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上海大学随机过程第六章习题及答案

第三章习题

1．甲乙两人进行某种比赛，设每局比赛中甲胜的概率为p ，乙胜的概率为q ，平局的概率

为r ，其中,,0,1p q r p q r ≤++=，设每局比赛后，胜者得1分，负者得1-分，平局不记分，当两个人中有一个人得到2分时比赛结束，以n X 表示比赛至第n 局时甲获得的分数，则{,1}n X n ≥是一齐冯马尔可夫链.

（1）写出状态空间；

（2）求一步转移概率矩阵；

（3）求在甲获得1分的情况下，再赛2局甲胜的概率. 解（1）{,0}n X n ≥的状态空间为

{2,1,0,1,2}S =--

（2）{,0}n X n ≥的一步转移概率矩阵为

10000000

0000

1q r

p q r p q r p ????????=????????

P （3）因为两步转移概率矩阵为

(2)

2222

0000

20222020

000

1q rq r pq pr p q rq r pq

pr p q qr pq r p pr ????++????==+??++??????P P

所以在甲获得1分的情况下，再赛2局甲胜的概率为

(2)

12(1)p p pr p r =+=+

2．设{,1,2,}i Y i = 为相互独立的随机变量序列，则（1）{,1,2,}i Y i = 是否为Markov 链？（2）令1

n i

i X Y ==

∑，问{,1,2,}i

X i = 是否为Markov 链？

解（1）由于

11221112211122111221111221(,,,,) (,,,)(,,,)

()()()()

()()

(,,,)

n n n n n n n n n n n P Y i Y i Y i Y j P Y j Y i Y i Y i P Y i Y i Y i P Y i P Y i P Y i P Y j P Y j P Y j Y i P Y i Y i Y i ------=================

========

因此，{,1,2,}n Y n = 是马尔可夫链.

（2）取1111()f U X U ==，当11U i =时，212X U U =+是2U 的函数，记为22().f U 依次类推，1121n n X U U U --=+++ 为1n U -的函数，记为1112(),n n n n f U X U U U --=+++ 为n U 的函数，记为().n n f U 由于12,,,,n U U U 相互独立，则其相应的函数

1122(),(),,(),n n f U f U f U 也相互独立，从而

122111221111112211 (,,,)(,,,)

(,,,)()()

n n i n i n n n n n n P X j X i X i X i P Y j X i X i X i P X Y j X i X i X i P Y j i P X j X i --=---==========+======-===∑

因此{,1,2,}n X n = 是马尔可夫链.

3 设,1,2,i X i = 是相互独立的随机变量，且使得(),0,1,i j P X j a j === ，如果max{,1,2,,1}n i X X i n >=- ，

其中0X =-∞，就称在时刻n 产生了一个记录.若在时刻n 产生了一个记录，就称n X 为记录值，以n R 表示第n 个记录值. （1）证明，{,1,2,}n R n = 是Markov 链，并求其转移概率；

（2）以i T 表示第i 个与第1i +记录之间的时间，问{,1,2,}n T n = 是否是Markov 链，若是，则计算其转移概率.

证明：（a ）根据题意有：k n k n n X R X R X R ===,....,2121，……满足

........21k n n n X X X << 且........121k n n n <<<

故},...,|{11111i R i R i R z R P k k k k k ====--+}...|{111i i i j z R P k k k >>>>==-+ }|{1k k i j z R P >==+}|{1k k k i R z R P ===+ 故}1,{≥i R i 是一个马尔可夫链且

?≤>======++i

j i

j a i X z X P i R z R P j k n n k k k k

k ,0,}|{}|{11 （由于i X 的独立性）

（b ）记i T 为第i 个记录与第1i +个记录之间的时间，i T 是相互独立的随

机变量，因为

{}i P T t =}1...,2,1,,|{k 1-=<=====+++t k i X i X R z X R P i i i n n i t n i 且

}{1z X R P t

n i i ===++=??

?≤>i

j i

j a j ,0,（由于i X 的独立性）故{i T ，1≥i }是一个马尔可夫链令(,),1i i i Z R T i =≥ 则{}111,,,i i i P Z Z Z Z +-…

{}111111(,)(,),(,),,(,)i i i i i i P R t R t R t R t ++--=…

{

}

1111112111111211(,)(,),(,),,(,),(,)i i i t t i t t i t t i t t P X t X t X t X t X t +-+++++++-++=…+?+?+… {

}111111(,)(,)i i t t i t t i P X t X t ++++++=…+?+ {

}111111(,)(,)i i t t i t t i P X z t X i t ++++++===…+?+

,0,j j i

j i

α>?=?

≤? 故}{,(),1i i R T i ≥是一个马尔可夫链。

4考虑一个具有状态0,1,2, 的Markov 链，其转移概率满足,1,11i i i i i p p p +-==-，其中

01p =，请找出为了使该Markov 链正常返，所有的i p 所应该满足的充要条件，并计算其在

这种情况下的转移概率.

解：根据题意知，要满足马尔可夫链为正常返约，当且仅当

πj i y i

P ππ=∑ j =0，1，2...

有一组解j π>0, 1j j

π=∑

根据,1,11i i i i i P P P +-==- ，方程可重写为

011q ππ=

1111,1i i i i i P q i πππ--++=+≥

则

11,0i i i i q P i ππ++=≥

因此010

....,0. (i)

i i P P i q q ππ++=≥

从而，随机游动为正常返约的充要条件是00

(i)

i i P P q q ∞

=+<∞∑

5 捕捉苍蝇的一只蜘蛛依循一个Markov 链在位置1，2之间移动，其初始位置是1，转移矩阵为0.70.30.30.7??

，未觉察到蜘蛛的苍蝇的初始位置是2，并依照转移矩阵为0.40.60.60.4??

???的Markov 链移动，只要它们在同一个位置相遇，蜘蛛就会捉住苍蝇而结束捕捉.

（1）证明：在捕捉的过程中，除非知道它结束的位置，否则都必须用三个状态的Markov 链来描述，其中一个是吸收状态，表示结束捕捉，另外两个代表蜘蛛与苍蝇处在不同位置，对此求转移矩阵；

（2）求在时刻n 蜘蛛与苍蝇都处在各自初始位置的概率；（3）求捕捉过程的平均持续时间.

证明：捕捉过程中，除非知道它结束时的位置，可用三个状态的马尔可夫链来描述，其中一个是吸收状态代表捕捉结束，而另外的两个代表植蜘蛛与苍蝇处在不同的位置，对此链求转移概率矩阵。

求在时刻n 蜘蛛与苍蝇都处于各自的出事位置的概率，捕捉过程的平均持续时间是多少？

解：（1）根据题意可知，在捕捉过程中共有三个状态，我们分别令为1，2，3

则1={蜘蛛为1，苍蝇在2} 2={蜘蛛为2，苍蝇在1} 3={蜘蛛，苍蝇在同一位置}

其中状态3也代表着捕捉结束，则转移概率矩阵为0.280.180.540.180.280.54001??

????

（2）分别设n X ，n Y 代表时刻n 蜘蛛和苍蝇的位置。

令{1,2}n n n P P X Y === '

{2,1

}n n n P P X Y === 则有{1

,2}n n n P P X Y ==== 111{1,2|1,2}n n n n n P X Y X Y P ---====+'111{1,2|1,2}n n n n n P X Y X Y P ---====

=0.281n P -+0.18'1n P -

同理'n P =0.28'1n P -+0.181n P - 且1P =0.28,'1P =0.18

(3)苍蝇被吃掉的概率为P =P {蜘蛛不动，苍蝇动}＋P {苍蝇不动，蜘蛛动} 故P ＝0.7*0.6+0.4*0.3=0.54 故捕捉过程的平均时间为1.85

6 在一个分枝过程中，每个个体的后代个数服从参数为（2，p ）的二项分布，从一个个体开始，计算：（1）灭绝概率；

（2）到第三代群体灭绝的概率；

（3）若开始时不是一个个体，初始的群体总数0Z 是一个随机变量，服从均值为λ的泊松分布，证明：此时对于12

p >

，灭绝概率为2exp{(12)/}p p λ-. 解（a ）设0π=P {灭绝的概率}= 2

{}{j}j p j P X ===∑1灭绝的概率|X

2002(1)j j j j p p j π-=??

=- ???

∑

故有222000(1)2(1)p p p p πππ=-+-+

解得2202

|12|122(1)2p p p p p p π?±-+-+?

===-???

因为p X E 2][=，根据定理4.5.1可知，若P ≤0.5 时，0π=1

P >0.5 时，0π= 2

(1)p p

即201,0.51(),0.5p p p p π≤??

=-?>??

（b ）Ⅱ={第三代群体首次灭绝}=∑=2

1j p {第三代群体首次灭绝|j x =2}}{2j x =

=∑=2

j Ⅱj j j j p p C --22)1(

故Ⅱ=Ⅱ22p +2Ⅱ)1(p p -

（c ）Ⅱ*

=p {群体灭绝}=∑∞

k p {群体灭绝|k Z =0}}{0k Z p =

=∑∞

k p {群体灭绝|k Z =0}

λλ-e k k

=λλπ

-∞

=∑e k k

k k !

=}exp{0λπλ-e =})21(exp{

2p p -λ 7 一辆出租车流动在三个位置之间，当它到达位置1时，然后等可能的去位置2或3.当它到

达位置2时，将以概率1/3到位置1，以概率2/3到位置3.但由位置3总是开往位置1.在位置i 和位置j 之间的平均时间是12132320,30,30t t t ===，且ij ji t t =.求（1）此出租车最近停的位置是i 的（极限）概率是多少？1,2,3i =；（2）此出租车朝位置2开的（极限）概率是多少？（3）有多少比例的时间此出租车从位置2开到位置3?

注意，以上均假定出租车到达一个位置后立即开出.

解：根据题意有12P =1/2，13P =1/2，21P =1/3，23P =2/3，32P =0 12t =21t =20，3113t t ==30，23t =30

(a)

根据123123

213121

1311

21223j i ij i i p ππππππππππππππ++=??

?=+?=??????=??=??

?=+??

∑∑

解得12337314514πππ?=??

=??

?=??

(b)

此出租汽车朝位置2开的极限概率是112332p p ππ+，为3/14

(c)

223233230

1214331312576(3020)(2030)3072143314

j ji ji ij

p t p t ππ??==

?++?+?+?∑

8 转移矩阵称为双随机的，若对于一切j ，

1ij

i p

+∞

==∑，

设一个具有双随机转移矩阵的Markov 链，有n 个状态，且是遍历的，求它的极限概率.

解：由于Markov 链是状态有限的遍历链，极限分布是唯一的平稳分布，满足

121...1,1,2,...,n n j i ij i p j n

πππππ=+++=???

==??

∑ 解得121...n n πππ====

。故极限分布为11

1,,...,n n

n ?? ???。 9．设齐次Markov 链的状态空间为{1,2,3}，一步转移概率矩阵为

1010

01p

p P p p p p -??

?=- ? ?-??

其中，01p <<，问该齐次Markov 链是否是遍历的，若是，则求其极限分布.

解：解记1q p =- ，因为

(2)

222222q pq pq

p q pq

p q pq pq p ??

+??==????+??

P P 并且(2)

的元素都大于零，所以该齐次马尔可夫链是遍历链. 由于齐次马尔可夫链是遍历

链，因而其极限分布就是平稳分布. 设平稳分布为123{,,}ππππ=，求解方程组

123,1πππππ=++=P

即

121132

2331231

q q p q p p ππππππππππππ+=??+=??

+=??++=? 得

11p p q q π=

+ ???

1p q p p q q π=

??++ ???

321p q p p q q π?? ???=??++ ???

所以极限分布为

21,,111p p q q p p p p p p q q q q q q π????

? ?

???=??

??????++++++ ? ? ??????????

10 设一个单细胞生物处于两个状态,A B 之一，处于状态A 的一个个体以指数率α变到状态B ；处于状态B 的一个个体以指数率β分裂成两个新的A 型个体.请为这样的生物群体定义一个合适的连续时间Markov 链，并且确定这个模型的适当的参数.

解：我们以()t X A ，()t X B 分别记t 时刻群体中A 细胞和B 细胞的个数，则链

()(){}0,,≥t t X t X B A 是连续时间马尔可夫链。

且根据题意：处于A 的一个个体以指数率α变到状态B ；处于状态B 的一个个体以指数率β分裂成两个新的A 型个体，则转移率为：

11 设系统的“状态”可建模为两状态的连续时间Markov 链，其转移率为01,v v λμ==.当系统状态是i 时，“事件”按照速率为i α的泊松过程发生，0,1i =.记()N t 为(0,)t 中事件的个数，求（1）()

lim

t N t t

→∞

；（2）如果初始状态是状态0，求(())E N t .

解：()a 假设初始状态处于1并保持1z 时间，然后转到状态0并保持1y 时间；然

后再转到状态1并保持2z 时间，然后再转到状态0并保持2y 时间；这样

循环往复下去，则过程(){}1

,∞

i i y z 构成一交替更新过程。如果初始状态处

于0，那么过程(){}1

,∞

i i y z 构成了一延迟交替更新过程。

设处于状态1时在i z 时间内得到累积报酬为()时间内事件发生的个数在i i z N 处于状态0时，在i y 时间内得到累积报酬为()时间内事件发生的个数在i i y N 设()t M =到t 时刻为止更新的总个数，则有 ()()()t M t M N N N N N N t N ++++++≥ 2211

()()()()()112211++++++++++≤t M t M t M t M N N N N N N N N t N 由交替更新报酬定理知： ()()

N N N N t M t M t ++++∞

→ 11lim

[][]周期长度

的报酬在一个周期内系统得到E E

=μ

λμαλα111

0++=μλλαμα++1

()()m

q n m n m λ=-+1,1,,()()βn q n m n m =-+1,2,,

()()0t

N N lim

t M 1t M t =+++∞

→

故有()μ

λλαμα++=∞→1

0t t t N lim

()b 若系统的初始状态为0，类似()a 的构造知，过程(){}1

,=∞

i z y i i 仍然成为一交

替更新过程。由()a 知 ()=∞

→t t N t lim

[][]

周期长度的报酬在一个周期内系统得到E E =

λλαμα++1

则()[][]数单位时间内发生的事件?=t t N E =

t 1

0μ

λλαμα++

12 设有一质点在1，2，3上作随机跳跃，在时刻t 它位于三点之一，且在[,]t t h +内依概率

0()2

h +分别可以跳到其它两个状态，求转移概率所满足的Kolmogorov 方程. 解：若2,i =则

()(),1,1,11

,1(1)22i i i i i i p h h o h q q ++=

+?== ()()()(),1,1

,12

i i i i p h h o h p h h o h -=+=-+。

类似可得，{}1,2,3i ?∈，（1）式成立。其中当1i =时，13i -=，当3i =时，11i +=，Kolmogorov 向前方程为

()()()()()()

1,,11,11,111

'22

ij jj ij j j i j j i j ij ij i j p q p t q p t q p t p t p t p t ++--+-=-++=-++又3

11ij j p ==∑，故()()()()131

'12

22ij ij ij ij p p t p t p t =-+

-=-+，解得()()()3

102t

t t s ij ij p t e

ds p e ---=+?。

利用初始条件()100ij i j p i j =?=?≠?，解得()32

21233

1133

t ij t

e i j

p t e i j

--?+=??=??-≠??。

13 设{,0}t X t ≥为状态离散连续参数的齐次Markov 链，其状态空间为{1,2,,}m ，且

1,,1,2,,1,ij i j

q i j m m i j

≠?==?

-=? ，求()ij p t .

解：解由题设设知Q 矩阵为

111111111

111m

m m -??

??-??=??

-??

Q 由向前方程得

()d ()1()(), d ij ij ik k j

p t m p t p t i S t

≠=-+∈∑

由

()1m

k p

t ==∑，得

()1()ik

ij k j

t p t ≠=-∑

代入上面的方程，得

()d ()

1()(1())

d =()1,,1,2,,ij ij ij ij p t m p t p t t

mp t i j m

=-+--+= 解之得

(), ,1,2,,mt ij p t Ce i j m m

-=+

= 由初始条件(0)1,(0)0, ii ij p p i j ==≠，所以：

当i j =时，11C m =-；当i j ≠时，1

.C m

=-；

于是

11()1, 1,2,,mt ii p t e i m m m -??

=-+= ???

()(1), ,1,2,,mt ij p t e i j m m

14 已知齐次马尔可夫链的转移概率矩阵

??=031

31P 3

23132????????

?31310 问此马尔可夫链有几个状态？求二步转移概率矩阵. 解因为转移概率矩阵是三阶的, 故此马尔可夫链的状态有三个;

二步转移概率矩阵

2()2()(P p P ij ==

??=0313*******?????????31310 ??0313*******???

??????31310

??=929293949594????????

939292 . 15. 在一串贝努利试验中,事件

A 在每次试验中发生的概率为p

,令

???=发生

次试验第不发生

次试验第A n A n X n ,1,0 , ,3,2,1=n

(1)

},2,1,{ =n X n 是否齐次马尔可夫链？

(2) 写出状态空间和转移概率矩阵; (3) 求n 步转移概率矩阵.

解 (1) 根据题设条件知道

,,,,21n X X X 是相互独立的,

所以 },2,1,{ =n X n 是马尔可夫链,

又转移概率

??=======++1,0,}{}|{1

1j p j q j X P i X j X P n n n

与n

无关,

故

},2,1,{ =n X n 是齐次马尔可夫链;

(2) 状态空间

}1,0{=S ,

一步转移概率矩阵

)

(ij p P = ?

?=q q ??

p p , ?

??========++1,0

,}{}|{1

1j p j q j X P i X j X P p n n n ij .

(3)

n 步移概率矩阵

n ij

n P p

P ==)()

()

( ?

?=q q ??

p p . 16. 从次品率

)10(<

前

次抽查出的次品数,

(1)

},2,1,{ =n X n 是否齐次马尔可夫链？

(2) 写出状态空间和转移概率矩阵;

(3)如果这批产品共有100个,其中混杂了3个次品,作有放回抽样,求在抽查出2个次品的条件下,再抽查2次,共查出3个次品的概率. 解 (1)根据题意知,

},2,1,{ =n X n 是齐次马尔可夫链;

(2) 状态空间

},,,2,1,0{ n S =,

p 是次品率,p q -=1是正品率,

根据题意知

???+>+==<====+1

,01,,,0}|{1

i j i j p i j q i j i X j X P p n n ij , ,,,2,1,0,n j i = ;

(3)次品率

03.0=p ,

所求概率为

)

2(232}2|3{p X X P n n ===+

∑+∞

==0

32k k k p p

++?+?++=000q p p q

0582.097.003.022=??==pq .

17. 独立重复地掷一颗匀称的骰子, 以n X 表示前

n 次掷出的最小点数,

(1)

},2,1,{ =n X n 是否齐次马尔可夫链？

(2) 写出状态空间和转移概率矩阵; (3)求}3|3,3{21===++n n n X X X P ;

(4)求}1{2

=X P .

解 (1) 根据题意知,

},2,1,{ =n X n 是齐次马尔可夫链;

(2)状态空间

}6,5,4,3,2,1{,=S ,

}|{1i X j X P p n n ij ===+

??≥=====+2,01

,1}1|{1

1j j X j X P p n n j ,

????

?????≥======+3,02,6

1,61

}2|{1

2j j j X j X P p n n j

????

?????≥======+4,03,6

2,1,61

}3|{1

3j j j X j X P p n n j ,

????

?????=======+6,5,04,6

3,2,1,61

}4|{1

4j j j X j X P p n n j ,

????

?????=======+6,05,6

4,3,2,1,61

}5|{1

5j j j X j X P p n n j ,

6,,2,1,6

}6|{16 ==

===+j X j X P p n n j ; (3)

}3|3,3{21===++n n n X X X P

}3|3{1===+n n X X P }3,3|3{12===?++n n n X X X P

}3|3{1===

+n n X X P }3|3{12==?++n n X X P

4646433

33=?=?=p p ;

(4) }|1{}{}1{126

i X X P i X P X P i ==?===∑=

361161611616

=?+?=∑=i . 18. 设齐次马尔可夫链

},2,1,0,{ =n X n 的转移概率矩阵为

??=03131P 3

23132????????

?31310 , 且初始概率分布为,3

}{)0(0

===j X P p j 3,2,1=j , (1) 求}3,2,1{321===X X X P ;

(2) 求

}3{2=X P ;

(3) 求平稳分布.

解 (1)

}3,2,1{321===X X X P

}1,2|3{}1|2{}1{123121=======

X X X P X X P X P

}2|3{}1|2{}1{23121======

X X P X X P X P

23121}1{p p X P ??==

1203

110}|1{}{p p j X X P j X P j ??====∑=

23123

10}{p p p j X P j j ??==∑=

4)03131(313132=++??=

;

(2) }3{2

=X P }|3{}{03

20j X X P j X P j ====∑=

)

2(33

}{j j p j X

P ∑===

7)939292(31=++= ;

(3)平稳分布

),,(321p p p 满足方程组

313211

p p p p ++=, 3

231323212p p p p ++=, 3

13103213

p p p p ++=, 1321=++p p p

解之得

,42,41321===p p p .

19. 具有三状态:0,1,2的一维随机游动,以j t X =)(表示时刻t 粒子处在状态

2,1,0(=j j 过程

},,,),({210 t t t t t X =的一步转移概率矩阵

??=0q q P q p 0 ????

?p p 0 ,

(1) 求粒子从状态1经二步、经三步转移回到状态1

的转移概率;

(2) 求过程的平稳分布. 解 (1)

}1)(|1)({2)2(11===+n n t X t X P p

pq pq qp p p

k k k

2012

1=++==

∑=,

??==22

2(q q q P P pq

pq pq 2 ??????+22

p pq p

p ,

??+++==23

33223)

3(2pq q pq q p q q P P q p pq pq qp pq 222

2++ ?????

?++323

2222p q p p q p p

于是

pq t X t X P p n n ====+}1)(|1)({3)

3(11,

(2) 平稳分布

),,(210p p p 满足方程组

02100p q p q p p ++=,

q p p p p p 21010++=,

p p p p p p 21020++=,

1210=++p p p ,

解之得

pq q p -=120 , pq

pq p -=11,pq p p -=122 .

20. 设同型产品装在两个盒内,盒1内有8个一等品和2个二等品,盒2内有6个一等品和4

个二等品.作有放回地随机抽查,每次抽查一个,第一次在盒1内取.取到一等品,继续在盒式内取;取到二等品,继续在2盒内取.以

n X 表示第n 次取到产品的等级数,则

},2,1,{ =n X n 是齐次马尔可夫链.

(1) 写出状态空间和转移概率矩阵;

(2) 恰第3、5、8次取到一等品的概率为多少？ (3) 求过程的平稳分布

解(1)根据题意,

状态空间

}2,1{=S

4108}1|1{111==

===+n n X X P p ,

102}1|2{1

12=====+n n X X P p ,

3106}2|1{121==

===+n n X X P p , 5

2104}2|2{122==

===+n n X X P p , 转移概率矩阵

??=535

4P ?????

?5251 ;

(2) 54}1

{1==X P ,5

}2{1==X P , }1,1,1{853===X X X P

}

1,1|1{}1|1{}1{358353=======X X X P X X P X P

}1|1{}1|1{}1{58353======X X P X X P X P

)

3(11)2(113}1{p p X P ==

)

3(11)2(112

131}|1{}{p p i X X P i X P i ∑=====

)

3(11)2(112

)2(11}{p p p i X P i i ∑===,

??==251825192)2(P P ??????

257256,

??==12593125943)3(P P ???

1253212531,

}1,1,1{853===X X X P

)

3(11)2(112

1)2(11}{p p p i X P i i ∑=== 752.076.0)72.02.076.08.0(???+?=

429783.0= ;

(3) 平稳分布

),(21p p 满足方程组

5421

1p p p +=, 5

51212p p p +=,

121=+p p ,

解之得 4

31=p , 412

=p .

21. []A A ,

-的双极性二进制传输信号{}(),0U t t ≥的码元符号概率为[],q p 。将)(t U 送

入码元幅度取样累加器，累加器输出为{}(),1,2Y n n =，简记为n Y 。试求：（1）画出()Y n 的状态图；

（2）)(n Y 的状态概率)(n k π和[]0≥n Y P ，假定初始分布为等概的；（3）)(n Y 状态转移概率),(n m p ij 和[]

4,3,13108115====Y Y Y Y P 。

解

（1）

将U(t)送入码元幅度取样累加器，则相当于

()()

1,2,()()()(),n

k Y n X k n A

p X k A

q Y n X n A Y n A A ===??

-?∑

其中＝对，如果的取值为,则增加否则减少画出状态转移图为

随机过程-答案

2012-2013学年第一学期统计10本《随机过程》期中考试一. 填空题 1．设马氏链的一步转移概率矩阵()ij P p =，n 步转移矩阵() ()n ij P p =，二者之间的关系为 (n) n P P = 2.状态i 常返的充要条件为( ) n i i n p ∞ ==∑∞。 3.在马氏链{},0n X n ≥中，记() n i j p ={}0,11,n P Xm j m n X j X i ≠≤≤-==，n ≥1. i j p =( ) 1n i j n p ∞ =∑,若i j p <1,称状态i 为。二. 判断题 1. S 是一个可数集，{:0n n X ≥}是取值于S 的一列随机变量，若 ( ) 1 01110011111 1,,...,(,...,)n n n n n n n n n n n n i i S P i X i X i X i P i i -+++--++-?≥?∈X =|====X =|X =并且满足，则{:0n n X ≥}是一个马氏链。 × 2. 任意状态都与它最终到达的状态是互通的，但不与它自己是互通的。 × 3. 一维与二维简单随机游动时常返的，则三维或更高维的简单随机游动也是常返的。× 4. 若状态i ?状态j ，则i 与j 具有相同的周期。 √ 5. 一个有限马尔科夫链中不可能所有的状态都是暂态。 √ 三. 简答题 1．什么是随机过程，随机序列？答：设T 为[0，+∞）或（-∞，+∞），依赖于t(t ∈T)的一族随机变量（或随机向量）{t ξ}通称为随机过程，t 称为时间。当T 为整数集或正整数集时，则一般称为随机序列。 2 .什么是时齐的独立增量过程？

中国科学大学随机过程(孙应飞)复习题及答案

（1）设}0),({≥t t X 是一个实的零均值二阶矩过程，其相关函数为 t s s t B t X s X E ≤-=),()}()({，且是一个周期为T 的函数，即0),()(≥=+τττB T B ，求方差函数)]()([T t X t X D +-。解：由定义，有： )(2)0()0()}()({2)0()0()]} ()()][()({[2)] ([)]([)]()([=-+=+-+=+-+--++=+-T B B B T t X t X E B B T t EX T t X t EX t X E T t X D t X D T t X t X D （2）试证明：如果}0),({≥t t X 是一独立增量过程，且0)0(=X ，那么它必是一个马尔可夫过程。证明：我们要证明： n t t t <<<≤? 210，有 } )()({})(,,)(,)()({11112211----=≤=====≤n n n n n n n x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P 形式上我们有： } )()(,,)(,)({} )()(,,)(,)(,)({} )(,,)(,)({} )(,,)(,)(,)({})(,,)(,)()({1122221111222211112211112211112211--------------========≤= ======≤=====≤n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P 因此，我们只要能证明在已知11)(--=n n x t X 条件下，)(n t X 与2 ,,2,1,)(-=n j t X j 相互独立即可。由独立增量过程的定义可知，当2,,2,1,1-=<<<-n j t t t a n n j 时，增量 )0()(X t X j -与)()(1--n n t X t X 相互独立，由于在条件11)(--=n n x t X 和0)0(=X 下，即有)(j t X 与1)(--n n x t X 相互独立。由此可知，在11)(--=n n x t X 条件下，)(n t X 与 2,,2,1,)(-=n j t X j 相互独立，结果成立。（3）设随机过程}0,{≥t W t 为零初值（00=W ）的、有平稳增量和独立增量的过程，且对每个0>t ，),(~2t N W t σμ，问过程}0,{≥t W t 是否为正态过程，为什么？解：任取n t t t <<<≤? 210，则有： n k W W W k i t t t i i k ,,2,1][1 1 =-=∑=-

随机过程试题带答案

1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为。 2．设随机过程X(t)=Acos( t+),-t t 则 {(5)6|(3)4}______P X X === 9．更新方程()()()()0t K t H t K t s dF s =+-?解的一般形式为。 10．记()(),0n EX a t M M t μ=≥→∞-→对一切，当时，t +a 。二、证明题（本大题共4道小题，每题8分，共32分） P(BC A)=P(B A)P(C AB)。 1．为it (e -1) e λ。2． 1(sin(t+1)-sin t)2ωω。3． 1 λ 4． Γ 5． 212t,t,;e,e 33?????? 。 6．(n)n P P =。 7．(n) j i ij i I p (n)p p ∈=?∑。 8．6 18e - 9。()()()()0 t K t H t K t s dM s =+-? 10. a μ 2.设{X (t ),t ≥0}是独立增量过程, 且X (0)=0, 证明{X (t ),t ≥0}是一个马尔科夫过程。 3.设{}n X ,n 0≥为马尔科夫链，状态空间为I ，则对任意整数n 0,1

期末随机过程试题及标准答案

《随机过程期末考试卷》 1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为。 2．设随机过程X(t)=Acos( t+),-t t 则 {(5)6|(3)4}______P X X === 9．更新方程()()()()0t K t H t K t s dF s =+-?解的一般形式为。 10．记()(),0n EX a t M M t μ=≥→∞-→对一切，当时，t +a 。二、证明题（本大题共4道小题，每题8分，共32分） 1.设A,B,C 为三个随机事件，证明条件概率的乘法公式： P(BC A)=P(B A)P(C AB)。 2.设{X (t ),t ≥0}是独立增量过程, 且X (0)=0, 证明{X (t ),t ≥0}是一个马尔科夫过程。 3.设{}n X ,n 0≥为马尔科夫链，状态空间为I ，则对任意整数n 0,1

(完整版)北邮研究生概率论与随机过程2012-2013试题及答案

北京邮电大学2012——2013学年第1学期《概率论与随机过程》期末考试试题答案考试注意事项：学生必须将答题内容（包括填空题）做在试题答题纸上，做在试卷纸上一律无效。在答题纸上写上你的班号和选课单上的学号，班内序号! 一. 单项选择题和填空题：（每空3分，共30分） 1.设A 是定义在非空集合Ω上的集代数,则下面正确的是 .A （A ）若A B ∈∈A,A ,则A B -∈A ; （B ）若A A B ∈?A,,则B ∈A ; （C ）若12n A n =∈?A,,,,则 1 n n A ∞=∈A ; （D ）若12n A n =∈?A,,,,且123A A A ??? ,则 1 n n A ∞ =∈A . 2. 设(),ΩF 为一可测空间，P 为定义在其上的有限可加测度，则下面正确的是 .c （A ）若A B ∈∈F,F ,则()()()P A B P A P B -=-；（B ）若12n A n =∈?F,,,,,且123A A A ??? ，则1 li ( )()m n n n n P A A P ∞→∞ ==；（C ）若A B C ∈∈∈F,F,F,，则()()()()P A B C P A P AB P A BC =++；（D ）若12n A n =∈?F,,,,,且,i j A i j A =??=/，1 1 ( )()n n n n P P A A ∞ ∞===∑. 3.设f 为从概率空间(),P ΩF,到Borel 可测空间(),R B 上的实可测函数，表达式为100 0()k A k f kI ω==∑，其中1000 ,, i j n n i j A A A ==??=Ω/=，则fdP Ω=? ；

随机过程习题答案

1、已知X(t)和Y(t)是统计独立的平稳随机过程，且它们的均值分别为mx 和my ，它们的自相关函数分别为Rx()和Ry()。（1）求Z(t)=X(t)Y(t)的自相关函数；（2）求Z(t)=X(t)+Y(t)的自相关函数。答案：（1）[][])()()()()()()(t y t x t y t x E t z t z E R z ττττ++=+= [][] ) ()()()()()()()()(τττττy x z R R t y t y E t x t x E R t y t x =++== ：独立的性质和利用（2）[]()()[])()()()()()()(t y t x t y t x E t z t z E R z +?+++=+=ττττ [])()()()()()()()(t y t y t x t y t y t x t x t x E ττττ+++++++= 仍然利用x(t)和y(t)互相独立的性质：)(2)()(τττy y x x z R m m R R ++= 2、一个RC 低通滤波电路如下图所示。假定输入是均值为0、双边功率谱密度函数为n 0/2 的高斯白噪声。（1）求输出信号的自相关函数和功率谱密度函数；（2）求输出信号的一维概率密度函数。答案：（1）该系统的系统函数为RCs s X s Y s H +==11)()()( 则频率响应为Ω +=ΩjRC j H 11)( 而输入信号x(t)的功率谱密度函数为2 )(0n j P X =Ω 该系统是一个线性移不变系统，所以输出y(t)的功率谱密度函数为： ()2 20212/)()()(Ω+=ΩΩ=ΩRC n j H j P j P X Y 对)(Ωj P Y 求傅里叶反变换，就得到输出的自相关函数： ()??∞ ∞-Ω∞ ∞-ΩΩΩ+=ΩΩ=d e RC n d e j P R j j Y Y ττππτ22012/21)(21)( R C 电压：y(t) 电压：x(t) 电流：i(t)

随机过程试题及答案

一．填空题（每空2分，共20分） 1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为it (e -1) e λ。 2．设随机过程X(t)=Acos( t+),-

【免费下载】第一学期数理统计与随机过程研试题答案

北京工业大学2009-20010学年第一学期期末数理统计与随机过程(研) 课程试卷一、随机抽取某班28名学生的英语考试成绩，算得平均分数为80=x 分，样本标准差8=s 分，若全年级的英语成绩服从正态分布，且平均成绩为85分，问：能否认为该班的英语成绩与全年级学生的英语平均成绩有显著差异（取显著性水平）？050.=α解：这是单个正态总体),(~2σμN X ，方差2σ未知时关于均值μ的假设检验问题，用T 检验法. 解 85:0=μH ，85:1≠μH 选统计量 n s x T /0μ-=已知80=x ，8=s ，n ＝28，850=μ，计算得n s x T /0μ-=31.328/88580=-=查t 分布表，05.0=α，自由度27，临界值.052.2)27(025.0=t 由于，故拒绝0H ，即在显著水平05.0=α下不能认为该班的英语 052.2>T 2622.2>成绩为85分.二、某图书馆每分钟借出的图书数有如下记录:借出图书数 k 0 1 2 3 4 5 6≥7频数 f 8 16 17 10 6 2 1 0试检验每分钟内借出的图书数是否服从泊松分布? （取显著性水平） 050.=α解：由极大似然估计得.2?==x λ在X 服从泊松分布的假设下，X 的所有可能的取值对应分成两两不相交的子集A 0, A 1,…, A 8。则有估计 }{k X P ==i p ? ,7,0,!2}{?2===-k k e k X P k =0?p 三、某公司在为期10年内的年利润表如下：年份 1 2 3 4 5 6 7 8910利润 1.89 2.19 2.06 2.31 2.26 2.39 2.61 2.58 2.82 2.9 通过管线敷设技术，不仅可以解决有设备高中资料试卷相互作用与相互关系，根据生产工艺高中资料试卷要求，对电力保护装置调试技术，电力保护高中资料试卷配置技术是指机

随机过程习题及答案

第二章随机过程分析学习指导 1.1.1 要点随机过程分析的要点主要包括随机过程的概念、分布函数、概率密度函数、数字特征、通信系统中常见的几种重要随机过程的统计特性。 1. 随机过程的概念随机过程是一类随时间作随机变化的过程，它不能用确切的时间函数描述。可从两种不同角度理解：对应不同随机试验结果的时间过程的集合，随机过程是随机变量概念的延伸。 2. 随机过程的分布函数和概率密度函数如果ξ(t )是一个随机过程，则其在时刻t 1取值ξ(t 1)是一个随机变量。ξ(t 1)小于或等于某一数值x 1的概率为P [ ξ(t 1) ≤ x 1 ]，随机过程ξ(t )的一维分布函数为 F 1(x 1, t 1) = P [ξ(t 1) ≤ x 1] (2-1) 如果F 1(x 1, t 1)的偏导数存在，则ξ(t )的一维概率密度函数为 1111111 (,) (, ) (2 - 2)?=?F x t f x t x 对于任意时刻t 1和t 2，把ξ(t 1) ≤ x 1和ξ(t 2) ≤ x 2同时成立的概率 {}212121122(, ; , )(), () (2 - 3)F x x t t P t x t x ξξ=≤≤ 称为随机过程 (t )的二维分布函数。如果 2212122121212 (,;,) (,;,) (2 - 4)F x x t t f x x t t x x ?=??? 存在，则称f 2(x 1, x 2; t 1, t 2)为随机过程 (t )的二维概率密度函数。对于任意时刻t 1，t 2，…，t n ，把 {}n 12n 12n 1122n n ()(),(),,() (2 - 5) =≤≤≤L L L F x x x t t t P t x t x t x ξξξ，，，；，，，称为随机过程 (t )的n 维分布函数。如果 n n 12n 12n n 12n 12n 12n (x )() (2 - 6)?=???L L L L L F x x t t t f x x x t t t x x x ，，，；，，，，，，；，，，存在，则称f n (x 1, x 2, …, x n ; t 1, t 2, …, t n )为随机过程 (t )的n 维概率密度函数。 3. 随机过程的数字特征随机过程的数字特征主要包括均值、方差、自相关函数、协方差函数和互相关函数。随机过程 (t )在任意给定时刻t 的取值 (t )是一个随机变量，其均值为 []1()(, )d (2 - 7)E t xf x t x ξ∞ -∞ =?

随机过程补充例题

随机过程补充例题例题1 设袋中有a 个白球b 个黑球。甲、乙两个赌徒分别有n 元、m 元，他们不知道那一种球多。他们约定：每一次从袋中摸1个球，如果摸到白球甲给乙1元，如果摸到黑球乙给甲1元，直到两个人有一人输光为止。求甲输光的概率。解此问题是著名的具有两个吸收壁的随机游动问题，也叫赌徒输光问题。由题知，甲赢1元的概率为b p a b =+，输1元的概率为 a q a b =+，设n f 为甲输光的概率，t X 表示赌t 次后甲的赌金， inf{:0 }t t t X or X m n τ===+，即τ 表示最终摸球次数。如果 inf{:0 }t t t X or X m n τ===+=Φ（Φ为空集），则令τ=∞。设A =“第一局甲赢”，则()b p A a b = +，()a p A a b = +，且第一局甲赢的条件下(因甲有1n +元)，甲最终输光的概率为1n f +，第一局甲输的条件下(因甲有1n -元)，甲最终输光的概率为1n f -，由全概率公式，得到其次一元二次常系数差分方程与边界条件 11n n n f pf qf +-=+ 01f =，0m n f += 解具有边界条件的差分方程由特征方程 2()p q p q λλ+=+

（1）当q p ≠时，上述方程有解121,q p λλ==，所以差分方程的通解为 212()n q f c c p =+ 代入边界条件得 1()11()n n n m q p f q p +-=- - （2）当q p =时，上述方程有解121λλ==，所以差分方程的通解为 12n f c c n =+ 代入边界条件得 1n n f n m =- + 综合（1）（2）可得 1()11() 1n n m n q p p q q f p n p q n m +? -?- ≠?? -=?? ?-=? +? 若乙有无穷多的赌金，则甲最终输光概率为 () lim 1n jia n m q p q p p f p q →∞ ?>?==??≤? 由上式可知，如果赌徒只有有限的赌金，而其对手有无限的赌金，当其每局赢的概率p 不大于每局输的概率q ，即p q ≤时，

学期数理统计与随机过程(研)试题(答案)

北京工业大学2009-20010学年第一学期期末数理统计与随机过程(研) 课程试卷学号姓名成绩注意：试卷共七道大题，请写明详细解题过程。考试方式：半开卷，考试时只允许看教材《概率论与数理统计》浙江大学盛骤等编第三版（或第二版）高等教育出版社。可以看笔记、作业，但不允许看其它任何打印或复印的资料。考试时允许使用计算器。考试时间120分钟。考试日期：2009年12月31日一、随机抽取某班28名学生的英语考试成绩，算得平均分数为80=x 分，样本标准差8=s 分，若全年级的英语成绩服从正态分布，且平均成绩为85分，问：能否认为该班的英语成绩与全年级学生的英语平均成绩有显著差异（取显著性水平050.=α）？解：这是单个正态总体 ),(~2σμN X ，方差2σ未知时关于均值μ的假设检验问题，用T 检验法. 解 85:0=μH ，85:1≠μH 选统计量 n s x T /0 μ-= 已知80=x ，8=s ，n ＝28，850=μ，计算得n s x T /0μ-= 31 .328/885 80=-= 查t 分布表，05.0=α，自由度27，临界值052.2)27(025.0=t . 由于052.2>T 2622.2>，故拒绝 0H ，即在显著水平05.0=α下不能认为该班的英语成绩为85分.

050.= 解：由极大似然估计得.2?==x λ 在X 服从泊松分布的假设下，X 的所有可能的取值对应分成两两不相交的子集A 0, A 1,…, A 8。则}{k X P =有估计 =i p ?ΛΛ,7,0, !2}{?2 ===-k k e k X P k =0?p

随机过程试题及解答

2016随机过程（A ）解答 1、（15分）设随机过程V t U t X +?=)(，),0(∞∈t ，U ，V 是相互独立服从正态分布(2,9)N 的随机变量。 1) 求)(t X 的一维概率密度函数； 2) 求)(t X 的均值函数、相关函数和协方差函数。 3) 求)(t X 的二维概率密度函数；解：由于U ，V 是相互独立服从正态分布(2,9)N 的随机变量，所以V t U t X +?=)(也服从正态分布，且： {}{}{}{}()()22m t E X t E U t V t E U E V t ==?+=?+=+ {}{}{}{}22()()99D t D X t D U t V t D U D V t ==?+=+=+ 故： (1) )(t X 的一维概率密度函数为：()2 22218(1) (),x t t t f x e x --- += -∞≤≤∞ (2) )(t X 的均值函数为：()22m t t =+；相关函数为： {}{} (,)()()()()R s t E X s X t E U s V U t V =?=?+??+ {}{}{} 22()13()413 st E U s t E U V E V st s t =?++??+=?++?+ 协方差函数为：(,)(,)()()99B s t R s t m s m t st =-?=+ （3）相关系数： (,)s t ρρ== == )(t X 的二维概率密度函数为： 2212222(22)(22)12(1)9(1)4(1),12(,)x s x t s t s t f x x e ρ????-----?? +????-++???????? = 2、（12分）某商店8时开始营业，在8时顾客平均到达率为每小时4人，在12时顾客的平均到达率线性增长到最高峰每小时80人，从12时到15时顾客平均到达率维持不变为每小时80人。问在10:00—14:00之间无顾客到达商店的概率是多少？在10:00—14:00之间到达商店顾客数的数学期望和方差是多少？解：到达商店顾客数服从非齐次泊松过程。将8时至15时平移到0—7时，则顾客的到达速率函数为： 419,04 ()80,47t t t t λ+≤≤?=? <≤? 在10:00—14:00之间到达商店顾客数(6)(2)X X -服从泊松分布，其均值： 6 4 6 2 2 4 (6)(2)()(419)80282m m t dt t dt dt λ-==++=???

随机过程复习试题及答案

2.设{X (t ),t ≥0}是独立增量过程, 且X (0)=0, 证明{X (t ),t ≥0}是一个马尔科夫过程。证明：当12n 0t t t t <<< <<时， 1122n n P(X(t)x X(t )=x ,X(t )=x ,X(t )=x )≤= n n 1122n n P(X(t)-X(t )x-x X(t )-X(0)=x ,X(t )-X(0)=x , X(t )-X(0)=x )≤= n n P(X(t)-X(t )x-x )≤，又因为n n P(X(t)x X(t )=x )=≤n n n n P(X(t)-X(t )x-x X(t )=x )≤= n n P(X(t)-X(t )x-x )≤，故1122n n P(X(t)x X(t )=x ,X(t )=x , X(t )=x )≤=n n P(X(t)x X(t )=x )≤ 3.设{}n X ,n 0≥为马尔科夫链，状态空间为I ，则对任意整数n 0,1

随机过程复习题(含答案)

随机过程复习题一、填空题： 1．对于随机变量序列}{n X 和常数a ，若对于任意0>ε，有 ______}|{|lim =<-∞ >-εa X P n n ，则称}{n X 依概率收敛于a 。 2．设}),({0≥t t X 是泊松过程，且对于任意0 12 ≥>t t ，，则 15 92}6)5(,4)3(,2)1({-??= ===e X X X P , 6 18}4)3(|6)5({-===e X X P 15 3 2 6 2 3 2 92! 23 ! 2)23(! 23 }2)3()5({}2)1()3({}2)0()1({}2)3()5(,2)1()3(,2)0()1({} 6)5(,4)3(,2)1({----??=? ?? ==-=-=-==-=-=-====e e e e X X P X X P X X P X X X X X X P X X X P 6 6 2 18! 26 }2)3()5({}4)3(|6)5({--== =-===e e X X P X X P 3．已知马尔可夫链的状态空间为},,{321=I ，初始分布为),,(4 1 2141， ????? ? ?? ? ????? ??? ?=434 10313131 04341 1)(P ，则167)2(12 =P ，16 1}2,2,1{210= ===X X X P

???????? ? ????? ????=48 3148 1348 436133616367164167165)1()2(2 P P 16 7)2(12= P 16 1314341}2|2{}1|2{}1{}2,1|2{}1|2{}1{} 2,2,1{12010102010210=??=================X X P X X P X P X X X P X X P X P X X X P 4．强度λ的泊松过程的协方差函数),min(),(t s t s C λ= 5．已知平稳过程)(t X 的自相关函数为πττcos )(=X R ， )]()([)(π?δπ?δπω-++=X S 6. 对于平稳过程)(t X ，若)()()(ττX R t X t X >=+<，以概率1成立，则称)(t X 的自相关函数具有各态历经性。 7.已知平稳过程)(t X 的谱密度为2 3)(2 4 2++= ωωω ωS ，则)(t X 的均方值 = 212 1- 222 22 2 11221)2(2 221 1 1 22 )(+??-+?? = +- += ωωωωωS τ τ τ--- = e e R X 2 12 1)(2

2007-2008第一学期数理统计与随机过程(研)试题(解答)

北京工业大学2007-2008学年第一学期期末数理统计与随机过程(研) 课程试题标准答案（仅供参考）一、（10分）已知在正常生产的情况下某种汽车零件的重量（克）服从正态分布 ),(254σN ，在某日生产的零件中抽取10 件，测得重量如下： 54.0 55.1 53.8 54.2 52.1 54.2 55.0 55.8 55.1 55.3 问：该日生产的零件的平均重量是否正常（取显著性水平050.=α）？解：按题意，要检验的假设是 54:0=μH ，因2σ未知，故用-t 检验法，由05.0=α，查t 分布表得临界值2622290250.)(.=t ，由样本值算得 382514654.,.==t x 因为26222.

1255804101145701312680122222222 9 2 2 .)()(==++++++++= -=∑ =i i i i np np f χ 查表得919160502 9.).(=χ 因为9191612552..<=χ, 所以接受0H ，认为X 服从等概率分布. 三、（15分）下表给出了在悬挂不同重量（单位：克）时弹簧的长度（单位：厘米）求y 关于x 的一元线性回归方程，并进行显著性检验. 取显著性水平050.=α，计算结果保留三位小数. 346.9,857.16==y x 根据计算结果可得：（1）回归方程：X Y 1845.0244.6+=∧ ?????? ???? ??? =??-?=-=====??-==?-=244.61845.01187142.6571??1845.0857.454906.83?906.8342.65118717.1186857.4541187 124442x b y a S S b S S xx xy xy xx 于是得

随机过程作业题及参考答案(第一章)

！第一章随机过程基本概念 P39 1. 设随机过程()0cos X t X t ω=，t -∞<<+∞，其中0ω是正常数，而X 是标准正态变量。试求()X t 的一维概率分布。解： 1 当0cos 0t ω=，02 t k π ωπ=+ ，即0112t k πω??= + ??? （k z ∈）时， ()0X t ≡，则(){}01P X t ==. 2 当0cos 0t ω≠，02 t k π ωπ≠+ ，即0112t k πω?? ≠ + ??? （k z ∈）时， ()~01X N ，，()0E X ∴=，()1D X =. ￥ ()[]()00cos cos 0E X t E X t E X t ωω===????. ()[]()22 000cos cos cos D X t D X t D X t t ωωω===????. ()()20~0cos X t N t ω∴，. 则( )2202cos x t f x t ω- = ；. 2. 利用投掷一枚硬币的试验，定义随机过程为 ()cos 2t X t t π?=??，出现正面，出现反面假定“出现正面”和“出现反面”的概率各为 12。试确定()X t 的一维分布函数12F x ?? ???；和()1F x ；，以及二维分布函数12112 F x x ? ? ?? ? ，；，。

】解： 00 11101222 11

随机过程答案-西交大

【第一章】 1.1 证明： ∵1111,,,,,A F F F F ∈ΩΦ∈ΩΩ∈Φ∈Ω-Φ∈ΩΦ∈U 且∴1F 是事件域。 ∵222,,,,c A A F F A F A A ∈Ω∈Ω∈-Φ∈=Ω- ∴22222,,,,c c A F A F A F A F A F ∈-Φ∈-Φ∈Ω-∈Ω-∈ 且2,c c A A A A F ΦΩ=ΩΦΩ∈U U U U U U ∴2F 是事件域。且12F F ∈。∵2ΩΩ∈∴3F Ω∈ ∴3F 是事件域。且23F F ∈∴123,,F F F 皆为事件域且123F F F ∈∈。 1.2 一次投掷三颗均匀骰子可能出现的点数ω为 (),,,,,,,,16,6,6i j k i R j R k R j i k j i j k ∈∈∈≥≥≤≤≤≤ ∴样本空间()6 1= ,,n i j i k j i j k ==≥≥ΩU 事件(){} ,,|,,i j k A i j k ωω==，,,,,,6,16,6i R j R k R j i k j i j k ∈∈∈≥≥≤≤≤≤ 事件域2F Ω= 概率测度 ()()() ,,1P 677i j k A i j = --，,,,,,16,6,6i R j R k R j i k j i j k ∈∈∈≥≥≤≤≤≤

则(),,F P Ω为所求的概率空间。 1.3 证明：（1）由公理可知()0P Φ= （2）有概率测度的可列可加性可得 ()11 n n k k k k P A P A ==??= ???∑∑ （3）∵,,A B F A B ∈? ∴B A F -∈,()A B A -=Φ 由概率测度的可列可加性可得：()()()()P B P A B A P A P B A =+-=+- 即()()()P B A P B P A -=- 有概率测度的非负性可得()()()0P B P A P B A -=-≥，即()()P B P A ≥ （4）若B =Ω,由（3）则有() ()1P A P A =- （5） ∵()()()()121212P A A P A P A P A A +=+- 假设 ()()()()()1 121 1111m m m k k i j i j k m k i j m i j k m k P A P A P A A P A A A P A A A +=≤<≤≤<<≤=??=-+-+- ???∑∑∑K K U 成立，则

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