第一章绪论
1.1弹塑性力学的任务
固体力学是研究固体材料及其构成的物体结构在外部干扰(载荷、温度交化等)下的力学响应的科学，按其研究对象区分为不同的学科分支。弹性力学和塑性力学是固体力学的两个重要分支。弹性力学是研究固体材料及由其构成的物体结构在弹性变形阶段的力学行为，包括在外部干扰下弹性物体的内力(应力)、变形(应变)和位移的分布，以及与之相关的原理、理论和方法；塑性力学则研究它们在塑性变形阶段的力学响应。大多数材料都同时具有弹性和塑性性质，当外载较小时，材料呈现为弹性的或基本上是弹性的；当载荷渐增时，材料将进入塑性变形阶段，即材料的行为呈现为塑性的。所谓弹性和塑性，只是材料力学性质的流变学分类法中两个典型性质或理想模型；同一种材料在不同条件下可以主要表现为弹性的或塑性的。因此，所谓弹性材料或弹性物体是指在—定条件下主要呈现弹性性态的材料或物体。塑性材料或塑性物体的含义与此相类。如上所述。大多数材料往往都同时具有弹性和塑性性质，特别是在塑性变形阶段，变形中既有可恢复的弹性变形，又有不可恢复的塑性变形，因此有时又称为弹塑性材料。本书主要介绍分析弹塑性材料和结构在外部干扰下力学响应的基本原理、理论和方法。以及相应的“破坏”准则或失效难则。
以弹性分析为基础的结构设计是假定材料为理想弹性，相应于这种设计观点就以分析结果的实际适用范作为设计的失效准则，即认为应力(严柞地说是应力的某一函数值)到达一定限值(弹性界限)，将进入塑性变形阶段时、材料将破坏。结构中如果有一处或—部分材料“破坏”，则认为结构失效(丧失设计所规定的效用)。由于一般的结构都处于非均匀受力状态，当高应力点或高应力区的材料到达弹性界限时，类他的大部分材料仍处于弹性界限之内；而实际材料在应力超过弹性界限以后并不实际发生破坏，仍具有一定的继续承受应力(载荷)的能力，只
不过刚度相对地降低。因此弹性设计方法不能充分发挥材料的潜力，导致材料的某种浪费。实际上、当结构内的局部材料进入塑性变形阶段，在继续增加外载荷时，结构的内力(应力)分布规律与弹性阶段不同，即所谓内力(应力)重分布，这种重分布总的是使内力(应力)分布更趋均匀，使原来处于低应力区的材料承受更大的应力，从而更好地发挥材料的潜力，提高结构的承载能力。显然，以塑性分析为基础的设计比弹性设计更为优越。但是，塑性设计允许结构有更大约变形，以及完全卸载后结构将存在残余变形。因此，对于刚度要求较高及不允许出现残余变
形的场合、这种设计方法不适用。
另外．在有些问题(如金属压延成型工艺)中，需要利用全局的塑性；在有些问题(如集中力作用点附近及裂纹尖端附近的应力场问题)中，如果不考虑材料的塑性，就从本质上得不到切合实际的结果。综上所述可见。弹塑性力学是近代工程技术所必需的基础技术学科。
材料力学、弹性力学和塑性力学在研究的基本内容及方法上有某些相同之处。例如．它们都是研究结构（构件)在外部干扰下的力学响应。具体地说、是研究结构的强度、刚度和稳定性问题(有时统称为强度问题)。以及结构的“破坏”准则或失效准则。在方法上都是在一定的边界条件(或再加上初始条件)下求解三类基本方程：平衡(运动)方程、几何方程和本构(物理)方程。同时．都是以实验结果为依据，所得结果由实验来检验等。但是，由于材料力学(严格地说，是一般材料力学教材和课程)研究的对象主要限于细长体，即杆件，从而在三类基本方程之外，还根据实验观察引入了几何性的假设，即平面假设。这实际上是对应变沿杆件横截面的分布规律作了近似的(线性的)假设，从而大大简化了计算，使得用初等方法就可获得解答。弹塑性力学一般地不需引入这类假设，从而可以获得更为精确的结果，更重要的是扩大了研究对象的范围，它可包括各种实体结构(如挡土墙、堤等)、深梁、非圆截面杆的扭转、孔边应力集中，以及板壳等材料力学初等理沦所不能解决的力学问题。当然。在弹塑性理论中，有时也引入某些几何性的假设，如薄板、薄壳变形中的直法线假设等；又如在处理边界条件中同样要应用圣维南(saint-venat)原理等，以便既使求解成为可能或得到一定程度的简化，又能获得足够精确的结果。
作为一门课程，弹塑性力学以理论力学、材料力学、高等数学、数理方程等课程为基础，较系统地介绍弹性力学和塑性力学的基本概念、基本理论和基本方法，为进一步学习板壳理论、断裂力学、连续介质力学、实验应力分析、有限元法等后续课程打下基础。无疑、在船舶与海洋工程专业、建筑结构专业学生的培养中、无疑这是一门重要的专业基础课程。
1.2力学模型
在弹塑性力学的研究中，如同在所有科学研究中一样，都要对研究对象进行模拟，建立相应的力学模型(科学模型)。“模型”是“原型”的近似描述或表示。建立模型的原则，一是科学性--尽可能地近似表示原型；二是实用性--能方便地应用。显然，一种科学(力学)模型的建立，要受到科学技术水平的制约。总的来说，
力学模型大致有三个层次：材料构造模型、材料力学性质模型，以及结构计算模型。第一类模型属基本的，它们属于科学假设范畴。因此，往往以“假设”的形式比现。“模型”有时还与一种理论相对应；因而在有些情况下，‘模型”、“假设”和“理论”可以是等义的。
1.2.1材料构造模型
(1)连续性假设
假定固体材料是连续介质，即组成物体的质点之间不存在任何间隙，连续紧密地分布于物体所占的整个空间。由此，我们可以认为一些物理量如应力，应变和位移等可以表示为坐标的连续函数，从而在作数学推导时可方便地运用连续和极限的概念，事实上，一切物体都是由微粒组成的、都不可能符合这个假设。我们可以想象，微粒尺寸及各微粒之间的距离远比物体的几何尺寸小时，运用这个假设不会引起显著的误差。
(2)均匀及各向同性假设
假设物体由同一类型的均匀材料组成，则物体内各点与各方向上的物理性质相同(各向同性)；物体各部分具有相同的物理性质，不会随坐标的改变而变化(均匀性)。
2．2 材料力学性质模型
(1)弹性材料
弹性材料是对实际固体材料的一种抽象，它构成一个近似于真实材料的理想模型。弹性材料的特征是：物体在变形过程中，对应于一定的温度，应力与应变之间呈一一对应的关系，它和载荷的持续时间及变形历史无关；卸载后，类变形可以完全恢复。在变形过程中，应力与应变之司呈线性关系，即服从胡克(Hooke R)规律的弹性材料称为线性弹性材料；而某些金属和塑料等，其应力与应变之间呈非线性性质，称为非线性弹性材料。材料弹性规律的应用，就成为弹性力学区别于其它固体力学分支学科的本质特征。
(2)塑性材料
塑性材料也是固体材料约一种理想模型。塑性材料的特征是：在变形过程中，应力和应变不再具有一一对应的关系，应变的大小与加载的历史有关，但与时间无关；卸载过程中，应力与应变之间按材料固有的弹性规律变化，完全卸载后，物体保持一定的永久变形、或称残余变形。部分变形的不可恢复性是塑性材料的基本特征。
(3)粘性材料
当材料的力学性质具有时间效应，即材料的力学性质与载荷的持续时间和加
载速率相关时，称为粘性材料。实际材料都具有不同程度的粘性性质，只不过有时可以略去不计。
1．2．3 结构计算模型
(1)小变形假设
假定物体在外部因素作用下所产生的位移远小于物体原来的尺寸。应用该假设，可使计算模型大力简化。例如，在研究物体的平衡时，可不考虑由于变形所引起的物体尺寸位置的变化，在建立几何方程和物理方程时，可以略天其中的二次及更高次项，使得到的基本方程是线性偏微分方程组。与之相对应的是大变形情况，这时必须考虑几何关系中的二阶或高阶非线性项，导致变形与载荷之间为非线性关系，得到的基本方程是更难求解的非线性偏微分方程组。
(2)无初应力假设
假定物体原来是处于一种无应力的自然状态。即在外力作用以前，物体内各点应力均为零。分析计算是从这种状态出发的。
x
(3)载荷分类
作用于物体的外力可以分为体 积力和表面力，两F ?者分别简称
为体力和面力。 所谓体力是分布在物体体积内的 3x 力。例如重力和惯性力，物体内各点
所受的体力一般是不同的。为了表明 物体内某一点A 所受体力的大小和方 图 体力示意图 问，在这—点取物体的一小微元体V ?，它包含A 点 (图1．1)。
设作用于V ?的体力为F ?，则体力的平均集度为F ?/V ?。如果把所取的这一小部分物体V ?不断减小，则F ?和F ?/V ?都将不断地改变大小、方向和作用点。现在，假定体力为连续分布，则V ?无限减小而趋于A 点．则F ?／V ?将趋于—定的极限f 。即 f V
F V =??→?0lim 这个极限矢量f 就是该物体在A 点所受体力的集度。由于V ?是标量，所以f 的方问就是F ?的极限方向。矢量f 在坐标轴)3,2,1(=i x i 上的投影i X 称为该物体在A 点的体力分量，以沿坐标轴正方向时为正，它们的因次是[力][长度]3。
所谓面力是分布在物体表面上的力。如风力、流体压力、两固体间的接触力
等。物体上各点所受的面力一般也是不同的。为了表明物体表面上一点B 所受面力的大小和方向，可仿照对体力的讨论，得出当作用于S ?面积上的面力为P ?，而面力的平均集度为S P ??/，微小面S ?无限缩小而趋于点B 时的极限矢量p ，即 p S
P s =??→?0lim 矢量p 在坐标轴i x 上的投影-
i X 称为B 点的面力分量，以沿坐标轴正方向时为正，它们的因次是[力][长度]2。作用在物体表面上的力都占有一定的面积，当作用面很小或呈狭长形时，可分别理想化为集中力或线分布力。
本节所述材料构造模型、结构计算模型是本书讨论问题的共同基础；而材料力学性质模型的选取，则需根据材料本身的力学性质、工作环境及限定的研究范围来确定。弹性、塑性和粘性只是材料的三种基本理想性质，在一定条件下可近似地反映材料在一个方面的力学行为。因而．它们是材料力学性质的理想模型。大多数材料的力学性质在一定条件下可采用上述三种模型之一或其组合加以近似描述。
由于弹塑性力学问题的复杂性．还有一些针对具体问题所作的假设，将在以后各章节中给出．
1．3 材料的基本力学性能试验
固体材料在受力后产生变形，从变形开始到破坏一般要经历弹性变形和塑性变形这两个阶段。根据材料力学性质的不同，有的弹性阶段较明显，而塑性阶段很不明显。象铸铁等脆性材料，往往经历弹性阶段后就破坏。有的则弹性阶段很不明显，从开始变形就伴随着塑性变形，弹塑性变形总是耦联产生，象混凝土材料就是这样。而大部分固体材料都呈现出明显的弹性变形阶段和塑性变形阶段。今后我们主要是讨论这种有弹性与塑性变形阶段的固体材料，并统称为弹塑性材料。
(一)应力府变曲线
应力班变曲线可以通过单向拉伸(或压缩)、
薄壁管扭转实验得到，这是弹塑性理论最基本的
实验资料之—，由于纯扭转试验所得的曲线几乎
与拉伸图完全相似，因此只介绍单向拉伸(或压
缩)的某些实验结论：
1． 塑性变形的分类
一般的金属材料可根据其塑性性能的不同分
图 退火软纲拉伸试验图
成两类，一类是具有明显的屈服流动阶段，有的材料流动阶段很长，往往变形可以达到1％，例如低碳钢、铸钢、某些合金钢等，通常把初
始屈服时的应力作为屈服极限，用s σ表示，又如退火软钢及某些铝合金有上、下屈服点时，上屈服点一般不稳定，对实验条件很敏感，采用下屈服点C 为s σ。如图所示。另一类是没有明显的屈服流动阶段，例如中碳钢、某些高强度合金钢及某些有色金属等，则规定以%2.0残余应变时的应力作为条件屈服极限，记为2.0σ。
2.按照原始断面计算的应力应变曲线与按瞬时断面计算的真应力图。
在小弹塑性阶段，两者基本一致，当塑性变形较大时，两种拉伸曲线才有明显的差异。这时应力应变曲线必须以真应力图表示。
令拉伸试验的瞬时长度为l ，原始长度为0l ，则瞬时应变(也称“对数应变”或“自然应变”)用∑表示。因 l
dl d =∑，因此有 )ln(00l l l dl l
l ==∑?
常用的条件应变(工程应变) 0
0l l l -=
ε 自然应变与条件应变的关系为 )1ln(ε+=∑
在小变形阶段，∑与ε几乎相等，但随着应变量的增加，两者差别越来越大，如图所示。
2． 拉伸与压缩曲线
对一般金属材料，拉伸与压缩试验曲线在小弹塑性变形阶段基本重合，但在大塑性变形阶段就有显著差别(压缩曲线略高于拉仲曲线)。但精确的试验发现某些高强度合金钢的s σ和ε在拉伸和压缩情况下也有区别，因此对于一般金属材料，在变形不大的情况下，用简单拉伸试验代替简单压缩试验进行塑性分析是偏于安全的。但对拉伸与压缩曲线有明显区别的材料如铸铁、混凝土则将需作专门研究。因此下面继续讨论拉伸图的主要塑性特性。
图 工程应变和自然应变
4．应力极限点
图所示A 点为比例极限p σ，应力略有增加到达B 点为弹性极限e σ，是材料在弹性范围内习用的界限。应力在B 点以前应力应变关系是线性的；应力在B 点以后应力应变关系是非线性的，并且曲线发生显著的弯曲。能观察到永久变形时的应力点C 即屈服应力s σ。由B 点到C 点可以认为是晶粒逐步从弹性状态开始屈服到全部达到塑性状态的过渡。实际上p σ、e σ 、s σ三者相差十分微小，可近似地看作—个点，因此，在塑性理论中将C 点作为塑性变形的起点。
(a) (b)
图 二次加载应力应变图
5．卸载时的应力与应变持征
应力超过屈服极限以后将拉伸载荷卸去，卸载过程中应力应变曲线BD 近似平行于原来的弹性阶段AO ，如图(a)。
?ton E =
因此简单拉伸时的卸载规律为
卸卸E εσ=
在应力点B 处把载荷卸除，所得卸应变卸ε即图(a)中DC 部分。这部分可恢复的变形属弹性变形，用e ε表示，而残留变形OD 属塑性变形，用p ε表示。这说明应力点B 的总变形ε等于能恢复的掸性变形加残余的塑性变形。即
=εe ε+p ε
因此超过弹性极限以后，每一应力点的总应变为弹性应变与塑性应变两部分所组成。
6．卸载后再加载的特征
超过弹性极限的应力点B 卸载后再加载。由实验观察，有一段弹性变形，接着一段小的塑性变形，当应力接近于'B 点处较急地拐弯(见图(a))。B 'B 相效甚微(允许的误差之内)，可看作重合(见图(b))，则B 点即为第二次加载的新屈服应力。实验说明第二次加载过程中弹性系数仍保持不变，使弹性极限及屈服极限有升高的现象，并且其升高的程度与塑性变形的历史有关，决定于以前的塑性变形程度。这种弹性极限与屈服极限提高的性质称为“强化”或“加工硬化”。εσ-曲线的切线斜率越大则硬化效应也越显著。如再继续加载，则应力应变图仍沿原曲线BF 进行。
7．卸载后反向加载特征
如卸载后进行反问加载(即拉伸变为压缩)，首先出现压缩的弹性变形，随后产生塑性变形，但这时新的屈服极限有所降低，即压缩应力应变曲线比通常的压缩试验曲线弯得早了，见图。压缩屈服极限为's σ，卸载后反向加载的
屈服极限为"s σ，且
's σ"s σ<
这种使压缩屈服极限降低的现象稠；为鲍辛
格(r Bauschinge )效应。要考虑这种因素对理性
问题的处理会带来很大的困难，因此多数塑性理
论都不考虑。但这种效效使材料具有各向异性的
性质，对于有往复加载的情况应予以考虑。
图 Bauschinger 效应
(二)静水压力(各向均压或均拉的应力状态)试验
1．关于体积变化
实验指出：在静水压力作用下，固体金属的体积变化基本是弹性的，去掉压力后体积变形可以恢复，不呈现残余的体积变形。并且在塑性变形过程中，总的体积变化(密度改变)是微小的。勃里奇曼(Bridgman )曾作各向均压试验，当压力到达15000大气压，提出各向均压力p 和单位体积变化之间关系为；
)11(11
p k p k -=θ， 式中k 为体积压缩模量，1k 为派生模量，这些模量对不同的金属数值不同。当p 约为金属的屈服极限时，勃里奇曼的公式与弹性规律 k P /=θ偏差约1％，完全可以忽略1k 的影响，按弹性规律考虑。在10000大气压力下用弹簧钢作试验，体积仅缩小%，镍仅缩小1．8％。但也有—些松散结构的碱性金属，如锶在4105.1?大气压力下，体积改变约为1／3，这时体积变化显然不能忽视。因此对一般金属材料在塑性变形很大时，忽略体积变化认为体积不可压缩是合理的。
2．静水压力对屈服极限的影响
试验证明静水压不影响屈服。考克 (Cook )曾作如下试验。在一容器中放置一弹簧，加压力p 到屈服，根据屈服时的载荷p 可以换算出弹簧材料的屈服极限。然后，在容器中加液压，重复上述试验，再求出弹簧材料的屈服极限，发现弹簧的屈服极限值不随容器中液压的升高而改变。如果，卸去载荷p 且不断提高液压，则材料并不屈服。由此试验说明静水压力不影响初始屈服应力的数值。另外，勃里奇曼也测定了各种钢试件在铀向拉伸与静水压力同时作用下的应力应变曲线，作到均值应力稍大于拉伸应力为止，也证实了静水压力对初始屈服极限的影响很小，可以忽略不汁。但此结论只能用于致密材料，对于像铸造金属、矿物等材料则静水压力影响就比较大，不能忽略。注意所述试验资料是由各向均压的情况下得到，实际上各向均拉的试验很难做到，出于考虑到拉伸与压缩的屈服性质相同而推广到各向均拉的情况，因此“静水压力”包含各向均拉的含意是带有假设性的。
值得指山：变形速度、时间、温度等因素对应力应变曲线都有影响．但这些影响在一定条件下才比较明显。对于金属材料在普通的变形速度及常温条件下影响不大。上述试验也即是在普通变形速度及室温下进行的。
材料拉伸曲线的简化与经验公式
一、应力应变曲线的简化
材料在屈服之后，应力应变曲线呈非线性，即使建立了理想化的模型问题仍很复杂，因此在解决具体问题时，常常对应力应变曲线进行简化。
有的材料有明显的屈服流动阶段，当流动阶段比较长，或者硬化程度比较小可以忽略硬化的影响o这时都可以采用理想弹塑性材料模型如图(a)。应力到达屈服极
σ。当限以前，应力应变呈线性关系，应力到达屈服极限以后，应力保持为常数
s
所研究问题：变形比较大，相应的弹性应变部分可以忽略，可采理想刚塑性模型，σ，如图(b)所示。此外，对于硬化材料，也有将塑性硬化部分用直线则应力恒为
s
代替，称为线性便化弹塑性材料，如图(c)。岩变形比较大，弹性应变部分比较小可以略去，成为线性硬化刚塑性材料模型，如图(d)。对于实际问题采用哪一个模型就要看所使用的材料及实际问题所属的领域而定。
二、应力应变曲线经验公式
在塑性理沦中为了便于求解，可以应用应力应变曲线的经验公式。但这些公式是按对数应受定义的。假如用于解决弹塑性问题，女，果塑性应变与弹性应变属同量级时，用工程应变更方便。
(a) (b)
(c) (d)
图拉伸应力应变简化曲线
(a)理想弹塑性材料(b)理想刚塑性材料(c)线性硬化弹塑性材料(d)线性硬化刚塑性材料
(一)鲁得维克(Ludwik)公式
鲁得维克公式为
n s ∑+=γσσ
式中 γ、n 是常数。
当n ＝1时，为冷作硬化材料，半硬化铝能很好吻合，如图(d)。公式表示应力达到屈服点s σ之前材料为刚性(不变形)，随后应变硬化率为常数。
当o ＜n ＜1时，曲线如图(a)所示，表示弹性应变被忽略的幂硬化情况。 当常数项s σ为零肘，表达式变成n ∑=γσ，为如图(b)所示的幂次曲线，是目前应用较广的幂硬化材料，并与多数工程材料的实际性能相接近，因此便于工程实际应用。但在0=∑时杨氏模量为不定值，因而对应变较小的区域近似性差些，对应变大的问题，如用于铝等强化材料近似性较好。
(a) (b)
图 鲁得维克硬化曲线
(a)忽略弹性应变的硬化曲线 (b)常数项为零的幂次硬化曲线
(二)斯韦特(Swift )公式
斯韦特公式为
n B A )(∑+=σ 式中 A 、B 、n 是常数，由材料性质所决定。
由式可见，当0=σ时，B -=∑，如图所示。式表示材料内简单拉伸到应变B 以后应变硬化的真应力一自然应变之间的关系。而∑是测得B 以后的应变。在实际应用中，以图所示σ＞0时的曲线来描述应力应变硬化曲线。此式适用于大应变的情况，例如拉伸失稳问题的研究。当B 为零时即为前述幂次曲线。
图 斯韦特硬化曲线 图 线性组合应力应变曲线
(三)普拉格(ager Pr )公式
普拉格公式为 )tanh(s s E σσσ∑
=
该方程所给出图形没有尖锐的屈服点，它们从弹性区到塑性区给出一个逐渐的过渡。曲线开始时有斜率E ，弯过来以后渐渐地趋近于应力s σ，且变形在弹性量织时应力就很快到达s σ。
(四)线性组合的折线公式
线性组合的折线公式用两个或更多的线性应力应变表达式来趋近真实的应力应变曲线。如图所示折线OBC ，其公式为
∑=E σ s σσ< ∑='E σ s σσ≥ 式中 E 、'E 分别为材料的弹性模量和硬化模量。
1.5
弹塑性力学的发展及研究方法
(一)弹性力学的发展 近代弹性力学，可认为始于柯西(Cauchy ，A ． L ．)在1882年引进应变与应力的概念，建立了平衡微分方程、边界条件、应变与位移关系。它的发展进程对促进数学和自然科学基本理论的建立和发展，特别是对促进造船、航空、建筑、水利、机械制造等工业技术的发展起了相当重要的作用。柯西的工作是近代弹性力学以及近代连续介质力学的一个起点。之后，世界各国的一大批学者相继做出了重要贡献，使得弹性力学迅速发展起来，并根据实际的需要形成了一些专门分支学科，如热弹性力学，弹性动力学，弹性系统的稳定理论，断裂力学，损伤力学，等等。
弹性力学为社会发展、人类的文明进步起了至关重要的作用。交通业、造船、铁路建筑、机械制造、航空航天事业、水利工程、房屋建筑、军事工程等的发展，都离不了力学工作者的贡献。从18世纪开始．涌现出了一大批力学家，像柯西、欧拉(Euler L.)、圣维南(Saint-Venant)、纳维(Navier)、克希霍夫(Kirchoff，G．R．)、拉格朗日(Lagran8e，J．L．)、乐甫(Love，A．E．H．)、铁木辛柯(Timoshenkn，S．P．)及我国的钱学森、钱伟长、徐芝纶、胡海昌等。他们都对弹性力学的发展做出了贡献，他们的优秀著作培养了一代又一代的工程师和科学家。
弹性力学虽是一门古老的学科，但现代科学技术的发展给弹性力学提出了越来越多的理论问题和工程应用问题，弹性力学在许多重要领域展现出它的重要性。本书将介绍其基本原理和实用的解题方法。
(二)塑性力学的发展
塑性力学是一门由生产中发展的科学，其研究可以说是1864年屈雷斯加(Tresca)公布了关于冲压和挤压的初步试验报告提出最大剪应力屈服准则开始的。1870年圣维南应用屈雷斯加屈服准则计算理想塑性图柱体受扭转或弯曲时的弹塑性应力，并建立了二维流动中平面应变方程式。同一年列维(Levy)又推广了圣维南的概念列出三维情况下的方程式。
此后，塑性力学的发展是缓慢的，然而20世纪上半叶是塑性力学发展最旺盛的时期，在这一时期，静力学问题得到了完善的发展，理想塑性的平面问题和轴对称问题都可得到完全解。到1909午哈尔(Haar)和卡门(T. Von Karman)从某些变分原理出发建立塑性理论方程式。总的来说在20世纪初人们已在实验研究工作中提出了各种屈服准则。不过对大多数金属而言，最令人满意的是密赛斯(Mises)在1913年发表的准则，同时密赛斯还独立地提出类似于列维的方程。但是自从密赛斯的屈服准则及应力应变关系发表以后，引起强烈的反应，使塑性力学得到重大的进展。直到1926年罗德(Lode)证实了列维—密赛斯应力应变关系在一阶近似下是准确的。1924年汉基(Henky)又采用密赛斯屈服准则提出另一理论，对于解决塑性微小变形问题很方便。以后，1920年路易斯(Reuss)依照普朗特(Pandtl)观点，考虑了弹性应变分量，把普朗特所得二阶方程式推广到三阶表达式，使列维—密赛斯理论完善化。同时，普朗特和汉基对平面塑性力学问题求解方法及滑移线场理论的贡献是有重要意义的。1937年那达依(Nadai)考虑了材料的加工硬化，建立了大变形情况下的应力应变关系。1943年依留申(Илъюшин)的“微小弹塑性变形理论”相继问世，由于计算更方便得到欢迎。1949年巴道夫、布第扬斯基(Batdorf，Badiansky)又从晶粒滑移的物理概念出发提出滑移理论。在这时期塑性增量理论已日臻完善，1950年前后，曾应用塑性势理论，讨论了与满足杜拉克(Drucker)假定
的屈服条件(即屈服准则)相联系的一般应力应变关系。原来以密赛斯屈服条件作为塑性势函数，1953年由考依特(Koiter)和普拉格(Prager)提出与屈雷斯加屈服条件相关联的流动法则，这给极限分析带来极大的方便。可以讲20世纪50年代，塑性力学的研究在许多国家得到重视，开展大量的理论和实验的研究工作。另外，在上世纪60年代前后对于结构承载能力的研究有很大发展。特别是杜勒格、普拉格等对三维应力状态提出的极值原理，从而引出的上限及下限定理，使得由一维问题的研究推广到一般连续体的极限分析。总之，上世纪发展﹞强化理论，极限分析理论，本构理论，安定性理论，多种类型的变分原理，极值原理以及位移限界定理等等。从此塑性力学得到多方面的大发展，基本上完善了塑性力学学科的理论框架。
我国学者在塑性力学的发展中曾做出了不少重要贡献，且至今仍进行着新的研究课题。北京大学，清华大学，中国科技大学，中国科学院力学研究所，上海交通大学，大连理工大学、华中科技大学以及太原理工大学等单位的学者们在研究结构塑性分析，弹塑性动力屈曲，结构动力响应分析，弹塑性断裂力学．弹塑性损伤力学，塑性本构理论，塑性成形力学，复合应力波传播理论等方面以及冲击屈曲理论和弹塑性结构动力系统的稳定性，分叉，非规则运动，混沌运动等方面部有重要研究成果。
面临科学技术的飞速发展的21世纪新时代，塑性力学亟待扩大理论体系，与相邻学科协调发展有众多亟待研究解决的问题，例如塑性有限变形理论，特别是在强动载荷作用下的有限变形的基本塑性行为，本构理论，非规则运动的控制理论以及塑性力学和材料科学与工程实际有密切的关系，从而引发了塑性变形与材料内部结构的关系，所谓应变场的尺度效应，应变梯度塑性理论的研究等等。这些问题都离不开创造新的实验手段和新的实验技术，发现新现象，建立新模型、新理论。
塑性力学的发展与工程应用有着直接密切的关系。为了充分发挥材料的潜力，最早发展了塑性极限设计，在建筑结构工程、船舶、桥梁工程中得到了广泛应用；同时，在材料的拉拔、压延等成形、铸造工业方面，也发挥了塑性力学的重要作用。塑性力学有着广阔的应用前景。在短时强载荷作用下的弹塑性体，能量的吸收主要由其塑性变形吸收。有限变形条件下的塑性动力学将在塑性成形动力学、穿甲力学等领域有着重要应用。
当材料的本征长度为微米量级，应变梯度的影响必然表现在微机电系统以及信息材料、微元件的力学行为。诸如微细元件的断裂、损伤、强度及稳定性等等问题。以应变梯度理论为核心的微结构塑性力学将会迅速得到发展，应用于高新
技术的众多领域。
(三) 弹塑性力学问题的研究方法
弹塑性力学问题的研究方法可分为三种类型：
(1)数学方法
就是用数学分析的工具对弹塑性力学边值问题进行求解，从而得出物体的应力场和位移场等。在材料力学中求解超静定问题时，从静力平衡、变形几何关系和应力应变物理关系三个方面来建立求解超静定问题的基本方程，用“应力法”或“位移法”来求解各种具体超静定问题。上述方法对于分析弹塑性力学问题同样是适用的。因为弹塑性力学的基本内容，同样可归结为建立基本方程，根据基本方程求解各类具体问题。
建立弹塑性力学的基本方程所采用的方法同材料力学相比更—般化了。它不是对某个构件或结构建立方程，而是对从物体中截取的单元体建立方程，由此建立的是偏微分方程，它适用于各种构件或结构的弹性体。
一般来说，在外力作用下，弹塑性体内部各点的应力、应变和位移是不同的，都是位置坐标的函数。这些函数关系只用平衡条件是不能求得的，所以，任何弹塑性力学问题均为超静定问题，必须从静力平衡、变形几何关系和应力应变物理关系三个方面来考虑。即对单元体用静力学条件，得到—组平衡微分方程；然后考虑变形条件，得到—组几何方程，最后再利用材料的物理关系，称之为本构方程得到表示应力与应变关系的物理方程。此外，在弹塑性体的表面上，还必须考虑体内的应力与外载荷之间的平衡，从而得到边界条件。根据边界条件求解上述方程．便得各种具体问题的解答。这就是说，可根据足够数目的微分方程和定解条件，来求解未知的应力、应变和位移。因此，在用弹塑性力学的方这种方法要解含未知量的偏微分方程，对很多问题的精确求解难度很大，故常采用近似解法。例如，基于能量原理的变分方法，其中主要是里茨(Ritz，w．)法，伽辽金(Galerkin，B．G．)法等。对于弹性力学问题，还有所谓的逆解法和半逆解法。
另一种数学方法是数值方法。特别是广泛应用电子计算机以后，数值方法对大量的弹性力学问题十分有效。在数值方法中，常见的有差分法、有限元法及边界元法等。目前已广泛应用于弹塑性力学的各类问题的计算中。尤其是塑性力学方程是非线性的，因而在应用近似计算方法方面引起人们的注意。近年来由于计算技术的发展，应用增量理论进行近似计算的讨论己比较多。目前有限元法在弹塑性理论已广泛应用，可以顶计用有限元法和其他数值计算万法进行弹塑性应力分析将有广阔的前途。
(2)实验方法
就是利用机电方法、光学方法、声学方法等来测定结构部件在外力作用下应力和应变的分布规律，如光弹性法、云纹法等。
(3)实验与数学相结合的方法
这种方法常用于形状非常复杂的弹塑性结构。例如对结构的特殊部位的应力状志难以确定，可以用光弹性方法测定，作为已知量，置入数值计算中，待别是当边界条件难以确定时，则需两种方法结合起来，以求得可靠的解答。
本书主要介绍数学方法。
弹塑性力学简答题 第一章 应力 1、 什么是偏应力状态？什么是静水压力状态？举例说明？ 静水压力状态时指微六面体的每个面只有正应力作用，偏应力状态是从应力状态中扣除静水压力后剩下的部分。 2、应力边界条件所描述的物理本质是什么？ 物体边界点的平衡条件。 3、对照应力张量ij δ与偏应力张量ij S ，试问：两者之间的关系？两者主方向之间的关系？ 相同。110220330 S S S σσσσσσ=+=+=+。 4、为什么定义物体内部应力状态的时候要采取在一点的领域取极限的方法？ 不规则，内部受力不一样。 5、解释应力空间中为什么应力状态不能位于加载面之外？ 保证位移单值连续。连续体的形变分量x ε、y ε、xy τ不是互相独立的，而是相关，否则导致位移不单值，不连续。 6、Pie 平面上的点所代表的应力状态有何特点？ 该平面上任意一点的所代表值的应力状态1+2+3=0，为偏应力状态，且该平面上任一法线所代表的应力状态其应力解不唯一。 固体力学解答必须满足的三个条件是什么？可否忽略其中一个？ 第二章 应变 1、从数学和物理的不同角度，阐述相容方程的意义。 从数学角度看，由于几何方程是6个，而待求的位移分量是3个，方程数目多于未知函数的数目，求解出的位移不单值。从物理角度看，物体各点可以想象成微小六面体，微单元体之间就会出现“裂缝”或者相互“嵌入”，即产生不连续。 2、两个材料不同、但几何形状、边界条件及体积力（且体积力为常数）等都完全相同的线弹性平面问题，它们的应力分布是否相同？为什么？ 相同。应力分布受到平衡方程、变形协调方程及力边界条件，未涉及本构方程，与材料性质无关。 3、应力状态是否可以位于加载面外？为什么？ 不可以。保证位移单值连续。连续体的形变分量x ε、y ε、xy τ不是互相独立的，而是相关，否则导致位移不单值，不连续。 4、给定单值连续的位移函数，通过几何方程可求出应变分量，问这些应变分量是否满足变形协调方程？为什么？ 满足。根据几何方程求出各应变分量，则变形协调方程自然满足，因为变形协调方程本身是从几何方程中推导出来的。 5、应变协调方程的物理意义是什么？ 对于单连通体，协调方程是保证由几何方程积分出单值连续的充分条件。多于多连通体，除满足协调方程方程外，还应补充保证切口处位移单值连续的附加条件。 6、已知物体内一组单值连续的位移，试问通过几何方程给出的应变一定满足变形协调方程吗？为什么？
弹塑性力学 第四章 弹性力学的基本方程与解法 一、线性弹性理论适定问题的基本方程和边界条件 对于在空间占有体积域V 的线弹性体在外加恒定载荷和固定几何约束条件下引起 的小变形问题，若以, , u εσ作为求解变量，则可以建立如下偏微分方程边值问题： 几何方程 ()1,,2ij i j j i u u ε= + ()12?+?u u ε= (1a) 广义胡克定律 ij ijkl kl E σε= :E σ=ε (1b) 平衡方程 ,0ij j i f σ+= ??+=f 0σ V ?∈x (1c) 以上方程均要求在域内各点均满足。 边界条件 u u i i = ?∈x S ui (2a) n t j ji i σ= ?∈x S ti (2b)对于适定问题，即不仅要求保证解存在唯一，而且有较好的稳定性。当载荷或边界条件给定值有微小摄动时，应能保证问题解的变化也是微小的。对于边界条件的提法就有严格的要求。即要求： S S S S S ui ti ui ti U I ==? (2c) 对于各向同性材料，其广义胡克定律可具体写成 σλεδεij kk ij ij G =+2 ()tr 2G λ+I σ=εε (3a) ()11ij ij kk ij E ενσνσδ??=+??? ()()1tr E νν=????I ε1+σ?σ (3b)以上就域内方程来说，一共是对于u ,,σ ε的15个独立分量u i ij ij ,, σε的15个方程。对于边界条件来说，三维问题每点有三个边界条件，而且是在三个正交方向上每个方向有一个边界条件，这个边界条件或者给定位移、或者给定面力。这三个正交
第二章 应力理论和应变理论 2—3．试求图示单元体斜截面上的σ30°和τ30°（应力单位为MPa ）并说明使用材料力学求斜截面应力为公式应用于弹性力学的应力计算时，其符号及正负值 应作何修正。 解：在右图示单元体上建立xoy 坐标，则知 σx = -10 σy = -4 τxy = -2 （以上应力符号均按材力的规定） 代入材力有关公式得： 代入弹性力学的有关公式得： 己知 σx = -10 σy = -4 τxy = +2 由以上计算知，材力与弹力在计算某一斜截面上的应力时，所使用的公式是不同的，所得结果剪应力的正负值不同，但都反映了同一客观实事。 2—6. 悬挂的等直杆在自重W 作用下（如图所 示）。材料比重为γ弹性模量为 E ，横截面面积为A 。试求离固定端z 处一点C 的应变εz 与杆的总伸长量Δl 。 解：据题意选点如图所示坐标系xoz ，在距下端（原点）为z 处的c 点取一截面考虑下半段杆的平衡得： c 截面的内力：N z =γ·A ·z ； c 截面上的应力：z z N A z z A A γσγ??===?； 所以离下端为z 处的任意一点c 的线应变εz 为： z z z E E σγε==； 则距下端（原点）为z 的一段杆件在自重作用下，其伸长量为： ()2 2z z z z z z z z y z z l d l d d zd E E E γγ γε=???=??=? = ?= o o o o V ； 显然该杆件的总的伸长量为（也即下端面的位移）： ()2 222l l A l l W l l d l E EA EA γγ?????=??= = = o V ；（W=γAl ） 2—9.己知物体内一点的应力张量为：σij =50030080030003008003001100-?? ??+-?? ??--?? 应力单位为kg ／cm 2 。 试确定外法线为n i （也即三个方向余弦都相等）的微分斜截面上的总应力n P v 、正应力σn 及剪应力τn 。 解：首先求出该斜截面上全应力n P v 在x 、y 、z 三个方向的三个分量：n ＇=n x =n y =n z 题图1-3
第十一章 习题答案 11.3使用静力法和机动法求出图示超静定梁的极限载荷。 解1：（1）静力法 首先该超静定梁（a ）化为静定结构（b ）、（c ）。分别求出其弯矩图，然后叠加，得该超静定梁的弯矩图（f ） 在极限情况下 ,A s B s M M M M =-= 设C 点支反力为C R ，则： 12C s R l Pl M -=- 1(2)C s R l l M -= 由上二式得() ()111 42p M l l P l l l * -= - 当P 值达到上述数值时，结构形成破坏机构，故P 为该梁的完全解。 （2）机动法 设破坏机构如图（g ），并设B 点挠度为δ，则： 11,(2)A C l l l θδθδ==- () 1122B A C l l l l δ θθθ=+= - 外力功e W P δ=
内力功() 1 1142i A A B B s l l W M M M l l l θθδ-=+= - 由e i W W =，可得极限载荷上限为 () 1 1142s l l P M l l l *-= - 由于在P *作用下，()s s M M x M -≤≤，故上式所示载荷为完全解的极限载荷。 解2：（1）静力法 先将该超静定梁化为静定梁（b ）、（c ），分别作弯矩图，叠加得该超静定梁的弯矩图（f ） 设A 点为坐标原点，此时弯矩方程为： ()()()2 12 B M x R l x q l x =--- 在极限状态时，有 ()0,0s x M M ==- ()11,s x x M x M == 令 () 0dM x dx =得1()B q l x R -= （1） 而21 2 B s R l ql M -=- （2） ()()2 1112 B s R l x q l x M ---= （3） 联立解（1）、（2）、（3）得 2 1 22s s M qM ql l ??=- ??? 解得21122s M q l ?= ?
第七章 等截面柱体的弹塑性扭转 在船舶、航空、土建以及机械工程等的机械传动机构中，作为传递扭矩的柱体是个重要的部件。所谓柱体的扭转，是指圆柱体和棱柱体只在端部受到扭矩的作用，且扭矩矢量与柱体的轴线z 的方向相重合。 扭转问题属于仅在端面上受力柱体的平衡问题，若严格地满足其边界条件，按弹塑性力学求解是比较困难的。因此，利用圣维南原理，将边界条件放松，即认为柱体中间截面上的应力仅与端面上外力的合力及合力矩有关，这种放松了边界条件的问题称为圣维南问题。即使对于圣维南问题，仍需要求解一组偏微分方程，并使其满足一定的边界条件。但在实用上很少由直接积分其基本方程而得到解答，大部分工程问题用间接的或近似的方法得到。在间接方法中，圣维南的半逆解法是很重要的。即先在应力或位移分量中假设一部分未知函数，然后将这部分函数代入基本方程，求得另外一部分的未知函数，并使全部未知函数满足所给定的边界条件，则所假设的和求得的函数即为问题的解。由于用应力作为基本未知函数用半逆法求解时可以导致比较简单的边界条件，因此求解比较方便。 7.1 弹性柱体自由扭转的基本关系式与应力函数解 在材料力学中曾经过讨论圆轴的扭转，其特点是扭转变形前后的截面都是圆形，而且每一个截而只作刚体转动，在小变形条件下，没有铀向位移，取坐标系为z y x ,,，且柱体的轴线为z 方向，z 方向的位移为w ，即0),,(=z y x w 。这样，变形后截面的半径及圆轴长度基本不变。 非圆形截面柱体的情况要复杂得多。由于截面的非对称性，在扭转过程中，截面不再保持为平面，而发生了垂直于截面的翘曲变形，即0),,(≠z y x w 。函数 ),,(z y x w 称为翘曲函数。下面讨论任意截面形状的棱柱体扭转基本方程。 设有任意截面形状的等截面棱柱体，柱体两端受纠扭矩T M 作用，如图7.1所示。 1. 边界条件 对于扭转问题，柱体侧面为自由表面，因此柱体侧面的边界条件为 ?? ???=+=+=+000m l m l m l zy zx y xy xy x ττσττσ (7.1-1) 式中),cos(),,cos(n y m x n l ==。
第一章绪论 1.1弹塑性力学的任务 固体力学是研究固体材料及其构成的物体结构在外部干扰(载荷、温度交化等)下的力学响应的科学，按其研究对象区分为不同的学科分支。弹性力学和塑性力学是固体力学的两个重要分支。弹性力学是研究固体材料及由其构成的物体结构在弹性变形阶段的力学行为，包括在外部干扰下弹性物体的内力(应力)、变形(应变)和位移的分布，以及与之相关的原理、理论和方法；塑性力学则研究它们在塑性变形阶段的力学响应。大多数材料都同时具有弹性和塑性性质，当外载较小时，材料呈现为弹性的或基本上是弹性的；当载荷渐增时，材料将进入塑性变形阶段，即材料的行为呈现为塑性的。所谓弹性和塑性，只是材料力学性质的流变学分类法中两个典型性质或理想模型；同一种材料在不同条件下可以主要表现为弹性的或塑性的。因此，所谓弹性材料或弹性物体是指在—定条件下主要呈现弹性性态的材料或物体。塑性材料或塑性物体的含义与此相类。如上所述。大多数材料往往都同时具有弹性和塑性性质，特别是在塑性变形阶段，变形中既有可恢复的弹性变形，又有不可恢复的塑性变形，因此有时又称为弹塑性材料。本书主要介绍分析弹塑性材料和结构在外部干扰下力学响应的基本原理、理论和方法。以及相应的“破坏”准则或失效难则。 以弹性分析为基础的结构设计是假定材料为理想弹性，相应于这种设计观点就以分析结果的实际适用范作为设计的失效准则，即认为应力(严柞地说是应力的某一函数值)到达一定限值(弹性界限)，将进入塑性变形阶段时、材料将破坏。结构中如果有一处或—部分材料“破坏”，则认为结构失效(丧失设计所规定的效用)。由于一般的结构都处于非均匀受力状态，当高应力点或高应力区的材料到达弹性界限时，类他的大部分材料仍处于弹性界限之内；而实际材料在应力超过弹性界限以后并不实际发生破坏，仍具有一定的继续承受应力(载荷)的能力，只 不过刚度相对地降低。因此弹性设计方法不能充分发挥材料的潜力，导致材料的某种浪费。实际上、当结构内的局部材料进入塑性变形阶段，在继续增加外载荷时，结构的内力(应力)分布规律与弹性阶段不同，即所谓内力(应力)重分布，这种重分布总的是使内力(应力)分布更趋均匀，使原来处于低应力区的材料承受更大的应力，从而更好地发挥材料的潜力，提高结构的承载能力。显然，以塑性分析为基础的设计比弹性设计更为优越。但是，塑性设计允许结构有更大约变形，以及完全卸载后结构将存在残余变形。因此，对于刚度要求较高及不允许出现残余变
弹塑性力学 弹塑性力学 绪论：弹性力学也称弹性理论，主要研究弹性体在外力作用或温度变化等外界因素下所产生的应力、应变和位移，从而解决结构或机械设计中所提出的强度和刚度问题。在研究对象上，弹性力学同材料力学和结构力学之间有一定的分工。材料力学基本上只研究杆状构件；结构力学主要是在材料力学的基础上研究杆状构件所组成的结构，即所谓杆件系统；而弹性力学研究包括杆状构件在内的各种形状的弹性体。 弹塑性力学是固体力学的一个重要分支，是研究弹性和塑形物体变形规律的一门学科。它推理严谨，计算结果准确，是分析和解决许多工程技术问题的基础和依据。在弹塑性力学中，我们可以看到很多学习材料力学、结构力学等学科所熟知的参数和变量，一些解题的思路也很类似，但是我们不能等同的将弹塑性力学看成材料力学或者是结构力学来学习。材料力学和结构力学的研究对象及问题，往往也是弹塑性力学所研究的对象及问题。但是，在材料力学和结构力学中主要采用简化的初等理论可以描述的数学模型；在弹塑性力学中，则将采用较精确的数学模型。有些工程问题（例如非圆形断面柱体的扭转、孔边应力集中、深梁应力分析等问题）用材料力学和结构力学的方法求解，而在弹塑性力学中是可以解决的；有些问题虽然用材料力学和结构力学的方法可以求解，但无法给出精确可靠的理论，而弹塑性力学则可以给出用初等理论所得结果可靠性与精确度的评价。在弹塑性力学分析中，常采用如下简化假设：连续性假设、均匀各向同性、小变形假设、无初应力假设等假设。 弹塑性力学基本方程的建立需要从几何学、运动学和物理学三方面来研究。在运动学方面，主要是建立物体的平衡条件，不仅物体整体要保持平衡，而且物体内的任何局部都要处于平衡状态。反映这一规律的数学方程有两类，即运动微分方程和载荷的边界条件。以上两类方程都与材料的力学性质无关，属于普适方
一、简答题 1答：（1）如图1所示，理想弹塑性力学模型： e s s e E E σε εεσεσεε=≤==>当当 （2）如图2所示，线性强化弹塑性力学模型： () 1e s s e E E σε εεσσεεεε=≤=+->当当 （3）如图3所示，幂强化力学模型：n A σε= （4）如图4所示，钢塑性力学模型：（a ）理想钢塑性： s s εσσεσσ=≤=>当不确定 当 （b ）线性强化钢塑性： ()0 /s s s E εσσεσσσσ=≤=->当当 图1理想弹塑性力学模型 图2线性强化弹塑性力学模型 图 3幂强化力学模型 （a ） （b ） 图4钢塑性力学模型 2答：
3答：根据德鲁克公设， ()00,0p p ij ij ij ij ij d d d σσεσε-≥≥。在应力空间中，可将0ij ij σσ-作为向量ij σ与向量0 ij σ之差。由于应力主轴与应变增量主轴是重合的，因此，在应力空间 中应变增量也看作是一个向量。利用向量点积的定义： ()0 0cos 0p p ij ij ij ij ij ij d σ σεσσε?-=-≥，?为两个向量的夹角。由于0ij ij σσ-和p ij ε都是 正值，要使上式成立，?必须为锐角，因此屈服面必须是凸的。 4 答：逆解法就是先假设物体内部的应力分布规律，然后分析它所对应的边界条件，以确定这样的应力分布规律是什么问题的解答。 半逆解法就是针对求解的问题，根据材料力学已知解或弹性体的边界形状和受力情况，假设部分应力为某种形式的函数，从而推断出应力函数，从而用方程和边界条件确定尚未求出的应力分量，或完全确定原来假设的尚未全部定下来的应力。如果能满足弹性力学的全部条件，则这个解就是正确的解答。否则需另外假定，重新求解。 二、计算题 1解：对于a 段有：0N a a a a F A E a a σσεε==?= ，对b 段有：0 N b b b b P F A E b b σσεε-==?= 又a b ?=? 则N bP F a b = + 2解：代入公式，116I =，227I =-，30I = 故117.5MPa σ=，20MPa σ=， 3 1.5MPa σ=- ()0123/3 5.33MPa σσσσ=++= 08.62MPa τ= = 3解：（1）代入公式，110I =，2200I =-，30I = 故主应力：120MPa σ=，20MPa σ=， 310MPa σ=-
弹塑性力学简答题
弹塑性力学简答题 第一章 应力 1、 什么是偏应力状态？什么是静水压力状态？举例说明？ 静水压力状态时指微六面体的每个面只有正应力作用，偏应力状态是从应力状态中扣除静水压力后剩下的部分。 2、应力边界条件所描述的物理本质是什么？ 物体边界点的平衡条件。 3、对照应力张量ij δ与偏应力张量ij S ，试问：两者之间的关系？两者主方向之间的关系？ 相同。110220330 S S S σσσσσσ=+=+=+。 4、为什么定义物体内部应力状态的时候要采取在一点的领域取极限的方法？ 不规则，内部受力不一样。 5、解释应力空间中为什么应力状态不能位于加载面之外？ 保证位移单值连续。连续体的形变分量x ε、y ε、xy τ不是互相独立的，而是相关，否则导致位移不单值，不连续。 6、Pie 平面上的点所代表的应力状态有何特点？ 该平面上任意一点的所代表值的应力状态1+2+3=0，为偏应力状态，且该平面上任一法线所代表的应力状态其应力解不唯一。 固体力学解答必须满足的三个条件是什么？可否忽略其中一个？ 第二章 应变 1、从数学和物理的不同角度，阐述相容方程的意义。 从数学角度看，由于几何方程是6个，而待求的位移分量是3个，方程数目多于未知函数的数目，求解出的位移不单值。从物理角度看，物体各点可以想象成微小六面体，微单元体之间就会出现“裂缝”或者相互“嵌入”，即产生不连续。 2、两个材料不同、但几何形状、边界条件及体积力（且体积力为常数）等都完全相同的线弹性平面问题，它们的应力分布是否相同？为什么？ 相同。应力分布受到平衡方程、变形协调方程及力边界条件，未涉及本构方程，与材料性质无关。 3、应力状态是否可以位于加载面外？为什么？ 不可以。保证位移单值连续。连续体的形变分量x ε、y ε、xy τ不是互相独立的，而是相关，否则导致位移不单值，不连续。 4、给定单值连续的位移函数，通过几何方程可求出应变分量，问这些应变分量是否满足变形协调方程？为什么？ 满足。根据几何方程求出各应变分量，则变形协调方程自然满足，因为变形协调方程本身是从几何方程中推导出来的。 5、应变协调方程的物理意义是什么？ 对于单连通体，协调方程是保证由几何方程积分出单值连续的充分条件。多于多连通体，除满足协调方程方程外，还应补充保证切口处位移单值连续的附加条件。 6、已知物体内一组单值连续的位移，试问通过几何方程给出的应变一定满足变形协调方程吗？为什么？
应用弹塑性力学习题解答 目录 第二章习题答案 (2) 第三章习题答案 (6) 第四章习题答案 (9) 第五章习题答案 (26) 第六章习题答案 (37) 第七章习题答案 (49) 第八章习题答案 (54) 第九章习题答案 (57) 第十章习题答案 (59) 第十一章习题答案 (62)
第二章习题答案 2.6设某点应力张量的分量值已知，求作用在过此点平面上的应力矢量，并求该应力矢量的法向分量。 解该平面的法线方向的方向余弦为 而应力矢量的三个分量满足关系 而法向分量满足关系最后结果为 2.7利用上题结果求应力分量为时，过平面处的应力矢量，及该矢量的法向分量及切向分量。 解求出后，可求出及，再利用关系 可求得。 最终的结果为
2.8已知应力分量为，其特征方程为三次多项式，求。如设法作变换，把该方程变为形式，求以及与的关系。 解求主方向的应力特征方程为 式中：是三个应力不变量，并有公式 代入已知量得 为了使方程变为形式，可令代入，正好项被抵消，并可得关系 代入数据得，， 2.9已知应力分量中，求三个主应力。 解在时容易求得三个应力不变量为， ，特征方程变为 求出三个根，如记，则三个主应力为 记
2.10已知应力分量 ，是材料的屈服极限，求及主应力。 解先求平均应力，再求应力偏张量，， ，，，。由此求得 然后求得，，解出 然后按大小次序排列得到 ，， 2.11已知应力分量中，求三个主应力，以及每个主应力所对应的方向余弦。 解特征方程为记，则其解为，，。对应于的方向余弦，，应满足下列关系 （a） （b） （c） 由（a）,(b)式，得，，代入（c）式，得 ，由此求得
R r u A A' x y z Ch3-1 位移与应变几何方程 分量形式： 符号规定：与坐标轴同向为正 刚体位移：各点间相对位置在物体发生位移后依然不变。 刚体位移不会使物体产生变形 n 位移： 定义A 点位移： u =r -R 位移—物体内每一点的空间位置的变化位移场：物体内各点位移矢量的集合 l l l ?′= εα ?=γ0 90A B A B l l ' ' ' x y z A B A B l l ''' C C ' α 90 x y z o 应变：符号规定：正应变—线元伸长为正 剪应变—直角变小为正 物体变形 { 体积改变形状畸变 长度变化，方向改变 O A B C O A B C ' ' ' 'x y z OA OA -A O x ′′= ε OB OB -B O y ′′= ε OC OC -C O z ′′= εA O B yx xy ′ ′′∠?π =γ=γ2B O C zy yz ′ ′′∠?π =γ=γ2C O A zx xz ′ ′′∠?π =γ=γ2 与一点的应力状态相似，可以证明：应变张量决定了一点的应变状态
x u dx u dx x u u x ??= ??? ??????+=εy v dy v dy y v v y ??= ???????????+=εx v dx v dx x v v yx ??= ???+= α)(y u dy u dy y u u xy ??= ???+= α)(xy u v y x γ??= +??dx x u u ??+dx x v v ??+dy y u u ??+dy y v v ??+考虑小变形假定 v αxy αyx x y O A B A'B' O' u x u x ε?= ?y v y ε?= ?xy yx u v y x γγ??== +??z w z ??= εyz zy v w z y γγ??== +??xz zx u w z x γγ??== +??几何方程（小变形）： 其他应变分量同理可以得出 z w z ??= εx w z u zx xz ??+??= γ=γy w z v zy yz ??+??= γ=γε εεεε εεεε ε???? =?? ????? ? 1 2ij ij εγ=几何方程张量表示 )(2 1 ,,i j j i ij u u += εCauchy 应变 张量 ??? ???????????? ???+=dx x w dx x v dx x u A'M'，， 1??? ???????????????+??=dy y w dy y v dy y u B'M'，，1? ??????????? ??+????=dz z w dz z v dz z u C'M'1，，Ch3-2 体积应变 M 点位移,,) u v w （A B C A B C ' ' ' x y z M M ' d z d x d y 变形后各边长沿坐标轴的投影
3. STRAIN 3.1. Deformation and Strain tensor In present chapter we examine the deformation geometry of the deformable solid without regard for the actual forces required to produce it. The most obvious and direct method of describing the motion of a continuum solid is to consider the motion of each and every particle making up the solid. If the relative position of every particle is not changed, there is only rigid moving and rotation, then we may consider it as a rigid displacement. If the relative position of every particle is changed, in the same time the initial shape of the body is distorted, then we called there is a deformation. In the following, we will discuss the deformation of elastic-plastic body. Suppose the distance between two points P o(x o, y o) and P(x,y) is P o P in plane Oxy before deformation. After deformation the two ends of segment P o P moved to P o′(x o′y o′) and P′(x′, y′). Let P o P =s, P o′P′= s ′then the components of vectors s′and s along the x , y axes are: s x′=s x+ s x s y′=s y′+s y The displacement component at point P o is u o =x o′?x o v o =y o′?y o (3.1) Similarly, at point P the displacement component is(Fig.3.1): u =x′– x v =y′– y (3.2) Suppose the displacement u and v are the single-value continuously functions of x and y, then we can expand the displacement at point P in an infinite Taylor series about point P o, that is: u = u o + s x + s y + 0 (s x2, s y2 ) v =v o + s x + s y+ 0(s x2, s y2) (3.3) Because point P is in the neighbourhood of the point P o, therefore the quantity s is sufficiently small, so that we obtain the formula s x =s x′–s x = (x′-x ) – (x o′-x o ) = s x+s y s y =s y′–s y = (y′-y) – (y o′-y o )= s x+ Using the indicial notation and summation convention, these equations
第三章 应变状态理论 在外力、温度变化或其他因素作用下，物体内部各质点将产生位置的变化， 即发生位移。如果物体内各点发生位移后仍保持各质点间初始状态的相对位置，则物体实际上只发生了刚体平移和转动，这种位移称为刚体位移。如果物体各质点发生位移后改变了各点间初始状态的相对位置，则物体同时也产生了形状的变化，其中包括体积改变和形状畸变，物体的这种变化称为物体的变形运动或简称为变形，它包括微元体的纯变形和整体运动。应变状态理论就是研究物变形后的几何特性。即给定物体内各点变形前后的位置，确定无限接近的任意两点之间所连矢量因物体变形所引起剧烈变化。这是一个单纯的几何问题，并不涉及物体变形的原因，也就是说并不涉及物体抵抗变形的物理规律。本章主要从物体变形前后的几何变化论述物体内一点的应变状态。 位移与线元长度、方向的变化 坐标与位移 设变形前物体上各点的位置在笛卡尔坐标(Descarter coordinate)系的轴(X 、、Y、Z )上的投影为(z y x ,,)，又设物体上各点得到一位移，并在同一坐标轴上的投影为(u 、v 、w )，这些位移分量可看作是坐标(z y x ,,)的函数。于是物体上任点的最终位置由下述坐标值决定。即 ?? ? ?? +=+=+=),,(),,(),,(z y x w z z y x v y z y x u x ζηξ 上式中函数u 、v 、w 以及它们对坐标(z y x ,,)的偏导数假设是连续的，则式确定了变量(z y x ,,)与),,(ζηξ之间的关系。因为物体中变形前各点对应看变形后的各点，因此式是单值的，所以式可看成是坐标的一个变换。 如果在中，假设00,y y x x ==，则由式可得如下三个方程
第十一章习题答案 11.3使用静力法和机动法求出图示超静定梁的极限载荷。 解1:（ 1）静力法 首先该超静定梁（a ）化为静定结构（b ）、（c ）。分别求出其弯矩图，然后叠 加，得该超静定梁的弯矩图（f ） 在极限情况下 M A M s , M B M s 设C 点支反力为R C ，贝U ： R C 2l Pl 1 当P 值达到上述数值时，结构形成破坏机构，故 P 为该梁的完全解。 （2）机动法 设破坏机构如图（g ）,并设B 点挠度为，则: C ,(2l l 1) 21 l 1 21 11 外力功W e P (I R c (2l h) M s 由上二式得 M p 41 l 1 2l l 1 l 1 k ——
41 l 内力功 W i M AA M B B —M l 1 21 l 1 由W e W ,可得极限载荷上限为 4l l i l i 2l l i 由于在P 作用下，M s M x M s ，故上式所示载荷为完全解的极限载荷。 解2：（ 1）静力法 先将该超静定梁化为静定梁（b ）、（c ），分别作弯矩图，叠加得该超静定梁的 弯矩图（f ） 设A 点为坐标原点，此时弯矩方程为: M x R B l x 在极限状态时，有 M s x x-1 ,M x 1 M s 令dM X dx 0 得 q(l X i ) R B 而 R B l iql 2 1 2q (1)、(2)、(3)得 M s 2 l R B l X i 联立解 2qM s i i ql M s M s (1) (2) (3) 解得q ii2 i44 i6 M s l 2
在以上q0值作用下，梁已形成破坏机构，故其解为完全解 （2）机动法如图（g） 设在A、C两点形成塑性铰A B 内力功为 外力功为 由虚功原理W i W 该解与完全解的误差为 3% q 解3：（1）静力法 设坐标原点在C点，此时弯矩方程为： BC 段（0 x L 2）M （x） R c x qx2 1 1 AB段（L 2 x l）M （x）&X - ql x T 2 4 取较大的值，可得q011.66 处，M为极大值，设在BC段，由 dM x dx 得R c q 0 R c q (1) M s M s g2 3M s l W e 2 02q x dx 4q 得：q 12M s q0 11.66^ l2 b ----------- ----------------- H
附录Ⅱ习题解答提示与参考答案 第二章应力理论 2-1 ζn=ζ1l2+ζ2m2,；式中l、m、n为斜截面外法线的方向余弦。 2-2 p=111.5A；ζn=26A；ηn=108.5A 2-3 提示：平面Ax+By+C z+D=0的外法线的方向余弦为：(式中i=1，2，3或A，B，C) 答案： 2-4 略 2-5 (a)ζ1=738.5；ζ2=600；ζ3=-338.5；ηmax=538.5；应力单位为MPa。 (b)ζ1=700；ζ2=600；ζ3=-600；ηmax=650；应力单位为MPa。 2-6 ζ1=3.732η0；ζ2=-0.268η0；α=15o。 2-7 (材料力学解) 应力单位为MPa。 (弹塑性力学解) 应力单位为MPa。 2-8 ζ1=107.3a；ζ2=44.1a；ζ3=-91.4a； ζ1主方向：(±0.314，0.900，0.305)； ζ2主方向：(±0.948，±0.282，±0.146)； ζ3主方向：(0.048，±0.337，0.940)。 2-9 ；ζ2=0；ζ3=-ζ1。 2-10、2-11 略 2-12 (1)略；(2)ζ8=ζm=5.333MPa；η8=8.654MPa。 2-13 p8=59.5；ζ8=25.0a；η8=54.1a。 2-14 上式中S为静矩。材料力学解不满足平衡微分方程和边界条件。
2-15 ，Q为梁横截面上的剪力。提示：利用平衡微分方程求解。2-16 ζ1=17.083×103Pa；ζ2=4.917×103Pa；ζ3=0,?=40o16′。2-17 略2-18 2。2-19 提示：将三个主方向的三组方向余弦分别两两一组代人式(2-12)证之。2-20 。2-21 在AA′上：ζx=-γy，ηxy=0；在AB上：ηxy=0，ζy=-γh；在BB′上：l1=cosα，l2=-sinα，l3=0；则应力分量满足关系式：2-22 。2-23 。2-24 ηzx=-ζz tanα；ζx=ζz tan2α。2-25 在x=-ytanα处，在x=ytanβ处: 2-26 A=0；B=-ρ1g；C=ρgcotβ-2ρ1gcot3β；。 2-27 (1)ζ1=99.6A；ζ2=58.6A；ζ3=-138.2A；ηmax=118.9A。 (2)ζ1=99.6A；ζ2=58.6A；ζ3=-138.2A；ηmax=118.9A。
弹塑性力学简答题 第一章应力 1、什么是偏应力状态？什么是静水压力状态？举例说明？ 静水压力状态时指微六面体的每个面只有正应力作用，偏应力状态是从应力状态中扣除静水压力后剩下的部分。 2、应力边界条件所描述的物理本质是什么？ 物体边界点的平衡条件。 3、对照应力张量 ij 与偏应力张量ij S，试问：两者之间的关系？两者主方向之间的关系？ 相同。110 220 330 S S S 。 4、为什么定义物体内部应力状态的时候要采取在一点的领域取极限的方法？ 不规则，内部受力不一样。 5、解释应力空间中为什么应力状态不能位于加载面之外？ 保证位移单值连续。连续体的形变分量 x 、y、xy不是互相独立的，而是相关，否则导致位移不单值，不连续。 6、Pie平面上的点所代表的应力状态有何特点？ 该平面上任意一点的所代表值的应力状态1+2+3=0，为偏应力状态，且该平面上任一法线所代表的应力状态其应力解不唯一。 固体力学解答必须满足的三个条件是什么？可否忽略其中一个？ 第二章应变 1、从数学和物理的不同角度，阐述相容方程的意义。 从数学角度看，由于几何方程是6个，而待求的位移分量是3个，方程数目多于未知函数的数目，求解出的位移不单值。从物理角度看，物体各点可以想象成微小六面体，微单元体之间就会出现“裂缝”或者相 互“嵌入”，即产生不连续。 2、两个材料不同、但几何形状、边界条件及体积力（且体积力为常数）等都完全相同的线弹性平面问题， 它们的应力分布是否相同？为什么？ 相同。应力分布受到平衡方程、变形协调方程及力边界条件，未涉及本构方程，与材料性质无关。 3、应力状态是否可以位于加载面外？为什么？ 不可以。保证位移单值连续。连续体的形变分量 x 、y、xy不是互相独立的，而是相关，否则导致位移不单值，不连续。 4、给定单值连续的位移函数，通过几何方程可求出应变分量，问这些应变分量是否满足变形协调方程？ 为什么？ 满足。根据几何方程求出各应变分量，则变形协调方程自然满足，因为变形协调方程本身是从几何方程中 推导出来的。 5、应变协调方程的物理意义是什么？ 对于单连通体，协调方程是保证由几何方程积分出单值连续的充分条件。多于多连通体，除满足协调方程 方程外，还应补充保证切口处位移单值连续的附加条件。 6、已知物体内一组单值连续的位移，试问通过几何方程给出的应变一定满足变形协调方程吗？为什么？
我所认识的应力和应变关系 在这之前我认识了应力和应变的概念、性质以及从静力学和几何学的角度出发所得到的平衡方程和几何方程。但是平衡方程仅反映了应力分量和外力分量的关系；几何方程仅建立了位移分量和应变分量的关系。 而谈到应力与应变的关系，对于可变形固体，在弹塑性力学中，在外力的作用下，其将发生变形。变形分为两个阶段，弹性阶段和塑性阶段。在弹性阶段，发生的弹性变形可以完全恢复，它是一个可逆过程。此时，应力与应变的关系是一一对应的，是单值函数关系。而在塑性阶段，所发生的塑性变形是不可以恢复的，是不可逆过程。相对应的，塑性阶段的应力应变的关系是非线性关系，不存在一一对应的关系。 我所认识的应力和应变的关系就是本构关系。本构关系也称为物理关系，它反应的是可变形材料的固有属性，实质上是一组联系力学参数和运动参数的方程式，也就是我们所说的本构方程。 在说应力与应变的关系之前，先说一下本构关系的相关影响因素，包括材料、环境、加载类型、以及加载速度。即，),,(T t f εσ=。另外，有各种各样的本构系，比如：弹性本构关系、塑性本构关系、粘弹性本构关系、粘塑性本构关系、各向同性本构关系、各向同性本构关系等等。 简单情况的本构关系： 应力和应变的关系包括弹性和塑性的应力应变关系。我们所说的是线性弹性体的应力应变关系，又分为简单应力状态和复杂应力状态。在简单拉伸情况下，理想弹性材料的应力和应变的关系很简单，就是材料力学中的胡克定律： 。 而在塑性阶段，应力应变之间不再是简单的胡克定律，而是 。 另外，简单拉伸情况下的卸载定律是 。在后继弹性阶段，也就是卸 载后重新加载的材料会继续发生新的塑性变形，在此时的屈服称为后继屈服，相应的屈服点称为后继屈服点。初始屈服和后继屈服的不同是：第一，应力的数值不一样，后继屈服的应力值更大；第二，屈服点的个数不一样。初始屈服点只有一个，而后继屈服点会有好多个，则其对应的应力值也会有很多个。最后，在卸载全部载荷后进行反向加载比如说把拉伸改成压缩，此时会产生Bauschinger 效应。对于该效应，说明材料在某一个方向的硬化将引起反方向的软化。也就是说，各向同性材料产生塑性变形之后会变成各向异性。此时的弹性阶段的卸载荷压缩 可表示： 。 总结一下材料弹塑性行为的特殊规律大致有以下三点：一是在弹性阶段应力应变的关系是线性的，在塑性阶段它们之间的关系是非线性的；二是应力应变在 εσE =)(εσΦ=εσ?=?E - +=s s σσ