量子物理基础
17.1 夜间地面降温主要是由于地面的热辐
射。如果晴天夜里地面温度为-5°
C ，按黑体辐射计算，每平方米地面失去热量的速率多大？ 解：每平方米地面失去热量的速率即地面的辐射出射度
2
4
8
4
W /m
29226810
67.5=??==-T
M σ
17.2 在地球表面，太阳光的强度是1.0?103W/m 2。地球轨道半径以1.5?108
km 计，太阳半径以7.0?108 m 计，并视太阳为黑体，试估算太阳表面的温度。 解：
4
22
44T
R I R M S
E σππ==
K
103.510
67.5)107.6(100.1)105.1(3
4
8
2
8
32
11
4
2
2
?=??????=
=
-σ
S E R I R T 17.3宇宙大爆炸遗留在宇宙空间的均匀背景辐射相当于3K 黑体辐射．求： （1）此辐射的单色辐射强度在什么波长下有极大值？
（2）地球表面接收此辐射的功率是多少？
[解答]（1）根据公式λm T = b ，可得辐射的极值波长为
λm = b/T = 2.897×10-3/3 = 9.66×10-4(m)． （2）地球的半径约为R = 6.371×106m ， 表面积为 S = 4πR 2．
根据公式：黑体表面在单位时间，单位面积上辐射的能量为 M = σT 4
，
因此地球表面接收此辐射的功率是 P = MS = 5.67×10-8
×34
×4π(6.371×106)2
= 2.34×109(W)．
17.4 铝的逸出功是eV 2.4，今有波长nm 200=λ的光照射铝表面，求：
（1）光电子的最大动能； （2）截止电压；
（3）铝的红限波长。 解：（1） A c
h
A h E k -=-=λ
ν
eV 0.22.410
6.110
20010
31063.619
9834
=-??????=
---
（2）V 0.21/0.2/===e E U k c （3）A
hc c
=
=
0νλ
nm
296m
1096.210
6.12.410
310
63.67
19
8
34
=?=?????=
---
17.5 康普顿散射中入射X 射线的波长是λ = 0.70×10-10m ，散射的X 射线与入射的X 射线垂直．求：
（1）反冲电子的动能E K ；
（2）散射X 射线的波长；
（3）反冲电子的运动方向与入射X 射线间的夹角θ．
[解答]（1）（2）根据康普顿散射公式得波长变化为
2
12
2
2sin
2 2.42610
sin
2
4
?
π
λΛ-?==??
= 2.426×10-12
(m)，
散射线的波长为
λ` = λ + Δλ = 0.72426×10-10(m)． 反冲电子的动能为
`
k hc
hc
E λ
λ=
-
34
8
34
8
10
10
6.6310
310
6.6310
310
0.710
0.7242610
----??????=
-
??
= 9.52×10-17(J)．
（3）由于
/`tan /`
hc hc λλθλ
λ==
，
0.70.96650.72426
=
=，
所以夹角为θ = 44°1`．
17.6 求波长分别为71100.7-?=λm 的红光和波长1021025.0-?=λm 的X 射线光子的能量、动量和质量。
解：光子能量为E = h ν = hc/λ，动量为 p = h/λ；
由E = hc/λ = mc 2
，得其质量为m = h/cλ．
对于红光来说，能量为 J,
10
84.210
0.710
310
63.619
7
8
34
1---?=????=
E
动量为 ,
s m kg 10
47.910
0.71063.61
28
7
341----???=??=
p
质量为 .
kg 10
16.310
0.710310
63.636
7
8
34
1---?=????=
m
对于X 射线来说，能量为J,
1096.710
25.010
310
63.615
10
8
34
2---?=????=
E
动量为 ,
s m kg 10
65.210
25.01063.61
23
10
342----???=??=
p
质量为 .kg 10
84.810
25.010310
63.632
10
8
34
2---?=????=
m
17.7 处于第四激发态上的大量氢原子，最多可发射几个线系，共几条谱线？那一条波长最长．
[解答]第四激发态的氢原子处于第5个能级，最多可发射四个线系．
（1）能级5到4，1条谱线；
（2）能级5和4到3，2条谱线；
（3）能级5、4和3到2，3条谱线；
（3）能级5、4、3和2到1，4条谱线． 共10条谱线．从能级5跃迁到4发射的光谱频率最小，波长最长．
17.8 设氢原子中的电子从2=n 的轨道上电离出去，需多少能量? 解：氢原子能级公式为
,182
2
204n
h
me
E n ?
-
=ε
当n =1时，基态能级的能量为
eV,
6.1310
18.2818
2
2041-=?-≈-
=-J h
me
E ε
因此 eV 6.132
n
E n -=
．
当电子从n 能级跃迁到m 能级时放出（正）或吸收（负）光子的能量为
12
2
11(
)n m E E E E n
m
?=-=-
．
电离时，m 趋于无穷大．当电子从n = 2的能级电离时要吸收能量
2
2
1113.6(
)2
E ?=--
∞
= -3.4(eV)，
因此需要3.4eV 的能量．
17.9 略
17.10 质量为m 的卫星，在半径为r 的轨道上环绕地球运动，线速度为v ．
（1）假定玻尔氢原子理论中关于轨道
角动量的条件对于地球卫星同样成立．证明
地球卫星的轨道半径与量子数的平方成正
比，即r = Kn 2
，（式中K 是比例常数）；
（2）应用（1）的结果求卫星轨道和下一个“容许”轨道间的距离，由此进一步说明在宏观问题中轨道半径实验上可认为是连续变化的（利用以下数据作估算：普朗克常数h = 6.63×10-34J·s ，地球质量M = 6×1024kg ，地球半径R = 6.4×103km ，万有引力常数G = 6.7×10-11N·m 2·kg -2
．
[解答]（1）卫星绕地球运动的向心力是万有引力
2
2
M m m v G r
r
=
；
根据玻尔理论，角动量为
mvr = nh /2π．
将前式乘以mr 3
得
2
2
2
2
()()4nh GM m r mvr π
==
，
所以 22
2
2
2
4h n
r K n G M m
π=
=，
即：卫星的轨道半径与量子数的平方成正比．
（2）假设卫星质量m = 100kg ，比例系数为
2
2
2
4h
K G M m
π=
34
22
11
24
2
(6.6310
)
4 6.710
610(100)
π--?=
?????
= 2.77×10-87
．
可见：比例系数很小．
当r = R 时，地球表面的量子数为
46
0 4.810
n =
=?．
可见：地球表面处的量子数很大．
地面以上的量子数设为n `，(n` = 1,2,3,…)，则总量子数可表示为两个量子数之和：n =n 0 + n`．轨道间的距离为 Δr = K [(n 0 + n` + 1)2 - (n 0 + n`)2]
= K [2(n 0 + n`) + 1]．
由于n 0>>1，所以Δr = 2Kn 0 + 2Kn`． 设n` = kn 0，即：取地面以上的量子数为地球表面量子数的倍数，有n = (k + 1)n 0，则
r = Kn 02(k + 1)2，
Δr = 2Kn 0(k + 1) = 2.66×10-40(k + 1)． 这说明：当地面以上的量子数按k + 1成倍地增加时，半径将按k + 1的平方的规律增加，而轨道之间的距离只按k + 1的一次方的规律增加；由于Δr 的系数很小，所以轨道间距是非常非常小的，因此可认为轨道半径是连续变化的．
17.11 电子和光子各具有波长2.0×10-10m ，它们的动量和总能量各是多少？
[解答]它们的动量都为
34
10
6.6310210
h p λ
--?=
=
?
= 3.315×10-24(kg·m·s -1)．
根据公式E 2
= p 2c 2 + m 02c 4
，电子的总能
量为
E =
=3×108×[(3.315×10-24)2
+ (9.1×10-31
×3×108)2]1/2
=8.19×10-14
(J)． 光子的静止质量为零，总能量为 E = cp = 3×108×3.315×10-24 = 9.945×10-16(J)．
17.12 室温下的中子称为热中子
K T 300=，试计算热中子的平均德布罗意
波长。
解：中子热运动的平均速度的大小为n
m kT
π8=
v
中子的质量m n = 1.673×10-27kg ，可得平均速度为 ,s m 102.5091
4
-??=v
平均动量为
.s
m kg 10
4.21
27
--???==v n m P
平均德布罗意波长为
nm 158.0m 10
58.110
=?==
-p
h λ．
17.13 假定对粒子动量的测定可以精确到千分之一，试确定下述粒子位置的不确定量。（1）该粒子质量为3
100.5-?kg ，以2m·s -1
的速度运动；
（2）该粒子是速度为8108.1?m·s -1
的电子． 解：粒子的动量为 p = m v ，动量的不确定量为 Δp = p /1000，
根据动量和位置的不确定关系Δp ·Δx ≧?/2，位置的不确定量为Δx = ?/2Δp ．
m
10
28.52
10
514.341063.6100041000230
3
34---?=??????=
=
?≥
?p
h p
x π
m
1022.310
8.110
1.914.341063.6100041000210
8
31
34
---?=???????=
=?≥
?p
h p
x π
17.14 一束动量为P 的电子通过宽度为a 的狭缝发生单缝衍射，设缝与屏之间的距
离为R ，试求
屏上所观察到的单缝衍射中央明纹宽度。 解：根据动量和位置的不确定关系
2/ ≥??x p x ，
其中位置不确定量为Δx = a ，动量的不确定量为Δp x = p sin θ．
设电子衍射图样的中央明纹宽度为d ，则R
d 2tan sin =
≈θθ， 可得,2
2 ≥R
pda .pa
R d ≥
17.15 电视机显象管中电子的加速电压为9kV ，电子枪枪口直径取0.5mm ，枪口离荧光屏距离为0.30m ，求荧光屏上一个电子形成的亮斑直径。这样大小的亮斑影响电视图像的清晰度吗？
解：取mm 50.0=?y ，则由不确定关系得
y
p y ?=
?2
而
E m p e x 2=
荧光屏上亮斑直径为
E
m y l yp l l p p d e x
x
y 22?=
?=
?=
nm
2.1m 10
2.110
6.110910
1.92105.030
.010
05.19
19
3
31
334=?=??????????=-----此亮斑的大小不会影响当前电视图像的清
晰度。
又，亮斑直径也可用波的衍射来求，即 yp
hl y
l l d ?=??
==44.222.122λθ
令d w /d t = 0，得概率最大的位置为 .1a x ±
=
17.16 一宽度为a 的一维无限深势阱，试用不确定关系估算阱中质量为m 的粒子最低能量为多少？
[解答]粒子坐标的不确定范围是 Δx ≦a ，
动量的不确定范围是
Δp ≧h /Δx ≧h /a ．
这也就是动量p 的范围．因此能量为 E = p 2/2m ≧ h 2/2ma 2， 最低能量可估计为
E min = h 2/2ma 2．
17.17 设有一宽度为a 的一维无限深势阱，
粒子处于第一激发态，求在x = 0至x = a /3之间找到粒子的几率？
[解答]粒子在一维无限深势阱中的定态波函数为
(0)(),
(1,2,3,...)
πψ≤≤=
=n x a n x x n a
，
Ψ(x ) = 0，(x < 0，x > a )．
当粒子处于第一激发态时，n = 2，在x = 0至x = a /3之间被发现的几率为
/3
2
20
|()|d ψ?
a x x /3
2
22sin
d π=
?
a x x a
a
23
2π
=
-
= 0.391．
17.18 设粒子在宽度为a 的一维无限深势阱
运动时，其德布罗意波在阱内形成驻波，试利用这一关系导出粒子在阱中的能量计算式．
[解答]当粒子在势阱中形成稳定驻波时，势阱宽度必然为半波长的整数倍，即
n (λ/2) = a ，(n = 1,2,3,…)． 根据德布罗意假设 λ = h/p ， 可得粒子的动量为
2λ=
=h nh p a
能量为 2
2
2
2
28=
=
p
h
E n m
m a
．
17.19设有某线性谐振子处于第一激发态，其波函数为
22
2
1ψ-
=
a x ．
式中a =
k 为常数，则该谐振子在
何处出现的概率最大？
[解答]第一激发态的概率为
22
2
21||a x
w e
ψ-==
，
对x 求导得
2
2
22
22d (2)]d a x
a x
w xe
x a x e
t
--=
+-
2
2
2
2
(1)a x
x x a e
-=
-，
令d w /d t = 0，得概率最大的位置为
x = ±1/a ．
17.20一维运动的粒子，处于如下的波函数所描述的状态
,(0);
()0,(0).x Axe x x x λψ-?>=?
式中λ > 0，A 为常数．
（1）将此波函数归一化；
（2）求粒子位置的概率分布函数； （3）粒子在在何处出现的概率最大？ [解答]（1）归一化得
2
2220
1||d d x
x A x e
x λψ∞
∞
--∞
=
=
?
?
2
2
20
1d 2x
A
x
e
λλ∞
--=?
2
2220
1{2d }2x
x
A
x e
xe
x λλλ
∞
∞---=-?
2
2
20
12(
)
d 2x
A x e
λλ
∞
--=-?
2
2220
12(
){d }2x
x
A xe
e
x λλλ
∞
∞---=--
?
22
323
12(
)24x
A
A e
λλ
λ
∞
--==
，
所以A =2λ3/2 ．归一化波函数为
3/22,(0);
()0,(0).x xe x x x λλψ-?>=?
（[注]利用Γ函数的性质可简化积分过程．
1
()d n x
n x
e x ∞
--Γ=
?，
当n 为整数时，Γ(n ) = (n - 1)!．设y = 2λx ，
则d x = d y /2λ，可得
223
31
1d (
)
d 2x
y
x e
x y
e
y λλ
∞
∞
---=?
?
3
3
1
1(
)(3)2(
)22λ
λ
=Γ=，
可以得出同一结果．）
（2）粒子坐标的几率分布函数为
3222
4,(0);
()|()|0,(0).x x e x w x x x λλψ-?>==?
（3）利用上一题的方法求导可得几率
最大的位置为x = 1/λ．
17-21 原子核外电子的量子态由n ，
l ，l m ，4s m 个量子数表征，则当n ，l ，l m 给定
时，不同量子态有几个?若给定的只是，n ,l ，则结果又如何? 如果只给定n ，则又
可以有多少个不同的量子态?
解：当n 、l 、m l 一定时，m s 只取两个值，所以量子态数目为2．
当n 、l 一定时，m l 有(2l + 1)种不同取值，所以量子态数目为2(2l + 1)．
当n 一定时，l 从0到(n - 1)共有n 种不同取值，量子态数目为
1
1
1
2(21)421n n n l l l l l ---===+=+∑∑∑
2
(1)
4222
n n n n -=?
+=．
第六部分 量子物理基础 习题： 1.从普朗克公式推导斯特藩玻尔兹曼定律。（提示：15 1 4 3 π = -? ∞ dx e x x ） 解：λλ πλλλd e hc d T M T M T k hc ??∞ -∞-= = 5 20 001 1 2),()( 令 x T k hc =λ，则dx kTx hc d 2 - =λ，所以 44 2 5 4503 4 2 3 40 2 5 2 5 2015 21 2)(11) ( 211 2)(T T c h k dx e x T c h k dx kTx hc e hc kTx hc d e hc T M x x T k hc σπππλ λ πλ=?? =-= --= -= ???∞ ∞ ∞ - 证毕。 2.实验测得太阳辐射波谱中峰值波长nm m 490=λ，试估算太阳的表面温度。 解：由维恩位移定律b T m =λ得到 K b T m 3 9 3 1091.510 49010897.2???= = --＝λ 3.波长为450nm 的单色光射到纯钠的表面上（钠的逸出功A ＝2.29eV ），求： （1）这种光的光子能量和动量； （2）光电子逸出钠表面时的动能。 解：（1） 2.76eV J 10 42.410 45010 310 63.619 9 8 34 ＝＝－－?????= = =-λ hc hv E s m /kg 10 47.110 4501063.6h p 27 9 34????--－＝＝ ＝ λ
（2）由爱因斯坦光电效应方程，得光电子的初动能为 eV A hv E k 47.029.276.2=-=-= 4.铝的逸出功是4.2eV ，现用波长nm 200=λ的紫外光照射铝表面。试求： （1）发射的光电子的最大动能； （2）截止电压； （3）铝的红限频率。 解：（1）由光电效应方程得光电子的最大动能为 J 10 2.310 6.12.410 20010 310 63.619 19 9 8 34 －－－－＝???-????= -= -=A hc A hv E k λ （2）截止电压 V 0.210 6.1102.319 190＝－－??== e E V k （3）红限频率 Hz 1001.110 63.6106.12.415 34 19 0?=???= = -－h A v 5.在一次康普顿散射中，传递给电子的最大能量为MeV E 045.0=?，试求入射光子的波长。已知电子的静能量MeV c m E 511.02 00==，m V hc ??=-e 10 4.127 。 解：要使一个电子的反冲能量具有最大值，入射光子必定是反向散射。 设入射光子的能量为E ，散射光子得能量为'E ，电子的初能量为2 0c m ，反冲能量为＋0.045MeV 。由能量守恒定律有 )045.0('2 02 0MeV c m E c m E ++=+ 整理后得MeV E E 045.0'=-. 由动量守恒定律，有 e p c E c E +- =' 考虑到电子能量与动量的相对论关系，有 2 2 02 2 2 0)()()045.0(c m c p MeV c m e +=+
量子力学习题及解答 第一章 量子理论基础 1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量）； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 1 833 -? =πρ， （1） 以及 c v =λ， （2） λρρd dv v v -=， （3） 有 ,1 18)()(5-?=?=?? ? ??-=-=kT hc v v e hc c d c d d dv λλλ πλλρλλ λρλρ ρ 这里的λρ的物理意义是黑体波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 011511 86 ' =???? ? ?? -?+--?= -kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλ πρ
? 0115=-?+ -- kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ，则上述方程为 x e x =--)1(5 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 xk hc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??=-3109.2λ 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=h v ， λ h P = 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么 e p E μ22 = 如果我们考察的是相对性的光子，那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0?，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有 p h = λ
对量子力学的认识 量子力学是研究微观粒子的运动规律的物理学分支学科，它主要研究原子、分子、凝聚态物质，以及原子核和基本粒子的结构、性质的基础理论，它与相对论一起构成了现代物理学的理论基础。经典力学奠定了现代物理学的基础，但对于高速运动的物体和微观条件下的物体，牛顿定律不再适用，相对论解决了高速运动问题；量子力学解决了微观亚原子条件下的问题。 量子力学是一个物理学的理论框架，是对经典物理学在微观领域的一次革命。它有很多基本特征，如不确定性、量子涨落、波粒二象性等，其基本原理包括量子态的概念，运动方程、理论概念和观测物理量之间的对应规则和物理原理。量子力学的关键现象有黑体辐射、光电效应、原子结构和物质衍射，前人正是在在这些现象的基础上建立了量子力学。爱因斯坦、海森堡、玻尔、薛定谔、狄拉克等人对其理论发展做出了重要贡献。 黑体是一个理想化了的物体，它可以吸收所有照射到它上面的辐射，并将这些辐射转化为热辐射，这个热辐射的光谱特征仅与该黑体的温度有关。但从经典物理学出发得出的有关二者间关系的公式（维恩公式和瑞利公式）与实验数据不符（被称作“紫外灾变”）。1900年10月，马克斯·普朗克通过插值维恩公式和瑞利公式，得出了一个于实验数据完全吻合的黑体辐射的普朗克公式。但是在诠释这个公式时，通过将物体中的原子看作微小的量子谐振子，他不得不假设这些原子谐振子的能量，不是连续的，而是离散的。1900年，普朗克在描述他的辐射能量子化的时候非常地小心，他仅假设被吸收和放射的辐射能是量子化的。今天这个新的自然常数被称为普朗克常数来纪念普朗克的贡献。 1905年，阿尔伯特·爱因斯坦通过扩展普朗克的量子理论，提出不仅仅物质与电磁辐射之间的相互作用是量子化的，而且量子化是一个基本物理特性的理论。通过这个新理论，他得以解释光电效应。海因里希·鲁道夫·赫兹和菲利普·莱纳德等人的实验，发现通过光照，可以从金属中打出电子来。同时他们可以测量这些电子的动能。不论入射光的强度，只有当光的频率，超过一个临限值后，才会有电子被射出。此后被打出的电子的动能，随光的频率线性升高，而光的强度仅决定射出的电子的数量。爱因斯坦提出了光的量子理论，来解释这个现象。光的量子的能量在光电效应中被用来将金属中的电子射出和加速电子。假如光的频率太小的话，那么它无法使得电子越过逸出功，不论光强有多大。照射时间有多长，都不会发生光电效应,而入射光的频率高于极限频率时,即使光不够强,当它射到金属表面时也会观察到光电子发射。 20世纪初卢瑟福模型是当时被认为正确的原子模型。这个模型假设带负电荷的电子，像行星围绕太阳运转一样，围绕带正电荷的原子核运转。在这个过程中库仑力与离心力必须平衡。但是这个模型有两个问题无法解决。首先，按照经典电磁学，这个模型不稳定。按照电磁学，电子不断地在它的运转过程中被加速，同时应该通过放射电磁波丧失其能量，这样它很快就会坠入原子核。其次原子的发射光谱，由一系列离散的发射线组成，比如氢原子的发射光谱由一个紫外线系列（来曼系）、一个可见光系列（巴耳麦系）和其它的红外线系列组成。按照经典理论原子的发射谱应该是连续的。1913年，尼尔斯·玻尔提出了以他名字命名的玻尔模型，这个模型为原子结构和光谱线，给出了一个理论原理。玻尔认为电子只能在一定能量的轨道上运转。假如一个电子，从一个能量比较高的轨道，跃到一个能量比较低的轨道上时，它发射的光的频率为通过吸收同样频率的光子，可以从低能的轨道，跃到高能的轨道上。玻尔模型可以解释氢原子，改善的玻尔模型，还可以解释只有一个电子的离子，即He+, Li2+, Be3+ 等。 1919年克林顿·戴维森等人，首次成功地使用电子进行了衍射试验，路易·德布罗意由此提出粒子拥有波性，其波长与其动量相关。简单起见这里不详细描写戴维森等人的试验，
量子物理基础--习题
习题十五 15-1 将星球看做绝对黑体，利用维恩位移定律测量m λ便可求得T ．这是测量星球表面温度的方法之一．设测得：太阳的m 55.0m μλ=，北极星的 m 35.0m μλ=，天狼星的m 29.0m μλ=，试求这些星球的表面温度． 解：将这些星球看成绝对黑体，则按维恩位移定律： K m 10897.2,3??==-b b T m λ 对太阳： K 103.51055.010897.236 311 ?=??== --m b T λ 对北极星：K 103.81035.010897.236 322 ?=??== --m b T λ 对天狼星：K 100.110 29.010897.246 333 ?=??== --m b T λ 15-2 用辐射高温计测得炉壁小孔的辐射出射度(总辐射本领)为22.8W ·cm -2，求炉内温度． 解：炉壁小孔视为绝对黑体，其辐出度 242 m W 108.22cm W 8.22)(--??=?=T M B 按斯特藩-玻尔兹曼定律： =)(T M B 4T σ 41 8 44 )10 67.5108.22() (-??==σ T M T B K 1042.110)67 .58.22( 334 1?=?= 15-3 从铝中移出一个电子需要4.2 eV 的能量，今有波长为2000ο A 的光投射到铝表面．试问：(1)由此发射出来的光电子的最大动能是多少?(2)遏止电势差为多大?(3)铝的截止(红限)波长有多大? 解：(1)已知逸出功eV 2.4=A
据光电效应公式2 2 1m mv hv =A + 则光电子最大动能： A hc A h mv E m -=-== λ υ2max k 21 eV 0.2J 1023.310 6.12.41020001031063.61919 10 834=?=??-????=---- m 2 max k 2 1)2(mv E eU a = =Θ ∴遏止电势差 V 0.210 6.11023.319 19 =??=--a U (3)红限频率0υ,∴0 00,λυυc A h = =又 ∴截止波长 198 34010 60.12.41031063.6--?????==A hc λ m 0.296m 10 96.27 μ=?=- 15-4 在一定条件下，人眼视网膜能够对5个蓝绿光光子(m 105.0-7?=λ)产生光的感觉．此时视网膜上接收到光的能量为多少?如果每秒钟都能吸收5个这样的光子，则到 达眼睛的功率为多大? 解：5个兰绿光子的能量 J 1099.1100.51031063.65187 8 34---?=?????= ==λ υhc n nh E 功率 W 1099.118-?== t E 15-5 设太阳照射到地球上光的强度为8 J ·s -1 ·m -2 ，如果平均波长为5000ο A ，则每秒钟落到地面上1m 2的光子数量是多少?若人眼瞳孔直径为3mm ，每秒钟进入人眼的光子数是多少?
量子物理基础--习题 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
习题十五 15-1 将星球看做绝对黑体，利用维恩位移定律测量m λ便可求得T ．这是测量星球表面温度的方法之一．设测得：太阳的m 55.0m μλ=，北极星的 m 35.0m μλ=，天狼星的m 29.0m μλ=，试求这些星球的表面温度． 解：将这些星球看成绝对黑体，则按维恩位移定律： K m 10897.2,3??==-b b T m λ 对太阳： K 103.51055.010897.236 311 ?=??== --m b T λ 对北极星：K 103.81035.010897.236 322 ?=??== --m b T λ 对天狼星：K 100.110 29.010897.246 333 ?=??== --m b T λ 15-2 用辐射高温计测得炉壁小孔的辐射出射度(总辐射本领)为22.8W ·cm -2，求炉内温度． 解：炉壁小孔视为绝对黑体，其辐出度 242 m W 108.22cm W 8.22)(--??=?=T M B 按斯特藩-玻尔兹曼定律： =)(T M B 4T σ 41 8 44 )1067.5108.22() (-??==σ T M T B K 1042.110)67 .58.22( 334 1?=?= 15-3 从铝中移出一个电子需要4.2 eV 的能量，今有波长为2000ο A 的光投射到铝表面．试问：(1)由此发射出来的光电子的最大动能是多少(2)遏止电势差为多大(3)铝的截止(红限)波长有多大 解：(1)已知逸出功eV 2.4=A 据光电效应公式2 2 1m mv hv =A + 则光电子最大动能：
大学物理 量子物理基础知识点 1.黑体辐射 （1）黑体：在任何温度下都能把照射在其上所有频率的辐射全部吸收的物体。 （2）斯特藩—玻尔兹曼定律：4 o M T T σ（）= （3）维恩位移定律：m T b λ= 2.普朗克能量量子化假设 （1）普朗克能量子假设：电磁辐射的能量是由一份一份组成的，每一份的能量是：h εν= 其中h 为普朗克常数，其值为346.6310h J s -=?? （2）普朗克黑体辐射公式：2 5 21M T ( )1 hc kt hc e λπλλ =-（,） 3.光电效应和光的波粒二象性 （1）遏止电压a U 和光电子最大初动能的关系为：21 2 a mu eU = （2）光电效应方程： 21 2 h mu A ν= + （3）红限频率：恰能产生光电效应的入射光频率： 00V A K h ν= = （4）光的波粒二象性（爱因斯坦光子理论）：2mc h εν==；h p mc λ ==；00m = 其中0m 为光子的静止质量，m 为光子的动质量。 4.康普顿效应： 00(1cos )h m c λλλθ?=-= - 其中θ为散射角，0m 为光子的静止质量，1200 2.42610h m m c λ-= =?，0λ为康普顿波长。 5.氢原子光谱和玻尔的量子论： （1）里德伯公式: ()221 11 T T H R m n n m m n ν λ ==-=->（）()(), % （2）频率条件: k n kn E E h ν-= (3) 角动量量子化条件：, 1,2,3...e L m vr n n ===
其中 2h π = ，称为约化普朗克常量，n 为主量子数。 （4）氢原子能量量子化公式： 122 13.6n E eV E n n =-=- 6.实物粒子的波粒二象性和不确定关系 （1）德布罗意关系式： h h p u λμ= = （2）不确定关系: 2 x p ??≥ ； 2 E t ??≥ 7.波函数和薛定谔方程 （1）波函数ψ应满足的标准化条件：单值、有限、连续。 （2）波函数的归一化条件: (,)(,)1V r t r t d ψψτ* =? （3）波函数的态叠加原理: 1122(,)(,)(,)...(,)i i i r t c r t c r t c r t ψψψψ=++= ∑ （4）薛定谔方程: 22(,)()(,)2i r t U r r t t ψψμ??? =-?+????? 8.电子自旋和原子的壳层结构 （1）电子自旋： 1,2 S s = = ；1, 2 z s s S m m ==± 注：自旋是一切微观粒子的基本属性. （2）原子中电子的壳层结构 ①原子核外电子可用四个量子数(,,,l s n l m m )描述： 主量子数：0,1,2,3,...n = 它主要决定原子中电子的能量。 角量子数：0,1,2,...1l n =- 它决定电子轨道角动量。 磁量子数：0,1,2,...l m l =±±± 它决定轨道角能量在外磁场方向上的分量。 自旋磁量子数：1 2 s m =± 它决定电子自旋角动量在外磁场方向上的分量。
09光信息量子力学习题集 一、填空题 1． 设电子能量为4电子伏，其德布罗意波长为（ 6.125ο A ）。 2． 索末菲的量子化条件为=nh pdq ），应用这量子化条件求得一维谐振 子的能级=n E （ ηωn ）。 3． 德布罗意假说的正确性，在1927年为戴维孙和革末所做的（ 电 ）子衍 射实验所证实，德布罗意关系（公式）为（ ηω=E ）和（ k p ρηρ = ）。 4． 三维空间自由粒子的归一化波函数为()r p ρ ρψ=（ r p i e ρ ρη η?2 /3) 2(1π ）， () ()=? +∞ ∞ -*'τψψd r r p p ρρρρ（ )(p p ρ ρ-'δ ）。 5． 动量算符的归一化本征态=)(r p ρ ρψ（ r p i e ρ ρηη?2/3)2(1π ），=' ∞ ?τψψd r r p p )()(*ρρρρ（ )(p p ρ ρ-'δ ）。 6． t=0时体系的状态为()()()x x x 2020,ψψψ+=，其中()x n ψ为一维线性谐振子的定态波函数，则()=t x ,ψ（ t i t i e x e x ωωψψ2 522 0)(2)(--+ ）。 7． 按照量子力学理论，微观粒子的几率密度w =2 ），几率流密度= （ () ** 2ψ?ψ-ψ?ψμ ηi ）。 8． 设)(r ρψ描写粒子的状态，2)(r ρψ是（ 粒子的几率密度 ），在)(r ρψ中F ?的平均值为F =（ ??dx dx F ψψψψ* *? ） 。 9． 波函数ψ和ψc 是描写（ 同一 ）状态，δψi e 中的δi e 称为（ 相因子 ）， δi e 不影响波函数ψ1=δi ）。 10． 定态是指（ 能量具有确定值 ）的状态，束缚态是指（无穷远处波函数为 零）的状态。 11． )i exp()()i exp()(),(2211t E x t E x t x η η-+-=ψψψ是定态的条件是 （ 21E E = ），这时几率密度和（ 几率密度 ）都与时间无关。 12． （ 粒子在能量小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象 ）称为隧道效应。 13． （ 无穷远处波函数为零 ）的状态称为束缚态，其能量一般为（ 分立 ）谱。 14． 3．t=0时体系的状态为()()()x x x 300,ψψψ+=，其中()x n ψ为一维线性谐振子的定态波函数，则()=t x ,ψ（ t i t i e x e x ωωψψ2 732 0)()(--+ ）。 15． 粒子处在a x ≤≤0的一维无限深势阱中，第一激发态的能量为
量子物理基础 17.1 夜间地面降温主要是由于地面的热辐 射。如果晴天夜里地面温度为-5° C ，按黑体辐射计算，每平方米地面失去热量的速率多大？ 解：每平方米地面失去热量的速率即地面的辐射出射度 2 4 8 4 W /m 29226810 67.5=??==-T M σ 17.2 在地球表面，太阳光的强度是1.0?103W/m 2。地球轨道半径以1.5?108 km 计，太阳半径以7.0?108 m 计，并视太阳为黑体，试估算太阳表面的温度。 解： 4 22 44T R I R M S E σππ== K 103.510 67.5)107.6(100.1)105.1(3 4 8 2 8 32 11 4 2 2 ?=??????= = -σ S E R I R T 17.3宇宙大爆炸遗留在宇宙空间的均匀背景辐射相当于3K 黑体辐射．求： （1）此辐射的单色辐射强度在什么波长下有极大值？ （2）地球表面接收此辐射的功率是多少？ [解答]（1）根据公式λm T = b ，可得辐射的极值波长为 λm = b/T = 2.897×10-3/3 = 9.66×10-4(m)． （2）地球的半径约为R = 6.371×106m ， 表面积为 S = 4πR 2． 根据公式：黑体表面在单位时间，单位面积上辐射的能量为 M = σT 4 ， 因此地球表面接收此辐射的功率是 P = MS = 5.67×10-8 ×34 ×4π(6.371×106)2 = 2.34×109(W)． 17.4 铝的逸出功是eV 2.4，今有波长nm 200=λ的光照射铝表面，求： （1）光电子的最大动能； （2）截止电压； （3）铝的红限波长。 解：（1） A c h A h E k -=-=λ ν eV 0.22.410 6.110 20010 31063.619 9834 =-??????= --- （2）V 0.21/0.2/===e E U k c （3）A hc c = = 0νλ nm 296m 1096.210 6.12.410 310 63.67 19 8 34 =?=?????= --- 17.5 康普顿散射中入射X 射线的波长是λ = 0.70×10-10m ，散射的X 射线与入射的X 射线垂直．求： （1）反冲电子的动能E K ； （2）散射X 射线的波长； （3）反冲电子的运动方向与入射X 射线间的夹角θ． [解答]（1）（2）根据康普顿散射公式得波长变化为 2 12 2 2sin 2 2.42610 sin 2 4 ? π λΛ-?==?? = 2.426×10-12 (m)， 散射线的波长为 λ` = λ + Δλ = 0.72426×10-10(m)． 反冲电子的动能为 ` k hc hc E λ λ= - 34 8 34 8 10 10 6.6310 310 6.6310 310 0.710 0.7242610 ----??????= - ?? = 9.52×10-17(J)． （3）由于 /`tan /` hc hc λλθλ λ== ， 0.70.96650.72426 = =， 所以夹角为θ = 44°1`．
No.6 量子物理 （运输） 一 选择题 1. 已知某单色光照射到一金属表面产生了光电效应，若此金属的逸出电势是U 0（使电子从金属逸出需做功eU 0），则此单色光的波长λ必须满足 （A ）λ≤ 0eU hc （B ）λ≥0 eU hc （C ）λ≤hc eU 0 （D ）λ≥hc eU 0 [ A ] 2. 光子能量为 0.5 MeV 的X 射线，入射到某种物质上而发生康普顿散射．若反冲电子的动能为 0.1 MeV ，则散射光波长的改变量?λ与入射光波长λ0之比值为 （A ） 0.20． (B) 0.25． (C) 0.30． (D) 0.35． ［ B ］ 3．氢原子从能量为－0.85eV 的状态跃迁到激发能（从基态到激发态所需的能量）为－10.19eV 的状态时，所发射的光子的能量为 （A ）2.56 eV （B ）3.41 eV （C ）4.26 eV （D ）9.34 eV [ A ] 4. 若α粒子(电荷为2e )在磁感应强度为B 均匀磁场中沿半径为R 的圆形轨道运动，则α粒子的德布罗意波长是 (A) )2/(eRB h ． (B) )/(eRB h ． (C) )2/(1eRBh ． (D) )/(1eRBh ． ［ A ］ 5. 关于不确定关系 ≥??x p x ()2/(π=h )，有以下几种理解： (1) 粒子的动量不可能确定． (2) 粒子的坐标不可能确定． (3) 粒子的动量和坐标不可能同时准确地确定． (4) 不确定关系不仅适用于电子和光子，也适用于其它粒子． 其中正确的是： (A) (1)，(2). (B) (2)，(4). (C) (3)，(4). (D) (4)，(1). ［ C ］ 6．描述氢原子中处于2p 状态的电子的量子态的四个量子数（n ，l ，m l ，m s ）可能取值为 （A ）（3，2，1，－21） （B ）（2，0，0，21 ） （C ）（2，1，－1，－21） （D ）（1，0，0，2 1 ）
第十二章 量子物理学 §12.1 实物粒子的波粒二象性 一、 德布罗意物质波假设 νλ h E h P == h E P h = = νλ 二、 德布罗意物质波假设的实验证明 1、 戴维森——革未实验 2、 电子单缝实验 例1、运动速度等于300K 时均方根速率的氢原子的德布罗意波长是 1.45A 0 。质量M=1Kg ，以速率v=1cm/s 运动的小球的德布罗意波长是 6.63×10-14A 0 。（h=6.63×10-34J.s 、K=1.38×10-23J.K 、m H =1.67×10-27kg ） 解：（1） m k T v 32= 045.13A k Tm h mv h p h ==== λ （2）0191063.6A Mv h p h -?=== λ 例2、若电子的动能等于其静止能量，则其德布罗意波长是康谱 顿波长的几倍？ 解：电子的康谱顿波长为c m h e c =λ，罗意波长为p h = λ 由题知：c v c m c m E k 2 32)1(2020= ?=?=-=γγ c m h v m h p h e e 2 3 2=== γλ，故 3 1= c λλ 三、 德布罗意物质波假设的意义 四、 电子显微镜 例子、若α粒子（电量为２ｅ）在磁感应强度为Ｂ均匀磁场中沿半径为Ｒ的圆形轨道运动，则α粒子的德布罗意波长是:[A] （A ）ｈ／（２ｅＲＢ） ． （B ）ｈ／（ｅＲＢ） ．
（C）１／（２ｅＲＢｈ）．（D）１／（ｅＲＢｈ）．例2、如图所示，一束动量为ｐ的电子，通过缝宽为ａ的狭缝，在距离狭缝为R处放置一荧光屏，屏上衍射图样中央最大的宽度ｄ等于:[D] （A）２ａ2／Ｒ．] （B）２ｈａ／ｐ． （C）２ｈａ／（Ｒｐ）． （D）２Ｒｈ／（ａｐ）．
17-1 在加热黑体过程中，其单色辐出度的峰值波长是由μm 69.0变化到μm 50.0，求总辐出度改变为原来的多少倍？ 解：由 4 )(T T M B σ=，b T m =λ 得 63.3)5 .069.0()()()(4 42112===m m B B T M T M λλ 17-2 解：（1）m 10898.210 10898.2107 3 --?=?==T b m λ （2）J 1086.610 898.210310 63.616 10834 ---?=????===λ νc h h E 17-3 解：（1）4 )(T T M B σ=，K 17001067.5001 .0/6.473) (4 8 4 =?== -σ T M T B （2）m 1070.11700 10898.263 --?=?= =T b m λ （3） 162)()()(441212===T T T M T M B B ，2612W/m 10578.7001 .06.47316)(16)(?=?==T M T M B B 17-4 钾的光电效应红限波长为μm 62.00=λ。求：(1)钾的逸出功；(2)在波长nm 330=λ的紫外光照射下，钾的截止电压。 解：（1）eV 2J 1021.310 62.010310 63.61968 34 0=?=????===---λνc h h A （2）A h mv eU a -== ν2 2 1 V 76.11060.11021.31033010310 63.619 199 834 =??-????= -= -=----e A c h e A h U a λ ν 17-5 铝的逸出功为eV 2.4。今用波长为nm 200的紫外光照射到铝表面上，发射的光电子的最大初动能为多少？截止电压为多大？铝的红限波长是多大？ 解：（1）eV 2J 1023.3106.12.410 2001031063.62119 199 8342≈?=??-????=-=-=----A c h A h mv λν （2）221mv eU a = ，V 2eV 2==e U a （3）Hz 10014.110 63.6106.12.41534190?=???==--h A ν
《大学物理》作业 No .8量子力学基础 班级 ________ 学号 ________ 姓名 _________ 成绩 _______ 一、选择题：（注意：题目中可能有一个或几个答案正确。） 1. 静止质量不为零的微观粒子作高速运动，这时粒子物质波的波长λ与速度v 有如下关系： [ C ] (A) v ∝λ (B) v 1 ∝λ (C) 2211c v -∝ λ (D) 22v c -∝λ 解：由德布罗意公式和相对论质 — 速公式 2 201 1c v m mv h p -= == λ 得2 20 1 1c v m h - =λ，即2211c v -∝λ 2. 不确定关系式 ≥???x p x 表示在x 方向上 [ D ] (A) 粒子位置不能确定 (B) 粒子动量不能确定 (C) 粒子位置和动量都不能确定 (D) 粒子位置和动量不能同时确定 3. 将波函数在空间各点的振幅同时增大D 倍，则粒子在空间的分布概率将 [ D ] (A) 增大2 D 倍。 (B) 增大2D 倍。 (C) 增大D 倍。 (D) 不变。 4. 已知粒子在一维矩形无限深势阱中运动，其波函数为： )(23cos 1)(a x a a x a x ≤≤-= πψ 那么粒子在6 5a x =处出现的概率密度为 [ A ] a 21(A ) a 1 (B) a 21(C) a 1(D) 解：概率密度 )23(cos 1)(22 a x a x πψ=
将65a x =代入上式，得 a a a a x 21)6523(cos 1)(22=?=πψ 5. 波长 λ = 5000 ?的光沿x 轴正方向传播，若光的波长的不确定量?λ=103-?，则利用不确定关系h p x x ≥???可得光子的x 坐标的不确定量至少为： [ C ] (A) 25cm （B ）50cm (C) 250cm (D) 500cm 解：由公式p = λh 知： △322105000 -?-=?-=h h p λλ 利用不确定关系h p x x ≥???，可得光子的x 坐标满足 91025?=?≥ ?x p h x ?=250cm 二、填空题 1. 低速运动的质子和α粒子，若它们的德布罗意波长相同，则它们的动量之比=αP :p p 1:1 ；动能之比=αP :E E 4:1 。 解：由p = λ h 知，动量只与λ有关，所以1:1:αP =p p ； 由非相对论动能公式m p E 22 k =，且αp p p =，所以1:4:αP ==p m m E E α 2. 在B = 1.25×10 2 -T 的匀强磁场中沿半径为R =1.66cm 的圆轨道运动的α粒子的德布罗 意波长是 0.1 ? 。(普朗克常量h = 6.63×10-34J·s ,基本电荷e = 1.6×10-19 C) 解：由牛顿第二定律= evB 2R mv 2得eBR mv p 2==，又由λ h p =得 1.0(m)10998.010 66.11025.1106.121063.62112 21934 ≈?=???????===-----eBR h p h λ? 3. 若令c m h e c = λ (称为电子的康普顿波长，其中m e 为电子静止质量，c 为光速，h 为普
量子力学习题答案 1.2 在0k 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解：由德布罗意波粒二象性的关系知： E h =ν； p h /=λ 由于所考虑的电子是非相对论的电子（26k e E (3eV)c (0.5110)-μ? ），故： 2e E P /(2)=μ 69 h /p h / hc / 1.2410/0.7110 m 0.71nm --λ====?=?=1.3氦原子的动能是E=1.5kT ，求T=1K 时，氦原子的德布罗意波长。 解：对于氦原子而言，当K 1=T 时，其能量为 J 10 2.07K 1K J 10 381.12 32 323 1 23 ---?=????= = kT E 于是有 一维谐振子处于2 2 /2 ()x x Ae α ψ-=状态中，其中α为实常数，求： 1.归一化系数； 2.动能平均值。 （22 x e dx /∞-α-∞ = α?） 解：1.由归一化条件可知： 22 * 2x 2 (x)(x)dx A e dx 1 A /1 ∞∞-α-∞ -∞ ψψ===α=? ? 取相因子为零，则归一化系数1/21/4A /=απ 2.
2222 2 2 22 2 2 22 22 22 22 2 * 2x /2 x /22 2 2 x /2 x /2 2 2 x /2 2x /2 2 222x 2x /2 2 2 24 2x 2T (x)T (x)dx A e (P /2)e dx d A e ()e dx 2dx d A e (xe )dx 2dx A {xe (xe )dx} 2A x e dx A 22∞∞-α-α-∞-∞ ∞-α-α-∞∞-α-α-∞ ∞ ∞-α-α-∞ -∞ ∞-α-∞ = ψψ=μ=- μ =- -αμ=- -α- -αμ = α = μμ ? ?? ? ? ? ＝（＝ ＝ 22 2 2 2 2 4 x 22 24 x x 2 2 22 24 21()xd(e ) 21A (){xe e dx}221A ()2442∞-α-∞ ∞ ∞-α-α-∞ -∞ α- α =α- -- μααα- - μ α μ μ α ? ? 若αT 4 ω= 解法二：对于求力学量在某一体系能量本征态下的平均值问题，用F-H 定理是 非常方便的。 一维谐振子的哈密顿量为： 2 2 22 d 1H x 2dx 2 =- + μωμ 它的基态能量01E 2 = ω 选择 为参量，则: 0dE 1d 2 = ω ； 2 2 2 d H d 2d 2()T d dx 2dx =- = - = μμ d H 20 0T d = 由F-H 定理知： 0dE d H 210 T d d 2= ==ω 可得： 1T 4 = ω
量子力学课后习题详解 第一章 量子理论基础 1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量）； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 183 3 -?=πρ， （1） 以及 c v =λ， （2） λρρd dv v v -=， （3） 有 ,1 18)() (5 -?=?=?? ? ??-=-=kT hc v v e hc c d c d d dv λλλ πλλρλ λλρλ ρ ρ 这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：
011511 86 ' =???? ? ?? -?+--?= -kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλ πρ ? 0115=-?+ -- kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ，则上述方程为 x e x =--)1(5 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 xk hc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??=-3109.2λ 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=hv ， λ h P = 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么 e p E μ22 = 如果我们考察的是相对性的光子，那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0?，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有 p h = λ
22-1．计算下列客体具有MeV 10动能时的物质波波长，(1)电子；（2）质子。 解：(1) 电子高速运动，设电子的总能量可写为：20K E E m c =+ 用相对论公式， 222240E c p m c =+ 可得 p = = = h p λ= = 834 -= 131.210m -=? （2）对于质子，利用德布罗意波的计算公式即可得出： 3415h 9.110m λ--====? 22-2．计算在彩色电 视显像管的加速电压作用下电子的物质波波长，已知加速电压为kV 0.25，（1）用非相对论公式；（2）用相对论公式。 解：（1）用非相对论公式： m meU h mE h 123 193134108.71025106.1101.921063.622p h ----?=???????====λ（2）用相对论公式： 420222c m c p +=E eU E E k ==-20c m m eU eU c m h mE h 12220107.722p h -?=+=== ） （λ 22-3．一中子束通过晶体发生衍射。已知晶面间距nm 1032.72 -?=d ，中子的动能 eV 20.4k =E ，求对此晶面簇反射方向发生一级极大的中子束的掠射角. 解：先利用德布罗意波的计算公式即可得出波长： 34 11h 1.410p m λ--====? 再利用晶体衍射的公式，可得出：2sin d k ?λ= 0,1,2k =…
11 11 1.410sin 0.095227.3210 k d λ?--?===?? ， 5.48?= 22-4．以速度m/s 1063 ?=v 运动的电子射入场强为5V/cm =E 的匀强电场中加速， 为使电子波长 A 1=λ，电子在此场中应该飞行多长的距离？ 解：34 10 h 110m λ--== ==? 可得：U=150.9V ，所以 U=Ed ，得出d=30.2cm 。 22-5．设电子的位置不确定度为 A 1.0，计算它的动量的不确定度；若电子的能量约为 keV 1，计算电子能量的不确定度。 解：由测不准关系： 34 2410 1.0510 5.2510220.110 h p x ---??===???? 由波长关系式：E c h =λ 可推出： E E c h ?=?λ 2 151.2410E E E J hc pc λ-??===?? 22-6．氢原子的吸收谱线 A 5.4340=λ的谱线宽度为 A 102 -，计算原子处在被激发态 上的平均寿命。 解：能量hc E h νλ == ，由于激发能级有一定的宽度ΔE ，造成谱线也有一定宽度Δλ，两 者之间的关系为：2 hc E λ λ?=? 由测不准关系，/2,E t ??≥ 平均寿命τ=Δt ，则 22 224t E hc c λλτλπλ=?===??? 102112108 (4340.510)510s 4 3.141010310 ----?==?????? 22-7．若红宝石发出中心波长m 103.67 -?=λ的短脉冲信号，时距为)s 10(ns 19 -，计 算该信号的波长宽度λ?。 解：光波列长度与原子发光寿命有如下关系： x c t ?=? 22 24x x p λλπλλ ?==≈??? 72 2 389 (6.310) 1.32310nm 31010 c t λλ---??===???? 22-8．设粒子作圆周运动，试证其不确定性关系可以表示为h L ≥??θ，式中L ?为粒子角动量的不确定度，θ?为粒子角位置的不确定度。 证明：当粒子做圆周运动时，半径为r ，角动量为：L=rmv=rp 其不确定度P r L ?=?
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第一章量子力学基础 一、教案目的： 通过本章学习，掌握微观粒子运动的特征、量子力学的基本假设，并初步学习运用薛定谔方程去分析和计算势箱中粒子运动的有关问题:b5E2RGbCAP 二、教案内容： 1、微观粒子的运动特征 黑体辐射和能量量子化；光电效应和光子学说；实物粒子的波粒二相性；不确定关系； 2、量子力学基本假设 波函数和微观粒子的状态；物理量和算符；本征态、本征值和薛定谔方程；态叠加原理；泡利原理； 3、箱中粒子的薛定谔方程及其解 三、教案重点 微观粒子运动的特征、量子力学的基本假设 四、教案难点： 量子力学的基本假设 五、教案方法及手段 课堂教案 六、课时分配： 微观粒子的运动特征 2学时 量子力学基本假设 4学时
箱中粒子的薛定谔方程及其解 2学时 七、课外作业 课本p20～21 八、自学内容 1-1微观粒子的运动特征 1900年以前，物理学的发展处于经典物理学阶段<由Newton的经典力学，Maxwell的的电磁场理论，Gibbs的热力学和Boltzmann的统计物理学），这些理论构成一个相当完善的体系，对当时常见的物理现象都可以从中得到说明。p1EanqFDPw 在经典物理学取得上述成就的同时，通过实验又发现了一些新现象，它们是经典物理学无法解释的。如黑体辐射、光电效应、电子波性等实验现象，说明微观粒子具有其不同于宏观物体的运动特征。DXDiTa9E3d 电子、原子、分子和光子等微观粒子，它们表现的行为在一些场合显示粒性，在另一些场合又显示波性，即具有波粒二象性的运动特征。人们对这种波粒二象性的认识是和本世纪物理学的发展密切联系的，是二十世纪初期二十多年自然科学发展的集中体现。RTCrpUDGiT 1.1.1黑体辐射和能量量子化——普朗克< planck）的量子假 说：量子说的起源 黑体是一种能全部吸收照射到它上面的各种波长的光，同时也能在同样条件下发射最大量各种波长光的物体。 带有一个微孔的空心金属球，非常接近于黑体，进入金属球小孔的辐射，经过多次吸收、反射，使射入的辐射全部被吸收。当空腔受热时，空腔壁会发出辐射，极小部分通过小孔逸出。5PCzVD7HxA