数值分析知识点总结
数值分析知识点总结：
本文提供了数值分析中的一些重要知识点和例题，但更多的例题可以参考老师布置的作业题和课件相关例题。
第1章数值分析与科学计算引论：
绝对误差和相对误差是衡量近似值精度的指标，有效数字则是描述近似值精度的一种方式。其中，相对误差限是绝对误差的上界。有效数字的计算方法为：如果近似值x的误差限是某一位的半个单位，该位到x的第一位非零数字共有n位，就说x*共有n位有效数字。一个比较好用的公式是f(x)的误差限：f(x)f'(x)(x)。
第2章插值法：
插值多项式的余项表达式可以用来估计截断误差。三次样条插值与三次分段埃尔米特插值有所不同，但哪一个更优越需
要根据实际情况而定。确定n+1个节点的三次样条插值函数需要多少个参数？为确定这些参数，需加上什么条件？三弯矩法可以用来求解三次样条表达式。
第3章函数逼近与快速傅里叶变换：
带权(x)的正交多项式是在特定区间上满足一定条件的多项式，其中[-1,1]上的勒让德多项式具有重要性质。切比雪夫多项式也有其独特的性质。用切比雪夫多项式零点做插值点得到的插值多项式与拉格朗日插值有所不同。最小二乘拟合的法方程可以用来拟合曲线，但当次数n较大时，不直接求解法方程。
第4章数值积分与数值微分：
XXX让德求积公式和XXX-XXX求积公式是数值积分中的两种方法，其中高斯求积公式可以用来计算定积分。
勒让德多项式的零点就是高斯点，这种形式的高斯公式被称为XXX让德求积公式。
中点方法是一种数值积分方法，其公式如下：
插值型的求导公式有两点公式和三点公式。
第5章介绍了解线性方程组的直接方法，其中包括LU矩阵的推导过程。相关例题可以在教材第4章作业题和课件中找到。
第6章介绍了解线性方程组的迭代法，判断迭代法是否收敛的条件如下：
第7章介绍了非线性方程与方程组的数值解法，其中牛顿法是一种常见的方法。对于单根且光滑的f(x)=0，牛顿法是局部二阶收敛的。
简化牛顿法和牛顿下山法都是非线性方程组的求解方法。
第8章介绍了矩阵特征值计算，其中幂法是一种常用的方法。利用原点平移方法可以加速幂法的收敛。
第9章介绍了常微分方程初值问题的数值解法。相关例题可以参考附录。
数值分析知识点总结 数值分析是计算数值解的方法和理论，它研究的是如何利用计算机对数学问题进行数值计算和数值逼近。数值分析包括了数值方法的设计、分析和实现，以及误差分析和计算复杂性分析等方面。下面是数值分析的一些重要知识点的总结。 1.数值算法：数值算法是解决数学问题的计算方法，它由一系列具体的计算步骤组成。常见的数值算法有插值、数值积分、数值微分、常微分方程数值解法等。 2.数值稳定性：数值稳定性是指数值算法在计算过程中对误差的敏感程度。一个数值算法如果对输入数据的微小扰动具有较大的响应，就称为不稳定算法；反之，如果对输入数据的微小扰动具有较小的响应，就称为稳定算法。 3.四舍五入误差：在浮点数计算中，由于计算机表示的限制，涉及舍入运算的计算可能会引入误差。四舍五入误差是指在进行舍入运算时，取最近的浮点数近似值所引入的误差。 4.条件数：条件数是用来衡量数值问题的不稳定性的一个指标。它描述了输入数据的微小扰动在计算结果中的放大程度。条件数的大小决定了数值算法的数值稳定性，通常越大表示问题越不稳定。 5.插值：插值是基于已知数据点，构造插值函数来近似未知数据点的方法。常用的插值方法有线性插值、多项式插值和样条插值等。 6. 数值积分：数值积分是用数值方法进行积分计算的一种方法。常见的数值积分方法有梯形法则、Simpson法则和Gauss-Legendre积分法等。
7.数值微分：数值微分是通过数值方法来计算函数的导数的一种方法。常用的数值微分方法有中心差分法和前向差分法等。 8. 常微分方程数值解法：常微分方程数值解法用于求解常微分方程 的近似解。常用的常微分方程数值解法有Euler法、Runge-Kutta法和Adams法等。 9.误差分析：误差分析是对数值算法计算结果误差的研究。可以通过 理论分析或实验方法来估计误差，并找到减小误差的方法。 10.计算复杂性分析：计算复杂性分析是对数值算法运行时间和计算 资源的需求进行评估的方法。通过分析算法的复杂性，可以选择合适的算 法来解决特定的数值计算问题。 总结起来，数值分析是计算数值解的方法和理论，涉及到数值算法、 数值稳定性、误差分析、计算复杂性分析等方面的知识。熟练掌握这些知 识点，可以帮助我们设计高效、准确的数值算法，并对计算结果的准确性 和稳定性进行评估和优化。
数值分析知识点总结 数值分析知识点总结： 本文提供了数值分析中的一些重要知识点和例题，但更多的例题可以参考老师布置的作业题和课件相关例题。 第1章数值分析与科学计算引论： 绝对误差和相对误差是衡量近似值精度的指标，有效数字则是描述近似值精度的一种方式。其中，相对误差限是绝对误差的上界。有效数字的计算方法为：如果近似值x的误差限是某一位的半个单位，该位到x的第一位非零数字共有n位，就说x*共有n位有效数字。一个比较好用的公式是f(x)的误差限：f(x)f'(x)(x)。 第2章插值法： 插值多项式的余项表达式可以用来估计截断误差。三次样条插值与三次分段埃尔米特插值有所不同，但哪一个更优越需
要根据实际情况而定。确定n+1个节点的三次样条插值函数需要多少个参数？为确定这些参数，需加上什么条件？三弯矩法可以用来求解三次样条表达式。 第3章函数逼近与快速傅里叶变换： 带权(x)的正交多项式是在特定区间上满足一定条件的多项式，其中[-1,1]上的勒让德多项式具有重要性质。切比雪夫多项式也有其独特的性质。用切比雪夫多项式零点做插值点得到的插值多项式与拉格朗日插值有所不同。最小二乘拟合的法方程可以用来拟合曲线，但当次数n较大时，不直接求解法方程。 第4章数值积分与数值微分： XXX让德求积公式和XXX-XXX求积公式是数值积分中的两种方法，其中高斯求积公式可以用来计算定积分。 勒让德多项式的零点就是高斯点，这种形式的高斯公式被称为XXX让德求积公式。
中点方法是一种数值积分方法，其公式如下： 插值型的求导公式有两点公式和三点公式。 第5章介绍了解线性方程组的直接方法，其中包括LU矩阵的推导过程。相关例题可以在教材第4章作业题和课件中找到。 第6章介绍了解线性方程组的迭代法，判断迭代法是否收敛的条件如下： 第7章介绍了非线性方程与方程组的数值解法，其中牛顿法是一种常见的方法。对于单根且光滑的f(x)=0，牛顿法是局部二阶收敛的。 简化牛顿法和牛顿下山法都是非线性方程组的求解方法。 第8章介绍了矩阵特征值计算，其中幂法是一种常用的方法。利用原点平移方法可以加速幂法的收敛。
数值分析教学大纲 一、课程简介 数值分析是一门研究数值计算方法和数值计算误差的学科，它旨在 通过数学模型和算法，利用计算机对现实问题进行数值求解。本课程 主要介绍数值分析的基本原理、方法与应用，培养学生对数值计算的 理论和实践能力。 二、教学目标 1. 理解数值分析的基本概念和任务，了解数值计算的重要性和应用 领域。 2. 熟练掌握数值计算中常用的数值方法和算法，能够灵活运用于实 际问题的求解。 3. 培养学生的数学建模和问题求解能力，提高数值计算的准确性和 效率。 4. 培养学生的团队合作和沟通能力，培养创新意识和实践能力。 三、教学内容 1. 数值计算误差与有效数字：了解数值计算的误差来源和评估方法，掌握有效数字的概念和计算方法。 2. 插值与逼近：掌握插值和逼近的基本原理和方法，能够利用插值 和逼近方法拟合实际数据。
3. 数值微积分：熟练掌握数值微积分的基本方法和算法，能够求解 函数的数值积分和数值微分。 4. 非线性方程的数值解法：了解非线性方程的求根方法和算法，能 够利用迭代法和牛顿法求解非线性方程。 5. 线性方程组的数值解法：掌握线性方程组的直接求解和迭代求解 方法，能够解决大规模线性方程组的数值问题。 6. 数值积分与常微分方程数值解：熟练掌握数值积分和常微分方程 数值解的基本原理和方法，能够求解实际问题的数值积分和数值解。 7. 特征值与特征向量的数值计算：了解特征值和特征向量的数值计 算方法，能够求解实对称矩阵的特征值和特征向量。 8. 数值优化方法：掌握数值优化的基本原理和方法，能够利用优化 算法求解实际问题的最优解。 四、教学方法 1. 理论讲授：通过课堂讲解，系统介绍数值分析的基本理论和方法，让学生掌握知识框架。 2. 示例分析：通过实际问题的案例分析，演示数值分析方法的应用 过程和解题技巧。 3. 课堂练习：安排课堂练习和小组讨论，加深学生对知识点的理解 和应用。
安徽工业大学数值分析知识点总结 第一章 绪论 一、概念 1．有效数字 ⑴资料上的定义 设*x 是x 的近似值。如果*x 的误差限是它的某一位的半个单位，那么称*x 准确到这一位，并且从这一位起直到左边第一个非零数字为止的所有数字称为*x 的有效数字。具体来说，就是先将*x 写成规范化形式 m n a a a a x 10.0321*?±= ， 其中1a ，2a ，…，n a 是0到9之间的自然数，01≠a ，m 为整数。如果*x 的误差限 l m x x -*?≤-105.0，n l ≤≤1， 那么称近似值*x 具有l 位有效数字。 ⑵课件上的定义 设*x 是x 的一个近似数，表示为n k a a a a x 321*.010?±=，每个i a （i =1,2，…，n ）均为0, 1,2，…，9中的一个数字，01≠a ，如果n k x x -*?≤ -102 1 ，则称*x 近似x 有n 位有效数字。 2．算法的数值稳定性 ⑴资料上的定义 一个算法如果输入数据有误差，而在计算过程中舍入误差不增长，那么称此算法是数值稳定的，否则称此算法为数值不稳定的。 ⑵课件上的定义 一个算法如果原始数据有扰动（即误差），而计算过程舍入误差不增长，则称此算法是数值稳定的，否则，若误差增长则称算法不稳定。
二、习题 1．计算1.41近似2有几位有效数字。 解：因为110141.0?=*x ，1=m ， 22105.01042.00042.0--*??==-＜x x ， 所以2-=-l m ，得32=+=m l ，故41.1=*x 近似2有3位有效数字。 2．计算2.718近似e 有几位有效数字。() 71828182.2=e 解：因为1102718.0?=*x ，1=m ， 33105.01028.000028.0--*??==-＜x x ， 所以3-=-l m ，得43=+=m l ，故718.2=*x 近似e 有4有效数字。 3．下列各近似值的误差限都是0.005，问各个近似值各有几位有效数字？ 1）38.11=x 2）138.02-=x 3）000086.03=x 解：1）1110138.0?=x ，1=k ，由于211105.0-*?≤-x x ， 故2-=-n k ，32=+=k n ，38.11=x 有3位有效数字； 2）0210138.0?-=x ，0=k ，由于2 22105.0-*?≤-x x ， 故2-=-n k ，22=+=k n ，138.02-=x 有2位有效数字； 3）431086.0-?=x ，4-=k ，由于2 33105.0-*?≤-x x ， 故2-=-n k ，22-=+=k n ，000086.03=x 没有有效数字。
数值分析知识点总结 数值分析是一门研究数值计算方法的学科，它旨在研究如何使用计算 机算法来解决数学问题。数值分析广泛应用于科学与工程领域，如物理学、化学、计算机科学、经济学等，有助于我们在计算机上进行精确、高效、 可靠的数值计算。以下是数值分析的一些重要知识点。 1.数值误差： 数值计算中存在着各种误差，包括舍入误差、截断误差、传播误差等。舍入误差是由于计算机对无限小数进行近似表示而产生的误差，截断误差 是由于计算方法不完全而导致的误差，传播误差是由于误差在计算过程中 的传播而产生的误差。 2.插值与外推： 插值是一类问题，它的目标是通过已知数据点的近似值来估计未知点 的值。插值方法包括拉格朗日插值、牛顿插值等。外推是在已知数据点外 估计函数值的方法，例如外推法、Richardson外推法等。 3.数值积分与微分： 数值积分是计算函数在给定区间上的定积分的近似值的方法。常见的 数值积分方法有梯形法则、辛普森法则、龙贝格法则等。数值微分是通过 计算函数在给定点的导数的近似值来估计函数的变化率。 4.线性方程组的求解： 线性方程组是数值计算中的重要问题之一，其解决方法包括直接法和 迭代法。直接法是通过代数运算求解线性方程组的精确解，如高斯消元法、
LU分解法等。迭代法是通过迭代计算逼近线性方程组的解，如雅可比迭 代法、高斯-赛德尔迭代法等。 5.非线性方程的求解： 非线性方程求解是指求解形式为f(x)=0的方程的根。常用的非线性 方程求解方法有二分法、牛顿法、割线法等。 6.常微分方程的数值解法： 常微分方程的数值解法是指通过计算机算法来近似求解微分方程的解。常用的数值解法包括欧拉法、改进的欧拉法、龙格-库塔法等。 7.特征值与特征向量的计算： 特征值和特征向量是矩阵与线性变换中的重要概念。求解特征值和特 征向量可以帮助我们理解矩阵或线性变换的性质。常用的特征值计算方法 有幂法、反幂法等。 8.曲线拟合与回归分析： 曲线拟合是通过给定的散点数据来拟合出一个函数曲线的方法。常用 的曲线拟合方法有最小二乘法、多项式拟合等。回归分析是用来描述变量 之间关系的统计方法，它通过构建数学模型来预测和分析变量之间的关联性。 9.随机数和蒙特卡洛模拟： 随机数在数值分析中起着重要的作用，它们用来模拟随机事件的结果。蒙特卡洛模拟是一种基于随机数的模拟方法，它通过生成大量的随机样本 来估计模拟对象的性质。
数值分析知识点总结 说明：本文只提供部分较好的例题，更多例题参考老师布置的作业题和课件相关例题。 一、第1章 数值分析与科学计算引论 1. 什么是绝对误差与相对误差？什么是近似数的有效数字？它与绝对误差和相 对误差有何关系？ 相对误差限：** r r e ε=的一个上界。 有效数字：如果近似值*x 的误差限是某一位的半个单位，该位到* x 的第一位非零数字共有n 位，就说x *共有n 位有效数字。即x *=±10m ×(a 1+a 2×10-1+…+a n ×10-(n-1))，其中a 1 ≠0，并且* 11 102 m n x x -+-≤ ⨯。其中m 位该数字在科学计数法时的次方数。例如9.80的m 值为0，n 值为3，绝对误差限*2 11102 ε-=⨯。 2. 一个比较好用的公式： f(x)的误差限：() ***()'()()f x f x x εε≈ 例题：
二、第2章插值法 例题：
5. 给出插值多项式的余项表达式，如何用其估计截断误差？ 6. 三次样条插值与三次分段埃尔米特插值有何区别？哪一个更优越？
7. 确定n+1个节点的三次样条插值函数需要多少个参数？为确定这些参数，需加上什么条件？ 8. 三弯矩法： 为了得到三次样条表达式，我们需要求一些参数： 对于第一种边界条件，可导出两个方程：
，那么写成矩阵形式： 公式 1 对于第二种边界条件，直接得端点方程： ，则在这个条件下也可以写成如上公式1的形式。对于第三种边界条件，可得： 也可以写成如下矩阵形式： 公式 2 求解以上的矩阵可以使用追赶法求解。（追赶法详见第五章） 例题：数值分析第5版清华大学出版社第44页例7
教学大纲 课程编号：13000071 课程名称：数值分析（Numerical Analysis） 学分：4 总学时：72 学时分配：课时总学时：64学时。其中：理论课学时：60学时；习题课学时：12学时；实验学时：课内0学时，课外16学时。 适应专业：数学与应用数学、信息与计算科学 预修课程：数学分析/高等数学，高等代数/线性代数 ◇课程教学目标： 数值分析是研究利用计算机求解各种数学模型的数值计算方法及理论，包括误差基本理论、插值方法、函数逼近、数值微分与积分、常微分方程数值解、非线性方程组数值解法、矩阵特征值计算等经典问题的数值方法与基本理论。通过本课程的学习，要求学生掌握数值分析的基本思想、基本方法和基本理论，具备一定的设计、分析和实现算法的能力，培养应用计算机进行科学与工程计算的能力，提高学生应用数学与计算机解决实际问题的能力。◇教学要求： 通过本课程的学习，要求学生掌握数值计算的基本理论和方法：掌握数值逼近、数值微分与积分、微分方程初值问题、方程（组）求根的直接与迭代解法及矩阵特征值计算等方面的基本理论及经典算法，并能对算法进行误差分析。能使用计算机对基本数值计算问题进行求解，能初步用数值分析方法进行算法分析，为解决较复杂的实际科学与工程计算问题打下必要的基础。 ◇教学方法： 将多媒体教学和传统的黑板板书教学相结合。在背景知识的讲解、数值方法的意义以及计算实例的程序演示时，应充分发挥多媒体直观生动的优势，帮助学生进行感性认识。在算法推导、理论分析等方面，可采用传统的板书讲解，引导学生去感受和思考数学逻辑的过程以及创造性的思维过程，加深对数学理论的理解和认识，培养学生的逻辑和思维能力。在课堂教学中应将课堂讲解、课堂提问、课堂讨论相结合，注重培养学生的创新意识。在课外已到学生积极开展数值试验，撰写实验报告、让学生在初步开展科研工作方面得到更好、更有效的训练。
数值分析知识点总结 一、绪论 数值分析是一门研究如何使用数值方法解决数学问题的学科。它广泛应用于科学、工程、医学等领域。在数值分析中，我们通常将实际问题转化为数学模型，然后使用计算机进行计算。数值分析的主要内容包括：误差分析、插值与拟合、线性方程组求解、微分方程求解等。 二、误差分析 误差分析是数值分析中的一个重要概念。它包括绝对误差、相对误差和误差限等概念。在计算过程中，误差会传递和累积，因此需要进行误差分析以评估计算结果的精度。常用的误差分析方法有：泰勒级数展开、中点公式等。 三、插值与拟合 插值与拟合是数值分析中的两个重要概念。插值方法用于通过一组已知数据点生成一个函数，该函数能够近似地描述这些数据点之间的关系。拟合方法则是通过一组已知数据点生成一个最佳拟合线或曲面，使得这个线或曲面与已知数据点之间的误差尽可能小。常用的插值与拟合方法有：线性插值、多项式插值、样条插值、最小二乘法等。
四、线性方程组求解 线性方程组是数值分析中经常遇到的一类方程组。对于线性方程组，我们通常使用迭代法或直接法进行求解。迭代法包括：雅可比迭代、高斯-赛德尔迭代、松弛法等。直接法包括：高斯消元法、逆矩阵法等。在实际应用中，我们通常会选择适合问题的计算方法，并根据需要进行优化。 五、微分方程求解 微分方程是描述变量之间的函数关系的一类方程。在数值分析中，我们通常使用数值方法对方程进行离散化处理，然后使用计算机进行求解。常用的微分方程求解方法有：欧拉方法、龙格-库塔方法等。对于复杂的微分方程，我们还可以使用谱方法、有限元方法等进行求解。 六、总结 数值分析是一门应用广泛的学科，它涉及到许多数学知识和计算机技术。在实际问题中，我们需要根据问题的特点选择合适的数值方法进行解决。在进行计算时，需要注意误差分析、算法的稳定性和收敛性等问题。随着计算机技术的发展，数值分析的应用领域也在不断扩大，例如、大数据分析等领域。因此，数值分析的学习和应用具有重要意
数值分析是一门涉及使用数值方法解决实际问题的学科，它不仅在科学研究中起着重要作用，而且在工程领域中也广泛应用。数值分析的基础是数学，而数学是一门思政知识的体现。本文将通过逐步思考的方式，介绍数值分析中涉及到的几个思政 知识点。 首先，我们来思考数值分析的基本原理。数值分析是从数值问题出发，通过数 学建模、求解和分析等方法，得到问题的近似解。在这个过程中，我们需要依靠数学的基本概念和原理进行推演和计算。这就要求我们在学习数值分析的同时，也要加强对数学原理的学习和理解。只有这样，我们才能更好地应用数值方法解决实际问题。 其次，我们思考数值分析的应用领域。数值分析广泛应用于自然科学、工程技 术和社会科学等领域。在自然科学中，数值分析可以用来模拟和预测天气、地震等自然现象的变化规律。在工程技术中，数值分析可以用来优化设计方案、评估工程结构的安全性。在社会科学中，数值分析可以用来分析经济数据、预测市场趋势等。通过思考数值分析的应用领域，我们可以认识到数值分析对于推动科技进步和社会发展的重要性。 第三，我们思考数值分析中的伦理道德问题。在进行数值分析的过程中，我们 需要处理大量的数据，并进行计算和模拟。这就要求我们要保护数据的隐私和安全。同时，我们也要遵守学术道德，不得篡改数据、伪造结果等行为。只有遵守伦理道德规范，才能保证数值分析的科学性和可信度。 最后，我们思考数值分析的发展趋势。随着计算机技术的不断发展，数值分析 也取得了巨大的进步。高性能计算机的出现，使得我们可以处理更加复杂和大规模的数值问题。同时，人工智能技术的应用也为数值分析提供了新的思路和方法。通过思考数值分析的发展趋势，我们可以认识到数值分析与科技的密切关系，以及人类对于科技发展的不断追求。 综上所述，数值分析是一门重要的学科，它不仅涉及到数学知识，还涉及到思 政知识。通过逐步思考数值分析的基本原理、应用领域、伦理道德问题和发展趋势，我们可以更好地理解和应用数值分析。因此，我们应该加强对数值分析的学习，不断提升自己的数学水平和思政素养，为推动科技进步和社会发展做出贡献。
数值计算方法主要知识点 数值计算方法是数学中的一门基础课程，主要研究数值计算的理论、 方法和算法。它是现代科学和工程技术领域中不可或缺的重要工具，广泛 应用于数值模拟、优化计算、数据处理等诸多领域。下面是数值计算方法 的主要知识点（第一部分）。 1.近似数与误差： 数值计算的基本问题是将无法精确计算的数值通过近似计算来求得。 近似数即为真实数的近似值，其与真实值之间的差称为误差。误差可以分 为绝对误差和相对误差。绝对误差为真实值与近似值之差的绝对值，相对 误差为绝对误差与真实值的比值。通过控制误差可以评估数值计算结果的 准确性。 2.插值与多项式： 插值是指通过已知离散点构造一个函数，并在给定点处对其进行近似 计算。插值函数通常采用多项式拟合，即通过已知点构造一个多项式函数，并利用此函数进行近似计算。主要的插值方法有拉格朗日插值、牛顿插值 和埃尔米特插值等。 3.数值微分与数值积分： 数值微分主要研究如何通过数值方法去近似计算函数的导数。常用的 数值微分方法有差商、中心差商和插值微分等。数值积分则是研究如何通 过数值方法去近似计算函数的定积分。常用的数值积分方法有矩形法、梯 形法和辛普森法等。 4.非线性方程的数值解法：
非线性方程的数值解法是指通过数值方法求解形如f(x)=0的方程。 常用的非线性方程数值解法有二分法、牛顿法和二次插值法等。这些方法 基于一些基本原理和定理，通过迭代的方式逐步逼近方程的根即可求得方 程的近似解。 5.线性方程组的数值解法： 线性方程组的数值解法是指通过数值方法求解形如Ax=b的线性方程组。其中，A是一个已知的系数矩阵，b是一个已知的常数向量，x是未 知的解向量。常用的线性方程组数值解法有高斯消元法、追赶法和LU分 解法等。这些方法通过一系列的变换和迭代来求解线性方程组的解。 6.插值型和积分型数值方法： 数值计算方法可以分为插值型和积分型两类。插值型数值方法是通过 插值的方式进行近似计算，如插值法和数值微分。而积分型数值方法是通 过数值积分的方式进行近似计算，如数值积分和微分方程的数值解法。这 两类方法在实际问题中有不同的应用领域和特点。 以上是数值计算方法的主要知识点的第一部分，涵盖了近似数与误差、插值与多项式、数值微分与数值积分、非线性方程的数值解法、线性方程 组的数值解法以及插值型和积分型数值方法等内容。掌握这些知识点对于 理解和应用数值计算方法具有重要的意义。
工程数值知识点 工程数值是工程领域中非常重要的一个知识点，它涉及到许多与数值计算有关 的内容。本文将以“工程数值知识点”为标题，通过逐步思考的方式，为读者介绍一 些工程数值的基本概念和应用。 第一步：了解数值计算的基础知识 在工程中，数值计算是一种常见的方法，用于解决一些复杂的数学问题。在进 行数值计算之前，我们需要了解一些基础知识，例如数值精度、误差分析、数值稳定性等。 数值精度是指用二进制或十进制表示一个数时所能表示的最大精度。在计算机中，由于计算机存储的是二进制形式的数值，因此存在着舍入误差。了解数值精度可以帮助我们更好地理解计算结果的准确性。 误差分析是对计算结果中可能存在的误差进行分析和评估的过程。在工程计算中，误差往往是不可避免的。通过误差分析，我们可以了解计算结果的可信度，从而对结果进行正确的解读和使用。 数值稳定性是指计算过程中所使用的算法对输入数据的敏感程度。在工程计算中，选择合适的数值稳定性较高的算法可以提高计算结果的精度和可靠性。 第二步：掌握常见的数值计算方法 在工程中，有许多常见的数值计算方法被广泛应用。掌握这些方法可以帮助我 们解决一些实际的问题。 例如，数值积分是一种常见的数值计算方法，用于求解函数的定积分。数值积 分可以通过将函数分割成若干小区间，然后对每个小区间进行逼近计算，最后将结果进行求和来实现。 另一个常见的数值计算方法是数值解微分方程。微分方程在工程领域中有着广 泛的应用，例如用于描述物理系统的运动规律。数值解微分方程的方法包括欧拉法、龙格-库塔法等，它们通过离散化微分方程来近似求解。 此外，线性代数在工程计算中也占据着重要的地位。线性代数涉及到矩阵的运算、线性方程组的求解等内容。在工程领域，线性代数常被用于解决大规模线性方程组、最小二乘问题等。 第三步：应用工程数值解决实际问题 工程数值的最终目的是为了解决实际的工程问题。在实际应用中，我们可以利 用数值计算的方法来模拟和优化工程系统。
20世纪最好的十个算法( Computing in Science & Engineering 评选) 1.1946.Los Alamos的Von Neumann,Stan Vlam,Nick Metropolis编的Metropolis算法,即Monte Carlo方法 2.1947兰德公司的Grorge Dantzig创造的线性规划的单纯性算法 3.1950.美国国家标准局数值分析所的Magnus Hestenes,Edward Stiefel, Cornelius Lanczos的Krylovz空间迭代法 4.1951 橡树岭国家实验室的Alston Householder矩阵计算的分解方法 5.1951 John Backus在IBM领导的小组研制的Fortron最优编译程序 6.1959-61 伦敦的Ferranti Ltd的J.G.F.Francis的称为QR的算法的计算机 本征值的稳定的算法 7.1962London的Elliot Brothers Ltd的Tony Hoare提出的快速(按大小)分 类法 8.1965 IBM的Cooley与Princeton及Bell的Turkey的FFT算法 9.1977 Brighham Young大学的Helaman Ferguson和Rodney Forcede的整数关系侦察算法 10.1987 Yale的Leslie Greengard和Vladinimir Rokhlin发明的快速多级 算法 数值代数上课内容： 一、预备知识（基础） 1）误差分析 2）范数理论 3）初等变换与矩阵分解 二、线性方程组的求解 1）直接法 2）迭代法 3）最小二乘问题与矩阵广义逆 三、矩阵特征值问题 1）普通特征值问题 a)幂法和反幂法 b)QR方法 2）对称特征值问题
准确数与近似数之差，即。 绝对误差限即为绝对误差的上界，即 . 对于的近似值，若误差，则有位有效数字。 例如，的近似值有五位有效数字。 记为的相对误差，相对误差即为相对误差的上限，即 设近似值有位有效数字，则其相对误差限为： 设近似数与的误差限分别为与，则他们的四则运算后的误差限为： 对于，计算时的误差限为： 若误差在计算过程中越来越大，则算法不稳定，即初始误差在计算中传播导致误差增长很快。否则算法是稳定的。例如，要计算： 第一个算法是不稳定的，因为误差，误差随迭代次数而增加；第二个算法是稳定的，因为误差，误差会逐渐减小。 避免除数绝对值远小于被除数绝对值避免相近数相减避免大数吃小数 已知，由Lagrange插值法可得插值多项式： 其中， .显然， 称为插值基函数。 Lagrange插值的截断误差/插值余项为： 其中， k阶差商：
差商有以下性质： 1. k阶差商可表示为的线性组合，即： 2. 差商有对称性。即 3. 计算差商时，可以作差商表： 你乎表格里为什么不能插入公式 Newton插值多项式为： *注：实际上，用Newton插值法和用Lagrange插值法得到的同次插值多项式是完全相同的，因此截断误差也是完全一致的。这是因为插值多项式具有唯一性。下面简单说明一下。 对于Lagrange插值公式： 一点零次插值： 两点一次插值： 三点两次插值： 以此类推，可以得到， 其中， . 显然，有： 因此，二者的插值余项也完全相同，即： 给定的函数关系中含有导数的插值即称为Hermite插值。书上写的很乱，我个人认为有一种方法可以完美解决，因为对$n$次插值的多项式是完全一样的，无所谓用哪一种方法 --- 带重节点的差商表。
2016计算方法复习 务必通过本提纲例子和书上例子掌握如下书本内容： 1. 会高斯消去法；会矩阵三角分解法；会Cholesky 分解的平方根法求解方程组 2. 会用插值基函数；会求Lagrange, 会计算差商和Newton 插值多项式和余项 3. 会Jacobi 迭代、Gauss —Seidel 迭代的分量形式，迭代矩阵,谱半径,收敛性 4. 会写非线性方程根的Newton 迭代格式；斯蒂芬森加速 5. 会用欧拉预报-校正法和经典四阶龙格—库塔法求解初值问题 6. 会最小二乘法多项式拟合 7. 会计算求积公式的代数精度；（复化)梯形公式和(复化)辛普生公式求积分；高斯-勒让德求积公式 第1章、数值计算引论 （一）考核知识点 误差的来源类型;绝对误差和绝对误差限，相对误差和相对误差限，有效数字；误差的传播。 （二) 复习要求 1。了解数值分析的研究对象与特点。 2。了解误差来源与分类,会求有效数字； 会简单误差估计. 3.了解误差的定性分析及避免误差危害。 （三）例题 例1. 设x =0.231是精确值x *=0。229的近似值，则x 有2位有效数字。 例2. 为了提高数值计算精度, 当正数x 充分大时, 应将)1ln(2--x x 改写为)1ln(2++-x x . 例3. 3*x 的相对误差约是*x 的相对误差的1/3 倍. 第2章、非线性方程的数值解法 (一）考核知识点 对分法;不动点迭代法及其收敛性；收敛速度； 迭代收敛的加速方法；埃特金加速收敛方法;Steffensen 斯特芬森迭代法；牛顿法；弦截法. (二） 复习要求 1.了解求根问题和二分法.
2。了解不动点迭代法和迭代收敛性;了解收敛阶的概念和有关结论。 3。理解掌握加速迭代收敛的埃特金方法和斯蒂芬森方法。 4。掌握牛顿法及其收敛性、下山法, 了解重根情形. 5.了解弦截法. (三）例题 1。为求方程x 3―x 2―1=0在区间［1.3,1.6］内的一个根，把方程改写成下列形式,并建立相应的迭代公式，迭代公式不收敛的是（ ） (A ）11 ,1 1 12-=-= +k k x x x x 迭代公式 (B ）2 1211,11k k x x x x +=+ =+迭代公式 (C ） 3/12123)1(,1k k x x x x +=+=+迭代公式 (D ）231x x =-迭代公式 11221+++=+k k k k x x x x 解：在（A)中， 2/32)1(21 )(,1 1)(,11--='-=-= x x x x x x ϕϕ2/3)16.1(21->=1.076 故迭代发散。应选择（A ）。 可以验证在（B)，(C ）， (D)中,j （x ）满足1)<<' r x ϕ，迭代收敛。 2。用Newton 法求方程2ln =-x x 在区间) ,2(∞内的根， 要求 81 10--<-k k k x x x 。 解 此方程在区间) ,2(∞内只有一个根s ,而且在区间(2，4）内.设 2ln )(--=x x x f 则 x x f 11)('- =， 2 ''1 )(x x f = Newton 法迭代公式为 1 ) ln 1(/112ln 1-+= ---- =+k k k k k k k k x x x x x x x x ， ,2,1,0=k 取30=x ，得146193221.34=≈x s . 3．设)(x f 可微，求方程)(2 x f x =根的Newton 迭代格式为) (2) (2 1 k k k k k k x f x x f x x x '--- =+ 4. 牛顿切线法是用曲线f (x )上的点的切线与x 轴的交点的横坐标逐步逼近f (x ）＝0的解；而弦截法是用曲线f (x )上的；两点的连线与x 轴的交点的横坐标逐步逼近f (x ）＝0的解. 5. 试确定常数r q p ,,使迭代公式
《数值计算方法》复习资料 课程的性质与任务 数值计算方法是一门应用性很强的基础课，在学习高等数学，线性代数和算法语言的基础上，通过本课程的学习及上机实习、使学生正确理解有关的基本概念和理论，掌握常用的基本数值方法，培养应用计算机从事科学与工程计算的能力，为以后的学习及应用打下良好基础。 第一章数值计算方法与误差分析 一考核知识点 误差的来源类型；绝对误差和绝对误差限，相对误差和相对误差限，有效数字；绝对误差的传播。 二复习要求 1. 知道产生误差的主要来源。 2. 了解绝对误差和绝对误差限、相对误差和相对误差限和有效数字等概念以及 它们之间的关系。 3. 知道四则运算中的误差传播公式。 三例题
例1设x*= π=3.1415926… 近似值x=3.14＝0.314×101,即m=1，它的绝对误差是－0.001 592 6…，有 即n=3，故x=3.14有3位有效数字.x=3.14准确到小数点后第2位. 又近似值x=3.1416，它的绝对误差是0.0000074…，有 即m=1,n＝5，x=3.1416有5位有效数字. 而近似值x=3.1415，它的绝对误差是0.0000926…，有 即m=1,n＝4，x=3.1415有4位有效数字. 这就是说某数有s位数，若末位数字是四舍五入得到的，那么该数有s位有效数字； 例2 指出下列各数具有几位有效数字，及其绝对误差限和相对误差限： 2.000 4 －0.002 00 9 000 9 000.00 解因为x1=2.000 4＝0.200 04×101, 它的绝对误差限0.000 05=0.5×10 1―5，即m=1,n=5,故x=2.000 4有5位有效数字. a1=2，相对误差限 x2=－0.002 00，绝对误差限0.000 005，因为m=－2，n=3，x2=－0.002 00有3位有效数字. a1=2，相对误差限εr==0.002 5 x3=9 000，绝对误差限为0.5×100，因为m=4, n=4, x3=9 000有4位有效数字，a=9，
数值分析学习方法 1、学习方法 数值分析是一门理论和实践相结合的学科，这与我们从小到大接触到的许多纯理论学科，学习的方法是有很大差异的。所以，在学习的时候，方法必须有所突破，才能有好的学习效果。 （1）确立学习目标 首先应该明确“学习目的”，也就是指在选择学习课程时应该少一些盲从性。要学好数值分析，必须先为自己定下一个切实可行的目标。 （2）了解学习内容 “预习”是学习中一个很重要的环节。但和其他学科中的“预习”不同的是，数值分析中的预习不是说要把教材从头到尾地看上一遍，这里的“预习”是指：在学习之前，应该粗略地了解一下诸如课程内容是用来做什么的，用什么方式来实现等一些基本问题。 目前，在数学教学中流行的所谓“任务驱动”学习方法，就是指先有结果，再研究实施策略的学习方法。在任务驱动教学中，打破了常规教学方法中由浅入深的基本顺序，每一章节的知识点都是通过几个有代表性的案例来学习的，甚至包括认识程序。让你先体会到效果，从而增加学习兴趣。用这种方法来学习数值分析，尤其是一些视窗界面的计算程序，往往可以达到事半功倍的效果。 （3）正确利用书籍 建议大家预习教材和参考书，使学习者，可以在一开始用较短的时间对学习课程内容架构一个基本骨架。使学生在继续下面较为复杂的学习之前，可以在一定的高度上对课程有一个大体轮廓。如若不然，一开始就急于“深入其中”，之后便云遮雾罩不知身在何处了。 为自己的学习搭建了基本构架之后，不要急于立刻再为其添砖加瓦。也就是说不要马上去阅读那些参考书。这样做，不仅难度较大，而且效果也不会很好。暂时从文字中放松一下，换一种方式——从实践中学习。在计算机上亲手去检验一下已有的知识。 （4）有关实践的问题 数值分析的实践，不只是简单地模仿别人的练习。在实践中最难得的是有自己的想法，并尽力去寻求解决办法。在这种开动了脑筋的实践中，才会学到真正的东西。 总之，想在任何事情上学有所成，都必须遵循一定的方法。尤其是数值分析，只要方法得当，刻苦勤奋，自己又善于摸索，基础都不会成为成功的障碍。相信在不久的将来，你会把这门课学得很好。 此外，还要做到以下几点： 1.上课认真听讲； 2.课后要认真完成作业；