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高中数学填空题的常用解法

高考填空题的常用方法

数学填空题是一种只要求写出结果，不要求写出解答过程的客观性试题，是高考数学中的三种常考题型之一，填空题的类型一般可分为：完形填空题、多选填空题、条件与结论开放的填空题. 这说明了填空题是数学高考命题改革的试验田，创新型的填空题将会不断出现. 因此，我们在备考时，既要关注这一新动向，又要做好应试的技能准备.解题时，要有合理的分析和判断，要求推理、运算的每一步骤都正确无误，还要求将答案表达得准确、完整. 合情推理、优化思路、少算多思将是快速、准确地解答填空题的基本要求.

数学填空题，绝大多数是计算型(尤其是推理计算型)和概念(性质)判断型的试题，应答时必须按规则进行切实的计算或者合乎逻辑的推演和判断。求解填空题的基本策略是要在“准”、“巧”、“快”上下功夫。常用的方法有直接法、特殊化法、数行结合法、等价转化法等。

一、直接法

这是解填空题的基本方法，它是直接从题设条件出发、利用定义、定理、性质、公式等知识，通过变形、推理、运算等过程，直接得到结果。

例1设,)1(,3)1(j m i b i i m a -+=-+=其中i ，j 为互相垂直的单位向量，又

)()(b a b a -⊥+，则实数m = 。

解：.)2(,)4()2(j m mi b a j m i m b a +-=--++=+∵)()(b a b a -⊥+，∴

0)()(=-?+b a b a ∴0)4)(2()]4()2([)2(222=-+-?-++-++j m m j i m m m j m m ，而i ，j

为互相垂直的单位向量，故可得,0)4)(2()2(=-+-+m m m m ∴2-=m 。

例2已知函数2

)(++=x ax x f 在区间),2(+∞-上为增函数，则实数a 的取值范围是。

解：22121)(+-+=++=

x a a x ax x f ，由复合函数的增减性可知，2

21)(+-=x a

x g 在),2(+∞-上为增函数，∴021<-a ，∴2

>a 。

例3现时盛行的足球彩票，其规则如下：全部13场足球比赛，每场比赛有3种结果：胜、平、负，13长比赛全部猜中的为特等奖，仅猜中12场为一等奖，其它不设奖，则

某人获得特等奖的概率为。

解：由题设，此人猜中某一场的概率为31

，且猜中每场比赛结果的事件为相互独立

事件，故某人全部猜中即获得特等奖的概率为133

。

二、特殊化法

当填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的不定量用特殊值代替，即可以得到正确结果。

例4 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c 。若a 、b 、c 成等差数列，则

=++C

A C

A cos cos 1cos cos 。解：特殊化：令5,4,3===c b a ，则△ABC 为直角三角形，0cos ,5

cos ==C A ，从

而所求值为5

。

例5 过抛物线)0(2>=a ax y 的焦点F 作一直线交抛物线交于P 、Q 两点，若线段PF 、FQ 的长分别为p 、q ，则

=+q

p 1

1 。分析：此抛物线开口向上，过焦点且斜率为k 的直线与抛物线均有两个交点P 、Q ，当k 变化时PF 、FQ 的长均变化，但从题设可以得到这样的信息：尽管PF 、FQ 不定，但其倒数和应为定值，所以可以针对直线的某一特定位置进行求解，而不失一般性。

解：设k = 0，因抛物线焦点坐标为),41,

0(a 把直线方程a

y 41=代入抛物线方程得a x 21±

，∴a FQ PF 21||||==，从而a q

p 41

1=+。例6 求值=++++)240(cos )120(cos cos 222 a a a 。

分析：题目中“求值”二字提供了这样信息：答案为一定值，于是不妨令 0=a ，得结果为

。三、数形结合法

对于一些含有几何背景的填空题，若能数中思形，以形助数，则往往可以简捷地解决问题，得出正确的结果。

例7 如果不等式x a x x )1(42->-的解集为A ，且}20|{<

解：根据不等式解集的几何意义，作函数24x x y -=和

函数x a y )1(-=的图象（如图），从图上容易得出实数a 的取值范围是[)+∞∈,2a 。

例8 求值=+)2

arctan

sin(π

。解：=+)21arctan

sin(

1sin(arctan 21)21cos(arctan 23+，构造如图所示的直角三角形，则其中的角θ即为2

arctan

，从而 .5

1)21sin(arctan ,52)21cos(arctan ==所以可得结果为1015

25+。

例9 已知实数x 、y 满足3)3(22=+-y x ，则1

-x y

的最大值是。解：

-x y

可看作是过点P （x ，y ）与M （1，0）的直线的斜率，其中点P 的圆3)3(22=+-y x 上，如图，当直线处于图中切线位置时，斜率

-x y

最大，最大值为3t an =θ。

四、等价转化法

通过“化复杂为简单、化陌生为熟悉”，将问题等价地转化成便于解决的问题，从而得出正确的结果。

例10 不等式2

>ax x 的解集为（4，b ），则a= ，b= 。解：设t x =，则原不等式可转化为：,02

2<+-t at ∴a > 0，且2与)4(>b b 是方

程0232=+-t at 的两根，由此可得：36,8

==b a 。

例11 不论k 为何实数，直线1+=kx y 与曲线0422222=--+-+a a ax y x 恒有交点，则实数a 的取值范围是。

解：题设条件等价于点（0，1）在圆内或圆上，或等价于点（0，1）到圆

42)(22+=+-a y a x ，∴31≤≤-a 。

例12 函数x x y -+-=3214单调递减区间为。

解：易知.0],3,41

[>∈y x ∵y 与y 2有相同的单调区间，而313441122-+-+=x x y ，

∴可得结果为]3,8

[。

总之，能够多角度思考问题，灵活选择方法，是快速准确地解数学填空题的关键。

五、练习 1 已知函数()1+=x x f ，则()._______

31=-f 讲解由13+=

x ，得

()431==-x f ，应填4.

请思考为什么不必求()x f

-呢？

2．集合??

????

??∈-<≤-=N

x x M x ,2110log 11的真子集的个数是.______

讲解 {}{}

N x x x x M ∈<≤=∈<≤=,10010N x 2,lgx 1，显然集合M 中有90个元素，其真子集的个数是12

-，应填1290-.

快速解答此题需要记住小结论;对于含有n 个元素的有限集合,其真子集的个数是.122

3．若函数()[]b a x x a x y ,,322

∈+-+=的图象关于直线1=x 对称，则._____=b

讲解由已知抛物线的对称轴为2

=a x ,得 4-=a ，而12=+b a ，有6=b ，故应填6. 4．果函数()2

1x x x f +=，那么

()()()()._____4143132121=??

? ??++??? ??++??? ??++f f f f f f f

讲解容易发现()11=??

? ??+t f t f ，这就是我们找出的有用的规律，于是原式＝()2731=

+f ，应填.2

本题是2002年全国高考题，十分有趣的是，2003年上海春考题中也有一道类似题：

设()2

21+=

x f ，利用课本中推导等差数列前n 项和的公式的方法，可求得

()()()()().______650f 45=++???++???+-+-f f f f

5．已知点P ()ααcos ,tan 在第三象限，则角α的终边在第____象限. 讲解由已知得 ??

?<>???

?<<,

0cos ,

0sin ,0cos ,0tan αααα 从而角α的终边在第二象限，故应填二.

6．不等式()

120lg cos 2≥x

（()π,0∈x ）的解集为__________.

讲解注意到120lg >，于是原不等式可变形为 .0cos 0cos 2≥?≥x x 而π<

0π

≤

??∈≤

7．如果函数x a x y 2cos 2sin +=的图象关于直线8

-=x 对称，那么._____=a

讲解 ()?++=2sin 12a y ，其中a =?tan .

=x 是已知函数的对称轴，

282ππ?π+=+??

??-∴k ，

即 Z k k ∈+

=，4

3π

π?，于是 .143tan tan -=??

?+==ππ?k a 故应填 1-. 在解题的过程中，我们用到如下小结论：

函数()?ω+=x A y sin 和()?ω+=x A y cos 的图象关于过最值点且垂直于x 轴的直线分别成轴

对称图形.

8．设复数???

??<<+=24

cos sin 21πθπ

θθz 在复平面上对应向量1OZ ，将1OZ 按顺时针方向

旋转

3π

后得到向量2OZ ，2OZ 对应的复数为()??sin cos 2i r z +=，则.____tan =? 讲解应用复数乘法的几何意义，得 ??

? ?

?-=43sin 43cos

12ππi z z ()()[]i θθθθcos sin 2cos sin 22

++--=，于是，1tan 21

tan 2cos sin 2cos sin 2tan -+=+-=θθθθθθ?

故应填

tan 21

tan 2-+θθ 9．设非零复数y x ,满足 022=++y xy x ，则代数式 2005

2005

???

??++???

? ?

y x y y x x

的值是

____________.

讲解将已知方程变形为 112

=+???

??+???? ??y x y x ，

解这个一元二次方程，得

21ω=±-=i y x 显然有2

1,1ωωω-=+=, 而166832005+?=,于是

原式＝()()

2005

2005200511

1ωωω+++

＝

()

2005

22005

ωωω

＝

.112

=-+ωω

在上述解法中，“两边同除”的手法达到了集中变量的目的，这是减少变元的一个上策，值得重视.

10．已知{}n a 是公差不为零的等差数列，如果n S 是{}n a 的前n 项和，那么

._____lim

=∞

→n

n S na

讲解特别取n a n =，有()2

1+=

n n S n ，于是有

().21

1212lim

lim lim

=+=+=∞

→∞→∞

→n

n n n S na n n n n n 故应填2.

11．列{}n a 中，()?????-=是偶数），（是奇数，

n n a n n n 5

n n a a a S 2212+???++=, 则

.________2lim =∞

→n

n S

讲解分类求和，得

()()，

n n n a a a a a a S 24212312+???++++???++=-

∴815

1152

5115

222lim =--

+-=∞

→n

n S ，故应填81．

12．以下四个命题：

①()；〉

3122≥+n n n

②()；12

26422

≥++=+???+++n n n n ③凸n 边形内角和为()()()；31≥-=n n n f π

④凸n 边形对角线的条数是()()().42

2≥-=

n n n n f

其中满足“假设()0,k k N k k n ≥∈=时命题成立，则当n=k+1时命题也成立’’.但不满足“当0n n =（0n 是题中给定的n 的初始值）时命题成立”的命题序号是 .

讲解 ①当n=3时，13223

+?>，不等式成立；

② 当n=1时，21122

++≠，但假设n=k 时等式成立，则

()()()()211122126422

2++++=++++=++???+++k k k k k k ；

③ ()()π133-≠f ，但假设()()π1-=k k f 成立，则

()()()[]；ππ111-+=+=+k k f k f

④ ()()22444-≠

f ，假设()()2

2-=k k k f 成立，则 ()()()()()[].2

21131-++≠

-+=+k k k k f k f

故应填②③.

13．某商场开展促销活动，设计一种对奖券，号码从000000到999999. 若号码的奇位数字是不同的奇数，偶位数字均为偶数时，为中奖号码，则中奖面（即中奖号码占全部号码的百分比）为 .

讲解中奖号码的排列方法是：奇位数字上排不同的奇数有35P 种方法，偶位数字上排偶数

的方法有3

5，从而中奖号码共有3355?P 种，于是中奖面为

%,75.0%1001000000

35=??P

故应填%.75.0

14． ()

()7

221-+x x 的展开式中3

x 的系数是.__________

讲解由()

()()()7

2221-+-=-+x x x x x

知，所求系数应为()7

2-x 的x 项的系数与3

x 项的系数的和，即有

()()，1008224

67=-+-C C

故应填1008.

15．过长方体一个顶点的三条棱长为3、4、5, 且它的八个顶点都在同一球面上，这个球的表面积是________.

讲解长方体的对角线就是外接球的直径R 2, 即有

(),505434222222

=++==R R

从而 ππ5042

==R S 球，故应填.50π

16．若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积是（只需写出一个可能的值）．

讲解本题是一道很好的开放题，解题的开窍点是：每个面的三条棱是怎样构造的，依据“三角形中两边之和大于第三边”，就可否定｛1，1，2｝，从而得出｛1，1，1｝，｛1，2，2｝，｛2，2，2｝三种形态，再由这三类面构造满足题设条件的四面体，最后计算出这三个四面体的体积分别为：

611,1211 ,1214，故应填.611、1211 、12

14 中的一个即可.

17．如右图，E 、F 分别是正方体的面ADD 1A 1、面BCC 1B 1的中心，则四边形BFD 1E 在该正方体的面上的射影可能是 .（要求：把可能的图的序号都填上）

讲解因为正方体是对称的几何体，所以四边形

BFD 1E 在该正方体的面上的射影可分为：上下、左右、前后三个方向的射影，也就是在面ABCD 、面ABB 1A 1、面ADD 1A 1上的射影.

四边形BFD 1E 在面ABCD 和面ABB 1A 1上的射影相同，如图○

2所示；四边形BFD 1E 在该正方体对角面的ABC 1D 1内，它在面ADD 1A 1上的射影显然是一条线段，如图○

3所示. 故应填○

2○3. 18 直线1-=x y 被抛物线x y 42=截得线段的中点坐标是___________. 讲解由??

?=-=x

y x y 4,

消去y ，化简得 ,0162=+-x x

设此方程二根为21x x ，，所截线段的中点坐标为()00y x ，，则

2132

002

10=-==+=

x y x x x ，

故应填 ()2,3.

19 椭圆

125

2=+y x 上的一点P 到两焦点的距离的乘积为m ，则当m 取最大值时，点P 的坐标是_____________________.

讲解记椭圆的二焦点为21F F ，，有

,10

221==+a PF PF 则知 .2522

2121=???

??+≤?=PF PF PF PF m

显然当521==PF PF ，即点P 位于椭圆的短轴的顶点处时，m 取得最大值25.

○

1 ○

2 ○

3 ○

4 A

D C

E F

A 1

B 1

C 1

D 1

故应填()0,3-或().0,3

20 一只酒杯的轴截面是抛物线的一部分，它的函数解析式是()2002

≤≤=y x y ，在杯内放一个玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径r 的取值范围是___________.

讲解依抛物线的对称性可知，大圆的圆心在y 轴上，并且圆与抛物线切于抛物线的顶点，从而可设大圆的方程为 ().22

2r r y x =-+

由 ()??

??==-+，，22

222x y r r y x 消去x ，得 ()0122=-+y r y （*）解出 0=y 或().12r y -= 要使（*）式有且只有一个实数根0=y ，只要且只需要(),012≤-r 即.1≤r 再结合半径0>r ，故应填.10≤

高考数学填空选择压轴题试题汇编

高考数学填空选择压轴题试题汇编（理科）目录（120题）第一部分函数导数(47题)······································2/23 第二部分解析几何(23题)······································9/29第三部分立体几何（11题）·····································12/31 第四部分三角函数及解三角形（10题）··························14/32 第五部分数列（10题）········································15/33 第六部分概率统计（6题）·····································17/35 第七部分向量（7题）·········································18/36 第八部分排列组合（6题）······································19/37 第九部分不等式（7题）········································20/38

第十部分算法（2 题）··········································21/40 第十一部分交叉部分（2 题）·····································22/40 第十二部分参考答案············································23/40 【说明】：汇编试题来源河南五年高考真题5套；郑州市2011年2012年一模二模三模试题6套；2012年河南省各地市检测试题12套；2012年全国高考文科试题17套。共计40套试题.试题为每套试卷选择题最后两题，填空最后一题。第一部分函数导数 1.【12年新课标】（12）设点P 在曲线1 2 x y e = 上，点Q 在曲线ln(2)y x =上，则||PQ 的最小值为( ) 2.【11年新课标】(12)函数x y -= 11 的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于( ) 3.【10年新课标】（11）()??? ??>+-≤<=10,62 1100,lg x x x x x f ，若c b a ,,均不相等，且 ()()()c f b f a f ==，则abc 的取值范围是（） 4.【09年新课标】（12）用{}c b a ,,m in 表示c b a ,,三个数中的最小值。设 (){}()010,2m in ≥-+=x x x x f ,则()x f 的最大值为( ) 5.【11年郑州一模】12．若定义在R 上的偶函数()(2)()f x f x f x +=满足，且当 [0,1],(),x f x x ∈=时则函数3()log ||y f x x =-的零点个数是( ) A ．多于4个 B ．4个 C ．3个 D ．2个 6.【11年郑州二模】 7.【11年郑州二模】设()x f 是R 上的奇函数，且()01=-f ，当0>x 时， () ()()021'2 <-+x xf x f x ，则不等式()0>x f 的解集为________.

初中数学常见解题秘籍

1、配方法所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。 2、因式分解法因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。 3、换元法换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。 4、判别式法与韦达定理一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c属于R，a≠0）根的判别，△=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。 5、待定系数法在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。它是中学数学中常用的方法之一。 6、构造法

中考数学填空压轴题大全

中考数学填空压轴题大全 LG GROUP system office room 【LGA16H-LGYY-LGUA8Q8-

2017全国各地中考数学压轴题汇编之填空题4 1．（2017贵州六盘水）计算1＋4＋9＋16＋25＋……的前29项的和是．【答案】8555，【解析】由题意可知1＋4＋9＋16＋25＋……的前29项的和即为：12＋22＋32＋42＋52＋…＋292．∵有规律：21(11)(211)116+?+== ，222(21)(221) 1256 +?++==， 2223(31)(231)123146+?+++== ，……，2222(1)(21) 123146 n n n n ++++++==…． ∴222229(291)(2291) 123296 +?+++++= (8555) 2．（2017贵州毕节）观察下列运算过程：计算：1＋2＋22＋…＋210.. 解：设S ＝1＋2＋22＋…＋210,① ①×2得 2S ＝2＋22＋23＋…＋211,② ②－①,得 S ＝211－1. 所以，1＋2＋22＋…＋210＝211－1. 运用上面的计算方法计算：1＋3＋32＋…＋32017＝______________. 【答案】201831 2 -，【解析】设S ＝1＋3＋32＋…＋32017,① ①×3得 3S ＝3＋32＋33＋…＋32018,② ②－①,得 2S ＝32018－1. 所以，1＋3＋32 ＋…＋3 2017 ＝2018312 -.

3．（2017内蒙古赤峰）在平面直角坐标系中，点P （x ，y ）经过某种变换后得到点 P ＇（－y ＋1，x ＋2），我们把点P ＇（－y ＋1，x ＋2）叫做点P （x ，y ）的终结点．已知点P 1的终结点为P 2，点P 2的终结点为P 3，点P 3的终结点为P 4，这样依次得到P 1、P 2、P 3、P 4、…P n 、…，若点P 1的坐标为（2，0），则点P 2017的坐标为．【答案】（2，0），【解析】根据新定义，得P 1（2，0）的终结点为P 2（1，4），P 2（1，4）的终结点为P 3（－3，3），P 3（－3，3）的终结点为P 4（－2，－1），P 4（－2，－1）的终结点为P 5（2，0）， P 5（2，0）的终结点为P 4（1，4），…… 观察发现，4次变换为一循环，2017÷4＝504…余1.故点P 2017的坐标为（2，0）. 4．（2017广西百色）阅读理解：用“十字相乘法”分解因式的方法．（1）二次项系数212=?；（2）常数项3131(3)-=-?=?-，验算：“交叉相乘之和”；（3）发现第③个“交叉相乘之和”的结果1(3)211?-+?=，等于一次项系数－1，即：22(x 1)(2x 3)232323x x x x x +-=-+-=--，则223(x 1)(2x 3)x x --=+-，像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法，仿照以上方法，分解因式：23512x x +-＝______．【答案】（x ＋3）（3x －4）. 【解析】如图． 5．（2017湖北黄石）观察下列各式： …… 按以上规律，写出第n 个式子的计算结果n 为正整数）．（写出最简计算结果即可）【答案】 1 n n +，