—学年第学期级专业（类）
考核科目量子力学课程类别必修课考核类型考试考核方式闭卷卷别 A
（注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效）
一、概念题：（共20分，每小题4分）
1、简述波函数的统计解释；
2、对“轨道”和“电子云”的概念，量子力学的解释是什么？
3、力学量G
?在自身表象中的矩阵表示有何特点？4、简述能量的测不准关系；
5、电子在位置和自旋z S
?表象下，波函数),,(),,(21z y x z y x 如何归一化？解释各项的几率意义。
二（20分）设一粒子在一维势场c bx ax x U 2)
(中运动（0a ）。求其定态能级和波函数。
三（20分）设某时刻，粒子处在状态
)cos (sin )(212kx kx B x ，求此时粒子的平均动量和平均动能。
四（20分）某体系存在一个三度简并能级，即E E E E )0(3)0(2)0(1。在不含时
微扰H ?作用下，总哈密顿算符H ?在)0(?H 表象下为21
1
0E E E H 。求受微扰后的能量至一级。
五（20分）对电子，求在x S
?表象下的x S ?、y S ?、z S ?的矩阵表示。A —1—1
—学年第学期级专业（类）
考核科目量子力学课程类别必修课考核类型考试考核方式闭卷卷别 B
（注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效）
一、概念题：（共20分，每小题4分）
1、何为束缚态？
2、当体系处于归一化波函数(,)r t 所描述的状态时，简述在(,)r t 状态中测量力学量F 的可能值及其几率的方法。
3、设粒子在位置表象中处于态
),(t r ,采用Dirac 符号时，若将(,)r t 改写为(,)r t 有何不妥？采用Dirac 符号时，位置表象中的波函数应如何表示？
4、简述定态微扰理论。
5、Stern —Gerlach 实验证实了什么？
二（20分）设粒子在三维势场a x a z
y x U x 0,,中运动，求粒子定态能量
和波函数。三（20分）一维运动的粒子在态
000x x Axe x x 当当中运动，其中0。求???22p
x 四（20分）求一维线性谐振子偶极跃迁的选择定则。
五（20分）对自旋为21
s 的粒子，求在S y 表象中S x 、S y 、S z 的矩阵表示。
B —1—1
—学年第学期级专业（类）
考核科目量子力学课程类别必修课考核类型考试考核方式闭卷卷别 C
（注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效）
一、概念题：（共20分，每小题4分）
1、一个物理体系存在束缚态的条件是什么？
2、两个对易的力学量是否一定同时确定？为什么？
3、测不准关系是否与表象有关？
4、在简并定态微扰论中，如
()H 0的某一能级)0(n E ，对应f 个正交归一本征函数i （i =1，2，,，f ），为什么一般地i 不能直接作为H H H ???0的零级近似波函数？
5、在自旋态1
2()s z 中，S x 和S y 的测不准关系
()()S S x y 22是多少？二（20分）求在三维势场b y a x z
y x U 且当其它区域0,,中运动的粒子的定态
能量和波函数。三（20分）求氢原子基态的最可几半径。
四（20分）已知哈密顿算符H
?在某表象下2020500bi i
a c
H 且知其基态E 0=－3，求实数a ，b ，c 。
五（20分）求在S z 表象下，()S n
x z 21232的本征值及本征函数。当体系处于1
2()s z 态时，求S n 2的几率为多少？
C —1—1
—学年第学期级专业（类）
考核科目量子力学课程类别必修课考核类型考试考核方式闭卷卷别 D
（注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效）
一、概念题：（共20分，每小题4分）
1、在定态问题中，不同能量所对应的态的迭加是否为定态Schrodinger 方程的解？同一能量对应的各简并态的迭加是否仍为定态Schrodinger 方程的解？
2、两个不对易的算符所表示的力学量是否一定不能同时确定？举例说明。
3、说明厄米矩阵的对角元素是实的，关于对角线对称的元素互相共轭。
4、何谓选择定则。
5、能否由Schrodinger
方程直接导出自旋？二（20分）求在一维势阱其它b x a U x
U 0中运动的粒子的定态能级和波函
数。
三（20分）当体系处在状态cos 23
sin 21
时，（这里为角坐标）。求角动量z 分量L z 的可能值及其平均值。
四（20分）转动惯量为I ，电偶极矩为D 的空间转子，处在均匀电场中，如电场较小，用微扰方法求转子基态能量至二级。
五（20分）已知J
J iJ x y ，J 为角动量算符，jm 为,J J z 2共同本征态，试证明：()(),J jm
j j m m j m 111D —1—1
—学年第学期级专业（类）
考核科目量子力学课程类别必修课考核类型考试考核方式闭卷卷别 E
（注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效）
一、概念题：（共20分，每小题4分）
1、叙述量子力学的态迭加原理。
2、厄米算符是如何定义的？
3、据[a ?，a ?]=1，a a N ???，n n n N ?，证明：1?n n n a 。
4、非简并定态微扰论的计算公式是什么？写出其适用条件。
5、自旋S 2，问是否厄米算符？是否一种角动量算符？
二（20分）粒子在势场a x a
x a x x
U 2221中运动，求其定态能级及波函
数。三（20分）氢原子处于基态。求(1) r 的平均值；(2) 动量P 的平均值
四（20分）已知哈密顿算符30
2
000
1ai ai H 求：（1）能量本征值；（2）当a 很小时，能量修正至二级。
五（20分）设(),F l l L J L S l 1211
1，其中,L S 2分别为轨道角动量和自旋s
1
2的自旋角动量。l j ,分别为,L J 22的量子数。求证：在l 确定的态中，当j l 12时F l 1；当j l 12时F l 0。
E —1—1
—学年第学期级专业（类）
考核科目量子力学课程类别必修课考核类型考试考核方式闭卷卷别 F
（注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效）
一、概念题：（共20分，每小题4分）
1、波函数的量纲是否与表象有关？举例说明。
2、动量的本征函数有哪两种归一化方法？予以简述。
3、知Ge e x x ，问能否得到G d dx
？为什么？4、简述变分法求基态能量及波函数的过程。
5、简单Zeemann 效应是否可以证实自旋的存在？
二（20分）求在辏力场势a r a r r
U 0中运动的粒子，当l=0时的定态能级
与波函数。（l 为角量子数）
三（20分）证明[x L ?，y P ?]=z P i ?。其中x L ?为轨道角动量x 分量，y P ?为动量y 分量。
四（20分）已知哈密顿算符在某表象下30202
020
1bi i a H 。求：
（1）实数a ，b ；（2）能级和本征态。
五（20分）已知()H A S S S BL x y z z 2
2
2
，其中S 为自旋21
s 的自旋角动量，
L 为轨道角动量。求体系的定态能级与波函数。
F —1—1
—学年第学期级专业（类）
考核科目量子力学课程类别必修课考核类型考试考核方式闭卷卷别G
（注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效）
一、概念题：（共20分，每小题4分）
1、不考虑自旋，当粒子在库仑场中运动时，束缚态能级E n 的简并度是多少？若粒子自旋为s ，问E n 的简并度又是多少?
2、根据]?,?[1?H F
i t F dt F
d 说明粒子在辏力场中运动时，角动量守恒。3、对线性谐振子定态问题，旧量子论与量子力学的结论存在哪些根本区别？
4、简述氢原子的一级stark 效应。
5、写出J jm 的计算公式。
二（20分）已知粒子在势场a x a x
x U x U 当当当00
00中运动，00U ，求束缚
态能级所满足的方程。
三（20分）证明：[x ?，)?(P f ]= x P i ?)
?(P f 四（20分）求线性谐振子在动量表象下的能级和波函数。
五（20分）已知体系()H
A L L L BS x y z z 222，其中L 为轨道角动量，S 为自旋（21
s ）角动量。求体系的定态能级与波函数。
G —1—1
—学年第学期级专业（类）
考核科目量子力学课程类别必修课考核类型考试考核方式闭卷卷别H
（注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效）
一、概念题：（共20分，每小题4分）
1、由12d ，说明波函数的量纲。
2、F
?、G ?为厄米算符，问[F ?，G ?]与i [F ?，G ?]是否厄米算符？3、据[a ?，a ?]=1，a a N ???，n n n N ?证明：11?n n n a 。
4、利用量子力学的含时微扰论，能否直接计算发射系数和吸收系数？
5、什么是耦合表象？
二（20分）粒子在势场
其它且当c z b y ,x 0,,a z y x U 中运动，求其定态
能级及波函数。
三（20分）球谐振子基态为
222123r e ，求动能平均值和最可几半径。四（20分）某体系0?H 存在三个非简并能级：E 01，E 02，E 03，相应波函数为
01，02，03。受微扰c
d e d b
ai e ai
a H 下，求其能量至二级，波函数至一级。（注：H 是在0?H
表象下给出的）。五（20分）求在z S ?表象下，)??(2
?2222y x n S 的本征值及本征函数。当体系处于1
2()s z 态时，求2n S 的几率为多少？
H —1—1
—学年第学期级专业（类）
考核科目量子力学课程类别必修课考核类型考试考核方式闭卷卷别I
（注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效）
一、概念题：（共20分，每小题4分）
1、不考虑粒子内部自由度，宇称算符P
?是否为线性厄米算符？为什么？2、写出几率密度与几率流密度所满足的连续性方程。
3、已知a a x ??2?2
1，a a i p x ??21?21
，且1?n n n a ，
11?n n n a ，试推出线性谐振子波函数的递推公式。
4、写出一级近似下，跃迁几率的计算式。
5、何谓无耦合表象？
二（20分）粒子在2
2222121
21
,y x y x U 中运动，求其定态能级及波函数。三（20分）证明：2?1
22222
r
P r r r r ，其中r r i P r 1?。
四（20分）F ?在某表象下矩阵形式为0
000000
i
i F ，求其本征值及本征函数。五（20分）证明(
)()()A B A B i A B 。其中,A B 为与对易的矢量算符，S 2为s 1
2的自旋算符。
I —1—1
—学年第学期级专业（类）
考核科目量子力学课程类别必修课考核类型考试考核方式闭卷卷别J
（注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效）
一、概念题：（共20分，每小题4分）
1、给出线性谐振子定态波函数的递推公式。
2、G ?，G
?是否线性算符？3、在什么样的基组中，厄米算符是厄米矩阵？
4、何谓选择定则？
5、写出jm J
?公式。二、（20分）已知粒子在b x a 0a x 0b
x 0x 0＜＜当＜＜当＞或＜当U
x U 中运动，求束缚态能级满足
的关系式。
三、（20分）设粒子在一维无限深势阱中运动，其基态能量为22212a E ，现体系处在由归一化波函数
a x a x a 2cos sin 24所表示的状态，求：（1）包含区间[0,4a
]的势阱位置；（2）写出测量基态的几率的计算公式。
四、（20分）当l ＝1时，求在z L
?表象中x L ?与y L ?的矩阵表示。五、（20分）求在
,)(,)(23111211021Y s Y s z z 中，算符2?J 与
z J ?的本征值。J —1—1
—学年第学期级专业（类）
考核科目量子力学课程类别必修课考核类型考试考核方式闭卷卷别K
（注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效）
一、概念题：（共20分，每小题4分）
1、何为束缚态？
2、写出位置表象中x p
?，p ?，x ?和r ?的表示式。3、对于定态问题，试从含时Schrodinger
方程推导出定态Schrodinger 方程；
4、对于氢原子，其偶极跃迁的选择定则对主量子数
n 是否存在限制？为什么？
5、在现阶段所学的量子力学中，电子的自旋是作为一个基本假定引入的，还是由其它假定自然推出的？
二、（20分）求在一维势场B Ax x
U 2（A ＞0）中，运动的粒子的定态能级
和波函数。三、（20分）一粒子在一维无限深势阱a x 0x a x 00＞或＜ 当当x
U 中运动，求其
处于定态时的平均动能T 。四、（20分）设尝试函数为2
0x ce ，c 为归一化系数，0为与x 无关的变分参数，
试用变分法求线性谐振子的基态能量及波函数。
五、（20分）求在自旋态51
)(z s 中的测不准关系?
)()(22y x S S K —1—1
—学年第学期级专业（类）
考核科目量子力学课程类别必修课考核类型考试考核方式闭卷卷别L
（注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效）
一、概念题：（共20分，每小题4分）
1、假如波函数应满足的方程不是线性方程，波函数是否一定能归一化？
2、试写出动量表象中x ?，r ?，x p ?，p
?的表式3、幺正算符是怎样定义的？
4、我们知道，平面单色波的电场能和磁场能相等，而在用微扰论计算发射系数和吸收系数时，我们为什么忽略了磁场对电子的作用？
5、对于自旋为3/2的粒子，其自旋本征函数应是几行一列的矩阵？
二、（20分）试求三维各向同性谐振子的基态波函数。
三、（20分）推导对易关系]?,?[x L
z ，其中z ?为坐标分量算符，x L ?为轨道角动量分量算符。
四、（20分）已知某表象下力学量0
000000
?i
i F ，求其本征值及本征函数。五、（20分）在自旋态32
)(z s 中，其测不准关系?
)()(22z y S S L —1—1
—学年第学期级专业（类）
考核科目量子力学课程类别必修课考核类型考试考核方式闭卷卷别M
（注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效）
一、概念题：（共20分，每小题4分）
1、写出德布罗意关系式及自由粒子的德布罗意波。
2、一维线性谐振子基态归一化波函数为
22210x e ，试计算积
分
x d e x 02；
3、当体系处于归一化波函数ψ所描述的状态时，简述在ψ态中测量力学量F 的可能值及其几率的方法；
4、已知氢原子径向Schrodinger
方程无简并，微扰项只与r 有关，问非简并定态微扰论能否适用？
5、自旋是否意味着自转？
二、（20分）一体系哈氏量为
z 0222L r 4e 2c H 其中c 为常数，求其定态能级及波函数。
三、（20分）试证明p ?i 2L ?p
?p ?L ?＝四、一粒子在一维势场bx x x U 2221
中运动，b 很小，试用微扰论求其定
态能量至二级，波函数至一级。
五、（20分）已知角动量21???L L J ，求在态l l jm 121110中的21??L L 的值。
M —1—1
—学年第学期级专业（类）
考核科目量子力学课程类别必修课考核类型考试考核方式闭卷卷别N
（注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效）
一、概念题：（共20分，每小题4分）
1、光到底是粒子还是波；
2、两个对易的力学量是否一定同时具有确定值？在什么情况下才同时具有确定值？
3、不考虑自旋，求球谐振子能级
E n 的简并度；4、我们学过，氢原子的选择定则
1l ，这是否意味着l 3的跃迁绝
对不可能发生？
5、克莱布希－高豋系数是为解决什么问题提出的？二、（20分）设粒子在二维势场cx By Ax y
x U 22,中运动，其中常数0A ＞ ，
0B ＞ ．求其定态能级和波函数。三、（20分）在一维无限深势阱a x 0x a x 00＞或＜ 当当x
U 中运动的粒子，求它处在定态时的平均坐标x 。
四、（20分）求氢原子处于基态时，在恒定外弱电场
作用下，其定态能级至二级和波函数至一级。
五、（20分）根据在z S ?表象下的矩阵表示，求自旋y S
?的本征值及对应本征函数（粒子s=2
1）。N —1—1
—学年第学期级专业（类）
考核科目量子力学课程类别必修课考核类型考试考核方式闭卷卷别O
（注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效）
一、概念题：（共20分，每小题4分）
1、在球坐标系下，波函数,,r 为什么应是进动角的周期函数？
2、设当a ＜x 和b y ＜时，势能为常数0U ，试将此区域内的二维Schrodinger 方程分离变量(不求解)；
3、何谓力学量完全集？
4、定性说明为什么在氢原子的
Stark 效应中，可将r e H ?视为微扰项？5、Pauli 算符?是否满足角动量的定义式？
二、（20分）有一粒子在一维势场
其它当b x a
0U x U 中运动，求其定态能级及波函数。
三、（20分）已知K
i G F
?]?,?[，其中F ?、G ?均为厄米算符，利用关系0??2d G i F I 证明测不准关系4
)?()?(2
22k G F 。四、（20分）已知z L ?、y L ?的伴随表示分别为00000
00?i i
L z 及
0000
00
?i i L y 求x L
?的矩阵表示。五、（20分）求在自旋态10)(21
y s 的测不准关系?
)?()?(22x z S S O —1—1
—学年第学期级专业（类）
考核科目量子力学课程类别必修课考核类型考试考核方式闭卷卷别P
（注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效）
一、概念题：（共20分，每小题4分）
1、简述量子力学产生的背景；
2、写出位置表象中直角坐标系下x L ?、y L ?、z L ?、2?L 的表示式；
3、l n r R 为有心力场中的径向波函数，问
r r r r n n l l l n l n dr r R R 20是
否成立？为什么？
4、定态微扰论是否适用于主量子数n 很大的氢原子情况？为什么？
5、有关角动量的定义，我们学过哪两种？哪一种更广泛？自旋角动量是按哪一种定义的？
二、（20分）电子在三维势场
x L
D r e r U ?402中运动，其中D 为常数，求其定态能级及波函数。三、（20分）试推导]?,?[z L
y 的对易关系。四、（20分）在各向同性三维谐振子H ?中加入微扰项xy H ?，其中为很小的
常数，求第一激发态能量的一级修正。
五、（20分）求在态1,3,1,221jm l l 中的21??L L 的值，其中角动量21???L L J 。
P —1—1
—学年第学期级专业（类）
考核科目量子力学课程类别必修课考核类型考试考核方式闭卷卷别Q
（注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效）
一、概念题：（共20分，每小题4分）
1、说明x 的量纲；
2、说明在定态问题中，定态能量的最小值不可能低于势能的最低值；
3、简述占有数表象；
4、试说明对易的厄米算符的乘积也是厄米算符；
5、何为偶极近似？
二、（20分）一粒子的哈密顿算符为2
0222L r 4e
2B H
，其中B 为常数，求其定态能级及本征函数。
三、（20分）已知x ?、z L
?分别为坐标和角动量的分量算符，推导其对易关系]?,?[z L x 。四、（20分）在各向同性三维谐振子的哈氏算符H ?中加入微扰项yz H ?，其中
为很小的常数，求其第一激发态能量的一级近似。
五、（20分）求在y S ?表象下，x S ?的本征值及对应本征函数（粒子s=2
1）。Q —1—1
—学年第学期级专业（类）
考核科目量子力学课程类别必修课考核类型考试考核方式闭卷卷别R
（注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效）
一、概念题：（共20分，每小题4分）
1、量子力学克服了旧量子论的哪些不足？
2、写出i L z ?的本征值及对应本征函数；
3、一个物理体系存在束缚态的条件是什么？
4、简述态的表象变换的方法；
5、已知总角动量21???J J J ，试说明0]?,?[212J J 。
二、（20分）令0?H 为氢原子哈密顿算符，已知一粒子
y L A H H ???0，求此粒子的定态能级及波函数（其中
A 为常数）。三、（20分）设粒子在一维线性谐振子势中运动，求其基态的测不准关系
?
)?()(22p x 四、（20分）已知H H
H ???0，其中0000?n n n E H 已精确求出，试推导1n E 、2
n E 、1
n 、2
n （分别为能量的一级、二级修正及波函数的一级、二级修
正）所满足的方程组。
五、（20分）已知总角动量21???L L J ，1?L 、2?L 的角量子数分别为1l 、2l ，J ?的角量子数和磁量子数分别为
j 、m ，当体系处在态1,1,2,221jm l l 时，问
21??L L 的值为多少？R —1—1
—学年第学期级专业（类）
考核科目量子力学课程类别必修课考核类型考试考核方式闭卷卷别S
（注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效）
一、概念题：（共20分，每小题4分）
1、旧量子论存在哪些不足？
2、对于旧量子论中氢原子的“轨道”，量子力学的解释是什么？
3、两个不对易的力学量一定不能同时确定吗？举例说明；
4、简述变分法的思想；
5、写出电子在z S
?表象下的三个Pauli 矩阵。二、（20分）已知一粒子在三维势场
202?4x L A r e r U 中运动，求其定态能
级及波函数。三、（20分）求线性谐振子基态的动能平均值T 。
四、（20分）已知zx H H 0??，其中0?H 为三维各向同性谐振子的哈氏算符，
为很小的常数，试用微扰方法求其第一激发态能量的一级近似。
五、（20分）已知y x J i J J
???，J ?为角动量算符，jm 为2?J
、z J ?共同本征态，证明：1)1()1(?m j m m j j jm J S —1—1
—学年第学期级专业（类）
考核科目量子力学课程类别必修课考核类型考试考核方式闭卷卷别T
（注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效）
一、概念题：（共20分，每小题4分）
1、简述波函数的Born 统计解释；
2、设是定态Schrodinger 方程的解，说明也是对应同一本征能级的解，进而说明无简并能级的波函数一定可以取为实数；
3、引入Dirac 符号的意义何在？
4、定态微扰论的适用范围是什么？
5、简述两个角动量耦合的三角形关系。
二、（20分）一粒子在一维势场b
x 0b x a a
x 0＞当当＜当U x
U 中运动，求其束缚态能级所满足的方程（0U ＞0）。
三、（20分）试求线性谐振子基态的势能平均值
U 。四、（20分）已知哈密顿函数30
2
000
1ci ci H ，求：（1）能量本征值；（2）当c 很小时，能量修正至二级。
五、（20分）令L ?为轨道角动量，
S ?为电子自旋角动量，如体系哈氏算符z z z y x S
f L L L L e H ??????222，其中e 、、f 均为常数，试求体系定态能级和波函数。
T —1—1
上册 1.3 粒子在深度为0V ,宽度为a 的直角势阱(如图1.3)中运动,求 (a)阱口刚好出现一个束缚态能级(即0V E ≈)的条件; (b)束缚态能级总和,并和无限深势阱作比较 . 解 粒子能量0V E 小于时为游离态,能量本征值方程为: []0)(22''=-+ ψψx V E m (1) 令002k mV = ,β=- )(20E V m (2) 式(1)还可以写成 ?? ???≥=-≤=+）（阱外）（阱内4)(2,03)(2,022''2''a x a x mE ψβψψψ 无限远处束缚态波函 数应趋于0，因此式(4)的解应取为()2,a x Ce x x ≥=-βψ 当阱口刚好出现束缚态能级时,0,0≈≈βV E ,因此 2,0)('a x Ce x x ≥≈±=-ββψ （6） 阱内波函数可由式(3)解出,当0V E ≈解为 ()()2,s i n ,c o s 00a x x k x x k x ≤?? ?==ψψ奇宇称 偶宇称 （7） 阱内、外ψ和ψ应该连续，而由式（6）可知，2a x =处，0'=ψ， 将这条件用于式（7），即得 ,5,3,,02cos ,6,4,2,02 sin 0000ππππππ====a k a k a k a k 奇宇称偶宇称(8) 亦即阱口刚好出现束缚能级的条件为 ,3,2,1, 0==n n a k π （9） 即2 22202π n a mV = （10） 这种类型的一维势阱至少有一个束缚能级，因此，如果 2 2202π< a mV ，只存在一个束缚态，偶宇称（基态）。如果22202π = a mV ，除基态外，阱口将再出现一个能级（奇宇称态），共两个能级。如() 222022π= a mV ，阱口将出现第三个能级(偶宇称)。依此类推，由此可知，对于任何20a V 值，束缚态能级总数为 其中符号[A]表示不超过A 的最大整数。 当粒子在宽度为a 的无限深方势阱中运动时，能级为 ,3,2,1,212 =?? ? ??=n a n m E n π 则0V E ≤的能级数为 120-=?? ????=N mV a n π （12） 也就是说，如果只计算0V E ≤的能级数，则有限深)(0V 势阱的能级数比无限深势阱的能级数多一个。注意，后者的每一个能级均一一对应的高于前者的相应能级。
第二章 一维势场中的粒子 §2.2 方 势 一、一维运动 当粒子在势场V (x ,y ,z )中运动时，其 Schrodinger 方程为： 22 [(,,)](,,)(,,)2V x y z x y z E x y z m ψψ-?+= 若势可写成： V (x ,y ,z ) = V 1(x ) + V 2(y ) + V 3(z ) 形式， 2212 [()]()()2x d V x X x E X x m dx -+= 2222 [()]()()2y d V y Y y E Y y m dy -+= 2232 [()]()()2z d V z Z z E Z z m dz -+= ψ(x ,y ,z ) = X (x ) Y (y ) Z (z ) ψ1(x ) x y z E E E E =++ 二、一维无限深势阱 0(0)()(0,) x a V x x x a ?<?? 这是定态问题 一维无限深势阱（0~a ）的求解 解：（1）列出各势域的 S — 方程 22 2 [()]()()2d V x x E x m dx ψψ-+= 20222 2 2202 22()0202()0I I II II III III d m V E dx d mE dx d m V E dx ψψψψψψ?--=???+=???--=?? 00E V << 0()V →∞ ，令k = )(0>k ，β=方程可简化为：22 2 222 222 000I I II II III III d dx d k dx d dx ψβψψψψβψ?-=????+=???-=??
2 i i i j i j ± 第一章 1、简述量子力学基本原理。 答：QM 原理一 描写围观体系状态的数学量是 Hilbert 空间中的矢量,只相差一个复数因子的两个矢量，描写挺一个物理状态。QM 原理二 1、描写围观体系物理量的是 Hillbert 空间内的厄米算符( A ? )；2、物理量所能取的值是相应算符 A ? 的本征值；3、 一个任意态总可以用算符 A ? 的本征态 a i 展开如下： = ∑C i a i i C i = a i ；而 物理量 A 在 中出现的几率与 C i 成正比。原理三 一个微观粒子在直角坐标下的位置 算符 x ? 和相应的正则动量算符 p ? 有如下对易关系： [x ? , x ? ]= 0 ， [p ? , p ? ] = 0 ， [x ?i , p ? j ]= i ij 原理四 在薛定谔图景中，微观体系态矢量 (t ) 随时间变化的规律由薛定谔方程给 i ? ?t (t ) = H ? (t ) 在海森堡图景中，一个厄米算符 A ?(H ) (t ) 的运动规律由海森堡 方程给出： d A ?(H ) (t ) = 1 [A ?(H ), H ? ] 原理五 一个包含多个全同粒子的体系，在 dt i Hillbert 空间中的态矢对于任何一对粒子的交换是对称的或反对称的。服从前者的粒子称为玻色子，服从后者的粒子称为费米子。 2、薛定谔图景的概念？ 答： (x, t ) =< x |(t )>式中态矢随时间而变而 x 不含 t ，结果波函数ψ(x ，t )中的宗量 t 来自 ψ(t ) 而 x 来自 x ，这叫做薛定谔图景. ?1 ? ? 0? 3、 已知 = ?,= ?. 0 1 (1)请写出 Pauli 矩阵的 3 个分量； (2)证明σ x 的本征态 ? ? ? ? 1 ?1 ? 1 | S x ± >= ? = ? 1? (± ). 4、已知：P 为极化矢量，P=<ψ|σ|ψ>，其中ψ=C 1α+C 2β，它的三个分量为： 求 证： 2 2
曾谨言《量子力学》（卷I ）第四版（科学出版社）2007年1月摘录 第三版序言 我认为一个好的高校教师，不应只满足于传授知识，而应着重培养学生如何思考问题、提出问题和解决问题。 这里涉及到科学上的继承和创新的关系。“继往”中是一种手段，而目的只能是“开来”。 讲课虽不必要完全按照历史的发展线索讲，但有必要充分展开这种矛盾，让学生自己去思考，自己去设想一个解决矛盾的方案。 要真正贯彻启发式教学，教师有必要进行教学与科学研究。而教学研究既有教学法的研究，便更实质性的是教学内容的研究。从教学法来讲，教师讲述一个新概念和新原理时，应力求符合初学者的认识过程。在教学内容上，至少对于像量子力学这样的现代物理课程来讲，我信为还有很多问题并未搞得很清楚，很值得研究。 量子力学涉及物质运动形式和规律的根本变革.20世纪前的经典物理学(经典力学、电动力学、热力学与统计物理学等)，只适用于描述一般宏观 从物质波的驻波条件自然得出角动量量子化的条件及自然理解为什么束缚态的能量是量子化的：P17~18； 人类对光的认识的发展历史把原来人们长期把物质粒子看作经典粒子而没有发现错误的启发作用：P18； 康普顿实验对玻尔电子轨道概念的否定及得出“无限精确地跟踪一个电子是不可能的”：P21； 在矩阵力学的建立过程中，玻尔的对应原理思想起了重要的作用；波动力学严于德布罗意物质波的思想：P21； 微观粒子波粒二象性的准确含义：P29； 电子的双缝衍射实验对理解电子波为几率波的作用：P31 在非相对论条件下（没有粒子的产生与湮灭），概率波正确地把物质粒子的波动性与粒子性联系起来，也是在此条件下，有波函数的归一化及归一化不随时间变化的结果：P32； 经典波没有归一化的要领，这也是概率波与经典波的区别之一：P32； 波函数归一化不影响概率分布：P32 多粒子体系波函数的物理意义表明：物质粒子的波动性并不是在三维空间中某种实在的物理量的波动现象，而一般说来是多维的位形空间中的概率波。例如，两个粒子的体系，波函数刻画的是六维位形空间中的概率波。这个六维空间，只不过是标志一个具有6个自由度体系的坐标的抽象空间而已。 动量分布概率： 1 波包的频谱分析 具有一定波长的平面波可表示为： ()e x p ()k x i k x ψ= （A1.1） 波长2/k λπ=,其特点是是波幅(或强度)为常数.严格的平面波是不存在的,实际问题中碰到的都是波包,它们的强度只在空间有限区域不为0.例如,高斯波包 221()exp()2x a x ψ=- (A1.2) 其强度分布222()exp()x a x ψ=-,如图A.1所示.可以看出,波包主要集中在1 x a < 区域中. 所以波包宽度可近似估计为:
3. 系综与密度算符 1）纯系综和混合系综 相同的物理体系构成系综，例如由具有自旋的粒子构成的系综。 一个自旋为1/2的粒子的自旋态（方位角,αβ） /2/2(,)(,)(,)cos sin 22i i c c e e ααβ β χαβαβχαβχχχ-++--+-=+=+， 其中,χχ+-是?z s 的本征态， cos(/2)sin(/2) i c c e αββ+-=。 如果所有粒子的自旋都取相同方向，则称体系是极化系统，构成的系综是纯系综。 如果粒子的自旋不在同一方向，则构成的系综叫混合系综。例如自旋向上的粒子数占70％，自旋向下的粒子数占30％，体系是部分极化。一个自旋方向完全随机的系综，其自旋向上，向下的几率各有50％，整的表现是相互抵销，自旋为零，完全没极化。 2）系综平均与态密度算符 系统的力学量平均值 ?A A ααα=， 这里态α是固定的，是量子平均。进入任意表象B ， ,' ?''b b A b b A b b ααα=∑， 对表象的维数求和。 系综平均 [ ]A w A ααα=∑ ， 这里w α是体系处于态α的几率，显然满足归一化条件 1w αα =∑， 是统计平均，求和指标不是对表象的维数，而是对态。例如自旋1/2的粒子构成的系综，自旋表象的维数为2，但不同粒子的自旋态可以有很多取向，求和就是对不同的取向。
[],,','??''''b b b b A w b b A b w b b b A b αααααααα??== ??? ∑∑∑。 定义态密度算符 ?w αα ρ αα=∑， 它在表象B 的矩阵元 '?''bb b w b b αα ρρ αα==∑， []() ,'??????''b b b A b b b A b b A b tr A ρ ρρ==≡∑∑。 这是量子统计力学的基本公式。注意：表象变换不改变矩阵的求迹，上式不依赖于表象的选取。 在连续表象，例如坐标表象，密度算符的矩阵元 *'?''()(')xx x x w x x w x x αααααα ρρααψψ===∑∑ ， 系综平均 []() 3????A tr A d x x A x ρρ==? 。 密度矩阵满足归一化条件 ,,? 1 b b tr w b b w b b w w αααααααα ρ ααα α=====∑∑∑∑完备性条件 态的量子归一化条件 态的统计归一化条件 这里用到了归一化条件1α=和表象的完备性条件1b b b =∑。 设密度算符?ρ的本征态为θ， 22 ?,??ρ θθθρθρθθθθ==＝ 对于纯系综，所有系统都取同一个态n ，
第三章 力学量用算符表达 §3.1 算符的运算规则 一、算符的定义： 算符代表对波函数进行某种运算或变换的符号。 ?Au v = 表示?把函数u 变成 v ， ?就是这种变换的算符。 为强调算符的特点，常常在算符的符号上方加一个“^”号。但在不会引起误解的地方，也常把“^”略去。 二、算符的一般特性 1、线性算符 满足如下运算规律的算符?，称为线性算符 11221122 ???()A c c c A c A ψψψψ+=+ 其中c 1, c 2是任意复常数，ψ1, ψ2是任意两个波函数。 例如：动量算符?p i =-? ， 单位算符I 是线性算符。 2、算符相等 若两个算符?、?B 对体系的任何波函数ψ的运算结果都相同，即??A B ψψ=，则算符?和算符?B 相等记为??A B =。 3、算符之和 若两个算符?、?B 对体系的任何波函数ψ有：?????()A B A B C ψψψψ+=+=，则???A B C +=称为算符之和。 ????A B B A +=+，??????()()A B C A B C ++=++ 4、算符之积 算符?与?B 之积，记为??AB ，定义为 ????()()AB A B ψψ=?C ψ= ψ是任意波函数。一般来说算符之积不满足交换律，即????AB BA ≠。 5、对易关系 若????AB BA ≠，则称?与?B 不对易。 若A B B A ????=，则称?与?B 对易。 若算符满足????AB BA =-， 则称?A 和?B 反对易。 例如：算符x , ?x p i x ? =-? 不对易
证明：(1) ?()x xp x i x ψψ?=-? i x x ψ? =-? (2) ?()x p x i x x ψψ?=-? i i x x ψψ?=--? 显然二者结果不相等，所以： ??x x xp p x ≠ ??()x x xp p x i ψψ-= 因为ψ是体系的任意波函数，所以 ??x x xp p x i -= 对易关系 同理可证其它坐标算符与共轭动量满足 ??y y yp p y i -= ，??z z zp p z i -= 但是坐标算符与其非共轭动量对易，各动量之间相互对易。 ??0??0y y z z xp p x xp p x -=??-=?，??0??0x x z z yp p y yp p y -=??-=?，??0??0x x y y zp p z zp p z -=???-=?? ????0x y y x p p p p -=，????0y z z y p p p p -=，????0z x x z p p p p -= ????0xy yx -=，????0y z z y p p p p -=，????0z x x z p p p p -= 写成通式(概括起来)： ??x p p x i αββααβδ-= (1) ????0x x x x αββα-= ????0p p p p αββα-= 其中,,,x y z αβ=或1,2,3 量子力学中最基本的对易关系。 注意：当?与?B 对易，?B 与?对易，不能推知?与?对易与否。 6、对易括号(对易式) 为了表述简洁，运算便利和研究量子力学与经典力学的关系，人们定义了对易括号： ??????[,]A B AB BA ≡- 这样一来，坐标和动量的对易关系可改写成如下形式： ?[,]x p i αβαβδ= 不难证明对易括号满足下列代数恒等式： 1) ????[,][,]A B B A =- 2) ???????[,][,][,]A B C A B A C +=+ 3) ?????????[,][,][,]A BC B A C A B C =+ ，?????????[,][,][,]AB C A B C A C B =+，]?,?[]?,?[B A k B k A = 4) ?????????[,[,]][,[,]][,[,]]0A B C B C A C A B ++= ——称为 Jacobi 恒等式。
量子力学期末试题及答案 红色为我认为可能考的题目 一、填空题： 1、波函数的标准条件：单值、连续性、有限性。 2、|Ψ（r,t）|^2的物理意义：t时刻粒子出现在r处的概率密度。 3、一个量的本征值对应多个本征态，这样的态称为简并。 4、两个力学量对应的算符对易，它们具有共同的确定值。 二、简答题： 1、简述力学量对应的算符必须是线性厄米的。 答：力学量的观测值应为实数，力学量在任何状态下的观测值就是在该状态下的平均值，量子力学中，可观测的力学量所对应的算符必须为厄米算符；量子力学中还必须满足态叠加原理，而要满足态叠加原理，算符必须是线性算符。综上所述，在量子力学中，能和可观测的力学量相对应的算符必然是线性厄米算符。 2、一个量子态分为本征态和非本征态，这种说法确切吗？ 答：不确切。针对某个特定的力学量，对应算符为A，它的本征态对另一个力学量（对应算符为B）就不是它的本征态，它们有各自的本征值，只有两个算符彼此对易，它们才有共同的本征态。 3、辐射谱线的位置和谱线的强度各决定于什么因素？ 答：某一单色光辐射的话可能吸收，也可能受激跃迁。谱线的位置决定于跃迁的频率和跃迁的速度；谱线强度取决于始末态的能量差。 三、证明题。
2、证明概率流密度J不显含时间。 四、计算题。 1、
第二题： 如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为0r 、电荷均匀分布的小球， 计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。 解：这种分布只对0r r <的区域有影响，对0r r ≥的区域无影响。据题意知 )()(?0 r U r U H -=' 其中)(0r U 是不考虑这种效应的势能分布，即 2004ze U r r πε=-（） )(r U 为考虑这种效应后的势能分布，在0r r ≥区域， r Ze r U 024)(πε-= 在0r r <区域，)(r U 可由下式得出， ?∞ -=r E d r e r U )( ???????≥≤=??=)( 4 )( ,43441 02 003003303 420r r r Ze r r r r Ze r r Ze r E πεπεπππε ??∞ --=0 )(r r r Edr e Edr e r U ?? ∞ - - =00 20 2 3 002 144r r r dr r Ze rdr r Ze πεπε )3(84)(82 203 020*********r r r Ze r Ze r r r Ze --=---=πεπεπε )( 0r r ≤ ?? ???≥≤+--=-=')( 0 )( 4)3(8)()(?00022 2030020r r r r r Ze r r r Ze r U r U H πεπε
高等半导体物理 课程内容(前置课程: 量子力学,固体物理) 第一章能带理论,半导体中得电子态 第二章半导体中得电输运 第三章半导体中得光学性质 第四章超晶格,量子阱 前言:半导体理论与器件发展史 1926 Bloch 定理 1931 Wilson 固体能带论(里程碑) 1948 Bardeen, Brattain and Shokley 发明晶体管,带来了现代电子技术得革命,同时也促进了半导体物理研究得蓬勃发展。从那以后得几十年间,无论在半导体物理研究方面,还就是半导体器件应用方面都有了飞速得发展。 1954半导体有效质量理论得提出,这就是半导体理论得一个重大发展,它定量地描述了半导体导带与价带边附近细致得能带结构,给出了研究浅能级、激子、磁能级等得理论方法,促进了当时得回旋共振、磁光吸收、自由载流子吸收、激子吸收等实验研究。 1958 集成电路问世 1959 赝势概念得提出,使得固体能带得计算大为简化。利用价电子态与原子核心态正交得性质,用一个赝势代替真实得原子势,得到了一个固体中价电子态满足得方程。用赝势方法得到了几乎所有半导体得比较精确得能带结构。1962 半导体激光器发明 1968 硅MOS器件发明及大规模集成电路实现产业化大生产 1970 * 超晶格概念提出,Esaki (江歧), Tsu (朱兆祥) * 超高真空表面能谱分析技术相继出现,开始了对半导体表面、界面物理得研究 1971 第一个超晶格Al x Ga1x As/GaAs 制备,标志着半导体材料得发展开始进入人工设计得新时代。 1980 德国得V on Klitzing发现了整数量子Hall 效应——标准电阻 1982 崔崎等人在电子迁移率极高得Al x Ga1x As/GaAs异质结中发现了分数量子Hall 效应 1984 Miller等人观察到量子阱中激子吸收峰能量随电场强度变化发生红移得量子限制斯塔克效应,以及由激子吸收系数或折射率变化引起得激子光学非线性效应,为设计新一代光双稳器件提供了重要得依据。 1990 英国得Canham首次在室温下观测到多孔硅得可见光光致发光,使人们瞧到了全硅光电子集成技术得新曙光。近年来,各国科学家将选择生成超薄层外延技术与精细束加工技术密切结合起来,研制量子线与量子点及其光电器件,预期能发现一些新得物理现象与得到更好得器件性能。在器件长度小于电子平均自由程得所谓介观系统中,电子输运不再遵循通常得欧姆定律,电子运动完全由它得波动性质决定。人们发现电子输运得AharonovBohm振荡,电子波得相干振荡以及量子点得库仑阻塞现象等。以上这些新材料、新物理现象得发现产生新得器件设计思想,促进新一代半导体器件得发展。 半导体材料分类: ?元素半导体, Si, Ge IV 族金刚石结构 Purity 10N9, Impurity concentration 1012/cm3 , Dislocation densities <103 /cm3 Size 20 inches (50 cm) in diameter P V 族 S, Te, Se VI 族 ?二元化合物, 1.IIIV族化合物: GaAS系列,闪锌矿结构, 电荷转移 GaAs, 1、47 eV InAs 0、36 eV GaP, 2、23 eV GaSb, 0、68 eV GaN, 3、3 eV BN 4、6 eV AlN 3、8 eV
1、黑体辐射： 任何物体总在吸收投射在它身上的辐射。物体吸收的辐射能量与投射到物体上的辐射能之比称为该物体的吸收系数。如果一个物体能吸收投射到它表面上的全部辐射，即吸收系数为1时，则称这个物体为黑体。 光子可以被物质发射和吸收。黑体向辐射场发射或吸收能量hv的过程就是发射或吸收光子的过程。 2、光电效应（条件）： 当光子照射到金属的表面上时，能量为hv的光子被电子吸收。 临界频率v0满足 （1）存在临界频率v0，当入射光的频率v 7、一维无限深势阱（P31） 8、束缚态：粒子只能束缚在空间的有限区域，在无穷远处波函数为零的状态。 一维无限深势阱给出的波函数全部是束缚态波函数。 从（2.4.6）式还可证明，当n分别是奇数和偶数时，满足 即n是奇数时，波函数是x的偶函数，我们称这时的波函数具有偶宇称；当n是偶数时，波函数是x的奇函数，我们称这时的波函数具有奇宇称。 9、谐振子（P35） 10、在量子力学中，常把一个能级对应多个相互独立的能量本征函数，或者说，多个相互独立的能量本征函数具有相同能量本征值的现象称为简并，而把对应的本征函数的个数称为简并度。但对一维非奇性势的薛定谔方程，可以证明一个能量本征值对应一个束缚态，无简并。 11、半壁无限高（P51例2） 12、玻尔磁子 13、算符 对易子 厄米共轭算符 厄米算符：若，则称算符为自厄米共轭算符，简称厄米算符 性质：（1）两厄米算符之和仍为厄米算符 （2）当且仅当两厄米算符和对易时，它们之积才为厄米算符，因为 只在时，，才有，即仍为厄米算符 第一章 1、简述量子力学基本原理。 答：QM 原理一 描写围观体系状态的数学量是Hilbert 空间中的矢量,只相差一个复数因子的两个矢量，描写挺一个物理状态。QM 原理二 1、描写围观体系物理量的是Hillbert 空间内的厄米算符(A ?)；2、物理量所能取的值是相应算符A ?的本征值；3、一个任意态 总可以用算符A ?的本征态i a 展开如下：ψψi i i i i a C a C ==∑,；而物理量A 在 ψ 中出现的几率与2 i C 成正比。原理三 一个微观粒子在直角坐标下的位置算符i x ?和相应的正则动量算符i p ?有如下对易关系：[]0?,?=j i x x ，[]0?,?=j i p p ，[] ij j i i p x δ =?,? 原理四 在薛定谔图景中，微观体系态矢量()t ψ随时间变化的规律由薛定谔方程给 ()()t H t t i ψψ?=?? 在海森堡图景中，一个厄米算符() ()t A H ?的运动规律由海森堡 方程给出： ()()()[] H A i t A dt d H H ? ,?1? = 原理五 一个包含多个全同粒子的体系，在Hillbert 空间中的态矢对于任何一对粒子的交换是对称的或反对称的。服从前者的粒子称为玻色子，服从后者的粒子称为费米子。 2、薛定谔图景的概念？ 答：()()t x t ψψ|,x =<>式中态矢随时间而变而x 不含t ，结果波函数()t x ，ψ中的宗量t 来自()t ψ而x 来自x ，这叫做薛定谔图景. 3、 已知.10,01??? ? ??=???? ??=βα (1)请写出Pauli 矩阵的3个分量； (2)证明σx 的本征态).(211121|βα±=??? ? ??±>=±x S 4、已知：P 为极化矢量，P=<ψ|σ|ψ>，其中ψ=C 1α+C 2β，它的三个分量为： 求证： 答案：设：C 1=x 1+iy 1,C 2=x 2+iy 2 第五章： 对称性及守恒定律 ［１］证明力学量A ?（不显含t ）的平均值对时间的二次微商为： ]?],?,?[[2 22 H H A A dt d -= （H ?是哈密顿量） （解）根据力学量平均值的时间导数公式，若力学量A ? 不显含t ，有 ]?,?[1H A i dt A d = （１） 将前式对时间求导，将等号右方看成为另一力学量 ]?,?[1H A i 的平均值，则有： ]?],?,?[[1]?],?,?[1 [ 1222 H H A H H A i i dt A d -== （２） 此式遍乘2 即得待证式。 ［２］证明，在不连续谱的能量本征态（束缚定态）下，不显含t 的物理量对时间t 的导数的平均值等于零。 （证明）设A ?是个不含t 的物理量，ψ是能量H ?的公立的本征态之一，求A ?在ψ态中的平均值，有： ???= τ τψψ d A A ?* 将此平均值求时间导数，可得以下式（推导见课本§5.1） ???-≡= τ τψψd A H H A i H A i dt A d )????(*1]?,?[1 （１） 今ψ代表H ?的本征态，故ψ满足本征方程式 ψψE H =? （E 为本征值） （２） 又因为H ?是厄密算符，按定义有下式（ψ需要是束缚态，这样下述积公存在） τψψτψψτ d A H d A H ??????=)? (*)?()~ (?* （３） （题中说力学量导数的平均值，与平均值的导数指同一量） （２）（３）代入（１）得： τψψτψψd A H i d H A i dt A d )? (*)?(1)?(?*1?????? -= ??? ???-= τψψ τψψd A i E d A i E ?**?* 因*E E =，而0=dt A d ［３］设粒子的哈密顿量为 )(2??2r V p H +=μ 。 （１） 证明 V r p p r dt d ??-=? μ/)(2 。 （２） 证明：对于定态 V r T ??=2 （证明）（１）z y x p z p y p x p r ??????++=? ，运用力学量平均值导数公式，以及对易算符的公配律： ]?,??[1)??(H p r i p r d t d ?=? )],,(?21,??????[]?,??[2z y x V p p z p y p x H p r z y x +++=?μ )],,()???(21,??????[2 22z y x V p p p p z p y p x z y x z y x +++++=μ )],,(,[21],??????[2 2 2z y x V zp yp xp p p p p z p y p x z y x z y x z y x +++++++=μ （２） 分动量算符仅与一个座标有关，例如x i p x ?? = ，而不同座标的算符相对易，因此（２）式 可简化成： ]?,??[21]?,??[21]?,??[21]?,??[222z z y y x x p p z p p y p p x H p r μ μμ++=? )],,(,??????[z y x V p z p y p x z y x +++ ],??[],??[],??[]?,??[21]?,??[21]?,??[2122 2 V p z V p y V p x p p z p p y p p x z y x z z y y x x ++++ + = μ μ μ （３） 2008~2009郑州大学物理工程学院电子科学与技术专业 光电子方向量子力学试题（A 卷） （说明：考试时间120分钟，共6页，满分100分） 计分人： 复查人： 一、填空题：（每题 4 分，共 40 分） 1. 微观粒子具有 波粒 二象性。 2．德布罗意关系是粒子能量E 、动量P 与频率ν、波长λ之间的关系，其表达式为： E=h ν, p=/h λ 。 3．根据波函数的统计解释，dx t x 2 ),(ψ的物理意义为：粒子在x —dx 范围内的几率 。 4．量子力学中力学量用 厄米 算符表示。 5．坐标的x 分量算符和动量的x 分量算符x p 的对易关系为：[],x p i =h 。 6．量子力学关于测量的假设认为：当体系处于波函数ψ(x)所描写的状态时，测量某力学量 F 所得的数值，必定是算符F ?的 本征值 。 7．定态波函数的形式为： t E i n n e x t x η -=)(),(?ψ。 8．一个力学量A 为守恒量的条件是：A 不显含时间，且与哈密顿算符对易 。 9．根据全同性原理，全同粒子体系的波函数具有一定的交换对称性，费米子体系的波函数是_反对称的_____________,玻色子体系的波函数是_对称的_______ _。 10．每个电子具有自旋角动量S ρ，它在空间任何方向上的投影只能取两个数值为： 2 η± 。 二、证明题：（每题10分，共20分） 1、（10分）利用坐标和动量算符的对易关系，证明轨道角动量算符的对易关系： 证明： z y x L i L L? ] ?, ?[η = ] ? ? , ? ? [ ] ?, ?[ z x y z y x p x p z p z p y L L- - = ] ? ? , ? [ ] ? ? , ? [ z x y z x z p x p z p z p x p z p y- - - = ] ? , ? [ ] ? , ? [ ] ? , ? [ ] ? , ? [ z y x y z z x z p x p z p z p z p x p y p z p y+ - - = ] ? , ? [ ] ? , ? [ z y x z p x p z p z p y+ = y z z y z x x z p p x z p x p z p p z y p z p y?] ? , [ ] ? , ?[ ?] ? , [ ] ? , ?[+ + + = y z x z p p x z p z p y?] ? , [ ] ? , ?[+ = y z y z x z x z p p x z p p z x p z p y p p yz? ?] , [ ?] ?, [ ?] , ?[ ] ?, ?[+ + + = y x p i x p i y?) ( ?) (η η+ - = ] ? ? [ x y p y p x i- =η z L i?η = 研究生课程教学大纲 高等量子力学 一、课程编码：21-070200-B01-17 课内学时： 64 学分： 4 二、适用学科专业：理学，工学 三、先修课程：数理方法，理论力学，电动力学，量子力学，热力学统计物理 四、教学目标 通过本课程的学习，使研究生掌握希尔伯特空间，量子力学基本理论框架，了解狄拉克 方程，量子力学中的对称性与守恒定律，二次量子化等理论知识，提升在微观体系中运用量 子力学的基本能力。 五、教学方式：课堂讲授 六、主要内容及学时分配 1 希尔伯特空间10学时 1.1 矢量空间 1.2 算符 1.3 本征矢量和本征值 1.4 表象理论 1.5 矢量空间的直和与直积 2 量子力学基本理论框架20学时 2.1 量子力学基本原理 2.2 位置表象和动量表象 2.3 角动量算符和角动量表象 2.4 运动方程 2.5 谐振子的相干态 2.6 密度算符 3 狄拉克方程 6学时 4 量子力学中的对称性 5学时 5 角动量理论简介 5学时 6 二次量子化方法16学时 6.1 二次量子化 6.2 费米子 6.3 玻色子 复习 2学时七、考核与成绩评定：以百分制衡量。 成绩评定依据: 平时作业成绩占30%，期末笔试成绩占70%。 八、参考书及学生必读参考资料 1. 喀兴林，《高等量子力学》，.[M]北京：高等教育出版社，2001 2. Franz Schwabl,《Advanced Quantum Mechanics》，.[M]北京：世界图书出版公司：2012 3. 曾谨言，《量子力学》，.[M]北京：科学出版社：第五版2014或第四版2007 4. https://www.doczj.com/doc/c65781389.html,ndau, M.E.Lifshitz，《Quantum Mechanics (Non-reativistic Theory)》，.[M]北京：世界 图书出版公司：1999 5. 倪光炯，《高等量子力学》，. [M]上海：复旦大学出版社：2005 九、大纲撰写人：曾天海 高等量子力学复习 主讲老师：张盈 记录整理：王宏辉 开始第一节课我们告诉大家了，什么是高等量子学，它和普通量子学的一个区别。其实按理说这门课学完，我们应该回过头来想一想，为什么？至少你可以通过描述一个问题来回答清楚，比如说量子力学适用于研究怎样的对象？ 这个问题并不是那么好回答，不能简单的说低速的就可以，微观的就行，不是这么简单。那么它有几个层次。 一个就是量子力学和薛定谔方程实际上是不一样，不能把薛定谔方程适用的对象看成是量子力学的对象。这个我给大家说过吧，因为你像狄拉克方程啊，克莱因-戈登方程都属于量子力学。所以量子力学适用于研究的对象是量子力学搭建的这个理论构架所适用研究的对象。这是我们说的第一个层次，你要区分量子力学和薛定谔方程。 第二个层次，你要从量子力学的基本原理，或者说薛定谔方程里面，其他的方面看出来，它适用研究的对象，为什么具有这个特点。也就是说，你说它适用于微观，我们从薛定谔方程或者狄拉克方程里面，怎么能看出来它适用微观。你说它适用于也就是这种粒子数不变的体系，你要能说明这一点，这个方程的体系里面，要能把这些东西对应上。这是第二个层次。 所以回答这个问题的时候应该是站在高等量子的高度，从你们学过的这个课程的基础之上来回答，不再是像以前那个量子力学低速微观OK。简单是这样子。所以这个问题有时候蛮复杂的。 首先我们说这门课的时候，你要理清几个大块，也就是我们这几章。 在第一个大章里面，我们给大家介绍的是量子力学的一个理论的构架。在这个理论构架里面，我们先给大家讲了三条基本假设，大家还能举起来吗？第一条：态，就是关于希尔伯特空间的。第二条：厄米算符是力学量的候选者，第三条：统计解释。 那么我们一个一个来回顾一下。 第一条假设，物理的状态对应希尔伯特空间中的一个矢量，更准确的说，实 《高等量子力学》课程教学大纲 一、课程名称（中英文） 中文名称：高等量子力学 英文名称：Advanced Quantum Mechanics 二、课程代码及性质 课程编码： 课程性质：学科(大类)专业选修课/选修 三、学时与学分 总学时：64（理论学时：64学时） 学分：4 四、先修课程 先修课程：无 五、授课对象 本课程面向物理学各专业学生开设 六、课程教学目的（对学生知识、能力、素质培养的贡献和作用） 量子力学理论是20世纪物理学取得的两个（相对论和量子理论）最伟大的进展之一，以研究微观物质运动规律为基本出发点建立的量子理论开辟了人类认识客观世界运动规律的新途径，开创了物理学的新时代。 本课程是物理学专业本科课程《量子力学》的后续课程，用以弥补量子力学课程与学生实际进入科研前沿之间的知识鸿沟。其内容分为两部分：第一部分是在量子力学课程的基础上归纳阐述量子力学的基本原理（公设）及表述形式。第二部分主要是讲述量子力学的基本方法及其应用。在分析清楚各类基本应用问题的物理内容基础上，掌 握量子力学对一些基本问题的处理方法。 课程的教学目的是使得学生掌握微观粒子的运动规律、量子力学的基本假设、基本原理和基本方法，掌握量子力学的基本近似方法及其对相关物理问题的处理，并了解量子力学所揭示的互补性认识论及其对人类认识论的贡献。 七、教学重点与难点： 课程重点：本课程所讲授的内容均为学生从事前沿科学研究所必备，因此所有内容均为重点 课程难点：本课程所讲授的内容抽象程度较高，理论推导计算量大，因此所有内容均为难点 八、教学方法与手段： 教学方法：采用课堂讲授、讨论、习题等多种授课形式相结合的教学新模式。课堂讲授基本概念、基本原理，通过讨论课加深学生对基本内容的理解，通过习题课提高学生运用基本理论分析问题、解决问题的能力。 教学手段：采用多媒体与板书相结合的教学手段，传统授课手段与现代教育技术手段相互取长补短，相得益彰。特别的，将Mathematica 和Matlab等计算软件引入本课程的教学，以实现抽象复杂的数学物理问题的直观展现，提高学生的学习兴趣。重要理论推导采用板书与多媒体相结合的手段，以形成师生的良好互动。 九、教学内容与学时安排 （一）量子力学的公理体系（教师课堂教学6小时+ 学生课后学习12小时） 教学内容：Hilbert空间、左矢、右矢、算符矩阵表示与表象变换 目次 第二章：波函数与波动方程………………1——25 第三章：一维定态问题……………………26——80 第四章：力学量用符表达…………………80——168 第五章：对称性与守衡定律………………168——199 第六章：中心力场…………………………200——272 第七章：粒子在电磁场中的运动…………273——289 第八章：自旋………………………………290——340 * * * * * 参考用书 1．曾谨言编著：量子力学上册 科学。1981 2．周世勋编：量子力学教程 人教。1979 3．L ．I ．席夫著，李淑娴，陈崇光译：量子力学 人教。1982 4．D ．特哈尔编，王正清，刘弘度译：量子力学习题集 人教。1981 5．列维奇著，李平译：量子力学教程习题集 高教。1958 6．原岛鲜著：初等量子力学（日文） 裳华房。1972 7．N.F.Mott.I.N.Sneddon:Wave Mechanics and its Applications 西联影印。1948 8．L.Pauling.E.B.Wilson:Introduction to Quantum- Mechanics (有中译本：陈洪生译。科学) 1951 9. A.S.Davydov: Quantum Mechanics Pergamon Press 1965 10. SIEGFRIED.Fluegge:Practical Quantum- Mechanics （英译本） Springer V erlag 1973 11. A.Messian:Quantum Mechanics V ol I.North.Holland Pubs 1961 https://www.doczj.com/doc/c65781389.html,ndau,E.Lifshitz:Quantum-Mechanics1958 量子力学常用积分公式 (1) dx e x a n e x a dx e x ax n ax n ax n ?? -- = 1 1 )0(>n (2) )cos sin (sin 2 2 bx b bx a b a e bxdx e ax ax -+= ? (3) = ?axdx e ax cos )sin cos (2 2 bx b bx a b a e ax ++ (4) ax x a ax a axdx x cos 1sin 1sin 2 -=? (5) = ?axdx x sin 2 ax a x a ax a x cos )2( sin 22 2 2 - + (6) ax a x ax a axdx x sin cos 1cos 2 +=? (7ax a a x ax a x axdx x sin )2( cos 2cos 3 2 2 2 - += ?) 量子计算机中的量子力学 ——量子力学理论在现代科技中的应用 06级物理学2班 张洪（40606085） 从1946年第一台计算机诞生以来，其在冯·诺依曼体系结构上已经走过了60余年，其采用Alan Turing 于1936年提出的图灵机模型为计算模型。但随着科学的不断发展，以及计算机制造工艺的不断进步，计算机的尺寸也越来越小，其集成度也越来越高。按照摩尔定律，计算机芯片的集成度不久将达到原子分子量级，但是当电子器件小到原子分子量级的时候，这便受到了量子效应的干扰，这便把量子力学引入了计算机。物理学家Feynman 于1982年提出量子计算机的概念，并指出量子计算机在速度上对于传统计算机可能有本质的超越。 所谓量子计算机，是指利用处于多现实态下的原子进行运算的计算机。某种条件下，原子世界存在着多现实态，即原子和亚原子粒子可以同时存在于此处和彼处，可以同时表现出高速和低速，可以同时向上和向下运动。如果用这些不同原子状态分别代表不同的数字或数据，就可以利用一组具有不同潜在状态组合的原子，在同一时间对某一问题的所有答案进行探寻，就可以使代表正确答案的组合快速脱颖而出。 量子计算机的存储原理 传统计算机信息系统采用物理上最容易实现的二进制数据位存储数据或程序，每一个二进制数据位由0或1表示，成为一个比特（bit ）或位，以其作为最小的信息单元。在传统计算机中，每一个数据位要么是0，要么是1，二者必取其一。而量子计算机是根据物理系统的量子力学性质和规律执行计算任务的装置，其计算方式是量子计算。在量子计算机中，量子位（量子计算机的数据位）可以是0或者1，也可以是0和1的任何线性叠加它以一定的概率存在于0和1之间。 为了便于量子系统的表示和运算，狄拉克提出用符号|x>来表示量子态，|x>是一个列向量，称为右矢；其共轭转置用高等量子力学习题汇总
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