初二二次根式所有知识点总结和常考题
知识点:
1、二次根式：形如、a（a 一 0）的式子。①二次根式必须满足：含有二次根号“「”被开方数a必须是非负数。②非负性
2、最简二次根式：满足：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式。
3、化最简二次根式的方法和步骤：
（1）如果被开方数含分母，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。
（2）如果被开方数含能开得尽方的因数或因式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。
3、二次根式有关公式
（1）（ a）- a（a 一 0）（2）、a?二 a
（3）乘法公式一 ab 二 \ a …b（a 一 0,b 一 0）
（4）除法公式］：冷：心-0巾0）
4、二次根式的加减法则：先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。
5、二次根式混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的。
常考题：
一?选择题（共14小题）
1 ?下列二次根式中属于最简二次根式的是（）
A.「
B.「
C..二
D.
2?式子有意义的x的取值范围是（）
x-1
A. X》且XM 1
B. XM 1
C.?
D. : ■ 1
3. 下列计算错误的是— _
_ __
A.二一「丄
B. J「：厂■■■■.''c
C. + .1 ? I
D. 二二一
4. 估计…? - 「I的运算结果应在（）
A. 6到7之间
B. 7到8之间
C. 8到9之间
D. 9到10之间
5?如果 ：-=1 - 2&,则（
）
A . a v 1
B . a w 丄 C. a >〔 D . a >
2 2 2 2
6?若_ ■；_■ .：= （x+y ） 2,则 x - y 的值为（ ） A . - 1 B. 1 C. 2 D . 3
7. .r 是整数，则正整数n 的最小值是（ ） A . 4 B. 5 C. 6 D . 7 8. 化简「?的结果是（ ） A .，匚〕B .，匚 C. D . .■_? _ _ _ 9. k 、m 、n 为三整数，若 $、力=k f:一二， 广】=15 :，:八|=6?丨，则下列有关于 k 、m 、n 的大小关系，何者正确？（ ） A . k v m=n B . m=n v k C. m v n v k D . m v k v n
10.
实数a 在数轴上的位
置如图所示，贝U
化简后为（ ）
0 5 a 10
A . 7
B 7 C. 2a - 15 D .无法确定 11 .把
根号外的因式移入根号内得（
A . :
B . _ C. ■■■.'. D . — r
12 .已知 是正整数，则实数n 的最大值为（ A . 12 B . 11 C. 8 D . 3 A .第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D .第四象限
14 .已知 m=1+ ':，n=1 - 「:，则代数式 T _- .
的值为（
A . 9 B. 土 3 C. 3 D . 5
.填空题（共13小题）
15 .实数a 在数轴上的位置如图所示，则|a - 1|+」二'= ________________
”1 0 I
a ~壬
16 .计算：的结果是 ____________________
17 .化简：二（二-=）-玉-| 二-3| = ___________________ 18 .如果最简二次根式
与
是同类二次根式，则a= __________
19 .定义运算“@勺运算法则为：x@y=?「；，则（2@6） @8= _____________
有意义，则点P （a ，6在（
13 .若式子
20 .化简- 4X - X（ 1 - "■）0的结果是____________________ .
21 .计算:
22. 三角形的三边长分别为m 「」|广，j/r ，则这个三角形的周长为 cm . 23.
如果最简二次根式 _________________ 与/? 一!.■::一能合并，那么a=
.
24. 如图，矩形内两相邻正方形的面积分别是 2和6，那么矩形内阴影部分的面
积是 ________ .（结果保留根号）
T^+V^=——.
26
?计算：€:.、伍离用.'■%■.<= ----- .
27. ______________________ 已知a 、b 为有理数，m 、n 分别表示的整数部分和小数部分，
且 amn+bn 2
=1，贝U 2a+b= _____ .
三.解答题（共13小题）
28. 阅读下列材料，然后回答问题.
在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如
子，其实我们还可以将其进一步化简：
5 &Vs
V3~V3X V3_
3
2 =
一 1） = 2（齿-1）乓
以上这种化简的步骤叫做分母有理化. ;还可以用以下方法化简：
戈=3T 二萌）y =（7祀）怖-1）
^^+1
^3+1
（1）请用不同的方法化简一丁一 2
V5+V3
在数轴上的位置如图所示
样的式
=-1 （四）
（2
?参照（四）式得
2
V5+V3
3X3
（3）化简：阿霜石切苗"+屈亍隔
29. 计算：(1)
30. 先化简, 再求值: (,+1) — (— 一) 2
+| 1 -
：| —( n — 2) °+叮
尿.
3
--■
:-
_ ： 一-」，其中”「丄
31. 先化简, 再求值: r —上丁=，其中 x=1
^，y
=1—
>
32. 33. ■ - ，其中■< □.
x+2
x+2
已知 a=^—，求:1
':'：
的值.
2+V3 a-1 a 2
-a
先化简, 再求值: 34. 对于题目化简并求值：「+'—「、?，其中a= ”甲、乙两人的解答不同.
甲的解答: 乙的解答: + -」「=」—a= - a 一 ; a V a a a a 5 ,-+a- =a= a a 5 请你判断谁的答案是错误的，为什么? 35.—个三角形的三边长分别为 (1) 求它的周长(要求结果化简)； (2) 请你给一个适当的x 值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值.
36.我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了 形的三边长，求它的面积.用现 三斜求积术”即已知三角 代式
子表示即为：
二二…①(其中a b 、
7 1「2 v 12 f J + b ［a X b -( 积). 而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的海伦公式： s= 一一 「I ??②(其中 p= ［「.) (1) 若已知三角形的三边长分别为 5, 7，8,试分别运用公式①和公式②，计 算该三角形的面积s ； (2) 你能否由公式①推导出公式②？请试试. 37. 已知:一一：?「.［：，，求代数式x 2 —
xy+y 2
值.
38. 计算或化简：
(1)
c 为三角形的三边长，s 为面
a+b=m ， ab=n ，使得
+
?二m ，
「二=「，那么便有:
=「]—?.「二 士汀(a >b ).
例如：化简…二：.
______
解：首先把 -化为，这里m=7，n=12，由于4+3=7，4X 3=12 即 ■ +
=7， _X 二=.「
??? 「二；=寸_仝1= ： . ::; -=2+「.
由上述例题的方法化简：
—.
40.阅读材料:
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方， 如 3+.. -=_( 1+匚)[.善于思考的小明进行了以下探索： _ _ 设 a+b *i = ( m+n ':)2
(其中 a 、b 、m 、n 均为整数)，则有 a+b ■: =m 2
+2n 2
+2mn ■:. ???
a=m 2+2n 2，b=2mn .这样小明就找到了一种把类似 a+b 的式子化为平方式的 方法.
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1) 当a 、b 、m 、n 均为正整数时，若a+b 「；=“：_ ?；-，用含m 、n 的式子 分别表示a 、b ，得：a= _________ ，b= _______ ;
(2) __________________________________________________________ 利用所探索的结论，找一组正整数a 、b 、m 、n 填空： ________________________________ + _______ ■:=
+_ ) 2
；
(3) 若a+4
泛二且a 、m 、n 均为正整数，求a 的值？
39.先阅读下列的解答过程，然后再解答：
形如：「-的化简，只要我们找到两个数
a 、
b ，使
初二二次根式所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习
（含答案解析）
参考答案与试题解析
一?选择题（共14小题）
1. （2005?岳阳）下列二次根式中属于最简二次根式的是（）
A.「
B. U
C..二
D. i--：
【分析】B D选项的被开方数中含有未开尽方的因数或因式；C选项的被开方
数中含有分母；因此这三个选项都不是最简二次根式.
【解答】解：因为：B、二=4
C fa .
C、‘二；—
D、. _2:'.j .;
所以这三项都不是最简二次根式.故选A.
【点评】在判断最简二次根式的过程中要注意：
（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；
（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幕的指数等于或大于2，也不是最简二次根式.
2. （2013?娄底）式子『有意义的x的取值范围是（）
x-1
A. X》—=且XM 1
B. XM 1
C. - 一
D.工■' : : 一; 1 2 2 2
【分析】根据被开方数大于等于0,分母不等于0列式进行计算即可得解.
【解答】解：根据题意得，2X+1 >0且X—1M0，
解得X>—1且XM 1 .
2
故选A.
【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数.
二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行 合并. 合并同类二次根式的实质是合并同类二次根式的系数，根指数与被开方数不变.
A . 6到7之间 B. 7到8之间 C. 8到9之间 D . 9到10之间 【分析】先进行二次根式的运
算，然后再进行估算.
【解答】解：??? ；『 —:丄.=4+亍，而4V 亍V 5， ???原式运算的结果在8到9之间; 故选C .
【点评】本题考查了无理数的近似值问题，现实生活中经常需要估算, 是估算的一般方法，也是常用方法.
5. （2011??台）如果叮匸—_「=1 — 2a ，则（ ） A . a V B . a < C. a > D . a >
2 2 2 2
【分析】由已知得1-2a > 0,从而得出a 的取值范围即可.
【解答】解：1 -r
二 1 - 2a 》0， 解得a w 丄
2 故选：B.
【点评】本题考查了二次根式的化简与求值，是基础知识要熟练掌握.
6. （2009?荆门）若.■-：. 一-、二（x+y ） 2
,则 x - y 的值为（ ） A . - 1 B. 1 C. 2 D . 3
【分析】先根据二次根式的性质，被开方数大于或等于 0,可求出x 、y 的值，
再代入代数式即可?_
_
【解答】解:；宵=?一、4 一、沪（x+y ） 2
有意义，
??? x - 1>0 且 1 - x >0， 二 x=1，y= - 1，
? x - y=1 -（ - 1） =2. 故选：C.
【点评】本题主要考查了二次根式的意义和性质： 概念：式子 -（a > 0）叫二次根式；
性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义.
7.
（2012秋？麻城市校级期末）是整数，则正整数n 的最小值是（ ）
A . 4 B. 5 C. 6 D . 7 _ _
【分析】本题可将24拆成4X 6,先把〒化简为2.片，所以只要乘以6得出
4. （2008?芜湖）估计
夹逼法
二次根式经典难题 1. 当__________时，212x x ++-有意义。 2. 若1 1m m -++有意义，则m 的取值范围是 。 3. 当__________x 时，()21x -是二次根式。 4. 在实数范围内分解因式：429__________,222__________x x x -=-+=。 5. 若242x x =，则x 的取值范围是 。 6. 已知()222x x -=-，则x 的取值范围是 。 7. 化简：()2211x x x -+的结果是 。 8. 当15x ≤时，()215_____________x x -+-=。 9. 把1 a a -的根号外的因式移到根号内等于 。 10. 使等式()()1111x x x x +-=-+成立的条件是 。 11. 若1a b -+与24a b ++互为相反数，则()2005_____________a b -=。 12. 在式子()()()230,2,12,20,3,1,2x x y y x x x x y +=--++中，二次根式有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 14. 下列各式一定是二次根式的是（ ） A. 7- B. 32m C. 21a + D. a b 15. 若23a ，则()()2223a a ---等于（ ） A. 52a - B. 12a - C. 25a - D. 21a - 16. 若()424A a =+，则A =（ ） A. 24a + B. 22a + C. ()222a + D. ()224a + 18. 能使等式22x x x x =--成立的x 的取值范围是（ ） A. 2x ≠ B. 0x ≥ C. 2x D. 2x ≥ 19. 计算：()()222112a a -+-的值是（ ） A. 0 B. 42a - C. 24a - D. 24a -或42a - 20. 下面的推导中开始出错的步骤是（ ）
一.计算题： 1． (235+-）（235--）； 2. 1145 -－ 7 114-－7 32+ ； 3.（a 2m n －m ab mn ＋m n n m ） ÷a 2b 2m n ； 4.（a ＋b a ab b +-）÷（b ab a +＋ a a b b -－ab b a +） （a ≠b ）． 二.求值： 1.已知x ＝ 2 323-+，y ＝ 2 32 3+-，求 322342 3 2y x y x y x xy x ++-的
值． 2.当x ＝1－ 2 时，求 2 2 2 2 a x x a x x +-+＋ 2 2 2 22 2a x x x a x x +-+-＋221 a x +的值． 三.解答题： 1．计算（2 5＋1）（211 +＋ 3 21+＋431 +＋… ＋100 991 +）． 2.若x ，y 为实数，且y ＝ x 41-＋14-x ＋21 ．求
x y y x ++2－ x y y x +-2的值． 计算题： 1、【提示】将35-看成一个整体，先用平方差公式，再用完全平方公式． 【解】原式＝(35-)2 －2)2(＝5－215＋3－2＝6－215． 2、【提示】先分别分母有理化，再合并同类二次根式． 【解】原式＝1116)114(5-+－7 11) 711(4-+－ 79) 73(2--＝4＋ 11－11－ 7－3＋ 7＝1． 3、【提示】先将除法转化为乘法，再用乘法分配律展开，最后合并同类二次根式． 【解】原式＝（a 2 m n －m ab mn ＋
m n n m ）·2 21b a n m ＝2 1b n m m n ?－mab 1n m m n ? ＋ 2 2b ma n n m n m ? ＝21b －ab 1＋221b a ＝2221 b a ab a +-． 4、【提示】本题应先将两个括号内的分式分别通分，然后分解因式并约分． 【解】原式＝b a a b b ab a +-++÷) )(() )(()()(b a b a ab b a b a b a b b b a a a -+-+-+-- ＝ b a b a ++÷) )((2 222b a b a ab b a b ab b ab a a -++---- ＝
八年级数学竞赛练习题 一、选择题： 1.如果a ＞b ，则2a -b 一定是（ ） A.负数 B.正数 C.非负数 D.非正数 2.n 是某一正整数，由四位学生分别代入代数式n 3-n 算出的结果如下，其中正确的结果是 （ ） A.337414 B.337415 C.337404 D.337403 3.三进位制数201可表示为十进位制数21023031319?+?+?=，二进位制数1011可表示为十进位制数32101202121211?+?+?+?=，现有三进位制数a=221，二进位制数b=10111，则a ，b 的大小关系是（ ） A.a ＞b B.a=b C.a ＜b D.不能比较 4.若2x+5y+4z=6，3x+y-7z=-4，则x+y-z 的值为（ ） A.-1 B.0 C.1 D.4 5.过点P （-1，3）作直线，使它与两坐标轴围成的三角形面积为5，这样的直线可以作（ ） A.1条 B.2 条 C.3条 D.4条 6.已知731 -的整数部分是a ，小数部分是b ，则a 2 +（1+7）ab=（ ） A.12 B.11 C.10 D.9 7.某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，单片软件至少买3片，盒装磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有（ ） A.5种 B.6种 C.7种 D.8种 8.如图，是一个边长为2的正方体，现有一只蚂蚁要从一条棱的中点A 处沿正方体的表面到C 处，则它爬行的最短线路长是（ ） A.5 B.4 C.13 D. 17 二、填空题: 9.如果整数a(a ≠2)使得关于x 的一元一次方程ax+5=a 2+2a+2x 的解是整数，则满足条件 的所有整数a 的和是__________. 10. 对于所有的正整数k ，设直线kx+(k+1)y-1=0与两坐标轴所围成的直角三角形的面积为S k ，则 S 1+S 2+S 3+…+S 2006= ．
《二次根式》分类练习题 二次根式的定义： 【例１】下列各式 其中是二次根式的是＿_＿_＿＿_＿_（填序号). 举一反三: １、下列各式中,一定是二次根式的是( ） A B C D 2__＿＿__个 【例2 有意义,则x 的取值范围是 .［来源:学*科＊网Z*X*X*K ］ 举一反三: 1、使代数式 4 3 --x x 有意义的x 的取值范围是（ ) A 、x ＞3 ??B 、ｘ≥３ C 、 x>4 ??Ｄ 、x ≥３且x ≠４ 有意义的ｘ的取值范围是 3、如果代数式mn m 1+ -有意义，那么，直角坐标系中点P(m,n ）的位置在（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 Ｃ、第三象限 D 、第四象限 【例3】若y ＝5-x +x -5+2009，则x+y ＝ 举一反三： 2 ()x y =+,则x -ｙ的值为( )
A ．-1 B ．1 Ｃ.2 D ．3 2、若x 、y 都是实数，且ｙ＝4x 233x 2+-+-,求x ｙ的值 3、当a 1取值最小,并求出这个最小值。 已知a 1 2 a b + +的值。 若3的整数部分是ａ,小数部分是b,则=-b a 3 。 若17的整数部分为x ，小数部分为y,求y x 1 2+ 的值． 知识点二：二次根式的性质 【例4】若()2 240a c --=，则= +-c b a ． 举一反三: 1、若0)1(32 =++-n m ,则m n +的值为 。 ２、已知y x ,为实数，且()02312 =-+-y x ,则y x -的值为( ) A ．３ ? B ．– ３? C.1? Ｄ．– 1 ３、已知直角三角形两边x 、y 的长满足｜ｘ2－4｜+652+-y y =０，则第三边长为＿__＿＿＿. ４、若 1 a b -+互为相反数,则() 2005 _____________ a b -=。 （公式)0((2 ≥=a a a 的运用) 【例5】 化简: 21a -+的结果为( ) A 、4—2a B 、０ Ｃ、2a —4 D 、4
八年级数学下册二次根式练习题及答案九年级数学科 检测范围：二次根式完卷时间：45分钟满分：100分 一、填空题。 1、当x ________时，2?x在实数范围内有意义。 2、计算： =________。 3、化简： = _______。 4、计算：2×=________。 5、化简：=_______。 6、计算：÷ 7、计算：-20-5=_______。 8化简： = ______。 1 2 35 =_______。 二、选择题。、x为何值时， x 在实数范围内有意义 x?1 A、x > 1 B、x ≥ 1 C、x 10a = - a ，则a的取值范围是
A、 a>0 B、 a 11、若a?4=，则的值为 A、B、1C、100 D、196 12、下列二次根式中，最简二次根式的是 A、17 B、13 C、±17 D、±13 2 ） 14、下列计算正确的是 A、2+ = B、2+=22 C、2= D、 15、若x A、-1B、1C、2x-D、5-2x 16、计算的结果是 A、2+1 B、3 C、1 D、-1 三、解答题。 17、计算： - 18、计算：00·008 19、利用计算器探索填空： 44?=_______； 444?8=_______； 444444?88=_______；…… 由此猜想： n个8） =__________。444???44?88??? 1、≤、、、65、、、、-二、选择题 9、A 10、D 11、C 12、B 13、B 14、C 15、D 16、 A 三、解答题 17、解：原式=2- 18、解：原式=[]200·
=00·=-22 19、解：；66；666；……；666…6。 20、解：∵x+ =，∴= 10， 121∴x+2，∴x+=8， xx 2 22 - + =-2 1 x1x 1221∴ = x+2， xx ∴x- = ±6。 1 x 5 初中数学二次根式测试题 判断题：． 1．2＝2．……． ?1?x2 是二次根式．…………… 2?122＝2?2
《二次根式》单元测试题 （一）判断题：（每小题1分，共5分） 1．ab 2)2(-＝－2ab ．…………………（ ）【提示】2)2(-＝|－2|＝2．【答案】×． 2．3－2的倒数是3＋2．（ ）【提示】 2 31 -＝4323-+＝－（3 ＋2）．【答案】×． 3．2)1(-x ＝2)1(-x ．…（ ）【提示】2)1(-x ＝|x －1|，2)1(-x ＝x －1（x ≥1）．两式相等，必须x ≥1．但等式左边x 可取任何数．【答案】×． 4．ab 、 3 1 b a 3、 b a x 2-是同类二次根式．…（ ）【提示】3 1 b a 3、 b a x 2- 化成最简二次根式后再判断．【答案】√． 5．x 8， 3 1 ，29x +都不是最简二次根式．（ ）29x +是最简二次根式．【答案】×． （二）填空题：（每小题2分，共20分） 6．当x __________时，式子 3 1 -x 有意义．【提示】x 何时有意义？x ≥0．分式何时有意义？分母不等于零．【答案】x ≥0且x ≠9． 7．化简－ 8 15 27102 ÷3 1225 a ＝_．【答案】－2a a ．【点评】注意除法法则和积的算术平方根性质的运用． 8．a －12-a 的有理化因式是____________．【提示】（a －12-a ）（________）＝a 2－22)1(-a ．a ＋12-a ．【答案】a ＋12-a ． 9．当1＜x ＜4时，|x －4|＋122+-x x ＝________________． 【提示】x 2－2x ＋1＝（ ）2，x －1．当1＜x ＜4时，x －4，x －1是正数还是负数？ x －4是负数，x －1是正数．【答案】3． 10．方程2（x －1）＝x ＋1的解是____________．【提示】把方程整理成ax ＝b 的形式后，a 、b 分别是多少？12-，12+．【答案】x ＝3＋22． 11．已知a 、b 、c 为正数，d 为负数，化简 2 2 22d c ab d c ab +-＝______．【提 示】22d c ＝|cd |＝－cd ． 【答案】ab ＋cd ．【点评】∵ ab ＝2)(ab （ab ＞0），∴ ab －c 2d 2＝（cd ab +）（cd ab -）．
永川中学片区初2019级桂山杯数学竞赛试题 （总分：100分时间：100分钟） 考号：班级：姓名： 一、选择题（共10小题，每小题4分） 1．下列计算中，正确的是（） A ． B ． C ． D ． 2．已知一次函数()2 2m -1- + =m x y,函数y随着x的增大而减小，且其图象不经过第一象限， 则m的取值范围是（） A. 2 1 > m B.2 ≤ m C.2 2 1 < 八年级二次根式测试题及 答案 Prepared on 22 November 2020 一、选择题 1． 下列式子一定是二次根式的是（ ） A ． 2--x B ．x C ．22+x D ．22-x 2．若b b -=-3)3(2，则（ ） A ．b>3 B ．b<3 C ．b ≥3 D ．b ≤3 3．若13-m 有意义，则m 能取的最小整数值是（ ） A ．m=0 B ．m=1 C ．m=2 D ．m=3 4．若x<0，则x x x 2 -的结果是（ ） A ．0 B ．—2 C ．0或—2 D ．2 5．下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ） A ．14 B ．48 C ．b a D ．44+a 6．如果)6(6-=-?x x x x ，那么（ ） A ．x ≥0 B ．x ≥6 C ．0≤x ≤6 D ．x 为一切实数 7．小明的作业本上有以下四题： ①24416a a =；②a a a 25105=?；③a a a a a =?=112；④a a a =-23。 做错的题是（ ） A ．① B ．② C ．③ D ．④ 8．化简6151+的结果为（ ） A ．3011 B ．33030 C ．30330 D ．1130 9．若最简二次根式 a a 241-+与的被开方数相同，则a 的值为（ ） A ．4 3-=a B ．34=a C ．a=1 D ．a= —1 10．化简 )22(28+-得（ ） A ．—2 B ． 22- C ．2 D ． 224- 二、填空题 11．①=-2)3.0( ；②=-2)52( 。 12．二次根式 31 -x 有意义的条件是 。 13．若m<0，则332||m m m ++ = 。 14．1112-=-?+x x x 成立的条件是 。 15．比较大小： 16．=?y xy 82 ，=?2712 。 17．计算3393a a a a -+= 。 18．23231+-与的关系是 。 19．若35-=x ，则562++x x 的值为 。 20．化简??? ? ??--+1083114515的结果是 。 三、解答题 21．求使下列各式有意义的字母的取值范围： （1）43-x （2）a 83 1- （3）42+m （4）x 1- 22．化简：（1） )169()144(-?- （2）22531- （3）5102421?- （4）n m 218 23．计算： （1）21437???? ??- （2）225241???? ??-- （3）)459(4 3332-? （4）??? ??-???? ??-1263 12817 （5）2484554+-+ （6）2332326-- 四、综合题 24．若代数式| |112x x -+有意义，则x 的取值范围是什么 二次根式基础测试题含答案 一、选择题 1．9≤，则x 取值范围为（ ） A ．26x ≤≤ B ．37x ≤≤ C ．36x ≤≤ D ．17x ≤≤ 【答案】A 【解析】 【分析】 先化成绝对值，再分区间讨论，即可求解． 【详解】 9， 即：23579x x x x -+-+-+-≤， 当2x <时，则23579x x x x -+-+-+-≤，得2x ≥，矛盾； 当23x ≤<时，则23579x x x x -+-+-+-≤，得2x ≥，符合； 当35x ≤<时，则23579x x x x -+-+-+-≤，得79≤，符合； 当57x ≤≤时，则23579x x x x -+-+-+-≤，得6x ≤，符合； 当7x >时，则23579x x x x -+-+-+-≤，得 6.5x ≤，矛盾； 综上，x 取值范围为：26x ≤≤， 故选：A ． 【点睛】 本题考查二次根式的性质和应用，一元一次不等式的解法，解题的关键是分区间讨论，熟练运用二次根式的运算法则． 2．a 的值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 【答案】D 【解析】 【分析】 根据两最简二次根式能合并，得到被开方数相同，然后列一元一次方程求解即可． 【详解】 根据题意得，3a-8=17-2a ， 移项合并，得5a=25， 系数化为1，得a=5． 故选：D ． 【点睛】 本题考查了最简二次根式，利用好最简二次根式的被开方数相同是解题的关键． 3．下列各式计算正确的是（ ） A 1082 ==-= B ． ()() 236= =-?-= C 115236==+= D ．54 ==- 【答案】D 【解析】 【分析】 根据二次根式的性质对A 、C 、D 进行判断；根据二次根式的乘法法则对B 进行判断． 【详解】 解：A 、原式，所以A 选项错误； B 、原式，所以B 选项错误； C 、原式C 选项错误； D 、原式54==-，所以D 选项正确． 故选：D ． 【点睛】 本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 4．已知n 是整数，则n 的最小值是（ ）． A ．3 B ．5 C ．15 D ．25 【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】 解：=Q 也是整数， ∴n 的最小正整数值是15，故选C ． 5．在下列算式中：= ②=； ③42 ==；=，其中正确的是（ ） A ．①③ B ．②④ C ．③④ D ．①④ 【答案】B 初 二 数 学 竞 赛 试 题 启动你聪明的头脑，你一定能出色完成下面的任务，相信你是最棒的！ 2.下列四个实数中是无理数的是 ( ) （A ）09.0 (B)310 (C) 7 (D)3.14 3.下列说法正确的是（ ） （A ）有理数和无理数都可以用数轴上的点表示。（B ）无限小数都是无理数。 （C ）有理数都是有限小数。 （D ）无理数包含正无理数，0和负无理数。 4.在 1.414，—3 ， 13 2 ，5∏ ，0.101001000100001.。。。。。，39，9中， 无理数的个数有（ ） （Ａ）１个 （Ｂ）２个 （Ｃ）３个 （Ｄ）４个 ５.如图，一棵大树在一次台风中从离地面３米处折断倒下，倒下的树干与地面成３０度角，这棵树在折断前的高度是（ ）米。 （Ａ）７ （Ｂ）９（Ｃ）２５（Ｄ）３０ ６．等腰三角形的周长是４０厘米，以一边为边作等边三角形，它的周长是４５厘米，那么这个等腰三角形的底边长为（ ）厘米 （Ａ）１０ （Ｂ）１５ （Ｃ）１０或１２.５ （Ｄ）１０或１５ ７.一个边长分别为６,８,１０的三角形，最短边上的高为（ ） Ａ.６ Ｂ.８ Ｃ.１０ Ｄ.４.８ ８.－８的立方根与４的算数平方根的和是（ ） Ａ．４ Ｂ．－４ Ｃ．０ Ｄ．０或－４ ９.如图已知长方形ＡＢＣＤ中，ＡＢ=３ｃｍ，ＡＤ=９ｃｍ，将此长方形折叠，使点Ｂ与点Ｄ重合，折痕为ＥＦ，则△ABE 的面积为（ ）cm 2 A .6 B.8 C.10 D.12 10.16的平方根是（ ） （A ）4 （B ）±4 （C ）2 （D ）±2 二．耐心填一填，一锤定音：（每题3分，共30分） 11. 12.如图：点P 是∠AOB 的平分线上任一点，PA ⊥OA 于点A ，PB ⊥OB 于点B ，PA=3，OB=4，则四边形的面积为___________. 13.设a 和b 互为相反数，c 和d 互为倒数，m 的倒数等于它本身，则 m cd +(a+b)m-∣m ∣=___________________. 14.如图所示：∠AOB 内一点P,C.D 分别是P 关于OA,OB 的对称点，CD 交OA 于点M,交OB 于点N ，若CD=5cm ，则△PMN 的周长为______. 15.已知一个Rt △的两边长为3和4，则第三边长的平方是____________. 16.直角三角形的一条边长为11，另两边为自然数，则三角形的周长为_______. 17.已知Rt △ABC 中，∠C=90，若a+b=14cm,c=10cm,则三角形的面积为_____. 18.若33b a =0，则a 与b 的关系是_____________. 19.如图，把两块含有30°角的相同的三角尺如图所示摆放，使点C ，B ，E 在同一条直线上，连接CD,若AC=6cm,则△BCD 的面积是___________. 20.我国古代数学家赵爽的“勾股方圆图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成一个大正方形。（如图所示）如果大正方形的面积是13，小正 （易错题精选）初中数学二次根式难题汇编及答案解析 一、选择题 1．实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，且|a|＞|b|，则化简2a a b -+的结果为（ ） A ．2a+b B ．-2a+b C ．b D ．2a-b 【答案】C 【解析】 试题分析：利用数轴得出a+b 的符号，进而利用绝对值和二次根式的性质得出即可： ∵由数轴可知，b ＞0＞a ，且 |a|＞|b|， ()2a a b a a b b +=-++=. 故选C ． 考点：1.绝对值；2.二次根式的性质与化简；3.实数与数轴． 2．已知实数a 满足20062007a a a --=，那么22006a -的值是（ ） A ．2005 B ．2006 C ．2007 D ．2008 【答案】C 【解析】 【分析】 先根据二次根式有意义的条件求出a 的取值范围，然后去绝对值符号化简，再两边平方求出22006a -的值． 【详解】 ∵a-2007≥0， ∴a ≥2007， ∴20062007a a a --=可化为a 2006a 2007a -+-=， 20072006a -=， ∴a-2007=20062， ∴22006a -=2007． 故选C ． 【点睛】 本题考查了绝对值的意义、二次根式有意义的条件，求出a 的取值范围是解答本题的关键． 3．下列计算中，正确的是( ) A ．35344= B 1a ab b b =(a ＞0，b ＞0) C ．5539335777?= D ．()()22483248324832670÷? +-= 【答案】B 【解析】 【分析】 根据二次根式的乘法法则：a ?b ＝ab （a≥0，b≥0），二次根式的除法法则：a b ＝a b （a≥0，b ＞0）进行计算即可． 【详解】 A 、534 ＝532，故原题计算错误； B 、 a a b b ÷＝1a b ab ?＝1b （a ＞0，b ＞0），故原题计算正确； C 、559377?＝368577?＝6857 ，故原题计算错误； D 、()()22483248324832÷? +-＝32 ×165＝245，故原题计算错误； 故选：B ． 【点睛】 此题主要考查了二次根式的乘除法，关键是掌握计算法则． 4．下列式子为最简二次根式的是（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】 解：选项A ，被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式， A 符合题意； 选项B ，被开方数含能开得尽方的因数或因式，B 不符合题意； 选项C ，被开方数含能开得尽方的因数或因式， C 不符合题意； 选项D ，被开方数含分母， D 不符合题意， 故选A ． 填空题 1. 使式子x 4 有意义的条件是。 【答案】x≥4 【分析】二次根号内的数必须大于等于零，所以x-4≥ 0，解得x≥ 4 2. 当__________时，x 2 1 2 x 有意义。 【答案】 -2≤x≤ 1 2 【分析】 x+2≥ 0， 1-2x≥ 0 解得 x≥－ 2， x≤ 1 12 3. 若m有意义，则 m 的取值范围是。 m 1 【答案】 m≤0且m≠﹣1 【分析】﹣ m≥0 解得 m≤ 0，因为分母不能为零，所以m＋1≠ 0 解得 m≠﹣ 1 4.当 x __________ 时， 1 x 2 是二次根式。 【答案】 x 为任意实数 【分析】﹙1－ x﹚2是恒大于等于0 的，不论 x 的取值，都恒大于等于0，所以 x 为任意实数 5.在实数范围内分解因式： x49 __________, x2 2 2x 2__________ 。【答案】﹙x 2＋ 3﹚﹙ x＋3﹚﹙ x－3﹚，﹙ x－ 2 ﹚2 【分析】运用两次平方差公式：x 4－ 9＝﹙ x 2＋ 3﹚﹙ x 2－3﹚＝﹙ x 2＋ 3﹚﹙ x＋ 3 ﹚﹙x － 3 ﹚，运用完全平方差公式：x 2－ 2 2 x＋ 2＝﹙ x－ 2 ﹚2 6.若 4 x22x ，则 x 的取值范围是。 【答案】 x≥0 【分析】二次根式开根号以后得到的数是正数，所以2x≥ 0，解得 x≥0 7.已知x 2 2 x ，则x的取值范围是。2 【答案】 x≤2 【分析】二次根式开根号以后得到的数是正数，所以2－ x≥0，解得 x≤ 2 8.化简： x2 2 x 1 x p 1的结果是。【答案】 1 －x 【分析】x2 2 x 1 ＝(x1)2 2 ，因为 x 1 ≥0，x＜1所以结果为1－x 9.当1x p5时，x 2 x 5 _____________ 。1 二次根式测试题(1) 时间：45分钟 分数：100分 一、选择题（每小题2分，共20分） 1． 下列式子一定是二次根式的是（ ） A ．2--x B ．x C ．22+x D ．22-x 2．若b b -=-3)3(2，则（ ） A ．b>3 B ．b<3 C ．b ≥3 D ．b ≤3 3．若13-m 有意义，则m 能取的最小整数值是（ ） A ．m=0 B ．m=1 C ．m=2 D ．m=3 4．若x<0，则x x x 2 -的结果是（ ） A ．0 B ．—2 C ．0或—2 D ．2 5．下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ） A ．14 B ．48 C ．b a D ．44+a 6．如果)6(6-= -?x x x x ，那么（ ） A ．x ≥0 B ．x ≥6 C ．0≤x ≤6 D ．x 为一切实数 7．小明的作业本上有以下四题： ① 24416a a =；②a a a 25105=?；③a a a a a =?=1 12；④a a a =-23.做错的题是（ ） A ．① B ．② C ．③ D ．④ 8．化简 6 1 51+的结果为（ ） A ． 3011 B ．33030 C ．30 330 D ．1130 9．若最简二次根式a a 241-+与的被开方数相同，则a 的值为（ ） A ．43- =a B ．3 4 =a C ．a=1 D ．a= —1 10．化简)22(28+- 得（ ） A ．—2 B ．22- C ．2 D ． 224- 二、填空题（每小题2分，共20分） 11．①=-2)3.0( ；②=-2 )52( . 12．二次根式 3 1-x 有意义的条件是 . 13．若m<0，则332||m m m ++= . 14．1112-= -?+x x x 成立的条件是 . 15．比较大小： . 16．=?y xy 82 ，=?2712 . 17．计算3 393a a a a - += . 18． 232 31+-与的关系是 . 19．若35-=x ，则562++x x 的值为 . 20．化简? ?? ? ??--+ 1083114515的结果是 . 三、解答题（第21~22小题各12分，第23小题24分，共48分） 21．求使下列各式有意义的字母的取值范围： （1）43-x （2）a 831- （3）42+m （4）x 1- 22．化简： （1）)169()144(-?- （2）2253 1 - 八年级第二学期数学竞赛试题 （考试时间：100分钟 试卷总分：120分） 一、选择题（本小题共12小题，每小题3分，共30分）下列各题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请将正确答案的字母代号填写在下面的表格中。 1、一直角三角形两边分别为3和5，则第三边为 A 、4 B 、34 C 、4或34 D 、2 2、用两个全等的等边三角形，可以拼成下列哪种图形 A 、矩形 B 、菱形 C 、正方形 D 、等腰梯形 3、菱形的面积为2，其对角线分别为x 、y ，则y 与x 的图象大致为 A B C D 4、△ABC 的三边长分别为、b 、c ，下列条件：①∠A=∠B －∠C ；②∠A ：∠B ：∠C=3：4：5；③；④，其中能判断△ABC 是直角三角形的个数有 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 5、王英在荷塘边观看荷花，突然想测试池塘的水深，她把一株竖直的荷花（如右图）拉到岸边，花柄正好与水面成600夹角，测得AB 长60cm ，则荷花处水深OA 为 A 、120cm B 、360cm C 、60cm D 、cm 320 第7题图 第8题图 第9题图 6、如图，□ABCD 的对角线AC 、BD 相交于O ，EF 过点O 与AD 、BC 分别相交于E 、F ，若AB=4，BC=5，OE=,那么四边形EFCD 的周长为 A 、16 B 、14 C 、12 D 、10 7、如图，把菱形ABCD 沿AH 折叠，使B 点落在BC 上的E 点处，若∠B=700，则∠EDC 的大小为 A 、100 B 、150 C 、200 D 、300 8、下列命题正确的是 A 、同一边上两个角相等的梯形是等腰梯形； B 、一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形； C 、如果顺次连结一个四边形各边中点得到的是一个正方形，那么原四边形一定是正方形。 D 、对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半。 9、如图，已知点A 是函数y=x 与y=的图象在第一象限内的交点， 点B 在x 轴负半轴上，且OA=OB ，则△AOB 的面积为 A ．2 B ． C ．2 D ．4 10、如图，在一个由4×4个小正方形组成的正方形网格中， 阴影部分面积与正方形ABCD 的面积比是 A. 3 ：4 B. 5 ：8 C. 9 ：16 D. 1 ：2 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 11、若方程x m x x -= --223无解，则m= 。 12、如图，己知直线b kx y +=图象与反比例函数x k y =图 象交于A （1，m ）、B （—4，n ），则不等式b kx +＞x k 的 解集为 。 第14题图 13、如图，每一个图形都是由不同个数的全等的小等腰梯形拼成的，梯形上、下底及腰 长如图，依此规律第10个图形的周长为 。 …… 第一个图 第二个图 第三个图 14、如图，矩形ABCD 对角线AC 经过原点O ，B 点坐标为（―1，―3）， 若一反比例函数x k y =的图象过点D ，则其解析式为 。 第16题图 三、解答题（共28分） 15、（本题6分）有一道题：“先化简，再求值：4 14422 2 2-÷??? ??-++-x x x x x ，其中3-=x ．”A B O y x A C D 二次根式 单元测试题 一、选择题 1、下列判断⑴12 3 和1 3 48 不是同类二次根式；⑵ 1 45 和1 25 不是同类二次根式；⑶8x 与 8 x 不是同类二次根式，其中错误的个数是（ ） A 、3 B 、2 C 、1 D 、0 2、如果a 是任意实数，下列各式中一定有意义的是（ ） A 、 a B 、 1 a 2 C 、3－a D 、－a 2 3、下列各组中的两个根式是同类二次根式的是（ ） A 、52x 和3x B 、12ab 和 1 3ab C 、x 2y 和xy 2 D 、 a 和1a 2 4、下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A 、8x B 、x 2－3 C 、x －y x D 、3a 2b 5、在27 、 112 、11 2 中与 3 是同类二次根式的个数是（ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 6、若a<0，则|a 2 －a|的值是（ ） A 、0 B 、2a C 、2a 或－2a D 、－2a 7、把(a －1) 1 1－a 根号外的因式移入根号内，其结果是（ ） A 、1－a B 、－1－a C 、a －1 D 、－a －1 8、若 a+b 4b 与3a ＋b 是同类二次根式，则a 、b 的值为（ ） A 、a=2、b=2 B 、a=2、b=0 C 、a=1、b=1 D 、a=0、b=2 或a=1、b=1 9、下列说法错误的是（ ） A 、(－2)2的算术平方根是2 B 、 3 － 2 的倒数是 3 + 2 C 、当2 二次根式测试题 时间：45分钟 分数：100分 姓名： 一、选择题（每小题2分，共20分） 1． 下列式子一定是二次根式的是（ ） A ．2--x B ．x C ．22+x D ．22 -x 2．若b b -=-3)3(2，则（ ） A ．b>3 B ．b<3 C ．b ≥3 D ．b ≤3 3．若13-m 有意义，则m 能取的最小整数值是（ ） A ．m=0 B ．m=1 C ．m=2 D ．m=3 4．若x<0，则x x x 2 -的结果是（ ） A ．0 B ．—2 C ．0或—2 D ．2 5．下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ） A ．14 B ．48 C ． b a D ．44+a 6．如果)6(6-=-?x x x x ，那么（ ） A ．x ≥0 B ．x ≥6 C ．0≤x ≤6 D ．x 为一切实数 7．小明的作业本上有以下四题： ①24416a a =；②a a a 25105=?；③a a a a a =?=112；④a a a =-23。做错的题是（ ） A ．① B ．② C ．③ D ．④ 8．化简6 151+的结果为（ ） A ．3011 B ．33030 C ．30 330 D ．1130 9．若最简二次根式a a 241-+与的被开方数相同，则a 的值为（ ） A ．43-=a B ．3 4=a C ．a=1 D ．a= —1 10．化简)22(28+-得（ ） A ．—2 B ．22- C ．2 D ． 224- 二、填空题（每小题2分，共20分） 11．①=-2)3.0( ；②=-2 )52( 。 12．二次根式31 -x 有意义的条件是 。 13．若m<0，则332||m m m + += 。 14．1112-=-?+x x x 成立的条件是 。 15．比较大小： 16．=?y xy 82 ，=?2712 。 17．计算3 393a a a a -+= 。 18．23231+-与的关系是 。 19．若35-=x ，则562++x x 的值为 。 20．化简??? ? ??--+1083114515的结果是 。 三、解答题（第21~22小题各12分，第23小题24分，共48分） 21．求使下列各式有意义的字母的取值范围： （1）43-x （2） a 831- （3）42+m （4）x 1- 22．化简： （1）)169()144(-?- （2）22531- （3）5102421?- （4）n m 2 18 八年级数学竞赛试卷 总分100分 班级 姓名 成绩 一、精心选一选，把唯一正确的答案填入括号内!(每题3分，共30分) 1、在下列数中，无理数的个数为 （ ） －0.101001，7错误！未找到引用源。， 7 22 , 3 27 ，2 π - ，32-，0，16- A 、1个 B 、2个 C 、 3个 D 、 4个 2、下列计算正确的是 （ ） A 、5 3 2 x x x =+ B 、6 3 2 x x x =? C 、6 2 3)(x x =- D 、2 36x x x =÷ 3、有下列说法： （1）有理数和数轴上的点一一对应；（2）不带根号的数一定是有理数；（3）负数没有立方根；（4）17-是17的平方根。 其中正确的说法有 （ ） A 、0个 B 、 1个 C 、2个 D 、3个 4、下列计算正确的是 ( ) A 、2x 3b 2 ÷3xb= 23x 2b; B 、m 6n 6÷m 3n 4·2m 2n 2=12 m C 、12xy·a 3b÷(0.5a 2y)=14 xa 2; D 、(ax 2 +x)÷x=ax 5、下列是因式分解的是 （ ） A 、1)1(41442+-=+-a a a a B 、)4)(4(42 2y x y x y x -+=- C 、222)(y x y x +=+ D 、 )1)(1(1)(2-+=-xy xy xy 6、） ＝（）（－）（－计算： 33 1 2000 1999? A 、 31 B 、3 C 、 3 1 - D 、-3 7、如果()()n mx x x x +-=+-2 2423，那么m 、n 的值分别是 （ ） A 、2，12 B 、－2，12 C 、2，－12 D 、－2，－12 8、数n 的平方根是x ，则n+1的算术平方根是 （ ） A 、1+x B 、12+x C 、x+1 D 、不能确定 9、如果()()n x m x -+中不含x 的项，则m 、n 满足 （ ） 0.,.,0.,.=-===n D n m C m B n m A 10、计算2(1)(1)a a a -+-的结果为 （ ） A 、1 B 、1- C 、221a + D 、221a - 二、认真填一填。把答案写在横线上，相信你能填对的！(每题3分，共30分） 11 有意义，则x 的取值范围是 12、324 2 (2)(4)xy z xy -÷-= 13、若2 21x kx ++是完全平方式，则k= 14、计算：2 199219911993-?= 15、观察下列等式：2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 345;51213;72425;94041+=+=+=+=…按照这样的规律，第七个等式是： 16、已知622=+ab b a ，ab=2则a+b= 17、 的结果是＿＿＿＿＿ 18、已知31=+a a ，则22 a a +的值是八年级二次根式测试题及答案
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