完全非弹性碰撞动能损失最大的证明方法
方法一：用柯尼希定理很容易证明
(柯尼希定理:一个质点系的总动能，等于它的质心动能与各质点相对于质心的动能之和。E=E1+E2)
在碰撞前，系统的总动能E 等于质心动能与各质点相对于质心的动能之和。而在碰撞过程中以及碰撞以后，两物体的质点的速度是不变的，不管碰撞是弹性的还是非弹性的都是如此。因为碰撞中两物体之间的作用力，是系统内部的力，即内力，是不能改变系统总动量的，当然也不能改变系统质心的速度,所以不能改变质心的动能。所以，不管是什么类型的碰撞，都不能改变质心动能E1。
在碰撞以后，如果两物体粘在一起，动能E2为0,即完全非弹性碰撞. 所以碰撞为完全非弹性碰撞时,E=E1.系统损失机械能最多.
方法二：数学计算法
首先，两个都有速度太难算了,不如引入相对速度v(v=v1-v2).则原题简化为A 以v 的速度向静止的B 运动
根据动量守恒定律：b a v m v m v m 211+= 根据能量守恒定律，则有E mv mv mv b a ++=2222
12121 (E 为能量损失) 消去vb,化简得:02)(2)(1
22121221=+---+m Em v m m vv m v m m a a 关于a v 的二次方程有解,则0≥?即:)
(2212
21m m v m m E +≤ 当取等号时,E 最大.2
11m m v m v a += 代入动量守恒式得:vb=va 所以此时为完全非弹性碰撞.
算得好辛苦啊!!!
E<或=m1m2v^2/(2m1+2m2)
当取等号时,E 最大.
下面开始讲如何算出:va=m1v/(m1+m2)
把E=m1m2v^2/(2m1+2m2)代入 (m1+m2)va^2-2m1vva-(m2-m1)v^2+2Em2/m1=0 化简得:(m1+m2)va^2-2m1vva+(m1v)^2/(m1+m2)=0
这步应该不难得到,带进去时发现有两项通分后可以使方程大大简化.
接着对该方程两边同乘以(m1+m2)得:
[(m1+m2)va]^2-2(m1+m2)m1vva+(m1v)^2=0
观察发现它竟然是一个完全平方式!!
[(m1+m2)va-m1v]^2=0
即:va=m1v/(m1+m2)
如何巧记弹性碰撞后的速度公式 一、“一动碰一静”的弹性碰撞公式 问题：如图1所示，在光滑水平面上，质量为m1的小球，以速度v1与原来静止的质量为m2的小球发生对心弹性碰撞，试求碰撞后它们各自的速度？ 图1 设碰撞后它们的速度分别为v1＇和v2＇，在弹性碰撞过程中，分别根据动量守恒定律、机械能（动能）守恒定律得： m1v1=m1v1＇+m2v2＇① ② 由①③ 由②④ 由④/③⑤ 联立①⑤解得 ⑥ ⑦ 上面⑥⑦式的右边只有分子不同，但记忆起来容易混。为此可做如下分析：当两球碰撞至球心相距最近时，两球达到瞬时的共同速度v共，由动量守恒定律得： m1v1= （m1+m2） v共 解出v共=m1v1 /（m1+m2）。而两球从球心相距最近到分开过程中，球m2继续受到向前 的弹力作用，因此速度会更大，根据对称可猜想其速度恰好增大一倍即，而这恰好是⑦式，因此⑦式就可上述推理轻松记住，⑥式也就不难写出了。如果⑥式的分子容易写成m2－m1，则可根据质量m1的乒乓球以速度v1去碰原来静止的铅球m2，碰撞后乒乓球被反弹回，因此v1＇应当是负的（v1＇<0），故分子写成m1－m2才行。在“验证动量守恒定律”的实验中，要求入射球的质量m1大于被碰球的质量m2，也可由⑥式 解释。因为只有m1>m2，才有v1＇>0。否则，若v1＇<0，即入射球m1返回，由于摩擦，入射球m1再回来时速度已经变小了，不再是原来的v1＇了。
另外，若将上面的⑤式变形可得：，即碰撞前两球相互靠近的相对速度v1－0等于碰撞后两球相互分开的相对速度。由此可轻松记住⑤式。再结合①式也可很 容易解得⑥⑦式。 二、“一动碰一动”的弹性碰撞公式 问题：如图2所示，在光滑水平面上，质量为m1、m2的两球发生对心弹性碰撞，碰撞前速度分别为v1和v2，求两球碰撞后各自的速度？ 图2 设碰撞后速度变为v1＇和v2＇，在弹性碰撞过程中，分别根据动量守恒定律、机械能守恒定律得： m1v1+m2v2=m1v1＇+m2v2＇① ② 由①③ 由②④ 由④/③⑤ 由③⑤式可以解出 ⑥ ⑦ 要记住上面⑥⑦式更是不容易的，而且推导也很费时间。如果采用下面等效的方法则可轻松记住。m1、m2两球以速度v1和v2发生的对心弹性碰撞，可等效成m1以速度v1去碰静 止的m2球，再同时加上m2球以速度碰静止的m1球。因此由前面“一动碰一静”的弹性碰撞公式，可得两球碰撞后各自的速度+； +，即可得到上面的⑥⑦式。 另外，若将上面的⑤式变形可得：，即碰撞前两球相互靠近的相对速度 v1- v2等于碰撞后两球相互分开的相对速度。由此可轻松记住⑤式，再结合①式可解得⑥⑦式。
弹性碰撞和完全非弹性碰撞专题训练 1.在宇宙间某一个惯性参考系中，有两个可视为质点的天体A B 、，质量分别为m 和M ，开始时两者相距为0l ，A 静止，B 具有沿AB 连线延伸方向的初速度0v ，为保持B 能继续保持匀速直线运动，对B 施加一个沿0v 方向的变力F .试求： （1）A B 、间距离最大时F 是多少应满足什么条件 （2）从开始运动至A B 、相距最远时力F 所做的功. 2．如图3-4-14所示，有n 个相同的货箱停放在倾角为θ的斜面上，每个货箱长皆为L ，质量为m 相邻两货箱间距离也为L ，最下端的货箱到斜面底端的距离也为L ，已知货箱与斜面间的滑动摩擦力与最大静摩擦力相等，现给第一个货箱一初速度0v ，使之沿斜面下滑，在每次发生碰撞的货箱都粘在一起运动，当动摩擦因数为μ时，最后第n 个货箱恰好停在斜面 底端，求整个过程中由于碰撞损失的机械能为多少 3.如图3-4-15所示，质量0.5m kg =的金属盒AB ,放在光滑的水平桌面上，它与桌面间的动摩擦因数0.125μ=，在盒内右端B 放置质量也为0.5m kg =的 长方体物块，物块与盒左侧内壁距离为0.5L m =，物块与盒之间无摩擦.若在A 端给盒以水平向右的冲量1.5N s ?，设盒在运动过程中与物块碰撞时间极短，碰撞时没有机械能损失.(210/g m s =)求： （1）盒第一次与物块碰撞后各自的速度； （2）物块与盒的左端内壁碰撞的次数； （3）盒运动的时间； 4.宇宙飞船以4010/v m s =的速度进入均匀的宇宙微粒尘区，飞船每前进310s m =，要与410n =个微粒相撞，假如每个微粒的质量为7210m kg -=?，与飞船相撞后吸附在飞船上，为使飞船的速率保持不变，飞船的输出功率应为多大 5．光滑水平面上放着质量1A m kg =的物块A 与质量2B m kg =的物块B ，A 与B 均可视为质点，A 靠在竖直墙壁上，A B 、间夹一个被压缩的轻弹簧(弹簧与A 、B 均不拴接)，用手挡住B 不动，此时弹簧弹性势能49p E J =,在A 、B 间系一轻 质细绳，细绳长度大于弹簧的自然长度，如图3-4-16所示。放手后B 向右运动，绳在短暂时间内被拉断，之后B 冲上与水平面相切的竖直半圆光滑轨道，其半径0.5R m =，B 恰能到达最高点C 。取210/g m s =，求： (1)绳拉断后瞬间B 的速度B v 的大小； (2)绳拉断过程绳对B 的冲量I 的大小； (3)绳拉断过程绳对A 所做的功W ； 6.如图3-4-17所示，一倾角为0 45θ=的斜面固定于地面，斜面顶端离地面的高度01h m =，斜面底端有一 垂直于斜而的固定挡板。在斜面顶端自由释放一质量0.09m kg =的小物块（视为质点）。小物块与斜面之间的动摩擦因数0.2μ=,当小物块与挡板碰撞后，将以原速返回。重力加 速度2 10/g m s =。在小物块与挡 板的前4次碰撞过程中，挡板给予小物块的总冲量是多少 7.如图3-4-18所示中有一个竖直固定在地面的透气圆筒，筒中有一劲度为k 的轻弹簧，其下端固定，上端连接一质量为m 的薄滑块，圆筒内壁涂有一层新型智能材料——ER 流体，它对滑块的阻力可调.起初，滑块静止,ER 流体对其阻力为0，弹簧的长度为L ，现有一质量也为m 的物体从距地面2L 处自由落下，与滑块碰 撞后粘在一起向下运动.为保证滑块 做匀减速运动，且下移距离为2mg k 时速度减为0，ER 流体对滑块的阻力须随滑块下移而变.试求（忽略空气阻力）: (1)下落物体与滑块碰撞过程中系统损失的机械能； (2)滑块向下运动过程中加速度的大小； (3)滑块下移距离d 时ER 流体对滑块阻力的大小. 8.某同学利用如图3-4-19所示的装置验证动量守恒定律。图中两摆摆长相同，悬挂于同一高度，A 、B 两摆球均很小，质量之比为1:2。当两摆均处于自由静止状态时，其侧面刚好接触。向右上方拉动B 球使其摆线伸直并与竖直方向成045角，然后将其由静止释放。结果观察到两摆球粘在一起摆动，且最大摆角成030，若本实验允许的最大误差为4%±，此实验是否成功地验证了动量守恒定律 9.如图3-4-20（a ）所示，在光滑绝缘水平面的AB 区域内存在水平向右的电场，电场强度E 随时间的变化如图3-4-20（b ）所示.不带电的绝缘小球2P 静止在O 点.0t =时，带正电的小球1P 以速度0t 从 A 点进入A B 区域，随后与2P 发生正碰后反弹，反弹速度大小是碰前的2 3 倍，1P 的质量为1m ，带电量为q ，2P 的 质量215m m =,A 、O 间距为0L ，O 、B 间距043 L L =. 已知 2 000100 2,3qE v L T m L t ==. 图 图 3-4-16 图 3-4-18 图 3-4-17 图 3-4-15 图 3-4-14
高中物理公式推导一 完全弹性碰撞碰后速度的推导 1、简单说明： 1m 、2m 为发生碰撞的两个物体的质量，1v 、2v 为碰撞前1m 、2m 的速度，'1v 、' 2v 为碰撞后 1m 、2m 的速度。 2、推导过程： 第一，由动量守恒定理，得 ' 2'1 122112v m v m v m v m +=+ （1） 第二，由机械能守恒定律，得 2'22'112222112 2 1212121v m v m v m v m +=+（2） 令 12/m m k =，（1）、（2）两式同时除以1m ，得 ' ' 1 212kv v kv v +=+ （3） 2 '2 '1 2 2212 kv v kv v +=+ （4） （3）、（4）两式变形，得
( ) 2 ' '1 1--2v v k v v = （5） ()()()( ) 2 ' 2' '1 1 '1 1 22 -v v v v k v v v v -+=+ （6） 将（5）式代入（6）式，得 2' ' 1 12v v v v +=+ （7） 联立（5）、（7）两式，将' 1v 、 ' 2v 移到方程的左侧，则有 21' '1 2kv v kv v +=+ （8） 21' '1 --2v v v v += （9） 由（8）-（9），得 ()()21' 1-212 v k v v k +=+ 21' 11-122v k k v k v +++= 21212112' 1/1 -/1/22v m m m m v m m v +++= 2121 21121' -22v m m m m v m m m v +++= （10） 或者 ()2 12 1211' -22m m v m m v m v ++= （10）
完全非弹性碰撞动能损失最大的证明方法 方法一：用柯尼希定理很容易证明 (柯尼希定理:一个质点系的总动能，等于它的质心动能与各质点相对于质心的动能之和。E=E1+E2) 在碰撞前，系统的总动能E 等于质心动能与各质点相对于质心的动能之和。而在碰撞过程中以及碰撞以后，两物体的质点的速度是不变的，不管碰撞是弹性的还是非弹性的都是如此。因为碰撞中两物体之间的作用力，是系统内部的力，即内力，是不能改变系统总动量的，当然也不能改变系统质心的速度,所以不能改变质心的动能。所以，不管是什么类型的碰撞，都不能改变质心动能E1。 在碰撞以后，如果两物体粘在一起，动能E2为0,即完全非弹性碰撞. 所以碰撞为完全非弹性碰撞时,E=E1.系统损失机械能最多. 方法二：数学计算法 首先，两个都有速度太难算了,不如引入相对速度v(v=v1-v2).则原题简化为A 以v 的速度向静止的B 运动 根据动量守恒定律：b a v m v m v m 211+= 根据能量守恒定律，则有E mv mv mv b a ++=2222 12121 (E 为能量损失) 消去vb,化简得:02)(2)(1 22121221=+---+m Em v m m vv m v m m a a 关于a v 的二次方程有解,则0≥?即:) (2212 21m m v m m E +≤ 当取等号时,E 最大.2 11m m v m v a += 代入动量守恒式得:vb=va 所以此时为完全非弹性碰撞. 算得好辛苦啊!!! E<或=m1m2v^2/(2m1+2m2) 当取等号时,E 最大. 下面开始讲如何算出:va=m1v/(m1+m2) 把E=m1m2v^2/(2m1+2m2)代入 (m1+m2)va^2-2m1vva-(m2-m1)v^2+2Em2/m1=0 化简得:(m1+m2)va^2-2m1vva+(m1v)^2/(m1+m2)=0 这步应该不难得到,带进去时发现有两项通分后可以使方程大大简化. 接着对该方程两边同乘以(m1+m2)得: [(m1+m2)va]^2-2(m1+m2)m1vva+(m1v)^2=0 观察发现它竟然是一个完全平方式!! [(m1+m2)va-m1v]^2=0
[完全]弹性碰撞后的 速度公式
如何巧记弹性碰撞后的速度公式 一、“一动碰一静”的弹性碰撞公式 问题：如图1所示，在光滑水平面上，质量为m1的小球，以速度v1与原来静止的质量为m2的小球发生对心弹性碰撞，试求碰撞后它们各自的速度？ 图1 设碰撞后它们的速度分别为v1＇和v2＇，在弹性碰撞过程中，分别根据动量守恒定律、机械能（动能）守恒定律得： m 1v 1 =m1v1＇+m2v2＇① ② 由①③ 由②④ 由④/③⑤ 联立①⑤解得 ⑥ ⑦ 上面⑥⑦式的右边只有分子不同，但记忆起来容易混。为此可做如下分析：当两球碰撞至球心相距最近时，两球达到瞬时的共同速度v共，由动量守恒定律得： m 1v 1 = （m1+m2）v共 解出v共=m1v1/（m1+m2）。而两球从球心相距最近到分开过程中，球m2继续受到向前的弹力作用，因此速度会更大，根据对称可猜想其速度恰好增大 一倍即，而这恰好是⑦式，因此⑦式就可上述推理轻松记住， ⑥式也就不难写出了。如果⑥式的分子容易写成m2－m1，则可根据质量m1的乒乓球以速度v1去碰原来静止的铅球m2，碰撞后乒乓球被反弹回，因此v1＇应当是负的（v1＇<0），故分子写成m1－m2才行。在“验证动量守恒定律”的实验中，要求入射球的质量m1大于被碰球的质量m2，也可由⑥式解释。因为只有m1>m2，才有v1＇>0。否则，若v1＇<0，即入射球m1返回，由于摩擦，入射球m1再回来时速度已经变小了，不再是原来的v1＇了。
另外，若将上面的⑤式变形可得：，即碰撞前两球相互靠近的相 对速度v1－0等于碰撞后两球相互分开的相对速度。由此可轻松记住⑤ 式。再结合①式也可很容易解得⑥⑦式。 二、“一动碰一动”的弹性碰撞公式 问题：如图2所示，在光滑水平面上，质量为m1、m2的两球发生对心弹性碰撞，碰撞前速度分别为v1和v2，求两球碰撞后各自的速度？ 图2 设碰撞后速度变为v1＇和v2＇，在弹性碰撞过程中，分别根据动量守恒定律、机械能守恒定律得： m 1v 1 +m2v2=m1v1＇+m2v2＇① ② 由 ①③ 由②④ 由④/③⑤ 由③⑤式可以解出 ⑥ ⑦ 要记住上面⑥⑦式更是不容易的，而且推导也很费时间。如果采用下面等效的方法则可轻松记住。m1、m2两球以速度v1和v2发生的对心弹性碰撞，可等 效成m1以速度v1去碰静止的m2球，再同时加上m2球以速度碰静止的m1球。 因此由前面“一动碰一静”的弹性碰撞公式，可得两球碰撞后各自的速度 +；+，即可得到上面的⑥⑦式。
一个完全非弹性碰撞的实用推论 一、 在动量守恒模块的学习中，高中阶段主要分为完全弹性碰撞和完全非弹性碰撞这两种基本题型，解题用到的规律是动量守恒和能量守恒，完全弹性碰撞中，对于运动物体碰静止物体的模型，我们可以把v 1=2121m m m m +-v 0 v 2=2 112m m m +v 0， 作为推论，由此避免动量守恒和能量守恒方程组的联立，从而减小了运算量，那么在完全非弹性碰撞中，我们是否也能导出一个结论性的推论从而避免联立方程组，简化计算呢？ 二、结论推导 在处理可以等效成“完全非弹性碰撞”模型的问题时，我们发现：动能的损失是连接已知量和待求量的桥梁。如果通过动量守恒和能量守恒这两大基本规律推导出动能损失的一般表达式，作为处理完全非弹性碰撞模型的一个实用推论，那么此推论便可以对我们的解题有所帮助。 推导过程如下： 在光滑水平面上，滑块A 、B 发生完全非弹性碰撞，滑块A 质量为m 1，速度为v 1,滑块Ｂ质量为m 2,速度为v 2， v 1 v 2方向相同且在一条直线上，v1＞v2 。 动量守恒：m 1 v 1 +m 2 v 2= (m 1+ m 2）v ① 能量守恒：21m 1 v 12 +21m 2 v 22=2 1 (m 1+ m 2）v 2+ΔE ② 将①式代入②式ΔE= 21m 1 v 12 +21m 2 v 22-)(2)(21221m m m m v ++ 上式合并同类项得（读者可自行推导） ΔE=)2()(2212221212 1v v v v m m m m -++ 动能损失ΔE=221212 1)()(2v v m m m m -+ 上式中，“v 1-v 2”表示碰前两滑块的相对速度， 212 1m m m m +是两质量的调合平均值，我们把它 叫做折合质量。 三、结论应用 从此结论中可以看出，当两物体发生完全非弹性碰撞时，动能的损失可以写成ΔE=21 212 1m m m m +u 2， 其中u 2 是两滑块相对速度绝对值的平方。这个损失的动能可以转化为焦耳热，也可以转化为弹性势能，重力势能。当题目可以等效成“完全非弹性碰撞”模型（当题目中出现“弹簧达到最大压缩量时” “求物块上升的最大高度” “物块恰好不从木板上掉下”，“两物体恰好共速”“两物块粘连在一起运动”时一般等效成完全非弹性碰撞模型）时，一般可利用此结论求解或者简化运算。 例一、结论的简单应用 物块A 以初速度v 滑到小车B 上运动，A 质量为m 1,B 质量为m 2，
如何巧记弹性碰撞后得速度公式 一、“一动碰一静”得弹性碰撞公式 问题:如图１所示,在光滑水平面上,质量为ｍ１得小球,以速度v1与原来静止得质量为m ２得小球发生对心弹性碰撞,试求碰撞后它们各自得速度？ 图１ 设碰撞后它们得速度分别为ｖ1'与v2＇,在弹性碰撞过程中,分别根据动量守恒定律、机械能(动能)守恒定律得: m1ｖ1=ｍ1v1'+ｍ2v2＇① ② 由①③ 由②④ 由④/③⑤ 联立①⑤解得 ⑥ ⑦ 上面⑥⑦式得右边只有分子不同,但记忆起来容易混。为此可做如下分析:当两球碰撞至球心相距最近时,两球达到瞬时得共同速度ｖ共,由动量守恒定律得: m1v1= (ｍ1+m2) v共 解出ｖ共=m1v1 /(m1＋m2)。而两球从球心相距最近到分开过程中,球ｍ２继续受到向前得弹力作用，因此速度会更大,根据对称可猜想其速度恰好增大一倍即,而这恰好就是⑦式,因此⑦式就可上述推理轻松记住,⑥式也就不难写出了。如果⑥式得分子容易写成ｍ2-ｍ１,则可根据质量m１得乒乓球以速度ｖ1去碰原来静止得铅球m2，碰撞后乒乓球被反弹回，因此ｖ１'应当就是负得(ｖ1＇<０）,故分子写成m1－ｍ2才行。在“验证动量守恒定律”得实验中，要求入射球得质量ｍ１大于被碰球得质量m2,也可由⑥式解释。因为只有m1＞ｍ２，才有v１'＞０。否则,若v1＇＜0,即入射球m1返回，由于摩擦,入射球ｍ1再回来时速度已经变小了，不再就是原来得v1＇了。 另外，若将上面得⑤式变形可得:,即碰撞前两球相互靠近得相对速度v1-0等于碰撞后两球相互分开得相对速度。由此可轻松记住⑤式。再结合①式也可很容易解得⑥⑦式。 二、“一动碰一动”得弹性碰撞公式 问题:如图2所示,在光滑水平面上，质量为ｍ1、m2得两球发生对心弹性碰撞,碰撞前速度分别为v1与v２,求两球碰撞后各自得速度？ 图2 设碰撞后速度变为v1'与v2',在弹性碰撞过程中,分别根据动量守恒定律、机械能守恒定律得: m１v1+m２v2＝m1v1'+m2ｖ2'① ② 由①③ 由②④ 由④/③⑤ 由③⑤式可以解出 ⑥ ⑦
完全非弹性碰撞动能损失最大的证明 （利用初等函数证明） 在碰撞中，系统动量守恒。但动能损失不一样。 完全弹性碰撞，碰撞前后，系统总动能不损失。 非弹性碰撞，损失一部分动能。 两个物体碰撞后，不分开，以同一速度运动，叫做完全非弹性碰撞。此时动能损失最大。下面是证明过程。 条件：质量m 1，速度v 1，与质量m 2，速度v 2物体发生碰撞，碰后，m 1速度变为v 1/，m 2速度变为v 2/。 由动量守恒：m 1 v 1+m 2 v 2=m 1 v 1/+m 2 v 2/……（1） 损失动能：)2 121()212 1(2/222/11222211v m v m v m v m E +-+=?……（2） 令p = m 1 v 1+m 2 v 2 ，22221112121v m v m E +=，2/222/1122121v m v m E +=，p 和E 1确定，只需证明E 2最小的条件，即可得到最大的动能损失的条件。 利用（1）式可得：2/11/2 m v m p v -=……（3） 将（3）带入E 2，得：2 2 /112/1211222)(m p v pm v m m m E +-+=，可见分子部分为关于v 1/的函数。令2/112 /1211/12)()(p v pm v m m m v f +-+=，只需求出)(/1v f 的最小值即可。二次函数开口向上，顶点坐标值对应)(/1v f 最小。 即当2 1/12m m p a b v +=-=时，)(/1v f 最小，则此时E 2最小，△E 最大。 将v 1/带入（1）式得：2 1/1/2m m p v v +==。 即：碰撞后两物体不分开以相同速度运动，损失的动能最大。 如果学习了微积分，可以利用求导更容易得到证明。此处略。
完全非弹性碰撞模型及其 应用 Prepared on 22 November 2020
作者E-mail:Tel ： “完全非弹性碰撞”模型及其应用 湖北省沙市中学刘军434000 在高中物理学习中，面对浩如烟海的习题，学生只有做好题后总结，把握某一类型问题的共同特征和遵循的共同规律，才能做到事半功倍，以一挡十．在习题教学中，教师则不仅要引导学生善于从具体问题的分析中抽象出其所适用的一般模型和遵循的基本规律，而且要引导学生善于结合具体问题的特殊条件，灵活地运用模型和规律．下面以“完全非弹性碰撞模型”为例，在分析不同情景问题时，联想模型，通过类比和等效的方法，从而抓住问题的物理本质，使问题迅速得到解决． 一、“完全非弹性碰撞”模型 如图１，质量为1m 、2m 的两大小相同的球分别以速度1v 、2v 在光滑的水平面上沿一直线运动，其中12>v v ，两球碰撞后粘合在一起以速度v 一起运动． 系统碰撞前后动量守恒有： v m m v m v m )+(=+212211． 碰撞后系统动能损失：221222211)(2 1-2121v m m v m v m E k ++=?． 上面就是典型的“完全非弹性碰撞”模型，在一些力学综合问题中，有很多两物体间的相互作用过程就与上面两球的碰撞过程类似，具有以下共同特点：①相互作用后两物体具有共同速度；②作用前后系统动量守恒（或在某一方向守恒）；③作用后系统有动能损失，损失的动能转化为其它形式的能． 图１ m
二、“类完全非弹性碰撞”实例分析 1．物块未滑落木板 例1 如图２所示，质量为M 的平板小车放在光滑水平面上，平板右端上放有质量为m 的木块，它们之间的动摩擦因数为μ， 现使平板小车和木块分别向右和向左运动，初速度大 小均为0v ，设平板足够长，且M >m ，求木块相对平 板右端滑行的距离。 解析：木块在小车上的运动分两阶段：首先，木块和小车都做匀减速运动，木块速度先减为零，木块速度减为零时，小车仍有向右速度；之后，木块开始向右做匀加速运动，小车继续向右做匀减速运动，木块相对小车仍在远离其右端，直至木块与小车速度相等后，二者一起向右匀速运动． 设木块与小车的最终速度为v ，以向右为正，由动量守恒定律有： v m M mv Mv )(00+=-① 设物块相对小车右端滑行距离为△S ，因木块相对小车无往复运动，则由功能关系有： 22020)(2 12121v m M Mv mv s mg +-+=?μ② 联立①、②解得：20)(2v g M m M s +=?μ． 简评：此题中两物体间通过摩檫力发生相互作用，最终两物体具有共同速度，系统损失的动能转化为系统内能． 2．子弹未打穿木块 例2 质量为M 的木块被固定在光滑水平面上，一颗质量为m 的子弹以初速0v 水平飞来穿透木块后的速度变为2 0v ，现使木块不固定，可以在光滑水平面图２
由于弹性碰撞后的速度公式不好推导，该公式又比较繁杂不好记。因此导致这类考题的得分率一直较低。下面探讨一下该公式的巧记方法。 一、“一动碰一静”的弹性碰撞公式 问题：如图1所示，在光滑水平面上，质量为m1的小球，以速度v1与原来静止的质量为m2的小球发生对心弹性碰撞，试求碰撞后它们各自的速度？ 图1 设碰撞后它们的速度分别为v1＇和v2＇，在弹性碰撞过程中，分别根据动量守恒定律、机械能（动能）守恒定律得： m1v1=m1v1＇+m2v2＇① ② 由①③ 由②④ 由④/③⑤ 联立①⑤解得 ⑥ ⑦ 上面⑥⑦式的右边只有分子不同，但记忆起来容易混。为此可做如下分析：当两球碰撞至球心相距最近时，两球达到瞬时的共同速度v共，由动量守恒定律得： m1v1= （m1+m2）v共 解出v共=m1v1 /（m1+m2）。而两球从球心相距最近到分开过程中，球m2继续受到向前 的弹力作用，因此速度会更大，根据对称可猜想其速度恰好增大一倍即，而这恰好是⑦式，因此⑦式就可上述推理轻松记住，⑥式也就不难写出了。如果⑥式的分子容易写成m2－m1，则可根据质量m1的乒乓球以速度v1去碰原来静止的铅球m2，碰撞后乒乓球被反弹回，因此v1＇应当是负的（v1＇<0），故分子写成m1－m2才行。在“验证动量守恒定律”的实验中，要求入射球的质量m1大于被碰球的质量m2，也可由⑥式
解释。因为只有m1>m2，才有v1＇>0。否则，若v1＇<0，即入射球m1返回，由于摩擦，入射球m1再回来时速度已经变小了，不再是原来的v1＇了。 另外，若将上面的⑤式变形可得：，即碰撞前两球相互靠近的相对速度v1－0等于碰撞后两球相互分开的相对速度。由此可轻松记住⑤式。再结合①式也可很容易解得⑥⑦式。 二、“一动碰一动”的弹性碰撞公式 问题：如图2所示，在光滑水平面上，质量为m1、m2的两球发生对心弹性碰撞，碰撞前速度分别为v1和v2，求两球碰撞后各自的速度？ 图2 设碰撞后速度变为v1＇和v2＇，在弹性碰撞过程中，分别根据动量守恒定律、机械能守恒定律得： m1v1+m2v2=m1v1＇+m2v2＇① ② 由①③ 由②④ 由④/③⑤ 由③⑤式可以解出 ⑥ ⑦ 要记住上面⑥⑦式更是不容易的，而且推导也很费时间。如果采用下面等效的方法则可轻松记住。m1、m2两球以速度v1和v2发生的对心弹性碰撞，可等效成m1以速度v1去碰静止的m2球，再同时加上m2球以速度碰静止的m1球。因此由前面“一动碰一静”的弹性
高中物理公式推导完全弹性碰撞后速度公式的 推导 文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]
高中物理公式推导一 完全弹性碰撞碰后速度的推导 1、简单说明： 1m 、2m 为发生碰撞的两个物体的质量，1v 、2v 为碰撞前 1m 、2m 的速度，'1v 、'2v 为碰撞后1m 、2m 的速度。 2、推导过程： 第一，由动量守恒定理，得 ' 2'1122112v m v m v m v m +=+ （1） 第二，由机械能守恒定律，得 2'22'1122221122 1212121v m v m v m v m +=+（2） 令12/m m k =，（1）、（2）两式同时除以1m ，得 '' 1212kv v kv v +=+ （3） 2'2'122212 kv v kv v +=+ （4） （3）、（4）两式变形，得 ()2 ''11--2v v k v v = （5）
()()()()2'2''1 1'1122-v v v v k v v v v -+=+ （6） 将（5）式代入（6）式，得 2''112v v v v +=+ （7） 联立（5）、（7）两式，将' 1v 、' 2v 移到方程的左侧，则有 21''12kv v kv v +=+ （8） 21' '1--2v v v v += （9） 由（8）-（9），得 212121121' -22v m m m m v m m m v +++= （10） 或者 ()2121211' -22m m v m m v m v ++= （10） 由（8）+k*（9），得 221212121' 21v m m m v m m m m v +++-= （11） 或者 ()2122121'21m m v m v m m v ++-= （11） 3、意外收获：
课题：人教版高中物理选修3-5 《类完全非弹性碰撞》教学设计 一、考点分析： 近几年的高考，碰撞问题是高考试题的重点和热点，同时它也是学生学习的难点。选修3-5模块之所以频频考察此类问题，是因为它所反映出来的物理过程、状态变化及能量关系，能够全方位地考查同学们的理解能力、逻辑思维能力及分析推理能力。 碰撞问题，由于碰撞时相互作用力“时间短、变化快、量值大”，外力远小于内力，所以碰撞过程动量守恒。碰撞问题中，完全非弹性碰撞是一种特殊的碰撞情况：形变完全不能够恢复，机械能损失达到最大，遵从动量守恒定律，还具有碰撞双方碰后的速度相等的运动学特征，而且是弹性碰撞所必经历之过程，可以说其个性极为突出。虽然近三年高考中主要考察弹性碰撞，但是鉴于完全非弹性碰撞的特殊性，二轮复习可以针对性的加强这方面内容的研究。 二、教学目标 知识与技能： （1）了解完全非弹性碰撞在碰撞过程中的个性特点。 （2）了解类完全非弹性碰撞的常见物理模型。 （3）能用动量、能量观点综合分析类完全非弹性碰撞问题。 过程与方法： 通过“慢镜头”体验一维碰撞过程中形变量与能量的演变过程，关注完全非弹性碰撞速度相等的运动学特征，感受碰撞系统机械能损失最大的能量特点。并将结论推广到一般模型的类完全非弹性碰撞问题。 情感态度价值观： 通过对类完全非弹性碰撞问题的研究，体会研究物理问题的一般方法。 三、教学重点： （1）完全非弹性碰撞问题的的运动学特征和能量特点。 （2）类完全非弹性碰撞模型的能量转化分析。 四、教学用具： ppt课件、多媒体辅助教学设备 五、教学过程： 1、导入新课 同学们通过前面的学习，对碰撞问题已经有了深刻的理解。碰撞现象是物理学中极为常见的物理现象，大到宇宙中的天体，小到微观粒子，以及我们的日常生活，可以说碰撞现象无处不在。碰撞问题也是形形色色、繁杂多样，其中有一类问题个性鲜明，特点突出，我们这节课就来探讨这一类型的问题：完全非弹性碰撞问题及类完全非弹性碰撞问题。 2、进行新课 一、碰撞过程回顾 从系统碰撞过程中是否有动能损失可以将碰撞问题分成两大类：弹性碰撞和非弹性碰撞；我们先来回顾一下碰撞的全过程： 最简单的弹性碰撞模型（一静一动）： 以光滑水平地面上质量为m1、速度为v的小球A与质量为m2的静止小球B发生正面弹性
§3－7 完全弹性碰撞 完全非弹性碰撞 一、碰撞（Collision ） 1．基本概念： 碰撞，一般是指两个或两个以上物体在运动中相互靠近，或发生接触时，在相对较短的时间内发生强烈相互作用的过程。 碰撞会使两个物体或其中的一个物体的运动状态发生明显的变化。 碰撞过程一般都非常复杂，难于对过程进行仔细 分析。但由于我们通常只需要了解物体在碰撞前后运动状态的变化，而对发生碰撞的物体系来说，外力的作用又往往可以忽略，因而可以利用动量、角动量以及能量守恒定律对有关问题求解。 2．特点： 1）碰撞时间极短 2）碰撞力很大，外力可以忽略不计，系统动量守恒 3）速度要发生有限的改变，位移在碰撞前后可以忽略不计 3．碰撞过程的分析： 讨论两个球的碰撞过程。碰撞过程可分为两个过程。开始碰撞时，两球相互挤压，发生形变，由形变产生的弹性恢复力使两球的速度发生变化，直到两球的速度变得相等为止。这时形变得到最大。这是碰撞的第一阶段，称为压缩阶段。此后，由于形变仍然存在，弹性恢复力继续作用，使两球速度改变而有相互脱离接触的趋势，两球压缩逐渐减小，直到两球脱离接触时为止。这是碰撞的第二阶段，称为恢复阶段。整个碰撞过程到此结束。 4．分类：根据碰撞过程能量是否守恒 1）完全弹性碰撞：碰撞前后系统动能守恒（能完全恢复原状）； 2）非弹性碰撞：碰撞前后系统动能不守恒（部分恢复原状）； 3）完全非弹性碰撞：碰撞后系统以相同的速度运动（完全不能恢复原状）。 二、完全弹性碰撞（Perfect Elastic Collision ） 在碰撞后，两物体的动能之和（即总动能）完全没有损失，这种碰撞叫做完全弹性碰撞。 解题要点：动量、动能守恒。 问题：两球m 1，m 2对心碰撞，碰撞前 速度分别为2010,v v ，碰撞后速度变为21,v v 动量守恒 2021012211v m v m v m v m （1） 动能守恒 2 20221012222112 1212121v m v m v m v m （2） 由（1） 22021011v v m v v m （3） 由（2） 2 2 2202210211v v m v v m （4） 由(4)/(3) 202101v v v v
相对论（完全非弹性）碰撞 相对论碰撞：兹有两粒子A 、B 在同一直线上运动。粒子A 静止质量为01m ，粒子B 静止质量为02m 。粒子A 速度为1v ，粒子B 以速度2v 与A 发生正碰撞12v v >。设碰撞后两粒子粘合在一起组成一复合粒子。求：复合粒子的质量、动量和动能以及运动速度和静止质量。 解： （1）假设复合粒子的质量为M ，则由“质量守恒”或“能量守恒”有 质量守恒 等价地表达为 能量守恒 （2）假设复合粒子的动量为P ，则由“动量守恒”有 （3）假设复合粒子的速度为V ，则由V M P ?= 有 ? -+ -= ?-+ ?-= ?=2 2022 1012 2 20212 101)(1)(1)( 1)(1;c v m c v m M v c v m v c v m P V M P
（4）假设复合粒子的静止质量为0M ，则有动能 202c M c M E k ?-?= 由于 2 0)(1c V M M -= ，所以得到2 0)(1c V M M -?= 于是得到 2 2022 101 2 2 20212 101 2 2022 1012 22)( 1)(1)(1)(1;)(1)(1)(1c v m c v m v c v m v c v m V c v m c v m M c c V M c M E k -+ -?-+ ?-= -+ -= ?-?-?= 从而得到 复合粒子的动能： （5）假设复合粒子的静止质量为0M ，则有静止质量 20)(1c V M M -?=
由于2 2022 101 2 2 20212 101 2 2022 101)( 1)(1)( 1)(1;)( 1)(1c v m c v m v c v v c v V c v m c v m M -+ -?-+ ?-= -+ -= 从而得到复合粒子的静止质量： ? ?-+ ?-?- -+ -==2 22 20212 1012 22 2022 10102012100 0201210])( 1)(1[1])( 1)(1[ ),;,(),;,(v c v m v c v m c c v m c v m m m v v M M m m v v M 关于复合粒子的静止质量的 讨论： 例0：0020121 ;6.0,0m m m c v v ==?== 00000222 3 ),;6.0,0(m m m m c M ?>??= ? 例1：02010201 ),;,(m m m m v v M += 当且仅当 21v v v == 例2：0 201 ,v v v v =-= 02012 2 2002012 022 010201000)2(112),;,(m m v c v c m m m m m m v v M +>+?? -???++=-
完全非弹性碰撞是什么，动量守恒吗 在学习高中物理的时候往往会遇到很多关于物理问题，上课觉着什幺都懂了，可等到做题目时又无从下手。以至于对于一些意志薄弱、学习方法不对的同学就很难再坚持下来。过早的对物理没了兴趣，伤害了到高中的学习信心。收集整理下面的这几个问题，是一些同学们的学习疑问，小编做一个统一的回复，有同样问题的同学，可以仔细看一下。【问：完全非弹性碰撞的内容？】答：完全非弹性碰撞是所有碰撞中能量损失最大的，碰撞后两个物体速度相同。完全非弹性碰撞过程也满足动量守恒定律。【问：受力分析怎幺建立坐标系？】答：坐标系的建立是有原则的，。从经验说，我们规定物体运动（或运动趋势）的方向为x轴，与运动（或运动趋势方向）垂直的方向为y轴方向，这样后面的分析就会简单些。【问：非纯电阻电路如何计算电热？】答：非纯电阻电路的电热计算公式只有一个，是q=i2*r*t；部分电路欧姆定律是不成立的，所以q也只有这一个计算式（不能用u=ir做变形）。非纯电阻电路的电热只是消耗能量的一部分，对于电动机，主要输出的能量是机械能。【问：受力分析中三角形法则使用前提（或环境）有吗？】答：力的封闭三角形法则不能随意使用，它是有前提的。必须满足：1，物体处于受力平衡状态；2，物体仅受三个力的作用。【问：彻底掌握某个物理考点的办法？】答：高中物理比较抽象，吃透一个考点首先要理解其概念，此外还要辅助做一些题。同一个知识点可以命几种不同类型的题，每个类型的题都要找出来，放在一起，练个两三次，加上参考答案的分析和自己的归纳，特别是错题错因的归纳，你定能把这个考点吃透。学校的老师也会给咱们对应的知识点的习题，这是一个好机会，要抓住，这都是老师精挑细选的题型，课下要认真对待。当然，吃透一个考点还要在课下多去温习，防止遗忘。以上
完全弹性碰撞的速度公式推导过程 完全弹性碰撞的速度公式推导过程完全弹性碰撞的速度公式是怎么推导的无从得知，书上没讲，很多资料也没有讲，我想多半是为了不要影响思维的连贯性，所以将之省略了。我开始以为不复杂，就是上标下标看着烦人，所以就打算试着推导一下。谁知这个推导并没有想象中那么简单。第一次因为上下标搞混了，推导了半天没结果就放一边了。第二次仔细地推导，花了更多的时间，结果还是一塌糊涂。我终于明白书上为什么没有把这个推导过程放在书里了，的确是太复杂，学习的时候多半会干扰对碰撞本身的关注。但是这么放弃也有点不甘心，就又花了些时间，第三次准备将其推导出来。闲人可以看看，我也是放假闲着没事推导的，实在是很复杂很恐怖的推导。我自己都不想再看，因为象那样用常规的方式根本就推导不出来! 动量守恒定律: MpVp'+MqVq'=MpVp+MqVq(1-1) 动能守恒: (1/2)MpVp'2+(1/2)MqVq'2=(1/2)MpVp2+(1/2)MqVq2(1-2) 前两次推导吃了亏，所以第三次推导前仔细看了看书上结果公式的特点。有这样几个地方需要注意: 1、撞击后有两个速度，我们需要求的结果分别是这两个速度; 2、任一撞后的速度公式中，不能有另一个待求的速度，也就是Vp'的速度公式中，不能出现Vq'，反之亦然; 3、这两组等式看上去比较对称，要设法利用这个关系; 4、由于上下标众多，推演起来很费眼，要准备使用复合式进行合并，以简化推演过程，最后再将其还原出来，形成最终的分离式，并整理。(具体见后面的备注，确实需要备注来记住这个过程，免得再走弯路) …. 至此，跟书上给出的公式差距越来越大，推导已经变得无比复杂了。再继续推导下去，除了浪费时间，就是浪费精力，只有停下来了。第三次推导仍以失败结束。之前也在网上搜索了很多的信息，大多数都说联立求解，就象我刚才做的那样，现在网上的信息泛滥与良莠不齐的确误导了不少像我这样的人。一时不知如何是好，休息了一阵，觉得还是只有在网上找找资料，要是翻书的话更是无从下手。在搜索条件的设置上，我略过了包含百度、搜狗、中学、高中之类的信息，因为这类回答通常都很简单，且充斥着随意和缺乏管理的编排。这样一来，信息比较集中和丰富了，然后把快照一页一页的翻看着。大概过了十多分钟，有一篇PPT 格式的文章出现了，于是我把它取了下来。打开一看，心里有点高兴，这是台湾老师做的课件。台湾人写的东西比较人性化，很多细节也会一五一十的说出来，而且是用很口语化的方式说出来，就像在跟人聊天一样。比如台湾有个程序员李维，他写的书就很平淡，甚至可以说是大白话，但是就目的而言，是完全没有问题的，而且省去了几倍另外查找资料、自己再写程序尝试的时间。另一个擅长C++剖析的侯捷，写的技术书或资料就像散文一般华丽，在众多台湾的写家里面也是独树一帜的。完全不像我们平时看的一些资料平淡无奇，藏着掖着，掐头去尾的，该省的不省，不该省的全省了。尽管这是个PPT 的课件，没有具体讲述推导的过程，但它还是给了一个推导的线索。最后才明白要用一个很怪异的方式，把碰撞速度公式极为简单地推导出来。为了省去翻页的麻烦，我再把两个守恒公式写在下面: 动量守恒定律: MpVp'+MqVq'=MpVp+MqVq(1-1) 动能守恒: 对两个方程做同样的整理，把M 一样的放在一边，如下: Mp(Vp-Vp')=Mq(Vq'-Vq)(1-3) Mp(Vp2-Vp'2)=Mq(Vq'2-Vq2)(1-4) 这两个整理后的方程看上去很工整，形式差别不大，只是动能方程中的四个速度多了个平方，其它都一样。正是这个成了巧妙推导的基础。因为两个方程左右两边相等，所以分别在两边相除的话，等式还是成立的。在(1-4)两边分别除以(1-3)的两边，就能分别约去Mp 和Mq，形成一个新的方程，见下: 对这个新的方程，该怎样处理呢?PPT 课件没有给个说法，而是直接给出了Vp+Vp'=Vq'+Vq(1-6) 的结论，并用这个结论推导速度公式，尽管结论跟书上是一致的，但刚开始我还是没有搞明白这是怎么一回事。想了一阵才顿悟: 因为: a2-b2=(a+b)(a-b) 因此，(1-5)式可以写成: 两边约去相减的那个因式，这时Vp+Vp'=Vq'+Vq，也就是(1-6)式就成立了。将(1-6)式进行整理，分别建立Vp'和Vq'的等式，如下: Vp'=Vq'+Vq-Vp(1-7) Vq'=Vp+Vp'-Vq(1-8) 现在将(1-7)式代入(1-1)中，有Mp(Vq'+Vq-Vp)+MqVq'=MpVp+MqVq
作者E-mail:mTel ： “完全非弹性碰撞”模型及其应用 湖北省沙市中学刘军434000 在高中物理学习中，面对浩如烟海的习题，学生只有做好题后总结，把握某一类型问题的共同特征和遵循的共同规律，才能做到事半功倍，以一挡十．在习题教学中，教师则不仅要引导学生善于从具体问题的分析中抽象出其所适用的一般模型和遵循的基本规律，而且要引导学生善于结合具体问题的特殊条件，灵活地运用模型和规律．下面以“完全非弹性碰撞模型”为例，在分析不同情景问题时，联想模型，通过类比和等效的方法，从而抓住问题的物理本质，使问题迅速得到解决． 一、“完全非弹性碰撞”模型 如图１，质量为1m 、2m 的两大小相同的球分别以速度1v 、2v 在光滑的水平面上沿一直线运动，其中12>v v ，两球碰撞后粘合在 一起以速度v 一起运动． 系统碰撞前后动量守恒有： v m m v m v m )+(=+212211． 碰撞后系统动能损失：221222211)(2 1-2 12 1 v m m v m v m E k ++=?． 上面就是典型的“完全非弹性碰撞”模型，在一些力学综合问题中，有很多两物体间的相互作用过程就与上面两球的碰撞过程类似，具有以下共同特点：①相互作用后两物体具有共同速度；②作用前后系统动量守恒（或在某一方向守恒）；③作用后系统 图１ m
有动能损失，损失的动能转化为其它形式的能． 二、“类完全非弹性碰撞”实例分析 1．物块未滑落木板 例1 如图２所示，质量为M 的平板小车放在光滑水平面上，平板右端上放有质量为m 的木块，它们之间的动摩擦因数为μ，现使平板小车和木块分别向右和向左运动，初速度大小均为0v ，设 平板足够长，且M >m ，求木块相对平板右端滑行的距离。 解析：木块在小车上的运动分两阶段：首先，木块和小车都做匀减速运动，木块速度先减为零，木块速度减为零时，小车仍有向右速度；之后，木块开始向右做匀加速运动，小车继续向右做匀减速运动，木块相对小车仍在远离其右端，直至木块与小车速度相等后，二者一起向右匀速运动． 设木块与小车的最终速度为v ，以向右为正，由动量守恒定律有： v m M mv Mv )(00+=-① 设物块相对小车右端滑行距离为△S ，因木块相对小车无往复运动，则由功能关系有： 22020)(2 12 12 1 v m M Mv mv s mg +-+=?μ② 联立①、②解得：2 0)(2v g M m M s += ?μ． 简评：此题中两物体间通过摩檫力发生相互作用，最终两物体具有共同速度，系统损失的动能转化为系统内能． 图２