关于圆锥曲线的中点弦问题
直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题，是解析几何中的重要内容之一，也是高考的一个热点问题。这类问题一般有以下三种类型：
（1）求中点弦所在直线方程问题； （2）求弦中点的轨迹方程问题；
（3）求弦中点的坐标问题。其解法有代点相减法、设而不求法、参数法、待定系数法及中心对称变换法等。
一、求中点弦所在直线方程问题
例1 过椭圆14
162
2=+y x 内一点M （2，1）引一条弦，使弦被点M 平分，求这条弦所在的直线方程。
解法一：设所求直线方程为y-1=k(x-2)，代入椭圆方程并整理得：
016)12(4)2(8)14(2222=--+--+k x k k x k
又设直线与椭圆的交点为A(11,y x )，B （22,y x ），则21,x x 是方程的两个根，于是
1
4)
2(82
221+-=+k k k x x ， 又M 为AB 的中点，所以21
4)
2(422
221=+-=+k k k x x ， 解得2
1
-=k ，
故所求直线方程为042=-+y x 。
解法二：设直线与椭圆的交点为A(11,y x )，B （22,y x ），M （2，1）为AB 的中点， 所以421=+x x ，221=+y y ，
又A 、B 两点在椭圆上，则1642
12
1=+y x ，1642
22
2=+y x ， 两式相减得0)(4)(2
22
12
22
1=-+-y y x x ，
所以
21)(421212121-=++-=--y y x x x x y y ，即21
-=AB k ，
故所求直线方程为042=-+y x 。
解法三：设所求直线与椭圆的一个交点为A(y x ,)，由于中点为M （2，1），
则另一个交点为B(4-y x -2,)，
因为A 、B 两点在椭圆上，所以有???=-+-=+16
)2(4)4(1642
222y x y x ， 两式相减得042=-+y x ，
由于过A 、B 的直线只有一条，
故所求直线方程为042=-+y x 。 二、求弦中点的轨迹方程问题
例2 过椭圆
136
642
2=+y x 上一点P （-8，0）作直线交椭圆于Q 点，求PQ 中点的轨迹方程。 解法一：设弦PQ 中点M （y x ,），弦端点P （11,y x ），Q （22,y x ），
则有???=+=+5761695761692
222
2121y x y x ，两式相减得0)(16)(92
2212221=-+-y y x x ， 又因为x x x 221=+，y y y 221=+，所以0)(216)(292121=-?+-?y y y x x x ， 所以
y x x x y y 1692121=--，而)
8(0
---=x y k PQ ，故8169+=x y y x 。
化简可得0167292
2
=++y x x （8-≠x ）。 解法二：设弦中点M （y x ,），Q （11,y x ），由281-=
x x ，2
1y
y =可得821+=x x ，y y 21=， 又因为Q 在椭圆上，所以
136642
12
1=+y x ，即136
464)4(42
2=++y x ， 所以PQ 中点M 的轨迹方程为
19
16)4(2
2=++y x （8-≠x ）。 三、弦中点的坐标问题
例3 求直线1-=x y 被抛物线x y 42
=截得线段的中点坐标。
解：解法一：设直线1-=x y 与抛物线x y 42
=交于),(11y x A ， ),(22y x B ，其中点
),(00y x P ，由题意得???=-=x
y x y 41
2，
消去y 得x x 4)1(2
=-，即0162
=+-x x ，
所以32
2
10=+=
x x x ，2100=-=x y ，即中点坐标为)2,3(。 解法二：设直线1-=x y 与抛物线x y 42
=交于),(11y x A ， ),(22y x B ，其中点),(00y x P ，
由题意得???==2
2212144x y x y ，两式相减得)(4122
122x x y y -=-，
所以
4)
)((1
21212=-+-x x y y y y ，
所以421=+y y ，即20=y ，3100=+=y x ，即中点坐标为)2,3(。
上面我们给出了解决直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题的一些基本解法。下面我们看一个结论
引理 设A 、B 是二次曲线C ：
02
2=++++F Ey Dx Cy Ax 上的两点，P ),(00y x 为弦AB
的中点，则
)
02(22000≠+++-
=E Cy E Cy D
Ax k AB 。
设A ),(11y x 、B ),(22y x 则0112
12
1=++++F Ey Dx Cy Ax (1)
0222222
=++++F Ey Dx Cy Ax ……（2） )2()1(-得0)()())(())((212121212121=-+-+-++-+y y E x x D y y y y C x x x x A
∴0)()()(2)(22121210210=-+-+-+-y y E x x D y y Cy x x Ax ∴
0))(2())(2(210210=-++-+y y E Cy x x D Ax
∵020≠+E Cy ∴21x x ≠ ∴E Cy D Ax x x y y ++-
=--00212
122即E Cy D Ax k AB ++-=0022。（说明：当B A ?→?时，上面的结论就是过二次曲线C 上的点P ),(00y x 的切线斜率公式，即E Cy D
Ax k ++-
=0022）
推论1 设圆02
2=++++F Ey Dx y x 的弦AB 的中点为P ),(00y x （)00
≠y ，则
E y D x k AB ++-
=0022。（假设点P 在圆上时，则过点P 的切线斜率
为）
推论2 设椭圆122
22=+b y a x 的弦AB 的中点为P ),(00y x （)00≠y ，则0022y x a b k AB ?-=。（注：
对a ≤b 也成立。假设点P 在椭圆上，则过点P 的切线斜率为
00
22y x a b k ?
-=） 推论3 设双曲线122
22=-b y a x 的弦AB 的中点为P ),(00y x （)00≠y 则0022y x a b k AB ?=。（假
设点P 在双曲线上，则过P 点的切线斜率为
0022y x a b k ?
=） 推论4 设抛物线
px y 22
=的弦AB 的中点为P ),(00y x （)00≠y 则0y p k AB =
。
（假设点P
在抛物线上，则过点P 的切线斜率为
)
0y p k =
我们可以直接应用上面这些结论解决有关问题，下面举例说明。
例1、求椭圆1
16252
2=+y x 斜率为3的弦的中点轨迹方程。
解：设P （x ，y ）是所求轨迹上的任一点，则有
y x ?
-=25163，故所示的轨迹方程为16x+75y=0 )24175
24175(<<-
x
例2、已知椭圆),0(122
2
2>>=+b a b y a x A 、B 是椭圆上两点，线段AB 的垂直平分线l 与x 轴E y D
x k ++-=00
22
相交于P )0,(0x ，求证：
a b a x a b a 22022-<<--。 证明：设AB 的中点为T ),(11y x ，由题设可知AB 与x 轴不垂直，∴01≠y ，
∴
1122y x a b k AB ?-= ∵l ⊥AB ∴11
22x y b a k l ?
= ∴l 的方程为：)(111221x x x y b a y y -?=- 令y=0 得)
(01011
221x x x y b a y -?=-
∴02221x b a a x ?-= ∵a x <||1 ∴a
x b a a
∴
a b a x a b a 22022-<
<-- 例3、已知抛物线C ：
x y =2
，直线 ,1)1(:+-=x k y l 要使抛物线C 上存
在关于l 对称的两点，k 的取值范围是什么？
解：设C 上两点A 、B 两点关于l 对称，AB 的 中点为P
),(00y x （)00≠y
∴k y y p k AB 12100-=== ∴k y 210-=∵P ∈l ∴,1)1(00+-=x k y ∴,1)1(210+-=-x k k ∴
k x 1210-= ∴)
21,121(k k P -- ∵P 在抛物线内 ，∴k k 121412-< ∴,
044
23<+-k k k
∴,
04)
22)(2(2<+-+k k k k ∴.02<<-k
与抛物线有关的弦的中点的问题
（1）中点弦问题：
（上题麻烦了。是圆不用中点法）
例1 由点)0,2(-向抛物线x y 42
=引弦，求弦的中点的轨迹方程。
分析：解决问题的关键是找到弦的端点A 、B 在直线上的性质和在抛物线上的性质的内在联系。 解法1：利用点差法。
设端点为A ),(11y x ，B ),(22y x ，则12
14x y =，22
24x y =， 两式相减得)(4122
12
2x x y y -=-， ① ①式两边同时除以12x x -，得4)(1
21
212=--?
+x x y y y y ， ②
设弦的中点坐标为),(y x ，则x x x 221=+，y y y 221=+， ③ 又点),(y x 和点)0,2(-在直线AB 上，所以有
1
2122x x y y x y
--=+。 ④ 将③、④代入②得42
2=+?
x y
y ， 整理得)2(22+=x y 。 故得中点的轨迹方程是)2(22
+=x y 在抛物线x y 42
=内部的部分。 解法2：设弦AB 所在直线的方程为)2(+=x k y ，
由方程组???=+=)
2(4)1()
2(2
x
y x k y 消去x 并整理得0842
=+-k y ky ， （3）
设A ),(11y x 、B ),(22y x 、中点),(y x ，对于方程（3），由根与系数的关系，有k
y y 4
21=
+，
∴k
y y y 2
221=+=
代入（1）得)2(22+=x y 故得所求弦中点的轨迹方程是)2(22
+=x y 在抛物线x y 42
=内部的部分。
评注：（1）求点的轨迹方程即是求曲线上的点的横、纵坐标所满足的关系式，本题所给出的两种方法，都是找动点),(y x 与已知条件的内在联系，列关于x ，y 的关系式，进而求出轨迹的方程。
（2）弦中点轨迹问题
设抛物线px y 22
=（0>p ）的弦AB ，A ),(11y x ，B ),(22y x ，弦AB 的中点C ),(00y x ，
则有?????==)
2(2)1(22
2
21
2
1px y px y ，
（1）－（2）得)(2212
22
1x x p y y -=-， ∴
2
121212y y p
x x y y +=--，
将0212y y y =+，2121x x y y k AB --=
，代入上式，并整理得0
y p
k AB =，这就是弦的斜率与中点
的关系，要学会推导，并能运用。
例2 已知抛物线x y 22
=，过点)1,2(Q 作一条直线交抛物线于A ，B 两点，试求弦AB 的中点轨迹方程。
解：如图，设弦AB 的中点为M ，并设A 、B 、M 点坐标分别为),(11y x ，),(22y x ，),(y x ，根据题意设有12
12x y =， ①
22
22x y =， ②
x x x 221=+， ③ y y y 221=+， ④ 2
1
2121--=--x y x x y y ， ⑤
④代入①－②得，)(2)(22121x x y y y -=-， ∵21x x ≠，∴
y
x x y y 1
2121=--， ⑥
⑥代入⑤得，22
-=-x y y ，即4
7)21(2
-
=-x y 。
评注：本题还有其他解答方法，如设AB 的方程为1)2(+-=x k y ，将方程代入x y 22
=，利用根与系数的关系，求出弦中点的轨迹方程。
例6 求直线1-=x y 被抛物线x y 42
=截得线段的中点坐标。
解：解法一：设直线1-=x y 与抛物线x y 42
=交于),(11y x A ， ),(22y x B ，其中点
),(00y x P ，由题意得???=-=x
y x y 41
2，
消去y 得x x 4)1(2
=-，即0162
=+-x x ，
所以32
2
10=+=
x x x ，2100=-=x y ，即中点坐标为)2,3(。
解法二：设直线1-=x y 与抛物线x y 42
=交于),(11y x A ， ),(22y x B ，其中点),(00y x P ，
由题意得???==2
2212144x y x y ，两式相减得)(4122
122x x y y -=-，
所以
4)
)((1
21212=-+-x x y y y y ，
所以421=+y y ，即20=y ，3100=+=y x ，即中点坐标为)2,3(。
用点差法解圆锥曲线的中点弦问题
与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。
解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。
若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为),(11y x A 、),(22y x B ，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”。
本文用这种方法作一些解题的探索。 一、 以定点为中点的弦所在直线的方程
例1、过椭圆14
162
2=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程。 解：设直线与椭圆的交点为),(11y x A 、),(22y x B
Θ )1,2(M 为AB 的中点 ∴421=+x x 221=+y y Θ又A 、B 两点在椭圆上，则1642
12
1=+y x ，1642
22
2=+y x
两式相减得0)(4)(222
12
22
1=-+-y y x x 于是0))((4))((21212121=-++-+y y y y x x x x
∴
2
1
244)(421212121-=?-=++-=--y y x x x x y y
即21-
=AB k ，故所求直线的方程为)2(2
1
1--=-x y ，即042=-+y x 。 例2、已知双曲线12
2
2
=-y x ，经过点)1,1(M 能否作一条直线l ，使l 与双曲线交于A 、B ，且点
M 是线段AB 的中点。若存在这样的直线l ，求出它的方程，若不存在，说明理由。
策略：这是一道探索性习题，一般方法是假设存在这样的直线 ，然后验证它是否满足题设的条件。
本题属于中点弦问题，应考虑点差法或韦达定理。 解：设存在被点M 平分的弦AB ，且),(11y x A 、),(22y x B
则221=+x x ，221=+y y
12212
1=-y x ，12
2
22
2=-y x
两式相减，得
0))((2
1
))((21212121=-+--+y y y y x x x x ∴22121
=--=x x y y k AB 故直线)1(21:-=-x y AB
由?????=--=-12)
1(2122y x x y 消去y ，得03422=+-x x
∴ 08324)4(2<-=??--=?
这说明直线AB 与双曲线不相交，故被点M 平分的弦不存在，即不存在这样的直线l 。
评述：本题如果忽视对判别式的考察，将得出错误的结果，请务必小心。由此题可看到中点弦问题中判断点的M 位置非常重要。（1）若中点M 在圆锥曲线内，则被点M 平分的弦一般存在；（2）
若中点M 在圆锥曲线外，则被点M 平分的弦可能不存在。 二、 过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹
例3、已知椭圆
1257522=+x y 的一条弦的斜率为3，它与直线2
1=x 的交点恰为这条弦的中点M ，求点M 的坐标。
解：设弦端点),(11y x P 、),(22y x Q ，弦PQ 的中点),(00y x M ，则2
1
0=
x 12021==+x x x ， 0212y y y =+
又 125752121=+x
y ，125
752
222=+x y
两式相减得0))((75))((2521212121=-++-+x x x x y y y y 即0)(3)(221210=-+-x x y y y ∴
212123
y x x y y -=--
Θ 32121=--=
x x y y k ∴ 3230=-y ，即2
1
0-=y
∴点M 的坐标为)2
1
,21(-。
例4、已知椭圆
125
752
2=+x y ,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程。 解：设弦端点),(11y x P 、),(22y x Q ，弦PQ 的中点),(y x M ，则
x x x 221=+， y y y 221=+ 又 125752
12
1=+x
y ，125
752
22
2=+x y
两式相减得0))((75))((2521212121=-++-+x x x x y y y y 即0)(3)(2121=-+-x x x y y y ，即
y
x
x x y y 32121-=--
Θ 32121=--=
x x y y k ∴33=-y
x
，即0=+y x
由???
??=+=+12575022x y y x ，得)235,235(-
P )235,235(-Q Θ点M 在椭圆内
∴它的斜率为3的弦中点的轨迹方程为)2
3
5235(0<<-
=+x y x 三、
求与中点弦有关的圆锥曲线的方程
例5、已知中心在原点，一焦点为)50,0(F 的椭圆被直线23:-=x y l 截得的弦的中点的横坐标
为
2
1
，求椭圆的方程。 解：设椭圆的方程为12222=+b
x a y ，则502
2=-b a ┅┅①
设弦端点),(11y x P 、),(22y x Q ，弦PQ 的中点),(00y x M ，则
210=
x ，2
1
2300-=-=x y ∴12021==+x x x ，12021-==+y y y 又122
122
1=+b x
a y ，122
222
2=+b
x a y
两式相减得0))(())((21212
21212=-++-+x x x x a y y y y b 即0)()(212
212
=-+--x x a y y b
∴ 22
2121b
a x x y y =-- ∴ 322=
b a ┅┅②
联立①②解得752
=a ，252
=b
∴所求椭圆的方程是125
752
2=+x y
四、圆锥曲线上两点关于某直线对称问题
例6、已知椭圆13
42
2=+y x ，试确定的m 取值范围，使得对于直线m x y +=4，椭圆上总有不同的两点关于该直线对称。
解：设),(111y x P ，),(222y x P 为椭圆上关于直线m x y +=4的对称两点，),(y x P 为弦21P P 的中点，
则12432
12
1=+y x ，12432
22
2=+y x 两式相减得，0)(4)(32
22
12
22
1=-+-y y x x 即0))((4))((321212121=-++-+y y y y x x x x
Θx x x 221=+，y y y 221=+，
4
1
2121-=--x x y y
∴x y 3= 这就是弦21P P 中点P 轨迹方程。
它与直线m x y +=4的交点必须在椭圆内
联立??
?+==m x y x y 43，得???-=-=m
y m x 3 则必须满足22
433x y -<，
即2
2
4
33)3(m m -
<，解得1313213132<<-m 五、注意的问题
（1）双曲线的中点弦存在性问题；（2）弦中点的轨迹应在曲线内。
利用点差法求解圆锥曲线中点弦问题，方法简捷明快，结构精巧，很好地体现了数学美，而且应用特征明显，是训练思维、熏陶数学情感的一个很好的材料，利于培养学生的解题能力和解题兴趣。
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.. . … 中点弦问题专题练习 一．选择题（共8小题） 1．已知椭圆，以及椭圆一点P（4，2），则以P为中点的弦所在直线的斜率为（）A．B．C．2D．﹣2 2．已知A（1，2）为椭圆一点，则以A为中点的椭圆的弦所在的直线方程为（） A．x+2y+4=0 B．x+2y﹣4=0 C．2x+y+4=0 D．2x+y﹣4=0 3．AB是椭圆（a＞b＞0）的任意一条与x轴不垂直的弦，O是椭圆的中心，e为椭圆的离心率，M为AB的中点，则K AB?K OM的值为（） A．e﹣1 B．1﹣e C． e2﹣1 D． 1﹣e2 4．椭圆4x2+9y2=144有一点P（3，2）过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的方程为（） A．3x+2y﹣12=0 B．2x+3y﹣12=0 C．4x+9y﹣144=0 D．9x+4y﹣144=0 5．若椭圆的弦中点（4，2），则此弦所在直线的斜率是（） A．2B．﹣2 C．D． 6．已知椭圆的一条弦所在直线方程是x﹣y+3=0，弦的中点坐标是（﹣2，1），则椭圆的离心率是（）A．B．C．D． 7．直线y=x+1被椭圆x2+2y2=4所截得的弦的中点坐标是（） A．（）B．（﹣，）C．（，﹣）D．（﹣，） 8．以椭圆一点M（1，1）为中点的弦所在的直线方程为（） A．4x﹣3y﹣3=0 B．x﹣4y+3=0 C．4x+y﹣5=0 D．x+4y﹣5=0 二．填空题（共9小题） 9．过椭圆一点M（2，0）引椭圆的动弦AB，则弦AB的中点N的轨迹方程是_________ ．
10．已知点（1，1）是椭圆某条弦的中点，则此弦所在的直线方程为：_________ ． 11．椭圆4x2+9y2=144有一点P（3，2）过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的斜率为_________ ，直线方程为_________ ． 12．椭圆4x2+9y2=144有一点P（3，2）过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的方程为_________ ． 13．过椭圆=1一定点（1，0）作弦，则弦中点的轨迹方程为_________ ． 14．设AB是椭圆的不垂直于对称轴的弦，M为AB的中点，O为坐标原点，则k AB?k OM= _________ ． 15．以椭圆的点M（1，1）为中点的弦所在直线方程为_________ ． 16．在椭圆+=1以点P（﹣2，1）为中点的弦所在的直线方程为_________ ． 17．直线y=x+2被椭圆x2+2y2=4截得的线段的中点坐标是_________ ． 三．解答题（共13小题） 18．求以坐标轴为对称轴，一焦点为且截直线y=3x﹣2所得弦的中点的横坐标为的椭圆方程．19．已知M（4，2）是直线l被椭圆x2+4y2=36所截的弦AB的中点，其直线l的方程． 20．已知一直线与椭圆4x2+9y2=36相交于A、B两点，弦AB的中点坐标为M（1，1），求直线AB的方程．21．已知椭圆，求以点P（2，﹣1）为中点的弦AB所在的直线方程． 22．已知椭圆与双曲线2x2﹣2y2=1共焦点，且过（） （1）求椭圆的标准方程． （2）求斜率为2的一组平行弦的中点轨迹方程． 23．直线l：x﹣2y﹣4=0与椭圆x2+my2=16相交于A、B两点，弦AB的中点为P（2，﹣1）．（1）求m的值；（2）设椭圆的中心为O，求△AOB的面积．
圆锥曲线常规题型方法归纳与总结 ①中点弦问题;②焦点三角形;③直线与圆锥位置关系问题;④圆锥曲线的相关最值（范围）问题;⑤求曲线的方程问题;⑥存在两点关于直线对称问题;⑦两线段垂直问题 圆锥曲线的中点弦问题------点差法 与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。 解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。 解题策略：具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为),(11y x A 、),(22y x B ，将这两点代入圆锥曲线的方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式（当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论），消去四个参数。 如：（1）)0(122 22>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有 02 020=+k b y a x 。 （2）)0,0(122 22>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有 02020=-k b y a x （3）y 2 =2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p. 一、求以定点为中点的弦所在直线的方程 例1、过椭圆14 162 2=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程。 解：设直线与椭圆的交点为),(11y x A 、),(22y x B )1,2(M 为AB 的中点 ∴421=+x x 221=+y y 又A 、B 两点在椭圆上，则1642121=+y x ，1642222=+y x
用点差法解圆锥曲线的中点弦问题 与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。 解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。 若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为),(11y x A 、),(22y x B ，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”。 一、 以定点为中点的弦所在直线的方程 例1、过椭圆14 162 2=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程。 解：设直线与椭圆的交点为),(11y x A 、),(22y x B Θ )1,2(M 为AB 的中点 ∴421=+x x 221=+y y Θ又A 、B 两点在椭圆上，则1642121=+y x ，1642 222=+y x 两式相减得0)(4)(22212221=-+-y y x x 于是0))((4))((21212121=-++-+y y y y x x x x ∴ 2 1244)(421212121-=?-=++-=--y y x x x x y y 即21-=AB k ，故所求直线的方程为)2(2 11--=-x y ，即042=-+y x 。 例2、已知双曲线12 2 2=-y x ，经过点)1,1(M 能否作一条直线l ，使l 与双曲线交于A 、B ，且点M 是线段AB 的中点。若存在这样的直线l ，求出它的方程，若不存在，说明理由。 策略：这是一道探索性习题，一般方法是假设存在这样的直线 ，然后验证它是否满足题设的条件。 本题属于中点弦问题，应考虑点差法或韦达定理。 解：设存在被点M 平分的弦AB ，且),(11y x A 、),(22y x B 则221=+x x ，221=+y y 122121=-y x ，122 222=-y x 两式相减，得 0))((2 1))((21212121=-+--+y y y y x x x x ∴22121 =--=x x y y k AB 故直线)1(21:-=-x y AB 由?? ???=--=-12)1(2122y x x y 消去y ，得03422=+-x x ∴ 08324)4(2<-=??--=? 这说明直线AB 与双曲线不相交，故被点M 平分的弦不存在，即不存在这样的直线l 。 评述：本题如果忽视对判别式的考察，将得出错误的结果，请务必小心。由此题可看到中点弦问题中判断点的M 位置非常重要。（1）若中点M 在圆锥曲线内，则被点M 平分的弦一般存在；（2）若中点M 在圆锥曲线外，则被点M 平分的弦可能不存在。 二、 过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹 例3、已知椭圆1257522=+x y 的一条弦的斜率为3，它与直线2 1=x 的交点恰为这条弦的中点M ，求点M 的坐标。
关于圆锥曲线的中点弦问题 直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题，是解析几何中的重要内容之一，也是高考的一个热点问题。这类问题一般有以下三种类型： （1）求中点弦所在直线方程问题； （2）求弦中点的轨迹方程问题； （3）求弦中点的坐标问题。其解法有代点相减法、设而不求法、参数法、待定系数法及中心对称变换法等。 一、求中点弦所在直线方程问题 例1 过椭圆14 162 2=+y x 内一点M （2，1）引一条弦，使弦被点M 平分，求这条弦所在的直线方程。 解法一：设所求直线方程为y-1=k(x-2)，代入椭圆方程并整理得： 016)12(4)2(8)14(2222=--+--+k x k k x k 又设直线与椭圆的交点为A(11,y x )，B （22,y x ），则21,x x 是方程的两个根，于是 1 4) 2(82 221+-=+k k k x x ， 又M 为AB 的中点，所以21 4) 2(422 221=+-=+k k k x x ， 解得2 1 -=k ， 故所求直线方程为042=-+y x 。 解法二：设直线与椭圆的交点为A(11,y x )，B （22,y x ），M （2，1）为AB 的中点， 所以421=+x x ，221=+y y ， 又A 、B 两点在椭圆上，则1642 12 1=+y x ，1642 22 2=+y x ， 两式相减得0)(4)(2 22 12 22 1=-+-y y x x ， 所以 21)(421212121-=++-=--y y x x x x y y ，即21 -=AB k ， 故所求直线方程为042=-+y x 。 解法三：设所求直线与椭圆的一个交点为A(y x ,)，由于中点为M （2，1）， 则另一个交点为B(4-y x -2,)， 因为A 、B 两点在椭圆上，所以有???=-+-=+16 )2(4)4(1642 222y x y x ， 两式相减得042=-+y x ， 由于过A 、B 的直线只有一条， 故所求直线方程为042=-+y x 。 二、求弦中点的轨迹方程问题 例2 过椭圆 136 642 2=+y x 上一点P （-8，0）作直线交椭圆于Q 点，求PQ 中点的轨迹方程。 解法一：设弦PQ 中点M （y x ,），弦端点P （11,y x ），Q （22,y x ），
圆锥曲线的中点弦问题 一：圆锥曲线的中点弦问题： 遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解. ①在椭圆中，以为中点的弦所在直线的斜率； ②在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率； ③在抛物线中，以为中点的弦所在直线的斜率。 注意：因为Δ＞0是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验Δ＞0！ 1、以定点为中点的弦所在直线的方程 例1、过椭圆14 162 2=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程。 例2、已知双曲线12 2 2=-y x ，经过点)1,1(M 能否作一条直线l ，使l 与双曲线交于A 、B ，且点M 是线段AB 的中点。若存在这样的直线l ，求出它的方程，若不存在，说明理由。 策略：这是一道探索性习题，一般方法是假设存在这样的直线 ，然后验证它是否满足题设的条件。 本题属于中点弦问题，应考虑点差法或韦达定理。 2、 过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹 例3、已知椭圆1257522=+x y 的一条弦的斜率为3，它与直线2 1=x 的交点恰为这条弦的中点M ，求点M 的坐标。 例4、已知椭圆125 752 2=+x y ,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程。 3、 求与中点弦有关的圆锥曲线的方程 例5、已知中心在原点，一焦点为)50,0(F 的椭圆被直线23:-=x y l 截得的弦的中点的横坐标为 2 1，求椭圆的方程。 ∴所求椭圆的方程是125 752 2=+x y 4、圆锥曲线上两点关于某直线对称问题 例6、已知椭圆13 42 2=+y x ，试确定的m 取值范围，使得对于直线m x y +=4，椭圆上总有不同的两点关于该直线对称。 五、注意的问题 （1）双曲线的中点弦存在性问题；（2）弦中点的轨迹应在曲线内。 利用点差法求解圆锥曲线中点弦问题，方法简捷明快，结构精巧，很好地体现了数学美，而且应用特征明显，是训练思维、熏陶数学情感的一个很好的材料，利于培养学生的解题能力和解题兴趣。
高考数学专题复习之圆锥曲线的中点弦问题 直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题，是解析几何中的重要内容之一，也是高考的一个热点问题。这类问题一般有以下三种类型： （1）求中点弦所在直线方程问题； （2）求弦中点的轨迹方程问题； （3）求弦中点的坐标问题。其解法有代点相减法、设而不求法、参数法、待定系数法及中心对称变换法等。 一、求中点弦所在直线方程问题 例1 过椭圆14 162 2=+y x 内一点M （2，1）引一条弦，使弦被点M 平分，求这条弦所在的直线方程。 解法一：设所求直线方程为y-1=k(x-2)，代入椭圆方程并整理得： 016)12(4)2(8)14(2222=--+--+k x k k x k 又设直线与椭圆的交点为A(11,y x )，B （22,y x ），则21,x x 是方程的两个根，于是 1 4)2(82221+-=+k k k x x ， 又M 为AB 的中点，所以21 4)2(422221=+-=+k k k x x ， 解得2 1-=k ， 故所求直线方程为042=-+y x 。 解法二：设直线与椭圆的交点为A(11,y x )，B （22,y x ），M （2，1）为AB 的中点， 所以421=+x x ，221=+y y ， 又A 、B 两点在椭圆上，则1642121=+y x ，1642 222=+y x ， 两式相减得0)(4)(22212221=-+-y y x x ， 所以21)(421212121-=++-=--y y x x x x y y ，即2 1-=AB k ， 故所求直线方程为042=-+y x 。 解法三：设所求直线与椭圆的一个交点为A(y x ,)，由于中点为M （2，1）， 则另一个交点为B(4-y x -2,)， 因为A 、B 两点在椭圆上，所以有???=-+-=+16 )2(4)4(1642222y x y x ， 两式相减得042=-+y x ， 由于过A 、B 的直线只有一条， 故所求直线方程为042=-+y x 。 二、求弦中点的轨迹方程问题 例2 过椭圆136 642 2=+y x 上一点P （-8，0）作直线交椭圆于Q 点，求PQ 中点的轨迹方程。
秒杀题型：玩转压轴题之中点弦问题： 秒杀题型一：圆、椭圆、双曲线的中点弦问题： 注：方程：2 2 1mx ny +=，①当0,>n m 且n m ≠时，表示椭圆； ②当0,>n m 且n m =时，表示圆； ③当n m ,异号时，表示双曲线。 秒杀策略：点差法：简答题模板：step1：设直线与曲线 ：设直线:l y kx t =+与曲线：2 2 1mx ny +=交于 两点A 、B ，AB 中点为),(中中y x P ，则有,A B 既在直线上又在曲线上，设),(11y x A ,),(22y x B ， Step2：代入点坐标：即1122y kx t y kx t =+??=+?;22 1122 22 1 (1) 1 (2) mx ny mx ny ?+=??+=??, Step3：作差得出结论：（1）-（2）得：..AB AB OP y m k k k x n =-=中中。(作为公式记住，在小题中直接用。) 题型一：求值 ： 〖母题1〗已知椭圆 22 1164 x y +=,求以点P(2,－1)为中点的弦所在的直线方程. 【解析】:由结论可得： 16421-=?-k ，得2 1 -=k ，直线方程为：240x y --=。 1.(2013年新课标全国卷I10)已知椭圆22 22:1(0)x y G a b a b +=>>的右焦点为()0,3F ,过点F 的直线交椭圆 于B A ,两点.若AB 的中点坐标为()11-， ,则E 的方程为 ( ) A. 1364522=+y x B.1273622=+y x C.1182722=+y x D.19182 2=+y x 【解析】:由结论可得： 22 2111a b -=?-，得222b a =，3= c ，选D 。 2.(2010年新课标全国卷12)已知双曲线E 的中心为原点,()3,0F 是E 的焦点,过F 的直线l 与E 相交于 ,A B 两点,且AB 的中点为()12,15N --,则E 的方程为 ( )
中点弦问题专题练习 一．选择题（共8小题） ．已知椭圆，以及椭圆内一点P（4，2），则以P为中点的弦所在直线的斜率为（1） 2 C．D．B．A．﹣2 2．已知A（1，2）为椭圆内一点，则以A为中点的椭圆的弦所在的直线方程为（） 2x+y+4=0 x+2y+4=0 C．D．2x+y﹣4=0 B．x+2yA．﹣4=0 （a＞b＞0）的任意一条与x轴不垂直的弦，O3．AB是椭圆是椭圆的中心，e为椭圆的离心率，M为AB的中点，则K?K的值为（）OMAB22D．﹣1e C．A．e﹣1 B．﹣ee﹣1 122）P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的方程为（+9y=144内有一点P（3，2）过点4．椭圆4x 144=0 ﹣．9x+4yD12=0 C．4x+9y﹣144=0 12=0 A．3x+2y ﹣B．2x+3y﹣）），则此弦所在直线的斜率是（5．若椭圆的弦中点（4，2 2．．A．D．B ﹣2 C 6．已知椭圆的一条弦所在直线方程是x﹣y+3=0，弦的中点坐标是（﹣2，1），则椭圆的离心率 是（） B．CA．．D．
227．直线y=x+1被椭圆x+2y=4所截得的弦的中点坐标是（） A．B．C．D．（﹣，））（）（﹣，）（，﹣8．以椭圆内一点M（1，1）为中点的弦所在的直线方程为（） A．4x﹣3y﹣3=0 x C．4x+y﹣5=0 D．+4y﹣5=0 4y+3=0 B．x﹣ 二．填空题（共9小题） 9．过椭圆内一点M（2，0）引椭圆的动弦AB，则弦AB的中点N的轨迹方程是 _________． 10．已知点（1，1）是椭圆某条弦的中点，则此弦所在的直线方程为： _________． 22，_________那么这弦所在直线的斜率为PP），（内有一点+9y椭圆11．4x=144P32过点的弦恰好以为中点，．_________直线方程为 22 _________．的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的方程为（4x+9y=144内有一点P3，2）过点P12．椭圆________．1，0）作弦，则弦中点的轨迹方程为 1．过椭圆=1内一定点（是椭圆的不垂直于对称轴的弦，M为AB的中点，O为坐标原点，则ABk?k=_________．14．设OMAB ．以椭圆内的点M（1，1）为中点的弦所在直线方程为 15_________． +=1内以点P（﹣2，161．在椭圆）为中点的弦所在的直线方程为_________． 2217．直线y=x+2被椭圆x+2y=4截得的线段的中点坐标是_________． 三．解答题（共13小题） 所得弦的中点的横坐标为的椭圆方程．2 且截直线y=3x18﹣．求以坐标轴为对称轴，一焦点为22的方程．的中点，其直线ll19．已知M（4，2）是直线被椭圆x+4y=36所截的弦AB
圆锥曲线中点弦公式 中点弦抛物线中点弦公式 抛物线C：x^2（这里x^2表示x的平方，下同）=2py上，过给定点P=(α,β)的中点弦所在直线方程为：py-αx=pβ-α^2。 中点弦存在的条件：2pβ>α^2（点P在抛物线开口内）。 中点弦椭圆中点弦公式 椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1上，过给定点P=(α,β)的中点弦所在直线方程为： αx/a^2+βy/b^2=α^2/a^2+β^2/b^2。 中点弦存在的条件：α^2/a^2+β^2/b^2<1（点P在椭圆内）。 中点弦双曲线中点弦公式 双曲线C：x^2/a^2-y^2/b^2=1上，过给定点P=(α,β)的中点弦所在直线方程为： αx/a^2-βy/b^2=α^2/a^2-β^2/b^2。 中点弦存在的条件：(α^2/a^2-β^2/b^2)(α^2/a^2-β^2/b^2-1)>0（点P不在双曲线、渐近线上以及它们所围成的区域内）。 中点弦二次曲线中点弦性质与蝴蝶定理 蝴蝶定理是二次曲线一个著名定理，它充分体现了蝴蝶生态美与“数学美”的一致性．不少中数专著或杂志至今还频繁讨论．本文揭示了它与中点弦性质的紧密联系，并给出统一而简明的证明，指出了一种有用的特殊情形和一种推广形式． 引理：设两条不同的二次曲线 S：F(x，y)=a11x2+2a12xy+a22y2+2a13x+2a23y+a33=0 有A、B、C、D四个公共点，其中无三点共线，则过A、B、C、D四点的任意一条二次曲线S2必可唯一地表示成： (证明略)
定理1 设三条不同的二次曲线(S、S1、S2)有A、B、C、D四个公共点，其中无三点共线；又直线L0被S、S1、S2各截得一弦．若其中两弦中点重合，则第三弦中点亦重合．证设S、S1的方程为(1)、(2)，则S2方程可表为(3)．因直线L0(设斜率为k)关于二次曲线S、S1、S2的共轭直径分别为： L：(a11x+a12y+a13)+k(a12x+a22y+a23)=f(x，y)=0 因L、L1都通过L0被S与S1所截得的弦PQ与EF的共同中点O，显然L2也必通过点O，故O也是L0被S2所截得的弦GH的中点． 注两直线AB和CD或AD和CB或AC和BD都可看做二次曲线S1的特殊情形，甚至E和F重合于O．故本定理包括了蝴蝶定理众多情形． 定理2 设AB∥CD，S和S1是过A、B、C、D四点的任意两条二次曲线．若平行于AB的任意直线与S、S1各有两个交点，则夹在两曲线之间的两线段相等．证设AB、CD的中点分别为M、N，又AB∥CD，故直线MN就是AB关于S和S1的共轭直径，故若平行于AB的任意直线被S、S1所截的弦PQ、EF有共同中点O，故有PE=QF，命题得证． 注由于PQ可为AB与CD之间任意平行弦，皆有PE=QF，故夹在S和S1之间的两曲边区域△1和△2面积相等．[1]它酷似蝴蝶两翼，不过并非轴对称，而是沿AB方向共轭．如果世上真有这样的蝴蝶，飞行亦能平衡自如． 定理1还可推广得到更一般的结论． 定理3 若三条不同的二次曲线S、S1、S2有无三点共线的四个公共点，沿某一确定方向的任意直线L0被S、S1、S2各截得一弦PQ、EF、GH，则三弦中点O、O1、O2之间有向线段之比为常数． 证不妨取坐标系使确定方向为x轴．于是该方向(k=0)关于S、S1、S2的共轭直径分别为(参见定理1)： L：a11x+a12y+a13=0 L1：b11x+b12y+b13=0 L2：(a11x+a12y+a13)+λ(b11x+b12y+b13)=0 设直线L0方程为y=y0，PQ、EF、GH的中点为O(x0，y0)，O1(x1，y0)，O2(x2，y0)，于是由直径方程知： a11x0+a12y0+a13=0，b11x1+b12y0+b13=0 (a11x2+a12y0+a13)+λ(b11x2+b12y0+b13)=0 故a11(x2－x0)=λb11(x2－x1) (4) 即OO2/O2O1=α (a11≠0时) (5) 其中α=－λb11/a11是与y0无关的常数(由S、S1、S2三曲线确定．当a11=0时，L ∥L0可知L0与S无两个交点，故不在本命题讨论之列)． (5)式意即：在指定顺序O、O2、O1之下，两有向线段之比不因L0平行移动而变化． 推论在定理3条件下，对任意直线L0所截的三弦中点中，任意两点总在第三点同侧或异侧．当O、O1、O2中有两点重合时，第三点也重合．“蝴蝶定理”虽然如自然界的蝴蝶种类一样千变万化，然而万变不离其宗，核心在于中点弦性质。
高中数学中点弦问题的解题方法 会泽县茚旺高级中学 顺武 解析几何中与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。“中点弦”问题是一类很典型、很重要的问题. 一、方法介绍（解圆锥曲线的中点弦问题的方法有）： 第一种方法：联立消元法即联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。 第二种方法:点差法即设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为),(11y x A 、),(22y x B ，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB 的中点和斜率有关的式子， 可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方 法为“点差法”。 第三种方法：导数法即如果以圆、椭圆等图形的中心为中心，按比例缩小图形，则一定存在同类的圆、椭圆等与弦AB 中点M 相切（如下图）。此时缩小的曲线方程如()()()2 2 2 tR b x a x =-+-， () () 12 2 2 2 =± tb y ta x ， 两边对x 求导，可发现并不改变原方程求导的结果。因此，利用导数法求中点弦的斜率，就是x y '在中点处的值。 二、题型示例 题型一 以定点为中点的弦所在直线的方程 例1、过椭圆 14 162 2=+y x 一点)1,2(M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程。
解法一：设直线与椭圆的交点为),(11y x A 、),(22y x B Θ )1,2(M 为AB 的中点 ∴421=+x x 221=+y y Θ又A 、B 两点在椭圆上，则1642 12 1=+y x ，1642 22 2=+y x 两式相减得0)(4)(222 12 22 1=-+-y y x x 于是0))((4))((21212121=-++-+y y y y x x x x ∴ 2 1 244)(421212121-=?-=++-=--y y x x x x y y 即21- =AB k ，故所求直线的方程为)2(2 1 1--=-x y ，即042=-+y x 。 法二：由题意知所求中点弦斜率一定存在，设为k ，则该弦方程为()21-=-x k y ()?????=+ -=-14 16212 2 y x x k y 消去y 得 例2.已知双曲线方程，求以A （2，1）为中点的双曲线的弦所在的直线方程； （2）过点B （1，1），能否作直线，使与所给双曲线交于P 、Q 两点，且点B 是弦PQ 的中点？这样的直线如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由。 解：对两边求导，得 （1）以A （2，1）为中点的弦的斜率，所以所求中点弦所在直线方程为 （2）以B （1，1）为中点的弦的斜率，所以所求中点弦所在直线方程为 即。 但与双曲线方程联立消去y 得，无实根。因此直线与双曲线无交点，所以满足条件的直线不存在。 注意：（1）求出的方程只是满足了必要性，还必须验证其充分性，即所求直线与双曲线确实有两个交点。
圆锥曲线中与中点有关问题的一般解法 湖南省冷水江市第六中学 章勇 圆锥曲线中与中点有关的问题一般可用“点差法”来解决，它可减少计算，达到简化运算的目的。本文旨在“点差法”的基础上，推导出此类问题更一般的结论和方法。 由“点差法”我们可得如下结论： 1．椭圆22 221x y a b +=内一点00(,)P x y ，则以00(,)P x y 为中点的弦所在的直线方程为： 22 00002222x x y y x y a b a b +=+； 2．双曲线22 221x y a b -=内一点00(,)P x y ，则以00(,)P x y 为中点的弦所在的直线方程为： 22 00002222x x y y x y a b a b -=-； 3．抛物线2 2y px =内一点00(,)P x y ，则以00(,)P x y 为中点的弦所在的直线方程为： 200002=22 x x y y p y px +-? -. 下面以椭圆为例进行证明, 其它两个结论请自行证明. 证明: 设过点00(,)P x y (00y ≠)且被P 平分的弦两端点为 100200(,),(,)P x x y y P x x y y +?+?-?-? 12PP 在椭圆上, 从而有 220022()()1x x y y a b +?+?+=，22 0022 ()()1x x y y a b -?-?+= 两式相减得2222 00002222 ()()()()[][]0x x x x y y y y a a b b +?-?+?-?-+-= 整理得202 0x y b x a y ?=-? 即1220 20 P P x b k a y =- 所以, 以P 为中点的弦的直线方程为: 20 0020 ()x b y y x x a y -=-- 整理即得22 00002222x x y y x y a b a b +=+(00y ≠)
抛物线中点弦公式 抛物线C：x^2=2py上，过给定点P=(α,β)的中点弦所在直线方程为：py-αx=pβ-α^2。 中点弦存在的条件：2pβ＞α^2（点P在抛物线开口内）。 椭圆中点弦公式 椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1上，过给定点P=(α,β)的中点弦所在直线方程为： αx/a^2+βy/b^2=α^2/a^2+β^2/b^2。 中点弦存在的条件：α^2/a^2+β^2/b^2<1（点P在椭圆内）。 双曲线中点弦公式 双曲线C：x^2/a^2-y^2/b^2=1上，过给定点P=(α,β)的中点弦所在直线方程为： αx/a^2-βy/b^2=α^2/a^2-β^2/b^2。 中点弦存在的条件：(α^2/a^2-β^2/b^2)(α^2/a^2-β^2/b^2-1)>0（点P不在双曲线、渐近线上以及它们所围成的区域内）。 二次曲线中点弦性质与蝴蝶定理 蝴蝶定理是二次曲线一个著名定理，它充分体现了蝴蝶生态美与“数学美”的一致性．不少中数专著或杂志至今还频繁讨论．本文揭示了它与中点弦性质的紧密联系，并给出统一而简明的证明，指出了一种有用的特殊情形和一种推广形式． 引理：设两条不同的二次曲线 S：F(x，y)=a11x2＋2a12xy＋a22y2＋2a13x＋2a23y＋a33=0 有A、B、C、D四个公共点，其中无三点共线，则过A、B、C、D四点的任意一条二次曲线S2必可唯一地表示成： (证明略) 定理1 设三条不同的二次曲线(S、S1、S2)有A、B、C、D四个公共点，其中无三点共线；又直线L0被S、S1、S2各截得一弦．若其中两弦中点重合，则第三弦中点亦重合． 证设S、S1的方程为(1)、(2)，则S2方程可表为(3)．因直线L0(设斜率为k)关于二次曲线S、S1、S2的共轭直径分别为： L：(a11x＋a12y＋a13)＋k(a12x＋a22y＋a23)=f(x，y)=0 因L、L1都通过L0被S与S1所截得的弦PQ与EF的共同中点O，显然L2也必通过点O，故O也是L0被S2所截得的弦GH的中点．
中点弦问题专题练习 一．选择题（共 8 小题） 1．已知椭圆 ，以及椭圆内一点 P （ 4，2），则以 P 为中点的弦所在直线的斜率为（ ） A ． B ． C ． 2 D ．﹣ 2 2．已知 A （ 1， 2）为椭圆 内一点，则以 A 为中点的椭圆的弦所在的直线方程为（ ） A ．x+2y+4=0 B ． x+2y ﹣ 4=0 C ． 2x+y+4=0 D ．2x+y ﹣4=0 3． AB 是椭圆 （ a ＞ b ＞ 0）的任意一条与 x 轴不垂直的弦， O 是椭圆的中心， e 为椭圆的离心率， M 为 AB 的中点，则 K AB ?K OM 的值为（ ） C ． e 2﹣1 D ．1﹣ e 2 A ．e ﹣ 1 B ． 1﹣ e 4．椭圆 4x 2+9y 2 =144 内有一点 P （ 3， 2）过点 P 的弦恰好以 P 为中点，那么这弦所在直线的方程为（ ） A ．3x+2y ﹣ 12=0 B ． 2x+3y ﹣ 12=0 C ． 4x+9y ﹣ 144=0 D ．9x+4y ﹣144=0 5．若椭圆 的弦中点（ 4， 2），则此弦所在直线的斜率是（ ） A ．2 B ．﹣ 2 C ． D ． 6．已知椭圆 的一条弦所在直线方程是 x ﹣y+3=0 ，弦的中点坐标是（﹣ 2，1），则椭圆的离心率是（ ） A ． B ． C ． D ． 7．直线 y=x+1 被椭圆 x 2+2y 2 =4 所截得的弦的中点坐标是（ ） A ．（ ） B ． （﹣ ， ） C ． （ ，﹣ ） D ． （﹣ ， ） 8．以椭圆 内一点 M （ 1， 1）为中点的弦所在的直线方程为（ ） A ．4x ﹣ 3y ﹣ 3=0 B ． x ﹣ 4y+3=0 C ． 4x+y ﹣ 5=0 D ．x+4y ﹣5=0 二．填空题（共 9 小题） 9．过椭圆 内一点 M （ 2， 0）引椭圆的动弦 AB ，则弦 AB 的中点 N 的轨迹方程是 _________ ． 10．已知点（ 1， 1）是椭圆 某条弦的中点，则此弦所在的直线方程为： _________ ． 11．椭圆 4x 2+9y 2=144 内有一点 直线方程为 _________ ． P （3，2）过点 P 的弦恰好以 P 为中点， 那么这弦所在直线的斜率为 _________ ，
秒杀题型：玩转压轴题之中点弦问题 秒杀题型一：圆、椭圆、双曲线的中点弦问题： 注：方程：2 2 1mx ny +=，①当0,>n m 且n m ≠时，表示椭圆； ②当0,>n m 且n m =时，表示圆；③当n m ,异号时，表示双曲线。 秒杀策略：点差法：简答题模板：step1：设直线与曲线：设直线:l y kx t =+与曲线：2 2 1mx ny +=交于 两点A 、B ，AB 中点为),(中中y x P ，则有,A B 既在直线上又在曲线上，设),(11y x A ,),(22y x B ， Step2：代入点坐标：即1122y kx t y kx t =+??=+?;22 1122 22 1 (1) 1 (2) mx ny mx ny ?+=??+=??, Step3：作差得出结论：（1）-（2）得：..AB AB OP y m k k k x n =- =中中 。(作为公式记住，在小题中直接用。)题型一：求值： 〖母题1〗已知椭圆22 1164 x y +=,求以点P(2,－1)为中点的弦所在的直线方程. 1.(2013年新课标全国卷I10)已知椭圆22 22:1(0)x y G a b a b +=>>的右焦点为()0,3F ,过点F 的直线交椭圆 于B A ,两点.若AB 的中点坐标为()11-，,则E 的方程为 ( ) A. 136452 2=+y x B. 127362 2=+y x C. 118272 2=+y x D. 19 182 2=+y x 2.(2010年新课标全国卷12)已知双曲线E 的中心为原点,()3,0F 是E 的焦点,过F 的直线l 与E 相交于 ,A B 两点,且AB 的中点为()12,15N --,则E 的方程为() A.22136 x y -= B.22145 x y -= C.22163 x y -= D.22 154 x y -=3.(高考题)已知倾斜角为?45的直线l 过点)2,1(-A 和点B ,B 在第一象限,23||=AB .