目录 第一章非线性方程求根 (3) 1.1迭代法 (3) 1.2牛顿法 (4) 1.3弦截法 (5) 1.4二分法 (6) 第二章插值 (7) 2.1线性插值 (7) 2.2二次插值 (8) 2.3拉格朗日插值 (9) 2.4分段线性插值 (10) 2.5分段二次插值 (11) 第三章数值积分 (13) 3.1复化矩形积分法 (13) 3.2复化梯形积分法 (14) 3.3辛普森积分法 (15) 3.4变步长梯形积分法 (16) 第四章线性方程组数值法 (17) 4.1约当消去法 (17) 4.2高斯消去法 (18) 4.3三角分解法 (20)
4.4雅可比迭代法 (21) 4.5高斯—赛德尔迭代法 (23) 第五章常积分方程数值法 (25) 5.1显示欧拉公式法 (25) 5.2欧拉公式预测校正法 (26) 5.3改进欧拉公式法 (27) 5.4四阶龙格—库塔法 (28)
数值计算方法 第一章非线性方程求根 1.1迭代法 程序代码： Private Sub Command1_Click() x0 = Val(InputBox("请输入初始值x0")) ep = Val(InputBox(请输入误差限ep)) f = 0 While f = 0 X1 = (Exp(2 * x0) - x0) / 5 If Abs(X1 - x0) < ep Then Print X1 f = 1 Else x0 = X1 End If Wend End Sub 例：求f(x)=e2x-6x=0在x=0.5附近的根（ep=10-10）
1.2牛顿法 程序代码： Private Sub Command1_Click() b = Val(InputBox("请输入被开方数x0")) ep = Val(InputBox(请输入误差限ep)) f = 0 While f = 0 X1 = x0 - (x0 ^ 2 - b) / (2 * b) If Abs(X1 - x0) < ep Then Print X1 f = 1 Else x0 = X1 End If Wend End Sub 例：求56的值。（ep=10-10）
【 数值计算方法试题一 一、 填空题（每空1分，共17分） 1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（ ）次。 2、迭代格式)2(2 1-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在（ ）。 3、已知?????≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(211 0)(2 33x c x b x a x x x x S 是三次样条函数， 则 a =( )， b =（ ）， c =（ ）。 4、)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数，则 ∑== n k k x l 0)(( )， ∑== n k k j k x l x 0 )(( )，当2≥n 时 = ++∑=)()3(20 4x l x x k k n k k ( )。 ； 5、设1326)(2 47+++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/ ==k k x k 则=],,,[10n x x x f 和=?07 f 。 6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ，5个节点的求积公式最高代数精度为 。 7、{}∞ =0)(k k x ?是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x ?，则?= 1 4)(dx x x ? 。 8、给定方程组?? ?=+-=-2211 21b x ax b ax x ，a 为实数，当a 满足 ，且20<<ω时，SOR 迭代法收敛。 9、解初值问题 00 (,)()y f x y y x y '=?? =?的改进欧拉法 ??? ??++=+=++++)],(),([2),(] 0[111] 0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是 阶方法。
第三章 插值法与最小二乘法 1. 已知下列表值 x 10 11 12 13 lnx 2.3026 2.3979 2.4849 2.5649 用线形插值与二次Lagrange 插值计算ln11.75的近似值，并估计误差。 解：（1）线形插值 说明：当插值点落在被插区间之内，这种方法称为内插法，此时插值精度较好。 x ],12,11[75.11∈=故选择x 0=11,x 1=12,求线形插值函数。 11001y x l y x l x P ?+?=∴）（）（）（ = 10 100101 y x x x x y x x x x ?--+?-- = 4849.211 1211 3979.2121112?--+?--x x =2.4849（x-11）-2.3979（x-12） )1275.11(3979.2)1175.11(4849.2)75.11(75.11ln 1---=≈∴p =2.46315 （2）二次拉格朗日插值 选择插值结点：x 12,11,10210===x x P 2211002)()()()(y x l y x l y x l x ++= = 212021012101200201021) )(())(())(())(())(() )((y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x ----+----+---- = 4849.2) 1112)(1012() 11)(10(3979.2)1211)(1011()12)(10(3026.2)1210)(1110()12)(11(----+----+----x x x x x x =1.1513（x-11）（x-12）-2.3979（x-10）（x-12）+1.24425（x-10）（x-11） ) 1175.11)(1011075(24245.1)1275.11)(1075.11(3979.2)1275.11)(1175.11(1513.1)75.11(75.11ln 2--+-----=≈∴P =1.15133125.124245.14375.03979.2)1875 .0(?+?+-? =2.463928 2. 已知下列表值
1. 写出下列各数的原码、反码、补码、移码表示（用8位二进制数）。其中MSB是最高位（又是符号位）LSB是最低位。如果是小数，小数点在MSB之后；如果是整数，小数点在LSB之后。 (1) -35/64 (2) 23/128 (3) -127 (4) 用小数表示-1 (5) 用整数表示-1 解：(1)先把十进制数-35/64写成二进制小数： (-35/64)10=(-100011/1000000)2=(-100011×2-110)2=(-0.100011)2 令x=-0.100011B ∴ [x]原=1.1000110 (注意位数为8位) [x]反=1.0111001 [x]补=1.0111010 [x]移=0.0111010 (2) 先把十进制数23/128写成二进制小数： (23/128)10=(10111/)2=(10111×2-111)2=(0.0001011)2 令x=0.0001011B ∴ [x]原=0.0001011 [x]反=0.0001011 [x]补=0.0001011 [x]移=1.0001011 (3) 先把十进制数-127写成二进制小数： (-127)10=(-1111111)2 令x= -1111111B ∴ [x]原=1.1111111 [x]反=1.0000000 [x]补=1.0000001 [x]移=1.0000001 (4) 令x=-1.000000B ∴ 原码、反码无法表示 [x]补=1.0000000 [x]移=0.0000000 (5) 令Y=-1=-0000001B ∴ [Y]原= [Y]反= [Y]补= [Y]移=01111111 2. 设[X]补= a0，a1，a2…a6 , 其中a i取0或1，若要x＞－0.5,求a0，a1，a2，…，a6的取值。 解：a0= 1，a1= 0， a2，…，a6=1…1。 3. 有一个字长为32位的浮点数，阶码10位（包括1位阶符），用移码表示；尾数22位（包括1位尾符）用补码表示，基数R=2。请写出： (1) 最大数的二进制表示； (2) 最小数的二进制表示； (3) 规格化数所能表示的数的范围； (4) 最接近于零的正规格化数与负规格化数。 解：（1）11 0111111 （2）11 0000000
一 选择题(55分=25分) (A)1. 3.142和3.141分别作为π的近似数具有（）和（）为有效数字(有效数字) A. 4和3 B. 3和2 C. 3和4 D. 4和4 解,时,, m-n= -3,所以n=4,即有4位有效数字。当时,, ，m-n= -2,所以n=3,即有3位有效数字。 (A)2. 为了减少误差，在计算表达式时，应该改为计算，是属于（）来避免误差。（避免误差危害原则） A.避免两相近数相减； B.化简步骤，减少运算次数； C.避免绝对值很小的数做除数； D.防止大数吃小数 解：由于和相近，两数相减会使误差大，因此化加法为减法，用的方法是避免误差危害原则。 (B)3.下列算式中哪一个没有违背避免误差危害原则（避免误差危害原则） A.计算 B.计算 C.计算 D.计算 解:A会有大数吃掉小数的情况C中两个相近的数相减，D中两个相近的数相减也会增大误差 (D)4.若误差限为,那么近似数0.003400有()位有效数字。(有效数字) A. 5 B. 4 C. 7 D. 3 解：即m-n= -5,，m= -2，所以n=3，即有3位有效数字 (A)5.设的近似数为，如果具有3位有效数字，则的相对误差限为()（有效数字与相对误差的关系） A． B. C. D. 解：因为所以,因为有3位有效数字，所以n=3,由相对误差和有效数字的关系可得a的相对误差限为 二 填空题：(75分=35分)
1.设则有2位有效数字，若则a有3位有效数字。(有效数字) 解:,时,，，m-n= -4,所以n=2,即有2位有效数字。当时, ，m-n= -5,所以n=3,即有3位有效数字。 2.设 =2.3149541...，取5位有效数字，则所得的近似值x=2.3150(有效数字)解：一般四舍五入后得到的近似数，从第一位非零数开始直到最末位，有几位就称该近似数有几位有效数字，所以要取5位有效数字有效数字的话，第6位是5，所以要进位，得到近似数为2.3150. 3.设数据的绝对误差分别为0.0005和0.0002，那么的绝对误差约为 0.0007 。（误差的四则运算） 解：因为，， 4.算法的计算代价是由 时间复杂度 和 空间复杂度 来衡量的。(算法的复杂度) 5.设的相对误差为2%，则的相对误差为 2n% 。（函数的相对误差） 解：， 6.设>0，的相对误差为δ，则的绝对误差为 δ 。（函数的绝对误差） 解：，， 7.设，则=2时的条件数为 3/2 。(条件数) 解:， 三 计算题(220分=40分) 1.要使的近似值的相对误差限小于0.1%，要取几位有效数字？（有效数字和相对误差的关系） 解：设取n位有效数字,由定理由于知=4所以要使相对误差限小于0.1%,则，只要取n-1=3即n=4。所以的近似值取4位有效数字,其相对误差限小于0.1%。 2.已测得某场地长的值为，宽d的值为，已知试求面积的绝对误差限和
数值计算方法试题一 一、填空题（每空1分，共17分） 1、如果用二分法求方程在区间内的根精确到三位小数，需对分（）次。 2、迭代格式局部收敛的充分条件是取值在（）。 3、已知是三次样条函数，则 =( )，=（），=（）。 4、是以整数点为节点的Lagrange插值基函数，则 ( )，( )，当时( )。 5、设和节点则 和。 6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为，5个节点的求积公式最高代数精度为。 7、是区间上权函数的最高项系数为1的正交多项式族，其中，则。 8、给定方程组，为实数，当满足，且时，SOR迭代法收敛。 9、解初值问题的改进欧拉法是 阶方法。 10、设，当（）时，必有分解式，其中为下三角阵，当其对角线元素满足（）条件时，这种分解是唯一的。 二、二、选择题（每题2分） 1、解方程组的简单迭代格式收敛的充要条件是（）。（1）, (2) , (3) , (4) 2、在牛顿-柯特斯求积公式：中，当系数是负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当（）时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。 （1），（2），（3），（4）， （1）二次；（2）三次；（3）四次；（4）五次 4、若用二阶中点公式求解初值问题，试问为保证该公式绝对稳定，步长的取值范围为（）。 (1), (2), (3), (4)
三、1、 2、（15 (1)(1) 试用余项估计其误差。 （2）用的复化梯形公式（或复化 Simpson公式）计算出该积分的近似值。 四、1、（15分）方程在附近有根，把方程写成三种不同的等价形式（1）对应迭代格式；(2)对应迭代格式；（3）对应迭代格式。判断迭代格式在的收敛性，选一种收敛格式计算附近的根，精确到小数点后第三位。选一种迭代格式建立Steffensen迭代法，并进行计算与前一种结果比较，说明是否有加速效果。 2、（8分）已知方程组，其中 ， （1）（1）列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式。 （2）（2）求出Jacobi迭代矩阵的谱半径，写出SOR 迭代法。 五、1、（15分）取步长，求解初值问题用改进的欧拉法求的值；用经典的四阶龙格—库塔法求的值。 2、（8分）求一次数不高于4次的多项式使它满足 ,,,, 六、（下列2题任选一题，4分） 1、1、数值积分公式形如 （1）（1）试确定参数使公式代数精度尽量高；（2）设，推导余项公式，并估计误差。 2、2、用二步法 求解常微分方程的初值问题时，如何选择参数使方法阶数尽可能高，并求局部截断误差主项，此时该方法是几阶的。 数值计算方法试题二 一、判断题：（共16分，每小题２分） １、若是阶非奇异阵，则必存在单位下三角阵和上三角阵，使唯一成立。（）
运算方法和运算器练习题 一、填空题 1.补码加减法中，（）作为数的一部分参加运算，（）要丢掉。 2.为判断溢出，可采用双符号位补码，此时正数的符号用（）表示，负数的符号用（）表 示。 3.采用双符号位的方法进行溢出检测时，若运算结果中两个符号位（），则表明发生了溢 出。若结果的符号位为（），表示发生正溢出；若为（），表示发生负溢出。 4.采用单符号位进行溢出检测时，若加数与被加数符号相同，而运算结果的符号与操作数 的符号（），则表示溢出；当加数与被加数符号不同时，相加运算的结果（）。 5.浮点加减运算在（）情况下会发生溢出。 6.原码一位乘法中，符号位与数值位（），运算结果的符号位等于（）。 7.一个浮点数，当其补码尾数右移一位时，为使其值不变，阶码应该（）。 8.左规的规则为：尾数（），阶码（）。 9.右规的规则是：尾数（），阶码（）。 10.影响进位加法器速度的关键因素是（进位信号的传递问题）。 11.当运算结果的尾数部分不是（）的形式时，则应进行规格化处理。当尾数符号位为（） 或（）时，需要右规；当运算结果的符号位和最高有效位为（）或（）时，需要左规。 12.（进位信号的产生与传递逻辑）称为进位链。 13.（）称为进位产生函数，（）称为进位传递函数。 14.ALU的基本逻辑结构是（）加法器，它比行波进位加法器优越，具有先行进位逻辑，不 仅可以实现高速运算，还能完成逻辑运算。 二、选择题 1.两个补码数相加，采用1位符号位，当（）时表示结果溢出。 A、符号位有进位 B、符号位进位和最高数位进位异或结果为0 C、符号位为1 D、符号位进位和最高数位进位异或结果为1 2.运算器的主要功能是进行（） A、逻辑运算 B、算术运算 C、逻辑运算和算术运算 D、只作加法 3.运算器虽有许多部件组成，但核心部件是（） A、数据总线 B、算术逻辑运算单元 C、多路开关 D、累加寄存器 4.在定点二进制运算中，减法运算一般通过（）来实现。 A、原码运算的二进制减法器 B、补码运算的二进制减法器 C、补码运算的的十进制加法器 D、补码运算的的二进制加法器 5.在定点运算器中，无论采用双符号位还是单符号位，必须有（），它一般用（）来实现。 A、译码电路，与非门 B、编码电路，或非门 C、溢出判断电路，异或门 D、移位电路，与或非门 6.ALU属于（）部件。 A、运算器 B、控制器 C、存储器 D、寄存器 7.乘法器的硬件结构通常采用（） A、串行加法器和串行移位器 B、并行加法器和串行左移 C、并行加法器和串行右移 D、串行加法器和串行右移 8.器件74SL181是4位的ALU芯片，使用它来构成一个16位的ALU，需要使用（）片。 A、2 B、4 C、8 D、16
分析化学第三章 思考题 1.什么叫滴定分析？它的主要分析方法有哪些？ 答:将已知准确浓度的标准溶液滴加到待测溶液中，直至所加溶液的物质的量与待测溶液的物质的量按化学计量关系恰好反应完全，达到化学计量点。再根据标准溶液的浓度和所消耗的体积，计算出待测物质含量的分析方法叫滴定分析。 主要有酸碱滴定法、沉淀滴定法、配位滴定法和氧化还原滴定法。 2.能用于滴定分析的化学反应必须符合哪些条件？ 答: ①反应能定量进行，无副反应发生，反应进行得完全（＞99.9%）； ②反应速率快； ③能用比较简便的方法如指示剂确定滴定的终点； ④共存物质不干扰反应或者有方法避免干扰。
3.什么是化学计量点，什么是滴定终点？ 答:滴加的标准溶液与待测组分恰好反应完全的这一点称为化学计量点。 指示剂变色时停止滴定的这一点为滴定终点。 4.下列物质中哪些可以用直接法配制标准溶液，哪些只能用间接法配制？ H2SO4, KOH, KMnO4, K2Cr2O7, KIO3, Na2S2O3?5H2O 答: K2Cr2O7,KIO3用直接法配制标准溶液，其他用间接法（标定法）配制标准溶液。 5.表示标准溶液浓度的方法有几种？各有何优缺点？ 答: 表示方法有两种：物质的量浓度、滴定度。 滴定度便于直接用滴定毫升数计算样品的含量。 6．基准物条件之一是要具有较大的摩尔质量，对这个条件如何理解？ 答: 因为分析天平的绝对误差是一定的，称量的质量较大，称量的相对误差就较小。
7.若将H2C2O4?2H2O基准物长期放在有硅胶的干燥器中，当用它标定NaOH溶液的浓度时，结果是偏低还是偏高？ 答：偏低。因为H2C2O4?2H2O会失去结晶水，导致称量的草酸比理论计算的多，多消耗NaOH溶液，使计算的NaOH溶液浓度偏低。 8．什么叫滴定度？滴定度与物质的量浓度如何换算？试举例说明。 答:滴定度是指与每毫升标准溶液相当的被测组分的质量或百分数。 换算公式：T（A/B）=a/b*C（B）*M（A）/1000 例求0.1000mol?L-1NaOH标准溶液对H2C2O4的滴定度. 解: H2C2O4 + 2NaOH = Na2C2O4 + 2H2O T（H2C2O4/NaOH）=1/2*C（NaOH）*M（H2C2O4）/1000 g/ml=1/2*0.1000*90/1000g/ml=0.004500 g/ml 习题 1.已知浓硝酸的相对密度1.42，其中含HNO3约为70.0%，求其浓度。欲配制1L 0.25 mol/L HNO3溶液，应取这种
《数值计算方法》复习试题 一、填空题: 1、????? ?????----=410141014A ，则A 的ＬU 分解为 A ??? ?????????=? ?????????? ?。 答案： ?? ????????--??????????--=1556141501 4115401411A 3、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ,则过这三点的二次插值多项式中2 x 的系数 为 ，拉格朗日插值多项式为 。 答案:-1， )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字； ５、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( ）； 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ ６、对1)(3 ++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 )，=]4,3,2,1,0[f ( ０ )； 7、计算方法主要研究（ 截断 ）误差和( 舍入 )误差; 8、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时,二分n 次后的误差限为 （ 1 2+-n a b ); １０、已知f （１）＝2,f (2)=３,ｆ(４)＝5.９，则二次Ne ｗton 插值多项式中x 2系数为 ( ０.15 )； 11、 解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为（A 的各阶顺序主子式均 不为零)。 12、 为了使计算 32)1(6 )1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该
第三章习题 用一次、二次、三次多项式及最小二乘原理拟合这些数据，并写出正规方程组。 2323 X 2=x 1 , x 3=x 1 , x 1x 2=x 1 , x 1x 3=x 1 , x 2x 3=x 1 , x 2=x 1 , x 3=x 1 , ????????? ?? =+++=+++=+++=+++∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑=================-=91 91919191332 323213103919191919 1 2332222 12102919191919 1 1331221121019191919 1 33221109i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i y x a x a x x a x x a x y x a x x a x a x x a x y x a x x a x x a x a x y a x a x a x a ?????? ? =+=+=+=+2295 .63876.27656.25871.77656.275.34439.87656.275.3121.1875.3931203 120a a a a a a a a 解为：a 0=2.0001,a 1=2.2501 , a 2=0.03131 , a 3=0.002085 f 3(x)=2.0001+2.2501x+0.0313x 2+0.002085x 3 f 2(x)=2.0001+2.2516x+0.0313x 2 f 1(x)=2.0131+2.2516x 2答案：取y=y, x 1=x , 有y=a+bx 1
计算方法模拟试题 一、 单项选择题（每小题3分，共15分） 1．近似值210450.0?的误差限为（ ）。 A ． 0.5 B. 0.05 C ． 0.005 D. 0.0005. 2. 求积公式)2(3 1 )1(34)0(31)(2 0f f f dx x f ++≈ ?的代数精确度为（ ）。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 若实方阵A 满足（ ）时，则存在唯一单位下三角阵L 和上三角阵R ，使LR A =。 A. 0det ≠A B. 某个0 det ≠k A C. )1,1(0det -=≠n k A k D. ),,1(0det n k A k =≠ 4.已知?? ?? ? ?????=531221112A ，则=∞A （ ）。 A. 4 B. 5 C. 6 D 9 5.当实方阵A 满足)2(,221>>-=i i λλλλ，则乘幂法计算公式1e =（ ）。 A. 1+k x B. k k x x 11λ++ C. k x D. k k x x 11λ-+ 二、填空题（每小题3分，共15分） 1. 14159.3=π，具有4位有效数字的近似值为 。 2. 已知近似值21,x x ，则=-?)(21x x 。 3．已知1)(2-=x x f ，则差商=]3,2,1[f 。 4．雅可比法是求实对称阵 的一种变换方法。