一维原子链的晶格振动方程
晶体是由原子或分子组成的周期性排列的结构，其内部的原子或分子通过振动相互作用，从而产生晶格振动。晶格振动方程描述了一维原子链中原子的振动行为，对研究固体物理和材料科学具有重要意义。
一维原子链的晶格振动方程可以通过简化模型来描述。我们假设原子链中的原子质量相同，且原子间的相互作用力为弹簧力。在平衡位置附近，原子的位移可以用小量近似表示，即位移量远小于原子间距。此时，可以利用胡克定律，将原子间的相互作用力近似为线性弹簧力。
根据胡克定律，弹簧的力与其伸长（或缩短）的长度成正比，且方向与伸长（或缩短）的方向相反。对于一维原子链中相邻两个原子，其相互作用力可以表示为：
F = -k(x - a) - k(x + a)
其中，F为相互作用力，k为弹簧常数，x为原子的位移量，a为原子间距。
根据牛顿第二定律，物体的加速度与作用力成正比，与物体的质量成反比。在一维原子链中，每个原子的加速度与相邻原子的相互作用力有关，可以表示为：
m(d^2x/dt^2) = -k(x - a) - k(x + a)
其中，m为原子的质量，d^2x/dt^2为原子的加速度，t为时间。
将上述方程进行简化，可得：
d^2x/dt^2 = -k/m * (2x - a - a)
化简后得到：
d^2x/dt^2 = -2k/m * (x - a/2)
这就是一维原子链的晶格振动方程。从中可以看出，原子的加速度与位移量成正比，且与原子间距和弹簧常数有关。当原子受到外力作用时，晶格振动方程可以进一步进行修正。
一维原子链的晶格振动方程可以通过求解微分方程得到解析解，也可以通过数值模拟方法进行计算。对于周期性边界条件下的一维原子链，可以采用傅里叶变换的方法，将晶格振动分解为一系列特定频率的波动模式。
晶格振动在固体物理和材料科学中具有广泛的应用。通过研究晶格振动，可以揭示物质的热力学性质、电子结构和传热传电等基本行为。此外，晶格振动还与声学性质、热导率、热膨胀和热容等宏观性质密切相关，对于材料的设计和优化具有重要意义。
一维原子链的晶格振动方程描述了原子在弹簧力作用下的振动行为，对于研究固体物理和材料科学具有重要意义。通过求解方程，可以得到原子的位移量和加速度，进而揭示物质的基本性质和宏观行为。晶格振动的研究对于材料的设计和应用具有重要的指导意义。
一维单原子链晶格振动解析步骤一维单原子链模型是固体物理中的经典模型之一，用于描述晶体 中原子的振动行为。在这个模型中，原子由质量为m的核和劲度系数 为K的弹性相互作用构成。通过对一维单原子链的晶格振动进行分析，可以更好地理解固体中的声子模式和声子色散关系。 下面将介绍一维单原子链晶格振动解析步骤： 第一步：建立模型 首先，我们要建立一维单原子链的模型。假设晶格常数为a，原子间距为a/2，一维晶格中的每个原子都沿着x轴定位。原子间的相互作用由弹簧模型描述，即相邻原子间的相互作用劲度系数为K。这个模型是一个简单的原子链模型，可以通过它来研究晶格振动的基本性质。 第二步：求解运动方程 接下来，我们需要求解原子在这个一维单原子链中的运动方程。 假设第n个原子的位移为Un(t)，那么根据牛顿第二定律，可以得出该原子的运动方程为：
m*Un’’(t) = -K*(Un(t+0) - 2*Un(t) + Un(t-0)) 上式中，Un’’(t)表示Un对时间的二阶导数，-K*(Un(t+0) - 2*Un(t) + Un(t-0))表示受到的弹性相互作用力。 第三步：假设解的形式 由于原子在一维单原子链中的振动属于谐振动问题，我们可以假 设原子的位移满足解的形式为： Un(t) = An*exp(i*(k*n*a - ω*t)) 其中，An是振幅，k是波数，ω是角频率，n是原子的编号。将 这个解代入到运动方程中，可以得到关于角频率ω和波数k的关系式，即声子色散关系。声子色散关系描述了声子的能量随波数变化的关系，是描述晶体中声子性质的重要工具。 第四步：得到声子色散关系 将解的形式代入运动方程，我们可以得到关于角频率ω和波数k 的关系式。具体地，我们可以得到一维单原子链中的声子色散关系为：ω(k) = 2*sqrt(K/m)*|sin(ka/2)|
一维原子链的晶格振动方程 晶体是由原子或分子组成的周期性排列的结构，其内部的原子或分子通过振动相互作用，从而产生晶格振动。晶格振动方程描述了一维原子链中原子的振动行为，对研究固体物理和材料科学具有重要意义。 一维原子链的晶格振动方程可以通过简化模型来描述。我们假设原子链中的原子质量相同，且原子间的相互作用力为弹簧力。在平衡位置附近，原子的位移可以用小量近似表示，即位移量远小于原子间距。此时，可以利用胡克定律，将原子间的相互作用力近似为线性弹簧力。 根据胡克定律，弹簧的力与其伸长（或缩短）的长度成正比，且方向与伸长（或缩短）的方向相反。对于一维原子链中相邻两个原子，其相互作用力可以表示为： F = -k(x - a) - k(x + a) 其中，F为相互作用力，k为弹簧常数，x为原子的位移量，a为原子间距。 根据牛顿第二定律，物体的加速度与作用力成正比，与物体的质量成反比。在一维原子链中，每个原子的加速度与相邻原子的相互作用力有关，可以表示为：
m(d^2x/dt^2) = -k(x - a) - k(x + a) 其中，m为原子的质量，d^2x/dt^2为原子的加速度，t为时间。 将上述方程进行简化，可得： d^2x/dt^2 = -k/m * (2x - a - a) 化简后得到： d^2x/dt^2 = -2k/m * (x - a/2) 这就是一维原子链的晶格振动方程。从中可以看出，原子的加速度与位移量成正比，且与原子间距和弹簧常数有关。当原子受到外力作用时，晶格振动方程可以进一步进行修正。 一维原子链的晶格振动方程可以通过求解微分方程得到解析解，也可以通过数值模拟方法进行计算。对于周期性边界条件下的一维原子链，可以采用傅里叶变换的方法，将晶格振动分解为一系列特定频率的波动模式。 晶格振动在固体物理和材料科学中具有广泛的应用。通过研究晶格振动，可以揭示物质的热力学性质、电子结构和传热传电等基本行为。此外，晶格振动还与声学性质、热导率、热膨胀和热容等宏观性质密切相关，对于材料的设计和优化具有重要意义。
第四章 晶格振动 （习题参考答案） 1设有一维双原子链，链上最近邻原子间的恢复力常数交错的等于 10ββ和。若两种原子的质量相同，并且最近邻间距为a/2，试求在波矢q=0和q=1/2a 处的()q ω，并且画出色散关系曲线。 解： 令n u 和n v 分别代表两种原子相对平衡位置的位移，如图所表示。M 代表每个原子的质量，则相邻两种原子的运动方程如下式所示： [][]1110(1011)n n n n n n n n Mu u v u v v v u βββ--=---=+- 11()10()(1011)n n n n n n n n M v u v v u u u v βββ++=---=+- （1） 试探解为 (2)(2) i t naq n i t naq n u ue v ve ωπωπ----== 代入方程（1）得 2 2(1011)i aq M u v ve u πωβ--=+- 22(1011)i aq M v u ue v πωβ--=+- 于是有 2 2(11)(10)0i aq M u e v πωββ---++= 22 (10)(11)0 i aq e u M v πβωβ-++--= u ，v 有非零解的条件为 2 222 11(10) 0(10) 11i aq i aq M e e M ππωβ ββωβ ----+=+--
解得： 2 1/2 {11[12120(1cos 2)] }aq M β ωπ= ±-- （2） 式中“+”“-” 分别代表光学支和声学支。 q=1/2a 时，由（2）式得 1/2 2() M βω-=； 1/2 20( ) M βω+= 当q=0时，则有 0ω- = ； 1/2 22( ) M βω+= 2对于NaCL 晶体，其密度3 2.18/g cm ρ=，正负离子的平衡距离 10 2.8110 a -=?米，光学支格波的最高频率为 ()13 max 3.610/rad s ω+=?。试以一维双原子晶链模型计算； （1） NaCL 的恢复力常数β： （2） 长声学波的波速： （3） NaCL 的弹性摸量。 解：（1）对于一维双原子晶链，格波光学支的最高频率为 1/2 m a x 11()[2()] m M ωβ+=+ （1） 其中，β为原子间的恢复力常数，m ，M 分别代表两种原子的质量。对于
第三章晶体振动和晶体的热学性质 3.1相距为某一常数（不是晶格常数）倍数的两个原子，其最大振幅是否相同？ 解答：（王矜奉3.1.1，中南大学3.1.1） 以同种原子构成的一维双原子分子链为例, 相距为不是晶格常数倍数的两个同种原子, 设一个原子的振幅A, 另一个原子振幅B, 由《固体物理学》第79页公式，可得两原子振幅之比 (1) 其中m原子的质量. 由《固体物理学》式（3-16）和式（3-17）两式可得声学波和光学波的频率分别为 , (2) . (3) 将(2)(3)两式分别代入(1)式, 得声学波和光学波的振幅之比分别为 , (4) . (5) 由于 =， 则由(4)(5)两式可得,1 B A . 即对于同种原子构成的一维双原子分子链, 相距为不是晶格常数倍数的两个原子, 不论是声学波还是光学波, 其最大振幅是相同的. 3.2 试说明格波和弹性波有何不同？ 解答：晶格中各个原子间的振动相互关系
3.3 为什么要引入玻恩-卡门条件？ 解答：（王矜奉3.1.2，中南大学3.1.2） （1）方便于求解原子运动方程. 由《固体物理学》式（3-4）可知, 除了原子链两端的两个原子外, 其它任一个原子的运动都与相邻的两个原子的运动相关. 即除了原子链两端的两个原子外, 其它原子的运动方程构成了个联立方程组. 但原子链两端的两个原子只有一个相邻原子, 其运动方程仅与一个相邻原子的运动相关, 运动方程与其它原子的运动方程迥然不同. 与其它原子的运动方程不同的这两个方程, 给整个联立方程组的求解带来了很大的困难. （2）与实验结果吻合得较好. 对于原子的自由运动, 边界上的原子与其它原子一样, 无时无刻不在运动. 对于有N 个原子构成的的原子链, 硬性假定 的边界条件是不符合事实的. 其实不论什么边界条件都与事实不 符. 但为了求解近似解, 必须选取一个边界条件. 晶格振动谱的实验测定是对晶格振动理论的最有力验证(《固体物理学》§3.1与§3.6). 玻恩卡门条件是晶格振动理论的前提条件. 实验测得的振动谱与理论相符的事实说明, 玻恩卡门周期性边界条件是目前较好的一个边界条件. 3.4 试说明在布里渊区的边界上()/q a π=，一维单原子晶格的振动解n x 不代表行波而代表驻波。 解答： 3.5 什么叫简正模式？简正振动数目、格波数目或格波模式数目是否是同一概念？ 解答：（王矜奉3.1.3，中南大学3.1.3） 为了使问题既简化又能抓住主要矛盾，在分析讨论晶格振动时，将原子间互作用力的泰勒级数中的非线形项忽略掉的近似称为简谐近似. 在简谐近似下, 由N 个原子构成的晶体的晶格振动, 可等效成3N 个独立的谐振子的振动. 每个谐振子的振动模式称为简正振动模式, 它对应着所有的原子都以该模式的频率做振动, 它是晶格振动模式中最简单最基本的振动方式. 原子的振动, 或者说格波振动通常是这3N 个简正振动模式的线形迭加. 简正振动数目、格波数目或格波振动模式数目是一回事, 这个数目等于晶体中所有原子的自由度数之和, 即等于3N . 3.6 有人说，既然晶格独立振动频率的数目等于晶体的自由度数，而hv 代表一个声子。因此，对于一给定的晶体，它所拥有声子的数目一定守恒。这种说法是否正确？ 解答：（王矜奉3.1.5，中南大学3.1.5） 频率为 的格波的(平均) 声子数为 , 即每一个格波的声子数都与温度有关, 因此, 晶体中声子数目不守恒, 它是温度的变量.
一维双原子链晶格振动光学支与声学支频隙宽度 一维双原子链晶格是一个理想模型，用于研究晶体中原子振动的性质。它由两种原子按特定顺序排列而成，可以看作是一条由不同类型原子组成的链。 在这个模型中，每个原子可以看作是一个质点，它们在平衡位置附近以简谐振动的方式运动。在一维情况下，原子只能在链的方向上振动，其振动模式有两种：光学模式和声学模式。 对于一维双原子链晶格，振动可以用简谐振动的方程描述： m₁x₁''(t) + k₁(x₁(t) - x₀(t)) + k₂(x₂(t) - x₁(t)) = 0, m₂x₂''(t) + k₂(x₂(t) - x₁(t)) + k₃(x₃(t) - x₂(t)) = 0, ... mₙxₙ''(t) + kₙ(xₙ(t) - xₙ₋₁(t)) + kₙ₊₁(xₙ₊₁(t) - xₙ(t)) = 0, 其中，m₁、m₂、...、mₙ分别为原子的质量，k₁、k₂、...、 kₙ分别为原子之间的弹性系数，x₁(t)、x₂(t)、...、xₙ(t)分别 为原子的位移。这个方程组可以通过求解本征频率和模位移来描述晶格的振动性质。 根据以上方程，可以得到一维双原子链晶格的频率-波矢关系，即声学支和光学支的频率分布。在这个关系中，频率由波矢 k 决定，光学支频率通常高于声学支频率。
对于声学支，原子振动是同相的，在低频区域可以近似看作是一组刚性振动模式。在一维双原子链晶格中，声学支的频率在特定波矢区间内存在频隙，即不存在振动模式。这个频隙的宽度取决于原子质量、弹性系数和晶格常数等因素。频隙宽度越大，声学支频率范围限制的越小。 对于光学支，原子振动是异相的，在低频区域振动模式不存在。光学支的频率范围从声学支频率频隙起始位置开始，直至无穷大。这个频率范围内存在多个振动模式，频率越高，振动模式的数量越多。 一维双原子链晶格的声学支和光学支频隙宽度是研究材料的重要参数，能够提供有关晶体性质的信息。频隙的宽度和位置可通过实验技术如中子散射、红外光谱和拉曼散射等手段进行测量，并与理论模型进行比较。 总之，一维双原子链晶格的声学支和光学支频隙宽度是其振动性质的重要特征，对于研究材料的声学和光学性质具有重要意义。
第三章 晶格振动与晶体的热力学函数 一、填空体 1. 若在三维空间中，晶体由N 个原胞组成,每个原胞有一个原子,则共有_ 3 N_个独立的 振动,_ N__个波矢, 3N_支格波。 2. 体积为V 的ZnS 晶体，如果晶胞的体积为Ω，则晶格振动的模式书为24N/Ω 。 3. 三维绝缘体晶体的低温比热Cv 与温度T 的关系为Cv~T 3。 4. 某三维晶体由N 个原胞组成，每个原胞内有3个原子。考虑晶体的晶格振动，其色散关系共有 9N 支，其中 3N 支声学波，包括 2N 支横声学波， 1N 支纵声学波；另有 6N π 2L 。 二、基本概念 1. 声子 晶格振动的能量量子。 2.波恩-卡门条件
即周期性边界条件，设想在实际晶体外，仍然有无限多个相同的晶体相连接，各晶体中相对应的原子的运动情况都一样。 3.波矢密度 波矢空间单位体积内的波矢数目，三维时为 3 c )2(V ，Vc 为晶体体积。 4. 模式密度 单位频率间隔内模式数目。 5.晶格振动。 答：由于晶体内原子间存在着相互作用，原子的振动就不是孤立的，而要以波的形式在晶体中传播，形成所谓格波，因此晶体可视为一个互相耦合的振动系统，这个系统的运动就叫晶 晶体都存在声学支格波, 但简单晶格(非复式格子)晶体不存在光学支格波. 3. 晶体中声子数目是否守恒? 答：频率为 的格波的(平均) 声子数为 , 即每一个格波的声子数都与温度有关, 因此, 晶体中声子数目不守恒, 它是温度的变量.
4. 温度一定，一个光学波的声子数目多呢, 还是声学波的声子数目多? 答：频率为 的格波的(平均) 声子数为 . 因为光学波的频率 比声学波的频率 高, ( )大于( ), 所以在 温度一定情况下, 一个光学波的声子数目少于一个声学波的声子数目. 5. 对同一个振动模式, 温度高时的声子数目多呢, 还是温度低时的声子数目多? 的格波的因2cos qa m qa dq d g βωυ== 9. 周期性边界条件的物理含义是什么？引入这个条件后导致什么结果？如果晶体是无限大，q 的取值将会怎样？ 答：由于实际晶体的大小总是有限的，总存在边界，而显然边界上原子所处的环境与体内原子的不同，从而造成边界处原子的振动状态应该和内部原子有所差别。考虑到边界对内部原子振动状态的影响，波恩和卡门引入了周期性边界条件。其具体含义是设想在一长为Na 的
黄昆固体物理习题解答 第三章晶格振动与晶体的热学性质 3.1 已知一维单原子链，其中第j个格波，在第个格点引起的位移 为，μ= a nj j sin(ωj_ j + σ j) ，σj为任意个相位因子，并已知在较高温 度下每个格波的平均能量为，具体计算每个原子的平方平均位移。解：任意一个原子的位移是所有格波引起的位移的叠加，即 μn= ∑ μnj=∑ a j sin(ωj t naq j+σj) j j （1） μ2 n = ? ? ? ∑ μ j nj ? ? ? ? ? ? ∑ μ j * nj ? ? ? = ∑ μ j 2 nj + ∑ μ μnj*nj′ j j′ 由于μ μnj?nj数目非常大的数量级，而且取正或取负几率相等，因此上式得第2 项与第一项 μ相比是一小量，可以忽略不计。所以2= ∑ μ 2 nj n j 由于μnj是时间的周期性函数，其长时间平均等于一个周期内的时间平均值为μ 2 = 1 T∫0 2 ω+σ 1 2 j a j sin( t naq j j j)dt a =j （2） T 0 2 已知较高温度下的每个格波的能量为KT，μnj的动能时间平均值为 1 L T ? 1 ? d μ?2 ?ρw a2 T 1 = ∫ ∫dx0?ρnj?= j j∫0 2 ω+ σ= ρ 2 2 T??dt L a sin( t naq)dt w La nj T 0 0 0 ? 2 ?dt??2T 0 j j j j 4 j j 其中L 是原子链的长度，ρ 使质量密度，T0为周期。 1221 所以T nj = ρ w La j j=KT（3） 4 2 μKT 因此将此式代入（2）式有 nj 2 = ρ ωL 2 j
第三章 晶格振动与晶体的热学性质 1。什么是简谐近似？ 解:当原子在平衡位置附近作微小振动时，原子间的相互作用可以视为与位移成正比的虎克力，由此得出原子在其平衡位置附近做简谐振动。这个近似即称为简谐近似。 2.试定性给出一维单原子链中振动格波的相速度和群速度对波矢的关系曲线，并简要说明其意义. 解：由一维单原子链的色散关系2 sin 2qa m β ω= ，可求得一维单原子链中振动格波的相速度为 2 2sin qa qa m a q v p β ω == (1) 2 cos qa m a dq d v g βω== . 由（1）式及结合上图3。1中可以看出，由于原子的不连续性，相速度不再是常数。但当0→q 时，m a v p β =为一常数。这是因为当波长很长时，一个波长范围含有若干个原
子，相邻原子的位相差很小，原子的不连续效应很小，格波接近与连续媒质中的弹性波。 由（2）式及结合上图3。1中可以看出，格波的群速度也不等于相速度.但当0→q ， m a v v p g β ==，体现出弹性波的特征，当q 处于第一布区边界上，即a q π = 时，0=g v , 而m a v p β π 2= ，这表明波矢位于第一布里渊区边界上的格波不能在晶体中传播，实际上 它是一种驻波。 3。周期性边界条件的物理含义是什么？引入这个条件后导致什么结果?如果晶体是无限大,q 的取值将会怎样？ 解：由于实际晶体的大小总是有限的,总存在边界，而显然边界上原子所处的环境与体内原子的不同，从而造成边界处原子的振动状态应该和内部原子有所差别。考虑到边界对内部原子振动状态的影响,波恩和卡门引入了周期性边界条件.其具体含义是设想在一长为Na 的有限晶体边界之外，仍然有无穷多个相同的晶体，并且各块晶体内相对应的原子的运动情况一样，即第j 个原子和第j tN +个原子的运动情况一样，其中t ＝1,2，3…。 引入这个条件后，导致描写晶格振动状态的波矢q 只能取一些分立的不同值。 如果晶体是无限大,波矢q 的取值将趋于连续。 4。什么叫声子?对于一给定的晶体,它是否拥有一定种类和一定数目的声子？ 解：声子就是晶格振动中的简谐振子的能量量子,它是一种玻色子，服从玻色－爱因斯坦统计,即具有能量为)(q w j 的声子平均数为 1 1)() /()(-= T k q w j B j e q n 对于一给定的晶体,它所对应的声子种类和数目不是固定不变的，而是在一定的条件下发生变化. 5。试比较格波的量子声子与黑体辐射的量子光子；“声子气体”与真实理想气体有何相同之处和不同之处? 解：格波的量子声子与黑体辐射的量子光子都是能量量子,都具有一定的能量和动量，但是声子在与其它粒子相互作用时，总能量守恒，但总动量却不一定守恒；而光子与其它粒子相互作用时，总能量和总动量却都是守恒的。“声子气体”与真实理想气体的相同之处是粒子之间都无相互作用，而不同之处是“声子气体"的粒子数目不守恒,但真实理想气体的粒子数目却是守恒的。 6.晶格比热容的爱因斯坦模型和德拜模型采用了什么简化假设？各取得了什么成就？各有什么局限性？为什么德拜模型在极低温度下能给出精确结果？ 解:我们知道晶体比热容的一般公式为 2 )/()/(20 )1()()()(-=∂∂=⎰T k T k B B V V B B m e d e T k k T E c ωωω ωωρω 由上式可以看出，在用量子理论求晶体比热容时,问题的关键在于如何求角频率的分布函数)(ωρ。但是对于具体的晶体来讲，)(ωρ的计算非常复杂。为此，在爱因斯坦模型中,
第三章 晶格振动与晶体热力学性质 3-1 一维晶格的振动 一、 一维单原子链(简单格子)的振动 1. 振动方程及其解 (1)模型：一维无限长的单原子链，原子间距(晶格常量)为a ，原子质量为m 。 用xn 和xk 分别表示序号为n 和k 的原子在t 时刻偏离平衡位置的位移，用x nk = x n -x k 表示在t 时刻第n 个和第k 个原子的相对位移。 (2)振动方程和解 平衡时，第k 个原子与第n 个原子相距0r a k n =- )(r u 为两个原子间的互作用势能，平衡时为)(0r u ， t 时刻为)()(0r r u r u δ+= )()(0r r u r u δ+=⋅⋅⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=3332 220)(d d 61)(d d 21d d )(000 r r u r r u r r u r u r r r δδδ ⋅⋅⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=33322200 00 d d 61d d 21d d )()(nk r nk r nk r x r u x r u x r u r u r u 第 n 个与第 k 个原子间的相互作用力: ⋅⋅⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=2 33220 0d d 21d d d d nk r nk r nk x r u x r u r u f 振动很微弱时，势能展开式中忽略掉（δr ）二次方以上的高次项---简谐近似。 (忽略掉作用力中非线性项的近似---简谐近似。) 得: nk nk r nk x x r u f β-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=022d d 0 22d d r r u ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=β
第三章晶格振动和晶体的热学性质 [引言]晶体中原子、离子实际上不是静止在晶格平衡位置上，而是围绕平衡位置作微振动，称为晶体振动。对晶体振动的研究是从解释固体的热学性质开始的，最初把晶体中的原子看作是一组相互独立的振子，应用能量均分定理可以说明固体比热容服从杜隆-珀替定律，但与T=0K时的0 C=的规律不符。1906年爱因斯坦提出固体比热容的量子理论， V 认为独立谐振子的能量是量子化的，可以得到T=0K时0 C=的规律的结论，但与低温 V 下3 C T的实验结果不符。1912年德拜提出固体的比热容理论，把固体当成连续介质， ~ V 晶格振动的格波看连续介质中的弹性波，得到低温下3 ~ C T的结果。随后，玻恩及玻 V 恩学派逐步建立和发展了比较系统的晶格振动理论成为最早发展的固体理论之一。晶格振动理论不仅可以用来解释固体的热学性质、结构相变等许多物理性质都是极为重要的，是研究固体物理性质的基础。 因为固体是由大量原子组成的，原子又由价电子和离子组成，所以固体实际上是由大量电子和离子组成的多粒子体系。由于电子之间、电子与离子以及离子之间的相互作用，要严格求解这种复杂的多体问题是不可能的，但注意到电子与离子的质量相差很大，离子的运动速度比电子慢得多，可以近似地把电子的运动与离子运动分开考虑，变成一个在晶格周期场中运动的多电子问题；在考虑离子的运动时，则认为电子能够即时跟上离子位置的变化，变成离子或原子如何围绕平衡位置运动的问题。这种近似称为绝热近似。晶格振动理论就是在这个近似的基础上建立的。 本章首先从最简单的一维晶格出发，说明晶格振动的基本性质，然后推广到三维情
况，最后讨论晶体的热学性质。 [本章重点]一维单原子链晶格振动，一维双原子链晶格振动，声子，晶格比热的德拜模型，晶格振动的模式密度，N 过程与U 过程 §3-1一维单原子链 考虑由N 个相同的原子组成的一维晶格，如图3-1-1所示，相邻原子间的平衡距离为a ，第j 原子的平衡位置用x 0j 来表示，它偏离平衡位置的位移用u j 来表示，第j 原子的瞬时位置就可以表示为：j j j u x x +=0 ………………………………………………(3-1-1) 原子间的相互作用势能设为)(ij x ?，如果只考虑晶体中原子间的二体相互作用，则晶体总的相互作用能可表示为： ()∑≠=N j i ij x U ?21……………………………………………(3-1-2) 式中ij ij i j ij u x x x x +=-=0 是i 、j 原子的相对距离，i j ij u u u -=是i 、j 两原子的相对 位移，在温度不太高时，原子在平衡位置附近作微振动，相邻原子的相对位移要比其平衡距离小得多，可将?展开为： ………………(3-1-3) 于是有：() ∑∑∑≠≠≠+???? ????+???? ????+=j i ij ij j i ij ij j i ij u x u x x U Λ20 2200 412121???…………… (3-1-4) 图3-1-1 一维单原子晶格 ()()() Λ+??? ? ????+???? ????+=+=2 220021ij ij ij ij ij ij ij ij u x u x x u x x ?????
第三部分 晶格振动 1. 讨论晶格振动时的物理框架是牛顿力学还是量子力学？ 牛顿力学＋量子力学修正，所以又可称为半经典理论。 2. 讨论晶格振动时采用了哪些近似条件？ 采用了近邻近似和简谐近似。 3. 什幺是近邻近似和简谐近似？ 近邻近似：在晶格振动中，只考虑最近邻的原子间的相互作用； 简谐近似：在原子的互作用势能展开式中，只取到二阶项。 4. 为什幺可使用玻恩－卡曼周期边界条件？ 晶体的性质由晶体的绝大多数原子的状态所决定，体内原子数>>表面原子数， 在近邻近似下，所以可以以方便为原则选择边界条件，可使用玻恩－卡曼周期 边界条件，而且使用玻恩－卡曼周期边界条件给出了较多的信息，对后续的讨 论带来方便。若采取零边界条件，原则上讲也是允许的，但不能给出有用的信 息。 5. 一维单原子链色散关系是怎样的？相速度v p 等于什幺？ ω=421 2βm qa ⎛⎝ ⎫⎭⎪sin v p =ωq 6. 一维格波波矢q 的的取值范围是什幺？q 在第一B 、Z 内取值数是多少？ q 的取值范围：为保证唯一性，g 在第一B.Z 内取值，即－ ππa q a 〈≤ q 在第一B.Z 内取值数为N （初基元胞数）。 7． 一维格波波矢q 有哪些特点？ q 不连续（准连续）；均匀分布；密度 Na L 22ππ= 8. 一维双原子链的色散关系是怎样的？ ωββββββ212 1222121212＝＋m m qa ±++(cos ) 9. 在三维晶体中，格波独立的q → 点数，声学波支数，光学波支数，格波总支数分 别等于多少？ 独立的q → 点数＝晶体的初基元胞数N ； 格波个数 ＝ 晶体原子振动自由度数，3NS 个； 格波支数＝3S （初基元胞内原子振动的自由度数）其中3支声学波，3(s-1) 支光学波。 10. 定性地讲，声学波和光学波分别描述了晶体原子的什幺振动状态？ 定性地讲，声学波描述了元胞质心的运动， 光学波描述了元胞内原子的相对运动。 描述元胞内原子不同的运动状态是二支格波最重要的区别。 11. 格波模式密度g(ω)的定义是什幺，g(ω)是如何表示的？ 模式密度g(ω)的定义：单位频率间隔的格波数。
一维单原子链振动能与热容的研究 刘凤智 【摘要】对于一维晶格可以严格求出振动能和热容，将它们与爱因斯坦模型和德拜模型的结果进行比较，可以找出两种模型的成功与不足，如此可以加深对模型的理解，也有助于模型的完善. 【期刊名称】河南科学 【年(卷),期】2012(030)009 【总页数】5 【关键词】单原子链；振动能；热容；爱因斯坦模型；德拜模型 晶格振动理论是晶体的重要理论，从晶格振动理论可以推出晶体的物理性质，特别是晶格热容的计算.对于一维晶格振动，因为模型简单，常常可以得出严格解，而受到人们的重视，一维单原子链也是晶格振动理论的入门知识，在固体物理教学中占有重要的地位.晶格振动理论就是起源于对晶格热学性质的研究，而能量和热容是热学性质中很有代表性的物理量.对晶格热容和振动能的具体求解是一个比较复杂的问题，在一般的讨论中常采用爱因斯坦和德拜两个简化模型.因为一维单原子可以做严格意义上的理论研究，为了深刻理解模型的实质，可以对一维晶格进行对比研究，找出爱因斯坦和德拜模型的成功与不足，有利于对实际三维晶格的认识[1].本文首先从理论上将三种处理方法应用到一维单原子链，得出相应的振动能与热容，并得出极端情况下的极限值，随后用一个实际例子做了讨论，得出一些有意义的结论. 1 由爱因斯坦模型计算晶格振动能和等容摩尔热容 对于一维单原子链，假设原子数为N，晶格常数为a，晶格的力常数为β，原
子质量为m，只考虑最近邻原子的作用，可以得出晶格振动的色散关系[2]： 其中：ωm为晶格振动的截止频率；q为波矢，可以将它限制在第一布里渊区，即-π/a 第一章 （2）体心立方（body- centered cubic，bcc）:原胞基矢 每个晶胞有2个等效格点。常见金属：碱金属晶体，过渡金属晶体，Cr ,Mo, W. 体心立方原胞体积为： a1 ⋅ ( a2⨯a3 ) = a3/2 最近邻原子数：8个 （3）面心立方（face-centered cubic，fcc) 原胞基矢 每个晶胞有4个等效格点。常见金属：贵金属Cu、Ag、Au、Al、Ni、Pb等。 面心立方原胞体积为： a1 ⋅ ( a2⨯a3 ) = a3/4 最近邻原子数：12个 7大晶系，14种布拉菲格子，32种宏观对称操作。 密堆积配位数 配位数：一个原子周围最近邻的粒子数。 致密度：晶胞中粒子所占的体积与晶胞体积之比。比值越大，堆积越密。 粒子被看作为有一定半径的刚性小球。最近邻的小球互相相切。两球心间的距离等于两最近邻粒子间的距离。 1.同种粒子构成的晶体 原子半径相同，刚球半径也相同。一般采用密堆积。配位数为12、8。 2. 不同粒子组成的晶体 （1）氯化铯（CsCl） Cs+离子半径为r，Cl-离子半径为R，则 r = 0.73R 配位数为8。 （2）氯化钠（NaCl）， Na+离子半径为r，Cl-离子半径为R，则 r = 0.41R 配位数为6。 晶列、晶面、密勒指数； 晶向：晶格可看成是在任意方向上由无穷多的平行直线组成的，所有的格点都落在这些直线上。每 一条这样的直线称为晶格的一个晶列。晶列的方向称为晶格的晶向。 晶向的表示：晶向指数 [ l1l2l3 ]：任取一个格点作为原点O。作晶胞基矢a、b、c，考虑某晶列 上的一个格点P，该格点的位矢为：l1a1+ l2a2+ l3a2且l1 l2 l3 为三个互质整数。则该晶向指数为 [ l1 l2 l3 ]。 晶面：晶格可在任意方向上分割成无穷多的平行平面组成，使得所有的格点都落在这些平面上。所 有互相平行的平面构成一族，称为晶格的晶面。 晶面的表示：在晶胞基矢a、b、c下，一晶面与它们的截距分别为 l'a、m'b、n'c 若有互质整数 l、m、n 使（lmn）称为晶体的密勒指数（Miller indices）。若某晶面指数为负数，则在此数上面加一横杠。 若取原胞基矢，则互质整数（h1 h2 h3 ）称为晶面指数。 右图晶面描述晶面密勒指数为：（263）倒格子 取原胞基矢a1、a2、a3，定义三个新矢量b1、b2、b3，满足：Ωd为原胞的体积。 b1、b2、b3 称为晶体的倒格子基矢。相对地， a1、a2、a3 称为晶体的正格子基矢。 b1、b2、b3 互相独立，可构成一新的矢量空间，称倒格子空间。 第四章习题试解 1. 一维单原子晶格,在简谐近似下,考虑每一原子与其余所有原子都有作用,求格波的色散关 系. 解：设原子质量为m ,周期为a ,第n 个原子偏离平衡位置的位移为μn ,第n-k 与n+k 个原子偏离平衡位置的位移分别为μn-k ,μn+k ,其与第n 个原子间的弹性恢复力系数为β-k ,βk . n-k n-1 n n+1 n+k 显然：k k ββ-= 第n 个原子受n-k 和n+k 原子的合力为： 第n 个原子受所有原子的合力为： 振动的运动学方程可写为： 代入振动的格波形式的解 ()i qna t nq Ae ωμ-= 有2()[()][()]()()(2)i qna t i q n k a t i q n k a t i qna t k k m i Ae Ae Ae Ae ωωωωωβ-+----=+-∑ 色散关系即为 2.聚乙烯链…—CH ＝CH —CH ＝CH…的伸张振动,可以采用一维双原子链模型来描述,原胞两原子质量均为M,但每个原子与左右邻原子的力常熟分别为β1和β2,原子链的周期为a .证明振动频率为 证：如图,任意两个A 原子〔或B 原子〕之间的距离为a,设双键距离b 2,单键距离b 1 …—CH ＝CH —CH ＝CH —CH ＝CH —CH ＝CH —CH ＝CH … 2n-2 2n-1 2n 2n+1 2n+2 AB A b2 b1 只考虑近邻作用的A,B 两原子的运动方程为 A ：222121221()()n n n n n M μβμμβμμ+-=--- B ： 21122212212()()n n n n n M μβμμβμμ++++=--- 将格波解()2i qna t n Ae ωμ-= 和2 [()]21i q na b t n Be ωμ+-+= 代入以上运动方程,有 化简得：1221212()()0iqb iqb M A e e B ββωββ-+--+= 同理：1221212()()0iqb iqb e e A M B ββββω--+++-= 化为以A 、B 为未知数的线性齐次方程组,它的有解条件是 从而得到 3.求一维单原子链的振动模式密度g<ω>,若格波的色散可以忽略,其g<ω>具有什么形式,比较 这两者的g<ω>曲线. 解：一维情况q 空间的密度约化为L/2π,L=Na 为单原子链的长度,其中a 为原子间距,N 为原子数目.则在dq 间隔内的振动模式数目为2L dq π .dω频率间隔内的振动模式数目为 等式右边的因子2来源于ω〔q 〕具有中心反演对称,q ﹥0和q ﹤0区间是完全等价的.从而有 对于一维单原子链,只计入最近邻原子之间的相互作用时,有 其中ωm 为最大频率.代入g <ω>得 固体物理复习提纲 1.请给出1维单原子链晶格振动的运动方程，并由此推导出频率-波矢关系。 书p58页4.1.3推导过程见书p58页 2.请分别写出1维单原子链和1维双原子链的晶格振动的色散关系表达式。请讨 论双原子链振动的声频支和光频支的频率范围。 一维单p58页4.1.7和一维双61页4.2.9 声频支4.2.10光频支4.2.11 3.请论述声频波和光频波原胞中两个原子的位移特征。 声频波情况原胞中两个原子是沿同方向振动。在长波极限情况，声频波中原胞中两个原子是一同运动，振幅，位相都没有差别。在短波极限时声频波中较轻的原子静止不动，只有重原子在做振动，而且相邻原胞重原子的运动方向是相反的。 长波极限时光频波中原胞中两个原子运动始终保持质心位置不变。短波极限时光频波中的原胞中重原子是静止不动，只有轻原子振动，相邻原胞轻原子的运动方向相反。 4.将晶格振动看待成为一个简谐振子，求解得到的能量本征值如何表达？振动的 振动方程（本征函数）如何表达？在某一温度下，声子的平均数目如何表示？能量本征值书p66页4.3.17，本征函数4.3.18，平均数目4.3.20 5.何谓声频波？何谓光频波？在3维晶体中，有几支声频波？光频波有几支？格 波的总模式数是多少？ 格波频率较低的称为声频支格波，格波频率较高的称为光频支格波。在3维晶体中有3支声频波，3r-3支光频波，r为原胞内原子个数。格波总模式数等于晶体原子自由度总数目3rN 6.经典物理中，对晶体的比热Cv研究的结果用公式表示为什么？ 它表明了什么含 义？考虑到晶格振动的影响，使用爱因斯坦模型修正后的公式是什么？分析爱因斯坦模型在高温区和低温区的表达形式？这一结果与实验结果有何区别？区别原因何在？ 比热公式书p76页4.7.7 表明含义：高温晶格比热是一常量，与温度无关，也与物质元素无关。问老师！ 爱因斯坦修正公式书77页4.7.13 7.在利用德拜模型研究晶体的比热时，晶格内能的表达式是什么？比热用什么来 表达？请讨论在高温时和低温时的比热的表达形式。 内能78页4.7.23，比热4.7.24 8.固体物理中，晶体的物态方程如何表达？由此推导出的膨胀系数如何表达？考 虑到电子对比热的贡献，膨胀系数如何表达？ 书p81，晶体的物态方程4·8·8，膨胀系数：4.8.13 9.只考虑晶格热传导行为，请写出热导率的表达式，对其中的各个符号分别说明。 对高温下和低温下的热导率与温度的依赖关系进行论述。 热导率书p83，4.9.6。c是材料单位体积的比热，v是声子气的方均根速率，l为材料长度。依赖关系p84 10.肖特基缺陷是怎么产生的？弗兰克尔缺陷又是怎么产生的？它们在热平衡 时的缺陷数目如何表达？ 肖特基缺陷的形成原因：这种空位是晶体内部格点上的原子或离子通过接力运动移到表面格点位置后在晶体内所留下的空位弗兰克尔缺陷形成的原因：如果晶体内部格点上的原子或离子移到晶格间隙位置形成间隙原子，同时在原来格点位置上留下空位，于是晶体中将存在等浓度的晶格空位和填隙原子。 它们在热平衡时缺陷数目表达形式为：书p88～91 §3-6 晶格振动的模式密度 3. 6. 1 晶格模式密度定义 为了准确求出晶格热容以及它与温度的变化关系，必须用较精确的办法计算出晶格振动的模式密度（也叫频率分布函数）。原则上讲，只要知道了晶格振动谱ωj (q )，也就知道了各个振动模的频率，模式密度函数g (ω)也就确定了。但是，一般来说，ω与q 之间的关系是复杂的，除非在一些特殊的情况下，得不到g (ω)的解析表达式，因而往往要用数值计算。图3-6-1给出了一个实际的晶体（钾）的模式密度，同时给出了德拜近似下的模式密度进行比较，可以看出除在低频极限以外，两个模式密度之间存在有一定的差别。这可以说明为什么德拜热容理论只是在极低温下才是严格正确的。因为在极低温下，只有那些低频振动模才对热容有贡献。 了解晶格振动模密度的意义不仅局限于晶格热容的量子理论。实际上，计算所有热力学函数时都要涉及到对各个晶格振动模的求和，这就需要知道模式密度函数。以后还会看到，在讨论晶体的某些电学性质、光学性质时，也要用到晶格振动模式密度函数。根据式（3-5-12），我们可以定义： ()0lim n g ωωω ∆→∆=∆…………………………………………………………（3-6-1） Δn 表示在ω—ω+Δω间隔内晶格振动模式的数目，如果在q 空间中，根据ω (q )=常数作出等频面，那么在等频面ω和ω+Δω之间的振动模式的数目就是Δn 。由于晶格振动模（格波）在q 空间分布是均匀的，密度为V/3 (2)π（V 为晶体体积），因此有： 3 ((2) V n ωωωπ∆= ⨯∆频率为和+的等频率面间的体积)…………（3-6-2） 图3-6-1 钾的模式密度与德拜近似模式密度的比较 晶格振动部分习题参考解答 9.设有一双子链最近邻原子间的力常数为和10，两种原子质量相等，且最近邻距离为 a/2，求在q=0,q= a π 处的(q).并定性画出色散曲线。 m m 10 m m ____________________________________________________ →← →← 2 2 a a 解：已知 21 )cos 2(12122212 12 qa m m A ββββββω++- += (1) 21 )cos 2(12122212 12 0a m m ββββββω++- += (2) 由题意 2＝10 1＝10 代入（1）式 得 21 )cos 20100(111222qa m m A ββββω++-= =21 )cos 20101(11qa m m +-ββ = []2 1)cos 20101(11qa m +-β 当q=0时 0)1111(0 2=-==m q A β ω 当q=a π时 m m a q A β β ωπ2)911(2 = -= = 把 2=10 1=10 代入（2）式 得 []2 1)cos 20101(1120qa m ++β ω＝ 当q=0时 m q βω220 2 == 时a q π±= m a q β ωπ 202 0= = 10.设三维晶格的光学格波在q=0的长波极限附近有i ω(q)= 0－Aq 2 （A 0），求证光学波 频率分布函数(格波密度函数)为：g()= ∑ -=) 1(31 s i 24πV 2 321 )(0A i ωω- i ω≤0 g()=0 i ω>0 证：由格波密度函数的定义已知，对一支格波在d i ω区间格波数为 一．简述题（每题10分，共20分） 1.什么是杂化轨道，写出金刚石sp3杂化的轨道波函数。 2.何为声子，谈谈你对声子的认识。 二．填空题（每小题0.5分，共29分） 1.（）布拉伐格子为体心立方的晶体是A. 钠B. 金C. 氯化钠D. 金刚石 2.（）布拉伐格子为面心立方的晶体是A. 镁B. 铜C. 石墨D. 氯化铯 3.（）布拉伐格子为简立方的晶体是A. 镁B. 铜C. 石墨D. 氯化铯 4.（）银晶体的布拉伐格子是A. 面心立方B. 体心立方C. 底心立方D. 简立方 5.（）金刚石的布拉伐格子是A. 面心立方B. 体心立方C. 底心立方D. 简立方 6.（）硅晶体的布拉伐格子是A. 面心立方B. 体心立方C. 底心立方D. 简立方 7.（）氯化钠晶体的布拉伐格子是A. 面心立方B. 体心立方C. 底心立方D. 简立方 8.（）氯化铯晶体的布拉伐格子是A. 面心立方B. 体心立方C. 底心立方D. 简立方 9.（）晶格振动的能量量子称为A. 极化子 B. 激子 C. 声子 D. 光子 10.（）ZnS晶体的布拉伐格子是A. 面心立方B. 体心立方C. 底心立方D. 简立方 11.（）下列晶体的晶格为简单晶格的是A. 硅B. 冰C. 银D. 金刚石 12.（）下列晶体的晶格为复式晶格的是A. 钠 B. 金 C. 铜 D. 磷化镓13.（）晶格常数为的简立方晶 格，原胞体积等于A. B. C. D. 13.（）含有N个初基原胞的铜晶体，晶格振动的声学波支数为A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 14.（）晶格常数为a的体心立方晶格，原胞体积Ω等于A. 2a3 B. a3 C. a3/2 D. a3/4 15.（）晶格常数为的面心立方晶格，原胞体积Ω等于A. 2a3 B. a3 C. a3/2 D. a3/4 16.（）晶格常数为的CsCl晶体的原胞体积Ω等于A. 2a3 B. a3 C. a3/2 D. a3/4 17.（）晶格常数为的NaCl晶体的原胞体积Ω等于A. 2a3 B. a3 C. a3/2 D. a3/4 18.（）晶格常数为的Cu晶体的原胞体积Ω等于A. 2a3 B. a3 C. a3/2 D. a3/4 19.（）晶格常数为的Na晶体的原胞体积Ω等于A. 2a3 B. a3 C. a3/2 D. a3/4 20.（）晶格常数为的Au晶体的原胞体积Ω等于A. 2a3 B. a3 C. a3/2 D. a3/4 21.（）晶格常数为的金刚石晶体的原胞体积Ω等于A. 2a3 B. a3 C. a3/2 D. a3/4 22.（）晶格常数为的Cu晶体的单胞体积Ω等于A. 2a3 B. a3 C. a3/2 D. a3/4 23.（）含有N个初基原胞的铜晶体，晶格振动的光学波支数为A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 24.（）晶格常数为的Ge晶体的单胞体积Ω等于A. 2a3 B. a3 C. a3/2 D. a3/4 25.（）含有N个初基原胞的铜晶体，晶格振动的总格波支数为A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 26.（）晶体铜的配位数是A. 12 B. 8 C. 6 D. 4 27.（）金属钠晶体的配位数是A. 12 B. 8 C. 6 D. 4 28.（）金刚石的配位数是A. 12 B. 8 C. 6 D. 4 29.（）面心立方密集的致密度是A. 0.76 B. 0.74 C. 0.68 D. 0.62 30.（）体心立方密集的致密度是A. 0.76 B. 0.74 C. 0.68 D. 0.62 31.（）晶体的布拉伐格子共有几种？A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 32.（）立方晶系的布拉伐格子共有几种？A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 33.（）四方晶系的布拉伐格子共有几种？A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 34.（）正交晶系的布拉伐格子共有几种？A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 35.（）含有N个初基原胞的铜晶体，不同的波矢总数为A. 3N B. 2N C. N D. N/2 36.（）晶体共有几个晶系？A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 37.（）不属于14种布拉伐格子的格子是A. 面心立方 B. 体心立方 C. 底心立方 D. 简立方 38.（）不属于14种布拉伐格子的格子是A. 底心单斜 B. 体心四方 C. 底心四方 D. 简单四方 39.（）不属于14种布拉伐格子的格子是A. 体心四方 B. 体心立方 C. 面心四方 D. 面心立方 40.（）不属于14种布拉伐格子的格子是A. 简单三斜 B. 底心三斜 C. 简单单斜 D. 底心单斜固体物理知识概要
固体物理CH4-习题解答
固体物理复习提纲
3-6 晶格振动的模式密度
晶格振动部分习题参考解答
固体习题之二
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