三 直线的参数方程
教学目标：掌握直线的参数方程，理解参数t 的几何意义；会应用直线的参数方程解决有关线段长度问题及直线与二次曲线相交的弦长、中点、最值等问题。
教学重点、难点：用直线的参数方程解决有关距离问题；参数方法与普通方法之甄别。
直线的参数方程
经过点M 0(x 0, y 0)，倾斜角为α的直线l 的普通方程为
y-y 0=tan α(x-x 0)
怎样建立直线l 的参数方程呢？
如图，在直线l 上任取一点M(x, y)，则 00000(,)(,)(,)M M x y x y x x y y =-=-- 直线的方向向量(cos ,sin )e αα=，[0,)απ∈；
0//M M e 又，所以存在实数t R ∈，使得0M M te =，即
00(,)(cos ,sin )x x y y t αα--=．
于是0cos x x t α-=，0sin y y t α-=，即0cos x x t α=+，0sin y y t α=+． 因此，经过定点M 0(x 0, y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程为
???+=+=α
α
sin cos 00t y y t x x （t 为参数）．
问题：由0M M te =，直线参数方程中的参数t 有什么几何意义？
因为(cos ,sin )e αα=，所以||1e =，由0M M te =，所以0M M t =，因此|t|即为直线上的动点M(x,y)到定点M 0(x 0, y 0)的距离；
当0<α<π时，sin α>0，直线的单位方向向量(cos ,sin )e αα=总是向上的，因此有结论：
①t>0：则0M M 的方向向上，即M 0在M 的上方； ②t<0：则0M M 的方向向下，即M 0在M 的下方； ③t=0：则点M 与点M 0重合．
直线参数方程也可以表示为：???+=+=bt
y y at
x x 00（t 为参数）
这里直线l 的倾斜角α的正切b
a
=αtan （00900==αα或时例外）。当且仅当
122=+b a 且b>0时. 其中的t 才具有上述几何意义。
例1.已知直线l : x+y-1=0与抛物线y=x 2交于A, B 两点，求线段AB 的长度和点M(-1, 2)到A, B 两点的距离之积．
解法一：由2
10
x y y x
+-=??=?，得210(*)x x +-=． 设11(,)A x y ，22(,)B x y ,由韦达定理得：121211x x x x +=-?=-，．
例3 当前台风中心P 在某海滨城市O 向东300km 处生成，并以40km/h 的速度向西偏北45度方向移动. 已知距台风中心250km 以内的地方都属于台风侵袭的范围，那么经过多长时间后该城市开始受到台风侵袭?
海滨城市O 受台风侵袭大概持续多长时间？如果台风侵袭的半径也发生变化（比如：当前半径为250km ，并以10km/m 的速度不断增大），那么问题又该如何解决？
例4 如图所示，AB ，CD 是中心为O 的 的椭圆的两条相交弦，交点为P .两弦AB ，CD 与椭圆长轴的夹角分别为∠1，∠2. 求证：|P A|· |PB|＝|PC|· |PD|.
例题选：
一、求直线上点的坐标
例1 已知过点P(2,0)，斜率为4/3的直线和抛物线y 2=2x 相交于A,B 两点，设线段AB 的中点为M ，求点M 的坐标．
解：设过点P(2,0)的直线AB 的倾斜角为α，由已知可得：3cos 5α=，4
sin 5
α=．
所以，直线的参数方程为325
45x t y t ?=+????=??
（t 为参数）．代入y 2=2x ，整理得2815500t t --=．
中点M 的相应参数是1215216t t t +==，所以点M 的坐标是413
(,)164
．
例2 求点A （?1，?2）关于直线l ：2x ?3y +1 =0的对称点A ' 的坐标。
解：由条件，设直线AA ' 的参数方程为 ?????x = ?1 ? 2
13
t ，y = ?2 + 3
13 t
(t 是参数)， ∵A 到直线l 的距离d = 513， ∴ t = AA ' = 1013
，代入直线的参数方程得A ' (? 3313，4
13)
二、求解中点问题
例1 已知双曲线 x2 ? y2
2 = 1，过点P （2，1）的直线交双曲线于P 1，P 2，求线段P 1P 2的中点M 的轨迹方程。
分析：中点问题与弦长有关，考虑用直线的参数方程，并注意有t 1 +t 2=0。
解：设M (x 0，y 0)为轨迹上任一点，则直线P 1P 2的方程是?
????x = x0 +t cos θ，
y = y0 +t sin θ(t 是参数)，
代入双曲线方程得：(2cos 2θ ?sin 2θ) t 2 +2(2x 0cos θ ?y 0sin θ)t + (2x 02 ?y 02 ?2) = 0，
由题意t 1 +t 2=0，即2x 0cos θ ?y 0sin θ =0，得tanθ = 2x0
y0。
又直线P 1P 2的斜率 k = tan θ = y ?y0
x ?x0，点P （2，1）在直线P 1P 2上，
高中数学选修4-4知识点总结 一、选考内容《坐标系与参数方程》高考考试大纲要求： 1．坐标系： ① 理解坐标系的作用. ② 了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况. ③ 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化. ④ 能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义. 2．参数方程：① 了解参数方程，了解参数的意义. ② 能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程. 二、知识归纳总结： 1．伸缩变换：设点),(y x P 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换? ??>?='>?=').0(,y y 0),(x,x :μμλλ?的作用下，点),(y x P 对应到点),(y x P '''，称?为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。 2.极坐标系的概念：在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox 叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。 3．点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离||OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的xOM ∠叫做点M 的极角，记为θ。有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为),(θρM . 极坐标),(θρ与)Z )(2,(∈+k k πθρ表示同一个点。极点O 的坐标为)R )(,0(∈θθ. 4.若0<ρ,则0>-ρ,规定点),(θρ-与点),(θρ关于极点对称，即),(θρ-与),(θπρ+表示同一点。 如果规定πθρ20,0≤≤>，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。 5．极坐标与直角坐标的互化： 6。圆的极坐标方程： 在极坐标系中，以极点为圆心，r 为半径的圆的极坐标方程是 r =ρ； 在极坐标系中，以 )0,(a C )0(>a 为圆心， a 为半径的圆的极坐标方程是 θρcos 2a =； 在极坐标系中，以 )2 ,(πa C )0(>a 为圆心，a 为半径的圆的极坐标方程是θρsin 2a =； 7.在极坐标系中，)0(≥=ραθ表示以极点为起点的一条射线；)R (∈=ραθ表示过极点的一条直线. 在极坐标系中，过点)0)(0,(>a a A ，且垂直于极轴的直线l 的极坐标方程是a =θρcos . 8．参数方程的概念：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标y x ,都是某个变数t 的函数? ??==),(),(t g y t f x 并且对于t 的每一个允许值，由这个方程所确定的点),(y x M 都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数y x ,的变数t 叫做参变数，简称参数。 相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。 9．圆2 22)()(r b y a x =-+-的参数方程可表示为)(. sin ,cos 为参数θθθ???+=+=r b y r a x . 椭圆122 22=+b y a x )0(>>b a 的参数方程可表示为)(.sin ,cos 为参数??????==b y a x .
极坐标与参数方程单元练习1 一、选择题（每小题5分，共25分） 1、已知点M 的极坐标为?? ? ??35π，，下列所给出的四个坐标中能表示点M 的坐标是（ ）。 A. B. C. D. ?? ? ? ? -355π， 2、直线：3x-4y-9=0与圆：? ??==θθ sin 2cos 2y x ，(θ为参数)的位置关系是( ) A.相切 B.相离 C.直线过圆心 D.相交但直线不过圆心 3、在参数方程? ??+=+=θθ sin cos t b y t a x （t 为参数）所表示的曲线上有B 、C 两点，它们对应的参数值分别为t 1、 t 2，则线段BC 的中点M 对应的参数值是（ ） 4、曲线的参数方程为???-=+=1 2 32 2t y t x (t 是参数)，则曲线是（ ） A 、线段 B 、双曲线的一支 C 、圆 D 、射线 5、实数x 、y 满足3x 2 ＋2y 2 =6x ，则x 2 ＋y 2 的最大值为（ ） A 、 27 B 、4 C 、2 9 D 、5 二、填空题（每小题5分，共30分） 1、点()22-， 的极坐标为 。 2、若A ，B ?? ? ? ? -64π， ，则|AB|=___________，___________。（其中O 是极点） 3、极点到直线()cos sin 3ρθθ+=________ _____。 4、极坐标方程2sin 2cos 0ρθθ-?=表示的曲线是_______ _____。 5、圆锥曲线()为参数θθ θ ?? ?==sec 3tan 2y x 的准线方程是 。
6、直线l 过点()5,10M ，倾斜角是 3 π ，且与直线032=--y x 交于M ，则0MM 的长为 。 三、解答题（第1题14分，第2题16分，第3题15分；共45分） 1、求圆心为C ，半径为3的圆的极坐标方程。 2、已知直线l 经过点P(1,1),倾斜角6 π α=， （1）写出直线l 的参数方程。 （2）设l 与圆42 2=+y x 相交与两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积。 3、求椭圆14 92 2=+y x ）之间距离的最小值，与定点（上一点01P 。 极坐标与参数方程单元练习1参考答案 【试题答案】一、选择题：1、D 2、D 3、B 4、D 5、B 二、填空题：1、??? ? ?-422π， 或写成?? ? ? ? 4722π，。 2、5，6。 3、。 4、()2 2sin 2cos 02y x ρθρθ-==，即，它表示抛物线。 5、13 13 9±=y 。6、3610+。 三、解答题 1、1、如下图，设圆上任一点为P （ ），则((((2366 OP POA OA π ρθ=∠=- =?=，， ((((cos Rt OAP OP OA POA ?=?∠中， 6cos 6πρθ? ?∴=- ???而点O )32,0(π A )6 ,0(π符合 2、解：（1）直线的参数方程是是参数）t t y t x (;211,23 1??? ????+=+= （2）因为点A,B 都在直线l 上，所以可设它们对应的参数为t 1和t 2,则点A,B 的坐标分别为 ),211,231(11t t A ++ )2 1 1,231(22t t B ++ 以直线L 的参数方程代入圆的方程42 2 =+y x 整理得到02)13(2=-++t t ① 因为t 1和t 2是方程①的解，从而t 1t 2＝－2。所以|PA|·|PB|= |t 1t 2|＝|－2|＝2。 3、（先设出点P 的坐标，建立有关距离的函数关系）
习题2－3 第42页 A 组 1.解 (1)2x －y －7＝0，直线. (2)x 216＋y 29＝1，椭圆. (3)x 2a 2－y 2 b 2＝1，双曲线. (4)原参数方程变形为?????x ＝1－1t ＋2，y ＝2－4t ＋2， 所以y －2x －1＝4. 所以4x －y －2＝0，直线. (5)? ?? ??y －122＝x ＋54，抛物线. 2.圆的普通方程为x 2＋y 2＝25，半径为5. 3.椭圆的普通方程为（x －4）24＋（y －1）225 ＝1，焦距为221. 4.椭圆的普通方程为（x －1）216 ＋y 29＝1，c ＝7，左焦点(1－7，0). 5.双曲线的普通方程为（x －2）24－（y －1）24 ＝1，中心坐标(2，1). 6.双曲线的普通方程为（y ＋2）29－（x －1）23 ＝1，所以a ＝3，b ＝3，渐近线的斜率为±3，两条渐近线的夹角为60°. 7.抛物线的普通方程为x 2＝2(y －1)，准线方程为y ＝12. 8.解 根据一元二次方程根与系数的关系得sin α＋cos α＝－a 2，sin α·cos α＝b 2， 点(a ，b )的轨迹的普通方程是a 2＝4(b ＋1). B 组 1.设动点A (x ，y )，则???x ＝sin θ＋cos θ，y ＝sin θ－cos θ， 即x 2＋y 2＝2. 2.解 设动点M (x ，y )，则? ????x ＝3cos φ－4sin φ－1，y ＝125cos φ＋95sin φ＋2.
所以?????x ＋1＝3cos φ－4sin φ，53 （y －2）＝4cos φ＋3sin φ.两式平方相加，得(x ＋1)2＋25（y －2）29＝25. 即（x ＋1）225＋（y －2）29 ＝1. 3.解 曲线的方程可以变形为(x －3cos θ)2＝4(y －2sin θ)， 顶点为(3cos θ，2sin θ)，焦点(3cos θ，2sin θ－1). 所以焦点的轨迹方程为x 29－（y －1）24 ＝1. 4.(1)普通方程为y ＝3x －2g v 20 x 2，射程为3v 202g ， (2)证明略.
选修4-4 教案 教案1 平面直角坐标系（1 课时） 教案2 平面直角坐标系中的伸缩变换（1 课时）教案3 极坐标系的的概念（1 课时） 教案4 极坐标与直角坐标的互化（1 课时） 教案5 圆的极坐标方程（2 课时） 教案6 直线的极坐标方程（2 课时） 教案7 球坐标系与柱坐标系（2 课时） 教案8 参数方程的概念（1 课时） 教案9 圆的参数方程及应（2 课时） 教案10 圆锥曲线的参数方程（1 课时） 教案11圆锥曲线参数方程的应用（1 课时）教案12 直线的参数方程（2 课时） 教案13 参数方程与普通方程互化（2 课时）教案14 圆的渐开线与摆线（1 课时）
课题：1、平面直角坐标系教学目的： 知识与技能：回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法能力与与方法：体会坐标系的作用 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识教学重点：体会直角坐标系的作用教学难点：能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题授课类型：新授课 1 2 坐标系的作用————教学过程————复习回顾和预习检查 1 平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 情境1：为了确保宇宙飞船在预定的轨道上运行，并在按计划完成科学考察任务后，安全、准确的返回地球，从火箭升空的时刻开始，需要随时测定飞船在空 中的位置机器运动的轨迹。 情境2：运动会的开幕式上常常有大型团体操的表演，其中不断变化的背景图案是由看台上座位排列整齐的人群不断翻动手中的一本画布构成的。要出现正确 的背景图案，需要缺点不同的画布所在的位置。 刻画一个几何图形的位置，需要设定一个参照系 1、数轴它使直线上任一点P都可以由惟一的实数x 确定 2、平面直角坐标系 在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。它使平面上任一点P 都可以由惟一的实数对（x,y）确定 3、空间直角坐标系 在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。它使空间上任一点P 都可以由惟一的实数对（x,y,z）确定1、建立坐标系是为了确定点的位置，因此，在所建的坐标系中应满足：任意一点都有确定的坐标与其对应；反之，依据一个点的坐标就能确定这个点的位置 2、确定点的位置就是求出这个点在设定的坐标系中的坐标 word.
高中数学选修4-4 坐标系与参数方程知识点总结 第一讲 一平面直角坐标系 1．平面直角坐标系 (1)数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴．数轴上的点与实数之间可以建立一一对应关系． (2)平面直角坐标系： ①定义：在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系； ②数轴的正方向：两条数轴分别置于水平位置与竖直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向； ③坐标轴水平的数轴叫做x轴或横坐标轴，竖直的数轴叫做y轴或纵坐标轴，x轴或y 轴统称为坐标轴； ④坐标原点：它们的公共原点称为直角坐标系的原点； ⑤对应关系：平面直角坐标系上的点与有序实数对(x，y)之间可以建立一一对应关系． (3)距离公式与中点坐标公式：设平面直角坐标系中，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，线段P1P2的中点为P 2.
设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ 点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．二极坐标系 (1)定义：在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标系的四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方向． (3)图示 2．极坐标 (1)极坐标的定义：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ)． (2)极坐标系中的点与它的极坐标的对应关系：在极坐标系中，极点O的极坐标是(0，θ)，(θ∈R)，若点M的极坐标是M(ρ，θ)，则点M的极坐标也可写成M(ρ，θ＋2kπ)，(k∈Z)． 若规定ρ>0，0≤θ<2π，则除极点外极坐标系内的点与有序数对(ρ，θ)之间才是一一对应关系． 3．极坐标与直角坐标的互化公式 如图所示，把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，且长度单位相同，设任意一点M的直角坐标与极坐标分别为(x，y)，(ρ，θ)． (1)极坐标化直角坐标 ＝ρcosθ， ＝ρsinθＷ. (2)直角坐标化极坐标 2＝x2＋y2， θ＝y x（x≠0）. 三简单曲线的极坐标方程 1．曲线的极坐标方程 一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f(ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f(ρ，θ)＝0的点都在曲线C上，那么方程f(ρ，θ)＝0叫做曲线C的极坐标方程． 2．圆的极坐标方程 (1)特殊情形如下表：
数学选修4-4坐标系与参数方程知识点总结 第一讲 一 平面直角坐标系 1．平面直角坐标系 (1)数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴．数轴上的点与实数之间可以建立一一对应关系． (2)平面直角坐标系： ①定义：在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系； ②数轴的正方向：两条数轴分别置于水平位置与竖直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向； ③坐标轴水平的数轴叫做x 轴或横坐标轴，竖直的数轴叫做y 轴或纵坐标轴，x 轴或y 轴统称为坐标轴； ④坐标原点：它们的公共原点称为直角坐标系的原点； ⑤对应关系：平面直角坐标系上的点与有序实数对(x ，y )之间可以建立一一对应关系． (3)距离公式与中点坐标公式：设平面直角坐标系中，点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，线段P 1P 2的中点为P ，填表： 两点间的距离公式 中点P 的坐标公式 |P 1P 2|＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2 ???x ＝x 1 ＋x 22y ＝y 1 ＋y 2 2 2.平面直角坐标系中的伸缩变换 设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：? ????x ′＝λx （λ>0） y ′＝μy （μ>0）的作用下， 点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．
二 极坐标系 (1)定义：在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox 叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标系的四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方向． (3)图示 2．极坐标 (1)极坐标的定义：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记作M (ρ，θ)． (2)极坐标系中的点与它的极坐标的对应关系：在极坐标系中，极点O 的极坐标是(0，θ)，(θ∈R )，若点M 的极坐标是M (ρ，θ)，则点M 的极坐标也可写成M (ρ，θ＋2k π)，(k ∈Z )． 若规定ρ>0，0≤θ<2π，则除极点外极坐标系内的点与有序数对(ρ，θ)之间才是一一对应关系． 3．极坐标与直角坐标的互化公式 如图所示，把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，且长度单位相同，设任意一点M 的直角坐标与极坐标分别为(x ，y )，(ρ，θ)． (1)极坐标化直角坐标 ? ????x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θＷ. (2)直角坐标化极坐标 ? ????ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x （x ≠0）. 三 简单曲线的极坐标方程 1．曲线的极坐标方程 一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C 上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f (ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f (ρ，θ)＝0的点都在曲线C 上，那么方程f (ρ，θ)＝0叫做曲线C 的极坐标方程． 2．圆的极坐标方程 (1)特殊情形如下表： 圆心位置 极坐标方程 图 形 圆心在极点(0，0) ρ＝r (0≤θ<2π)
第二讲 参数方程 本章归纳整合 高考真题 1．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________． [命题意图]本小题主要考查了极坐标系、极坐标方程与直角坐标方程的互化． 解析 由???x ＝ρcos θy ＝ρsin θ 得，cos θ＝x ρ，sin θ＝y ρ，ρ2＝x 2＋y 2，代入ρ＝2sin θ＋4cos θ得，ρ＝2y ρ＋4x ρ?ρ2＝2y ＋4x ?x 2＋y 2－4x －2y ＝0. 答案 x 2＋y 2－4x －2y ＝0 2．已知两曲线参数方程分别为?????x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ<π)和???x ＝54 t 2，y ＝t (t ∈R )，它们的交点坐标为________． [命题意图]本题考查参数方程问题，主要考查转化与化归思想．将参数方程转化为直角坐标方程的关键在于消去参数，但也要注意所给参数的取值范围． 解析 由???x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ<π)，得x 25＋y 2＝1(y ≥0，x ≠－5)，
由?????x ＝54t 2，y ＝t (t ∈R )，得x ＝54y 2，联立方程可得?????x 25＋y 2＝1，x ＝54y 2， 则5y 4＋16y 2－16＝0，解得y 2 ＝45或y 2＝－4(舍去)，则x ＝54y 2＝1，又y ≥0，所以其交点坐标为? ????1，255. 答案 ? ????1，255 3．在平面直角坐标系xOy 中，求过椭圆? ????x ＝5cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)的右焦点，且与直线? ????x ＝4－2t ，y ＝3－t (t 为参数)平行的直线的普通方程为________． [命题意图]本小题主要考查椭圆及直线的参数方程等基础知识，考查转化问题的能力． 解析 由题设知，椭圆的长半轴长a ＝5，短半轴长b ＝3，从而c ＝a 2－b 2＝4，所以右焦点为(4，0)．将已知直线的参数方程化为普 通方程：x －2y ＋2＝0.故所求直线的斜率为12，因此其方程为y ＝12(x －4)，即x －2y －4＝0. 答案 x －2y －4＝0 4．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为? ????x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，曲线C 2的方程为ρ(cos θ
高中数学选修44极坐标与参数方程试题
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高中数学选修4-4综合试题 一、选择题 1.直线12+=x y 的参数方程是（ ） A 、???+==1 22 2 t y t x （t 为参数） B 、???+=-=1412t y t x （t 为参数） C 、 ???-=-=121 t y t x （t 为参数） D 、?? ?+==1 sin 2sin θθy x （t 为参数） 2.若点(3,)P m 在以点F 为焦点的抛物线2 4()4x t t y t ?=? =?为参数上，则||PF 等于（ ）． A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 3.已知??? ? ? -3,5πM ，下列所给出的不能表示点M 的坐标的是( ) A 、?? ? ? ?- 3,5π B 、?? ? ? ?3 4, 5π C 、?? ? ? ?- 3 2,5π D 、?? ? ? ?- -3 5,5π 4.极坐标系中，下列各点与点P （ρ，θ）（θ≠k π，k ∈Z ）关于极轴所在直线 对称的是（ ） A ．（-ρ，θ） B ．（-ρ，-θ） C ．（ρ，2π-θ） D ．（ρ，2π+θ） 5.点() 3,1-P ，则它的极坐标是 ( ) A 、?? ? ? ?3, 2π B 、?? ? ? ?34, 2π C 、?? ? ? ?- 3,2π D 、?? ? ? ?- 34,2π 6.直角坐标系xoy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建极坐标系，设点A,B 分别在曲 线13cos :sin x C y θ θ =+?? =? （θ为参数）和曲线2:1C ρ=上，则AB 的最小值为( ). A.1 B.2 C.3 D.4 7.参数方程为1()2 x t t t y ? =+ ???=?为参数表示的曲线是（ ） A ．一条直线 B ．两条直线 C ．一条射线 D ．两条射线
一、极坐标系 1．极坐标系与点的极坐标 (1)极坐标系：如图4－4－1所示，在平面内取一个定点O ，叫做极点，自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标：平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ来刻画，这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标．其中ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的极角． 2 题型一 极坐标与直角坐标的互化 1、已知点P 的极坐标为，则点P 的直角坐标为 （ ） A.（1，1） B.（1，-1） C.（-1，1） D.（-1，-1） 2、设点的直角坐标为，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点的极坐标为（ ） A ． B ． C ． D ． 3．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________． 4．在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是( ) A ．ρ＝cos θ B ．ρ＝sin θ C ．ρcos θ＝1 D ．ρsin θ＝1 5．曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________． 6. 在极坐标系中，求圆ρ＝2cos θ与直线θ＝π 4 (ρ>0)所表示的图形的交点的极坐标． 题型二 极坐标方程的应用 由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，可先转化为直角坐标方程，然后求解．
(时间：120分钟，满分：150分) 一、选择题(本大题共12小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．参数方程? ??? ? x ＝3t 2＋2y ＝3t 2－1(0≤t ≤5)表示的曲线是( ) A ．线段 B ．双曲线的一支 C ．圆弧 D ．射线 答案：A 2．圆的参数方程为? ???? x ＝4cos θy ＝4sin θ(θ为参数，0≤θ＜2π)，若Q (－2，23)是圆上一点，则 参数θ的值是( ) A.π3 B.2π 3 C.4π3 D.5π3 答案：B 3．直线y ＝2x ＋1的参数方程是( ) A.? ???? x ＝t 2y ＝2t 2＋1(t 为参数) B.????? x ＝2t －1y ＝4t ＋1(t 为参数) C.????? x ＝t －1y ＝2t －1(t 为参数) D.? ???? x ＝sin θy ＝2sin θ＋1(θ为参数) 答案：C 4．参数方程??? x ＝2＋t y ＝3－4－t 2 (t 为参数)表示的曲线为( ) A ．半圆 B ．圆 C ．双曲线 D ．椭圆 答案：A
5．参数方程? ???? x ＝2＋sin 2θ y ＝－1＋cos 2θ(θ为参数)化为普通方程是( ) A ．2x －y ＋4＝0 B ．2x ＋y －4＝0 C ．2x －y ＋4＝0 x ∈[2,3] D ．2x ＋y －4＝0 x ∈[2,3] 答案：D 6．已知集合A ＝{(x ，y )|(x －1)2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y x ·y x －2 ＝－1}，C ＝{(ρ，θ)|ρ＝2cos θ，θ≠k π 4，k ∈Z }，D ＝{(x ，y )|? ???? x ＝1＋cos θy ＝sin θ，θ≠k π，k ∈Z }，下列等式成立的是( ) A ．A ＝ B B ．B ＝D C ．A ＝C D ．B ＝C 答案：B 7．设圆? ???? x ＝3＋r cos θy ＝－5＋r sin θ(θ为参数)上有且仅有两点到直线－4x ＋3y ＋2＝0的距离等于 1，则r 的取值范围是( ) A ．4 人教版高中数学选修4-4坐标系与参数方程全套教案 课型： 复习课 课时数： 1 讲学时间： 2010年1月18号 班级： 学号： 姓名： 一、【学习目标】： 1、了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况。 2、能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化。 3、能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程。通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，体会在用方程刻画平面图形时选择适当坐标系的意义。 4、分析直线、圆和圆锥曲线的几何性质，选择适当的参数写出它们的参数方程，能进行参数方程与普通方程的互化。 二、【回归教材】： 1、阅读选修4-4《坐标系与参数方程》152P P -,试了解以下内容： （1）设点),(y x P 是平面直角坐标系中的任意一点，在伸缩变换公式???>?='>?=') 0()0(:μμλλ?y y x x 的作用下，如何找到点P 的对应点),(y x P '''？试找出x y sin =变换为x y 2sin 3=的伸缩变换公式 . （2）极坐标系是如何建立的？试类比平面直角坐标系的建立过程画一个，并写出点M 的极径与极角来 表示它的极坐标，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，写出极坐标和直角坐标的互化公式 . （3）在平面直角坐标系中，曲线C 可以用方程0),(=y x f 来表示，在极坐标系中，我们用什么方程来 表示这段曲线呢？例如圆222r y x =+，直线x y =，你是如何用极坐标方程表示它们的？ 2、阅读选修4-4《坐标系与参数方程》3721P P -，了解以下内容： （1）直接给出这条曲线上点的坐标间的关系的方程叫做普通方程，那如果变数t 都是点坐标x ，y 的函 数，我们如何建立这条曲线的参数方程呢？ （2）将曲线的参数方程化为普通方程，有利于识别曲线的类型，我们是如何做到的？在互化的过程中， 必须注意什么问题？试探究一下圆锥曲线的参数方程与普通方程的互化。 一 曲线的参数方程 庖丁巧解牛 知识·巧学 一、参数方程的概念 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数，即? ??==)(),(t g y t f x （＊）.并且对于t 的每一个允许值，由方程组（＊）所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么方程组（＊）就叫做这条曲线的参数方程，联系x 、y 之间关系的变数t 叫做参变数，简称参数.相对于参数方程来说，以前所学习过的关于x 、y 的直角坐标方程，叫做曲线的普通方程. 在求曲线的方程时，一般需要建立曲线上动点P （x ，y ）的坐标x,y 之间满足的等量关系F （x ，y ）＝0，这样得到的方程F （x ，y ）＝0就是曲线的普通方程；而有时要想得到联系x,y 的方程F （x ，y ）＝0是比较困难的，于是可以通过引入某个中间变量t ，使之与曲线上动点P 的坐标x,y 间接地联系起来，此时可得到方程组???==) (),(t g y t f x 即点P 的运动通过变量t 的变化进行描述.若对t 的每一个值，由方程组确定的点（x ，y ）都在曲线C 上；反之，对 于曲线C 上的每一个点（x ，y ），其中x,y 都是t 的函数，则把方程组? ??==)(),(t g y t f x 叫做曲线C 的参数方程，其中的t 称为参数.在具体问题中的参数可能有相应的几何意义，也可能没有什么明显的几何意义. 疑点突破 参数的选取应根据具体条件来考虑.但有时出于题目需要，也可以选两个或两个以上的参数，然后再设法消去其中的参数得到普通方程，或剩下一个参数得到参数方程.但这样做往往增加了变形与计算的麻烦，因此参数的选取一般应尽量少.一般说来，选择参数时应注意考虑以下两点：一是曲线上每一点的坐标(x,y)都不可能由参数取某一值唯一地确定出来；二是参数与x 、y 的相互关系比较明显，容易列出方程. 深化升华 参数法在求曲线的轨迹方程时是一种常用的甚至是简捷的解题方法.参数的思想方法就是在运动变化的哲学思想指导下的函数的思想方法，因此也可认为引入参数就是引入函数的自变量. 二、圆的参数方程 1.圆心在原点、半径为r 的圆的参数方程：???==θ θsin ,cos r y r x (θ为参数). 2.圆心为O 1(a,b)，半径为r 的圆的参数方程：?? ?+=+=θθsin ,cos r b y r a x (θ为参数). 参数θ的几何意义是：以x 轴正半轴为始边，以OP 为终边的角（其中O 为坐标原点，P 为圆上一动点）. 圆的参数方程还可以表示为x=???+=+=θ θcos ,sin r b y r a x (θ为参数). 1 / 5 坐标系与参数方程 知识点 １.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换 (0):(0) x x y y λλ?μμ'=>?? '=>?的作用下，点P(x,y)对应到点(,)P x y ''',称?为 平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换. ２.极坐标系的概念 （1）极坐标系如图所示,在平面内取一个定点O ,叫做极点,自极点O 引一条射线Ox ,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系. 注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可．但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系. (２)极坐标:设Ｍ是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点Ｍ的极角,记为θ.有序数对(,)ρθ叫做点Ｍ的极坐标,记作(,)M ρθ. 一般地，不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数. 特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为(0, θ)(θ∈Ｒ） ．和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示. 如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示；同时,极坐标(,)ρθ表示的点也是唯一确定的. ３.极坐标和直角坐标的互化 (1）互化背景:把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位，如图所示： (2）互化公式：设M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(,)x y ,极坐标是(,)ρθ（0ρ≥),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表: 选做题部分 极坐标系与参数方程 一、极坐标系 1．极坐标系与点的极坐标 (1)极坐标系：如图4－4－1所示，在平面内取一个定点O ，叫做极点，自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标：平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ来刻画，这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标．其中ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的极角． 2．极坐标与直角坐标的互化 点M 直角坐标(x ，y ) 极坐标(ρ，θ) 互化公式 题型一 极坐标与直角坐标的互化 1、已知点P 的极坐标为)4 ,2(π ，则点P 的直角坐标为 （ ） A.（1，1） B.（1，-1） C.（-1，1） D.（-1，-1） 2、设点P 的直角坐标为(3,3)-，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系(02)θπ≤<，则点P 的极坐标为（ ） A ．3(32, )4π B ．5(32,)4π- C ．5(3,)4π D ．3(3,)4 π- 3．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________． 4．在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是( ) A ．ρ＝cos θ B ．ρ＝sin θ C ．ρcos θ＝1 D ．ρsin θ＝1 5．曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________． 6. 在极坐标系中，求圆ρ＝2cos θ与直线θ＝π 4 (ρ>0)所表示的图形的交点的极坐标． 四渐开线与摆线 庖丁巧解牛 知识·巧学 一、渐开线的产生过程 我们可以把一条没有弹性的绳子绕在一个圆盘上,在绳的外端系上一枝铅笔,将绳子拉紧,保持绳子与圆相切,逐渐展开,那么铅笔画出的曲线就是圆的渐开线,相应的定圆叫做基圆(如图2-4-1). 图2-4-1 也可以使用计算机在软件中进行模拟渐开线的图象. 渐开线在实际生活和生产中比较常见.在机械工业中,广泛地使用齿轮传递动力,由于渐开线齿形的齿轮磨损少传动平稳,制造安装较为方便,因此大多数齿轮采用这种齿形.设计加工这种齿轮要依据圆的渐开线方程. 在物理问题中,许多问题都要涉及到渐开线问题,因为它是有关传动力学的基础.在数学中,我们都学习过三角函数,其图象的画法,是首先根据单位圆上的点进行平移,实际上也是圆的渐开线问题. 深化升华圆的渐开线是研究最多的一种渐开线.但是并不是只有一种渐开线,除了圆的渐开线之外,还有正方形的渐开线,长方形的渐开线,椭圆的渐开线等.只需把圆的渐开线中的基圆换成相应的图形即可得到相应的渐开线.研究这些渐开线可以仿照圆的渐开线建立相应的参数方程,进一步得出其性质. 二、摆线的概念和产生过程 圆的摆线就是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个定点的轨迹.我们可以在自行车轮子上喷一个白色的印记,观察自行车在笔直的道路上运动时形成的轨迹来理解圆的摆线,也可以借助教具或计算机软件,观察圆在直线上滚动时圆上定点的轨迹.圆的摆线又叫旋轮线. 市面上曾经流行过一种可绘制曲线的器具,它包含一个在圆周上刻满锯齿的小圆形板,以及一个在内外圆周上都刻有锯齿的大圆环形板.把玩之时,将小圆板放在大圆环板内部,并让锯齿套合而使小圆板沿着大圆环板滚动.将笔插入小圆板上的一个小洞,随着小圆板的滚动,铅笔就会描绘出一条曲线,这条曲线实际上也是摆线的一种(如图2-4-2). 真题试做 1．(2012·上海高考，理10)如图，在极坐标系中，过点M (2,0)的直线l 与极轴的夹角α＝π 6 .若将l 的极坐标方程写成ρ＝f (θ)的形式，则f (θ)＝__________. 2．(2012·广东高考，文14)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为 ?? ? x ＝5cos θ，y ＝5sin θ ? ????θ为参数，0≤θ≤π2和????? x ＝1－2 2t ， y ＝－2 2 t (t 为参数)，则曲线C 1 和C 2的交点坐标为__________． 3．(2012·江西高考，理15)曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2 －2x ＝0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为__________． 4．(2012·课标全国高考，理23)已知曲线C 1的参数方程是? ???? x ＝2cos φ， y ＝3sin φ(φ为参数)， 以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2.正方 形ABCD 的顶点都在C 2上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为? ????2，π3. (1)求点A ，B ，C ，D 的直角坐标； (2)设P 为C 1上任意一点，求|PA |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2 的取值范围． 5．(2012·辽宁高考，文23)在直角坐标系xOy 中，圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：(x －2)2 ＋y 2＝4. (1)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C 1，C 2的极坐标方程，并求出圆C 1，C 2的交点坐标(用极坐标表示)； (2)求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程． 考向分析 从近几年的高考情况看，该部分主要有三个考点：一是平面坐标系的伸缩变换；二是极坐标方程与直角坐标方程的互化；三是极坐标方程与参数方程的综合应用．对于平面坐标系的伸缩变换，主要是以平面直角坐标系和极坐标系为平台，考查伸缩变换公式的应用，试题设计大都是运用坐标法研究点的位置或研究几何图形的形状．对于极坐标方程与直角坐标方程的互化，是高考的重点和热点，涉及到直线与圆的极坐标方程，从点与直线、直线与圆的位置关系等不同角度考查，研究求距离、最值、轨迹等常规问题．极坐标方程与参数方程的综合应用，主要是以直线、圆和圆锥曲线的参数方程为背景，转化为普通方程，从而进一步判断位置关系或进行有关距离、最值的运算． 预计2013年高考中，本部分内容主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化、参数方程与普通方程的互化，考查简单曲线的极坐标方程和参数方程，试题多以填空题、解答题的形式呈现，属于中档题． 热点例析 热点一 平面坐标系的伸缩变换 【例1】在同一平面直角坐标系中，将直线x －2y ＝2变成直线2x ′－y ′＝4，求满足图象变换的伸缩变换． 规律方法 1.平面坐标系的伸缩变换对图形的变化起到了一个压缩或拉伸的作用，如三 高中数学选修4-4全套教案 第一讲坐标系 一平面直角坐标系 课题：1、平面直角坐标系 教学目的： 知识与技能：回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法 能力与与方法：体会坐标系的作用 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 教学重点：体会直角坐标系的作用 教学难点：能够建立适当的直角坐标系,解决数学问题 授课类型：新授课 教学模式：启发、诱导发现教学. 教具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 情境1：为了确保宇宙飞船在预定的轨道上运行，并在按计划完成科学考察任务后，安全、准确的返回地球，从火箭升空的时刻开始，需要随时测定飞船在空中的位 置机器运动的轨迹。 情境2：运动会的开幕式上常常有大型团体操的表演，其中不断变化的背景图案是由看台上座位排列整齐的人群不断翻动手中的一本画布构成的。要出现正确的背景 图案，需要缺点不同的画布所在的位置。 问题1：如何刻画一个几何图形的位置？ 问题2：如何创建坐标系？ 二、学生活动 学生回顾 刻画一个几何图形的位置，需要设定一个参照系 1、数轴它使直线上任一点P都可以由惟一的实数x确定 2、平面直角坐标系 在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系。它使平面上任一点P都可以由惟一的实数对（x,y）确定 3、空间直角坐标系 在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。它使空间上任一点P 都可以由惟一的实数对（x,y,z）确定 三、讲解新课： 1、建立坐标系是为了确定点的位置，因此，在所建的坐标系中应满足： 任意一点都有确定的坐标与其对应；反之，依据一个点的坐标就能确定这个点的位置 一曲线的参数方程 课后篇巩固探究 A组 1.与普通方程xy=1表示相同曲线的参数方程的是() A.(t为参数) B.(t为参数) C.(t为参数) D.(t为参数) 2.圆(θ为参数)的半径等于() A.2 B.4 C.3 D. (x-2)2+(y-2)2=9,故半径等于3. 3.参数方程(t为参数)表示的曲线是 () A.双曲线x2-y2=1 B.双曲线x2-y2=1的右支 C.双曲线x2-y2=1,且x≥0,y≥0 D.双曲线x2-y2=1,且x≥,y≥1 x2-y2=1,且x=,y=≥1,故选D. 4.曲线(θ为参数)上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是() A. B. C.1 D. d满足d2=(|sin θ|+|cos θ|)2=1+|sin 2θ|≤2,且当 θ=时上式取等号,故d的最大值为. 5.参数方程(t为参数)表示的图形为() A.直线 B.圆 C.线段(但不包括右端点) D.椭圆 x=中解得t2=,将其代入y=中,整理得到2x+y-5=0.但由t2=≥0解得0≤x<3.所以其对应的普通方程为2x+y-5=0(0≤x<3),它表示一条线段,但不包括右端点. 6.若曲线(θ为参数)经过点,则a=. 1+cos θ=,则cos θ=,于是sin θ=±,a=2sin θ=±. 7.已知圆的方程为x2+y2=2x,则它的参数方程为. 2+y2=2x的标准方程为(x-1)2+y2=1,设x-1=cos θ,y=sin θ,则参数方程为 (0≤θ<2π,θ为参数). (0≤θ<2π,θ为参数) 8.指出下列参数方程分别表示什么曲线: (1); (2)(t为参数,π≤t≤2π);人教版高中数学选修44坐标系与参数方程全套教案
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