随机过程部分习题答案
习题2
2.1 设随机过程b t b Vt t X ),,0(,)(+∞∈+=为常数，)1,0(~N V ，求)(t X 的一维概率
密度、均值和相关函数。
解 因)1,0(~N V ，所以1,0==DV EV ，b Vt t X +=)(也服从正态分布，
b b tEV b Vt E t X E =+=+=][)]([ 22][)]([t DV t b Vt D t X D ==+=
所以),(~)(2
t b N t X ，)(t X 的一维概率密度为
),(,21);(2
22)(+∞-∞∈=
--
x e
t
t x f t b x π，),0(+∞∈t
均值函数 b t X E t m X ==)]([)(
相关函数 )])([()]()([),(b Vt b Vs E t X s X E t s R X ++== ][2
2
b btV bsV stV E +++= 2
b st +=
2.2 设随机变量Y 具有概率密度)(y f ，令Yt
e t X -=)(，0,0>>Y t ，求随机过程)(t X 的
一维概率密度及),(),(21t t R t EX X 。 解 对于任意0>t ，Yt
e
t X -=)(是随机变量Y 的函数是随机变量，根据随机变量函数的分
布的求法，}ln {}{})({);(x Yt P x e P x t X P t x F t
Y ≤-=≤=≤=-
)ln (1}ln {1}ln {t
x F t x Y P t x Y P Y --=-≤-=-
≥= 对x 求导得)(t X 的一维概率密度
xt
t x f t x f Y 1
)ln ();(-
=，0>t 均值函数 ?
∞
+--===0
)(][)]([)(dy y f e e E t X E t m yt t
Y X
相关函数
?+∞
+-+---====0
)()
(2121)(][][)]()([),(21212
1
dy y f e e
E e
e
E t X t X E t t R t t y t t Y t Y t Y X
2.3 若从0=t 开始每隔
2
1
秒抛掷一枚均匀的硬币做实验，定义随机过程 ?
??=时刻抛得反面时刻抛得正面
t t t t t X ,2),cos()(π
试求：（1）)(t X 的一维分布函数),1(),2
1
(x F x F 和； （2）)(t X 的二维分布函数),;1,2
1(21x x F ；
（3）)(t X 的均值)1(),(X X m t m ，方差 )1(),(2
2
X X t σσ。 解 （1）2
1
=
t 时，)
1(X 的分布列为
一维分布函数 ????
???≥<≤<=1
,
110,
2
10,0),21(x x x x F 1=
t 时，)1(X 的分布列为
一维分布函数 ????
???≥<≤--<=2
,
121,
211,0),1(x x x x F （2）由于)1(
)21
(X X 与相互独立，所以))1(),1((X X 的分布列为
二维分布函数 ????
????
?≥≥<≤-≥≥<≤<≤-<≤-<<=2
,1,121,12,10,
212
1,10,
4
110,0),;1,21(212121212121x x x x x x x x x x x x F 或或
（3）t t t t t m X +=?+=
)cos(21
221)cos(21)(ππ 2
1
)1(=X m
22
2222])cos(2
1[)2(21)(cos 21)]([)]([)(t t t t t EX t X E t X +-+=-=ππσ
)cos()(cos 412)(cos 212
222t t t t t t πππ---+=
)cos()(cos 412
2t t t t ππ-+=
2])cos(21
[t t -=π
4
9)1(2
=X σ
2.4 设有随机过程)sin()cos()(t B t A t X ωω+=，其中ω为常数，B A ,是相互独立且服从正态分布),0(2
σN 的随机变量，求随机过程的均值和相关函数。
解 因B A ,独立，),0(~2
σN A ，),0(~2
σN B
所以，2
][][,0][][σ====B D A D B E A E 均值 )]sin()cos([)]([)(t B t A E t X E t m X ωω+==
0][)sin(][)cos(
=+=B E t A E t ωω 相关函数
[]))sin()cos())(sin()cos(()]()([),(22112121t B t A t B t A E t X t X E t t R X ωωωω++== []
1221212212sin cos sin cos sin sin cos cos t t AB t t AB t t B t t A E ωωωωωωωω+++= ][sin sin ][cos cos 221221B E t t A E t t ωωωω+=
)sin sin cos (cos 21212t t t t ωωωωσ+= )(cos 212t t -=ωσ
2.5 已知随机过程)(t X 的均值函数)(t m X 和协方差函数)(),
,(21t t t B X ?为普通函数，令
)()()(t t X t Y ?+=，求随机过程)(t Y 均值和协方差函数。
解 均值 )()()()]([)]()([)]([)(t t m t t X E t t X E t Y E t m X Y ???+=+=+== 协方差 )()(),(),(212121t m t m t t R t t C Y Y Y Y -= )()()]()([2121t m t m t Y t Y E Y Y -=
[])]()()][()([)()()(()((22112211t t m t t m t t X t t X E X X ????++-++= )()()]()([2121t m t m t X t X E X X -= 其它项都约掉了 )()(),(2121t m t m t t R X X X -= ),(21t t C X =
2.6 设随机过程)sin()(Θ+=t A t X ω，其中ω,A 是常数，Θ在),(ππ+-上服从均匀分布，令 )()(2
t X t Y =，求),(τ+t t R Y 和),(τ+t t R XY 。 解 )]()([)]()([),(2
2
τττ+=+=+t X t X E t Y t Y E t t R Y
[]
)
(sin )(sin 2222Θ++Θ+=ωτωωt A t A E []))222cos(1))(22cos(1(4
2Θ++-Θ+-=ωτωωt t E A [])222cos()22cos()222cos()22cos(14
2Θ++-Θ+-Θ++Θ++=ωτωωωτωωt t t t E A 而 0)22sin(41)22cos(21)]22[cos(=+=+=
Θ+--
?πππ
π
θωπ
θθωπωt d t t E 同理 []0)222cos(=Θ++ωτωt E 利用三角积化和差公式
[])222cos()22cos(Θ++Θ+ωτωωt t E
[])424cos()2cos(21
Θ+++=
ωτωτωt E ωτ2cos 2
1
= 所以，]2cos 2
1
1[4),(2ωττ+=+A t t R Y )]()([)]()([),(2τττ+=+=+t X t X E t Y t X E t t R XY )](sin )sin([22Θ++Θ+=ωτωωt A t A E
))]222cos(1)([sin(23
Θ++-Θ+=ωτωωt t E A )]222cos()sin()[sin(23Θ++Θ+-Θ+=ωτωωωt t t E A )]323sin()2sin()sin(2[4
3Θ++-Θ++-Θ+=ωτωωτωωt t t E A 而 0)sin(1
)]sin(2[=+=
Θ+?-
θθωπ
ωπ
πd t t E
同理 0)]323[sin(,0)]2[sin(=Θ++=Θ++ωτωωτωt E t E
所以，0),(=+τt t R XY
2.7 设随机过程2
)(Zt Yt X t X ++=，其中Z Y X ,,是相互独立的随机变量，且具有均值为零，方差为1，求随机过程)(t X 的协方差函数。 解 根据题意，1,0222
=========EZ DZ EY DY EX
DX EZ EY EX
0][)]([)(22=++=++==EZ t tEY EX Zt Yt X E t X E t m X
)]()()][()([),(221121t m t X t m t X E t t C X X X --=
)])([()]()([22221121Zt Yt X Zt Yt X E t X t X E ++++==
因Z Y X ,,相互独立，均值为零，所以上面交叉乘积项数学期望为零
2221212222122121t t t t EZ t t EY t t EX ++=++=
2.8 设)(t X 为实随机过程，x 为任意实数，令
??
?>≤=x
t X x
t X t Y )(,0)(,1)(
证明随机过程)(t Y 的均值函数和相关函数分别为)(t X 的一维和二维分布函数。 证明 })({0})({1)]([)(x t X P x t X P t Y E t m Y >?+≤?== );(})({t x F x t X P X =≤=
))(),((21t Y t Y 的取值为)0,0(),1,0(),0,1(),1,1(
})(,)({11)]()([),(22112121x t X x t X P t Y t Y E t t R Y ≤≤??== })(,)({012211x t X x t X P >≤??+ })(,)({102211x t X x t X P ≤>??+ })(,)({002211x t X x t X P >>??+ ),;,(})(,)({21212211t t x x F x t X x t X P X =≤≤=
2.9 设)(t f 是一个周期为T 的周期函数，随机变量Y 在（0，T ）上均匀分布，令
)()(Y t f t X -=，求证随机过程)(t X 满足
?+=
+T
dt t f t f T t X t X E 0
)()(1)]()([ττ 证明 Y 的密度函数为 ?????∈=其它
,
0),0(,
1)(T y T
y f Y
)]()([)]()([Y t f Y t f E t X t X E -+-=+ττ ?
∞
+∞
--+-=dy y f y t f y t f Y )()()(τ
?-+-=
T
dy y t f y t f T 0)()(1τ ?-+-=-T
t t du u f u f T u y t )()(1τ ?-+=t
T t du u f u f T )()(1τ
?+=T
du u f u f T 0
)()(1τ 2.13 设}0),({≥t t X 是正交增量过程，V X ,0)0(=是标准正态随机变量，若对任意的
≥
t，V
t
X与
)(相互独立，令V
t
X
t
Y+
=)(
)(，求随机过程}0
),
(
{≥
t
t
Y的协方差函数。解因)
(t
X是正交增量过程，)1,0(
~N
V，所以1
]
[
,0
]
[
,0
)]
(
[=
=
=V
D
V
E
t
X
E，
有0
]
[
)]
(
[
]
)
(
[
)]
(
[=
+
=
+
=
=V
E
t
X
E
V
t
X
E
t
Y
E
m
Y
)]
(
)
(
)][
(
)
(
[
)
,
(
2
2
1
1
2
1
t
m
t
Y
t
m
t
Y
E
t
t
C
Y
Y
Y
-
-
=
)]
)
(
)(
)
(
[(
)]
(
)
(
[
2
1
2
1
V
t
X
V
t
X
E
t
Y
t
Y
E+
+
=
=
]
)
(
[
]
)
(
[
]
[
)]
(
)
(
[
2
1
2
2
1
V
t
X
E
V
t
X
E
V
E
t
X
t
X
E+
+
+
=
（因V
t
X与
)
(独立，0
]
[
,0
)]
(
[=
=V
E
t
X
E）
]
[
)]
(
)
(
[2
2
1
V
E
t
X
t
X
E+
=1
)]
,
[min(
2
1
2+
=t
t
X
σ（利用正交增量过程的结论）
习题4
4.1 设质点在区间[0，4]的整数点做随机游动，到达0点或4点后以概率1停留在原处，在
其它整数点分别以概率
3
1
向左、向右移动一格或停留在原处，求质点随机游动的一步和二步转移概率矩阵。
解转移概率如图
一步概率转移矩阵为
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
=
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
1
P
二步转移概率矩阵为
?????????? ??=10
00
31313100031313100031313100001P (2)
?????????? ??10
00
31313100031313100031313100001?????????
? ??=10
000
949292910919293929109192929
400001 4.2 独立地重复抛掷一枚硬币，每次抛掷出现正面的概率为p ，对于2≥n ，令
32,1,0或=n X ，这些值分别对应于第n-1次和第n 次抛掷的结果为（正，正），（正，反），
（反，正），（反，反），求马尔可夫链},2,1,0,{ =n X n 的一步和二步转移概率矩阵。 解 对应状态为 正，正）(0?，?1（正，反），?2（反，正），?3（反，反）
p P p ==}{(00（正，正）正，正），q P p ==}{(01（正，正）正，反） 0}{(20==（正，正）反，正）P p （不可能事件） 0}{(30==（正，正）反，反）P p （不可能事件）
同理可得下面概率
0}{(10==（正，反）正，正）P p ，0}{(11==（正，反）正，反）P p p P p ==}{(12（正，反）反，正），q P p ==}{(13（正，反）反，反） p P p ==}{(20（反，正）正，正），q P p ==}{(21（反，正）正，反） 0}{(22==（反，正）反，正）P p ，0}{(23==（反，正）反，反）P p 0}{(30==（反，反）正，正）P p ，0}{(31==（反，反）正，反）P p p P p ==}{(32（反，反）反，正），q P p ==}{(33（反，反）反，反）
一步转移概率矩阵为
???
?
??
?
?
?=q p q p q p q p
0000000
P
二步转移概率矩阵为
???
???? ?
?=q p q p q p q p 0
0000000
P (2)
??????? ?
?q p q p q p q p
00
00000
??
??
??
?
??=22222
2
22q pq pq
p q pq pq p q pq pq
p
q pq pq p 4.4设}1,{≥n X n 为有限齐次马尔可夫链，其初始分布和转移概率矩阵为 4,3,2,1,4
1
}{0==
==i i X P p i ??????????
? ??=414
14141834181414141414141414141P 试证 }414{}41,14{12102<<=≠<<==X X P X X X P
解 根据条件概率的定义及马尔可夫链的有限维分布的结论定理4.3，有
}
41,1{}
4,41,1{}41,14{10210102<<==<<==
<<==X X P X X X P X X X P
}
3,1{}2,1{}
4,3,1{}4,2,1{1010210210==+=====+====
X X P X X P X X X P X X X P
165
4
141414183414141414113
112134
13124121=?+??
?+??=++=
p p p p p p p p p p
同理有
}414{12<<=X X P }
41{}
4,41{121<<=<<=
X P X X P
}
3{}2{}
4,3{}4,2{112121====+===
X p X P X X P X X p
43
433323213142432322212134
43434333342323413124424243232422224121p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p ++++++++++++++=
4
1414141414141414141814141414141834141834141834141834141414141418141414141414141?+?+?+?+?+?+?+???+??+??+??+??+??+??+??=
6019
151********
8327128121287=??=++
=
所以，}414{}41,14{12102<<=≠<<==X X P X X X P 4.5 设}),({T t t X ∈为随机过程，且
),(,),(),(2211n n t X X t X X t X X === 为独立同分布随机变量序列，令
2,,)(,011110≥=+===-n X cY Y X t Y Y Y n n n
试证：}0,{≥n Y n 是马尔可夫链。
证明 只要证明}0,{≥n Y n 满足无后效性，即
}{},,,0{1111011n n n n n n n n i Y i Y P i Y i Y Y i Y P =======++++ 即可。
根据题意，1--=n n n CY X Y ，由此知n Y 是),,,(21n X X X 的函数，因为
,,,,21n X X X 是相互独立的随机变量，所以，对任意的n ，1+n X 与 ,,,,,210n Y Y Y Y 相互独立。从而
},,,0{11011n n n n i Y i Y Y i Y P ====++
},,,0{11011n n n n n n i Y i Y Y Ci i CY Y P ===+=+=++ （因n n i Y =） },,,0{11011n n n n n i Y i Y Y Ci i X P ===+==++
}{11n n n Ci i X P +==++ （因1+n X 与 ,,,,,210n Y Y Y Y 独立，条件概率等于无条件概率）
}{11n n n n n i Y i Ci X P ==-=++ }{11n n n n i Y i Y P ===++
4.6 已知随机游动的转移概率矩阵为
???
?
?
??=5.005.05.05.0005.05.0P
求三步转移概率矩阵)
3(P
及当初始分布为
1}3{,0}2{}1{000======X P X P X P
时，经三步转移后处于状态3的概率。 解 ????? ??=5.005.05.05.0005.05.0P
(2)
????? ??5.005.05.05.0005.05.0?
????
?
?=25.025.05.05.025.025.025.05.025.0 ????? ??=25.025.05.05.025.025.025.05.025.0P )
3(????? ??5.005.05.05.0005.05.0?????
?
?=25.0375.0375.0375.025.0375.0375.0375.025.0 ()()25.0375.0375.025.0375.0375.0375.025.0375.0375.0375.025.0100)3(P T
=????
?
??=
所以，25.0)3(3=p
4.7 已知本月销售状态的初始分布和转移概率矩阵如下
（1）?????
??==6.02.02.02.07.01.01.01.08.0P ),4.0,2.0,4.0()0(P T
（2）??
??
?
?
?
?
?==6.02.01.01.02.06.01.01.01.02.06.01.01.01.01.07
.0P ),3.0,3.0,2.0,2.0()0(P T
求下一、二个月的销售状态。
解 （1）()()32.026.042.06.02.02.02.07.01.01.01.08.00.40.20.4P )0(P )1(P T
T =????? ??==
????? ??=6.02.02.02.07.01.01.01.08.0P 2）
（????? ??6.02.02.02.07.01.01.01.08.0?????
?
?=0.420.280.30.270.540.190.160.170.67
()()286.0288.00.4260.420.280.30.270.540.190.160.170.670.40.20.4P )0(P )2(P 2T T =?????
??==）
（
（2）()??
?
?
?
?
?
?
?==6.02.01.01.02.06.01.01.01.02.06.01.01.01.01.07
.03.03.02.02.0P )0(P )1(P T
T
()28.03.02.022
.0=
??
?
??
??
??=6.02.01.01.02.06.01.01.01.02.06.01.01.01.01.07.0P 2）
（??????? ??6.02.01.01.02.06.01.01.01.02.06.01.01.01.01.07
.0??
??
?
?
?
??=0.420.270.150.160.260.430.150.160.170.270.4
0.160.160.170.15
0.52 ==）
（2T T P )0(P )2(P ??????
?
??0.420.270.150.160.260.430.150.160.170.270.40.160.160.170.150.52)3.0,3.0,2.0,2.0(
()0.270.298
0.20.232
=
4.8 某商品六年共24个季度销售记录如下表（状态1—畅销，状态2—滞销）
以频率估计概率，求（1）销售状态的初始分布，（2）三步转移概率矩阵及三步转移后的销售状态的分布。
解 状态1的个数为15个，状态2的个数为9个 （1）所以，销售状态的初始分布为 ??
?
??=2492415)0(P T
()275.0625.0=
（2）求一步转移概率
状态11→共有7个，状态21→共有7个， 状态12→共有7个，状态22→共有2个， 所以，21147,2
11471211==
==
p p ，9
2
,9
72221=
=p p 一步转移概率矩阵为
?????
? ??=92972121P ， ??????
??=92972121P (2)?????? ??929
72121?????
? ??=?????? ???+??+??+??+?=16271162913613362392922197979221979221212197212121 三步转移概率矩阵为
??
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
=
9
2
9
7
2
1
2
1
162
71
162
91
36
13
36
23
P(3)
??
?
?
?
?
=
??
?
?
?
?
?
?
=
??
?
?
?
?
?
?
?
?
+
?
?
+
?
+
?
?
+
=
38
.0
62
.0
4.0
6.0
2916
1103
2916
1813
648
259
648
389
9
162
2
71
324
91
9
162
7
71
324
91
9
36
26
72
23
9
36
7
13
72
23
三步转移后的销售状态分布为
()()
0.39
0.61
0.38
0.62
0.4
0.6
0.375
0.625
P)0(
P
)3(
P3
T
T=
??
?
?
?
?
=
=）
（
4.9 设老鼠在如图所示的迷宫中作随机游动，当它处在某个方格中有k条通道时，以概率
k
1随机通过任一通道，求老鼠作随机游动的状态空间、转移概率矩阵。
解状态空间为}9,
,3,2,1{
=
I
转移概率矩阵为
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
3
1
3
1
3
1
2
1
2
1
1
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
习题6
6.1 设有随机过程)
cos(
)
(Θ
+
=t
t
Xω，其中0
>
ω为常数，Θ是在区间)
2,0(π上服从均
匀分布的随机变量，问)(t X 是否为平稳过程。 解 )][cos()]([Θ+=t E t X E ω021
)
cos(20
=+=
?
π
θπ
θωd t )]cos()[cos()]()([),(Θ++Θ+=+=+ωτωωττt t E t X t X E t t R X
?+++=π
θπ
θωτωθω20
21
)
cos()cos(d t t ?+++=
π
θθωτωωτπ20)]22cos([cos 41d t ωτcos 2
1
=， 与t 无关 ∞<==2
1)0()(2
X R t X E
所以)(t X 是平稳过程。
6.2设有随机过程)cos()(t A t X π=，其中A 是均值为零、方差为2
σ的正态随机变量，求： （1）)4
1
()1(X X 和的概率密度； （2）)(t X 是否为平稳过程。
解 （1）因正态随机变量的线性函数仍为正态随机变量，对任意t ，)(t X 服从正态分布。
A X A X 2
2
)41(,)1(=-=，
2][)]1([,0][)]1([σ==-==-=DA A D X D A E X E
2
21]22[)]41([,0]22[)]41([2
σ=====DA A D X D A E X E
所以)1(X 的概率密度为
2
2221);1(σσ
πx e
x f -
=
， +∞<<∞-x
)4
1
(X 的概率密度为 2
2
1
);4
1(σπ
x e
x f -
=
， +∞<<∞-x
（2）)]cos()cos([),(πτππτ+=+t A t A E t t R X
)cos()cos(][)cos()cos(22πτπωσπτπω+=+=t t A E t t ，与t 有关
所以，)(t X 不是平稳过程。
6.3 设有随机过程)cos()(Θ+=t A t X ω，其中A 是服从瑞利分布的随机变量，其概率密
度为 ??
???≤>-=0,00
},2exp{)(22
2x x x x x f σ
σ Θ是在)2,0(π上服从均匀分布且与A 相互独立的随机变量，ω为常数，问)(t X 是否为平
稳过程。
解 先求出瑞利分布A 的数学期望和2
A 的数学期望，
??∞+∞
+---=-?=022
222220
)2(}2ex p{}2ex p{σ
σσσx d x x dx x x
x EA
?
∞+--=0
2
2
}2ex p{σ
x xd ?∞+∞+-+--=02
2
022}2ex p{}2ex p{dx x x x σσ
?
?∞+∞
--
∞
+∞-=-=
dx e
dx x
x 2
222
2
2
212
2}2exp{21σσ
πσ
πσ
σπ
σπ2
22==
??
∞+∞
+-=-?=0222222
2
2220
2
2
)2(}2ex p{22}2ex p{σσσσσσx d x x dx x x
x EA 20
22
2
222σσσ==
?
∞
+-dy ye x y y 令
)][cos()]cos([)]([Θ+?=Θ+=t E EA t A E t X E ωω 021
)
cos(2
20
=+?=
?π
θπ
θωσπ
d t )]cos()cos([)]()([),(Θ++Θ+=+=+ωτωωττt A t A E t X t X E t t R X )]cos()[cos(2Θ++Θ+?=ωτωωt A t E EA
)]22cos()[cos(21
22Θ+++?=ωτωωτσt E
?+++=πθπ
θωτωτωσ20221)]22cos()[cos(d t
)cos(2ωτσ= 与t 无关
∞<==22
)0()(σX R t X E
所以，)(t X 是平稳过程。
6.4设有随机过程)()(Θ+=t f t X ，其中)(x f 是周期为T 的实值连续函数，Θ是在（0，T ）上服从均匀分布的随机变量，证明)(t X 是平稳过程并求相关函数)(τX R 。
解 ???==++=+T
T t t T
dy y f T dy y f T y t d T t f t X E 0
0)(1)(11)()]([θθθ令，为常数
?+++=+=+T X d T
t f t f t X t X E t t R 01
)()()]()([),(θθτθττ
??+=+=+T
T t t dy y f y f T dy y f y f T 0
)()(1)()(1ττ， 与t 无关 ∞<==?T X dy y f T R t X E 0
22
)(1)0()(
所以，)(t X 是平稳过程。
?+=
T
X dy y f y f T
R 0)()(1)(ττ 6.5 设)()(t Y t X 和是平稳过程，且相互独立，求)()()(t Y t X t Z =的相关函数，)(t Z 是否为平稳过程。
解 因)()(t Y t X 和是平稳过程，它们的均值是常数、相关函数与t 无关是τ的函数，又相互独立。
所以，Y X m m t Y E t X E t Y t X E t Z E ===)]([)]([)]()([)]([ 是常数
)]()()()([),(τττ++=+t Y t X t Y t X E t t R Z )]()()()([ττ+?+=t Y t Y t X t X E
)]()([)()([ττ+?+=t Y t Y E t X t X E
)()(ττY X R R = 与t 无关
∞<==)0()0()0()(2
Y X Z R R R t Z E
所以，)(t Z 是平稳过程。
6.13 设正态随机过程具有均值为零，相关函数为2
6)(τ
τ-
=e
R X ，求给定t 时的随机变量
)3(),2(),1(),(+++t X t X t X t X 的协方差矩阵。
解 因)(t X 是正态过程，且均值为零，相关函数2
6)(τ
τ-
=e
R X 与t 无关，所以)(t X 是平
稳过程，则对任意给定的t ，))3(),2(),1(),((+++t X t X t X t X 服从正态分布，
),())(),((ττ+=+t t C t X t X Cov X
2
26)(),(τ
ττ-
==-+=e R m t t R X X
X ，3,2,1,0=τ
所以，6)0(),(==X X R t t C ，216)1()1,(-==+e
R t t C X X ， 1
6)2()2,(-==+e R t t C X X ，2
36)3()3,(-
==+e
R t t C X X
同理 ),1())(),1((ττ++=++t t C t X t X Cov X
2
1
2
6)1(),1(--
=-=-++=τττe
R m t t R X X X ，3,2,1,0=τ
所以，
2
16),1(-
=+e
t t C X ，6)1,1(=++t t C X ，2
1
6)2,1(-
=++e
t t C X ，1
6)3,1(-=++e t t C X
2
2
6),2())(),2((--
=++=++τττe
t t C t X t X Cov X ，3,2,1,0=τ
1
6),2(-=+e t t C X ，
2
16)1,2(-
=++e t t C X ，
6)2,2(=++t t C X ，2
1
6)3,2(-=++e t t C X
2
3
6),3())(),3((--
=++=++τττe
t t C t X t X Cov X ，3,2,1,0=τ
2
3
6),3(-=+e
t t C X ，1
6)1,3(-=++e t t C X ，2
16)2,3(-=++e t t C X ，
6)3,3(=++t t C X 所以协方差矩阵为
?
?????
? ??++++++++++++++++++++++++)3,3()2,3()1,3(),3()3,2()2,2()1,2(),2()3,1()2,1()1,1(),1()3,()2,()1,()
,(t t C t t C t t C t t C t t C t t C t t C t t C t t C t t C t t C t t C t t C t t C t t C t t C X X X X X
X X X X X X X X X X X
??
?????? ??=-
-------
--
--
666666
66666666662
11
23212111
2
12
1
2
312
1e
e
e
e e
e e e e e
e e 6.15 设随机过程)cos()(Φ+=t a t X ω和)sin()(Φ+=t b t Y ω是单独且联合平稳随机过程，其中ω,,b a 为常数，Φ是在),0(π上服从均匀分布的随机变量，求)(τXY R 和)(τYX R 。 解 )]sin()cos([)]()([)(Φ++Φ+=+=ωτωωττt b t a E t Y t X E R XY
)]22sin([sin 2Φ+++=
ωτωωτt E ab
?+++=π?π?ωτωωτ01)]22sin([sin 2d t ab ωτsin 2ab = 因 )()(ττ-=YX XY R R 所以 )sin(2
)sin(2)()(ωτωτττab
ab R R XY YX -=-=-=
习题7
7.2 设平稳过程)(t X 的相关函数τ
τa X e R -=)(，求)(t X 的谱密度。
解 ??
+∞
∞
---+∞
∞
--==τττωωττ
ωτ
d e e
d e
R S j a j X X )()(
??
+∞
+-∞
--+=0)(0
)(τττωτωd e d e j a j a
∞++-∞
--+-
-=
)(0)(1
1
τ
ωτ
ωω
ω
j a j a e j a e j a
2
2211ωωω+=++-=
a a
j a j a
7.3 设有平稳过程)cos()(0Θ+=t a t X ω，其中0,ωa 为常数，Θ是在),(ππ-上服从均匀分布的随机变量，求)(t X 的谱密度。
解 Θ的概率密度为 ?????-∈=其它,
0)
,(,21
)(ππθπθf
)]cos()cos([)]()([)(000Θ++Θ+=+=τωωωττt a t a E t X t X E R X
θπ
θτωωθωπ
π
d t t a
21
)
cos()cos(0002
?-+++= ?-
+++=π
πθθτωωτωπ
d t a )]22cos([cos 40
2
τω02cos 2a = ??∞
+∞--∞
+∞--==ττωττωωτωτ
d e a d e
R S j j X X 02
cos 2
)()(
?
∞
+∞
---+=τωττωτωd e e e a j j j ][4002
?
∞
+∞
-+---+=ττωωτωωd e e a j j ][4
)()(200
)](2)(2[4
002ωωπδωωπδ++-=a 7.4 已知平稳过程的相关函数)3cos()cos(4)(πτπτττ
+=-e R X ，求谱密度)(ωX S 。
解 ??
+∞
∞
---+∞
∞
--+==
τπτπτττωωττ
ωτ
d e e
d e
R S j j X X )]3cos()cos(4[)()(
??
?+∞∞
--∞
+---∞---++++=τπτττωτωτπτπττωτπτπττd e d e e e e d e e e e j j j j j j j )3cos(][2][20
?
?∞+++--+-∞
-+---+++=0
)](1[)](1[0
)](1[)](1[][2][2τ
ττπωτπωτ
πωτ
πωd e e d e
e
j j j j
?+∞
∞--+τπτωτd e j )3cos(
])
(11
)(11[2])(11)(11[2πωπωπωπω+++-+++-+--=j j j j
)]3()3([πωδπωδπ++-+
])(11
)(11[
42
2πωπω+++-+=)]3()3([πωδπωδπ++-+
7.6 当平稳过程通过如图所示的系统时，证明输出)
(t
Y的谱密度为
))
cos(
1
)(
(
2
)
(T
S
S
X
Y
ω
ω
ω+
=。
证明[]))
(
)
(
()
(
)
(
)]
(
)
(
[
)
(T
t
X
t
X
T
t
X
t
X
E
t
Y
t
Y
E
R
Y
-
+
+
+
-
+
=
+
=τ
τ
τ
τ
)]
(
)
(
)
(
)(
)
(
)
(
)
(
)(
[τ
τ
τ
τ+
-
+
-
+
+
+
-
-
+
+
=t
X
T
t
X
T
t
X
t
X
T
t
X
T
t
X
t
X
t
X
E
)
(
)
(
)
(
2T
R
T
R
R
X
X
X
+
+
-
+
=τ
τ
τ
?
?+∞∞--
+∞
∞
-
-+
+
-
+
=
=τ
τ
τ
τ
τ
τ
ωωτ
ωτd
e
T
R
T
R
R
d
e
R
S j
X
X
X
j
Y
Y
)]
(
)
(
)
(
2[
)
(
)
(
?
?+∞∞--
+∞
∞
-
-+
+
-
+
=τ
τ
τ
τ
ωωτ
ωτd
e
T
R
d
e
T
R
S j
X
j
X
X
)
(
)
(
)
(
2
T
j
X
T
j
X
X
e
S
e
S
Sω
ωω
ω
ω)
(
)
(
)
(
2+
+
=-
]
cos
1
)[
(
2T
S
X
ω
ω+
=
7.7 已知平稳过程)
(t
X的谱密度为
??
?
?
?<
≤
=
其它
,0
2
,
)
(0
2ω
ω
ω
ω
c
S
X
，求相关函数)
(τ
X
R。
解?
?=
=+∞
∞
-
22
cos
1
)
(
2
1
)
(ω
ω
ωτω
ωτ
π
ω
ω
π
τd
c
d
e
S
R j
X
X
]
sin
2
[sin
sin
2
2
2
τ
ω
τ
ω
πτ
ωτ
πτ
ω
ω
-
=
=
c
c
7.8 设有平稳过程)
cos(
)
(Φ
+
Θ
=t
a
t
X，其中a为常数，Φ是在)
2,0(π上服从均匀分布的随机变量，Θ是分布密度满足)
(
)
(ω
ω-
=f
f的随机变量，且Φ
Θ与相互独立，求证)
(t
X
的谱密度为)
(
)
(2ω
π
ωf
a
S
X
=。
证明设)
,
(?
ω
f是Θ和Φ的联合分布密度，因Θ和Φ相互独立，所以
)
(
2
1
)
,
(ω
π
?
ωf
f=，π
?
ω2
,<
<
+∞
<
<
∞
-
)]
cos(
)
cos(
[
)]
(
)(
[
)
(Φ
+
Θ
+
Θ
Φ
+
Θ
=
+
=τ
τ
τt
a
t
a
E
t
X
t
X
E
R
X