二次函数最值问题
二次函数2
(0)y ax bx c a =++≠ 是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础．在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量x 取任意实数时的最值情况(当0a >时，函数在2b x a =-处取得最小值244ac b a -，无最大值；当时0a <，函数在2b x a
=-处取得最大值2
44ac b a
-，无最小值． 本节我们将在这个基础上继续学习当自变量x 在某个范围内取值时，函数的最值问题．在高中阶段，求二次函数的最值问题只需要记住“三点一轴”，即题目给出的x 的取值范围区间的两个端点，二次函数的顶点，以及二次函数的对称轴，注意结合图像学会用数形结合解题。高中阶段的二次函数最值问题可以分为一下三个方面：1.定轴定区间。2.动轴定区间。3.定轴动区间。下面我们来看例题。
高中数学-二次函数定区间上最值问题 一、二次函数知识点回顾 （一）二次函数的概念： 一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． （二）二次函数2y ax bx c =++的性质 1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，． 当2b x a <- 时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大； 当2b x a =-时，y 有最小值244ac b a -． 2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，． 当2b x a <- 时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小； 当2b x a =-时，y 有最大值244ac b a -． （三）二次函数基本形式： 1、2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。
3. ()2 y a x h =-的性质： 左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+的性质： 二、二次函数闭区间上的最值解题思路分析 一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况. 如设： f x a x b xc a ()() =++≠2 0，求f x ()在x m n ∈[]，上的最大值与最小值。 方法思路分析：将f x ()配方，得顶点为--?? ???b a a c b a 2442，、对称轴为x b a =- 2 当a >0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m ，n]上 f x ()的最值：
二次函数在闭区间上的最值 一、 知识要点： 一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况. 设f x ax bx c a ()()=++≠2 0，求f x ()在x m n ∈[]，上的最大值与最小值。 分析：将f x ()配方，得顶点为- -?? ???b a ac b a 2442 ，、对称轴为x b a =-2 当a >0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m ，n]上f x ()的最值： （1）当[] -∈b a m n 2，时，f x ()的最小值是 f b a ac b a f x -?? ???=-2442 ，()的最大值是f m f n ()()、中的较大者。 （2）当[] - ?b a m n 2，时 若-< b a m 2，由f x ()在[] m n ，上是增函数则f x ()的最小值是f m ()，最大值是f n () 若n b a <-2，由f x ()在[] m n ，上是减函数则f x ()的最大值是f m ()，最小值是f n () 当a <0时，可类比得结论。 二、例题分析归类： （一）、正向型 是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。 1. 轴定区间定 二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。 例1. 函数y x x =-+-2 42在区间[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。 练习. 已知232 x x ≤，求函数f x x x ()=++2 1的最值。 2、轴定区间变 二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的 最值”。 例2. 如果函数f x x ()()=-+112 定义在区间[] t t ，+1上，求f x ()的最值。 例3. 已知2 ()43f x x x =--+，当[1]()x t t t ∈+∈R ，时，求()f x 的最值． 对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下： 当a >0时??? ???? +<-+≥-=) )((212)())((2 12)()(21max 如图如图，，n m a b n f n m a b m f x f ?? ? ? ? ? ??? <-≤-≤->-=)(2)()(2)2()(2)()(543min 如图如图如图，，，m a b m f n a b m a b f n a b n f x f
二次函数在给定区间上的最值问题 【学前思考】 二次函数在闭区间上取得最值时的X ,只能是其图像的顶点的横坐标或给定区间的端点?因此，影响二次函数在闭区间上的最值主要有三个因素：抛物线的开口方向、对称轴以及给定区间的位置.在这三大因素中，最容易确定的是抛物线的开口方向(与二次项系数的正负有关)，而关于对称轴与给定区间的位置关系的讨论是解决二次函数在给定区间上的最值问题的关键.本节，我 们将以若干实例说明解决此类问题的具体方法. 【知识要点&例题精讲】 二次函数在给定区间上的最值问题，常见的有以下三种类型，分别是： CaSe l、给定区间确定，对称轴位置也确定 说明：此种类型是较为简单的一种，只要找到二次函数的对称轴，画出其函数 图像，再将给定区间标出，那么二次函数的最值一目了然. 解法：若二次函数的给定区间是确定的，其对称轴的位置也确定，则要求二次函数在给定区间上的最值，只需先考察其对称轴的横坐标是否在给定区间内 (i) 当其对称轴的横坐标在给定区间内时，二次函数在给定区间上不具有单调性，此时其一个最值在顶点处取得，另一个最值在离对称轴的横坐标较远的端点处取得；(ii )当其对称轴的横坐标不在给定区间内时，二次函数在给定区间上具有单调性，此时可利用二次函数的单调性确定其最值. 例1、二次函数y = χ2-2χ+3在闭区间［-1,2】上的最大值是_________ . 例2、函数f(X)= -X2 +4x-2在区间【0,3】上的最大值是_________ 最小值是
例3、已知2χ2≤3x，则函数f(χ)=χ2+χ+1的最大值是 ____________ ,最小值是 CaSe n、给定区间确定，对称轴位置变化 说明：此种类型是非常重要的，是考试必考点，主要是讨论二次函数的对称轴与给定区间的位置关系，一般需要分对称轴在给定区间的左侧、内部以及右侧三种情况进行分类讨论，然后根据不同情况求出相应的最值. 解法：若二次函数的给定区间是确定的，而其对称轴的位置是变化的，则要求 二次函数y=aχ2?bx ?c ( a =O)在给定区间［p,q 1上的最值，需对其对称轴与 给定区间的位置关系进行分类讨论.这里我们以a 0的情形进行分析： (i)若一A P ,即对称轴在给定区间∣p,q 1的左侧，贝U函数f(χ)在给定区间 2a l-P,q ］上单调递增，此时［f (X)］max = f(q)，［f (X)］min = f ( P)； (ii) 若^-― 中考数学专题之区间函数的极值问题 题型分析归类： 对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键. 此类问题包括以下四种情形： (1)定轴，定区间； 例1、若关于x 的方程220x x t +-=(t 为实数)在－2≤x ≤3范围内有解，则t 的范围为 . 练习：函数242y x x =-+-在区间0≤x ≤3上的最大值是_________，最小值是_______. (2)定轴，动区间； 例2、已知二次函数y ＝x 2－2x ＋2在t ≤x ≤t ＋1时有最小值是t ，则t 的值是( ) (A)1 (B)2 (C)1或2 (D)±1或2 例3、已知关于x 的二次函数y ＝ax 2+2ax+a －1交x 轴于A 、B 两点，抛物线于x 轴围成的区域内(含边界)，恰好有8个整点(横纵坐标均为整数)，则a 的范围是( ) 111 1 116＜x ≤19 (D) 1 16≤x ≤19 (3)动轴，定区间； (2017年4调原题)已知关于x 的二次函数y ＝(x －h )2＋3，当1≤x ≤3时，函数有最小值2h ，则h 的值为 ( ) (A)23 (B)23或2 (C)23或6 (D)2、 23或6 例4、已知二次函数2(1)5y x m x m =-+- (m 为常数)，在-1≤x ≤3的范围内至少有一个x 的值使y ≥2，则m 的取值范围是( ) (A) m ≤0 (B) 0≤m ≤ 21 (C)m ≤21 (D)m ＞21 练习：已知关于x 的二次函数y =x 2－5mx +4，当1≤x ≤3时，二次函数值y ＞0，则实数m 的范围值为 ( ). (A)m ＞54 (B)m ≥54 (C)m ＜54 (D) 0＜m ≤54 (4)动轴，动区间 例5、二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的一个交点为(－1，0)，与y 轴的交点在(0，2)和(0，3)之间(不包含端点)，顶点坐标为(1，k )，则k 的取值范围是 ( ) (A)2＜k ＜3 (B)5 2 ＜k ＜4 (C)8 3 ＜k ＜4 (D)3＜k ＜4 二次函数在各区间上的最值 一、知识要点： 一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况. 设，求在上的最大值与最小值。 分析：将配方，得顶点为、对称轴为 当时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m，n]上的最值： （1）当时，的最小值是的最大值是中的较大者。 （2）当时 若，由在上是增函数则的最小值是，最大值是 若，由在上是减函数则的最大值是，最小值是 当时，可类比得结论。 二、例题分析归类： （一）、正向型 是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。 1. 轴定区间定 二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。 例1.函数在区间[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。 解：函数是定义在区间[0，3]上的二次函数，其对称轴方程是，顶点坐标为（2，2），且其图象开口向下，显然其顶点横坐标在［0，3］上， 如图1所示。函数的最大值为，最小值为。 图1 练习. 已知，求函数的最值。 解：由已知，可得，即函数是定义在区间上的二次函数。将二次函数配方得，其对称轴方程，顶点坐标，且图象开口向上。显然其顶点横坐标不在区间内，如图2所示。函数的最小值为，最大值为。 图2 2、轴定区间变 二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。 例2. 如果函数定义在区间上，求的最小值。 解：函数，其对称轴方程为，顶点坐标为（1，1），图象开口向上。 如图1所示，若顶点横坐标在区间左侧时，有，此时，当时，函数取得最小值。 图1 如图2所示，若顶点横坐标在区间上时，有，即。当时，函数取得最小值。 图2 如图3所示，若顶点横坐标在区间右侧时，有，即。当时，函数取得最小值 综上讨论，?? ? ??<+≤≤>+-=0110,11 ,1)1()(22min t t t t t x f 图8 例3. 已知 2 ()23f x x x =-+，当[1]()x t t t ∈+∈R ，时，求()f x 的最大值． 解：由已知可求对称轴为1x =． 用函数掐头去尾算平均值 在许多由多个评委参与的比赛中，为了消除极端分数的影响，常常会用“去掉一个最高分和一个最低分”后求总分或均分的评判规则；而对于极端分数多于一个的，需要按照去掉两个或两个以上的高分或低分的规则来进行评判。对于不同需求的评判方法，在Excel中可用SUM、MAX、MIN函数联合，或用TRIMMEAN函数来完成自动评分计算。 1.合用三個函数轻松去掉一个极端分 以某单位举办的一个摄影作品大赛为例，共有10位评委对作品进行打分，将打分的结果整理到Excel工作表后，按照以往的惯例去掉1个最高分、1个最低分计算平均值。利用SUM、MAX、MIN这三个函数，在N2单元格输入“=（SUM（D2：M2）-MAX（D2：M2）-MIN（D2：M2））/8”，然后向下填充，能够很快计算出各作品的平均分数（图1）。 2.去掉多个极端分三个函数稍显吃力 仔细观察，不难发现有的作品分数出现多个极端数据，如果再用上述计算平均分的方法，对有的参赛员工来说就有失公允了。于是，组织者临时决定去掉2个最高分、2个最低分来计算平均分，这时如果再用SUM、MAX、MIN这三个函数进行计算，需要在N2单元格输入“=（SUM（D2：M2）-MAX（D2：M2）-MIN（D2：M2）-LARGE（D2：M2，2）-SMALL（D2：M2，2））/6”，这样也能计算出平均分，只不过有些麻烦（图2）。 3.处理多个极端分TRIMMEAN函数更轻松 其实，如果使用TRIMMEAN这一函数，无论去掉多少个最大、最小值，都能很轻松地计算出平均分。将上面的公式换成“=TRIMMEAN （D2：M2，1/10*4）”后向下填充，也能轻松计算出去掉2个最高分、2个最低分的平均值来，是不是更简单呢（图3）？ 中考数学 求二次函数在闭区间上的最值-轴定区间变 一、 知识要点： 一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况. 设f x a x b xc a ()()=++≠2 0，求f x ()在x m n ∈[]，上的最大值与最小值。 分析：将f x ()配方，得顶点为--?? ???b a a c b a 2442，、对称轴为x b a =-2 当a >0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m ，n]上f x ()的最值： （1）当[] -∈b a m n 2，时，f x ()的最小值是f b a a c b a f x -?? ???=-2442，()的最大值是f m f n ()()、中的较大者。 （2）当[]- ?b a m n 2，时 若- 二次函数最值问题 二次函数y =ax 2 bx C a = 0）是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基 础?在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量 x 取任意实数时的最值情况（当a ■0时, 本节我们将在这个基础上继续学习当自变量 x 在某个范围内取值时，函数的最值问 题?在高中阶段，求二次函数的最值问题只需要记住“三点一轴”，即题目给出的 x 的取值范 围区间的两个端点， 二次函数的顶点，以及二次函数的对称轴， 注意结合图像学会用数形结 合解题。高中阶段的二次函数最值问题可以分为一下三个方面： 1.定轴定区间。2.动轴定区 间。3.定轴动区间。下面我们来看例题。 【例1】当-2空x 空2时，求函数y =x 2 -2x-3的最大值和最小值. 分析：这个问题十分简单，属于定轴定区间这一类题目， 只需要画出函数图像即可以解 决。 1 5 【例2】当t 兰x 兰t +1时，求函数y = -x 2 -X -一的最小值（其中t 为常数）? 2 2 函数在x 二 b 2a 处取得最小值 4ac -b 2 4a 无最大值；当时 a . 0，函数在x —处取得 2a 最大值 4ac -b 2 4a 无最小值. 分析：这类问题属于定轴动区间的问题，由于 X 所给的范围随着t 的变化而变化，所以 需要比较对称轴与其范围的相对位置. 1 5 解：函数y =-x2—x _-的对称轴是x=1。画出其草图。 2 2 (1) 灯=}12 j_| = —3 ； 1 i 5 1 i A min =尹+1) -(t +1)石=|t -3. 1 2 -t 2 -3,t<0 2 综上所述：y min = -3,0_t_1 】t 2 —t —5,t A 1 I 2 2 【例3】设二次函数f x =-x 2 ? 2ax ? 1-a 在区间0,1 ］上的最大值为2，求实数a 的 值。分析：这类问题属于动轴定区间的问题，由于函数的对称轴随 a 的变化而变化，所 ⑵当对称轴在所给范围左侧.即 1 2 5 t 1时当X"时，畑； (4)当对称轴在所给范围之间?即 t _1 _t 1= 0_t _1 时；当 x = 1 时, ⑹当对称轴在所给范围右侧?即 t 1 ：：：1= t :: 0时，当 x =t ? 1 时, 函数在闭区间上的最值问题 教学目标： ① 掌握二次函数在闭区间上的最值的求法。 ② 对于其他类型的函数在闭区间上的最值问题，可转化为二次函数在闭区间上的最值问题。 ③ 通过教学使学生掌握数形结合，分类讨论，数学建模等重要的数学思想。 重点和难点： 重点 :二次函数在闭区间上的最值的求法；其他类型函数在闭区间上的最值问题转化为 二次函数在闭区间上最值问题。 难点 :对参变量的分类讨论 教学过程: 一、知识回顾： 二次函数的一般形式：y=ax 2 +bx+c,(a ≠0) 对称轴：__________；顶点坐标____________；开口方向____________________； 当____________函数有最大值_________；当__________函数有最小值__________。 二、二次函数在闭区间上的最值问题： 1．不含参变量 例1．（1）求[]上的最值。，在30x ,3x 4x 2-y 2∈++= （2）求[]上的最值。，在30x ,3x 4x 2y 2∈++= 2．含参变量 类型一：“轴变，区间定” 例2．求[]上的最值。，在30x )R a (,a ax 2-x y 2∈∈+= 练习：求[]上的最值。，在31x )R k (,3kx 4x -2y 2∈∈++= 变式训练：若函数[]的值。，求上有最大值，在k 423-x )R k (,1kx 2x k y 2 ∈∈++= 类型二：“轴定，区间变” 例3．讨论ｙ＝x 2－２ｘ＋２在ｘ∈［ｍ，ｍ＋１］上的最值。 练习：求函数ｙ＝－３x ２－６ｘ＋７，在区间［ｎ－１，ｎ］上的最值。 变式训练：对[],1x a a ∈+时， 恒为正，求实数a 的取值范围。 类型三：“轴变，区间变” 例4． 求函数 21(0)y tx x t =+-≠在(,1)x t t ∈+上的最值。 变式训练：已知()2 34()(0)y x a x a a =-+->，且当x a ≥时，y 的最小值为4，求参数a 的值。 总结：二次函数在闭区间上的最值的求法： 1．判断对称轴跟区间的关系； 2．若对称轴在区间内，则函数的最值在区间端点所对应的值和顶点函数值中取； 3．若对称轴在区间外，则函数的最值在区间端点上取。 龙源期刊网 https://www.doczj.com/doc/2315176847.html, 均值定理在函数最值问题中的应用 作者：李学芳 来源：《文理导航》2017年第05期 【摘要】在中职数学的教学过程中，函数是当中最重要也是最难的知识点，利用均值定理求解函数的最大值和最小值是中职数学的重要教学内容之一。如何将这一知识点具体、准确地讲解也成为很多数学老师的研究方向。笔者具有多年的数学教学经验，主要针对一些典型的例题来分析均值定理在函数最值问题中的教学技巧和今后改善的教学方向，更好地调控实际教学的方向。 【关键词】中职数学；均值定理；函数；最值问题 俗话说得好：“学好数理化，走遍天下全不怕”，我们在讲解数学知识的过程中也要充分和实践相结合。综合分析多年来的单招高考试题，不难发现，试卷的重难点大多集中在函数这一章节。函数知识点灵活，和中职所学的很多知识都有关联，均值定理是中职数学的重要组成部分，在单招高考中占有一定的比重，成为单招高考的高频考点，总能以各种形式出现在单招高考的舞台上，成为考验学生综合能力素养的体现。因而，我们教师如何将均值定理运用于函数最值这一个知识点讲得通透准确显得尤为关键，下面给出常规的例题讲解和教学方法。 一、指导学生多种解题思路，避免出题陷阱 例1 求函数f（x）=+x（x 对于均值问题，最常规的解题思路是直接套用公式，但是很多学生往往忽视使用公式的前提条件，忽视“一正，二定，三相等”这一前提，因此在解答这道题时很多初学者会犯一类错误，直接由均值定理得出答案是2，但很明显，当x 例2 如果a>b，ab=1，求的取值区间。 这类题我们首先应该观察所求表达式本身的分子与分母的关系，通过使用配凑法以及取公因式得到新的函数，根据题目所给条件，确定a>b，a-b>0确保了“一正，二定，三相等”的 使用原则，令x=a-b=a-，则f（x）==x+（x>0），很快利用公式可以算出取值区间。在解决此类题的过程中，最重要的是引导学生简单地分析题目的条件，根据所给关系式运用配凑法等找出解决题目的核心，然后判断题目所给的既定条件是否符合均值定理的使用原则，找出核心的关系式是解决此类问题的关键。其实之所以均值问题会成为单招高考中的杀手锏，是因为学生不能够根据题目条件很迅速地确定答题关键，找出核心的关系式。因此，我们针对学生出现的这类问题，需要适时地调整我们的教学方法，尽量做到一题多解，并且指导学生掌握正确的学习方法，这对后期的学习会有更大地帮助。 二次函数在闭区间上的最值问题 湖北省荆州中学 鄢先进 二次函数在闭区间上的最值问题是高中数学的重点和热点问题，频繁出现在函数试题中，很受命题者亲睐。影响二次函数在闭区间上最值问题的主要因素是二次函数图像的开口方向与所给区间和对称轴的位置关系。本文介绍有关二次函数在闭区间上最值问题的常见类型及解题策略，供同学们参考。 类型一 定轴定区间 例1．已知函数2()2f x x x =-，求()f x 的最小值. 解：22()2(1)1f x x x x =-=-- 由图像可知，当1x =时，min ()1f x =- 变式1．已知函数2()2f x x x =-，[2,4]x ∈，求()f x 的最小值。 分析：由图像可知，函数)(x f 在[2,4]为增函数， min ()(2)0f x f ∴== 变式2．已知函数2()2f x x x =-，[0,3]x ∈，求()f x 的最大值. 分析：由图像可知函数()f x 在[0,1]上递减，在[1,3]上递增，且3离对称轴的距离大于0离对称轴的距离。 max ()(3)3f x f ∴== 例2．已知二次函数f x ax ax a ()=++-2241在区间[] -41，上的最大值为5，求实数a 的值。 解：将二次函数配方得f x a x a a ()()=++--24122，函数图像对称轴方程为x =-2，顶点坐标为()---2412，a a ，图像开口方向由a 决定。很明显，其顶点横坐标在区间 []-41，内。 x ①若a <0，函数图像开口向下，如下图1所示。当x =-2时，函数()f x 取得最大值5 即f a a ()-=--=24152，解得a =±210 故a a =-=+210210()舍去 图1 图2 ②若a >0，函数图像开口向上，如上图2所示，当x =1时，函数()f x 取得最大值5 即f a a ()15152=+-=，解得a a ==-16或，故a a ==-16()舍去 综上可知：函数f x ()在区间[] -41，上取得最大值5时，a a =-=2101或 点拨：求解有关二次函数在闭区间上的最值问题，应先配方，作出函数图像，然后结合其图像研究，要特别注意开口方向、对称轴和区间的相对位置。在例1中，二次函数图像的开口，对称轴和区间都是固定的，需引起同学们注意的是，当函数的最值的取得在区间两个端点都有可能的时候，要比较端点与对称轴距离的大小。在例2中，二次函数图像的对称轴和区间是固定的，但图像开口方向是随参数a 变化的，要注意讨论。 小结：二次函数2()()f x a x k h =-+(0)a >在区间[,]m n 最值问题。 ①若[,]k m n ∈，则min ()()f x f k h ==，max ()max{()()}f x f m f n =? ②若[,]k m n ?，当k m <时，min ()()f x f m =，max ()()f x f n = 当k n >时，min ()()f x f n =，max ()()f x f m = 当0a <时，仿此讨论 类型二 定轴动区间 例3．已知函数22,[2,]y x x x a =-∈-，求函数的最小值().g a 课题：2.1.2函数－区间的概念及求定义域的方法 教学目的： 1．能够正确理解和使用“区间”、“无穷大”等记号；掌握分式函数、根式函数定义域的求法，掌握求函数解析式的思想方法； 2．培养抽象概括能力和分析解决问题的能力； 教学重点：“区间”、“无穷大”的概念，定义域的求法 教学难点：正确求分式函数、根式函数定义域 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 函数的三要素是：定义域、值域和定义域到值域的对应法则；对应法则是函数的核心(它规定了x和y之间的某种关系)，定义域是函数的重要组成部分（对应法则相同而定义域不同的映射就是两个不同的函数）；定义域和对应法则一经确定，值域就随之确定 前面我们已经学习了函数的概念，，今天我们来学习区间的概念和记号 二、讲解新课： 1．区间的概念和记号 在研究函数时,常常用到区间的概念，它是数学中常用的述语和符号. 设a,b∈R ,且a {x|a 二次函数在给定区间上的最值问题 【学前思考】 二次函数在闭区间上取得最值时的x ，只能是其图像的顶点的横坐标或给定区间的端点. 因此，影响二次函数在闭区间上的最值主要有三个因素：抛物线的开口方向、对称轴以及给定区间的位置. 在这三大因素中，最容易确定的是抛物线的开口方向（与二次项系数的正负有关），而关于对称轴与给定区间的位置关系的讨论是解决二次函数在给定区间上的最值问题的关键. 本节，我们将以若干实例说明解决此类问题的具体方法. 【知识要点＆例题精讲】 二次函数在给定区间上的最值问题，常见的有以下三种类型，分别是： Case Ⅰ、给定区间确定，对称轴位置也确定 说明：此种类型是较为简单的一种，只要找到二次函数的对称轴，画出其函数图像，再将给定区间标出，那么二次函数的最值一目了然. 解法：若二次函数的给定区间是确定的，其对称轴的位置也确定，则要求二次函数在给定区间上的最值，只需先考察其对称轴的横坐标是否在给定区间内. （i ）当其对称轴的横坐标在给定区间内时，二次函数在给定区间上不具有单调性，此时其一个最值在顶点处取得，另一个最值在离对称轴的横坐标较远的端点处取得； （ii ）当其对称轴的横坐标不在给定区间内时，二次函数在给定区间上具有单调性，此时可利用二次函数的单调性确定其最值. 例1、二次函数223y x x =-+在闭区间[]1,2-上的最大值是_______. 例2、函数2()42f x x x =-+-在区间[]0,3上的最大值是_______，最小值是_______. 例3、已知223x x ≤，则函数2()1f x x x =++的最大值是_______，最小值是______. Case Ⅱ、给定区间确定，对称轴位置变化 说明：此种类型是非常重要的，是考试必考点，主要是讨论二次函数的对称轴与给定区间的位置关系，一般需要分对称轴在给定区间的左侧、内部以及右侧三种情况进行分类讨论，然后根据不同情况求出相应的最值. 解法：若二次函数的给定区间是确定的，而其对称轴的位置是变化的，则要求二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）在给定区间[],p q 上的最值，需对其对称轴与给定区间的位置关系进行分类讨论. 这里我们以0a >的情形进行分析： （ⅰ）若2b p a - <，即对称轴在给定区间[],p q 的左侧，则函数()f x 在给定区间[],p q 上单调递增，此时max [()]()f x f q = ，min [()]()f x f p =； （ⅱ）若2b p q a ≤- ≤，即对称轴在给定区间[],p q 的内部，则函数()f x 在[,]2b p a -上单调递减，在[,]2b q a - 上单调递增，此时min [()]()2b f x f a =-，max [()]() f x f p =或()f q ，至于最大值究竟是()f p 还是()f q ，还需通过考察对称轴与给定区间的中点的位置关系作进一步讨论：若22 b p q p a +≤- < ，则max [()]()f x f q =；若22p q b q a +≤-≤，则max [()]()f x f p =； （ⅲ）若2b q a - >，即对称轴在给定区间[],p q 的右侧，则函数()f x 在给定区间[],p q 上单调递减，此时max [()]()f x f p = ，min [()]()f x f q =. 综上可知，当0a >时， max (),22[()](),22b p q f q a f x b p q f p a +? - 二次函数的区间最值及应用 模块一：二次函数的区间最值 1．定轴定区间 对于二次函数2(0)y ax bx c a =++>在m x n ≤≤上的最值问题（其中a 、b 、c 、m 和n 均为定值，max y 表示y 的最大值，min y 表示y 的最小值） （1）若自变量x 为全体实数，如图①，函数在2b x a =-时，取到最小值，无最大值． （2）若2b n a <-，如图②，当x m =，max y y =；当x n =，min y y =． （3）若2b m a >-，如图③，当x m =，min y y =；当x n =，max y y =． （4）若2b m n a -≤≤，22b b n m a a +>--，如图④，当2b x a =-，min y y =；当x n =， max y y =． 2．动轴或动区间 对于二次函数2 (0)y ax bx c a =++>，在m x n ≤≤（m ，n 为参数）条件下，函数的最值 需要分别讨论m ，n 与2b a -的大小． 模块二：二次函数的应用 1．常见应用题类型按照考频从高到低可以分为： （1）经济利润类问题； （2）方案选择类问题； （3）行程问题； （4）数学建模类问题； （5）工程问题。 2．解应用题的关键在于审题，理解题意，尤其是一些条件范围的限制。然后再列出相应的方程、不等式、一次函数、二次函数关系式求解。其中二次函数求最值是最常见的考点，在求最值的过程中一定要注意自变量的取值范围。 b 分别求出在下列条件下，函数2231y x x =-++的最值： （1）x 取任意实数；（2）当 20 x -≤≤ 时；（3）当13x ≤≤时；（4）当12x -≤≤时． 【解析】（1），∴当时，函数的最大值为，无最小值； （2）∵在右侧， ∴当时，函数取得最大值1；当时，函数取得最小值； （3）∵在左侧， ∴当时，函数取得最大值2；当时，函数取得最小值； （4）∵，且， ∴当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值． 【教师备课提示】这道题主要讲解最值的求法（1）配方，求对称轴，（2）画草图． 试求(1)(2)(3)(4)5y x x x x =+++++在33x -≤≤的最值． 【解析】令，则有222(54)(56)5(4)(6)51029y x x x x t t t t =+++++=+++=++ ∵当时，的取值范围是， ∴原题转化为当时，求的最大值和最小值． ∵，故当时，．而当解得：， 又∵，∴当时，． 当时，；当时，，而， ∴当时，即时，． 【教师备课提示】这道题主要是高次函数利用换元转化为二次函数区间最值. 2 317248y x ? ?=--+ ?? ?34x =1783 4 x =20x -≤≤0x =2x =-13-3 4 x =13x ≤≤1x =3x =8-3 124-≤≤331244-->-34 x = 17 81x =-4-25t x x =+33x -≤≤t 25 244 t -≤≤25 244t - ≤≤21029y t t =++()254y t =++5t =-min 4y =255x x -=+1,255 x -±=33x -≤≤55 x -+=min 4y =254t =- 9516y =24t =845y =9845516 >24t =3x =max 845y = 二次函数的最值问题 二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础．在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量x 取任意实数时的最值情况(当0a >时， 本节我们将在这个基础上继续学习当自变量x 在某个范围内取值时，函数的最值问题．同时还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用． 二次函数求最值（一般范围类） 例1．当22x -≤≤时，求函数2 23y x x =--的最大值和最小值． 分析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量x 的值． 解：作出函数的图象．当1x =时，min 4y =-，当2x =-时，max 5y =． 例2．当12x ≤≤时，求函数21y x x =--+的最大值和最小值． 解：作出函数的图象．当1x =时，min 1y =-，当2x =时，max 5y =-． 由上述两例可以看到，二次函数在自变量x 的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值． 根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量x 的范围的图象形状各异．下面给出一些常见情况： 例3．当0x ≥时，求函数(2)y x x =--的取值范围． 解：作出函数2(2)2y x x x x =--=-在0x ≥内的图象． 可以看出：当1x =时，min 1y =-，无最大值． 所以，当0x ≥时，函数的取值范围是1y ≥-． 例4．当1t x t ≤≤+时，求函数21522 y x x =--的最小值(其中t 为常数)． 分析：由于x 所给的范围随着t 的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置． 解：函数21522 y x x =--的对称轴为1x =．画出其草图． (1) 当对称轴在所给范围左侧．即1t >时： 当x t =时，2min 1522y t t = --； (2) 当对称轴在所给范围之间．即1101t t t ≤≤+?≤≤时： 当1x =时，2min 1511322 y = ?--=-； (3) 当对称轴在所给范围右侧．即110t t +? 在实际生活中，我们也会遇到一些与二次函数有关的问题： 二次函数求最值(经济类问题) 例1．为了扩大内需，让惠于农民，丰富农民的业余生活，鼓励送彩电下乡，国家决定对购买彩电的农户实行政府补贴．规定每购买一台彩电，政府补贴若干元，经调查某商场销售彩电台数y （台）与补贴款额x （元）之间大致满足如图①所示的一次函数关系．随着补贴款额x 的不断增大，销售量也不断增加，但每台彩电的收益Z （元）会相应降低且Z 与x 之间也大致满足如图②所示的一次函数关系． ——“快速判断给定值是否在指定区间”来讲解IF函数的用法。 在本例数据表的B列（上限）与C列（下限）中显示了一个数据区间。通过IF函数可以判断D列的值是否在B列与C列的数据之间。具体如下图： 选中E2单元格，在编辑栏输入公式：=IF(D2 有限区间上含参数的二次函数的最值问题 执教：吴雄华 时间：2006-9 班级：高三（1） 班 教学目标： 知识与技能： 1．掌握定义在变化区间上的一元二次函数最值的求解方法； 2．掌握系数含参数的一元二次函数在定区间上最值的求解方法； 过程与方法： 3．加深学生运用分类讨论和数形结合数学思想方法的体验； 情感、态度与价值观：4．通过学生自己的探索解决问题，增强其学习数学的兴趣和信心； 5．培养学生严密的分析和解决问题的能力。 教学重点：含参数的一元二次函数的最值问题的求解。 教学难点：分类讨论与数形结合数学思想方法的运用。 教学内容 教师活动 学生活动 一．复习一元二次函数最值的求 法。 1． 没有限定区间的情况。 2． 有限定区间的情况。 提问一：我们已学习了哪些一元二次函数求最值问题？请同学指出类型和求解方法。 回答一：两种情况，分别为没有限定区间的情况和有限定区间的情况。 前者用配方法即可，后者先配方，再借助图像来观察函数在给定区间上的单调性，从而得出函数的最值。 二．研究定义在变化区间上的一 元二次函数最值问题的求解。 例1已知函数()222++=x x x f ， （1）若R x ∈，求函数的最值； （2）若[]1,3x ∈，求函数的最值； （3）若]3,2[-∈x ，求函数的最值； （4）若[]R a a a x ∈+∈,2,，求函数的最小值； （5）[]R a a a x ∈+∈,2,，求函数的最大值。 ?? ? ??-<++-<≤--≥++=.3,106;13,1; 1,2222min a a a a a a a y ?????-<++-≥++=. 2,22;2,1062 2max a a a a a a y 给出例1。 借助（1）（2）（3）复习，请同学口头回答解法。 提问二：（4）题与（1）（2）（3）题有什么联系和区别？ 提示后请同学们完成（4）题。 允许讨论。 其中请两位同学在黑板上分别完成（4）（5）题。 教师巡视，若多数同学感到困难，则再提示要不要通过图像来解答。 学生完成后讲评。 提问三：请同学指出分类讨论的依据，并对问题类型归纳。 读题后思考（1）（2）（3）题，口头回答解法。 回答二：都是一元二次函数求最值的问题，但（4）题中函数的定义域（区间）是变化的。 区间变化，函数的最值相应变化。故要进行分类讨论。 先独立思考，有困难再讨论，最后完成解答。 回答三： 最小值：对此区间是否有函数的对称轴穿过进行讨论； 最大值对此区间的两个端点离对称轴的远近讨论。中考数学专题之区间函数的极值问题
(整理)二次函数在各种区间上的最值.
用函数掐头去尾算平均值
中考数学-二次函数在闭区间上的最值-轴定区间变
二次函数的区间最值问题知识讲解
函数在闭区间上的最值问题
均值定理在函数最值问题中的应用
二次函数在闭区间上的最值问题
函数的定义域与区间
二次函数在给定区间上的最值问题
二次函数的区间最值及应用教师版
二次函数的最值问题总结
快速判断给定值是否在指定区间
有限区间上含参数的二次函数的最值问题
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