程()X t 的解析过程（复包络）()X t 的表达式，以及()X t 的自相关函数与()X t 的自相关函数的关系。
（3分） 1??()()(), ()*()X t X t jX t X t X t t
π=+= ， ?()2()2()X X X
R R j R τττ=+
9. 什么是窄带信号？实际中的窄带信号的近似准则是什么？（3分）
信号带宽远远小于载频。实际中的窄带信号的近似准则是信号带宽小于等于10%（小于20%也可以）的载频。
10. 3dB 带宽的定义是什么？（1分） 系统传输函数下降至半功率点时的带宽。
11. 色噪声与白噪声的区别是什么？举一例说明你所见到的色噪声。（2分） 色噪声的功率谱密度是ω的非均匀函数。课间间隔教室里的噪声。
二、已知一复数过程 ()()j t Z t A jB e ω=+，其中A 和B 均为实随机变量，并且 ()()0E A E B ==，22()()10E A E B ==，证明复数过程()Z t 为一平稳过程。（10分） 证明：∵ [()][]0j t
E Z t E A jB e
ω=+=
*()(,)[()()][()()]j t j t Z R t t Z t Z t E A jB e A jB e ωωτττ-++=+=-+
2
2
[]20()j j Z E A B e
e R ωτ
ωττ=+==
(0)20Z R =<∞ ∴ ()Z t 是一个平稳过程。 三、对于理想低通线性系统：0, ()0,
A B H ωπω?≤=?
?其他，求理想高斯白噪声通过该理想低
通系统的输出自相关函数。如果对输出信号进行采样，问以什么样的频率采样时，采样样本是相互独立的。（10分）
解：设输入的白噪声过程为()X t ,则其功率谱密度为0()/2X S N ω=，故低通系统的输出功率谱密度为：
2
2
00()()()/2*Y X S H S N A
B ωωωωπ==≤
2200
001
()/2*()22
B j Y B N A B R N A e
d Sa B πωτ
π
τωπτπ
-=
=?
当0,1,2,3,B k k πτπ=±= 时，即0/k B τ=±时，在两个采样点,2,,t t ττ--
,,2t t t ττ++ 上(),2,Y t τ- ()(),,Y t Y t τ-()(),2,Y t Y t ττ++ 是互不相关
的。由于高斯信号通过线性系统后的信号仍然是高斯信号，而对高斯信号不相关等价于独立，故对输出信号以0s f B =进行采样时（采样周期为01/T B =），采样样本是相互独立的。
四、设齐次马尔可夫链{}(),1X n n ≥的状态空间{}1,2,3E =，其中一步转移概率矩阵为：
1/32/30P=1/403/401/21/2??
????????
设初始分布为：0(0){}1/3,1,2,3i p P X i i ====。自状态 i 出发经 n 步首次进入状态j 概率定义为{}0(),,1,2,,1ij n m f n P X j X j m n X i ==≠=-= 。
⑴ 画出状态转移图；
⑵ 求13(3)f ；
⑶ 求概率()021,2P X X ==和()21P X =；
⑷ 判断此马氏链是否具有遍历性，并求稳态分布。 (20分) 解：（1）根据一步转移概率矩阵，可画出状态转移图
1/3
（2）131231
(3)3346
f =??=
（3）2
1/32/301/32/305/182/91/2P P P=1/403/41/403/41/1213/243/801/21/201/21/21/81/45/8????????????=?=??????
????????????
02200(1,2)(2|1)(1)2/91/32/27P X X P X X P X =======?= 2200200200(1)(1|1)(1)(1|2)(2)
(1|3)(3)1/3(5/181/121/8)35/216
P X P X X P X P X X P X P X X P X =====+===+====?++=
（4）此马氏链是遍历的。 由 1121134p p p =
+ ，2132132p p p =+ ，32331
42
p p p =+ 1231p p p ++= 解得：1233812,,232323
p p p =
== 五、设随机信号()0sin()X t V t ω=+Φ, 其中V 是均值为1,方差为1的随机变量, Φ是均匀分布在（0，π/2）上的随机变量，并且V 和Φ相互独立，求()()Y t X t ?
=的均值、相关函数和平均功率。 （10分）
解：∵000()[()][][sin()]2/[cos sin ]X m t E X t E V E t t t ωπωω==+Φ=+ 12120102(,)[()()][sin()sin()]X R t t E X t X t E V t V t ωω==+Φ+Φ
=2
010********[][sin()sin()][cos ()cos(2)]E V E t t E t t t t ωωωωω+Φ+Φ=--++Φ =00201cos 2/sin()t t ωτπωω++ ∴ 0002[()][()]()[cos sin ]X d
E Y t E X t m t t t dt ωωωπ
?
==
=- 2121200210021121(,)2(,)[sin ()cos ()]X Y R t t R t t t t t t t t t ωωωωπ
??=
=--++??? =2
20021002012
cos ()sin()t t t t ωωωωωπ
--
+
2
22
110
101002
1
(,)lim
sin 22T
Y T T
Q A R t t t dt T ωωωωπ
→-=<>=-?=?
六、设()S ω是一个平稳随机过程的功率谱密度函数，证明2
2
()/d S d ωω不可能是功率谱密度函数。（10分）
证明：∵ ()()j X
S R
e d ωτωττ∞
--∞
=
?
∴ ''
2
()()j X S R e d ωτωτ
ττ∞--∞
=
-?
令'
2
()()X X R R τττ=-，
由于 '
'
(0)()X X R R τ≤ 不满足相关函数的性质，故22
()/d S d ωω不可能是功率谱密
度函数。
七、求输入谱为
4242
56()109
X S ωωωωω++=++ 时的白化滤波器。（5分）
解：∵4242
56(()109(1)(1)(3)(3)
X s s s s s s S s s s s s s s -+++==-++-+-
∴(()(1)(3)
X
s s S s s ω-
+=++
从而
1()()X H s S ω-
=
= 八、设X(t)是均值为0、方差为1的实窄带平稳高斯过程，写出其莱斯表示形式和准正弦表示形式，求包络和相位的一维概率密度函数。（10分）
解：
00^
00^00()()cos ()sin ()()cos ()sin ()()sin ()cos X t a t t b t t a t X t t X t t b t X t t X t t
ωωωωωω=-=+=-+
0()()cos(())
()()(()/())
X t A t t t A t t arctg b t a t ω??=+==
从而 ()()cos (),()()sin ()a t A t t b t A t t ??==
在一固定时刻t 对()a t 和()b t 取样可得t a 和t b ，可以证明t a 和t b 是高斯随机变量，且22[][]0,[][]1t t t t E a E b E a E b ====，t a 和t b 相互独立。
故 22
2
1(,)2t t a b ab t t f a b e π
+-
= ， 2
2,1(,)2t
A A t t f A e J ??π
-=， cos sin sin cos t t t t t t t
t
a a A t t t t
b b t
t t
A A J A A ??????????????-=
=
=
因此
2
2
,0,
02(,)20t A t t t A t t A e A f A ??π?π
-??≥≤≤=???
其它
从而有：
22
2,0
()(,)(0)A t A t A t t t t t f A f A d A e
A π
???-
=
=≥?
,0
1()(,)(02)2t A t t t t f f A dA ?????ππ
∞
==
≤≤?
随机信号分析习题一 1. 设函数???≤>-=-0 , 0 ,1)(x x e x F x ，试证明)(x F 是某个随机变量ξ的分布函数。并求下列 概率：)1(<ξP ，)21(≤≤ξP 。 2. 设),(Y X 的联合密度函数为 (), 0, 0 (,)0 , other x y XY e x y f x y -+?≥≥=? ?， 求{}10,10<<< 8. 两个随机变量1X ，2X ，已知其联合概率密度为12(,)f x x ,求12X X +的概率密度？ 9. 设X 是零均值，单位方差的高斯随机变量，()y g x =如图，求()y g x =的概率密度 ()Y f y \ 10. 设随机变量W 和Z 是另两个随机变量X 和Y 的函数 22 2 W X Y Z X ?=+?=? 设X ，Y 是相互独立的高斯变量。求随机变量W 和Z 的联合概率密度函数。 11. 设随机变量W 和Z 是另两个随机变量X 和Y 的函数 2() W X Y Z X Y =+?? =+? 已知(,)XY f x y ，求联合概率密度函数(,)WZ f z ω。 12. 设随机变量X 为均匀分布，其概率密度1 ,()0X a x b f x b a ?≤≤? =-???， 其它 （1）求X 的特征函数,()X ?ω。 （2）由()X ?ω，求[]E X 。 13. 用特征函数方法求两个数学期望为0，方差为1，互相独立的高斯随机变量1X 和2X 之和的概率密度。 14. 证明若n X 依均方收敛，即 l.i.m n n X X →∞ =，则n X 必依概率收敛于X 。 15. 设{}n X 和{}n Y (1,2,)n = 为两个二阶矩实随机变量序列，X 和Y 为两个二阶矩实随机变量。若l.i.m n n X X →∞ =，l.i.m n n Y Y →∞ =，求证lim {}{}m n m n E X X E XY →∞→∞ =。 随机信号大作业 班级：02xxxx 姓名：xx 学号：02xxxxx 第一章 1.23上机题：设有随机初相信号X(t)=5cos（t+φ），其中相位φ是在区间（0,2π）上均匀分布的随机变量。试用Matlab编程产生其三个样本函数。 解：程序： clc clear m=unifrnd(0,2*pi,1,10); for k=1:3 t=1:0.1:10; X=5*cos(t+m(k)); plot(t,X); hold on end title('其三个样本函数'); xlabel('t');ylabel('X(t)'); grid on ;axis tight ; 由 Matlab 产生的三个样本函数如下图所示： 第二章 2.22 上机题：利用Matlab 程序设计一正弦型信号加高斯白噪声的复合信号。 (3)分析复合信号通过理想低通系统后的功率谱密度和相应的幅度分布特性。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -4-3-2-101 23 4其三个样本函数 t X (t ) 解：取数据如下： 正弦信号的频率为：fc=10HZ，抽样频率为：fs=100HZ； 信号：x=sin(2*pi*fc*t)； 高斯白噪声产生复合信号y： y=awgn(x,10)； 复合信号y通过理想滤波器电路后得到信号y3 ，通过卷积计算可以得到y3 即：y3=conv2(y,sin(10*t)/(pi*t))； y3的幅度分布特性可以通过傅里叶变换得到Y3(jw)=fft(y3)，y3的功率谱密度：G3(w)=Y3(jw).*conj(Y3(jw)/length(Y3(jw)))。 程序： clear all; fs=100; fc=10; n=201; t=0:1/fs:2; x=sin(2*pi*fc*t); y=awgn(x,10); m=50; i=-0.49:1/fs:0.49; for j=1:m R(j)=sum(y(1:n-j-1).*y(j:199),2)/(n-j); Ry(49+j)=R(j); 由于百度文库格式转换的原因，不能整理在一个word 文档里面，下面是三四章的答案。给大家造成的不便，敬请谅解 随机信号分析 第三章习题答案 、随机过程 X(t)=A+cos(t+B)，其中A 是均值为2，方差为1的高斯变量，B 是（0，2π）上均匀分布的随机变量，且A 和B 独立。求 （1）证明X(t)是平稳过程。 （2）X(t)是各态历经过程吗？给出理由。 （3）画出该随机过程的一个样本函数。 （1） （2） 3-1 已知平稳过程()X t 的功率谱密度为232 ()(16) X G ωω=+，求：①该过程的平均功率？ ②ω取值在(4,4)-范围内的平均功率？ 解 [][]()[]2 ()cos 2 11 ,cos 5cos 22 X E X t E A E t B A B R t t EA τττ =++=????+=+=+与相互独立 ()()()2 1521()lim 2T T T E X t X t X t X t dt A T -→∞??=<∞ ???==?是平稳过程 ()()[]() ()41122 11222222 2 4 2' 4(1)24()()444(0)4 1132 (1 )2244144 14(2)121tan 132 24X X X E X t G d R F G F e R G d d d arc x x τ τωωωωω ππωωπωωπω π ωω∞ ----∞∞ -∞-∞∞--∞∞ ?????==?=???+?? ====+==??+ ?== ??= ++?? =? ????P P P P 方法一() 方：时域法取值范围为法二-4,4内(频域的平均率法功) 2 d ω = 1 第一次作业：练习一之1、2、3题 1.1 离散随机变量X 由0，1，2，3四个样本组成，相当于四元通信中的四个电平，四个样本的取值概率顺序为1/2，1/4，1/8，和1/8。求随机变量的数学期望和方差。 解：875.087 813812411210)(][4 1 ==?+?+?+?===∑=i i i x X P x X E 81 )873(81)872(41)871(21)870(])[(][2224 1 22?-+?-+?-+?-=-=∑=i i i P X E x X D 109.164 71 == 1.2 设连续随机变量X 的概率分布函数为 ? ????≥<≤-+<=21 201)](2π Αsin[0.500 )(x x x x x F 求（1）系数A ；（2）X 取值在（0.5，1）内的概率)15.0(< 随机信号分析大作业 学院：电子工程学院 班级：021151 学号：02115037 姓名：隋伟哲 第一题：设有随机信号X（t）=5cos(t+a),其中相位a是在区间（0,2π）上均匀分布的随机变量，使用Matlab编程产生其三个样本函数。 解： 源程序如下： clc;clear; C=2*pi*rand(1,3);%在[0,2π]产生均匀分布的相位角 t=1:.1:80; y1=5*cos(t+C(1)); %将产生的随机相位角逐一代入随机过程中 y2=5*cos(t+C(2)); %将产生的随机相位角逐一代入随机过程中 y3=5*cos(t+C(3)); %将产生的随机相位角逐一代入随机过程中 plot(t,y1,'r-'); hold on; plot(t,y2,'g--'); hold on; plot(t,y3,'k-'); xlabel('t');ylabel('X(t)'); grid on;axis([0 30 -8 8]); title('随机相位的三条样本曲线'); 产生的三条样本曲线： 第二题：利用Matlab程序设计一正弦型信号加高斯白噪声的复合信号。（1）分析复合信号的功率谱密度、幅度分布特性； （2）分析复合信号通过RC积分电路后的功率谱密度和相应的幅度分布特性； （3）分析复合信号通过理想低通系统后的功率谱密度和相应的幅度分布特性。 解：设定正选信号的频率为10HZ，抽样频率为100HZ x=sin(2*pi*fc*t) （1）正弦函数加上高斯白噪声： y=awgn(x,10) y 的幅度分布特性可以通过傅里叶变换得到： Y(jw)=fft(y) y 的功率谱密度： G(w)=Y(jw).*conj(Y(jw)/length(Y(jw))) 随机序列自相关函数的无偏估计公式为： 1 01()()()N m xx n R m x n x n m N m --==+-∑ 01m N ≤≤- （2）复合信号 y 通过RC 积分电路后得到信号y2 通过卷积计算可以得到y2 即：y2= conv2(y,b*pi^-b*t) y2的幅度分布特性可以通过傅里叶变换得到： Y2(jw)=fft(y2) y2的功率谱密度： G2(w)=Y2(jw).*conj(Y2(jw)/length(Y2(jw))) （3）复合信号 y 通过理想滤波器电路后得到信号y3 通过卷积计算可以得到y3 即：y3=conv2(y,sin(10*t)/(pi*t)) y3的幅度分布特性可以通过傅里叶变换得到： Y3(jw)=fft(y3) y3的功率谱密度： G3(w)=Y3(jw).*conj(Y3(jw)/length(Y3(jw))) 随机信号分析实验报告 信息25班 2120502123 赵梦然 作业题三： 利用Matlab 产生一个具有零均值、单位方差的的高斯白噪声随机序列X(n)，并通过一脉冲响应为 (0.8)(0)0 n n h n else =≥??? 的线性滤波器。 (1) 产生一个具有零均值、单位方差的的高斯白噪声随机序列X(n)，检验其一维概率密度函 数是否与理论相符。 (2) 绘出输入输出信号的均值、方差、自相关函数及功率谱密度的图形，讨论输出信号服从 何种分布。 (3) 试产生在[-1,+1]区间均匀分布的白噪声序列，并将其替换高斯白噪声通过上述系统。 画出此时的输出图形，并观察讨论输出信号服从何种分布。 作业要求 (1) 用MATLAB 编写程序。最终报告中附代码及实验结果截图。 (2) 实验报告中必须有对实验结果的分析讨论。 提示： (1) 可直接使用matlab 中已有函数产生高斯白噪声随机序列。可使用hist 函数画出序列的 直方图，并与标准高斯分布的概率密度函数做对比。 (2) 为便于卷积操作，当N 很大时，可近似认为h(N)=0。卷积使用matlab 自带的conv 函 数。 (3) 分析均值、方差等时，均可使用matlab 现有函数。功率谱密度和自相关函数可通过傅 里叶变换相互获得。傅里叶变换使用matlab 自带的fft 函数。 (4) 作图使用plot 函数。 一、作业分析： 本题主要考察的是加性高斯白噪声相关问题，因此构造一个高斯白噪声十分重要，故在本题中使用randn函数随机生成一个个符合高斯分布的数据，并由此构成高斯白噪声；而且由于白噪声是无法完全表示的，故此根据噪声长度远大于信号长度时可视为高斯白噪声，构造了一个长度为2000的高斯白噪声来进行试验。 二、作业解答： （1）matlab程序为： x-1000:1:1000; k=1*randn(1,length(x));% 生成零均值单位方差的高斯白噪声。 [f,xi]=ksdensity(x);%利用ksdensity函数估计样本的概率密度。 subplot(1,2,1); plot(x,k); subplot(1,2,2); plot(xi,f); 实验结果为： 1. （10分）随机变量12,X X 彼此独立，且特征函数分别为12(),()v v φφ，求下列随机变量的特征函数： （1） 122X X X =+ （2）12536X X X =++ 解：（1） ()121222()jv X X jvX jv X jvX X v E e E e E e e φ+??????===??????? （2） ()1212536536()jv X X jv X jv X jv X v E e E e e e φ++????==?????? 2. （10分）取值()1,1-+，概率[0.4,0.6]的独立()半随机二进制传输信号()X t ，时隙长度为T ，问： （1） 信号的均值函数()E X t ????； （2） 信号的自相关函数(),X R t t τ+； （3） 信号的一维概率密度函数();X f x t 。 解：（1）()10.410.60.2E X t =-?+?=???? (2) 当,t t τ+在同一个时隙时： 当,t t τ+不在同一个时隙时： （3）()()();0.610.41X f x t x x δδ=-++ 3. （10分）随机信号0()sin()X t t ω=+Θ，()()0cos Y t t ω=+Θ，其中0 ω为常数，Θ为在[]-,ππ上均匀分布的随机变量。 （1） 试判断()X t 和()Y t 在同一时刻和不同时刻的独立性、相关性及正交性； （2） 试判断()X t 和()Y t 是否联合广义平稳。 解： （1） 由于X (t )和Y(t )包含同一随机变量θ， 因此非独立。 根据题意有12f ()θπ=。 []001sin()02E[X(t )]E t sin(w t )d π πωθθπ -=+Θ= +=?， 由于0XY XY R (t,t )C (t,t )==，X (t )和Y(t )在同一时刻正交、线性无关。 除()012w t t k π-=±外的其他不同时刻12120XY XY R (t ,t )C (t ,t )=≠，所以1X (t )和2Y(t )非正交且线性相关。 第一章 1、有朋自远方来，她乘火车、轮船、汽车或飞机的概率分别是0.3，0.2，0.1和0.4。如果她乘火车、轮船或者汽车来，迟到的概率分别是0.25，0.4和0.1，但她乘飞机来则不会迟到。如果她迟到了，问她最可能搭乘的是哪种交通工具？ 解：()0.3P A =()0.2P B =()0.1P C =()0.4 P D = E －迟到，由已知可得 (|)0.25(|)0.4(|)0.1(|)0 P E A P E B P E C P E D ==== 全概率公式： ()()()()(P E P E A P E B P E C P E D =+++ 贝叶斯公式： ()(|)()0.075 (|)0.455()()0.165(|)()0.08 (|)0.485 ()0.165 (|)()0.01 (|)0.06 ()0.165(|)() (|)0 ()P EA P E A P A P A E P E P E P E B P B P B E P E P E C P C P C E P E P E D P D P D E P E ?= ===?===?===?== 综上：坐轮船 3、设随机变量X 服从瑞利分布，其概率密度函数为2 2 22,0 ()0,0X x x X x e x f x x σσ-??>=?? ，求期望()E X 和方差()D X 。 考察： 已知()x f x ，如何求()E X 和()D X ？ 2 2222 2()()()[()]()()()()()()()x x E X x f x dx D X E X m X m f x dx D X E X E X E X x f x dx ∞ -∞ ∞ -∞ ∞ -∞ =?=-=-=-?=???? 6、已知随机变量X 与Y ，有1,3, ()4,()16,0XY EX EY D X D Y ρ=====， 令3,2,U X Y V X Y =+=-试求EU 、EV 、()D U 、()D V 和(,)Cov U V 。 考察随机变量函数的数字特征 1. （10分）随机变量12,X X 彼此独立，且特征函数分别为12(),()v v φφ，求下列随机变量的特征函数： （1） 122X X X =+ （2）12536X X X =++ 解：（1）() 121222()jv X X jvX jv X jvX X v E e E e E e e φ+???? ??===?????? ? 12 21212()(2)jvX jv X X X E e E e v v φφ????=????和独立 （2）() 1212536536()jv X X jv X jv X jv X v E e E e e e φ++???? ==????? ? 12536 12jv X jv X jv X X E e E e E e ?????? ??????和独立 6 12(5)(3)jv e v v φφ= 2. （10分）取值()1,1-+，概率[0.4,0.6]的独立()半随机二进制传输信号()X t ，时隙长度为T ，问： （1） 信号的均值函数()E X t ????； （2） 信号的自相关函数(),X R t t τ+； （3） 信号的一维概率密度函数();X f x t 。 解：（1）()10.410.60.2E X t =-?+?=???? (2) 当,t t τ+在同一个时隙时： []222(,)()()[()]10.6(1)0.41X R t t E X t X t E X t ττ+=+==?+-?= 当,t t τ+不在同一个时隙时： [][][](,)()()()()0.20.20.04 X R t t E X t X t E X t E X t τττ+=+=+=?= （3）()()();0.610.41X f x t x x δδ=-++ 3. （10分）随机信号0()sin()X t t ω=+Θ，()()0cos Y t t ω=+Θ，其中0 ω为常数，Θ为在[]-,ππ上均匀分布的随机变量。 第二次作业：练习一之4、5、6、7题 1.4 随机变量X 在[α，β]上均匀分布，求它的数学期望和方差。 解：因X 在[α，β]上均匀分布 ??? ??β≤≤αα -β=其他 下0 1)(x f ?? β α ∞ ∞ β+α= α -β= = 2d d )(]E[-x x x x xf X )2(3 1d d )(]E[2 2 2 -2 2 β+β+α= α -β= = ?? β α ∞ ∞ x x x x f x X 2 2 2 -2 )(12 1]) X [E (]X [E d )(])X [E (]D[α-β= -=-= ?∞ ∞ x x f x X 1.5 设随机变量X 的概率密度为 ?? ?<≤=其他 1 01 )(x x f X ，求Y =5X +1的概率密度函 数。 解：反函数X = h (y ) = (Y -1)/5 h ′(y ) = 1/5 1≤y ≤6 f Y (y ) = f X (h (y ))｜h ′(y )∣= 1 ×1/5 = 1/5 于是有 ?? ?≤≤=其他 615 /1)(y y f Y 1.6 设随机变量]b ,a [,,,21在n X X X ???上均匀分布，且互相独立。若∑== n 1 i i X Y ,求 （1）n=2时，随机变量Y 的概率密度。 （2）n=3时，随机变量Y 的概率密度。 解：n i b x a a b x f i i ,,2,101)(???=??? ? ?? ?≤≤-=其它 n=2时，)()()(2 1 y f y f y f X X Y *= 111)()()(21dx x y f x f y f X X Y ? ∞ ∞ --= ?-? -= b a dx a b a b 111 a b -= 1 随机信号分析 实验报告 目录 随机信号分析 (1) 实验报告 (1) 理想白噪声和带限白噪声的产生与测试 (2) 一、摘要 (2) 二、实验的背景与目的 (2) 背景： (2) 实验目的: (2) 三、实验原理 (3) 四、实验的设计与结果 (4) 实验设计: (4) 实验结果: (5) 五、实验结论 (12) 六、参考文献 (13) 七、附件 (13) 1 理想白噪声和带限白噪声的产生与测试一、摘要 本文通过利用MATLAB软件仿真来对理想白噪声和带限白噪声进行研究。理想白噪声通过低通滤波器和带通滤波器分别得到低通带限白噪声和帯通带限白噪声。在仿真的过程中我们利用MATLAB工具箱中自带的一些函数来对理想白噪声和带限白噪声的均值、均方值、方差、功率谱密度、自相关函数、频谱以及概率密度进行研究，对对它们进行比较分析并讨论其物理意义。 关键词：理想白噪声带限白噪声均值均方值方差功率谱密度自相关函数、频谱以及概率密度 二、实验的背景与目的 背景： 在词典中噪声有两种定义：定义1：干扰人们休息、学习和工作的声音，引起人的心理和生理变化。定义2：不同频率、不同强度无规则地组合在一起的声音。如电噪声、机械噪声，可引伸为任何不希望有的干扰。第一种定义是人们在日常生活中可以感知的，从感性上很容易理解。而第二种定义则相对抽象一些，大部分应用于机械工程当中。在这一学期的好几门课程中我们都从不同的方面接触到噪声，如何的利用噪声，把噪声的危害减到最小是一个很热门的话题。为了加深对噪声的认识与了解，为后面的学习与工作做准备，我们对噪声进行了一些研究与测试。 实验目的: 了解理想白噪声和带限白噪声的基本概念并能够区分它们，掌握用MATLAB 或c/c++软件仿真和分析理想白噪声和带限白噪声的方法，掌握理想白噪声和带限白噪声的性质。 班级 学号 随机信号分析仿真报告 学院电子工程学院 专业 学生姓名 老师姓名 随机信号分析上机（结课）报告 姓名：学号： 第一题： 1.23设有随机初相信号)cos(5)(X ?+=t t ，其中相位?是在区间（0，２π）上均匀分布分的 随机变量，用ＭＡＴＬＡＢ编程产生是三个样本函数。仿真部分： 图 1.1随机初相信号样本函数 其中，随机变量相位?可以共通过函数：“unifrnd(0,2*pi)”来实现； 而产生三个样本则可以通过简单的循环得到。 第二题： 2.22利用Matlab程序设计一正弦型信号加高斯白噪声的复合信号。 （1）分析复合信号的功率谱密度、幅度分布特性； （2）分析复合信号通过RC积分电路（理想低通系统）后的功率谱密度和相应的幅度分布特性； 思路分析： ●幅度分布：可以通过“hilbert()”变换后取其绝对值便得到包络； ●功率密度谱，根据定义，它是函数自相关函数的傅立叶变换； ?可以先用“[ry,a]=xcorr(y,‘unbiased’)”函数来求得信号的自相关函数； ?通过“gy=fft(ry)”函数来求得相关函数的傅里叶变换； ?最后通过“fftshift(gy)”函数对傅立叶变换后的结果进行矫正。 ●低通滤波器可以通过函数“fir1()”进行设计，并最终通过“filter()”函数作用于 信号。（由于fir1采用的是归一化频率，所以设计时要注意先把采样频率归一化， 也就是除以二。） 仿真部分： 仿真参数：正弦信号频率fc=20Hz，振幅为0.25,；采样频率fs=600Hz； （1）分析复合信号的功率谱密度、幅度分布特性； 图 2.1复合信号相关的曲线%求功率谱密度代码段： %y为复合信号 %先求得自相关函数rx [ry,a]=xcorr(y,'unbiased'); %求自相关的傅里叶变换Fy0=fft(ry); %矫正 Fy1=fftshift(Fy0); %求包络 hilbert_y=hilbert(y); A=abs(hilbert_y); 电子科技大学20 -20 学年第 学期期 考试 卷 课程名称：_________ 考试形式： 考试日期： 20 年 月 日 考试时长：____ 分钟 课程成绩构成：平时 %， 期中 %， 实验 %， 期末 % 本试卷试题由_____部分构成，共_____页。 计算、简答、论述、证明、写作等试题模板如下 一、若信号00()cos()X t X t ω=++Θ输入到如下图所示的RC 电路网络上， 其中0X 为[0,1]上均匀分布的随机变量，Θ为[0,2]π上均匀分布的随机变量，并且0X 与 Θ彼此独立，Y (t )为网络的输出。（ 共10分） （1）求Y (t )的均值函数。(3分) （2）求Y (t )的功率谱密度和自相关函数。(4分) （3）求Y (t )的平均功率。(3分) 图 RC 电路网路 （1）RC 电路的传输函数为()1(1)H j j RC ωω=+ ()X t 的均值函数为 ∴ Y (t )的均值函数为 （2） ∴()X t 是广义平稳的。 ∴()X t 的功率谱为： 功率谱传递函数：22 1 |()|H j RC ωω= 1+（） 根据系统输入与输出信号功率谱的关系可得： 求()Y S ω的傅立叶反变换，可得： （3）2222 011 (0)328Y Y P R f R C ==++π 二、若自相关函数为()5()X R τδτ=的平稳白噪声X (t )作用于冲激响应为 ()e ()bt h t u t -=的系统，得到输出信号Y (t )。（ 共10分） （1）求X (t )和Y (t )的互功率谱()YX S ω和()XY S ω。(5分) （2）求Y (t )的矩形等效带宽。(5分) （1）1 ()() ()bt h t e u t H j b j ωω -=?= + （2） 2 2222 552() ()()2Y X b S S H j b b b ωωωωω=?= =?++，25(0)Y S b = 求()Y S ω的傅里叶反变换，得到()Y t 的自相关函数为： 5()2b Y R e b τ τ-= ，5(0)2Y R b = ∴ ()()()()20015/2202025/4 Y eq Y Y Y R b b B S d S S b ωωπ∞= ===?? 三、设有正弦随机信号()cos X t V t ω=，其中0t ≤<∞，ω为常数，V 是[0,1)均匀分布 的随机变量。（共10分） （1）确定4t π ω= 时随机变量()X t 的概率密度函数，并画出其图形；（4分） （2）当2t π ω =时，求()X t 的概率密度函数。（3分） （3）该信号是否严格平稳？（3分） 解：（1）随机信号()X t 的任意两条样本函数如题解图(a)所示： 随机过程在不同时刻是不同的随机变量，一般具有不同的概率密度函数： 当4t πω= 时，()4X πω= ，0(;)240,X x f x others πω<< =?? （2分） 在,4i t ππωω =各时刻，随机变量()i X t 的概率密度函数图形如题解图(b) 所示： 1 10 3π π0 - 1 （2分） 一，设有随机初相信号X(t)=5cos（t+φ），其中相位φ是在区间（0,2π）上均匀分布的随机变量。 （1）试用Matlab编程产生其三个样本函数。 MATLAB代码如下 clc clear m=unifrnd(0,2*pi,1,10); for k=1:3 t=1:0.1:10; X=5*cos(t+m(k)); plot(t,X); hold on end xlabel('t');ylabel('X(t)'); grid on;axis tight; 二、利用Matlab 程序设计一正弦信号加高斯白噪声的复合信号。 1. 分析复合信号的功率谱密度，幅度分布特性； 2. 分析复合信号通过RC 积分电路后的功率谱密度和相应的幅度分布特性； 3. 分析复合信号通过理想低通系统后的功率谱密度和相应的幅度分布特性； 问题分析 1).正弦信号的频率、采样信号的频率、信噪比分别设定为fc、fs、 N，并利用awgn函数得出加入高斯白噪声的复合信号的波形，通过画出幅度的分布直方图得出幅度分布的初步特性。并利用傅里叶变换得出复合信号的频谱特性，之后再利用xcorr函数得出复合信号的自相关系数，并通过自相关系数的傅里叶变换得到功率谱密度曲线图。并且分别设定了两组fc、fs、 N数据得出结果 2).复合信号通过RC电路时，分别求得它的暂态和稳态分量得出此时的信号，再利用1)中的方法进行求解，此处多设定了电阻R、电容C的参数，并且分别设定了两组fc、fs、 N、R、C数据得出结果。 3).复合信号通过低通滤波电路时，利用fir1和fir1ter函数得出低通滤波后的信号，再利用1)中的方法进行求解，分别设定了两组fc、fs、 N数据得出结果 1)MATLAB程序代码如下： clear;clc; 1-9 已知随机变量X 的分布函数为 2 0,0(),01 1, 1X x F x kx x x ? 求：①系数k ； ②X 落在区间(0.3,0.7)内的概率； ③随机变量X 的概率密度。 解： 第①问 利用()X F x 右连续的性质 k ＝1 第②问 {}{}{} ()() 0.30.70.30.70.70.30.7P X P X F P X F =<<=<≤-=- 第③问 201 ()()0 X X x x d F x f x else dx ≤ 1-10已知随机变量X 的概率密度为()() x X f x ke x -=-∞<<+∞（拉普拉斯分布），求： ①系数k ②X 落在区间(0,1)内的概率 ③随机变量X 的分布函数 解： 第①问 ()1 1 2 f x dx k ∞ -∞==? 第②问 {}()()()21 1221x x P x X x F x F x f x dx <≤=-=? 随机变量X 落在区间12(,]x x 的概率12{}P x X x <≤就是曲线()y f x =下的曲边梯形的面积。 {}{}()() 1 0101011 12 P X P X f x dx e -<<=<≤==-? 第③问 ()102 10 2 x x e x f x e x -?≤??=? ?>?? ()00()1100 2 2111010 2 22 x x x x x x x x F x f x dx e dx x e x e dx e dx x e x -∞ -∞---∞=??≤≤????==? ? ??+>->????? ??? 随机信号分析大作业 一、实验目的 基于随机过程的莱斯表达式产生窄带随机过程。 二、实验内容及实验原理 1，基于随机过程的莱斯表达式 00()()cos ()sin y t a t t b t t ωω=- (3.1) 2，实验过程框图如下： 3，理想低通滤波器如图所示： 图1 理想低通滤波器 ()20 A H ?ω ?ω≤ ?ω=? ??其它 (3.2) 设白噪声的物理谱0=X G N ω（） ,则系统输出的物理谱为 2 2 0=()=20 Y X N A G H G ?ω ?0≤ω≤ ?ωωω???（）（） 其它 (3.3) 输出的自相关函数为: 1 ()()cos 2Y Y R G d τωωτωπ ∞ = ? /2 200 1cos 2N A d ωωτωπ ?= ? (3.4) 2 0sin 242 N A ωτωωτπ ??=? ? 可知输出的自相关函数()Y R τ是一个振荡函数。计算高斯白噪声x(t)、限带白噪声()a t 、()b t 及窄带随机过程()y t 的均值，并绘出随机过程各个随机过程的自相关函数，功率谱密度图形。 三、MATLAB 实验程序 function random(p,R,C) %产生一个p 个点的随机过程 %--------------------------高斯窄带随机过程代码--------------------------% n=1:p; w=linspace(-pi,pi,p); wn=1/2*pi*R*C; [b,a]=butter(1,wn,'low'); %产生低通滤波器 Xt=randn(1,p); %产生p 个点均值为0方差为1的随机数，即高斯白噪声 at=filter(b,a,Xt); %让高斯白噪声通过低通滤波器 y_at=at.*cos(w.*n); %产生随机过程a （t ） y_bt=at.*sin(w.*n); %产生随机过程b （t ） yt=y_at-y_bt; %产生一个p 个点的高斯窄带随机过程 subplot(211) plot(yt) title('高斯窄带随机过程y(t)') subplot(212) pdf_ft=ksdensity(yt) ; plot(pdf_ft) title('y(t)的概率密度图') disp('均值如下') E_Xt=mean(y_at) E_at=mean(y_at) E_bt=mean(y_bt) E_ft=mean(yt) %-----------------------自相关函数代码如下--------------------------% figure(2) R_Xt=xcorr(Xt); %高斯白噪声X(t)的自相关函数 R_at=xcorr(at); %限带白噪声的自相关函数 R_y_at=xcorr(y_at); %随机过程a(t).coswt 的自相关函数 R_y_bt=xcorr(y_bt); %随机过程b(t).coswt 的自相关函数 R_ft=xcorr(yt); 随机信号分析习题二： 1. 设正弦波随机过程为 0()cos X t A w t = 其中0w 为常数；A 为均匀分布在[0,1]内的随机变量，即 1,01 ()0,others A a f a ≤≤?=? ? (1) 试求000 30, , , 44t w w w π π π =时，()X t 的一维概率密度； (2) 试求0 2t w π = 时，()X t 的一维概率密度。 2. 若随机过程()X t 为 (),X t At t =-∞<<+∞式中，A 为在区间[0,1]上均匀分布的随 机变量，求[()]E X t 及12(,)X R t t 。 3. 设随机振幅信号为 0()sin X t V w t = 其中0w 为常数；V 是标准正态随机变量。求该随机信号的均值、方差、相关函数和协方差函数。 4. 设随机相位信号0()cos()X t a w t φ=+式中a 、0w 皆为常数， φ为均匀分布在[0,2]π上的随机变量。求该随机信号的均值、方差、相关函数和协方差函数。 5. 设()sin(),X t A w t t θ=+-∞<<+∞，()sin(),Y t B w t t θφ=++-∞<<+∞，其中 A ， B ，w ，φ为实常数，~[0,2]U θπ，试求(,)XY R s t 。 6. 数学期望为()5sin X m t t =、相关函数为2 210.5() 12(,)3t t X R t t e --=的随机信号()X t 输入 微分电路，该电路输出随机信号()()Y t X t = 。求()Y t 的均值和相关函数。 7. 设随机信号3()cos 2t X t Ve t =，其中V 是均值为5、方差为1的随机变量。现设新的 随机信号0 ()()t Y t X d λλ= ? 。试求()Y t 的均值、相关函数、协方差函数和方差。 8. 利用重复抛掷硬币的实验定义一个随机过程 cos ,()2, t X t t π?=??出现正面 出现反面 班级：021012班学号：0210111X姓名：李X 随机信号大作业 利用matlab程序设计设计一个正旋信号加高斯白噪声的复合信号。 源代码： 正旋sinx信号 x=(0:0.01:2); y1=sin(10*pi*x); plot(x,y1,'r'); title('y=sin(10*pi*x)'); ylabel('y'); xlabel('x/10pi'); grid;正旋信号如下图： 高斯白噪声，当白噪声的方差为10的-4次方时 y2=0.01*randn(1,201); plot(x,y2,'r'); title('高斯白噪声'); ylabel('y'); xlabel('x/10pi'); grid; 1：加入噪声之后的信号。因为白噪声方差过小，变化过快，叠加信号大致显示 出的是正旋波形 y=y1+y2; plot(x,y,'r'); title('叠加了高斯白噪声的sinx'); ylabel('y'); xlabel('x/10pi'); grid; 2：当增加白噪声的方差到0.01时，观察复合信号，可以发现，复合信号波形没有第一次平滑，较第一个复合波形而言更显无序性 3：方差增加到1时： 取方差为0.01时的白噪声作函数频谱图和白噪声自相关函数图：FY=fft(y); FY1=fftshift(FY); f=(0:200)*100/201-50; subplot(1,2,1); plot(f,abs(FY1),'r'); ylabel('F(jw)'); xlabel('w'); grid; i=-0.49:1/100:0.49; for j=1:50 R(j)=sum(y2(1:201-j-1).*y2(j:199),2)/(201-j); Rx(49+j)=R(j); Rx(51-j)=R(j); end subplot(1,2,2); plot(i,Rx,'r'); ylabel('Rx'); xlabel('x'); grid; 左图为函数频谱图；右图为白噪声自相关函数图 随机信号处理大作业 多种功率谱估计的算法实现及性能比较 一、引言 频谱分析是信号处理的基石，为我们提供了时域以外的另一种信号研究手段——频域，使得很多在时域看起来很复杂的问题，用频域来分析就变得十分简单。对于随机信号而言，由于不存在傅里叶变换，我们通过对其功率谱的分析来研究其频域特性。功率谱估计问题就是根据一组有限观测值来估计该过程谱的内容，对于平稳随机过程而言，所有的功率谱估计方法都是根据有限的观测值来逼近真实值，估计结果的好坏与估计方法密切相关。功率谱估计的方法可分为古典法和现代法，古典法基于傅里叶变换，包括直接法和间接法，现代谱估计包括直接解Yule-Walker方程法、Levinson-Durbin快速递推法、Burg算法、MUSIC算法、本文将对上述功率谱估计的方法进行分析。 二、原理及过程 1、古典法 这里采用古典法中的直接法（周期图法）进行功率谱估计，其具体步骤如下。 第一步：由获得的N点数据构成的有限长序列直接求傅里叶变换，得频谱 （1.1） 第二步：取频谱幅度的平方，并处以N,以此作为对真实功率谱的估计， 即 （1.2） 2、Yule-Walker方程法 ①假定所研究的随机过程是由一白噪声序列激励一因果稳定的可逆线性系统的输出 ②由观测获得的数据记录估计的参数 ③由的参数估计的功率谱 由上可知，可以将平稳随机信号的功率谱表示为 （2.1） 其中，是白噪声的功率谱（为常数），是系统的频谱。这样 谱估计问题就转化为模型参数的估计问题，在AR、MA和ARMA三种模型中，求AR模型的参数是解线性方程，易于求解，并且MA模型和ARMA模型都可以用高阶的AR模型近似，所以这里我们采用AR模型来进行功率谱估计。 阶AR模型的系统函数为 （2.2） 阶AR模型有+1个待定参数：，，…,和系统增益G。 自相关函数，（2.3）“*”代表取共轭。 Yule-Walker方程： （2.4） 可表示成下面的矩阵形式： （2.5） 上式用到了自相关函数的偶对称性质，由这个方程，可以求出个参数。有了参数()，就可以根据尤勒-沃克方程有自相关函数和参数求系统增益G。然 后可以根据（2.6）求功率谱，或者由用freqz()函数来求功率谱 下面进行功率谱估计的关键就成了解Yule-Walker方程，下面可分为两种方法解方程。 ⑴、直接解尤勒-沃克方程 ①由式(2.3)计算自相关函数 ②根据式(2.5)列写矩阵方程 ③通过矩阵求逆解矩阵方程，得() 4-4设有限时间积分器的单位冲激响应 h(t)=U(t)－U(t －0.5) 它的输入是功率谱密度为 210V Hz 的白噪声，试求系统输出的总平均功率、交流平均功率和输入输出互相关函数 ()() ()()() 2 222 1:()2[()][()]0Y Y Y Y XY X P E Y t G d D Y t E Y t m E Y R R R h ωωπ τττ∞ -∞??==????=-==??=*?思路 ()()()10()() 10()10[()(0.5)]()()10[()(0.5)] XY X YX XY R R h h h U U R R U U τττδτττττττττ=*=*==--=-=----解：输入输出互相关函数 000 2 0.0 25 ()0()10()10()0()()()()10(()00[()(0.)() 10()()()10()()10101100.55 [()5)]](0)X X X Y X Y X Y Y X t m G R m m h d R U R h h h h h h d R h h d d d E Y t R U ωτττττττττλτλδτλλλ λλλλ μ∞ ∞ ∞∞ ==?====**-=*-=+=+=-=-=?=?==?????时域法 平均功是白噪声，，， 率面积法 ： 22 5 [()][()]5 Y Y D Y t E Y t m ==-=P 交流：平均功率 ()h t 白噪声 () Y R τ ()()()2 14 12 24 2 22Y 2 (P1313711()2415()()()102 42411 5112522242j j j Y X Y U t U t Sa e H e Sa G G H e Sa Sa G d Sa S d a d ωτωωωτ ττωωωωωωωωωωωπ π ωωπ - --∞ ∞ ∞ -∞∞--∞??--?? ??? ?? -???= ? ?? ???? === ? ? ???? ?? = ==??= ? ? ?? ?????P 矩形脉冲A 的频谱等于A 信号与线性系统书式域法 ） 频()()22 20000 [()][()][()]5 Y X Y Y m m H H D Y t E Y t m E Y t =?=??=-=== P 交直流分量为平均功率：流西电随机信号大课后复习
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