矩阵的“秩”，是线性代数第一部分的核心概念。 “矩阵的秩与向量组的秩一致。矩阵的秩就是其行（或列）向量组的秩。”怎样证明？就当做习题练一练。 设矩阵A的秩为r ，则A必有一个r 阶子式不为0，而所有 r + 1阶子式全为 0 逻辑1——r 阶子式不为0，则 r个r 维向量线性无关。 分析这是格莱姆法则推论，带来的直接判别方法。 （画外音：r个未知量 r个方程的齐次线性方程组仅有0 解的充分必要条件是其系数行列式不为0） 逻辑思维链——这r 个r 维向量与A 的行（或列）向量组有何关系？ 逻辑2——（“线性无关，延长无关。”定理）—— 已知一个n 维向量组线性无关，如果在相同的位置，给组内每个向量都增加一个分量，则所得的n + 1维向量组也线性无关。 分析不妨认为给线性无关的n 维向量组a1，a 2，…，a k 的每个向量都加上第n + 1个分量，形成一个n + 1 维向量组b1，b 2，…，b k
若有一组不全为零的数c1，c2，…，c k ，使得c1b1+ c2b 2+ ---+ c k b k = 0 ，如何证明“这组常数只能全为0”？ 每个向量有n + 1 分量，向量“线性组合为0”实际上是n + 1个等式。前n 个等式即 c1 a1+ c2a2+ ---+ c k a k = 0 由已知线性无关即得，这组常数只能全为0，而最后那个（第n + 1个）等式自然成立。 逻辑3 ——将线性无关的 r个r 维向量，逐次延长为矩阵A 的r 个行向量（或列向量），它们线性无关。 （潜台词：简而言之，不为0的r阶子式所在的r个行向量（或列向量）线性无关。） 逻辑思维链（关键问题）——这r 个行向量是行向量组的最大无关组吗？ 唯一信息——A的所有r + 1阶子式全为0 分析不妨设不为0 的r 阶子式就由这r 个行的左起前r 个分量排成。（画外音：画个示意图最好。）
习题4.3 1. (1) []12,1, 3,1T α=-, []23,1,2,0T α=-， []31,3,4,2T α=-,[]44,3,1,1T α=-． (2) []11,1,1,1T α=, []21,1, 1,1T α=--， []31,1,1,1T α=--,[]41,1,1,1T α=---． (3) []11, 1,2,4T α=-, []20,3,1,2T α=，[]33,0,7,14T α=, []41,1,2,0T α=-,[]52,1,5,6T α=． 分析 向量组的秩等于该向量组构成的矩阵的秩, 所以求向量组的秩可以转化为求矩阵的秩. 先把向量构成矩阵通过矩阵的初等行变换成阶梯形, 通过阶梯形便可得到矩阵的秩, 它也就是该向量组的秩, 而阶梯形的阶梯头所在的列对应的向量便构成该向量组的一个极大线性无关组. 解 (1) []1 23 423141133113301123241000010210000αααα--???????? ---??? ?=??→????????--???? , 所以该向量组的秩为2, 且1α, 2α为它的一个极大线性无关组. (2) []1 23 4111111 1111110 1011111001111110 01αααα--????????---??? ?=??→???? ---????--???? , 所以该向量组的秩为4, 且1α,2α,3α,4α为它的一个极大线性无关组. (3) []1 234 51 03121 312130110110121725000104 2140 60 000 0ααααα????????--? ???=??→???????????? , 所以该向量组的秩为3, 且1α,2α,4α为它的一个极大线性无关组. 2.计算下列向量组的秩，并判断该向量组是否线性相关. (1) []11, 1,2,3,4T α=-，[]23,7,8,9,13T α=-，
习题4.3 1.求下列向量组的秩与一个极大线性无关组： (1) []12,1,3,1T α=-, []23,1,2,0T α=-， []31,3,4,2T α=-,[]44,3,1,1T α=-． (2) []11,1,1,1T α=, []21,1,1,1T α=--， []31,1,1,1T α=--,[]41,1,1,1T α=---． (3) []11,1,2,4T α=-, []20,3,1,2T α=，[]33,0,7,14T α=, []41,1,2,0T α=-,[]52,1,5,6T α=． 分析 向量组的秩等于该向量组构成的矩阵的秩, 所以求向量组的秩可以转化为求矩阵的秩. 先把向量构成矩阵通过矩阵的初等行变换成阶梯形, 通过阶梯形便可得到矩阵的秩, 它也就是该向量组的秩, 而阶梯形的阶梯头所在的列对应的向量便构成该向量组的一个极大线性无关组. 解 (1) []1 23 423141133113301123241000010210000αααα--???????? ---??? ?=??→????????--???? , 所以该向量组的秩为2, 且1α, 2α为它的一个极大线性无关组. (2) []1 23 41111111111110 1011111001111110001αααα--???? ????---??? ?=??→???? ---???? --???? , 所以该向量组的秩为4, 且1α,2α,3α,4α为它的一个极大线性无关组. (3) []1 234 51031 21 0312130110110121725000104214060 0000ααααα???? ????--? ???=??→???? ??? ? ???? , 所以该向量组的秩为3, 且1α,2α,4α为它的一个极大线性无关组. 2.计算下列向量组的秩，并判断该向量组是否线性相关. (1) []11,1,2,3,4T α=-，[]23,7,8,9,13T α=-，
项目五 矩阵运算与方程组求解 实验2 矩阵的秩与向量组的极大无关组 实验目的 学习利用Mathematica 求矩阵的秩,作矩阵的初等行变换; 求向量组的秩与极大无关组. 基本命令 1. 求矩阵M 的所有可能的k 阶子式组成的矩阵的命令:Minors[M,k]. 2. 把矩阵A 化作行最简形的命令:RowReduce[A]. 3. 把数表1,数表2, …,合并成一个数表的命令:Join[list1,list2,…]. 例如输入 Join[{{1,0,-1},{3,2,1}},{{1,5},{4,6}}] 则输出 {{1,0,-1},{3,2,1},{1,5},{4,6}} 实验举例 求矩阵的秩 例2.1 (教材 例2.1) 设,815073*********???? ? ??-------=M 求矩阵M 的秩. 输入 Clear[M]; M={{3,2,-1,-3,-2},{2,-1,3,1,-3},{7,0,5,-1,-8}}; Minors[M,2] 则输出 {{-7,11,9,-5,5,-1,-8,8,9,11},{-14,22,18,-10,10,-2, -16,16,18,22},{7,-11,-9,5,-5,1,8,-8,-9,-11}} 可见矩阵M 有不为0的二阶子式. 再输入 Minors[M,3] 则输出 {{0,0,0,0,0,0,0,0,0,0}} 可见矩阵M 的三阶子式都为0. 所以.2)(=M r
例2.2 已知矩阵???? ? ??----=1t 0713123123M 的秩等于2, 求常数t 的值. 左上角的二阶子式不等于0. 三阶子式应该都等于0. 输入 Clear[M]; M={{3,2,-1,-3},{2,-1,3,1},{7,0,t,-1}}; Minors[M,3] 输出为 {{35-7t,45-9t,-5+t}} 当5=t 时, 所有的三阶子式都等于0. 此时矩阵的秩等于2. 例2.3 (教材 例2.2) 求矩阵???????? ??-----322 4211631095114047116的行最简形及其秩. 输入 A={{6,1,1,7},{4,0,4,1},{1,2,-9,0},{-1,3,-16,-1},{2,-4,22,3}} MatrixForm[A] RowReduce[A]//MatrixForm 则输出矩阵A 的行最简形 ???????? ??-0000000010000510 01 01 根据矩阵的行最简形,便得矩阵的秩为3. 矩阵的初等行变换 命令RowfReduce[A]把矩阵A 化作行最简形. 用初等行变换可以求矩阵的秩与矩阵的逆. 例2.4 设,41311221222832A ???? ? ??--=求矩阵A 的秩. 输入
第三节 向量组的线性相关性 分布图示 ★ 线性相关与线性无关 ★ 例1 ★ 例2 ★ 证明线性无关的一种方法 线性相关性的判定 ★ 定理1 ★ 定理2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6 ★ 定理3 ★ 定理4 ★ 定理5 ★ 例7 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题3-3 内容要点 一、线性相关性概念 定义1 给定向量组,,,,:21s A ααα 如果存在不全为零的数,,,,21s k k k 使 ,02211=+++s s k k k ααα (1) 则称向量组A 线性相关, 否则称为线性无关. 注: ① 当且仅当021====s k k k 时，(1)式成立, 向量组s ααα,,,21 线性无关; ② 包含零向量的任何向量组是线性相关的; ③ 向量组只含有一个向量α时，则 （1）0≠α的充分必要条件是α是线性无关的； （2）0=α的充分必要条件是α是线性相关的； ④ 仅含两个向量的向量组线性相关的充分必要条件是这两个向量的对应分量成比例；反之，仅含两个向量的向量组线性无关的充分必要条件是这两个向量的对应分量不成比例. ⑤ 两个向量线性相关的几何意义是这两个向量共线, 三个向量线性相关的几何意义是这三个向量共面. 二、线性相关性的判定 定理1 向量组)2(,,,21≥s s ααα 线性相关的充必要条件是向量组中至少有一个向量可由其余1-s 个向量线性表示. 定理 2 设有列向量组),,,2,1(,21s j a a a nj j j j =???? ?? ? ??=α 则向量组s ααα,,,21 线性相关的充要条件是: 是矩阵),,,(21s A ααα =的秩小于向量的个数s .
第六讲 向量组的线性相关和秩 一、何为线性组合和相关性： 1、线性组合：设有向量组A:1α,2α,…,m α，对于任何一组实数:1κ,2κ,…,m κ,表达式11κα+22κα+…+m m κα,称向量组A 的一个线性组合；同时，对于向量β，如果存在一组数1κ,2κ,…,m κ，使得β=11κα+22κα+…+m m κα，则称向量β能由向量组A 线性表示。 2、相关性：对于11κα+22κα+…+m m κα=0（i κ不全为零，i =1,2，…,m ）,则称向量组A 线性相关；否则称向量组A 线性无关。 例1：判断向量组1α=310?? ? ? ???,2α=160?? ? ? ???,3α=475?? ? ? ???的线性相关性。 解：令11κα+22κα+33κα=0，即123314167005κκκ???? ??? ??? ??????? =0 由于A =314 167005 =85≠0 所以由克拉默法则知，该方程组只有零解， 即1κ= 2κ= 3κ=0，所以1α,2α,3α线性无关。 3、 定理1 向量组A:1α,2α,…,m α(m ≥2)线性±相关的充分必要条件是向量组
A 中至少有一个向量可由其余m-1个向量线性表示。 4、 定理2 向量组1α,2α,…,m α线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵A=(1α,2α,…,m α)的秩小于向量个数m ；向量组线性无关的充分必要条件是R(A)=m 。 例2： 设 1α=111?? ? ? ???，2α=201-?? ? ? ???，3α=012?? ? ? ??? ，4α=122-?? ? ? ???， 试讨论向量组1α,2α,3α,4α及1α,2α,3α的线性相关性。 解: 设 (1α,2α,3α,4α)=120112011012021311220013----???? ? ? → ? ? ? ?-???? 可见R(1α,2α,3α,4α)=3小于向量个数4，故向量1α,2α,3α,4α线性无关；同时可得R(1α,2α,3α)=3，等于向量个数，故向量组1α,2α,3α线性无关。 注意：上述例1亦可由这一定理求解，即例1矩阵的秩为3，等于向量的个数，，所以1α,2α,3α线性无关。 5、向量组之间的等价关系和线性表示： 引例：已知向量组 1α=242?? ? ? ???, 2α=121-?? ?- ? ?-??, 3α=354?? ? ? ???，4α=140?? ? ? ??? ，问可否由1α,2α,3α线性表示 4α？ 解：设有1κ,2κ,3κ使11κα+22κα+33κα=4α, 可得方程组123213425214κκκ-???? ???- ??? ???-????=140?? ? ? ??? 容易得出此方程无解，因此4α不能由1α,2α,3α线性表示。 注意：线性方程组11κα+22κα+…+m m κα=β有解的充分必要条件是向量β可以由向量组1α,2α,…,m α线性表示。
向量组线性相关性判定 安阳师范学院本科学生毕业论文向量组线性相关性的判定方法作者院数学与统计学院专业数学与应用数学年级2011级学号指导教师郭亚梅论文成绩日期2015年月日学生诚信承诺书本人郑重承诺：所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得安阳师范学院或其他教育机构的学位或证书所使用过的材料.所有合作者对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意. 作者签名：日期：导师签名：
日期：院长签名：日期：论文使用授权说明本人完全了解安阳师范学院有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文. 作者签名：导师签名：日期：向量组线性相关性的判定方法摘要：向量组线性相关性在高等代数中是一块基石，在它的基础上我们推导和衍生出其他许多理论。所以熟练地掌握向量组线性相关性的判定方法，可以让我们更好的理解其他理论知识.将向量组内向量之间的线性关系、齐次线性方程组的解、矩阵的秩、行列式的值及已知结论等知识运用于向量组线性相关性的判定，进而归纳出判定向量组线性相关性的若干方法. 关键词：向量组线性相关线性无关判定方法 1 引言线性相关性的内容是线性代数课程中的
重点和难点，线性相关性的有关结论，对我们来说是很难理解的.总结出了判定向量组线性相关和线性无关的几种方法. n维向量的定义定义：n个有次序的数a1,a2,?,an所组成的数组(a1,a2,?an)或(a1,a2,?an)T分别称为n维行向量或列向量.这n个数称为向量的n 个分量? 第i个数ai称为第i个分量?显然，行向量即为行距阵，列向量即为列矩阵.向量通常用黑体小写希腊字母?,?等表示.分量全为实数的向量称为实向量，分量全为复数的向量称为复向量. 向量的线性运算行向量与列向量都按矩阵的运算规则进行运算? 特别地，向量的加法，向量的数乘，称为向量的线性运算.向量的线性运算满足8条运算律. 全体的n维向量的集合关于线性运算是封闭的，我们将该集合称为n维向量空间. 例如，全体3维向量的集合；闭区域上的连续函数的集合；一元n次多项式的集合；实数域上可导函数的集合等，皆为向量空间. 3.向量组线性相关性
向量组的等价及向量组的秩 一 基本概念 1 设T 是由若干个n 维向量构成的集合，向量12,,,r T ααα∈L ，若有 （1）12,,,r αααL 线性无关； （2）T 中任一向量都可由12,,,r αααL 线性表示。 那么，则称12,,,r αααL 是T 的一个极大无关组。称r 为T 的秩数，若T 无极大无关组，即T 不含非零向量时，称T 的秩数为0。T 的秩数记为()R T 。 2设有n 维向量组Ⅰ：12,,,s αααL 与n 维向量组Ⅱ：12,,,t βββL 。如果Ⅰ中任一向量都可由Ⅱ中向量线性表示，反之Ⅱ中任一向量都可由Ⅰ中向量线性表示，那么则称向量组Ⅰ与Ⅱ等价。 3 矩阵A 的行向量组的秩数称为A 的行秩数；A 的列向量组的秩数称为A 的列秩数。A 的行秩数记为行秩A ；A 的列秩数记为列秩A 。 二 主要结论 1 简化行阶梯形矩阵的性质 （1）主列构成的向量组线性无关； （2）每一非主列均可由前面的主列线性表示；从而若有非主列，则其列向量组必线性相关。 （3）主列构成的向量组即为列向量组的一个极大无关组；从而列秩数等于主列的个数。 2 对矩阵A 进行行的初等变换不改变A 的列向量组的线性关系。 3 个数大于维数的向量组必线性相关；特别有，n +1个n 维向量必线性相关。 4 设向量组12,,,s αααL 中任一向量都可由向量12,,,t βββL 线性表示。那么，如果s t >，则向量组12,,,s αααL 必线性相关。 等价陈述即其逆否命题为：设向量组12,,,s αααL 中任一向量都可由向量12,,,t βββL 线性表示。那么，如果向量组12,,,s αααL 线性无关，则必有s t ≤。 推论1：向量组T 的极大无关组中所含向量个数被T 所唯一确定。即T 的任意两个极大无关组中所含向量个数相等。 推论2：设向量组（Ⅰ）中任一向量都可由（Ⅱ）中向量线性表示，则R (Ⅰ)≤ R (Ⅱ)。 推论3：等价的向量组的秩数相等。 5 对任意矩阵A 均有，行秩A =列秩A =R （A ）。
老师能不能麻烦您写一下，秩和线性相关，无关的关系，还有方程个数（维数）未知数个数之间的关系与方程线性相关无关的关系。我这一点学的很乱，也找不到哪些参考书目有总结的，自己好多也不知道。最好能解释清楚一下。 标准全书，P302最上面6和7有什么区别吗？都是相乘一个等于N ，一个≤N 。还有就是当页的例题一，不能设PX=0解吧？否则就应该用上面的等式6了。我觉的只能用不等式7去解。 通过定义，即转化为齐次线性方程组是否有非零解，利用判断非零解的充要条件可以得到，自己要试着学会推导。 12,,,m ααα 是n 维列向量，12i i i ni a a a α??????=?????? 12,,,m ααα 是线性相关的 ?存在不全为0的数1,,m k k ，使得11220m m k k k ααα+++= ? 齐次线性方程组11220m m x x x ααα+++= 有非零解。 ?11121121 22 221 2 0m m n n nm m a a a x a a a x a a a x ???? ????? ???=???????????? 即0n m A X ?=有非零解()12,,,m A ααα= ?()r A m <（系数矩阵的秩小于未知数的个数，即向量的个数） ?()12,,,m r m ααα< 同理自己可以推导线性无关的情况。 学习线性代数必须学会自己总结，将相关知识点进行联系 0AX = 标准全书 0m n A X ?= 6是根据齐次线性方程组的解来确定，系数矩阵的秩()r A ，则基础解系中有 ()n r A -个向量，即齐次线性方程组有()n r A -个线性无关的解向量。 7 0AB =将其按列分块得到()12,,,s B βββ= ，则 ()()()1212,,,,,,0,0,,0s s AB A A A A ββββββ=== 即0i A β= B 的每个列向量是0m n A X ?=的解，但不一定是全部解，则()()r B n r A ≤-整理可
求向量组的秩与最大无关组 一、对于具体给出的向量组，求秩与最大无关组 1、求向量组的秩（即矩阵的秩）的方法：为阶梯形矩阵 【定理】矩阵的行秩等于其列秩，且等于矩阵的秩.(三秩相等) ①把向量组的向量作为矩阵的列（或行）向量组成矩阵A； ②对矩阵A进行初等行变换化为阶梯形矩阵B； ③阶梯形B中非零行的个数即为所求向量组的秩． 【例1】求下列向量组a１=(1, 2, 3, 4)，a2 =( 2, 3, 4, 5)，a3 =(3, 4, 5, 6)的秩. 解1：以a１,a２,a３为列向量作成矩阵A，用初等行变换将A化为阶梯形矩阵后可求. 因为阶梯形矩阵的列秩为2，所以向量组的秩为2． 解2：以a１,a２,a３为行向量作成矩阵A，用初等行变换将A化为 阶梯形矩阵后可求. 因为阶梯形矩阵的行秩为2，所以向量组的秩为2． 2、求向量组的最大线性无关组的方法 方法1 逐个选录法 给定一个非零向量组A：α1, α2,…, αn ①设α1≠ 0，则α1线性相关，保留α1 ②加入α2，若α2与α1线性相关，去掉α2；若α2与α1线性无关，保留α1，α2；
③依次进行下去，最后求出的向量组就是所求的最大无关组 【例2】求向量组：()()()1231,2,12,3,14,1,1,,,T T T ααα=-=-=-的最大无关组 解：因为a 1非零，故保留a 1 取a 2，因为a 1与a 2线性无关，故保留a 1，a 2 取a 3，易得a 3=2a 1+a 2，故a 1，a 2 ，a 3线性相关。 所以最大无关组为a 1，a 2 方法2 初等变换法 【定理】 矩阵A 经初等行变换化为B ，则B 的列向量组与A 对应的列向量组有相同的线性相关性. 证明从略,下面通过例子验证结论成立. 向量组：α1=(1,2,3)T , α2=(-1,2,0)T , α3=(1,6,6)T 由上可得，求向量组的最大线性无关组的方法： （1）列向量行变换 ①把向量组的向量作为矩阵的列向量组成矩阵A ； ②对矩阵A 进行初等行变换化为阶梯形矩阵B ； ③A 中的与B 的每阶梯首列对应的向量组，即为最大无关组． 【例3】求向量组 ：α1=(2,1,3,-1)T , α2=(3,-1,2,0)T , α3=(1,3,4,-2)T , α4=(4,-3,1,1)T 的秩和一个最大无关组, 并把不属于最大无关组的向量用最大无关组线性表示。 解 以α1,α2,α3,α4为列构造矩阵A , 并实施初等行变换化为行阶梯形矩阵求其秩：
２－２ 向量组的线性相关性 一、线性组合、线性表出及其与线性方程组的关系 例2.5［Ｐ８７ 不管］ 定义2.4［Ｐ８７ －６行至Ｐ８８ １行］ ｎ维向量α１，α２，…，αｍ的一个线性组合，线性组合的系数； 向量β可由向量组α１，α２，…，αｍ线性表出（线性表示），线性表出的系数。 例（补）设β＝（ｂ１，ｂ２，ｂ３），αｉ＝（ａｉ１，ａｉ２，ａｉ３），ｉ＝１，２，３，那么 β可由α１，α２，α３线性表出 ?向量方程ｘ１α１＋ｘ２α２＋ｘ３α３＝β有解 α１ α２ α３ ??????=++=++=++33332231 1323322221121331221111b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 有解。此时， 线性方程组有唯一解?β可由α１，α２，α３线性表出，且表示法唯一； 线性方程组有无穷多解?β可由α１，α２，α３线性表出，且表示法不唯一。 例[结论]：向量组β1，β2，…，βｍ中每一个向量βi 均可由该向量组线性表出。 证明：βI ＝０β１＋…＋０βｉ－１＋１βｉ＋０βｉ＋１＋…＋０βｍ， ｉ＝１，２，…，ｍ。 作业：Ｐ１１２：１９（１）用定理做，（２）除用定理做外，还可用观察法做。 二、线性相关、线性无关及其与齐次线性方程组解的关系： 对每一个向量组α１，α２，…，αｍ，总有 ０α１＋０α２＋…＋０αｍ＝０。 所有向量组的共性。 定义２．５：设α１，α２，…，αｍ是一组ｎ维向量，如果存在一组不全为零的常数ｋ１， ｋ２，，ｋｍ，使得 ｋ１α１＋ｋ２α２＋…＋ｋｍαｍ＝０ （２．６） 则称向量组α１，α２，…，αｍ是线性相关的；否则，称为线性无关的。即如果有 ｋ１α１＋ｋ２α２＋…＋ｋｍαｍ＝０ 成立，则必有ｋ１＝ｋ２＝…＝ｋｍ＝０，则称α１，α２，…，αｍ是线性无关的。 例［Ｐ８８：１１行－２３行］ 对于向量组 ξ１＝（１，１，０），ξ２＝（１，２，０），ξ３＝（１，３，１） 令 ｘ１ξ１＋ｘ２ξ２＋ｘ３ξ３＝０， 即 ?? ???==++=++003203321321x x x x x x x ，解得：ｘ１＝ｘ２＝ｘ３＝０， 所以ξ １，ξ２，ξ３线性无关。
第六讲 向量组的线性相关和秩 正文: 一、何为线性组合和相关性： 1、线性组合：设有向量组A:1 α,2α,…,m α，对于任何一组实数:1κ,2κ,…,m κ, 表达式11κα+22κα+…+m m κα,称向量组A 的一个线性组合；同时，对于向量β，如果存在一组数1κ,2κ,…,m κ，使得β=11κα+22κα+…+m m κα，则称向量β能由向量组A 线性表示。 2、相关性：对于11κα+22κα+…+m m κα=0（i κ不全为零，i =1,2，…,m ）,则称向量组A 线性相关；否则称向量组A 线性无关。 例1：判断向量组1α=310?? ? ? ???,α=160?? ? ? ???,3α=475?? ? ? ???的线性相关性。 解：令11κα+22κα+33κα=0，即123 3 141 6700 5κκκ???? ? ? ? ? ? ?? ??? =0 由于A =314 1 670 5 =85≠0 所以由克拉默法则知，该方程组只有零解，
即1κ= 2κ= 3κ=0，所以1 α,2α,3α线性无关。 3、 定理1 向量组A:1 α,2α,…,m α(m ≥2)线性±相关的充分必要条件是向量组 A 中至少有一个向量可由其余m-1个向量线性表示。 4、 定理2 向量组1 α,2α,…,m α线性相关的充分必要条件是它所构成的矩阵 A=(1 α,2α,…,m α)的秩小于向量个数m ；向量组线性无关的充分必要条件是 R(A)=m 。 例2： 设 1α=111?? ? ? ???，2α=201-?? ? ? ???，3α=012?? ? ? ???，4α=122-?? ? ? ??? ， 试讨论向量组1 α,2α,3α,4α及1 α,2α,3α的线性相关性。 解: 设 (1α,2α,3α,4α)=1 20112011 012021311 2 200 1 3----???? ? ?→ ? ? ? ?-? ?? ? 可见R(1 α,2α,3α,4α)=3小于向量个数4，故向量1 α,2α,3α,4α线性无关；同 时可得R(1 α,2α,3α)=3，等于向量个数，故向量组1 α,2α,3α线性无关。 注意：上述例1亦可由这一定理求解，即例1矩阵的秩为3，等于向量的个数，，所以1 α,2α,3α线性无关。 5、向量组之间的等价关系和线性表示： 引例：已知向量组 1α=242?? ? ? ???, 2α=121-?? ?- ? ?-??, 3α=354?? ? ? ???，4α=140?? ? ? ??? ，问可否由1α,2α,3α线性表示4α？ 解：设有1κ,2κ,3κ使11κα+22κα+33κα=4α, 可得方程组123 2134 2521 4κκκ-???? ? ?- ? ? ? ?-? ???=140?? ? ? ??? 容易得出此方程无解，因此4α不能由1 α,2α,3α线性表示。
２－２ 向量组的线性相关性习题评讲 １９、把向量β表示成α１，α２，α３，α４的线性组合： （１）α１＝（1，1，1，1），α２＝（1，1，-1，-1），α３＝（1，-1，1，-1）， α４＝（1，-1，-1，1） ，β＝（1，2，1，1）。 解：令βαααα=+++44332211x x x x ，解对应的线性方程组， A ＝????????? ???------11111111112111111111→????????????------00220020201220011111→????? ???????--12 2000011001010 11111 →????????????---12 200 011000101010101→?? ???? ??????--14 000 01100010101100 1 →?????? ??????? ?--411 00011000101011 001→ ? ? ??????? ?????????? ?--411000410100410 010450 001，得ｘ１＝45，ｘ２＝41，ｘ３＝－41，ｘ４＝－41， 所以β＝ 45α１＋41α２－41α３－4 1 α４ 。 （２）α１＝（1，1，0，1），α２＝（2，1，3，1），α３＝（1，1，0，0）， α４＝（0，1，-1，-1），β＝（0，0，0，10）。 解１：观察出β＝α１－α３。 解：令βαααα=+++44332211x x x x ，解对应的线性方程组，
A ＝????????? ???--11011010300111100121→????????? ???-----11110010300101000 121→????? ???????---12 100 020********* 101 →????????? ???-01 00 101000001000101→?? ??? ???????-010 00 10100000101000 1 ， 得ｘ１＝１，ｘ２＝０，ｘ３＝－１，ｘ４＝０，所以β＝α１－α３。 ５、证明向量组β１＝α１＋α２，β２＝α２＋α３，β３＝α３＋α４，β４＝α４＋α１线性相关，其中α１，α２，α３，α４是任意ｎ维向量。 证明１：因为（α１＋α２）－（α２＋α３）＋（α３＋α４）－（α４＋α１）＝０， 即１β１＋（－１）β２＋１β３＋（－１）β４＝０， 所以β１，β２，β３，β４线性相关。 证明２：令ｘ１β１＋ｘ２β２＋ｘ３β３＋ｘ４β４＝０，即 ｘ１（α１＋α２）＋ｘ２（α２＋α３）＋ｘ３（α３＋α４）＋ｘ４（α４＋α１）＝０， 即（ｘ１＋ｘ４）α１＋（ｘ１＋ｘ２）α２＋（ｘ２＋ｘ３）α３＋（ｘ３＋ｘ４）α４＝０， 用观察法找一个充分条件：当ｘ１＝ｘ３＝１，ｘ２＝ｘ４＝－１时，上式成立。 即有不全为零的数１，－１，１，－１，使 １β１＋（－１）β２＋１β３＋（－１）β４＝０， 所以β１，β２，β３，β４线性相关。 ７、证明向量组α１＝（０，３，１，－１），α２＝（６，０，５，１）， α３＝（４，－７，１，３）线性相关，并求它们满足的线性关系。 证明：令ｘ１α１＋ｘ２α２＋ｘ３α３＝０，解对应的齐次线性方程组，由 Ａ＝????????? ???--311 151703 460→????????????---460151703311→? ????? ??????--460460230311→?????? ????????--0000003210311
向量组的等价及向量组的秩 一 基本概念 1 设T 是由若干个n 维向量构成的集合，向量12,,,r T ααα∈ ，若有 （1）12,,,r ααα 线性无关； （2）T 中任一向量都可由12,,,r ααα 线性表示。 那么，则称12,,,r ααα 是T 的一个极大无关组。称r 为T 的秩数，若T 无极大无关组，即T 不含非零向量时，称T 的秩数为0。T 的秩数记为()R T 。 2设有n 维向量组Ⅰ：12,,,s ααα 与n 维向量组Ⅱ：12,,,t βββ 。如果Ⅰ中任一向量都可由Ⅱ中向量线性表示，反之Ⅱ中任一向量都可由Ⅰ中向量线性表示，那么则称向量组Ⅰ与Ⅱ等价。 3 矩阵A 的行向量组的秩数称为A 的行秩数；A 的列向量组的秩数称为A 的列秩数。A 的行秩数记为行秩A ；A 的列秩数记为列秩A 。 二 主要结论 1 简化行阶梯形矩阵的性质 （1）主列构成的向量组线性无关； （2）每一非主列均可由前面的主列线性表示；从而若有非主列，则其列向量组必线性相关。 （3）主列构成的向量组即为列向量组的一个极大无关组；从而列秩数等于主列的个数。 2 对矩阵A 进行行的初等变换不改变A 的列向量组的线性关系。 3 个数大于维数的向量组必线性相关；特别有，n +1个n 维向量必线性相关。 4 设向量组12,,,s ααα 中任一向量都可由向量12,,,t βββ 线性表示。那么，如果s t >，则向量组12,,,s ααα 必线性相关。 等价陈述即其逆否命题为：设向量组12,,,s ααα 中任一向量都可由向量12,,,t βββ 线性表示。那么，如果向量组12,,,s ααα 线性无关，则必有s t ≤。 推论1：向量组T 的极大无关组中所含向量个数被T 所唯一确定。即T 的任意两个极大无关组中所含向量个数相等。 推论2：设向量组（Ⅰ）中任一向量都可由（Ⅱ）中向量线性表示，则R (Ⅰ)≤ R (Ⅱ)。 推论3：等价的向量组的秩数相等。 5 对任意矩阵A 均有，行秩A =列秩A =R （A ）。
目录 摘要：.......................................................................................................................................................... I 关键词：.......................................................................................................................................................... I Abstract......................................................................................................................................................... II Keywords： .................................................................................................................................................. II 1．前言.. (1) 2．预备知识 (1) 2.1线性相关性的概念及性质 (1) 2.1.1线性相关的概念 (1) 2.1.2线性相关的性质 (2) 3.向量组线性相关的判定方法 (3) 3.1定义法 (3) 3.2根据齐次线性方程组的解进行判定 (4) 3.3利用矩阵的秩进行判定 (5) 3.4利用行列式值进行判定 (6) 3.5反证法 (7) 3.6 数学归纳法 (7) 3.7用线性变换的性质进行判定 (8) 3.8利用朗斯基行列式来判定 (10) 4.结束语 (11) 参考文献 (12) 致谢 (13)
§性质定理总结： 一、线性相关的判别： 1、m αααΛ,,21线性相关?存在不全为零的数m k k k ,,,21Λ，使得 1122m m k k k .ααα++=L 0 2、1α线性相关? 1α=0. 3、12,αα线性相关? 1α与2α的对应分量成比例. 4、m αααΛ,,21线性相关?其中至少有一个向量能用其余向量线性表示. 5、n 个n 维向量线性相关?它们构成的行列式等于零. 6、m αααΛ,,21线性相关 ?m αααΛ,,21的秩小于m . 7、对调坐标不改变向量组的线性相关性. 8、部分相关?整体相关. 9、m 个n 维 (m >n ) 向量线性相关. 二、线性无关的判别： 1、m αααΛ,,21线性无关?如果1122,m m k k k ααα++=L 0则有 .021====m k k k Λ 2、整体无关?部分无关. 3、无关则加长无关 三、线性相关的性质： m αααΛ,,21线性无关，12m ,,,αααβL 线性相关?β可由m αααΛ,,21线性表 示，且表示法唯一. 四、线性无关的性质： 1、若向量组Ⅰ能由向量组Ⅱ线性表示，且向量组Ⅰ线性无关，则Ⅰ的元素个数≤Ⅱ的元素个数. 2、等价线性无关向量组的向量个数相同.
五、向量组的秩的性质： 1、矩阵A的秩等于A的行（列）向量组的秩. A的不等于零的子式对应于A的行（列）向量组的线性无关组； A的行（列）向量组的线性无关组对应于A的不等于零的子式. 2、若向量组Ⅰ能由向量组Ⅱ线性表示，则Ⅰ的秩≤Ⅱ的秩. 3、等价向量组的秩相同. 六、矩阵的初等行（列）变换不改变列（行）向量组的线性关系.
向量组的秩和最大线性无关组 引例：对于方程组 12312312 321221332x x x x x x x -+=-??+-=??-+=-? 容易发现其有效方程的个数为2个，因为第3个方程可由第1个方程减去第2个方程得到（或者第3个方程是第1个方程和第2个方程的线性组合）； 由于本章的内容是用向量的关系来研究方程组解的情况，进而从方程组3个方程对应的3个向量来说“有用”（或者也可以说成等价有效）的最少的向量是2个。 因此，对于一个给定的向量组，其中“有用”（或者也可以说成等价有效）的最少的向量应该有多少个呢？在此我们提出最大线性无关组的概念： 最大线性无关组：在s ααα,,,21Λ中，存在ip i i ααα,,,21Λ满足： （1）ip i i ααα,,,21Λ线性无关； （2）在ip i i ααα,,,21Λ中再添加一个向量就线性相关。 则称ip i i ααα,,,21Λ是s ααα,,,21Λ的一个最大线性无关组， 注： Ⅰ、不难看出条件（2）等价的说法还有s ααα,,,21Λ中任一向量均可由ip i i ααα,,,21Λ线性表示；或者亦可以说成s ααα,,,21Λ中任意1p +个向量均线性相关； Ⅱ、从最大线性无关组的定义可以看出最大线性无关组与原先的向量组可以相互线性表示，进而最大线性无关组与原先的向量组是等价的（即
有效的最少的方程构成的方程组与原先的方程组是等价的）； Ⅲ、从上面的方程组可以看出同解的有效方程组可以是第1、2两个方程构成，也可以是第2、3两个方程构成（因为第1个方程可以看成第2、3两个方程的和），因此从其对应的向量组来说，向量组的最大线性无关组是不唯一的； Ⅳ、可以发现，虽然同解的有效方程组的形式可以不一样，但是同解的有效方程组中所含的方程的个数是唯一的，即从其对应的向量组来说，最大线性无关组虽然不唯一，但是最大线性无关组中所含向量的个数唯一的。这是从数的角度反映了向量组的性质，在此给出向量组的秩的概念： 向量组的秩：称最大线性无关组中所含向量的个数为向量组的秩，如上面定义中ip i i ααα,,,21Λ是s ααα,,,21Λ的一个最大线性无关组，则称 s ααα,,,21Λ的秩为p ，记为12(,,,)s R p ααα=L 。 例：求向量组123(3,6,4,2,1),(2,4,3,1,0),(1,2,1,2,3),T T T ααα=-=--=-- 4(1,2,1,3,1)T α=-的秩及一个最大线性无关组，并将其余的向量用最大线性无关组表示。 分析：容易发现用定义的形式很难求秩和最大线性无关组，为此我们从方程组和矩阵之间的关系以及方程组和向量组之间的关系可以得到，向量组的秩及其最大线性无关组应该与其对应的矩阵的秩以及矩阵的最高阶非零子式之间有某种关系，为此我们给出： 定理：矩阵的秩等于其行向量组的秩，也等于其列向量组的秩. 略证：设A 的秩为r ，则在A 中存在r 阶子式0r D ≠，从而r D 所在的r 列线性无关，又A 中的所有的1r +阶子式10r D +=，因此A 中的任意1r +个列向量
向量组的线性相关与线性无关 1.线性组合 设12,,,n t a a a R ???∈，12,,,t k k k R ???∈，称1122t t k a k a k a ++???+为12,,,t a a a ???的一个线性组合。 【备注1】按分块矩阵的运算规则，12112212(,,,)t t t t k k k a k a k a a a a k ?? ? ?++???+=??? ? ???。这 样的表示是有好处的。 2.线性表示 设12,,,n t a a a R ???∈，n b R ∈，如果存在12,,,t k k k R ???∈，使得 1122t t b k a k a k a =++???+ 则称b 可由12,,,t a a a ???线性表示。 1122t t b k a k a k a =++???+，写成矩阵形式，即1212(,,,)t t k k b a a a k ?? ? ?=??? ? ???。因此，b 可 由12,,,t a a a ???线性表示即线性方程组1212(,,,)t t k k a a a b k ?? ? ????= ? ???有解，而该方程组有解 当且仅当1212(,,,)(,,,,)t t r a a a r a a a b ???=???。 3.向量组等价 设1212,,,,,,,n t s a a a b b b R ??????∈，如果12,,,t a a a ???中每一个向量都可以由 12,,,s b b b ???线性表示，则称向量组12,,,t a a a ???可以由向量组12,,,s b b b ???线性表示。 如果向量组12,,,t a a a ???和向量组12,,,s b b b ???可以相互线性表示，则称这两个向量组是等价的。 向量组等价的性质：
高等代数第二次大作业 1120133839 周碧莹30011303班 矩阵的秩的性质 1.阶梯型矩阵J的行秩和列秩相等，它们都等于J的非零行的数目；并且J的主元所在的列构成列向量的一个极大线性无关组。 2.矩阵的初等行变换不改变矩阵的行秩。 证明：设矩阵A的行向量组是a 1，…,a s. 设A经过1型初等行变换变成矩阵B， 则B的行向量组是a 1，…,a i ,ka i +a j ,…,a s .显然a 1 ，…,a i ,ka i +a j ,…,a s 可以 由a 1，…,a s 线性表处。由于a j =1*(ka i +a j )-ka i ,因此a 1 ，…,a s 可以由 a 1，…,a i ,ka i +a j ,…,a s 线性表处。于是它们等价。而等价的向量组由相同的 秩，因此A的行秩等于B的行秩。 同理可证2和3型初等行变换使所得矩阵的行向量组与原矩阵的行向量组等价，从而不改变矩阵的行秩。 3.矩阵的初等行变换不改变矩阵的列向量组的线性相关性。 证明：一是为什么初等行变换不改变列向量的线性相关性?二是列向量进行初等行变换后，为什么可以根据行最简形矩阵写出不属于极大无关组的向量用极大无关组表示的表示式? 第一个问题： 设α1，α2，…，αn是n个m维列向量，则它们的线性相关性等价于线性方程组AX=0(其中A=(α1，α2，…，αn)，X=(x1，x2，…，xn)T)是否有非零解，即α1，α2，…，αn线性相关等价于AX=0有非零解，α1，α2，…，αn 线性无关等价于AX=0只有零解。而对A进行三种行初等变换分别相当于对线性方程组中的方程进行：两个方程交换位置，对一个方程乘一个非零常数，将一个方程的常数倍对应加到另一个方程上。显然进行三种变换后所得方程组与原方程组同解，若设所得方程组为BX=0，则B即为对A进行行初等变换后所得矩阵。B 的列向量的线性相关性与BX=0是否有解等价，也就是与AX=0是否有解等价，即与A的列向量的线性相关性等价! 第二个问题以一个具体例子来说明。 例：设矩阵，求A的列向量组的一个极大无关组，并把不属于极大无关组的列向量用极大无关组线性表示。