研究生“矩阵论”课程课外作业
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人口迁移问题和航班问题
(重庆大学 机械工程学院，机械传动国家重点实验室)
摘要：随着人类文明的进程，一些关于数学类的问题越来越贴近我们的生活，越发觉得数学与我们息息相关。本文将利用矩阵理论的知识对人口迁移问题和航班问题进行分析。
人口迁移问题
假设有两个地区——如南方和北方，之间发生人口迁移。每一年北方50%的人口迁移到南方，同时有25%的南方人口迁移到北方，直观上可由下图表示：
问题：如果这个移民过程持续下去，北方的人会不会全部都到南方？如果会请说明理由；如果不会，那么北方的最终人口分布会怎样？
解 设n 年后北方和南方的人口分别为n x 和n y ， 我们假设最初北方有0x 人，南方有0y 人。则我们可得，1=n 时，一年后北方和南方的人口为
???+=+=001
00175.05.025.05.0y x y y x x (1-1)
将上述方程组(1-1)写成矩阵的形式
???
? ??=
???
?
??0011y x A y x 其中 ??
?
???=75.05.025.05.0A
2=n 时，两年后北方和南方的人口为
???? ??=???? ??=???? ??0021122y x A y x A y x
依次类推下去，n 年后北方和南方的人口为
???? ??=???? ??00y x A y x n n n (1-2) 现在只需求出n A 就可得出若干年后北方和南方的人口数。 下面将使用待定系数法[1]求n A
)1)(25.0(25
.025.125
.05.0)75.0)(5.0(75
.05.025
.05
.02--=+-=?---=----=
-λλλλλλλλλA E
所以 1,25.021==λλ
矩阵A 的最小多项式为 )1)(25.0()(--=λλλm 设A a E a A n 10+= 由此可得方程组
???=+=+125.025.01010a a a a n
解方程组得
???
????-=
+-=75.025.0175.025.025.010n
n
a a 所以
??
????+?--?+=-++-=+=++11
1025.05.025.05.05.025.025.025.05.025.075.0175
.025.0175.025.025.0n n n n n
n n
A
E A a E a A 所以由式(1-2),我们得到n 年后北方和南方的人口
北方:01
075.025.025.075.025.05.025.0y x x n n n +-+?+=
南方:01
075
.025.05.075.025.05.05.0y x y n n n +++?-=
当∞→n 时，得
)(3
1
)75.025.025.075.025.05.025.0(lim lim 0001
0y x y x x n n n n n +=-+?+=+∞→∞→ ()000103
2
75.025.05.075.025.05.05.0lim lim y x y x y n n n n n +=????
??++?-=+∞∞→∞→ 由上面计算可以得到，如果移民过程持续下去，北方的人不会全部都到南方。最终北方的人口是移民前南北人口之和的1/3。南方人口是北方人口的两倍。
结论
本文论述的南北方人口迁移问题是一个比较理想化的问题，但还是有一些实际的参考价值，通过本问题的演算过程，我们可以推论，若一个地区有人口迁出(迁出率<1)，那么只要有人口迁入，则该地区始终有人口住居。
航班问题
一家航空公司经营A 、B 、C 、D 和H 五个城市的航线业务，其中H 为中心城市。各个城市间的路线见图1。
图 1
假设你想从A 城市飞往B 城市，因此要完成这次路线，至少需要两个相连的航班，即
A →H 和H →
B 。如果没有中转站的话，就不得不要至少三个相连的航班。那么问题如下：
(1)从A 到B ，有多少条路线刚好是三个相连的航班； (2)从A 到B ，有多少条路线要求不多于四个相连的航班。
解 为了方便计算，设1、2、3、4、5分别代表A 、B 、C 、D 、H 五个城市。令()ij a A =，其中ij a 表示i 城市到j 城市单连航班的路线条数()5,4,3,2,1,=j i ，若1=ij a 表示i 城市到j 城市的单连航班有1条，若0=ij a 表示i 城市到j 城市的单连航班有0条[2]。则表示i 城市到j 城市单连航班的路线条数用矩阵A 表示为
???????
??????
???=01
111
1001011000
100011010
A 令()2A b
B ij ==，则ij b 表示i 城市到j 城市两个相连航班的路线条数
???
????
?
?????
???==41111
1111211121
1121112111
2A B
令()3A c C ij ==，则ij c 表示i 城市到j 城市三个相连航班的路线条数
???
????
?
????????==45555
5232252223
53222522323
A C
令()4A d D ij ==，则ij c 表示i 城市到j 城市四个相连航班的路线条数
???
??
??
??????
???==209999
9877797877
97
78797
7784A D
(1)由上面的计算可得，12c 代表从A 到B 刚好是三个相连的航班路线条数。 所以，从A 到B ，有3条路线刚好是三个相连的航班。
(2)要求从A 到B ，不多于四个相连的航班路线条数，即是要把单个相连、两个相连、三 个相连和四个相连的全部航班路线条数加起来。 即 11731012121212=+++=+++d c b a
所以，从A 到B ，有11条路线不多于四个相连的航班。
参考文献
[1]李新,何传江.矩阵理论及其应用[M].重庆：重庆大学出版社,2005.8:117-120 [2]同济大学数学系.工程数学.线性代数[M].北京：高等教育出版社,2007.5:30-37 如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！
如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！
《电路分析基础》学习总结 通过电路基础的学习，我们的科学思维能力，分析计算能力，实验研究能力和科学归纳能力有了很大的提高，为下学期我们学习电子技术打下了基础。 对于我们具体的学习内容，第一到第四章，主要讲了电路分析的基本方法，以及电路等效原理等，而后面的知识主要是建立在这四章的内容上的，可以说，学好前面这四章的内容是我们学习电路基础的关键所在。在这些基础的内容中又有很多是很容易被忽略的。对于第五章的内容，老师让我们自主讲解的方式加深了我们的印象，同时也让我们学会如何去预习，更好的把握重点，很符合自主学习的目的。至于第六章到第十章的内容则完全是建立在前四章的内容上展开的，主要就是学会分析电路图结构的方法，对于一二阶电路的响应问题，就是能分析好换路前后未变量和改变量，以及达到稳态时所求量的值。 对于老师上课方法的感想：首先感谢窦老师和杨老师的辛苦讲课，窦老师声音洪亮，讲课思路清晰，让我们非常受益，杨老师的外语水平让我们大开眼界，在中文教学中，我们有过自主学习的机会，也让大家都自己去讲台上讲课，加深了我们的印象，而且对于我们学习能力有很大提高，再是
老师讲课的思路，让我受益不凡，在这之中感受到学习电路的方法。在双语班的教学中，虽然外语的课堂让我们感觉很有难度，有的时候甚至看不懂ppt上的单词，临时上课的时候去查，但是老师上课时经典的讲解确实很有趣味，不仅外语水平是一定的锻炼，同时也是学习电路知识，感觉比起其他班的同学，估计这应该是一个特色点吧。 对于学习电路感想：学习电路，光上课听老师讲课那是远远不够的，大学的学习都是自主学习，没有老师的强迫，所以必须自己主动去学习，首先每次上完课后的练习，我觉得很有必要，因为每次上完课时都感觉听的很懂，看看书呢，也貌似都能理解，可是一到做题目就愣住了，要么是公式没有记住，要么是知识点不知道如何筛选，所以练习很重要，第二点，应该要反复回顾已经学过的内容，只有反复记忆的东西才能更深入，不然曾经学过的东西等到要用就全都忘记了，不懂得应该多问老师，因为我们是小班，这方面，老师给了我们足够的机会。 另外，我们电路分析基础的课程网站，里面的内容已经比较详实，内容更新也比较快，经常展示一些新的内容，拓宽了我们的视野。
Student’s Name: Student’s ID No.: College Name: The study of Equivalence Relations Abstract According to some relative definitions and properties, to proof that if B can be obtained from A by performing elementary row operations on A, ~ is an equivalence relation, and to find the properties that are shared by all the elements in the same equivalence class. To proof that if B is can be obtained from A by performing elementary operations, Matrix S A ∈ is said to be equivalent to matrix S B ∈, and ~A B means that matrix S A ∈ is similar to S B ∈, if let S be the set of m m ? real matrices. Introduction The equivalence relations are used in the matrix theory in a very wide field. An equivalence relation on a set S divides S into equivalence classes. Equivalence classes are pair-wise disjoint subsets of S . a ~ b if and only if a and b are in the same equivalence class.This paper will introduce some definitions and properties of equivalence relations and proof some discussions. Main Results Answers of Q1 (a) The process of the proof is as following,obviously IA=A,therefore ~ is reflexive;we know B can be obtained from A by performing elementary row operations on A,we assume P is a matrix which denote a series of elementary row operations on A.Then ,we have PA=B,(A~B),and P is inverse,obviously we have A=P -1B,(B~A).So ~ is symmetric.We have another matrix Q which denote a series of elementary row operations on B,and the result is C,so we have QB=C.And we can obtain QB=Q(PA)=QPA=C,so A~C.Therefore,~ is transitive. Hence, ~ is an equivalence relation on S . (b) The properties that are shared by all the elements in the same equivalence class are as followings: firstly,the rank is the same;secondly,the relation of column is not changed;thirdly,two random matrices are row equivalent;fourthly,all of the matrices
《电路分析基础B》课程教学大纲(56+0学时) 一、课程基本情况 二.课程性质与任务 《电路分析基础》是电类专业的一门重要的学科基础课。本课程的主要任务是研究电路的基本定理、定律、基本分析方法及应用。本课程的目标是使学生通过对本课程的学习，理解电路分析的基本概念，掌握其分析方法、定理和定律并能灵活应用于电路分析中，使学生在分析问题和解决问题的能力上得到培养和提高，为后续课程的学习奠定坚实的理论基础。 课程思政部分要求：在教学过程中融入爱国教育、社会责任、人生领悟、民族自信、感恩等多种育人要素，倡导科学研究中的科学精神、创新精神和工匠精神，实现教师和学生的知识、情感及价值等方面的共鸣。 三. 课程主要教学内容及学时分配
四.课程教学基本内容和基本要求 第一章基础知识（ 5学时） [知识点]：电路分析基本变量（电流、电压和功率）的概念；线性电阻元件和独立源的定义及伏安关系；基尔霍夫电流定律和基尔霍夫电压定律；受控源。 [重点] 电流、电压、功率及参考方向的概念，电路的两类约束关系（元件约束和拓扑约束） [难点] 电流、电压真实方向与参考方向关系、关联非关联参考下功率计算及功率正负含义，受控源电路分析 [基本要求] 1、理解电路分析基本变量（电流、电压和功率）的概念；2、掌握线性电阻元件和独立源的定义及伏安关系；3、熟练掌握基尔霍夫电流定律和基尔霍夫电压定律；4、理解受控源的概念。 [实践与练习] 课后作业布置建议： 习题：1-1、1-2、1-3 、1-5、1-6、1-12、1-9、1-13、1-17 、1-30、1-31。 课程思政映射点：由电压、电流单位以物理学家伏特和安培名字命名，以及基尔霍夫21岁提出基尔霍夫定律，引导学生敬畏科学家、崇尚科学精神。 第二章等效变换分析法（ 5学时） [知识点]：单口网络等效条件；实际电源的两种电路模型及其等效变换；无源和含源单口网络的等效化简；Ｔ～π等效变换。 [重点]：单口网络的等效条件，单口网络的等效化简方法；
《电路分析基础B》（56+0）课程简介 课程编号：A2020350 学时[学分]：56[3.5] 课程类型：必修课 先修课程：高等数学，工程数学，大学物理 适用专业：电子工程类；微电子科学与工程专业实验班; 集成电路工程类; 一、课程概述 《电路分析基础》是电类专业的一门重要的必修学科基础课。本课程的主要任务是研究电路的基本定理、定律、基本分析方法及应用。 二、课程目标 本课程的目标是使学生通过对本课程的学习，理解电路分析的基本概念，掌握其分析方法、定理和定律并能灵活应用于电路分析中，使学生在分析问题和解决问题的能力上得到培养和提高，为后续课程的学习奠定坚实的理论基础。 三、课程内容 本课程主要讲授以下几个方面的内容：基本概念、基本理论、基本分析方法。 1、基本概念：主要涉及⑴电路元件、无源元件（电阻、电感、电容、耦合电感、理想变压器）、有源元件（电压源、电流源和受控源）；⑵电路与电路模型、稳态电路（直流稳态电路、正弦交流稳态电路）、动态电路（直流动态电路、交流动态电路）；⑶电路分析中的基本物理量，如电压、电流、功率、能量、电荷、磁链。 2、基本理论：⑴两类约束关系：元件约束，描述元件自身的电压电流特性VAR；拓扑约束，描述与节点相连的各支路间电流关系的KCL和描述组成回路的各支路间电压关系的KVL。⑵网络定理。主要包括：叠加定理、替代定理、戴维南定理与诺顿定理、互易定理等。 3、基本分析方法。电路分析法中的分析方法大致可分为三类：⑴等效变换分析方法。如两种实际电源的等效变换，无源和含源单口网络的等效化简，电源转移法，T-∏等效变换；⑵列解网络方程分析法，也称电路的一般分析法。如支路电流法，节点分析法，回路分析法；⑶应用网络定理的分析法。常常将上述三种类型的方法进行综合、灵活运用。另外，动态电路分析中，还要涉及动态电路的时域经典分析法。 另外，在实践性教学方面，有配套的实验教学，有适合学院特点的自编实验教材。实现一人一组做实验。按大纲要求的实验开出率达100%，在保持一些必
青海建筑职业技术学院 《电路分析基础》课程标准 适用专业：通信技术、电子信息工程技术（普大） 编写单位：信息技术系通信、电子教研室 编写人：蒋雯雯 审批：李明燕 编写日期：2007 年07月 修订日期：2011年03月
《电路分析基础》课程标准 学时数：120学时 适应专业：通信技术、电子信息工程技术（普大） 一、课程的性质、目的和任务 《电路分析基础》课程是我院普大“通信技术”和“电子信息工程技术”专业重要的技术基础课，它既是通信电子类专业课程体系中高等数学、物理学等科学基础课的后续课程，又是后续课程（如模拟电子技术、数字电子技术、信号与系统和电子测量仪器等）的基础，在整个人才培养方案和课程体系中起着承前启后的重要作用。 本课程理论严密、逻辑性强，有广阔的工程背景，是通信、电子类学生知识结构的重要组成部分。本课程系统地阐述了电路的基本概念、基本定律和基本的分析方法，是进一步学习其他专业课程必不可少的前期基础课程。本课程的任务是使学生掌握通信、电子类技术人员必须具备的电路基础理论、基本分析方法，掌握各种常用电工仪器、仪表的使用和简单的电工测量方法，为后续专业课的学习和今后踏入社会后的工程实际应用奠定基础。 二、课程教学目标和基本教学要求 教学目标：通过本课程的学习，逐步培养学生严肃、认真的科学作风和理论联系实际的工程观点，培养学生的科学思维能力、分析计算能力、实验研究能力和科学归纳能力。 1．知识目标： 简单直流电路分析、一阶电路的暂态分析、交流电路的分析与应用。
2．职业技能目标： 电路元器件的识别、测量能力；基本工具的使用能力；基本仪器的使用能力；电路图识图能力，并能在电工操作台上正确连接电路；能够对实际直流电路进行正确的操作、测量；直流电路的分析、计算及初步设计；能够对实际交流电路进行正确的操作、测量；交流电路的分析、计算及初步设计；动态电路的分析、计算及初步设计；安全用电能力。 3．职业素质养成目标 耐心细致的职业习惯的养成；规范操作习惯的养成；信息获取能力；团结协作精神的养成。 教学要求：本课程应适应电路内容的知识更新和课程体系改革的需要，着重介绍经典的电路分析方法，力求做到以应用为目的，以必需、够用为度，讲清概念，结合实际、强化训练，突出适应性、实用性和针对性；重点讲清基本概念和经典的电路分析方法，在例题和习题的选取上，适当淡化手工计算的技巧，并根据该课程具有较强的实践性的特点，在每章中引入计算机辅助分析与仿真测量，同时加入16个（包括5个选做）电路的实践操作实验，以达到理论与实践的结合和“教、学、做”的统一。 三、课程的教学目的、内容、重点和难点 第一章电路的基本概念与定律 教学目的： 1.了解实际电路、理想电路元件和电路模型的概念。 2.理解电路中的基本物理量－电流、电压和电功率的基本概念。 3.掌握电路的基本定律－欧姆定律、基尔霍夫定律。
武汉理工大学研究生考试试题(2010） 课程 矩阵论 （共６题,答题时不必抄题,标明题目序号） 一，填空题（１５分） 1、已知矩阵A 的初级因子为223 ,(1),,(1)λλ-λλ-，则其最小多项式为 ２、设线性变换T 在基123,,εεε的矩阵为A ,由基123,,εεε到基123,,ααα的过渡矩阵为P ,向量β在基123,,εεε下的坐标为x ,则像()T β在基123,,ααα下的坐标 3、已知矩阵123411102101,,,00113311A A A A -????????==== ? ? ? ?--???????? ,则由这四个矩阵所生成的子空间的维数为 4、已知0100001000011 000A ?? ? ?= ? ???,则1068A A A -+= 5、已知向量(1,2,0,)T i α=--，21i =-,则其范数 1α= ;2α= ;∞α= ； 二，（20）设1112112121220a a V A a a a a ??????==-=?? ?????? ?为22?R 的子集合, 1、证明：V 是22?R 的线性子空间; ２、求V 的维数与一组基； 3、对于任意的1112111221222122,a a b b A B a a b b ????== ? ????? V ∈，定义 2222212112121111234),(b a b a b a b a B A +++= 证明:),(B A 是V 的一个内积; 4、求V 在上面所定义的内积下的一组标准正交基。 三、（15分)设{} 23210[](),0,1,2i F t f t a t a t a a R i ==++∈=为所有次数小于3的实系数 多项式所成的线性空间,对于任意的22103()[]f t a t a t a F t =++∈，定义:
南京航空航天大学2012级硕士研究生
二、(20分)设三阶矩阵，，. ????? ??--=201034011A ????? ??=300130013B ???? ? ??=3003003a a C (1) 求的行列式因子、不变因子、初等因子及Jordan 标准形； A (2) 利用矩阵的知识，判断矩阵和是否相似，并说明理由. λB C 解答: (1)的行列式因子为;…(3分)A 2121)1)(2()(,1)()(--===λλλλλD D D 不变因子为; …………………(3分)2121)1)(2()(,1)()(--===λλλλλd d d 初等因子为;……………………(2分) 2)1(,2--λλJordan 标准形为. ……………………(2分) 200011001J ?? ?= ? ??? (2) 不相似,理由是2阶行列式因子不同; …………………(5分) 0,a = 相似,理由是各阶行列式因子相同. …………………(5分) 0,a ≠共 6 页 第 4 页
三、(20分)已知线性方程组不相容. ?? ???=+=+++=++1,12,1434321421x x x x x x x x x (1) 求系数矩阵的满秩分解； A (2) 求广义逆矩阵； +A (3) 求该线性方程组的极小最小二乘解. 解答:(1) 矩阵,的满秩分解为 ???? ? ??=110021111011A A . …………………(5分)10110111001101A ??????=?????????? (2) . ……………………(10分)51-451-41-52715033A +?? ? ?= ? ??? (3) 方程组的极小最小二乘解为. …………(5分)2214156x ?? ? ?= ? ??? 共 6 页 第 5 页
《电路分析基础B》考试大纲（56+0学时） 一.课程编号：A2020350 二.课程类型：必修课 课程学时：（56+0）学时/3.5学分 适用专业：电子工程类；微电子科学与工程专业实验班; 集成电路工程类 先修课程：高等数学，工程数学，大学物理 三.概述 1、考试目的：考察学生对电路的基本概念、定理、定律、基本分析方法及应用掌握的程度是否达到教学大纲的要求。 2、考试基本要求： 考试试题涵盖教学大纲的基本内容；对基本概念、基本理论的掌握及基于基础知识的基本应用能力的考察75～85%，对基于该课程知识的掌握而具有的综合能力的考察占15%～25%。 基本要求如下： ①掌握电路的基本概念与基本定律； ②掌握等效变换分析法； ③掌握线性网络的一般分析方法和网络定理，并达到灵活应用程度； ④理解正弦交流电路的基本理论，掌握正弦交流电路的稳态分析； ⑤掌握直流一阶线性动态电路的时域分析； ⑥掌握含耦合电感和理想变压器电路分析； ⑦理解线性电路的频率响应特性，掌握RLC串、并联谐振电路的分析； ⑧掌握非正弦周期信号激励下电路的稳态分析。 3、考试形式：闭卷 四.考试内容及范围 ㈠电路基本概念 1、电压、电流及其参考方向，功率和能量，功率正负号的意义； 2、基尔霍夫电流定律和电压定律； 3、电阻元件，电压源，电流源和受控源； ㈡直流电阻性电路的分析 1、单口网络等效的条件，实际电源的两种电路模型及其等效互换，
无源和含源单口网络的等效化简； 2、线性电路的一般分析方法：节点分析法，回路分析法； 3、叠加定理，替代定理，戴维南定理，诺顿定理，电路的对偶性； ㈢动态电路的时域分析 1、电容元件和电感元件的伏安关系及主要性能； 2、换路定律和初始值的计算； 3、一阶电路微分方程的建立； 4、零输入响应、零状态响应和全响应的概念，全响应的分解； 5、直流一阶电路的三要素法； 6、阶跃函数与阶跃响应； 7、周期性矩形脉冲串作用下RC电路的响应； ㈣正弦稳态电路分析 1、正弦信号及其三参量，初相和相位差，有效值； 2、正弦信号的相量表示法；基尔霍夫定律的相量形式； 3、电阻、电容和电感元件的相量形式及相量模型，阻抗和导纳计算； 4、正弦稳态电路的相量分析法； 5、正弦稳态电路的平均功率（有功功率）、视在功率、功率因数、无 功功率，最大功率传递定理。 ㈤含耦合电感和理想变压器电路分析 1、耦合电感及其伏安关系，耦合系数和互感系数； 2、同名端，耦合电感的去耦等效电路，含耦合电感电路的分析； 3、空芯变压器电路分析，初、次级等效电路，反映阻抗； 4、理想变压器初、次级电压、电流关系及其阻抗变换性质，含理想变压器电路的 分析； ㈥线性电路的频率响应特性 1、正弦稳态电路的网络函数，幅频特性和相频特性，RC电路的频率特性； 2、RLC串、并联谐振电路的谐振条件、谐振特点、品质因数和通频 带； 3、非正弦周期信号作用下电路的稳态响应，周期信号的平均功率和 有效值的计算； 五.考试对象 所有必修本课程的学生 六、考试形式 本课程考试采用堂上闭卷形式。考试时间为120 分钟，评分采用百分制，总评成绩60分为及格线 七、成绩评定方法
上海交通大学研究生（非数学专业）数学基础课程 《矩阵理论》教学大纲（附：选课指南） 一．概况 1．开课学院（系）和学科：理学院数学系 2．课程代码： 3．课程名称：矩阵理论 4．学时/学分：51学时/3学分 5．预修课程：线性代数（行列式，矩阵与线性方程组，线性空间F n，欧氏空间R n，特征值与矩阵的对角化，实对称矩阵与二次型）, 高等数学（一元微积分，空间解析几何，无 穷级数，常微分方程） 6．适合专业：全校的机、电、材、管理、生命和物理、力学诸大学科类，以及人文学科等需要的专业（另请参看选课指南）。 7．教材/教学参考书： 《矩阵理论》，苏育才、姜翠波、张跃辉编，科学出版社，2006 《矩阵分析》, R.A. Horn and C.R. Johnson, Cambridge Press (中译本)，杨奇译，机械工业出版社，2005。 《矩理阵论与应用》，陈公宁编，高等教育出版社，1990。 《特殊矩阵》，陈景良，陈向晖，清华大学出版社，2001。 《代数特征值问题》，JH.威尔金森著，石钟慈邓健新译，科学出版社，2001。 二、课程的性质和任务 矩阵理论作为一种基本的数学工具，在数学学科与其他科学技术领域诸如数值分析、优化理论、微分方程、概率统计、系统工程等学科都有广泛应用。电子计算机及计算技术的发展也为矩阵理论的应用开辟了更广阔的前景。因此，学习和掌握矩阵的基本理论和方法，对于将来从事工程技术工作的工科研究生来说是必不可少的。通过该门课程的学习，期望学生能深刻地理解矩阵理论的基本知识和数学思想，掌握有关的计算方法及技巧，提高学生的数学素质，提高科研能力，掌握矩阵理论在多元微积分、线性控制系统、微分方程、逼近理论、投入产出分析等领域的许多应用。 三、课程的教学内容和要求 矩阵理论的教学内容分为十部分，对不同的内容提出不同的教学要求。 (数字表示供参考的相应的学时数)
习题二 1．化下列矩阵为Smith 标准型： （1）222211λλλλ λλλλλ?? -?? -????+-?? ; （2）2222 00 000 00(1)00000λλλλλλ ?? ?? -? ? ??-?? -?? ; （3）2222 232321234353234421λλλλλλλλλλλλλλ?? +--+-??+--+-????+---?? ; (4)23014360220620101003312200λλλλλλλλλλλλλλ????++??????--????---?? . 解：（1）对矩阵作初等变换 23221311(1)100 10 000000(1)00(1)c c c c c c r λλλλλλλλλ+--?-???????????→-???→? ??? ????-++???? ， 则该矩阵为Smith 标准型为 ???? ? ?????+)1(1λλλ； （2）矩阵的各阶行列式因子为 44224321()(1),()(1),()(1),()1D D D D λλλλλλλλλλ=-=-=-=, 从而不变因子为 22 2341234123()()() ()1,()(1),()(1),()(1)()()() D D D d d d d D D D λλλλλλλλλλλλλλλλ== =-==-==-故该矩阵的Smith 标准型为
2210000(1)0000(1)00 00(1)λλλλλλ?? ??-????-?? -??； （3）对矩阵作初等变换 故该矩阵的Smith 标准型为 ?? ?? ??????+--)1()1(112 λλλ; (4)对矩阵作初等变换 在最后的形式中，可求得行列式因子 3254321()(1),()(1),()()()1D D D D D λλλλλλλλλ=-=-===, 于是不变因子为 2541234534()() ()()()1,()(1),()(1)()() D D d d d d d D D λλλλλλλλλλλλλ==== =-==-故该矩阵的Smith 标准形为 2 1 0000 010 0000100000(1)00 00 0(1)λλλλ?????????? -?? ??-?? . 2.求下列λ-矩阵的不变因子： （1） 21 0021002λλλ--????--????-??； （2）100 1000 λαββλα λαββ λα+????-+? ???+??-+?? ；
Solution Key to Some Exercises in Chapter 3 #5. Determine the kernel and range of each of the following linear transformations on 2P (a) (())'()p x xp x σ= (b) (())()'()p x p x p x σ=- (c) (())(0)(1)p x p x p σ=+ Solution (a) Let ()p x ax b =+. (())p x ax σ=. (())0p x σ= if and only if 0ax = if and only if 0a =. Thus, ker(){|}b b R σ=∈ The range of σis 2()P σ={|}ax a R ∈ (b) Let ()p x ax b =+. (())p x ax b a σ=+-. (())0p x σ= if and only if 0ax b a +-= if and only if 0a =and 0b =. Thus, ker(){0}σ= The range of σis 2()P σ=2{|,}P ax b a a b R +-∈= (c) Let ()p x ax b =+. (())p x bx a b σ=++. (())0p x σ= if and only if 0bx a b ++= if and only if 0a =and 0b =. Thus, ker(){0}σ= The range of σis 2()P σ=2{|,}P bx a b a b R ++∈= 备注: 映射的核以及映射的像都是集合,应该以集合的记号来表达或者用文字来叙述. #7. Let be the linear mapping that maps 2P into 2R defined by 10 ()(())(0)p x dx p x p σ?? ?= ??? ? Find a matrix A such that ()x A ασαββ?? += ??? . Solution 1(1)1σ?? = ??? 1/2()0x σ?? = ??? 11/211/2()1010x ασαβαββ???? ???? +=+= ? ? ??????????? Hence, 11/210A ?? = ??? #10. Let σ be the transformation on 3P defined by (())'()"()p x xp x p x σ=+ a) Find the matrix A representing σ with respect to 2[1,,]x x b) Find the matrix B representing σ with respect to 2[1,,1]x x + c) Find the matrix S such that 1B S AS -= d) If 2012()(1)p x a a x a x =+++, calculate (())n p x σ. Solution (a) (1)0σ=
《矩阵论》课程教学大纲 一、课程基本信息 课程编号： xxxxx 课程中文名称：矩阵论 课程英文名称：Matrix Theory 课程性质：学位课 考核方式：考试 开课专业：工科各专业 开课学期：1 总学时：36学时 总学分： 2学分 二、课程目的和任务 矩阵论是线性代数的后继课程。在线性代数的基础上，进一步介绍线性空间与线性变换、欧氏空间与酉空间以及在此空间上的线性变换，深刻地揭示有限维空间上的线性变换的本质与思想。为了拓展高等数学的分析领域，通过引入向量范数和矩阵范数在有限维空间上构建了矩阵分析理论。 从应用的角度，矩阵代数是数值分析的重要基础，矩阵分析是研究线性动力系统的重要工具。为了矩阵理论的实用性，对于矩阵代数与分析的计算问题，利用Matlab计算软件实现快捷的计算分析。 三、教学基本要求（含素质教育与创新能力培养的要求） 通过本课程的学习，使学生在已掌握本科阶段线性代数知识的基础上，进一步深化和提高矩阵理论的相关知识。并着重培养学生将所学的理论知识应用于本专业的实际问题和解决实际问题的能力。 本课程还要求学生从理论上掌握矩阵的相关理论，会证明简单的一些命题和结论，从而培养逻辑思维能力。要求掌握一些有关矩阵计算的方法，如各种标准型、矩阵函数等，为今后在相关专业中实际应用打好基础。 四、教学内容与学时分配 (一) 线性空间与线性变换 8学时 1. 理解线性空间的概念，掌握基变换与坐标变换的公式；
2. 掌握子空间与维数定理，了解线性空间同构的含义； 3. 理解线性变换的概念，掌握线性变换的矩阵表示。 (二) 内积空间 6学时 1. 理解内积空间的概念，掌握正交基及子空间的正交关系； 2. 了解内积空间的同构的含义，掌握判断正交变换的方法； 3. 理解酉空间的概念，会判定一个空间是否为酉空间 4. 掌握酉空间与实内积空间的异同； 5. 掌握正规矩阵的概念及判定定理和性质。 (三) 矩阵的对角化与若当标准形 6学时 1. 掌握矩阵相似对角化的判别方法； 2. 理解埃尔米特二次型的含义； 3. 会求史密斯标准形； 4. 会求若当标准型。 (四) 矩阵分解4学时 1. 会求矩阵的三角分解和UR分解； 2. 会求矩阵的满秩分解和单纯矩阵的谱分解； 3. 了解矩阵的奇异值和极分解。 (五) 向量与矩阵的重要数字特征4学时 1. 理解向量范数、矩阵范数； 2. 有限维线性空间上向量范数的等价性； 3. 向量范数与矩阵范数的相容性。 (六) 矩阵分析 4学时 1. 理解向量和矩阵的极限的概念； 2. 掌握矩阵幂级数收敛的判定方法； 3. 理解矩阵的克罗内克积； 4. 会求矩阵的微分与积分。 (七) 矩阵函数 4学时 1. 理解矩阵多项式的概念； 2. 掌握由解析函数确定的矩阵函数； 3. 掌握矩阵函数的计算方法。 五、教学方法及手段（含现代化教学手段） 本课程的所有授课内容，均使用多媒体教学方式，教案采用PowerPoint编写，教师使
《电路分析基础》课程教学大纲 课程英文名称：Theory of circuit 课程编号：1510064002 课程计划学时：80（授课学时：64 实验学时：16） 学分：4.5 课程简介： 电路分析基础课程是自动化、电气工程及其自动化、测控技术、电子信息工程、电子信息科学与技术、电子科学与技术、通讯工程等专业的一门重要技术基础课，通过本课程的学习，使学生掌握电路的基本理论，分析电路的基本方法，以及进行实验的初步技能，并为后续课准备必要的电路知识。电路分析基础课程理论严密，逻辑性强，对学生的辨证思维能力的培养和树立理论联系实际的科学观点及提高学生分析问题解决问题的能力，都有重要的作用。 一、课程教学内容及教学基本要求 第一章电路模型和电路定律 本章重点是电流和电压参考方向的概念、功率的计算、电路元件特性、以及基尔霍夫定律，难点是参考方向的概念及应用、基尔霍夫定律的应用。全章课堂讲授6学时，实验1学时。 第一节电路及电路模型 要求了解电路的作用（考核概率1%），理解实际电路的电路图和电路模型（考核概率1%），掌握电路的组成及各组成部分的作用（考核概率80%）。 1．电路的组成及各组成部分的作用：电源、负载和中间环节。 2．电路的作用：实现电能的传输和变换，实现信号的传递和处理。 3．实际电路的电路图和电路模型。 第二节电流、电压参考方向 理解电流、电压参考方向的含义（考核概率50%）。 第三节电功率和能量 理解功率的定义（考核概率50%），掌握功率的计算方法（考核概率80%）。 1．功率的定义 2．功率计算方法 第四节电路元件 要求了解电路集总参数的概念（考核概率1%）。
研究生“矩阵论”课程课外作业 姓名：学号： 学院：专业： 类别：组数： 成绩：
人口迁移问题和航班问题 (重庆大学 机械工程学院，机械传动国家重点实验室) 摘要：随着人类文明的进程，一些关于数学类的问题越来越贴近我们的生活，越发觉得数学与我们息息相关。本文将利用矩阵理论的知识对人口迁移问题和航班问题进行分析。 人口迁移问题 假设有两个地区——如南方和北方，之间发生人口迁移。每一年北方50%的人口迁移到南方，同时有25%的南方人口迁移到北方，直观上可由下图表示： 问题：如果这个移民过程持续下去，北方的人会不会全部都到南方？如果会请说明理由；如果不会，那么北方的最终人口分布会怎样？ 解 设n 年后北方和南方的人口分别为n x 和n y ， 我们假设最初北方有0x 人，南方有0y 人。则我们可得，1=n 时，一年后北方和南方的人口为 ???+=+=001 00175.05.025.05.0y x y y x x (1-1) 将上述方程组(1-1)写成矩阵的形式 ??? ? ??= ??? ? ??0011y x A y x 其中 ?? ? ???=75.05.025.05.0A
2=n 时，两年后北方和南方的人口为 ???? ??=???? ??=???? ??0021122y x A y x A y x 依次类推下去，n 年后北方和南方的人口为 ???? ??=???? ??00y x A y x n n n (1-2) 现在只需求出n A 就可得出若干年后北方和南方的人口数。 下面将使用待定系数法[1]求n A )1)(25.0(25 .025.125 .05.0)75.0)(5.0(75 .05.025 .05 .02--=+-=?---=----= -λλλλλλλλλA E 所以 1,25.021==λλ 矩阵A 的最小多项式为 )1)(25.0()(--=λλλm 设A a E a A n 10+= 由此可得方程组 ???=+=+125.025.01010a a a a n 解方程组得 ??? ????-= +-=75.025.0175.025.025.010n n a a 所以 ?? ????+?--?+=-++-=+=++11 1025.05.025.05.05.025.025.025.05.025.075.0175 .025.0175.025.025.0n n n n n n n A E A a E a A 所以由式(1-2),我们得到n 年后北方和南方的人口
矩阵论 1、意义 随着科学技术的发展，古典的线性代数知识己不能满足现代科技的需要，矩阵的理论和方法业巳成为现代科技领域必不可少的工具．有人认为：“科学计算实质就是矩阵的计算”．这句话概括了矩阵理论和方法的重要性及其使用的广泛性．因此，学习和掌握矩阵的基本理论和方法，对于理、工科研究生来说是必不可少的数学工具．2、内容 《矩阵论》和工科《线性代数》课程在研究矩阵的内容上有较大的差异： 线性代数：研究行列式、矩阵的四则运算(加、减、乘、求逆 ) 以及第一类初等变换 (非正交的)、对角标准形 (含二次型) 以及n阶线性方程组的解等基本内容． 矩阵论：研究矩阵的几何理论(线性空间、线性算子、内积空间等)、第二和第三类初等变换(正交的)、分析运算(矩阵微积分和级数)、矩阵的范数和条件数、广义逆和分解、若尔当标准形以及几类特殊矩阵和特殊运算等,内容十分丰富． 3、方法 在研究的方法上，矩阵论和线性代数也有很大的不同： 线性代数：引入概念直观，着重计算． 矩阵论：着重从几何理论的角度引入矩阵的许多概念和运算，把矩阵看成是线性空间上线性算子的一种数量表示．深刻理解它们对将
来正确处理实际问题有很大的作用． 第1讲 线性空间 内容： 1.线性空间的概念； 2.基变换和坐标变换； 3.子空间和维数定理； 4.线性空间的同构 线性空间和线性变换是矩阵分析中经常用到的两个极其重要的概念，也是通常几何空间概念的推广和抽象，线性空间是某类客观事物从量的方面的一个抽象． §1 线性空间的概念 1. 群，环，域 代数学是用符号代替数（或其它）来研究数（或其它）的运算性质和规律的学科，简称代数． 代数运算：假定对于集A 中的任意元素a 和集B 中的任意元素b ，按某一法则和集C 中唯一确定的元素c 对应，则称这个对应为A 、B 的一个（二元）代数运算． 代数系统：指一个集A 满足某些代数运算的系统． 1.1群 定义1.1 设V 是一个非空集合，在集合V 的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法，记为“+”．即，对V 中给定的一个法则，对于V 中任意元素βα,，在V 中都有惟一的一个元ν和他们对应，称ν为βα,的和，记为βαν+=．若在“+”下，满足下列四个条件，则称V 为一个群． 1）V 在“+”下是封闭的．即，若,,V ∈βα有 V ∈+βα； 2) V 在“+”下是可结合的．即，)()(γβαγβα++=++ ，V ∈γ；
课程标准 课程名称：电路分析基础 课程代码：05001 适用专业：应用电子技术、通信技术学时：64 学分:4 制订人： 审核：
《电路分析基础》学习领域(课程)标准 一、学习领域（课程）综述 （一）学习领域定位 《电路分析基础》是面向应电类、通信类专业的学生开设一门专业技术基础课程，是以满足社会发展需求为目的，以科学分析学院办学定位为前提，通过专业岗位群进行分析调查，形成的一门基于工作过程导向的工学结合的学习领域课程。该课程是在一年级第一学期开设，是应用电子专业和通信专业的一门主干课程，因而是最重要也是最现行的职业基础课，是为后续课程奠定基础的起点. 在教学中要根据高职学生的知识基础及就业岗位需求组织教学内容,同时采取适宜的教学方法,教、学、练一体化，注重理论及实践的融合，从而提高学生分析问题和解决问题的能力.进一步提高学生综合素质，增强适应职业变化的能力，为继续学习打下基础。 (二)设计思路 本课程以应电、通信专业学生的就业为导向，根据行业专家对专业所涵盖的岗位群进行的任务和职业能力分析,以本专业共同具备的岗位职业能力为依据，遵循学生认知规律，紧密结合职业资格证书中电工技能要求，确定本课程的项目模块和课程内容。按照认识课程、认识电路、变压器使用及维护、白炽灯、日光灯的安装及维修、认识动态电路、供电及用电等具体实践过程安排学习项目，使学生掌握电工技能的基本操作要领。为了充分体现任务引领、实践导向课程的思想，将本课程项目模块下的教学活动又分解设计成若干任务，以任务为单位组织教学，并以电工仪器仪表、电路设备为载体,按电工工艺要求展开教学，让学生在掌握电工技能的同时，引出相关专业理论知识，使学生在技能训练过程中加深对专业知识、技能的理解和应用，培养学生的综合职业能力，为学生的终身学习打下良好基础。 高职学院课程建设及改革的核心和关键是：合理进行教学设计,建立突出职
中国矿业大学 级硕士研究生课程考试试卷 考试科目矩阵论 考试时间年月 研究生姓名 所在院系 学号 任课教师
一（15分）计算 (1) 已知A 可逆，求 10 d At e t ? （用矩阵A 或其逆矩阵表示） ； （2）设1234(,,,)T a a a a =α是给定的常向量，42)(?=ij x X 是矩阵变量，求T d()d X αX ； （3）设3阶方阵A 的特征多项式为2(6)I A λλλ-=-，且A 可对角化，求k k A A ??? ? ??∞→)(lim ρ。
二（15分）设微分方程组 d d (0)x Ax t x x ?=???? ?=?，508316203A ?? ?= ? ?--??，0111x ?? ? = ? ??? （1）求A 的最小多项式)(λA m ； （3）求At e ； （3）求该方程组的解。
三（15分）对下面矛盾方程组b Ax = 312312 111x x x x x x =?? ++=??+=? （1）求A 的满秩分解FG A =； （2）由满秩分解计算+A ； （3）求该方程组的最小2－范数最小二乘解LS x 。
四（10分）设 11 13A ?=?? 求矩阵A 的QR 分解（要求R 的对角元全为正数，方法不限）。 五（10分） 设(0,,2)T n A R n αβαβ=≠∈≥ （1）证明A 的最小多项式是2 ()tr()m A λλλ=-； （2）求A 的Jordan 形（需要讨论）。
六（10分）设m n r A R ?∈， （1）证明rank()n I A A n r + -=-； （2）0Ax =的通解是(),n n x I A A y y R +=-?∈。 七（10分）证明矩阵 21212123 111222222243333 33644421(1)(1)n n n n n n n n n n ---? ? ? ? ? ? ?= ? ? ? ? ? ?+++? ? A （1）能与对角矩阵相似；（2）特征值全为实数。
矩阵理论 通过学习矩阵理论这门课，发现在这个大数据的时代，矩阵理论是这个时代的基础学科，也是计算机飞速发展的引擎，它的重要性令我咂舌。一下内容是我对矩阵理论这门课程的总结和描述。 本门课程主要包含以下几部分内容：线性方程组、线性空间与线性变换、内积空间、特殊变换及其矩阵、范数及其应用、矩阵分析及其应用、特征值问题。 一 线性方程组 对*m n 矩阵A 施行一次初等行变换(初等行变换)，相当于在A 的左边(右边)乘以相应的m 阶(n 阶)初等矩阵。 由于现代计算机处理的数据越来越多，运行的任务越来越大，因此，对矩阵的处理复杂度就是我们关注的重点。 对行列式的拉普拉斯变换是将一个n 阶行列式的计算转化为n 个1n -阶行列式的计算，但是它的计算时间是!n 级。所以拉普拉斯展开定理在理论上非常重要，但在计算上一般仅用于低阶或特殊的行列式。 判断一个算法的优劣，有很多标准，包括时间复杂度和空间复杂度，显然，时间复杂度越小，说明算法效率越高，因此算法也越有价值；而空间复杂度越小，说明算法越好。但主要考虑时间复杂度，因为人生苦短嘛哈哈。 对于一些常用的()f n ，成立下列重要关系： 23(1)(log )()(log )()() (2)(3)(!)()n n n O O n O n O n n O n O n O O O n O n <<<<<<<<< LU 分解就是致力于对降低对方程组求解的复杂度。LU 分解就是在可以的情况下，将矩阵A 分解成单位下三角矩阵和一个上三角的乘积。这样的话，对Ax b =求解，可以转化为对Ly b =求解，然后对Ux y =求解。但是，不是每一个矩阵都可以这样分解，是要满足一定的要求的，这个要求就是矩阵A 的顺序主子式均不为零。 但是不满足这个条件的矩阵就不能分解了吗？当然不是啦！加入一个方阵A 不是顺序主子式不全为零的时候，但是通过行变换，可以满足要求，这样就得了下面这个定理。 如果存在置换矩阵P 、单位下三角矩阵L 与上三角矩阵U ，使得方阵A 满足P A L U =，称作带置换的LU 分解。