二项式定理的高考常见题型及解题对策
二项式定理是初中学习的多项式乘法的继续，它所研究的是一种特殊的多项式----二项式的乘方的展开式。二项式定理既是排列组合的直接应用，又与概率理论中的三大概率分布之一的二项分布有着密切联系。掌握好二项式定理既可对初中学习的多项式的变形起到很好的复习，深化作用，又可以为进一步学习概率统计作好必要的知识储备。所以有必要掌握好二项式定理的相关内容。二项式定理在每年的高考中基本上都有考到，题型多为选择题，填空题，偶尔也会有大题出现。本文将针对高考试题中常见的二项式定理题目类型一一分析如下，希望能够起到抛砖引玉的作用。
题型一：求二项展开式
1．“n b a )(+”型的展开式
例1．求4)13(x
x +
的展开式；
解：原式=4
)1
3(
x
x +=2
4
)13(x x + =
])3()3()3()3([144342243144042C C C C C x x x x x ++++ =)112548481(12
342++++x x x x x
=54112848122
++++x
x x x
小结：这类题目一般为容易题目，高考一般不会考到，但是题目解决过程中的这种“先化简在展开”的思想在高考题目中会有体现的。
2． “n b a )(-”型的展开式
例2．求4)13(x
x -
的展开式；
分析：解决此题，只需要把4)13(x
x -
改写成4)]1(3[x
x -+的形式然后按照二
项展开式的格式展开即可。本题主要考察了学生的“问题转化”能力。
3．二项式展开式的“逆用”
例3．计算c C C C n
n n
n n
n n 3)1( (279313)
2
1
-++-+-； 解：原式=
n
n n n n n n n C C C C C )2()31()3(....)3()3()3(3
33
22
11
-=-=-++-+-+-+
小结：公式的变形应用，正逆应用，有利于深刻理解数学公式，把握公式本质。
题型二：求二项展开式的特定项
1．求指定幂的系数或二项式系数
（1）求单一二项式指定幂的系数 例4．（03全国）9
2
)21(x x -展开式中9x 的系数是 ； 解：r r r r x x T C )21()(9291
-=-+=r r r r x x C )1()21(2189--=x r r
x C 3189)2
1(--
令,9318=-x 则3=r ，从而可以得到9
x 的系数为：
2
21)21(33
9-=-C ，∴填221- （2） 求两个二项式乘积的展开式指定幂的系数
例5．（02全国）
7
2
)2)(1-+x x （的展开式中，3x 项的系数是 ； 解：在展开式中，3
x 的来源有：
① 第一个因式中取出2x ，则第二个因式必出x ，其系数为
667
)2(-C
；
② 第一个因式中取出1，则第二个因式中必出3
x ，其系数为
4
4
7
)2(-C 3x ∴的系数应为：∴=-+-,1008)2()2(44
766
7C C 填1008。
（3） 求可化为二项式的三项展开式中指定幂的系数 例6．（04安徽改编）3)21
(-+
x
x 的展开式中，常数项是 ； 解：3
6323
)1(])1([)21(x
x x x x x -=-=-+ 上述式子展开后常数项只有一项
3
3
33
6
)1(x x C -，即20-
本小题主要考查把“三项式”的问题通过转化变型后，用二项式定理的知识解决，
考查了变型与转化的数学思想。
2． 求中间项
例7．（00京改编）求（103
)1
x
x -
的展开式的中间项；
解：,)1()(3
10101r r
r
r x
x T C -=
-+Θ∴展开式的中间项为53
55
10)1()(x
x C -
即：6
5252x -。
当n 为奇数时，n
b a )(+的展开式的中间项是
2
12
121-+-n n n n
b
a
C
和
2
12
121+-+n n n n
b
a
C
；
当n 为偶数时，n
b a )(+的展开式的中间项是2
22n n n
n
b a C
。
3． 求有理项
例8．（00京改编）求103
)1
(x
x -
的展开式中有理项共有 项；
解：3
410103
1010
1)1()1()
(r r
r
r
r
r
r x
x
r T C C
-
-+-=-=
Θ
∴当9,6,3,0=r 时，所对应的项是有理项。故展开式中有理项有4项。
① 当一个代数式各个字母的指数都是整数时，那么这个代数式是有理式； ② 当一个代数式中各个字母的指数不都是整数（或说是不可约分数）时，那么
这个代数式是无理式。 4． 求系数最大或最小项
（1） 特殊的系数最大或最小问题
例9．（00上海）在二项式11
)1(-x 的展开式中，系数最小的项的系数是 ； 解：r
r r
r x T C )1(1111
1-=
-+Θ ∴要使项的系数最小，则r 必为奇数，且使C r
11为最大，由此得5=r ，从
而可知最小项的系数为
462)1(55
11
-=-C
（2） 一般的系数最大或最小问题 例10．求84)21(x
x +
展开式中系数最大的项；
解：记第r 项系数为r T ，设第k 项系数最大，则有
??
?≥≥+-11k k
k k T T T T 又1
182.+--=r r r C T ，那么有
?????≥≥-+--+--+--k
k k k k k k k C C C C 2.2
.2.2
.8118228118 即???????
-≥?--?--≥--)!8(!!
82)!
9)!.(1(!82)!
10)!.(2(!8)!9)!.(1(!8K K K K K K K k
???
??≥--≥-∴K
K K K 1922211
解得43≤≤k ，∴系数最大的项为第3项25
37x T =和第4项2
747x T =。
（3） 系数绝对值最大的项
例11．在（7
)y x -的展开式中，系数绝对值最大项是 ；
解：求系数绝对最大问题都可以将“n
b a )(-”型转化为")("n
b a +型来处理， 故此答案为第4项
4
347
y
x C
，和第5项
5
25
7y x C -。
题型三：利用“赋值法”及二项式性质3求部分项系数，二项式系数和
例12．（99全国）若443322104)32(x a x a x a x a a x ++++=+，
则2
312420)()(a a a a a +-++的值为 ；
解： Θ443322104)32(x a x a x a x a a x ++++=+ 令1=x ，有432104)32(a a a a a ++++=+， 令1-=x ，有)()()32(314204a a a a a +-++=+- 故原式=)]()).[((3142043210a a a a a a a a a a +-++++++
=4
4)32.()32(+-+
=1)1(4
=-
例13．（04天津）若200422102004
2004...)
21(x x a x a a x ++++=-，
则=++++++)(...)()(200402010a a a a a a ；
解：Θ200422102004
2004...)
21(x x a x a a x ++++=-， 令1=x ，有1...)
21(20042102004
=++++=-a a a a 令0=x ，有1)
01(02004
==-a
故原式=020*********)...(a a a a a +++++=200420031=+
在用“赋值法”求值时，要找准待求代数式与已知条件的联系，一般而言：0,1,1-特殊值在解题过程中考虑的比较多。
例14．设015
5666...)12(a x a x a x a x ++++=-，
则=++++6210...a a a a ；
分析：解题过程分两步走；第一步确定所给绝对值符号内的数的符号；第二步是用赋值法求的化简后的代数式的值。 解：r r r r x T C
)1()2(66
1-=
-+Θ
∴65432106210...a a a a a a a a a a a +-+-+-=++++
=)()(5316420a a a a a a a ++-+++ =0
题型四：利用二项式定理求近似值
例15．求6
998.0的近似值，使误差小于001.0；
分析：因为6998.0=6
)002.01(-，故可以用二项式定理展开计算。
解：6
998.0=6
)002.01(-=6
2
1
)002.0(...)002.0.(15)002.0.(61-++-+-+
001.000006.0)002.0(15)002.0.(2
22
6
3<=-?=-=
C T Θ， 且第3项以后的绝对值都小于001.0，
∴从第3项起，以后的项都可以忽略不计。
∴6
998.0=6
)002.01(-)002.0(61-?+≈=988.0012.01=- 小结：由n
n
n n n n
x x x x C C C ++++
=+...1)1(22
1
，当x 的绝对值与1相比很小且n 很大时，n x x x ,....,32等项的绝对值都很小，因此在精确度允许的范围内可以忽略不计，
因此可以用近似计算公式：nx x n
+≈+1)1(，在使用这个公式时，要注意按问题对精确度的要求，来确定对展开式中各项的取舍，若精确度要求较高，则可以使用更精确的公式：2
2
)1(1)1(x n n nx x n
-+
+≈+。 利用二项式定理求近似值在近几年的高考没有出现题目，但是按照新课标要求，对高中学生的计算能力是有一定的要求，其中比较重要的一个能力就是估算能力。所以有必要掌握利用二项式定理来求近似值。
题型五：利用二项式定理证明整除问题
例16．（02潍坊模拟）求证：15151
-能被7整除。 证明：15151
-Θ =1)249(51
-+
=
12.2.49.....2.49.2.49.4951
51
515050
512492
51501
51510
51-+++++C C C C C
=49P+1251-（*
∈N P ） 又Θ1)2(12
17351
-=-
=（7+1）171- =
17.....7.7.7.17
17161715
2171611717017-+++++C C C C C
=7Q （Q *
∈N ）
)(77715151Q P Q P +=+=-∴
15151
-∴能被7整除。
在利用二项式定理处理整除问题时，要巧妙地将非标准的二项式问题化归到二 项式定理的情境上来，变形要有一定的目的性，要凑 出相关的因数。
二项式定理高考试题的难度一般处于中挡，掌握好上述常规的二项式定理题目的解题方法，无疑对我们后续知识的学习，以及将来的高考吃了一颗制胜的定心丸。