1 引言
数与形是数学中最古老最基本的研究对象。华罗庚教授说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微。”数与形各有特定的含义、但他们之间相辅相成、相互渗透、相互转化。数形结合思想是重要的解题方法，是每年高考必考的重要内容，数形结合应用解题能力与学生成绩呈显著的正相关。解题时将问题转化为与之等价的图形问题，可以直观的使问题简捷获解。实现数形结合常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；
②所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义；③以几何元素和几何条件为背景建立起的概念；④函数与图像的对应关系；⑤曲线与方程的对应关系。应用数形结合思想不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算推理，大大简化解题过程，这在解选择、填空题中更为显著，培养这种思想意识能开拓自己的思维视野。
2 文献综述
2.1国内外研究现状
数形结合作为高中数学中非常重要的思想方法，很早就引起了许多专家学者的关注。自笛卡尔创造了平面直角坐标系，数形结合的思想得到了突飞猛进的发展。文献[1]中叶立军谈到：“数缺形时少直观，形少数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事休。”近些年来，国内外仍有许多学者发表了对数形结合思想的应用研究，文献[2-3]中介绍了数形结合在概率统计和数列中的应用。文献[4-6]通过总结图形结构与数式结构提出了数形结合的两个主要途径。文献[7-10]认为数形结合可以直观快速解决很多问题，但转化时要遵循转化等价原则。不过由于数形结合思想应用范围极其广泛，所以我认为目前对数形结合思想的研究仍有很大的空间。
2.2国内外研究现状评价
文献[11-13]中介绍了许多数形结合的途径和方法，其中研究解决函数各类文章最多，集中于判断两函数图像交点个数及其他函数性质。对于数形结合在高中数学各种问题的研究并不够全面。
2.3提出问题
如今数形结合有着广泛的应用，即把数学与几何图形相结合，化繁为简，化抽象为具体，直观快速地抓住问题的本质与要害，可使解题起到事半功倍的效果。然而一个不
争的事实是—学生利用数形结合在高中数学解决问题的现状并不乐观。因此对数形结合在高中数学各知识点进行全面研究是有必要的。
3 数形结合思想概述
1、数形结合思想的概念
数和形是高中数学研究的两大部分，他们之间相互转化，把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”和“以数助形”使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而提高解题效率。
以形助数通常是借助数轴、单位圆、函数图象数式的结构特征等。
以数助形通常是借助向量知识、几何图形表示的数量关系、几何定理等。
2、数形结合思想应遵守的原则
（1）等价性原则。数与形的相互转化要求所讨论的问题与数与形所反映的对应关系必需一致，即代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则会由于几何的局限性导致表示的数不完整。
（2）双向性质原则。利用数形结合思想，一方面要对直观几何进行分析，另一方面要对代数抽象作探索，两方面相辅相成。如只对几何问题进行代数分析或对代数问题进行几何分析，在很多时候是很难行得通的。
（3）简单性原则。简单性原则就是用什么方法解题简单就用什么方法，不要刻意去追求某一种模式——代数问题用几何方法，几何问题用代数方法。
3、数形结合思想的的解题方法
（1）图示法
如集合运算中的韦恩图，它常常用来显示数学对象间的关系。
（2）区域法
如用不等式的几何意义表示平面区间。
（3）坐标法
如方程式图形和函数图象它常来表示二元变量坐标间的关系。
（4）特征法
如借用连续函数图象显示数列，既求和公式的量化特征。
4 数形结合思想在解题中的应用
4.1在集合中的应用
集合是高中数学的第一个概念，也是很多数学概念建立的基础，对集合含义、交并补运算的考查是检验掌握知识的关键。通过数轴平面直角坐标系以及韦恩图表示集合，利用数形结合能快速解决集合问题。
例1 若集合?
?????<
???===)0(s i n 5c o s 5),(πθθθy x y x A ｜，集合{}b x y y x B +==｜
),(且φ≠B A ，则b 的取值范围为__＿.
解析：集合A 可以变为{}50,25/),(22≤<=+=y y x y x A ，显然，A 表示以（0，0）为圆心，以5为半径的圆在X 轴的上方的部分，B 表示斜率为1=K ，纵截距为b 的直线，要使φ≠B A ，即使直线b x y +=与圆2522=+y x （x 轴上半部分）有公共点。
图1 由图1知25b 5-≤≤.
4.2在函数中的应用
函数问题是高中数学的一大重难点,然而若注重函数的几何特征，把函数求值的代数问题通过数形结合的运用转化为两点距离问题、斜率问题、直线的纵截距问题等，则可使问题迎刃而解。
例2 已知函数34F 2+-=x x x ）（，求函数)(x F 的单调区间，并指出单调性。
解析：当034-2≥+x x 即1≤x 或3≥x 时，34-F 2+=x x x ）
（
y
x
o
2
5
当034-2≤+x x 即31< （ 所以?????<<+≥≤-=）（）（ 或）（）（3112--) 31(12-F 2 2 x x x x x x 如图2所示 图2 所以函数)(x F 的单调区间有：(-∞，1]，[1,2]，[2，3]，[3，+∞）.其中增区间是[1,2]与[3，﹢∞﹚，减区间是﹙－∞，1]与[2,3]. 4.3在数列中的应用 若加强数列中有关数形结合思想方法的应用，可加深对问题的认识，从而抓住问题的本质构造几何图形突破数列问题。 例3 若数列{}n a 为等差数列，p q q p ==a a ，求q p +a . 解析：设q p <等差数列n a 关于n 的图象是一条直线上均匀排开的一群孤立的点， 故三点）（q p ,、）（p q ,、）（m q p ,+共线，设m q p =+a ，由已知得三点）（q a p ,，） （p a q ,，） （q p a q p ++,共线。 图3 ) ,(q p A ) ,(p q B ) ,(m q p C +n n a n a y 1 2 3 x 如图3，则BC AB K K =，即 p -q p p -m p -q q -p += . 由图3知0=m ，即0p =+q a . 4.4在不等式中的应用 数形结合不仅是一种重要的解题方法，而且也是一种重要的数学思想。应用数形结合思想解决不等式就是根据问题的内在联系或数式的结构特征，通过唤起表象和再造想象，赋予适当的几何意义，构造出与之相适应的几何图形，并利用图形的性质和图形之间的关系来解决问题。 例4 解不等式x x ＞2+. 解析：常规方法：原不等式化为??? ??>+≥+≥，，，22020x x x x （1） 或???≥+<， ， 020x x （2） 解（1）得20<≤x ；解（2）得02-<≤x . 由（1）（2）可得{x ｜20<≤x 或02-<≤x }={x ｜22-<≤x }. 用数形结合方法可以很直观的从图4中得到答案，解法如下： 图4 令21+=x y ，x y =2，则不等式x x ＞2+的解就是使21+=x y 的图像在x y =2的上方的那段对应的坐标轴，如图4所示，不等式x x ＞2+的解集为{x ｜B A x x x <≤}， A B 0 x y x y =22 1+=x y 由x x =+2可解得2B =x ，所以有-2A =x . 故不等式的解集为{x ｜22-<≤x }. 4.5在线性规划中的应用 应用线性规划知识判断平面区域,求目标函数的最值、取值范围在高考中常以选择或填空的形式出现,都是以中档题为主,解决这类问题的关键是灵活运用数形结合的数学思想,将代数问题转化为几何问题,借助图像的生动直观来阐明枯燥的数的关系。 例 5 设关于x ,y 的不等式组?? ? ??>-<+>+0001-2m y m x y x 表示的平面区域内存在点），（00y x p 满 足22-00=y x ，求m 的取值范围。 图5 解析：如图5要使可行域存在，必有12+- 1 x y =上的点，只要边界点)21,(m m --在直线1-21x y = 上方，且),(m m -在直线1-2 1 x y =下方，解不等式组??? ? ? ? ??? --<><12121-2-12-1m m m m m m 得32- 4.6在向量中的应用 1 2)(-=x x f 12 1 )(-= x x g ) 21,(m m --) ,(m m - 向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，它有着极其丰富的实际背景，在数学学科中具有广泛的应用。平面向量是高考中新增加的最重要内容，由于它的加入，代数和几何的研究全面改观。数形结合是高考的重要思想之一，而平面向量则为数形结合铺就了道路。 例6 在平面上，21AB AB ⊥，121==OB OB ，21AB AB AP +=.则OA 的取值范围是（ ）. 图6 解析：根据已知条件，A ，1B ，p ，2B 构成一个矩形1AB 2PB ，1AB ，2AB 所在直线为坐标轴建立直角坐标系，如图6所示，设b 21==AB a AB ，点O 的坐标为),(y x ,则点P 的坐标为),(b a ， 由121==OB OB 得?????=-+=+-1)(12222b y x y a x ）（，则?????-=--=-2 22 21)(1x b y y a x ）（， 又由21< OP ，得,41)(22 <-+-b y a x ）（则411-122<-+y x ，即4 722>+y x …………① 又由1)(22=+-y a x ，得22222121x a ax a y x ++≤+=++，则12≤y ； 同理有1)(222=-+b y x ，得12≤x ，即有222≤+y x ………………………………………② 由①②知 24 7 22≤+ 22 7 ≤ x y A P O 1 B 2 B 概率统计由于其思维方式与以往的数学课程不同，并且它又蕴含了较广泛的数学知识，因此概率统计成为很多学生的学习障碍。利用数形结合把线段、平面、空间图形能明确直观地分析、判断事件发生的概率大小。而概率事件的计算正是依据图形的长度、面积和体积来完成的。 例7 有一容量为100的样本，数据的分组及各组的频率如下： [12.5，15.5），6；[15.5，18.5），16；[18.5，21.5），18；[21.5 ，24.5），22；[24.5 ,27.5），20；[27.5 ，30.5），10；[30.5，33.5），8. 求数据小于30.5的概率是多少？ 解析： 分组 频数 频率 12.5-15.5 15.5-18.5 18.5-21.5 21.5-24.5 24.5-27.5 27.5-30.5 30.5-33.5 6 16 18 22 20 10 8 0.06 0.16 0.18 0.22 0.20 0.10 0.08 合计 100 1.00 图7 图8 数据大于等于30.5的频率是0.08所以小于30.5的频率为：1.00-0.08=0.92. 频率 组距 数据 12.5 18.5 24.5 30.5 例8 在长度为L 的线段AB 上任意作两点D C ,，求CA CD ≤的概率。 解析：将线段AB 放在数轴的正上方，以A 为原点，点B 的坐标为L ，设D C ,的坐标分别为),(y x 、),(y x []L ，0∈.而所有可能的结果都在如图9所示的正方形内， CA CD ≤，即x y x ≤-，故02≥≥y x . 则所求概率为4 34-S S 222 ===L L L P 正方形 梯形 图9 4.8在导数中的应用 导数是高中数学中重要部分，也是较难的一部分。利用导数研究函数的极值、单调区间、实际应用或证明不等式，尤其是题目中含有参数需要分类讨论时，使得本已抽象的问题更加复杂化，学生在学习和解答时，大多十分茫然，不知从何下手。然而将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，也就是对题目中的条件和结论既分析其代数含义又挖掘其几何背景，在代数与几何的结合上寻找解题思路，使要解决的数的问题转化为形的讨论，实现“由一种代数形式转化为一种几何形式”的数学化归。 例 9 已知函数k x e k x x 2)()(f -=. （Ⅰ）求）（x f 的单调区间； （Ⅱ）若对于任意的),0(+∞∈x ，都有e x 1 )(f ≤，求k 的取值范围。 x y A B L L 2 1 解析：（Ⅰ）函数)(f x 的定义域为),(+∞-∞，)0.()1 (f 2≠-='k e k x k x k x ）（， 由0f ≥'）（x 求得函数）（x f 的单调递增区间，由0f ≤'）（x 求得函数） （x f 的单调递减区间，而导函数）（x f '由两个基本函数k x k x -=2 1)(g 和k x e x =)(h 的乘积构成，函数 k x e x =)(h 的图像，无论0>k 还是0 x -=21)(g 的实质是一个二次函数。 ①当0>k 时，函数k x k x -= 2 1)(g 图像是一个开口方向向上的抛物线(如图10) 此时，只需看图10说话了： 当),(k x --∞∈时，0f >'）（x ；当),(k k x -∈时，0f <'）（x ； 当),(+∞∈k x 时，0f >'）（x . 所以，当0>k 时）（x f 的单调递增区间是),(k --∞和),(+∞k ；单调递减区间是 ),(k k -. 图10 ②当0 x -=2 1)(g 图像是一个开口方向向下的抛物线(如图11) 仍然是看图11说话： 当),(k x -∞∈时，0f <'）（x ；当),(k k x -∈时，0f >'）（x ； 当),(+∞-∈k x 时，0f <'）（x ) (x g x k k - 所以，当0 ),(k k -. 图11 （Ⅱ）由（Ⅰ）知： ①当0>k 时，）（x f 的单调递增区间是（),(k --∞）和),(+∞k ；单调递减区间是),(k k -.因此，）（x f 在区间),0(+∞的单调情况是：在区间),0(k 上递减；在区间),(+∞k 上递增，且e e k k k 1 )1(f 1 > =++，因此，）（x f 在区间),0(+∞上的图如图12 图12 所以不会有e x x 1)(f ),,0(≤ +∞∈?. ②当0 因此，）（x f 在区间),0(+∞的单调情况是：在区间),0(k -上递增；在区间),(+∞-k 上递减. ) (x f x e y 1= k ) (x g x k k - 因此，）（x f 在区间),0(+∞上的草图（如图13）. 图13 因此，）（x f 在） ，（∞+0上的最大值是e k k 2 4)(f =- 所以e x x 1 )(f ),,0(≤+∞∈?等价于e e k k 14)(f 2≤=- 解得02 1 <≤- k 故当e x x 1 )(f ),,0(≤ +∞∈?时，k 的取值范围是)0,21[-. 4.9在复数中的应用 复数有四种表示形式：代数形式，几何形式，三角形式及指数形式。由这四种形式所建立起来的复数运算法则，各具特点，通过它们之间的相互转化，我们能灵活地分析和解决问题，尤其是代数形式与几何形式的相互转换，其思想方法是属于数形结合，这为我们解决复数问题拓宽了思路。 例10 复数z 满足条件2211=--+++i z i z 的z 在复平面的对应的点集合是（ ）. A ．圆 B.双曲线 C.椭圆 D.线段 解析： )1()1(11i z i z i z i z +-+---=--+++. 复数i --1与i +1对应的点分别为2,1p p ，如图14， ) (x f x e y 1 =k - 图14 故)1()1(11i z i z i z i z +-+---=--+++的几何意义是：在复平面内，复数z 对应的点到2,1p p 的距离为22. ∵２＝２２１p p ∴满足条件2211=--+++i z i z 的z 对应的点集合为线段2,1p p . 故答案选D. 5 应用数形结合解题时的缺点及注意点 图形在几何学习与解题活动中有着重要的地位，但几何图形也有可能产生负面的影响。[14]哈拉达等人（Harada, Callon-Dumiel & Nondad,2000 ）指出，这些负面的影响至少有三个：（1）图形容易使人产生错误的视觉判断；（2）对图形缺乏动态的观点（dynamic viewpionts ）;(3)过分依赖典型范例（prototype example ）. 数形结合思想是一种基本的数学思想，运用其可优化解题过程，然而数形结合思想并不是万能的，只有在解题过程中注意细节的处理，才能真正做到游刃有余。 1、图形未必能作 数形结合思想在数学解题中运用广泛，它为解决数学问题提供了更多更好的途径 与方法。但并不是每个问题都可以通过数形转换的方法解决，因为有些图形是不可以作的。如果没有分析图形能不能作就用数形结合思想解题，不但不能正确解决问题，而且浪费大量的时间。 例11 设函数?? ?=为无理数， 为有理数， ）（x x x ,0,1D 则下列结论错误的是（ ）. y x 1 p 2 p Z 1 1 1 -1 - A 、)(x D 的值域为{}1,0 B 、)(x D 是偶函数 C 、)(x D 不是周期函数 D 、)(x D 不是单调函数 解析：本题以狄利克雷函数为背景，答案为C.该函数图像无法做出，因此不能用数形结合思想方法来解决问题。 2、图形未必快 数形结合思想方法是近些年来高考重点考查的思想方法之一，每年的高考试题（特别是客观题）能够用此方法解决者均占相当大的比例。其主要特点是直观、快捷，因此是高考备考中的重要数学解题方法。但这并不意味着所有题目用数形结合解题都快速，相反的有的题目应用图形解题更慢，使解题过程更复杂，运算量更大。这就要求我们针对不同问题，恰当采用数形结合思想方法。 例12 设定义在R 上的函数)(x f 是最小正周期为π2的偶函数，)(x f '是)(x f 的导函数。当[]π,0∈x 时，0<)(x f <1；当),(πo x ∈且2π ≠ x 时，0)()2 (>'-x f x π .则函数x x f y s in )(-=在[]ππ2,2-上的零点个数为（ ）. A 、2 B 、4 C 、5 D 、8 解析：本题若利用图像特征，运用数形结合思想判断零点个数，更费时间。依据题意可直接将函数转变成x x f cos )(=. 解出答案为B. 3、图形未必精准 在数学解题中，形象、直观的数形结合方法为我们分析、简化问题提供了重要途径。但在具体问题的解决中图形的精准性直接影响着解题的正误，有的学生在利用数形结合解题时由于缺乏对图形准确性的认识导致解题错误。因此图形的精准性是数形结合思想的前提条件，即使是草图也应该画准确，必要时要对图形的直观分析给出推理论证。 例13 函数x x x f cos )(-=在),0[+∞内（ ）. A 、没有零点 B 、有且仅有一个零点 C 、有且仅有两个零点 D 、有无穷多个零点 解析：本题判断函数x x x f cos )(-=在),0[+∞内是否有零点，可转化为判断 x x f =)(与x x f cos )(=的交点个数，进而借助图像进行分析，得出答案为B.在分析过程中要做到以“数”控“形”，否则容易因图形不准而误解。 6 结论 6.1主要发现 数形结合思想方法在高中数学中应用广泛，其运用主要是数学问题的条件与结论之间的内在联系，分析其代数意义，揭示其几何直观，使数量关系的精确度与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起.如在解集合、函数、数列、不等式、线性规划、向量、概率统计、导数、复数问题中，运用数形结合，直观易发现解题途径，进而能避免复杂的计算和推理，大大简化了解题过程。这在解高考选择题、填空题中更显重要，既省时又省力，能够得到事半功倍的效果。 6.2启示和意义 数学问题的编拟与构造，常常遵循由简到繁的规律，有的将一个简单代数问题和一个几何问题结合后变成一个复杂新问题.在新问题中常常已隐去其“本真”面目，有时变得面目全非，但或多或少总会留下一些刀劈斧凿、精雕细刻的痕迹。解决这些问题要真正掌握数形结合的精髓，必须有雄厚的知识基础和熟练的基本技能，就要注意培养数形结合思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开阔自己的思维视野。 6.3局限性 数形结合思想方法运用非常广泛，本文只介绍了一些简单的方法，没有做更深度的研究。所选例题是一些具有代表性的数形结合的题目，对于陌生的题目该用哪种方法未能一一探讨。 6.4努力方向 在面对不同数学题时，学生能判断出用哪一种方法解题，选择最合适的方法快速解题，真正做到省时省力这是今后研究的努力方向。 参考文献 [1]叶立军. 数学方法论[M]. 杭州：浙江大学出版社， 2008，（6）：148‐157. [2]张亮. 数形结合法的几个应用[J]. 井冈山师范学院学报， 2003，(05)：5-5. [3]袁桂珍. 数形结合思想方法及其运用[J]. 广西教育, 2004,(15)：11‐13. [4]刘焕芬. 巧用数形结合思想解题[J]. 数学通报, 2005,(01)：67‐69. [5]王玉燕. 例谈“数”﹢“形”解题[J]. 中学数学研究（江西师大）， 2008，（5）：11‐14. [6]罗增儒. 数学解题学引论[M]. 西安：陕西师范大学出版社， 1997,（7）:382‐407. [7]莫红梅. 谈数形结合在中学数学中的应用[J]. 教育实践与研究， 2003，（12）：42‐68. [8]郭启涛. 数形结合的几种基本途径[J]. 数学教学研究， 2003，（10）：21-21. [9]王建荣. 数形结合法的误区[J]. 中学数学教学参考， 1997，（7）：23-23. [10]王银篷. 浅谈数形结合的方法[J]. 中学数学， 2004，（12）：29‐31. [11]董涛. 建构主义视野中的数学概念教学[J].曲阜师范大学学报(自然科学版)， 2004，(02)：104‐132 [12]张传鹏. 谈函数问题中数形结合的应用[J]. 中学数学研究， 2007，（12）：37-37. [13]王亚亮,宁凤芹. 数形结合法解题教学的意义[J]. 保山师专学报， 2003，(05)：7‐15. [14]赖海燕. “数形结合”解题的注意事项[J]. 数学通讯， 2001，（10）：15-15. 初中化学常见实验题型解题技巧 知识要点： 1. 除杂题： 解答除杂质一类的题目时，要注意三原则；三要领；五种常用的方法。 三原则：①不引入新杂质；②不减少被提纯物质的质量；③杂质便于分离。 三要领：①根据物理性质或化学性质的差异；②确定除杂质方法；③选择适宜试剂。 除杂质思路分析方法： （1）沉淀法：加入一种试剂将被除去的杂质变为沉淀，再用过滤法除去。 （2）化气法：加热或加入一种试剂将杂质变为气体逸出。 （3）置换法：利用置换反应的原理将杂质除去。 （4）转纯法：将被除去的杂质变为提纯的物质。 （5）吸收法：常用于气体的提纯。 在掌握了以上除杂质的原则、要领、方法后，解答题目时要审清题目要求，分析理顺思路且与题目要求吻合，才能准确解题。 2. 混合物的分离： （1）可溶性与难溶性物质的混合物——常用溶解、过滤、蒸发三步操作加以分离，分别得到纯净物。如：粗盐的提纯；BaSO 4和Na 2SO 4的混合物。 （2）两种物质均溶于水，但两种物质的溶解度一种随温度变化大，另一种变化不大时，可考虑——结晶法。即冷却热饱和溶液的方法加以分离。如：NaCl 和KNO 3的混合物。 （3）两种物质均溶于水时，可考虑用化学方法分离。如BaCl 2和NaCl 的混合物。可将混合物先溶于水，加入适量Na 2CO 3溶液，得到BaCO 3和NaCl 溶液。 BaCl 2+ Na 2CO 3=BaCO 3↓+2NaCl 。将沉淀过滤出，洗净后在沉淀中加入适量盐酸溶液，又得到BaCl 2溶液，CO 2逸出。BaCO 3+2HCl =BaCl 2+H 2O+CO 2↑。最后分别将NaCl 溶液和BaCl 2溶液蒸发，分别得到纯净的NaCl 固体和BaCl 2固体。 注意：用化学方法或用物理方法进行混合物分离时，要区别除杂质与分离物质的不同点是：除杂质时只要求把杂质除掉、保留原物质即可；而混合物分离是几种物质用一定的方法分开，原混合物中各成分都必须保留。 3. 物质的鉴别： 鉴别是通过化学实验将几种不同特性的物质区别开来。如鉴别两瓶无色溶液哪瓶是NaCl 或KNO 3。我们只要把NaCl 溶液中的Cl -检验出来，即可认定NaCl 溶液，另一瓶则是KNO 3溶液。 （1）常见离子鉴别的特效试剂 H +和- OH ：紫色石蕊试液或pH 试纸。 OH -：无色酚酞试液（可鉴别碱性溶液）——变红。 Cl -：AgNO 3溶液和稀HNO 3——有白色沉淀。 SO 42-：BaCl 2溶液和稀HNO 3——有白色沉淀。 -23CO ：稀HCl 和石灰水——有CO 2 ↑。 -34PO ：AgNO 3溶液——有黄色沉淀。 第5讲 数形结合思想在解题中的应用 一、知识整合 1．数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题能迎刃而解，且解法简捷。所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合。 2．实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。 如等式()()x y -+-=21422 3．纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。 4．数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中，在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野。 二、例题分析 例1.的取值范围。之间，求和的两根都在的方程若关于k k kx x x 310322 -=++ 分析：0)(32)(2=++=x f x k kx x x f 程轴交点的横坐标就是方，其图象与令 ()13(1)0y f x f =-->的解，由的图象可知，要使二根都在，之间，只需，(3)0f >， ()()02b f f k a - =-<10(10) k k -<<∈-同时成立，解得，故， 例2. 解不等式x x +>2 解：法一、常规解法： 原不等式等价于或()()I x x x x II x x ≥+≥+>??? ? ?<+≥??? 020 20202 化学计算题解题方法 一、关系式法 关系式法主要用于多步反应的化学计算，根据化学方程式中有的关系，建立起已知和未知的关系式，然后进行计算，这样能够省去中间过程，快速而准确。 例一、 今有13g 锌，把它投入足量的稀硫酸中，放出的氢气可以跟多少克纯度 为80℅的氯酸钾完全分解放出的氧气完全反应生成水？ 此题如果用常规方法需要几步计算：①根据13g 锌求生成氢气的质量， ②根据氢气的质量求氧气的质量③根据氧气的质量求KClO 3的质量，这 种解法步骤多计算量大，费时费力，但如果用下述方法则极为简便。 解：设需纯度为80℅的KClO 3的质量为X 2KClO 3 2↑ 2H 2+O 2=====2H 2O Zn+H 2SO 4=ZnSO 4+H 2↑ 依上述方程式可得：2KCLO 3~3O 2~6H 2~6Zn 可知：KCLO 3 ~ 3Zn 122.5 3*65 80%x 13g 解得：x=10.2g 再来一题；用含杂质10%的锌195ｇ和足量的稀硫酸反应(杂质不和稀硫酸反应)，生成的H 2最多能还原多少克氧化铁? 本题涉及的化学反应有：锌和稀硫酸反应的化学方程式 。 氢气还原氧化铁的化学方程式 。 纵述两个化学方程式中物质间的系数关系，你能推知：锌、氢气、氧化铁、铁之间的系数关系吗? 即3Zn ～3H 2～Fe 2O 3～2Fe 。 事实上3Zn ～Fe 2O 3就是本题的关系式，然后代入关系量即可求解。 解：设最多能还原氧化铁的质量为x 。有关的化学方程式为： Zn + H 2SO 4 ＝ ZnSO 4 + H 2↑ 3H 2 + Fe 2O 3 ＝ 2Fe + 3H 2O 由上述两个化学方程式可推知参加反应的锌和被还原的氧化铁有如下关系： 3Zn ～ Fe 2O 3 3×65 160 195g×(1-10%) x 所以：3×65 : 160 = 195g×(1-10%) : x 解得: x = 144g 答：最多能还原氧化铁的质量为144g 有兴趣的同学还可以根据分步的反应方程式计算求出被还原的氧化铁的质量，比较找关系式法与分步计算有何优点? 2 点燃 中考化学大题答题技巧介绍 考试是对同学们所学知识和在长年累月的刻苦钻研中培养起来的能力的综合检验。成绩的好坏，取决于临场的发挥和考前的心理准备。大家知道中考化学大题答题技巧吗?下面我们就给大家详细介绍一下吧! 一、理综化学学科大题的命题特点 理综化学大题不但能较好地考查考生知识的综合运用能力，更重要的是区分考生成绩优秀程度、便于高考选拔人才。根据对近年高考理综第Ⅱ卷化学命题情况分析，其存在如下特点： 1.一般有4道大题，其中包括1道化学反应原理题、1道实验题、1道元素或物质推断题、1道有机推断题。 2.试题的综合程度较大，一般都涉及多个知识点的考查，如元素化合物性质题中常涉及元素推断、性质比较实验、离子检验、反应原理等问题，再如化学反应原理题中的几个小题之间基本上没有多大联系，纯粹就是拼盘组合，其目的就是增大知识的覆盖面，考查知识的熟练程度及思维转换的敏捷程度。 3.重视实验探究与分析能力的考查。第Ⅱ卷大题或多或少地融入了对实验设计、分析的考查，如基本操作、仪器与试剂选用、分离方法选择、对比实验设计等，把对实验能力的考查体现得淋漓尽致，尤其是在实验设计上融入了实验数据的 分析，题型新颖。 二、理综化学学科大题的答题策略 1.元素或物质推断类试题 该类题主要以元素周期律、元素周期表知识或物质之间的转化关系为命题点，采用提供周期表、文字描述元素性质或框图转化的形式来展现题干，然后设计一系列书写化学用语、离子半径大小比较、金属性或非金属性强弱判断、溶液中离子浓度大小判断及相关简单计算等问题。此类推断题的完整形式是：推断元素或物质、写用语、判性质。 【答题策略】元素推断题，一般可先在草稿纸上画出只含短周期元素的周期表，然后对照此表进行推断。(1)对有突破口的元素推断题，可利用题目暗示的突破口，联系其他条件，顺藤摸瓜，各个击破，推出结论;(2)对无明显突破口的元素推断题，可利用题示条件的限定，逐渐缩小推求范围，并充分考虑各元素的相互关系予以推断;(3)有时限定条件不足，则可进行讨论，得出合理结论，有时答案不止一组，只要能合理解释都可以。若题目只要求一组结论，则选择自己最熟悉、最有把握的。有时需要运用直觉，大胆尝试、假设，再根据题给条件进行验证也可。 无机框图推断题解题的一般思路和方法：读图审题→找准"突破口"→逻辑推理→检验验证→规范答题。解答的关键是迅速找到突破口，一般从物质特殊的颜色、特殊性质或结构、 高一化学计算题常用解题技巧和方法 1、差量法 例题. 将质量为100克的铁棒插入硫酸铜溶液中，过一会儿取出，烘干，称量，棒的质量变为100.8克。求有多少克铁参加了反应。 解析： Fe + CuSO4= FeSO4+Cu 棒的质量增加 56 64 64-56=8 m (Fe) 100.8g-100g=0.8g 56∶8＝m (Fe)∶0.8 答：有5.6克铁参加了反应。 归纳小结 差量法是根据物质变化前后某种量发生变化的化学方程式或关系式，找出所谓“理论差量”，这个差量可以是固态、液态物质的质量、物质的量之差。，也可以是气态物质的体积、物质的量之差等。。该法适用于解答混合物间的反应，且反应前后存在上述差量的反应体系。差量也是质量守恒定律的一种表现形式。仔细分析题意，选定相关化学量的差量。质量差均取正值。差量必须是同一物理量及其单位，同种物态。 差量法优点：不需计算反应前后没有实际参加反应的部分，因此可以化难为易、化繁为简。解题的关键是做到明察秋毫，抓住造成差量的实质，即根据题意确定“理论差值”,再根据题目提供的“实际差量”,列出正确的比例式，求出答案。差量法利用的数学原理：差量法的数学依据是合比定律，即 差量法适用范围 ⑴反应前后存在差量且此差量易求出。 只有在差量易求得时，使用差量法才显得快捷，否则，应考虑用其他方法来解。这是使用差量法的前提。 ⑵反应不完全或有残留物时，在这种情况下，差量反映了实际发生的反应，消除了未反应物质对计算的影响，使计算得以顺利进行。 经典习题 1.在稀H2SO4和CuSO4的混合液中，加入适量铁粉，使其正好完全反应。反应后得到固体物质的质量与所加铁粉的质量相等。则原混合液中H2SO4和CuSO4的质量比为( ) A.7:8 B.8:7 C.7:80 D.80:7 一 利用数形结合思想讨论方程的根 例1 (2014·山东)已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx ，若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( ) A ．(0，12) B ．(1 2，1) C ．(1,2) D ．(2，＋∞) 答案 B 解析 先作出函数f (x )＝|x －2|＋1的图象，如图所示， 当直线g (x )＝kx 与直线AB 平行时斜率为1，当直线g (x )＝kx 过A 点时斜率为1 2 ，故f (x )＝ g (x )有两个不相等的实根时，k 的范围为(1 2，1)． 思维升华 用函数的图象讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时，需要作适当变形转化为两个熟悉的函数)，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解的个数． 设函数f (x )＝? ???? x 2＋bx ＋c ，x ≤0， 2， x >0，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 C 解析 由f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2， 解得b ＝4，c ＝2，∴f (x )＝??? ? ? x 2 ＋4x ＋2，x ≤0，2， x >0. 作出函数f (x )＝? ?? ?? x 2 ＋4x ＋2， x ≤0， 2， x >0与y ＝x 的图象，如图， 由图知交点个数有3个，故选C. 热二 利用数形结合思想解不等式、求参数范围 例2 (1)已知奇函数f (x )的定义域是{x |x ≠0，x ∈R }，且在(0，＋∞)上单调递增，若f (1)＝0，则满足x ·f (x )<0的x 的取值范围是________． (2)若不等式|x －2a |≥1 2 x ＋a －1对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________． 答案 (1)(－1,0)∪(0,1) (2)? ????－∞，12 解析 (1)作出符合条件的一个函数图象草图即可，由图可知x ·f (x )<0的x 的取值范围是(－1,0)∪(0,1)． (2) 作出y ＝|x －2a |和y ＝12x ＋a －1的简图，依题意知应有2a ≤2－2a ，故a ≤1 2 . 思维升华 求参数范围或解不等式问题时经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化数量关系来解决问题，往往可以避免烦琐的运算，获得简捷的解答． (1)设A ＝{(x ，y )|x 2 ＋(y －1)2 ＝1}，B ＝{(x ，y )|x ＋y ＋m ≥0}，则使A ?B 成立 的实数m 的取值范围是__________． (2)若不等式9－x 2 ≤k (x ＋2)－2的解集为区间[a ，b ]，且b －a ＝2，则k ＝________. 答案 (1)[2－1，＋∞) (2) 2 解析 (1) 集合A 是一个圆x 2 ＋(y －1)2 ＝1上的点的集合，集合B 是一个不等式x ＋y ＋m ≥0 图像题，就是将变化过程中的某些量的变化以曲线、直线的形式表示的习题，这类题目具有形象直观、简明清晰、知识面广、综合性强等特点。就其内容而言，主要有溶解度、溶液稀释、溶液导电性、沉淀量、化学反应过程等图像题；从形式上来看，有单线图像题、多线图像题。 图像题的解题技巧： （1）以数学与化学知识结合为突破口。 （2）把握好“三点一线”，即起点、拐点、终点和曲线。（也就是说，关注起点，拐点、终点和曲线的变化趋势往往会收到事半功倍的效果。） 例1:将质量相等的氯酸钾单独加热和与少量二氧化锰混合加热。图中a代表氯酸钾和二氧化锰的混合物，b是氯酸钾。放出氧气的质量（纵坐标）和反应时间横坐标的关系图正确的是（） 要考虑反应是否一加热就会放出氧气决定了起点是否从零点出发 要考虑反应的速率快慢决定了拐点的位置前后 题型一:金属质量与H2质量 例题:质量相等的Mg、Al、Zn、Fe四种金属分别与足量的稀H2SO4反应，产生H2的质量mH2与四种金属质量m金关系如下图，正确的是( ) [附加题]等质量的A、B两种活泼金属（化合价均为+2价）与足量稀盐酸反应时产生H2的质量与反应时间的关系如图。 （1）A、B两种金属的活动性大小是_ _ （2）A、B两种金属的相对原子质量大小是 （3）在Mg和Fe，Zn和Fe，Zn和Cu中，A、B可能是______ 题型二:有关溶液中溶质质量分数的图象题 例题:有一杯食盐溶液，加水稀释，若以质量分数a%为纵坐标，以溶液的体积v为横坐标，则下图正确的是( ) 练习1: m克KNO3的不饱和溶液，恒温蒸发水分直至有少量晶体析出。在此过程中，能表示溶质的质量分数a%与时间t的变化关系的是( ) 练习2: 现有一杯接近饱和的食盐溶液，在恒温及溶剂（水）质量不变的条件下，为了达到饱和，不断向其中加入固体NaCl质量m，下图能表示加入的固体质量m与质量分数a%的关系的是( ) “数形结合”巧计算 数形结合使“代数问题几何化，几何问题代数化”。比如列方程解应用题时常画线段图、有理数用数轴上的点来表示等等，都是数形结合的典型例子。对于一些较难的数学问题，采用由形思数、由数想形，结合具体问题，灵活进行数形转化，往往可使复杂问题简单化、抽象问题具体化。下面就以举例谈谈“数形结合”解问题。 例如，求1＋2＋3＋4＋…＋n的值，其中n是正整数． 分析：对于这个求和问题，如果采用纯代数的方法（首尾两头加），问题虽然可以解决，但在求和过程中，需对正整数n是奇数，还是偶数进行讨论． 如果采用数形结合的方法，即用图形的性质来说明数量关系的事实，那就非常的直观．现利用图形的性质来求1＋2＋3＋4＋…＋n的值，方案如下． 方案一：如图1，斜线左边的三角形图案是由上到下每层依次分别为1，2，3，…，n 个小圆圈排列组成的．而组成整个三角形小圆圈的个数恰为所求式子1＋2＋3＋4＋…＋n 的值．为求式子的值，现把左边三角形倒放于斜线右边，与原三角形组成一个平行四边形．此时，组成平行四边形的小圆圈共有n行，每行有（n＋1）个小圆圈，所以组成平行 四边形小圆圈的总个数为n（n＋1）个，因此，组成一个三角形小圆圈的个数为 21） （+ n n ， 即1＋2＋3＋4＋…＋n＝ 21） （+ n n ． 图1 方案二：设计图形如图2所示． 图2 因为组成此正方形的小圆圈共有n行，每行有n个，所以共有（n×n）个，即n2个．∴1＋3＋5＋7＋…＋（2n－1）＝n×n＝n2． （1）仿照上述数形结合的思想方法，设计相关图形，求1＋3＋5＋7＋…＋（2n－1）的值，其中n 是正整数．（要求：画出图形，并利用图形做必要的推理说明）（2）试设计另外一种图形，求1＋3＋5＋7＋…＋（2n－1）的值，其中n是正整数．（要求：画出图形，并利用图形做必要的推理说明） 【分析】这是一道通过材料阅读，从中得出“解题方法型”的试题；试题中渗透了运用“数形结合”的思想。即用图示法来揭示所要求的n个连续正整数的各的问题．仔细阅读后，求解问题也就不难了． 常见化学计算题解题方法 肖素娟 在高中化学的学习中经常会遇到计算题，其主要功能是考查学生掌握基础知识的广度，同时也考查学生对知识掌握的熟练程度以及知识的系统性。一般情形下计算题的题目较长，所含信息较多，不容易找到正确的方向，因此有不少学生产生畏难的情绪不愿意动手做题。其实化学计算题如果掌握了一定的方法技巧问题就会迎刃而解了。以下就高一化学常见计算题的解题方法的小结，包括了关系式法、差值法、分析讨论法、平均值法、公式法。 1.关系式法 所谓关系式法，就是根据化学概念、物质组成、化学反应方程式中有关物质的有关数量之间的关系，建立起已知和未知之间的关系式，然后根据关系式进行计算。利用关系式的解题，可使运算过程大为简化。 其中包括守恒法。所谓“守恒”就是以化学反应过程中存在的某些守恒关系如质量守恒、元素守恒、得失电子守恒，电荷守恒等。运用守恒法解题可避免在纷纭复杂得解题背景中寻找关系式，提高解题的准确度。 例1、有一在空气中放置了一段时间的KOH固体，经分析测知其含水2.8%、含K2CO337.3% 取1g该样品投入25mL2mol／L的盐酸中后，多余的盐酸用1.0mol／LKOH溶液30.8mL恰好完全中和，蒸发中和后的溶液可得到固体的质量为多少？ 【解析】本题化学反应复杂，数字处理烦琐， 所发生的化学反应：KOH＋HCl＝KCl＋H2O K2CO3＋2HCl=2KCl＋H2O＋CO2↑ 若根据反应通过所给出的量计算非常繁琐。 但若根据Cl—守恒，便可以看出：蒸发溶液所得KCl固体中的Cl—，全部来自盐酸中的Cl－，即：生成的n(KCl)=n(HCl)＝0.025L×2mol/L m(KCl)=0.025L×2mol/L×74.5g/mol=3.725g 例2将纯铁丝5.21g溶于过量稀盐酸中，在加热条件下，用2.53gKNO3去氧化溶液中Fe2＋，待反应后剩余的Fe2＋离子尚需12mL0.3mol/LKMnO4溶液才能完全氧化，则KNO3被还原后的产物为 ( ) A、N2 B、NO C、NO2 D、NH4NO3 【解析】根据氧化还原反应中得失电子的总数相等，Fe2＋变为Fe3＋失去电子的总数等于NO3－和MnO4－得电子的总数 设n为KNO3的还原产物中N的化合价，则 (5.21g÷56g/moL)×(3－2)=0.012L×0.3mol/L×(7－2)＋(2.53g÷101g/mol)×(5－n) 解得 n=3 故KNO3的还原产物为NO。答案为(B) 2.差值法 差值法依据：化学反应前后的某些变化找出所谓的理论差量(固体质量差、溶液质量差、气体体积差、气体物质的量之差等)，与反应或生成物的变化量成正比而建立的一种解题方法。 差值法解题方法：此法将“差值”看作化学方程式右端的一项，将已知差量(实际差量)与化学方程式中的对应差量(理论差量)列成比例，其他解题步骤与按化学方程式列比例或解题完全一样。 例1、将质量为m1的NaHCO3固体加热分解一段时间后，测得剩余固体的质量为m2. (1)未分解的NaHCO3的质量为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 (2)生成的Na2CO3的质量为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 第课时总课时 数形结合解决问题 【教学内容】： 义务教育课程标准实验教科书青岛版小学数学六年级下册116——117页。 【教学目标】： 在回顾整理的过程中，加深对数形结合思想方法的认识，使学生充分感受数形结合在小学数学学习中的应用。 【教学重点】： 通过一些数形结合的实例，使学生体会数形结合思想的优越性，并能帮助学生建立思路解决问题。【教学过程】; 一、谈话引入。 师：同学们，在我们的数学学习中，除了研究各种数以外，还经常要用到各种各样的图形。利用图形来研究问题，会使问题变得更加简单明了。请同学们回忆所学的知识，你能举一些这样的例子吗？学生思考后举例。 二、自主探究。 1、教师出示某电脑公司2008年各种电脑销售情况的具体数据及条形统计图、扇形统计图和某电脑公司2004-2008最畅销的两种电脑销量折线统计图。 师：仔细观察这些数据和统计图，你有什么发现？ 学生各抒己见，发表自己的看法。 师引导学生总结：图形描述数据更加直观、有效。条形统计图能清楚看出数量的多少，扇形统计图能清楚看出个部分同总数之间的关系，折线统计图能清楚看出数量增长情况。 2、师：图形不仅在描述数据方面有优越性，在其他方面同样能体现出优势。你还能举例说明数形结合在其他方面的应用吗？（生独立思考）下面请同学们以小组为单位交流自己的想法。交流过程中，要注意倾听他人的想法。 集体交流。 教师在学生交流的基础上引导学生发现：画图可以帮助我们理解计算方法、图形可以更加形象的反映成正比例关系的两种量的变化情况、在平面内确定物体的位置也利用了数形结合。 3、小结 师：通过刚才的交流，我们发现实际上许多问题的解决都利用了数形结合，你能谈一谈自己的体会吗? 三、拓展延伸。 师：同学们，我们在解决问题中常常用到的线段图，也是数形结合思想的一个重要应用。例如前面学过的相遇问题、百分数应用题等等。下面我们就做两个题目，体会画线段图解决问题的优越性。 1、育才小学2000年有60台计算机，2006年以达到150台。2006年比2000年增加了百分之几？ 2、有两根蜡烛，一根长8厘米，另一根长6厘米。把两根都燃掉同样长的一部分后，短的一根剩下的长度是长的一根剩下的3/5。每段燃掉多少厘米？ （学生独立解答，体会用线段图解决问题的优越性。） 集体交流，引导学生陈述自己的解题思路。 四、归纳梳理。 师：这节课我们主要研究了利用数形结合的方法来解决问题，你能谈 谈自己的收获吗？ 学生谈自己收获，提出尚存疑惑的问题。 数形结合在高考解题中的应用 摘 要： 数学中两大研究对象“形”与“数”的矛盾统一是数学发展的内在因素。数形结合是推动数学发展的动力。数形结合不应仅仅作为一种解题的方法，而应作为一种基本的，重要的数学思想来学习，研究和掌握运用。数形结合能力的提高，有利于从数与形的结合上深刻认识数学问题的实质，有利于扎实打好数学的基础，有利于数学素质的提高，同时必然促进数学能力的发展。 数形结合是中学数学中重要的思想方法，每年高考中都有一定量的考题采用此法解决，可起到事半功倍的效果。 在高考试题中，选择题、填空题由于不要求写出解答过程，命题时常对掌握及应用数形结合的思想方法解决问题的能力提出较高的要求，要求考生应用数形结合思想，通过数与形的转化，找到简捷的思路，快速而准确地做出判断，从而得出结果；对于要求完整写出解题过程的解答题，由于包含的知识量大、涉及的概念多，数形结合的思想主要用于思路分析、化简运算及推理的过程，以求快速准确地分析问题、解决问题。 其基本模型有： 1 距离函数 2、 y a x b -- 斜率函数 3、Ax ＋By 截距函数 4、22(cos ,sin )x y 1(cos ,sin )F θθθθ+单位圆＝上的点 5、2 2 a a b b ±+余弦定理 6、 ax b cx d ++ 双曲线 a ．数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题能迎刃而解， 且解法简捷。所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合。 b ．实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的 对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。 如等式()()x y -+-=21422 c ．数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域， 初中化学推断题解题技巧1、以物质的颜色为突破口 2、以物质的用途为突破口 3、以组成元素相同的物质为突破口 （1）气体氧化物：二氧化碳和一氧化碳 （2）液体氧化物：过氧化氢和氧化氢 （3）固体氧化物：氧化铁和四氧化三铁 （4）盐：氯化亚铁和氯化铁、硫酸亚铁和硫酸铁 （5）碱：氢氧化亚铁和氢氧化铁 4、以常见物质类别为突破口 （1）常见无色无味气体：氢气、氧气、一氧化碳、二氧化碳 （2）常见气体单质：氢气、氧气 （3）常见固态非金属单质：碳 （4）常见固态金属单质：铁、镁、铜、锌 （5）常见氧化物：过氧化氢、氧化氢、一氧化碳、二氧化碳、氧化钙、氧化铁、氧化铜 （6）常见的酸：稀盐酸和稀硫酸 （7）常见的碱：氢氧化钠和氢氧化钙 （8）常见的盐：氯化钠、硫酸钠、碳酸钠、硝酸银 5、以元素或物质之最为突破口 （1）地壳中的元素居前四位的是：O、Si、Al、Fe。地壳中含量最多的元素是O ；最多的非金属元素是O；最多的固态非金属元素Si；最多的金属元素是Al。 （2）空气中含量最多的是N 2 （3）相同条件下密度最小的气体是H 2 （4）相对分子质量最小的单质是H 2、氧化物是H 2 O （5）日常生活中应用最广泛的金属是Fe 6、以化学反应的特殊现象为突破口 7、以反应特点为突破口 8、以反应类型为突破口 a、化合反应 （1）燃烧红磷、铁、硫、碳（充分、不充分）、一氧化碳、氢气 木炭在氧气中充分燃烧、木炭在氧气中不充分燃烧、硫粉在氧气中燃烧、红磷在氧气中燃烧、氢气燃烧、铁丝在氧气中燃烧、镁条燃烧、铝在空气中形成保护膜、一氧化碳燃烧、二氧化碳通过炽热的碳层 （2）有水参加二氧化碳与水反应、生石灰与水反应 b、分解反应 （1）实验室制取氧气：过氧化氢和二氧化锰制氧气、高锰酸钾制取氧气、氯酸钾和二氧化锰制取氧气 （2）电解水 （3）高温煅烧石灰石、氧化汞加热分解、碳酸分解 c、置换反应 （1）氢气或碳还原金属氧化物：木炭还原氧化铜、木炭还原氧化铁、氢气还原氧化铜 （2）金属+酸（铁、镁、锌、铝）：锌与稀硫酸反应、锌与稀盐酸反应、铁与稀硫酸反应、铁与稀盐酸反应、铝与稀硫酸反应、镁与稀硫酸反应 （3）金属+盐溶液（铁、铜、铝）：铁与硫酸铜溶液反应、铁与硫酸铜溶液反应、铜与硝酸银反应 d、复分解反应 （1）金属氧化物+ 酸→盐+ 水 氧化铁与稀盐酸反应： 氧化铁与稀硫酸反应： 氧化铜与稀盐酸反应： 氧化铜与稀硫酸反应： 氧化锌与稀硝酸反应： （2）碱+ 酸→盐+ 水 氢氧化铜与稀盐酸反应： 氢氧化铜与稀硫酸反应： 目录 0 引言 (1) 1 以“数”化“形” (1) 1.1 利用韦恩图法解决集合之间的关系问题 (2) 1.2 利用二次函数的图象求一元二次不等式的解集 (3) 1.3 利用两点间距离公式辅助图形，解决代数综合题 (3) 2 以“形”变“数” (4) 2.1 用解析法解决平面解析几何中的圆锥曲线问题 (4) 3 “形”“数”互变 (6) 3.1 数轴在有理数化简中的应用 (6) 3.2 利用三角函数图象求角度 (7) 3.3 利用数形结合解决平面几何问题 (7) 结论 (9) 致谢 (9) 参考文献 提纲 1 以“数”化“形” 1.1 利用韦恩图法解决集合之间的关系问题 1.2 利用二次函数的图象求一元二次不等式的解集 1.3 利用两点间距离公式辅助图形，解决代数综合题 2 以“形”变“数” 2.1 用解析法解决平面解析几何中的圆锥曲线问题 3 “形”“数”互变 3.1 数轴在有理数化简中的应用 3.2 利用三角函数图象求角度 3.3 利用数形结合解决平面几何问题。 摘要：数形结合法是解决数学问题中最基本、也最常用的思想方法。本文就中学数学中的不等式、集合、函数、解析几何等内容，举例阐述数形结合法在解题中的三点应用。 关键词：数形结合；中学数学；应用；解决问题 引言 做事情，如果想要事半功倍，就必须讲究方法，其实，何止事半功倍，有时方法甚至起到了决定性的作用，缺乏有效的方法，不仅谈不上效率，而且问题不能解决，事情也就根本不能成功，数形结合法对解决某些数学问题就起到了决定性的作用，如果能将数与形巧妙地结合起来，一些看似无法入手的问题就会迎刃而解，产生事半功倍的效果。我国著名的数学家华罗庚曾精辟地概括了数形结合法的内涵：数与形，本是相倚依，焉能分作两边分，数缺形时少直觉，形少数时难入微，数形结合万般好，割离分家万事非，切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离！可见，数与形存在着十分密切的联系。其实，在中学数学中，有很多内容就是集“数”“形”于一身的良好载体，例如：函数、解析几何等等，本文试从中学数学中的有理数、不等式、集合、三角函数、函数及其图象、平面几何、解析几何内容方面，举例说明数形结合法在中学数学解题中的三点应用：（1）以“数”化“形”；（2）以“形”变“数”；（3）“形”“数”互变。 1 以“数”化“形” 中考化学计算题的解法技巧 1守恒法 守恒法解题的核心就是质量守恒定律中的六不变。除此之外，化学中的等量关系还表现为同一物质中的电荷守恒、化合物中化合价守恒、同一化合物等量关系。学生对于挖掘题目中隐含的等量关系的能力较弱，对于物质和元素质量关系不能很好地建立联系。 2极限平均值法 在处理复杂的模糊题型的选择题时，此方法可以直接求解出设定的参量(平均值或极值)，然后用此参量与各选项做比较确定符合题意的选项。学生的思维误区一般是不能准确确定设定的参量。 3差量法 化学反应都遵循质量守恒定律，有些反应在遵循质量守恒定律的同时，会出现固、液、气体质量在化学反应前后有所改变的现象，同一状态的物质的质量遵循化学反应中各物质之间的固定的质量关系，因此，在根据方程式的计算引入差量，根据变化值可以求出反应物或生成物的质量。差量法的难点在于学生找不到计算的差量，而且不知道同一状态的物质质量的差与物质的质量也成比例。 4假设数据法 根据题目中涉及的化学反应中物质的相对质量结合题意假设适合计算的数据进行计算。学生的思维误区一般是质量分数计算、物质的质量的计算、元素的质量计算，粒子个数的计算不能很好的进行迁移。 化学计算常考题介绍 中考[微博]化学试卷的最后一题计算是中考中的压轴计算题，它考查学生对质量守恒定律、方程式计算、溶质质量分数的计算以及酸碱盐部分的知识，考查知识综合，难度较大。题目主要分为文字表达型计算、表格计算、图像计算、探究实验计算。以下详细地进行介绍： 文字表达型计算 主要考察学生归纳整理题目中隐含信息的能力，难点往往在于〝题目文字过多，流程过于复杂，读不懂题，找不到，不会列有效的等式求出未 小学数学六年级下册《数形结合解决问 题》 青岛版小学数学六年级下册《数形结合解决问题》精品教案 【教学内容】： 义务教育课程标准实验教科书青岛版小学数学六年级下册116——117页。【教学目标】： 在回顾整理的过程中，加深对数形结合思想方法的认识，使学生充分感受数形结合在小学数学学习中的应用。 【教学重点】： 通过一些数形结合的实例，使学生体会数形结合思想的优越性，并能帮助学生建立思路解决问题。 【教学过程】; 一、谈话引入。 师：同学们，在我们的数学学习中，除了研究各种数以外，还经常要用到各种各样的图形。利用图形来研究问题，会使问题变得更加简单明了。请同学们回忆所学的知识，你能举一些这样的例子吗？ 学生思考后举例。 【设计意图】教师给学生一定的思考时间，可以使学生对所学过的用图形来研究问题的有关知识进行初步的梳理，从而为本节课的学习做好铺垫。 二、自主探究。 1、教师出示某电脑公司2008年各种电脑销售情况的具体数据及条形统计图、扇形统计图和某电脑公司2004-2008最畅销的两种电脑销量折线统计图。 师：仔细观察这些数据和统计图，你有什么发现？ 学生各抒己见，发表自己的看法。 师引导学生总结：图形描述数据更加直观、有效。条形统计图能清楚看出数量的多少，扇形统计图能清楚看出个部分同总数之间的关系，折线统计图能清楚看出数量增长情况。 【设计意图】将原始数据和统计图同时呈现，可以给学生造成视觉上的冲击。原始数据杂乱无章而统计图简单明了，能够帮助阅读的人有效的提取信息。对于用图形描述数据的优越性，学生一目了然。 2、师：图形不仅在描述数据方面有优越性，在其他方面同样能体现出优势。你还能举例说明数形结合在其他方面的应用吗？（生独立思考）下面请同学们以小组为单位交流自己的想法。交流过程中，要注意倾听他人的想法。 集体交流。 教师在学生交流的基础上引导学生发现：画图可以帮助我们理解计算方法、图形可以更加形象的反映成正比例关系的两种量的变化情况、在平面内确定物体的位置也利用了数形结合。 3、小结 师：通过刚才的交流，我们发现实际上许多问题的解决都利用了数形结合，你能谈一谈自己的体会吗? 【设计意图】学生个人的想法可能是粗浅的、片面的，而通过小组交流，倾听他人的想法和意见，可以进一步完善自己的想法。教师在学生交流的基础上运用多媒体呈现相关的例子，通过这些数形结合的直观的例子，让学生充分感受数形结合在数学学习中的应用。 三、拓展延伸。 1引言 数与形是数学中最古老最基本的研究对象。华罗庚教授说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微。”数与形各有特定的含义、但他们之间相辅相成、相互渗透、相互转化。数形结合思想是重要的解题方法，是每年高考必考的重要内容，数形结合应用解题能力与学生成绩呈显着的正相关。解题时将问题转化为与之等价的图形问题，可以直观的使问题简捷获解。实现数形结合常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义；③以几何元素和几何条件为背景建立起的概念；④函数与图像的对应关系；⑤曲线与方程的对应关系。应用数形结合思想不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算推理，大大简化解题过程，这在解选择、填空题中更为显着，培养这种思想意识能开拓自己的思维视野。 2文献综述 国内外研究现状 数形结合作为高中数学中非常重要的思想方法，很早就引起了许多专家学者的关注。自笛卡尔创造了平面直角坐标系，数形结合的思想得到了突飞猛进的发展。文献[1]中叶立军谈到：“数缺形时少直观，形少数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事休。”近些年来，国内外仍有许多学者发表了对数形结合思想的应用研究，文献[2-3]中介绍了数形结合在概率统计和数列中的应用。文献[4-6]通过总结图形结构与数式结构提出了数形结合的两个主要途径。文献[7-10]认为数形结合可以直观快速解决很多问题，但转化时要遵循转化等价原则。不过由于数形结合思想应用范围极其广泛，所以我认为目前对数形结合思想的研究仍有很大的空间。 国内外研究现状评价 文献[11-13]中介绍了许多数形结合的途径和方法，其中研究解决函数各类文章最多，集中于判断两函数图像交点个数及其他函数性质。对于数形结合在高中数学各种问题的研究并不够全面。 提出问题 如今数形结合有着广泛的应用，即把数学与几何图形相结合，化繁为简，化抽象为具体，直观快速地抓住问题的本质与要害，可使解题起到事半功倍的效果。然而一个不争的事实 初中化学解题常用技巧 一、推断题常用解题技巧 1、常见物质的颜色：多数气体为无色，多数固体化合物为白色，多数溶液为无色。 2、一些特殊物质的颜色： 黑色：MnO2、CuO、Fe3O4、C、FeS（硫化亚铁） 蓝色：CuSO4?5H2O、Cu(OH)2、CuCO3、含Cu2+ 溶液、液态固态O2（淡蓝色） 红色：Cu（亮红色）、Fe2O3（红棕色）、红磷（暗红色） 黄色：硫磺（单质S）、含Fe3+ 的溶液（棕黄色） 绿色：FeSO4?7H2O、含Fe2+ 的溶液（浅绿色）、碱式碳酸铜[Cu2(OH)2CO3] 无色气体：N2、CO2、CO、O2、H2、CH4 有色气体：Cl2（黄绿色）、NO2（红棕色） 有刺激性气味的气体：NH3(此气体可使湿润pH试纸变蓝色)、SO2 有臭鸡蛋气味：H2S 3、常见一些变化的判断： ①白色沉淀且不溶于稀硝酸或酸的物质有：BaSO4、AgCl（就这两种物质） ②蓝色沉淀：Cu(OH)2、CuCO3 ③红褐色沉淀：Fe(OH)3 Fe(OH)2为白色絮状沉淀，但在空气中很快变成灰绿色沉淀，再变成Fe(OH)3红褐色沉淀 ④沉淀能溶于酸并且有气体（CO2）放出的：不溶的碳酸盐 ⑤沉淀能溶于酸但没气体放出的：不溶的碱 4、酸和对应的酸性氧化物的联系： ①酸性氧化物和酸都可跟碱反应生成盐和水： CO2 + 2NaOH == Na2CO3 + H2O（H2CO3 + 2NaOH == Na2CO3 + 2H2O） SO2 + 2KOH == K2SO3 + H2O H2SO3 + 2KOH == K2SO3 + 2H2O SO3 + 2NaOH == Na2SO4 + H2O H2SO4 + 2NaOH == Na2SO4 + 2H2O ②酸性氧化物跟水反应生成对应的酸：（各元素的化合价不变） CO2 + H20 == H2CO3 SO2 + H2O == H2SO3 初中化学化学计算题解题技巧(超强)及练习题(含答案) 一、中考化学计算题 1．阿司匹林（分子式为C9H8O4）是一种常用解热镇痛药，用于治疗感冒、发烧、头痛等疾病。某阿司匹林肠溶片说明书的部分内容如图所示。 （1）阿斯匹林的相对分子质量是_____，其中氢、氧元素的质量比是_____。 （2）阿斯匹林中碳元素的质量分数_____；25mg阿斯匹林中含碳元素的质量_____；（3）治疗不稳定性心绞痛时，病人每天服用阿斯匹林肠溶片的最大量是_____片。 【答案】180 1：8 60% 15mg 12 【解析】 （1）根据相对分子质量为构成分子的各原子的相对原子质量之和、化合物中各元素质量比=各原子的相对原子质量×原子个数之比，进行分析解答； （2）根据化合物中元素的质量分数= ? 相对原子质量原子个数 相对分子质量 ×100%，化合物中某元 素的质量=该化合物的质量×该元素的质量分数，进行分析解答； （3）不稳定性心绞痛时，每天阿斯匹林的剂量为75～300mg，据此进行分析解答。 解：（1）阿斯匹林的相对分子质量为12×9+1×8+16×4=180；其中氢、氧元素的质量比为（1×8）：（16×4）=1：8。 （2）阿斯匹林中碳元素的质量分数为129 180 ? ×100%=60%； 25mg阿斯匹林中含碳元素的质量为25mg×60%=15mg； （3）不稳定性心绞痛时，每天阿斯匹林的剂量为75～300mg，则病人每天服用阿斯匹林肠溶片的最大量是300mg÷25mg=12片。 点睛：结合标签新信息、灵活运用化学式的有关计算进行分析问题、解决问题的能力。 2．为测定某大理石样品中碳酸钙（杂质不溶于水也不参与反应）的质量分数，某小组的同学进行了如下实验（水和氯化氢的挥发忽略不计）：取12.5g样品研碎放入烧杯中，每次加入20.8 g稀盐酸后并用电子天平称量，记录实验数据如下。 加入稀盐酸次数12345 烧杯及所称物质总质量/g72.291.9111.6131.3152.1 1 引言 数与形是数学中最古老最基本的研究对象。华罗庚教授说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微。”数与形各有特定的含义、但他们之间相辅相成、相互渗透、相互转化。数形结合思想是重要的解题方法，是每年高考必考的重要内容，数形结合应用解题能力与学生成绩呈显著的正相关。解题时将问题转化为与之等价的图形问题，可以直观的使问题简捷获解。实现数形结合常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系； ②所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义；③以几何元素和几何条件为背景建立起的概念；④函数与图像的对应关系；⑤曲线与方程的对应关系。应用数形结合思想不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算推理，大大简化解题过程，这在解选择、填空题中更为显著，培养这种思想意识能开拓自己的思维视野。 2 文献综述 2.1国内外研究现状 数形结合作为高中数学中非常重要的思想方法，很早就引起了许多专家学者的关注。自笛卡尔创造了平面直角坐标系，数形结合的思想得到了突飞猛进的发展。文献[1]中叶立军谈到：“数缺形时少直观，形少数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事休。”近些年来，国内外仍有许多学者发表了对数形结合思想的应用研究，文献[2-3]中介绍了数形结合在概率统计和数列中的应用。文献[4-6]通过总结图形结构与数式结构提出了数形结合的两个主要途径。文献[7-10]认为数形结合可以直观快速解决很多问题，但转化时要遵循转化等价原则。不过由于数形结合思想应用范围极其广泛，所以我认为目前对数形结合思想的研究仍有很大的空间。 2.2国内外研究现状评价 文献[11-13]中介绍了许多数形结合的途径和方法，其中研究解决函数各类文章最多，集中于判断两函数图像交点个数及其他函数性质。对于数形结合在高中数学各种问题的研究并不够全面。 2.3提出问题 如今数形结合有着广泛的应用，即把数学与几何图形相结合，化繁为简，化抽象为具体，直观快速地抓住问题的本质与要害，可使解题起到事半功倍的效果。然而一个不初中化学常见实验题型解题技巧
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