北京四中
编稿老师:郭伦审稿老师:徐晓阳责编:张杨
初三数学周末练习6(二次函数综合题)
周末练习:
一、猜想、探究题:
1.已知圆P的圆心在反比例函数图象上,并与轴相交于A、B两点.且始终与轴相切于定点C(0,1).
(1)求经过A、B、C三点的二次函数图象的解析式;
(2)若二次函数图象的顶点为D,问当为何值时,四边形ADBP为菱形.
2.如图,抛物线经过△ABC的三个顶点,已知BC∥轴,点A在轴上,点C在轴上,且AC=BC.
(1)求抛物线的对称轴;
(2)写出A,B,C三点的坐标并求抛物线的解析式;
(3)探究:若点P是抛物线对称轴上且在轴下方的动点,是否存在△PAB是等腰三角形.若存在,求出所
有符合条件的点P坐标;不存在,请说明理由.
3.已知抛物线(为常数)经过点(0,4).
(1)求的值;
(2)将该抛物线先向右、再向下平移得到另一条抛物线,已知这条平移后的抛物线满足下述两个条件:
它的对称轴(设为直线)与平移前的抛物线的对称轴(设为直线)关于轴对称;它所对应的函数
的最小值为-8.
①试求平移后的抛物线所对应的函数关系式;
②试问在平移后的抛物线上是否存在着点P,使得以3为半径的⊙P既与轴相切,又与直线相
交?若存在,请求出点P的坐标,并求出直线被⊙P所截得的弦AB的长度;若不存在,请说明理由.
4.如图,在平面直角坐标系中,坐标原点为O,A点坐标为(4,0),B点坐标为(-1,
0),以AB的中点P为圆心,AB为直径作⊙P与轴的正半轴交于点C.
(1)求经过A、B、C三点的抛物线对应的函数表达式.
(2)设M为(1)中抛物线的顶点,求直线MC对应的函数表达式.
(3)试说明直线MC与⊙P的位置关系,并证明你的结论.
二、动态几何:
5.如图,已知抛物线的图象与轴交于A,B两点,与轴交于点C,抛物线的对称轴与轴交于点D.点M从O点出发,以每秒1个单位长度的速度向B运动,过M作轴的垂线,交抛物线于点P,交BC于Q.
(1)求点B和点C的坐标;
(2)设当点M运动了(秒)时,四边形OBPC的面积为S,求S与的函数关系式,并指出自变量的取值范
围.
(3)在线段BC上是否存在点Q,使得△DBQ成为以BQ为一腰的等腰三角形?若存在,求出点Q的坐标,若不
存在,说明理由.
6.如图,直线与轴交于点A,与轴交于点C,已知二次函数的图象经过点A,C和点B(-1,0).
(1)求该二次函数的关系式;
(2)设该二次函数的图象的顶点为M,求四边形AOCM的面积;
(3)有两动点D,E同时从点O出发,其中点D以每秒个单位长度的速度沿折线OAC
按O→A→C的路线运
动,点E以每秒4个单位长度的速度沿折线OCA按O→C→A的路线运动,当D、E两点相遇时,它们都停
止运动.设D,E同时从点O出发秒时,△ODE的面积为S.
①请问D,E两点在运动过程中,是否存在DE∥OC,若存在,请求出此时的值;若不存在,请说明
理由;
②请求出S关于的函数关系式,并写出自变量的取值范围;
③设是②中函数S的最大值,那么=________________.
参考答案:
一、猜想、探究题:
1.解:(1)连结PC、PA、PB,过P点作PH⊥轴,垂足为H.
∵⊙P与轴相切于点C(0,1),
∴PC⊥轴.
∵P点在反比例函数的图象上,
∴P点坐标为(k,1).
∴PA=PC=k.
在Rt△APH中,,
∴.
∴
∵由⊙P交轴于A、B两点,且PH⊥AB,由垂径定理可知,PH垂直平
分AB.
∴
,
∴
故过A、B两点的抛物线的对称轴为PH所在的直线解析式为.
可见该抛物线解析式为
又抛物线经过C(0,1),B(),得:
解得,.
∴抛物线解析式为.
(2)由(1)知抛物线顶点D坐标为(,)
∴
若四边形ADBP为菱形.则必有PH=DH.
∵PH=1,∴.
又∵,∴
∴当取时,PD与AB互相垂直平分,
则四边形ADBP为菱形.
2.解:(1)抛物线的对称轴;
(2)A(-3,0) B(5,4) C(0,4)
把点A坐标代入中,
解得
∴;
(3)存在符合条件的点P共有3个.
以下分三类情形探索.
设抛物线对称轴与轴交于N,与CB交于M.
过点B作BQ⊥轴于Q,
易得BQ=4,AQ=8,AN=5.5,.
①以AB为腰且顶角为角A的△PAB有1个:.
∴
在中,
∴;
②以AB为腰且顶角为角B的△PAB有1个:
在中,
∴;
③以AB为底,顶角为角P的△PAB有1个,即
画AB的垂直平分线交抛物线对称轴于,此时平分线必过等腰△ABC的顶点C.
过点作垂直轴,垂足为K,显然
∴
∵∴于是
∴.
3.解:(1)依题意得:,解得;
(2)①由(1)得:,∴对称轴为直线
依题意平移后的抛物线的对称轴为直线
故设平移后的抛物线所对应的函数关系式为
∵此函数最小值为-8,∴
即平移后的抛物线所对应的函数关系式为;
②存在.理由如下:
由①知平移后的抛物线的对称轴为直线
当点P在轴上方时,∵⊙P与轴相切,故令,
解得
此时点,与直线之距均为,
∵,∴⊙,⊙均与直线相离.
故点,不合题意,应舍去.
当点P在轴下方时,∵⊙P与轴相切,故令,
解得
此时点,与直线之距均为
∵,∴⊙,⊙均与直线相交,
故点,符合题意.
此时弦
综上,点P的坐标为或,
直线被⊙P所截得的弦AB的长为4.
4.解:(1)连结PC. ∵A(4,0),B(-1,0),∴AB=5.
∵P是AB的中点,且是⊙P的圆心,
∴,
∴
∴C(0,2).
设经过A、B、C三点的抛物线解析式为
,
∴. ∴.
∴抛物线解析式为.
即
(2)将配方,得,
∴顶点.
设直线MC为,则有
解得
∴直线MC为
(3)直线MC与⊙P相切.
证明:设MC与轴交于点N,在中,令,得.
∴,,
.
∴
∴∠PCN=90°.
∴MC与⊙P相切.
二、动态几何:
5.解:(1)把代入得点C的坐标为C(0,2),
把代入得点B的坐标为B(3,0);
(2)连结OP,设点P的坐标为
∵点M运动到B点上停止,∴
∴;
(3)存在.
①若
∵,
∴∴
∴
∴
所以点Q的坐标为.
②若
∵△BQM∽△BCO,
∴
∴∴
∵∴
∴∴
所以点Q的坐标为. 6.解:(1)令,则;
令则. ∴
∵二次函数的图象过点C(0,4)
∴可设二次函数的关系式为
又∵该函数图象过点A(3,0),B(-1,0)
∴
解之,得,.
∴所求二次函数的关系式为;
(2)∵
∴顶点M的坐标为
过点M作轴于F
∴
∴四边形AOCM的面积为10;
(3)①不存在DE∥OC
∵若DE∥OC,则点D,E应分别在线段OA,CA上,此时,在Rt△AOC中,AC=5.
设点E的坐标为∴,∴
∵,
∴∴
∵,不满足
∴不存在
②根据题意得D,E两点相遇的时间为
(秒)
现分情况讨论如下:
i)当时,;
ii)当时,设点E的坐标为
∴,∴
∴;
iii)当时,设点E的坐标为,类似ii可得设点D的坐标为
∴,
∴
∴
;
③.
初三数学 二次函数 知识点总结 一、二次函数概念: 1.二次函数的概念:一般地,形如2y ax bx c =++(a b c ,,是常数,0a ≠)的函数,叫做二次函数。 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0a ≠,而b c ,可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征: ⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2. ⑵ a b c ,,是常数,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项. 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式:2y ax =的性质: a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质: 上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质: 左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+的性质: a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()00, y 轴 0x >时,y 随x 的增大而增大;0x <时,y 随 x 的增大而减小;0x =时,y 有最小值0. 0a < 向下 ()00, y 轴 0x >时,y 随x 的增大而减小;0x <时,y 随x 的增大而增大;0x =时,y 有最大值0. a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0c , y 轴 0x >时,y 随x 的增大而增大;0x <时,y 随x 的增大而减小;0x =时,y 有最小值c . 0a < 向下 ()0c , y 轴 0x >时,y 随x 的增大而减小;0x <时,y 随x 的增大而增大;0x =时,y 有最大值c . a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0h , X=h x h >时,y 随x 的增大而增大;x h <时,y 随x 的增大而减小;x h =时,y 有最小值0. 0a < 向下 ()0h , X=h x h >时,y 随x 的增大而减小;x h <时,y 随x 的增大而增大;x h =时,y 有最大值0.
九年级数学上册 圆 几何综合(提升篇)(Word 版 含解析) 一、初三数学 圆易错题压轴题(难) 1.如图,二次函数y=x 2-2mx+8m 的图象与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左边且OA≠OB ),交y 轴于点C ,且经过点(m ,9m ),⊙E 过A 、B 、C 三点。 (1)求这条抛物线的解析式; (2)求点E 的坐标; (3)过抛物线上一点P (点P 不与B 、C 重合)作PQ ⊥x 轴于点Q ,是否存在这样的点P 使△PBQ 和△BOC 相似?如果存在,求出点P 的坐标;如果不存在,说明理由 【答案】(1)y=x 2 +2x-8(2)(-1,- 72)(3)(-8,40),(-15 4,-1316),(-174 ,-25 16 ) 【解析】 分析:(1)把(),9m m 代入解析式,得:22289m m m m -+=,解这个方程可求出m 的值; (2)分别令y =0和x =0,求出OA ,OB ,O C 及AB 的长,过点E 作EG x ⊥轴于点 G ,EF y ⊥轴于点F ,连接CE ,AE ,设OF =GE =a ,根据AE CE = ,列方过程求出a 的值, 从而求出点E 的坐标; (3)设点P (a , a 2+2a -8), 则2 28,2PQ a a BQ a =+-=-,然后分PBQ ∽CBO 时 和PBQ ∽BCO 时两种情况,列比例式求出a 的值,从而求出点P 的坐标. 详解:(1)把(),9m m 代入解析式,得:22289m m m m -+= 解得:121,0m m =-=(舍去) ∴228y x x =+-
21.1二次函数 教学目标 【知识与技能】 以实际问题为例理解二次函数的概念,并掌握二次函数关系式的特点. 【过程与方法】 能够根据实际问题熟练地列出二次函数的关系式,并求出函数的自变量的取值范围. 【情感、态度与价值观】 联系学生已有知识,让学生积极参与函数的学习过程,使学生体会函数的思想. 重点难点 【重点】 二次函数的概念. 【难点】 能够根据实际问题熟练地列出二次函数的关系式,并求出函数的自变量的取值范围. 教学过程 一、问题引入 1.一次函数和反比例函数是如何表示变量之间的关系的? [一次函数的表达式是y=kx+b(k≠0),反比例函数的表达式是y=(k≠0)] 2.如果改变正方体的棱长x,那么正方体的表面积y会随之改变,y和x之间有什么关系? (正方体的表面积y与棱长x之间的关系式是y=6x2.)
3.物体解放下落的距离s随时间t的变化而变化,s与t之间有什么关系?(下落的距离s随时间t变化的关系式是s=gt2.) 上面问题2、3中变量之间的关系可以用哪一种函数来表示?这种函数有哪些性质?它的图象是什么?它与以前学过的函数、方程等有哪些关系? 这就是本节课要学习的二次函数.(教师板书课题) 二、新课教授 师:我们再来看几个问题. 问题1某水产养殖户用长40m的围网,在水库中围一块矩形的水面,投放鱼苗.要使围成的水面面积最大,则它的边长应是多少米? 这个问题首先要找出围成的矩形水面面积与其边长之间的关系.设围成的矩形水面的一边长为x m,那么,矩形水面的另一边长应为(20-x)m.若它的面积为 Sm2,则有S=x(20-x)=-x2+20x. 问题2有一玩具厂,如果安排装配工15人,那么每人每天可装配玩具190个;如果增加人数,那么每增加1人,可使每人每天少装配玩具10个.问增加多少人才能使每天装配玩具总数最多?玩具总数最多是多少? 设增加x人,这时,共有(15+x)个装配工,每人每天可少装配10x个玩具,因此,每人每天只装配(190-10x)个玩具.所以,增加人数后,每天装配玩具总数y可表示为 y=(190-10x)(15+x)=-10x2+40x+2 850. 这两个问题中,函数关系式都是用自变量的二次式表示的. 二次函数的定义:大凡地,形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,a≠0)的函数叫做二次函数.其中,x是自变量,a叫做二次项的系数,b叫做一次项的系数,c叫做常数项. 二次函数的自变量的取值范围大凡都是全体实数,但是在实际问题中,自变量的取值范围应使实际问题有意义.如问题1中,0 初三数学二次函数经典题型 二次函数单元检测 (A) 姓名___ ____ 一、填空题: 1、函数2 1 (1)21m y m x mx +=--+是抛物线,则m = . 2、抛物线2 23y x x =--+与x 轴交点为 ,与y 轴交点为 . 3、二次函数2 y ax =的图象过点(-1,2),则它的解析式是 , 当x 时,y 随x 的增大而增大. 4.抛物线2)1(62 -+=x y 可由抛物线262 -=x y 向 平移 个单位得到. 5.抛物线342 ++=x x y 在x 轴上截得的线段长度是 . 6.抛物线() 422 2-++=m x x y 的图象经过原点,则=m . 7.抛物线m x x y +-=2 ,若其顶点在x 轴上,则=m . 8. 如果抛物线c bx ax y ++=2 的对称轴是x =-2,且开口方向与形状与抛物线 相同,又过原点,那么a = ,b = ,c = . 9、二次函数2 y x bx c =++的图象如下左图所示,则对称轴是 ,当函数值0y <时, 对应x 的取值范围是 . 10、已知二次函数2 1(0)y ax bx c a =++≠与一次函数2(0)y kx m k =+≠的图象相交于点 A (-2,4)和 B (8,2),如上右图所示,则能使1y 2y >成立的x 的取值范围 . 二、选择题: 11.下列各式中,y 是x 的二次函数的是 ( ) A .2 1xy x += B . 2 20x y +-= C . 2 2y ax -=- D .2 2 10x y -+= 2 2 3x y -= 12.在同一坐标系中,作2 2y x =、2 2y x =-、2 12 y x = 的图象,它们共同特点是 ( ) A . 都是关于x 轴对称,抛物线开口向上 B .都是关于y 轴对称,抛物线开口向下 B . 都是关于原点对称,顶点都是原点 D .都是关于y 轴对称,顶点都是原点 13.抛物线12 2+--=m mx x y 的图象过原点,则m 为( ) A .0 B .1 C .-1 D .±1 14.把二次函数122 --=x x y 配方成为( ) A .2 )1(-=x y B . 2)1(2--=x y C .1)1(2 ++=x y D .2)1(2 -+=x y 15.已知原点是抛物线2 (1)y m x =+的最高点,则m 的范围是( ) A . 1- 教材分析 本节课是数学新人教版九级(上)第二十二章《二次函数》第一节课内容 二次函数教学设计 一、教学目标知识方面: 1.理解并掌握二次函数的概念; 2.能根据实际问题中的条件列出二次函数的解析式。 3.经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程,体会二次函数是刻画现实世界的一个有效的数学模型。 4.通过分析实际问题列出二次函数关系式,培养学生分析问题、解决问题的能力。情感方面:通过学生的主动参与,师生、学生之间的合作交流,提高学生的学习兴趣,激发他们的求知欲、培养合作意识。 二、教材分析 本节课是数学新人教版九年级(上)第二十二章《二次函数》第一节课内容.知识方面,它是在正比例函数,一次函数,对函数认识的完善与提高;也是对方程的理解的补充,同时也是以后学习初等函数的基础。根据本节的教学内容及学生学情,给彩虹、桥梁等图片这些丰富的生活实例,进一步让学生充分感受到二次函数的应用价值与实际意义。 重点是理解二次函数的概念,能根据已知条件写出函数解析式; 难点是从实例中抽象出二次函数的定义,会分析实例中的二次函数关系。 三、教学过程教学过程: 一、提出问题,导入新课。 1、回忆一下什么是正比例函数、一次函数?它们的一般形式是怎样的?图象形状各是什么? 2、教师提出问题:投篮球时篮球运行的路线是什么曲线?这种曲线的形状是怎样的?是否象以前学过的函数图象?能否用新的函数关系式来表示?怎样计算篮球达到最高点时的高度?这将在本章——二次函数中学习。 3、你能举出一些生活中类似的曲线吗? 二、合作交流,形成概念。1.列式表示下面函数关系。 问题1:正方体的六个面是全等的正方形,如果正方形 的棱长为x,表面积为y,写出y与x的关系。 问题2:某工厂一种产品现在的年产量是20件,计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍,那么两年后这种产品的数量y将随计划所定的x的值而定,y与x之间的关系怎样表示? 活动中教师关注: (1)学生参与小组合作讨论后,能否明白题意,写出相应关系式。 (2)问题3中可先分析一年后的产量,再得出两年后的产量。 2.教师引导学生观察,分析上面三个函数关系式的共同点。 学生小组交流、讨论得出结论,它们的共同点: (1)等号左边是变量y,右边是关于自变量x的整式。 a,b,c为常数,且a≠0 (2)等式的右边最高次数为,可以没有一次项和常数项,但不能没有二次项。(3)x的取值范围是任意实数。 教师口述二次函数的定义并板书在黑板上:一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数,叫二次函数。 二次函数与圆的专题复习 4.(2014?黑龙江哈尔滨)将抛物线y=﹣2x 2+1向右平移1个单位,再向上平移2个单位后所得到的抛物线为( ) A . y=﹣2(x+1)2﹣1 B . y ﹣2(x+1)2+3 C . y=﹣2(x ﹣1)2+1 D . y=﹣2(x ﹣1)2+3 5.(2014?舟山)当﹣2≤x ≤1时,二次函数y =﹣(x ﹣m )2+m 2+1有最大值4,则实数m 的值为( ) A . B . 或 C . 2或 D . 2或﹣或 6.(2014?毕节地区)抛物线y =2x 2,y =﹣2x 2,共有的性质是( ) A.开口向下 B.对称轴y 轴 C.都有最低点 D.y 随x 的增大而减小 7.(2014·台湾)已知a 、h 、k 为三数,且二次函数y =a (x ﹣h )2+k 在坐标平面上的图形通过(0,5)、(10,8)两点.若a <0,0<h <10,则h 之值可能为下列何者?( ) A .1 B .3 C .5 D .7 8.(2014?浙江宁波)已知点A (a ﹣2b ,2﹣4ab )在抛物线y =x 2+4x +10上,则点A 关于抛物线对称轴的对称点坐标为( ) 9.(2014·浙江金华)如图是二次函数2y x 2x 4=-++的图象,使y 1≤成立的x 的取值范围是( ) A .1x 3-≤≤ B .x 1≤- C .x 1≥ D .x 1≤-或x 3≥ 10. (2014年湖北黄石) 二次函数y=ax 2+bx+c (a≠0)的图象如图,则函数值y >0时,x 的取值范围是( )A . x <﹣1 B . x >3 C .﹣1<x <3 D . x <﹣1或x >3 11.(2014?陕西)二次函数y=ax 2+bx+c (a≠0)的图象如图,则下列结论中正确的是( ) A .c >﹣1 B . b >0 C .2a+b≠0 D .9a+c >3b 第9题图 第10题图 第11题图 第12题图 二次函数知识点归纳及相关典型题 第一部分 基础知识 1.定义:一般地,如果c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数,)0≠a ,那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2 ax y =的性质 (1)抛物线2 ax y =的顶点是坐标原点,对称轴是y 轴. (2)函数2 ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点; ②当0a 时,开口向上;当0(完整版)初三数学二次函数所有经典题型
人教版九年级数学上册二次函数教案
二次函数与圆的专题复习
最新史上最全初三数学二次函数知识点归纳总结