二项式定理的高考常见题型及解题对策
浙江省温州22中学 高洪武 325000
二项式定理是初中学习的多项式乘法的继续，它所研究的是一种特殊的多项式----二项式的乘方的展开式。二项式定理既是排列组合的直接应用，又与概率理论中的三大概率分布之一的二项分布有着密切联系。掌握好二项式定理既可对初中学习的多项式的变形起到很好的复习，深化作用，又可以为进一步学习概率统计作好必要的知识储备。所以有必要掌握好二项式定理的相关内容。二项式定理在每年的高考中基本上都有考到，题型多为选择题，填空题，偶尔也会有大题出现。本文将针对高考试题中常见的二项式定理题目类型一一分析如下，希望能够起到抛砖引玉的作用。
题型一：求二项展开式
1．“n b a )(+”型的展开式
例1．求4
)13(x
x +
的展开式；
解：原式=4
)13(
x
x +=
2
4
)
13(x
x +
=
])3()3()3()3([144
3
4
2
2
4
3
1
4
4
42
C
C
C
C
C x x x x x ++++
=
)112548481(12
3
4
2
++++x x x x x
=5411284812
2
++
+
+x
x
x x
小结：这类题目一般为容易题目，高考一般不会考到，但是题目解决过程中的这种“先化简在展开”的思想在高考题目中会有体现的。
2． “n b a )(-”型的展开式
例2．求4
)13(x
x -
的展开式；
分析：解决此题，只需要把4
)13(x
x -
改写成4
)]1(3[x
x -
+的形式然后按照二
项展开式的格式展开即可。本题主要考察了学生的“问题转化”能力。
3．二项式展开式的“逆用”
例3．计算c
C C C n n
n
n
n n n 3
)1( (279313)
2
1
-++-+-；
解：原式=n
n
n
n n n n n C C C C C )2()31()3(....)3()3()3(3
3
3
2
2
1
1
-=-=-++-+-+-+ 小结：公式的变形应用，正逆应用，有利于深刻理解数学公式，把握公式本质。
题型二：求二项展开式的特定项
1．求指定幂的系数或二项式系数
（1）求单一二项式指定幂的系数 例4．（03全国）9
2)21(x x -展开式中9
x 的系数是 ； 解：r
r
r
r x
x T C )21()
(9291-
=
-+=r
r r
r
x x
C )1()21
(2189-
-=x r r x
C 3189)2
1(-- 令,9318=-x 则3=r ，从而可以得到9x 的系数为：
2
21)2
1(3
3
9-
=-
C ，∴填2
21-
（2） 求两个二项式乘积的展开式指定幂的系数
例5．（02全国）72)2)(1-+x x （的展开式中，3
x 项的系数是 ；
解：在展开式中，3x 的来源有：
① 第一个因式中取出2x ，则第二个因式必出x ，其系数为6
6
7)2(-C ； ② 第一个因式中取出1，则第二个因式中必出3x ，其系数为4
4
7)2(-C
3
x ∴的系数应为：∴=-+-,1008)2()2(4
4
76
6
7C C 填1008。
（3） 求可化为二项式的三项展开式中指定幂的系数 例6．（04安徽改编）3
)21(-+
x
x 的展开式中，常数项是 ；
解：3
6
3
2
3
)1(])
1([
)21(x
x x
x x
x -=
-=-+
上述式子展开后常数项只有一项
3
3
33
6
)1(x
x C -，即20-
本小题主要考查把“三项式”的问题通过转化变型后，用二项式定理的知识解决，
考查了变型与转化的数学思想。
2． 求中间项
例7．（00京改编）求（10
3
)
1
x
x -
的展开式的中间项；
解：,)1
()
(3
10101r
r
r
r x
x T C -
=
-+ ∴展开式的中间项为5
3
5
5
10)1
()(x
x C -
即：65
252x -。
当n 为奇数时，n
b a )(+的展开式的中间项是2
1
2
121
-+-n n n n b
a
C 和2
1
2
121
+-+n n n n b
a
C ；
当n 为偶数时，n
b a )(+的展开式的中间项是222n
n n
n
b a C 。 3． 求有理项
例8．（00京改编）求10
3
)1
(x
x -
的展开式中有理项共有 项；
解：3
41010
3
1010
1)1()1
()
(r r
r r
r
r r x
x
r T C
C
-
-+-=
-
=
∴当9,6,3,0=r 时，所对应的项是有理项。故展开式中有理项有4项。
① 当一个代数式各个字母的指数都是整数时，那么这个代数式是有理式； ② 当一个代数式中各个字母的指数不都是整数（或说是不可约分数）时，那么
这个代数式是无理式。 4． 求系数最大或最小项
（1） 特殊的系数最大或最小问题
例9．（00上海）在二项式11)1(-x 的展开式中，系数最小的项的系数是 ； 解：r
r
r
r x
T C )1(11111-=
-+
∴要使项的系数最小，则r 必为奇数，且使C r
11为最大，由此得5=r ，从
而可知最小项的系数为462)1(5
5
11-=-C （2） 一般的系数最大或最小问题 例10．求8
4)21(x
x +
展开式中系数最大的项；
解：记第r 项系数为r T ，设第k 项系数最大，则有
???≥≥+-1
1
k k k k T T T T 又1
18
2
.+--=
r r r C
T ，那么有
?????≥≥-+--+--+--k
k k k k k k k C C C C 2.2
.2.2
.81182
28118 即???
????
-≥?--?--≥--)!8(!!
82)!9)!.(1(!82)!
10)!.(2(!8)!9)!.(1(!8K K K K K K K k
???
??≥
--≥-∴K K
K K 1922211
解得43≤≤k ，∴系数最大的项为第3项2
537x T =和第4项27
47x T =。
（3） 系数绝对值最大的项
例11．在（7)y x -的展开式中，系数绝对值最大项是 ；
解：求系数绝对最大问题都可以将“n b a )(-”型转化为")("n b a +型来处理， 故此答案为第4项4
3
4
7y x C ，和第5项5
2
5
7y x C -。
题型三：利用“赋值法”及二项式性质3求部分项系数，二项式系数和
例12．（99全国）若4
43
32
2104
)32(x a x a x a x a a x ++++=+
，
则2
312420)()(a a a a a +-++的值为 ；
解： 4
43322104)32(x a x a x a x a a x ++++=+
令1=x ，有432104
)32(a a a a a ++++=+
， 令1-=x ，有)()()32(314204a a a a a +-++=+
-
故原式=)]()).[((3142043210a a a a a a a a a a +-++++++ =4
4
)32.()32(+
-+
=1)1(4
=-
例13．（04天津）若2004
221020042004...)21(x x a x a a x ++++=-，
则=++++++)(...)()(200402010a a a a a a ；
解： 2004
221020042004...)21(x x a x a a x ++++=-，
令1=x ，有1...)
21(20042102004
=++++=-a a a a 令0=x ，有1)
01(02004
==-a 故原式=020*********)...(a a a a a +++++=200420031=+
在用“赋值法”求值时，要找准待求代数式与已知条件的联系，一般而言：0,1,1-特殊值在解题过程中考虑的比较多。
例14．设0155666...)12(a x a x a x a x ++++=-， 则=++++6210...a a a a ；
分析：解题过程分两步走；第一步确定所给绝对值符号内的数的符号；第二步是用赋值法求的化简后的代数式的值。 解：r
r
r r x T C
)1()
2(66
1-=
-+
∴65432106210...a a a a a a a a a a a +-+-+-=++++
=)()(5316420a a a a a a a ++-+++ =0
题型四：利用二项式定理求近似值
例15．求6998.0的近似值，使误差小于001.0；
分析：因为6998.0=6)002.01(-，故可以用二项式定理展开计算。 解：6998.0=6)002.01(-=621)002.0(...)002.0.(15)002.0.(61-++-+-+ 001.000006.0)002.0(15)002.0.(2
22
63<=-?=-=
C T ，
且第3项以后的绝对值都小于001.0，
∴从第3项起，以后的项都可以忽略不计。
∴6
998.0=6)002.01(-)002.0(61-?+≈=988.0012.01=-
小结：由n
n
n n n n
x x x x C C C ++++=+...1)1(2
2
1，当x 的绝对值与1相比很小且n 很大时，n
x x x ,....,3
2
等项的绝对值都很小，因此在精确度允许的范围内可以忽略不计，
因此可以用近似计算公式：nx x n
+≈+1)1(，在使用这个公式时，要注意按问题对精确度的要求，来确定对展开式中各项的取舍，若精确度要求较高，则可以使用更精确的公式：2
2
)
1(1)1(x n n nx x n
-+
+≈+。
利用二项式定理求近似值在近几年的高考没有出现题目，但是按照新课标要求，对高中学生的计算能力是有一定的要求，其中比较重要的一个能力就是估算能力。所以有必要掌握利用二项式定理来求近似值。
题型五：利用二项式定理证明整除问题
例16．（02潍坊模拟）求证：15151-能被7整除。 证明：15151- =1)249(51-+
=12.2.49.....2.49.2.49.495151
515050
512492
51501
51510
51-+++++C C C C C =49P+1251-（*∈N P ） 又 1)2(1217351-=- =（7+1）171- =17 (7)
.7
.7
.17
17161715
2
1716
1
1717
17-+++++C C C C C
=7Q （Q *∈N ）
)(777151
51
Q P Q P +=+=-∴
15151-∴能被7整除。
在利用二项式定理处理整除问题时，要巧妙地将非标准的二项式问题化归到二 项式定理的情境上来，变形要有一定的目的性，要凑 出相关的因数。
二项式定理高考试题的难度一般处于中挡，掌握好上述常规的二项式定理题目的解题方法，无疑对我们后续知识的学习，以及将来的高考吃了一颗制胜的定心丸。
圆梦教育中心二项式定理历年高考试题 一、填空题( 本大题共24 题, 共计120 分) 1、(1+2x)5的展开式中x2的系数是。（用数字作答） 2、的展开式中的第5项为常数项，那么正整数的值是. 3、已知,则(的值等于。 4、（1+2x2）(1+)8的展开式中常数项为。（用数字作答） 5、展开式中含的整数次幂的项的系数之和为。（用数字作答） 6、（1+2x2）(x-)8的展开式中常数项为。（用数字作答） 7、的二项展开式中常数项是。(用数字作答). 8、(x2+)6的展开式中常数项是。(用数字作答) < 9、若的二项展开式中的系数为，则。（用数字作答） 10、若(2x3+)n的展开式中含有常数项,则最小的正整数n等于。 11、（x+）9展开式中x3的系数是。（用数字作答） 12、若展开式的各项系数之和为32，则n= 。其展开式中的常数项为。（用数字作答）
13、的展开式中的系数为。(用数字作答) 14、若(x-2)5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,则a1+a2+a3+a4+a5= 。 15、（1+2x）3(1-x)4展开式中x2的系数为. 16、的展开式中常数项为; 各项系数之和为.（用数字作答） 17、(x)5的二项展开式中x2的系数是____________.(用数字作答) 18、(1+x3)(x+)6展开式中的常数项为_____________. < 19、若x＞0,则(2+)(2-)-4(x-)=______________. 20、已知(1+kx2)6(k是正整数)的展开式中,x8的系数小于120,则k=______________. 21、记(2x+)n的展开式中第m项的系数为b m，若b3＝2b4，则n＝. 22、(x+)5的二项展开式中x3的系数为_____________.(用数字作答) 23、已知(1+x+x2)(x+)n的展开式中没有常数项,n∈N*且2≤n≤8,则n=_____________. 24、展开式中x的系数为.
二项式定理知识点及11种答题技巧 1．二项式定理： 011()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈L L ， 2．基本概念： ①二项式展开式：右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式。 ②二项式系数:展开式中各项的系数r n C (0,1,2,,)r n =???. ③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项：展开式中的第1r +项r n r r n C a b -叫做二项式展开式的通项。用1r n r r r n T C a b -+=表示。 3．注意关键点： ①项数：展开式中总共有(1)n +项。 ②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。()n a b +与()n b a +是不同的。 ③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。b 的指数从0逐项减到n ，是升幂排列。各项的 次数和等于n . ④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是012,,,,,,.r n n n n n n C C C C C ??????项的系 数是a 与b 的系数（包括二项式系数）。 4．常用的结论： 令1,,a b x == 0122(1)()n r r n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈L L 令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N * -=-+-+++-∈L L 5．性质： ①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即0n n n C C =， (1) k k n n C C -= ②二项式系数和：令1a b ==,则二项式系数的和为0122r n n n n n n n C C C C C ++++++=L L ， 变形式1221r n n n n n n C C C C +++++=-L L 。 ③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和： 在二项式定理中，令1,1a b ==-，则0123(1)(11)0n n n n n n n n C C C C C -+-++-=-=L ， 从而得到：02421321 11222 r r n n n n n n n n n C C C C C C C +-++???++???=++++???= ?=L ④奇数项的系数和与偶数项的系数和：
1.2018年全国卷Ⅲ理】的展开式中的系数为 A. 10 B. 20 C. 40 D. 80 【答案】C 【解析】分析：写出，然后可得结果 详解：由题可得，令,则， 所以 故选C. 2.【2018年浙江卷】二项式的展开式的常数项是___________． 【答案】7 【解析】分析:先根据二项式展开式的通项公式写出第r+1项，再根据项的次数为零解得r，代入即得结果. 详解：二项式的展开式的通项公式为 , 令得，故所求的常数项为 3.【2018年理数天津卷】在的展开式中，的系数为____________. 【答案】
决问题的关键． 4．【山西省两市2018届第二次联考】若二项式中所有项的系数之和为，所有项的系数的绝对值之和为，则的最小值为（） A. 2 B. C. D. 【答案】B 5．【安徽省宿州市2018届三模】的展开式中项的系数为__________． 【答案】-132 【解析】分析：由题意结合二项式展开式的通项公式首先写出展开式，然后结合展开式整理计算即可求得最终结果. 详解：的展开式为：，当，时，，当，时，
，据此可得：展开式中项的系数为 . 6.【2017课标1，理6】621 (1)(1)x x + +展开式中2x 的系数为 A ．15 B ．20 C ．30 D ．35 【答案】C 【解析】 试题分析：因为666 22 11(1)(1)1(1)(1)x x x x x + +=?++?+，则6(1)x +展开式中含2x 的项为2226115C x x ?=，621(1)x x ?+展开式中含2x 的项为44 262115C x x x ?=，故2x 前系数为 151530+=，选C. 情况，尤其是两个二项式展开式中的r 不同. 7.【2017课标3，理4】()()5 2x y x y +-的展开式中x 3y 3的系数为 A ．80- B ．40- C ．40 D ．80 【答案】C 【解析】 8.【2017浙江，13】已知多项式() 1x +3 ()2x +2=5432112345x a x a x a x a x a +++++，则 4a =________，5a =________．
年全国卷Ⅲ理】的展开式中的系数为 A. 10 B. 20 C. 40 D. 80 【答案】C 【解析】分析：写出，然后可得结果 详解：由题可得，令,则，所以 故选C. 2.【2018年浙江卷】二项式的展开式的常数项是___________． 【答案】7 【解析】分析:先根据二项式展开式的通项公式写出第r+1项，再根据项的次数为零解得r，代入即得结果. 详解：二项式的展开式的通项公式为, % 令得，故所求的常数项为 3.【2018年理数天津卷】在的展开式中，的系数为____________.【答案】 决问题的关键． 4．【山西省两市2018届第二次联考】若二项式中所有项的系数之和为，所有项的系数的绝对值之和为，则的最小值为（） A. 2 B. C. D.
【答案】B 5．【安徽省宿州市2018届三模】的展开式中项的系数为 __________． ' 【答案】-132 【解析】分析：由题意结合二项式展开式的通项公式首先写出展开式，然后结合展开式整理计算即可求得最终结果. 详解： 的展开式为： ，当 ，时，，当 ， 时，，据 此可得：展开式中项的系数为 . 6.【2017课标1，理6】621 (1)(1)x x + +展开式中2x 的系数为 A ．15 B ．20 C ．30 D ．35 【答案】C 【解析】 试题分析：因为666 22 11(1)(1)1(1)(1)x x x x x + +=?++?+，则6(1)x +展开式中含2x 的项为2226115C x x ?=，621(1)x x ?+展开式中含2x 的项为44 262115C x x x ?=，故2x 前系数为 151530+=，选C. 情况，尤其是两个二项式展开式中的r 不同. 7.【2017课标3，理4】()()5 2x y x y +-的展开式中x 3y 3的系数为 ￥ A ．80- B ．40- C ．40 D ．80 【答案】C
高考数学专题复习二项式定理练习题 1.在二项式（仮的展开式中，前三项的系数成等差数列， 求展开式中所有有理项. I 2仮丿 分析：本题是典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过抓通项公 式解决. 解：二项式的展开式的通项公式为： 前三项的r =01,2. 1 1 1 1 得系数为：1 =1,上 2 =。；一 =— n,t 3 = cn — = —ng-1 ), 2 2 4 8 1 由已知：2t 2 =匕 叫 3 n= 1 + — n(n —1), 8 ??? n =8 通项公式为 _ 16 J3r 1 --- TF=c8-rx 4 r =0,1,2" 8,Tr + 为有理项，故 16 —3r 是 4 的倍数, 2 /. r =0,4,8. 依次得到有理项为「= X 4 ,丁5 = C ； —4 X =— X ,T 9 = c 8 A x° =—— x 2 ? 2 8 2 256 说明：本题通过抓特定项满足的条件， 利用通项公式求出了 r 的取值，得到了有理项.类 似地，（J 2 +3 /3）100 的展开式中有多少项是有理项？可以通过抓通项中 系数和为3n . 2. （1）求（1 —x ）3 （1+x ）10 展开式中X 5 的系数；（2）求（x + 1 +2）6 展开式中的常数 项. X 分析：本题的两小题都不是二项式展开，但可以转化为二项式展开的问题， 视为两个二项展开式相乘； （2）可以经过代数式变形转化为二项式. 解：（1 ） （1-x ）3 （1 +x ）10 展开式中的X 5 可以看成下列几种方式得到，然后合并同类项: 用（1 —X ）3 展开式中的常数项乘以 （1 +x ）10 展开式中的 X 5 项，可以得到 C lo X 5 ;用 “c"严k 丿 2n J3r =c n 2^ x 4 r 的取值，得到共有 （1）可以
二项式定理 1．二项式定理： 011()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈L L ， 2．基本概念： ①二项式展开式：右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式。 ②二项式系数:展开式中各项的系数r n C (0,1,2,,)r n =???. ③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项：展开式中的第1r +项r n r r n C a b -叫做二项式展开式的通项。用1r n r r r n T C a b -+=表示。 3．注意关键点： ①项数：展开式中总共有(1)n +项。 ②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。()n a b +与()n b a +是不同的。 ③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。b 的指数从0逐项减到n ，是升幂排列。各项的 次数和等于n . ④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是0 1 2 ,,,,,,.r n n n n n n C C C C C ??????项的系 数是a 与b 的系数（包括二项式系数）。 4．常用的结论： 令1,,a b x == 0122(1)()n r r n n n n n n n x C C x C x C x C x n N * +=++++++∈L L 令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N * -=-+-+++-∈L L 5．性质： ①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即0n n n C C =， (1) k k n n C C -= ②二项式系数和：令1a b ==,则二项式系数的和为0122r n n n n n n n C C C C C ++++++=L L ， 变形式1221r n n n n n n C C C C +++++=-L L 。 ③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和： 在二项式定理中，令1,1a b ==-，则0123(1)(11)0n n n n n n n n C C C C C -+-++-=-=L ， 从而得到：02421321 11222 r r n n n n n n n n n C C C C C C C +-++???++???=++++???= ?=L ④奇数项的系数和与偶数项的系数和： ⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数n 是偶数时，则中间一项的二项式系数2n n C 取得最大值。 如果二项式的幂指数n 是奇数时，则中间两项的二项式系数1 2n n C -,12n n C +同时
课题：二项式定理 考纲要求： 1.能用计数原理证明二项式定理 2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 教材复习 1.二项式定理及其特例： ()101()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈， ()21(1)1n r r n n n x C x C x x +=++ ++ + 2.二项展开式的通项公式：r r n r n r b a C T -+=1210(n r ，，， = 3.常数项、有理项和系数最大的项： 求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r 的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性. 4.二项式系数表（杨辉三角） ()n a b +展开式的二项式系数，当n 依次取1,2,3…时，二项式 系数表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和. 5.二项式系数的性质： ()n a b +展开式的二项式系数是0n C ，1n C ，2n C ，…，n n C ．r n C 可以看成以r 为自变量 的函数()f r ，定义域是{0,1,2,,}n ，例当6n =时，其图象是7个孤立的点（如图） 6.()1对称性． 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（m n m n n C C -=）．直线2 n r = 是图象的对称轴. ()2增减性与最大值： 当n 是偶数时，中间一项2n n C 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项12n n C -，12n n C +取得最大值 ()3各二项式系数和：∵1(1)1n r r n n n x C x C x x +=++ ++ +， 令1x =，则012 2n r n n n n n n C C C C C =+++ ++ +
二项式定理 1．在()103x -的展开式中，6 x 的系数为 . 2.10()x -的展开式中64x y 项的系数是 . 3．92)21(x x -展开式中9x 的系数是 . 4.8)1(x x - 展开式中5x 的系数为 。 5.843)1()2 (x x x x ++-的展开式中整理后的常数项等于 . 6.在65 )1()1(x x ---的展开式中，含3x 的项的系数是 . 7.在x (1＋x )6的展开式中，含x 3项的系数为 . 8.()()8 11x x -+的展开式中5x 的系数是 . 9.72)2)(1(-+x x 的展开式中3x 项的系数是 。 10.54)1()1(-+x x 的展开式中，4x 的系数为 . 11.在6 2)1(x x -+的展开式中5x 的系数为 . 12.5)212(++x x 的展开式中整理后的常数项为 . 13.求(x 2＋3x －4)4的展开式中x 的系数．
14.(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为 . 15.若 32()n x x -+的展开式中只有第6项的系数最大，则n= ，展开式中的常数项是 . 16.已知(124 x +)n 的展开式中前三项的二项式系数的和等于37，求展式中二项式系数最大的项的系数． 17.在(a ＋b )n 的二项展开式中，若奇数项的二项式系数的和为64，则二项式系数的最大值为________． 18.若2004200422102004...)21(x a x a x a a x ++++=-)(R x ∈，则展开式的系数和为________． 19.已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7，则a 1＋a 2＋…＋a 7的值是________． 20.已知(1－2x ＋3x 2)7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 13x 13＋a 14x 14.求：(1)a 1＋a 2＋…＋a 14； (2)a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 13.
二项式定理的高考常见题型及解题对策 浙江省温州22中学 高洪武 325000 二项式定理是初中学习的多项式乘法的继续，它所研究的是一种特殊的多项式----二项式的乘方的展开式。二项式定理既是排列组合的直接应用，又与概率理论中的三大概率分布之一的二项分布有着密切联系。掌握好二项式定理既可对初中学习的多项式的变形起到很好的复习，深化作用，又可以为进一步学习概率统计作好必要的知识储备。所以有必要掌握好二项式定理的相关内容。二项式定理在每年的高考中基本上都有考到，题型多为选择题，填空题，偶尔也会有大题出现。本文将针对高考试题中常见的二项式定理题目类型一一分析如下，希望能够起到抛砖引玉的作用。 题型一：求二项展开式 1．“n b a )(+”型的展开式 例1．求4 )13(x x + 的展开式； 解：原式=4 )13( x x += 2 4 ) 13(x x + = ])3()3()3()3([144 3 4 2 2 4 3 1 4 4 42 C C C C C x x x x x ++++ = )112548481(12 3 4 2 ++++x x x x x =5411284812 2 ++ + +x x x x 小结：这类题目一般为容易题目，高考一般不会考到，但是题目解决过程中的这种“先化简在展开”的思想在高考题目中会有体现的。 2． “n b a )(-”型的展开式 例2．求4 )13(x x - 的展开式； 分析：解决此题，只需要把4 )13(x x - 改写成4 )]1(3[x x - +的形式然后按照二 项展开式的格式展开即可。本题主要考察了学生的“问题转化”能力。 3．二项式展开式的“逆用” 例3．计算c C C C n n n n n n n 3 )1( (279313) 2 1 -++-+-； 解：原式=n n n n n n n n C C C C C )2()31()3(....)3()3()3(3 3 3 2 2 1 1 -=-=-++-+-+-+ 小结：公式的变形应用，正逆应用，有利于深刻理解数学公式，把握公式本质。 题型二：求二项展开式的特定项
20.1.1 排列的概念 【教学目标】 1.了解排列、排列数的定义；掌握排列数公式及推导方法； 2. 能用“树形图”写出一个排列问题的所有的排列，并能运用排列数公式进行计算。 3.通过实例分析过程体验数学知识的形成和发展，总结数学规律，培养学习兴趣。 【教学重难点】 教学重点：排列的定义、排列数公式及其应用 教学难点：排列数公式的推导 【教学课时】 二课时 【教学过程】 合作探究一：排列的定义 我们看下面的问题 （1）从红球、黄球、白球三个小球中任取两个，分别放入甲、乙盒子里 （2）从10名学生中选2名学生做正副班长； （3）从10名学生中选2名学生干部； 上述问题中哪个是排列问题？为什么？ 概念形成 1、元素：我们把问题中被取的对象叫做元素 2、排列：从n个不同元素中，任取m（m n ≤）个元素（这里的被取元素各不相同） 按照一定的顺序 ．．．．．排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列 ．．．．。 说明：（1）排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列（与位置有关）（2）两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同 合作探究二排列数的定义及公式 3、排列数：从n个不同元素中，任取m（m n ≤）个元素的所有排列的个数叫做从n 个元素中取出m元素的排列数，用符号m n A表示 议一议：“排列”和“排列数”有什么区别和联系？ 4、排列数公式推导
探究：从n 个不同元素中取出2个元素的排列数2n A 是多少？3n A 呢？m A n 呢？ )1()2)(1(+-?--=m n n n n A m n （,,m n N m n *∈≤） 说明：公式特征：（1）第一个因数是n ，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个 因数是1n m -+，共有m 个因数； （2）,,m n N m n * ∈≤ 即学即练: 1.计算 (1）4 10A ；(2）25A ；(3)3355A A ÷ 2.已知101095m A =???L ，那么m = 3．,k N +∈且40,k ≤则(50)(51)(52)(79)k k k k ----L 用排列数符号表示为( ) A ．5079k k A --B ．2979k A -C ．3079k A -D ．3050k A - 答案：1、5040、20、20；2、6；3、C 典型例题 例1． 计算从c b a ,,这三个元素中，取出3个元素的排列数，并写出所有的排列。 解析：（1）利用好树状图，确保不重不漏；（2）注意最后列举。 解：略 点评：在写出所要求的排列时，可采用树状图或框图一一列出，一定保证不重不漏。 变式训练：由数字1，2，3，4可以组成多少个没有重复数字的三位数？并写出所有的 排列。 5 、全排列：n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个不同元素的全排列。 此时在排列数公式中，m =n 全排列数：(1)(2)21!n n A n n n n =--?=L （叫做n 的阶乘）. 即学即练:口答（用阶乘表示）：（1）334A （2）4 4A （3）)!1(-?n n 想一想：由前面联系中（ 2 ) ( 3 ）的结果我们看到，25A 和3 355A A ÷有怎样的关系？ 那么，这个结果有没有一般性呢？ 排列数公式的另一种形式：
2020年高考理科数学 《二项式定理》题型归纳与训练 【题型归纳】 题型一 二项式定理展开的特殊项 例 在二项式5 21??? ??-x x 的展开式中，含4x 的项的系数是( ) A ．10- B ．10 C ．5- D ．5 【答案】B 【解析】对于()()r r r r r r r x C x x C T 3105525111--+-=??? ??-=，对于2,4310=∴=-r r ，则4x 的项的系数是()101225=-C 【易错点】公式记错，计算错误。 【思维点拨】本题主要考查二项式定理的展开公式，知道什么是系数，会求每一项的系数． 题型二 求参数的值 例 若二项式n x x ??? ? ?+21的展开式中,第4项与第7项的二项式系数相等,则展开式6x 的系数为________.(用数字作答) 【答案】9 【解析】根据已知条件可得: 96363=+=?=n C C n n , 所以n x x ??? ? ?+21的展开式的通项为23999912121C r r r r r x C x x T --+??? ??=??? ??=,令26239=?=-r r ,所以所求系数为921292=??? ??C . 【易错点】分数指数幂的计算 【思维点拨】本题主要考查二项式定理的展开公式，并用其公式求参数的值． 题型三 展开项的系数和 例 已知()()()()10 102210101...111x a x a x a a x -++-+-+=+，则8a 等于( ) A ．180- B ．180 C ．45 D ．45- 【答案】B
【解析】由于()()[]1010121x x --=+，又()[]10 12x --的展开式的通项公式为： ()[]()()r r r r r r r r x C x C T -???-=--??=--+12112101010101，在展开式中8a 是()81x -的系数，所以应取8=r ， ∴()1802128108 8=??-=C a . 【易错点】对二项式的整体理解 【思维点拨】本题主要对二项式定理展开式的综合考查，学会构建模型 题型四 二项式定理中的赋值 二项式()932y x -的展开式中，求： (1)二项式系数之和； (2)各项系数之和； (3)所有奇数项系数之和． 【答案】（1）9 2 （2）-1 （3）2 159- 【解析】设()9927281909...32y a y x a y x a x a y x ++++=+ (1)二项式系数之和为9992919 092...=++++C C C C . (2)各项系数之和为()132 (9) 9210-=-=++++a a a a (3)由(2)知1...9210-=++++a a a a ，令1,1-==y x ，得992105...=++++a a a a ，将两式相加，得2 15986420-=++++a a a a a ，即为所有奇数项系数之和． 【思维点拨】本题主要学会赋值法求二项式系数和、系数和，难点在于赋值 【巩固训练】 题型一 二项式定理展开的特殊项 1.在 ()10 2-x 的展开式中，6x 的系数为（ ） A ．41016C B ．41032C C ．6108C - D ．61016C - 【答案】A
二项式定理十种题型及解法 1．二项式定理： 011()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈L L ， 2．基本概念： ①二项式展开式：右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式。 ②二项式系数:展开式中各项的系数r n C (0,1,2,,)r n =???. ③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项：展开式中的第1r +项r n r r n C a b -叫做二项式展开式的通项。用1r n r r r n T C a b -+=表示。 3．注意关键点： ①项数：展开式中总共有(1)n +项。 ②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。()n a b +与()n b a +是不同的。 ③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。b 的指数从0逐项减到n ，是升幂排列。各项的 次数和等于n . ④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是012,,,,,,.r n n n n n n C C C C C ??????项的系 数是a 与b 的系数（包括二项式系数）。 4．常用的结论： 令1,,a b x == 0122(1)()n r r n n n n n n n x C C x C x C x C x n N * +=++++++∈L L 令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N * -=-+-+++-∈L L 5．性质： ①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即0n n n C C =， (1) k k n n C C -= ②二项式系数和：令1a b ==,则二项式系数的和为0122r n n n n n n n C C C C C ++++++=L L ， 变形式1221r n n n n n n C C C C +++++=-L L 。 ③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和： 在二项式定理中，令1,1a b ==-，则0123(1)(11)0n n n n n n n n C C C C C -+-++-=-=L ， 从而得到：02421321 11222 r r n n n n n n n n n C C C C C C C +-++???++???=++++???= ?=L ④奇数项的系数和与偶数项的系数和：
绵阳市开元中学高2014级高三复习 《二项式定理》 知识点、题型与方法归纳 制卷：王小凤 学生姓名：___________ 一．知识梳理 1．二项式定理：(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n (n ∈N * )这个公式所表示的定 理叫二项式定理，右边的多项式叫(a ＋b )n 的二项展开式． 其中的系数 C r n (r ＝0,1，…，n )叫 二项式系数． 式中的C r n a n －r b r 叫二项展开式的通项，用T r ＋1表示，即通项T r ＋1＝C r n a n －r b r . 2．二项展开式形式上的特点 (1)项数为n ＋1. (2)各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为n . (3)字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n . (4)二项式的系数从C 0n ，C 1n ，一直到C n －1n ，C n n . 3．二项式系数的性质 (1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．即r n r n n C C -= (2)增减性与最大值：二项式系数C k n ，当k ＜n ＋1 2时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的；当n 是偶数时，中间一项2n n C 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项 1122n n n n C C -+=取得最大值． (3)各二项式系数和：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C r n ＋…＋C n n ＝2n ； C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2 n －1 . 一个防范 运用二项式定理一定要牢记通项T r ＋1＝C r n a n －r b r ，注意(a ＋b )n 与(b ＋a )n 虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不同的，一定要注意顺序问题，另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指C r n ，而后者是字母外的部分．前者只与n 和r 有关，恒为正，后者还与a ，b 有关，可正可负． 一个定理 二项式定理可利用数学归纳法证明，也可根据次数，项数和系数利用排列组合的知识推导二项 式定理．因此二项式定理是排列组合知识的发展和延续． 两种应用 (1)通项的应用：利用二项展开式的通项可求指定的项或指定项的系数等． (2)展开式的应用：利用展开式①可证明与二项式系数有关的等式；②可证明不等式；③可证明整除问题；④可做近似计算等． 三条性质 (1)对称性；(2)增减性；(3)各项二项式系数的和； 二．题型示例 【题型一】求()n x y +展开特定项 例1：(1＋3x )n (其中n ∈N *且n ≥6)的展开式中x 5与x 6的系数相等，则n ＝( ) A.6 B.7 C.8 D.9 解：由条件得 C 5n 35＝C 6n 36，∴ n ！ 5！（n －5）！ ＝ n ！6！（n －6）！ ×3， ∴3(n －5)＝6，n ＝7.故选B. 例2：(2014·大纲)? ????x y －y x 8的展开式中x 2y 2的系数为________.(用数字作答) 解：? ????x y －y x 8展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 8? ????x y 8－r ? ????－y x r ＝()33842281r r r r C x y ---， 令8－32r ＝2，解得r ＝4，此时32r －4＝2，所以展开式中x 2y 2的系数为(－1)4C 4 8＝70.故填70. 【题型二】求()()m n a b x y +++展开特定项 例1：在(1－x )5＋(1－x )6＋(1－x )7＋(1－x )8的展开式中，含x 3的项的系数是( ) A ．74 B ．121 C ．－74 D ．－121 解析 展开式中含x 3项的系数为C 35(－1)3＋C 36(－1)3＋C 37(－1)3＋C 3 8(－1)3＝－121. 【题型三】求()()m n a b x y +?+展开特定项 例1：(2013·全国课标卷Ⅱ)已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a ＝( ) A.－4 B.－3 C.－2 D.－1 解：(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2项为C 25x 2＋ax · C 1 5x ＝10x 2＋5ax 2＝(10＋5a )x 2.
二项式定理试题类型大全 一．选择题 1.有多少个整数n 能使(n+i)4成为整数（B ）A.0 B.1 C.2 D.3 2. ()82x -展开式中不含．．4x 项的系数的和为（B ）A.-1 B.0 C.1 D.2 3．若S=123100123100A A A A ++++L L ，则S 的个位数字是（C ） A 0 B 3 C 5 D 8 4．已知（x － x a ）8展开式中常数项为1120，其中实数a 是常数，则展开式中各项系数的和是（ C ）A.28 B.38 C.1或38 D.1或28 5．在3100(25)+的展开式中，有理项的个数是（）Ａ．15个Ｂ．33个．17个Ｄ．16个 6.在2431??? ? ??+x x 的展开式中，x 的幂指数是整数的项共有（C ） A ．3项 B ．4项 C ．5项 D ．6项 7．在(1－x)5－(1－x)6的展开式中，含x 3的项的系数是（ C ） A 、－5 B 、 5 C 、10 D 、－10 8．35)1()1(x x +?-的展开式中3x 的系数为（ ） A ．6B ．-6 C ．9D ．-9 9．若x= 21，则(3+2x)10的展开式中最大的项为（B ）A.第一项B.第三项 C.第六项 D.第八项 10.二项式431(2)3n x x - 的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为（ ） A ．7 B ．12 C ．14 D ．5 11.设函数,)21()(10x x f -=则导函数)(x f '的展开式2x 项的系数为（Ｃ ） A ．1440 B ．-1440 C ．-2880 D ．2880 12．在51(1)x x +-的展开式中，常数项为（ B ） （A ）51 （B ）－51 （C ）－11 （D ）11 13．若32(1)1()n n x x ax bx n *+=+++++∈N L L ，且:3:1a b =，则n 的值为（ Ｃ ） Ａ．9 Ｂ．10 Ｃ．11 Ｄ．12 14．若多项式102x x +=10109910)1()1()1(++++???+++x a x a x a a ，则=9a （ ） （A ） 9 （B ）10 （C ）9- （D ）10- 故选D 。 17.若二项式6)sin ( x x -θ展开式的常数项为20，则θ值为（ B ） A. )(22Z k k ∈+ππ B. )(22z k k ∈-ππ C. 2π D. 2π- 18．5310 被8除的余数是（ ）A 、1 B 、2 C 、3 D 、7 19已知i x +=2，设444334224141x C x C x C x C M +-+-=，则M 的值为（ ） A 4 B -4i C 4i D 20.数(1.05)6的计算结果精确到0.01的近视值是………………………（ ） A .1.23 B .1.24 C .1.33 D .1.44
1.2018 年全国卷Ⅲ理】的展开式中的系数为 A. 10 B. 20 C. 40 D. 80 【答案】 C 【解析】分析：写出，然后可得结果 详解：由题可得，令, 则， 所以 故选 C. 2. 【2018 年浙江卷】二项式的展开式的常数项是___________． 【答案】 7 【解析】分析 : 先根据二项式展开式的通项公式写出第r +1 项，再根据项的次数 为零解得 r ，代入即得结果 . 详解：二项式的展开式的通项公式为 , 令得，故所求的常数项为 3. 【2018 年理数天津卷】在的展开式中，的系数为____________. 【答案】
决问题的关键． 4．【山西省两市 2018 届第二次联考】若二项式中所有项的系数之和为，所有项的系数的绝对值之和为，则的最小值为（） A. 2 B. C. D. 【答案】 B 5．【安徽省宿州市2018 届三模】的展开式中项的系数为__________． 【答案】 -132 【解析】分析：由题意结合二项式展开式的通项公式首先写出展开式，然后结合展开式整理计算即可求得最终结果. 详解：的展开式为：，当，时，，当，时，
，据此可得：展开式中项的系数为. 6.【2017 课标 1，理 6】(1 1 6 展开式中 2 的系数为x 2 )(1 x) x A． 15 B． 20 C． 30 D． 35 【答案】 C 【解析】 试题分析：因为 (1 1 2 )(1 x)6 1 (1 x)6 12 (1 x)6，则 (1 x)6展开式中含 x2的项为x x 1 C62x 2 15 x2，1 2 (1 x) 6展开式中含 x2 的项为 1 2 C64 x4 15x2，故 x2前系数为x x 15 15 30 ，选C. 情况，尤其是两个二项式展开式中的r 不同 . 7. 【 2017 课标 3，理 4】x y 2x 5 y的展开式中 x 3y3的系数为 A．80 B．40 C． 40 D． 80 【答案】 C 【解析】 8. 【 2017 浙江， 13 】已知多项式x 13x 22= x5 a1x4 a2 x3 a3x2 a4 x1 a5，则 a4=________， a5=________．
高考理科数学 《二项式定理》题型归纳与训练 【题型归纳】 题型一 二项式定理展开的特殊项 例 在二项式5 21??? ??-x x 的展开式中，含4x 的项的系数是( ) A ．10- B ．10 C ．5- D ．5 【答案】B 【解析】对于()()r r r r r r r x C x x C T 3105525111--+-=??? ??-=，对于2,4310=∴=-r r ，则4x 的项的系数是()101225=-C 【易错点】公式记错，计算错误。 【思维点拨】本题主要考查二项式定理的展开公式，知道什么是系数，会求每一项的系数． 题型二 求参数的值 例 若二项式n x x ??? ? ?+21的展开式中,第4项与第7项的二项式系数相等,则展开式6x 的系数为________.(用数字作答) 【答案】9 【解析】根据已知条件可得: 96363=+=?=n C C n n , 所以n x x ??? ? ?+21的展开式的通项为23999912121C r r r r r x C x x T --+??? ??=??? ??=,令26239=?=-r r ,所以所求系数为921292=??? ??C . 【易错点】分数指数幂的计算 【思维点拨】本题主要考查二项式定理的展开公式，并用其公式求参数的值． 题型三 展开项的系数和 例 已知()()()()10 102210101...111x a x a x a a x -++-+-+=+，则8a 等于( ) A ．180- B ．180 C ．45 D ．45- 【答案】B
【解析】由于()()[]1010121x x --=+，又()[]10 12x --的展开式的通项公式为： ()[]()()r r r r r r r r x C x C T -???-=--??=--+12112101010101，在展开式中8a 是()81x -的系数，所以应取8=r ， ∴()1802128108 8=??-=C a . 【易错点】对二项式的整体理解 【思维点拨】本题主要对二项式定理展开式的综合考查，学会构建模型 题型四 二项式定理中的赋值 二项式()932y x -的展开式中，求： (1)二项式系数之和； (2)各项系数之和； (3)所有奇数项系数之和． 【答案】（1）9 2 （2）-1 （3）2 159- 【解析】设()9927281909...32y a y x a y x a x a y x ++++=+ (1)二项式系数之和为9992919 092...=++++C C C C . (2)各项系数之和为()132 (9) 9210-=-=++++a a a a (3)由(2)知1...9210-=++++a a a a ，令1,1-==y x ，得992105...=++++a a a a ，将两式相加，得2 15986420-=++++a a a a a ，即为所有奇数项系数之和． 【思维点拨】本题主要学会赋值法求二项式系数和、系数和，难点在于赋值 【巩固训练】 题型一 二项式定理展开的特殊项 1.在 ()10 2-x 的展开式中，6x 的系数为（ ） A ．41016C B ．41032C C ．6108C - D ．61016C - 【答案】A
高中数学19种答题方法及6种解题思想一．十九种数学解题方法 1.函数 函数题目，先直接思考后建立三者的联系。首先考虑定义域，其次使用“三合一定理”。 2.方程或不等式 如果在方程或是不等式中出现超越式，优先选择数形结合的思想方法； 3.初等函数 面对含有参数的初等函数来说，在研究的时候应该抓住参数没有影响到的不变的性质。如所过的定点，二次函数的对称轴或是……； 4.选择与填空中的不等式 选择与填空中出现不等式的题目，优选特殊值法； 5.参数的取值范围 求参数的取值范围，应该建立关于参数的等式或是不等式，用函数的定义域或是值域或是解不等式完成，在对式子变形的过程中，优先选择分离参数的方法； 6.恒成立问题 恒成立问题或是它的反面，可以转化为最值问题，注意二次函数的应用，灵活使用闭区间上的最值，分类讨论的思想，分类讨论应该不重复不遗漏； 7.圆锥曲线问题 圆锥曲线的题目优先选择它们的定义完成，直线与圆锥曲线相交问题，若与弦的中点有关，选择设而不求点差法，与弦的中点无关，选择韦达定理公式法；使用韦达定理必须先考虑是否为二次及根的判别式； 8.曲线方程 求曲线方程的题目，如果知道曲线的形状，则可选择待定系数法，如果不知道曲线的形状，则所用的步骤为建系、设点、列式、化简（注意去掉不符合条件的特殊点）； 9.离心率 求椭圆或是双曲线的离心率，建立关于a、b、c之间的关系等式即可； 10.三角函数 三角函数求周期、单调区间或是最值，优先考虑化为一次同角弦函数，然后使用辅助角公式解答；解三角形的题目，重视内角和定理的使用；与向量联系的题目，注意向量角的范围； 11.数列问题 数列的题目与和有关，优选和通公式，优选作差的方法；注意归纳、猜想之后证明；猜想的方向是两种特殊数列；解答的时候注意使用通项公式及前n项和公式，体会方程的思想； 12.立体几何问题 立体几何第一问如果是为建系服务的，一定用传统做法完成，如果不是，可以从第一问开始就建系完成；注意向量角与线线角、线面角、面面角都不相同，熟练掌握它们之间的三角函数值的转化；锥体体积的计算注意系数1/3，而三角形面积的计算注意系数1/2 ；与球有关的题目也不得不防，注意连接“心心距”创造直角三角形解题； 13.导数 导数的题目常规的一般不难，但要注意解题的层次与步骤，如果要用构造函数证明不等式，可从已知或是前问中找到突破口，必要时应该放弃；重视几何意义的应用，注意点是否在曲线上；