定义新运算这类题目是在考验我们的适应能力，我们大家都习惯四则运算，定义新运算就打破了运算规则，要求我们要严格按照题目的规定做题．新定义的运算符号，常见的如△、◎、※等等，这些特殊的运算符号，表示特定的意义，是人为设定的．解答这类题目的关键是理解新定义，严格按照新定义的式子代入数值，把定义的新运算转化成我们所熟悉的四则运算。
一 定义新运算
基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。
基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。
关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。
注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。 ②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。 我们学过的常用运算有：＋、－、×、÷等. 如：2＋3＝5 2×3＝6
都是2和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”运算不相同.
二 定义新运算分类
1.直接运算型
2.反解未知数型
3.观察规律型
4.其他类型综合
模块一、直接运算型
【例 1】 若*A B 表示()()3A B A B +?+，求5*7的值。
【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算 【解析】 A *B 是这样结果这样计算出来：先计算A ＋3B 的结果，再计算A ＋B 的结果，最后两个结果求乘
积。
由 A *B ＝（A ＋3B ）×（A ＋B ） 可知： 5*7＝（5＋3×7）×（5＋7） ＝（5＋21）×12 ＝ 26×12 ＝ 312
【答案】312
例题精讲
知识点拨
教学目标
定义新运算
【巩固】 定义新运算为a △b ＝（a ＋1）÷b ，求的值。6△（3△4）
【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算 【解析】 所求算式是两重运算，先计算括号，所得结果再计算。由a △b ＝（a ＋1）÷b 得，3△4＝（3＋1）
÷4＝4÷4＝1；6△（3△4）＝6△1＝（6＋1）÷1＝7
【答案】7
【巩固】 设a △2b a a b =?-?，那么，5△6=______，(5△2) △3=_____.
【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算 【解析】 56552613=?-?=△
52552221=?-?=△,1321216435=?-=△ 【答案】435
【巩固】 P 、Q 表示数，*P Q 表示
2
P Q
+，求3*(6*8) 【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算
【解析】 6837
3*(6*8)3*()3*7522
++====
【答案】5
【巩固】 已知a ,b 是任意自然数,我们规定: a ⊕b = a +b -1,2a b ab ?=-,那么
[]4(68)(35)?⊕⊕?= . 【考点】定义新运算之直接运算 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 原式4[(681)(352)]4[1313]=?+-⊕?-=?⊕4[13131]425=?+-=?425298=?-= 【答案】98
【巩固】 M N *表示()2,(20082010)2009M N +÷**____=
【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】走美杯，3年级，初赛 【解析】 原式()()200820102*20092009*20092009200922009=+÷==+÷=???? 【答案】2009
【巩固】 规定运算“☆”为：若a >b ，则a ☆b =a ＋b ；若a =b ，则a ☆b =a －b ＋1；若a
么，（2☆3）＋（4☆4）＋（7☆5）= 。
【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】希望杯，四年级，二试 【解析】 19 【答案】19
【例 2】 “△”是一种新运算，规定：a △b ＝a ×c ＋b ×d (其中c ，d 为常数)，如5△7＝5×c ＋7×d 。如果1△2
＝5，2△3＝8，那么6△1OOO 的计算结果是________。
【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】希望杯，六年级，二试 【解析】 1△2＝1×c ＋2×d =5，2△3＝2×c ＋3×d =8，
可得c =1,d =2 6△1000＝6×c ＋1000×d =2006
【答案】2006
【巩固】 对于非零自然数a 和b ，规定符号?的含义是：a ?b ＝2m a b
a b
?+??（m 是一个确定的整数）。如
果1?4＝2?3，那么3?4等于________。
【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】希望杯，六年级，二试
【解析】 根据1?4=2?3，得到1423214223m m ?+?+=????，解出m =6。所以，63411
3423412
?+?==??。
【答案】11
12
【例 3】 对于任意的整数x 与y 定义新运算“△”：6=
2x y
x y x y
???+,求2△9。
【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】北京市 ，迎春杯
【解析】 根据定义6=2x y x y x y ???+ 于是有6292
2952295
???==+?
【答案】2
55
【巩固】 “*”表示一种运算符号，它的含义是：()()
11
1x y xy x y A *=+
++ ，已知 ()()11221212113
A *=
+=?++，求19981999*。 【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算
【解析】 根据题意得()()()()()()12111
,,2116,1211322116
A A A A =-=++==++++ ，所以
()()111120001998
199819991998199919981199911998199919992000199819992000
39981
1998199920001998000+*=+=+=
?++????=
=
??
【答案】1
1998000
【例 4】 [A ]表示自然数A 的约数的个数.例如4有1,2,4三个约数,可以表示成[4]=3.计算:
([18][22])[7]+÷= .
【考点】定义新运算之直接运算 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 因为21823=?有(11)(21)6+?+=个约数,所以[18]=6,同样可知[22]=4,[7]=2.
原式(64)25=+÷=.
【答案】5
【巩固】 x 为正数,
<<19>+<93>+<4>×<1>×<8>>的值是 .
【考点】定义新运算之直接运算 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 <19>为不超过19的质数,有2,3,5,7,11,13,17,19共8个.<93>为不超过的质数,共24个,易知<1>=0,
所以，原式=<<19>+<93>>=<8+24>=<32>=11.
【答案】11
【巩固】 定义运算“△”如下:对于两个自然数a 和b ,它们的最大公约数与最小公倍数的和记为a △b .例
如:4△6=(4,6)+[4,6]=2+12=14.根据上面定义的运算,18△12= .
【考点】定义新运算之直接运算 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 18△12=(18,12)+[18,12]=6+36=42. 【答案】42
【例 5】 我们规定：符号Θ表示选择两数中较大数的运算，例如：5Θ3=3Θ5=5，符号△表示选择两数
中较小数的运算，例如：5△3=3△5=3，计算：
1523
(0.6)(0.625)
2335
3411
(0.3)( 2.25)
996
?
?
Θ+?
?+Θ
的结果是多少？
【考点】定义新运算之直接运算【难度】3星【题型】计算
【解析】
15232531 (0.6)(0.625)
1 23353824
341119312 (0.3)( 2.25)
9963412?
?
Θ+?+
===?+Θ+
【答案】1 2
【巩固】规定：符号“&”为选择两数中较大数的运算，“◎”为选择两数中较小数的运算。计算下式：[（7◎3）& 5]×[ 5◎（3 & 7）]
【考点】定义新运算之直接运算【难度】3星【题型】计算
【解析】新定义运算进行计算时如果遇到有括号的，要先计算小括号里的，再计算中括号里的。
[（7◎6）& 5]×[ 5◎（3 & 9）]＝[ 6 & 5] ×[ 5◎9 ]＝6×5＝30
【答案】30
【巩固】我们规定：A○B表示A、B中较大的数，A△B表示A、B中较小的数。则()()
108651120=
-?
△△○13+15△
【考点】定义新运算之直接运算【难度】3星【题型】计算
【关键词】走美杯，3年级，决赛
【解析】根据题目要求计算如下：()()()() 108651120=861315=228=56 -?-?+?△○○13+15△
【答案】56
【例 6】如果规定a※b =13×a-b ÷8，那么17※24的最后结果是______。
【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星【题型】计算
【关键词】希望杯，4年级，1试
【解析】17※24=13×17-24÷8=221-3=218
【答案】218
【巩固】若用G（a）表示自然数a的约数的个数，如：自然数6的约数有1、2、3、6，共4个，记作G （6）=4，则G(36)+G(42)= 。
【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星【题型】计算
【关键词】希望杯，4年级，1试
【解析】36的约数有：1、2、3、4、6、9、12、18、36。42的约数有：1、2、3、6、7、14、21、42。所以有G36G
+=+=
429817
（）（）。
【答案】17
【巩固】如果&10
a b a b
=+÷,那么2&5=。
【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星【题型】计算
【关键词】希望杯，4年级，1试
【解析】2&5=2+5÷10=2.5
【答案】2.5
【例 7】“华”、“杯”、“赛”三个字的四角号码分别是“2440”、“4199”和“3088”，将“华杯赛”的编码取为244041993088，如果这个编码从左起的奇数位的数码不变，偶数位的数码改变为关于9的补码，例如：0变9，1变8等，那么“华杯赛”新的编码是________.
【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星【题型】计算
【关键词】华杯赛，六年级，决赛
【解析】偶数位自左至右依次为4、0、1、9、0、8，它们关于9的补码自左至右依次为5、9、8、0、9、1，所以“华杯赛”新的编码是：254948903981
【答案】254948903981
【例 8】羊和狼在一起时，狼要吃掉羊.所以关于羊及狼，我们规定一种运算，用符号△表示：羊△羊=羊；羊△狼=狼；狼△羊=狼；狼△狼=狼，以上运算的意思是：羊与羊在一起还是羊，狼与狼
在一起还是狼，但是狼与羊在一起便只剩下狼了。小朋友总是希望羊能战胜狼.所以我们规定另
一种运算，用符号☆表示：羊☆羊=羊；羊☆狼=羊；狼☆羊=羊；狼☆狼=狼，这个运算的意思
是：羊与羊在一起还是羊，狼与狼在一起还是狼，但由于羊能战胜狼，当狼与羊在一起时，它
便被羊赶走而只剩下羊了。对羊或狼，可以用上面规定的运算作混合运算，混合运算的法规是
从左到右，括号内先算.运算的结果或是羊，或是狼．求下式的结果：羊△(狼☆羊)☆羊△(狼△
狼)
【考点】定义新运算之直接运算【难度】3星【题型】计算
【关键词】华杯赛，复赛
【解析】因为狼△狼=狼，所以原式=羊△(狼☆羊)☆羊△狼无论前面结果如何，最后一步羊△狼或者狼△狼总等于狼，所以原式=狼
【答案】狼
【例 9】一般我们都认为手枪指向谁，谁好像是有危险的，下面的规则同学们能看懂吗
规定：警察小偷=警察，警察小偷=小偷．
那么：（猎人小兔）（山羊白菜）=．
【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星【题型】计算
【关键词】学而思杯，4年级
【解析】谁握着枪就留下谁，结果应该是白菜
【答案】白菜
模块二、反解未知数型
【例 10】如果a△b表示(2)
a b
-?,例如3△4(32)44
=-?=,那么,当a△5=30时, a= .
【考点】定义新运算之反解未知数【难度】3星【题型】计算
【解析】依题意,得(2)530
a-?=,解得8
a=.
【答案】8
【巩固】规定新运算※:a※b=3a-2b.若x※(4※1)=7,则x= .
【考点】定义新运算之反解未知数【难度】3星【题型】计算
【解析】因为4※1=342110
?-?=,所以x※(4※1)= x※10=3x-20.故3x-20=7,解得x=9.
【答案】9
【巩固】如果a⊙b表示32
a b
-,例如4⊙5=3×4-2×5=2,那么,当x⊙5比5⊙x大5时, x=
【考点】定义新运算之反解未知数【难度】3星【题型】计算
【解析】根据题意x⊙5-5⊙x=(3x-2×5)-(3×5-2x)=5x-25, 由5x-25=5,解得x=6.
【答案】6
【巩固】对于数a、b、c、d，规定，< a、b、c、d >＝2ab－c＋d，已知< 1、3、5、x >＝7，求x的值。【考点】定义新运算之反解未知数【难度】3星【题型】计算
【解析】根据新定义的算式，列出关于x的等式，解出x即可。将1、3、5、x代入新定义的运算得：2×1×3－5＋x＝1＋x，又根据已知< 1、3、5、x >＝7，故1＋x＝7，x＝6。
【答案】6
【例 11】定义新运算为
1
a
a b
b
+
=
e，⑴求2(34)
e e的值；⑵若4 1.35
x=
e则x的值为多少？
【考点】定义新运算之反解未知数【难度】3星【题型】计算
【解析】 ⑴因为313414+=
=e ，所以21
2(34)2131
+===e e e ⑵1
4 1.354
x x +=
=e ，14 1.35 5.4, 4.4x x +=?==，所以x 的值为4.4. 【答案】⑴3 ⑵4.4
【巩固】 对于任意的两个自然数a 和b ，规定新运算*：(1)(2)(1)a b a a a a b *=+++-L ，其中a 、b 表示
自然数.如果(3)23660x **=，那么x 等于几？
【考点】定义新运算之反解未知数 【难度】4星 【题型】计算 【解析】 方法一：由题中所给定义可知，b 为多少，则就有多少个乘数．36606061=?，即：60*23660=，
则360x *=；60345=??，即3*360=,所以3x =． 方法二：可以先将（x *3）看作一个整体y ，那么就是y *23660=，y *2(1)36606061y y =+==?,所以60y =，那么也就有x *360=，60345=??，即3*360=，所以x 3=．
【答案】3
【例 12】 定义a b *为a 与b 之间（包含a 、b ）所有与a 奇偶性相同的自然数的平均数，例如：
714=(7+9+11+13)4=10*÷，1810=(18+16+14+12+10)5=14 *÷．在算术(1999)=80**的方格中填入恰当的自然数后可使等式成立，那么所填的数是多少？
【考点】定义新运算之反解未知数 【难度】4星 【题型】计算 【解析】 1999=(19+99)2=59*÷，所以方格中填的数一定大于80．如果填的是个奇数，那么只能是
80259101?-=；如果填的是个偶数，那么这个数与60的平均数应该是80，所以只能是80260100?-=．因此所填的数可能是100和101．
【答案】100和101
【巩固】 如有a #b 新运算，a #b 表示a 、b 中较大的数除以较小数后的余数.例如；2#7=1，8#3=2，9#16=7，
21#2=1.如（21#（21#x ））=5，则x 可以是________（x 小于50）
【考点】定义新运算之反解未知数 【难度】4星 【题型】计算 【关键词】101中学，入学测试 【解析】 这是一道把数论、定义新运算、倒推法、解方程等知识结合在一起的综合题.可采用枚举与筛选的
方法.
第一步先把（21#x ）看成一个整体y .对于21#y =5，这个式子，一方面可把21作被除数，则y 等 于（21-5）=16的大于5的约数，有两个解8与16；另一方面可把21作除数，
这样满足要求的数为26，47…，即形如21N +5这样的数有无数个.但必须得考虑，这些解都是由y 所 代表的式子（21#x ）运算得来，而这个运算的结果是必须小于其中的每一个数的，也就是余数必须 比被除数与除数都要小才行，因此大于21的那些y 的值都得舍去.现在只剩下8，与16.
第二步求：（21#x ）=8与（21#x ）=16.对于（21#x ）=8可分别解得，把21作被除数时：x =13， 把21作除数时为：x =29，50，…形如21N +8的整数（N 是正整数）.
对于（21#x ）=16 ，把21作被除数无解，21作除数时同理可得：x =37，58……所有形如21N +16 这样的整数.（N 是正整数）. 所以符合条件的答案是13,29,37． 【答案】13,29,37．
【例 13】 已知x 、y 满足[]2009x y +=，{}20.09y y +=；其中[]x 表示不大于x 的最大整数，{}x 表示x 的
小数部分，即{}[]x x x =-，那么x = 。
【考点】定义新运算之反解未知数 【难度】3星 【题型】计算 【关键词】学而思杯，6年级，第3题 【解析】 根据题意，[]y 是整数，所以2009[]x y =-也是整数，那么{}[]0x x x =-=，由此可得
20.09{}20.09020.09y x =-=-=，所以[]20y =，2009[]2009201989x y =-=-=。
【答案】1989
【例 14】 规定：A ○B 表示A 、B 中较大的数，A △B 表示A 、B 中较小的数．若（A ○5＋B △3）×（B ○5+
A △3）＝96，且A 、
B 均为大于0的自然数，A ×B 的所有取值为 ．（8级）
【考点】定义新运算之反解未知数【难度】3星【题型】计算
【关键词】走美杯，6年级，决赛
【解析】分类讨论，由于题目中所要求的定义新运算的符号是较大的数与较大的数，则对于A或者B有3类不同的范围，A小于3，A大于等于3，小于5，A大于等于5。对于B也有类似，两者合起来共有3×3=9种不同的组合，我们分别讨论。
1)当A＜3，B＜3，则（5+B）×（5+A）=96=6×16=8×12，无解；
2)当3≤A＜5，B＜3时，则有（5+B）×（5+3）=96，显然无解；
3)当A≥5，B＜3时，则有（A+B）×（5+3）=96，则A+B=12.
所以有A=10，B=2，此时乘积为20或者A=11,B=1,此时乘积为11。
4)当A＜3，3≤B＜5，有（5+3）×（5+A）=96，无解；
5)当3≤A＜5，3≤B＜5，有（5+3）×（5+3）=96，无解；
6)当A≥5，3≤B＜5，有（A+3）×（5+3）=27，则A=9.此时B=3后者B=4。则他们乘积有27与
36两种；
7)当A＜3，B≥5时，有（5+3）×（B+A）=96。此时A+B=12。A与B的乘积有11与20两种；
8)当3≤A＜5，B≥5，有（5+3）×（B+3）=96。此时有B=9.不符；
9)当A≥5，B≥5，有（A+3）×（B+3）=96=8×12。则A=5,B=9，乘积为45。
所以A与B的乘积有11,20,27，36,45共五种
【答案】11,20,27,36,45
模块三、观察规律型
【例 15】如果1※2＝1＋11
2※3＝2＋22＋222
3※4＝3＋33＋333＋333＋3333
计算（3※2）×5。
【考点】定义新运算之找规律【难度】3星【题型】计算
【解析】通过观察发现：a※b中的b表示加数的个数，每个加数数位上的数字都由a组成，都由一个数位，依次增加到b个数位。（5※3）×5 ＝（5＋55＋555）×5＝3075
【答案】3075
【巩固】规定:6※2=6+66=72
2※3=2+22+222=246,
1※4=1+11+111+1111=1234.
7※5=
【考点】定义新运算之找规律【难度】3星【题型】计算
【解析】7※5=7+77+777+7777+77777=86415.
【答案】86415
【例 16】有一个数学运算符号?，使下列算式成立：
?=，求73?
?=，9725
?=
248
?=，3511
?=，5313
【考点】定义新运算之找规律【难度】3星【题型】计算
【解析】通过对248
?=这几个算式的观察，找到规律：?=，5313
?=，9725
?=，3511
，因此
【答案】17
【巩固】规定a△b(2)(1)
a a a b
=?+-+-, 计算：（2△1）++
L（11△10）=______.
【考点】定义新运算之找规律【难度】3星【题型】计算
【解析】这个题目直接套用定义给的公式非常麻烦，需要套用10次，然后再求和．但是我们注意到要求的10项值有一个共同的特点就是在要我们求得这个式子中b＝a－1，所以，我们不妨把b＝a－1代入原定义．
a △
b (2)(1)a a a b =?+-+-就变成了a △b (2)(1)(1)a a a a =?+-+--=2a ．所以2△12
2=，
3△223=，……，3△2211=，则原式22=＋23＋24＋…＋211111223
15056
??=-=．
这里需要补充一个公式：22222(1)(21)
12346
n n n n ?++++++=L L ．
【答案】505
【例 17】 一个数n 的数字中为奇数的那些数字的和记为()S n ，为偶数的那些数字的和记为()E n ，例如
()134134S =+=，()1344E =．
()()12(100)S S S +++=L ；()(1)(2)100E E E +++L ＝ ．
【考点】定义新运算之找规律 【难度】3星 【题型】计算 【关键词】走美杯，5年级，决赛 【解析】 可以换个方向考虑。数字1在个位出现10次，在十位出现10次，在百位出现1次，共21次。
数字2到9中的每一个在个位出现10次，在十位也出现10次，共20次。 所以，1到100中所有奇数数字的和等于(1+3+5+7+9)×20+1=501； 所有偶数数字的和等于(2+4+6+8)×20=400。
【答案】400
模块四、综合型题目
【例 18】 已知：10△3=14， 8△7=2，
43△14
1
=，根据这几个算式找规律，如果 8
5
△x =1，那么x = . 【考点】定义新运算之综合题 【难度】3星 【题型】计算 【关键词】华杯赛，五年级，决赛
【解析】 规律是 a △b =(a －b )×2, 所以
85△x =1285=???
?
??-x ，即 81=x 【答案】1
8
【例 19】 如果a 、b 、c 是3个整数，则它们满足加法交换律和结合律，即
⑴a b b a +=+；⑵()()a b c a b c ++=++。
现在规定一种运算"*"，它对于整数 a 、 b 、c 、d 满足： (,)*(,)(,)a b c d a c b d a c b d =?+??-?。 例：(4,3)*(7,5)(4735,4735)(43,13)=?+??-?= 请你举例说明，"*"运算是否满足交换律、结合律。
【考点】定义新运算之综合题 【难度】3星 【题型】计算 【关键词】希望杯，四年级，二试 【解析】 (2,1)*(4,3)=(2×4+1×3,2×4－1×3)=(11,5)
(4,3)*(2,1)=(4×3+2×1,4×3－2×1)=(11,5) 所以“*”满足交换律
[(2,1)* (6,5)]*(4,3)=(17,7)=(11,5)* (4,3)= (89,47) (2,1)*[ (6,5)*(4,3)]=(2,1) * (39,9)= (87,69) 所以“*”不满足结合律
【答案】 “*”满足交换律
“*”不满足结合律
【例 20】 用
{}
a 表示a 的小数部分，
[]
a 表示不超过a 的最大整数。例如：{}[]{}[]0.30.3,0.30;4.50.5,4.54
====记
2()21
x f x x +=
+，请计算
(){}()11,;1,133f f f f ????
???????? ? ?????
?????
??
?
的值。 【考点】定义新运算之综合题 【难度】3星 【题型】计算 【关键词】希望杯，四年级，二试 【解析】 代入计算结果分别为：0.4，1，0，1 【答案】0.4，1，0，1
【例 21】 在计算机中，对于图中的数据(或运算)的读法规则是：先读第一分支圆圈中的，再读与它相连
的第二分支左边的圆圈中的，最后读与它相连的第二分支右边的圆圈中的，也就是说，对于每一个圆圈中的数据(或运算)都是按"中→左→右"的顺序。如：图A 表示：2+3， B 表示2+3×2－1。图C 中表示的式子的运算结果是________ 。
【考点】定义新运算之综合题 【难度】3星 【题型】计算
【关键词】希望杯，四年级，二试 【解析】 “教研龙”认为第2个图最上面的圆圈应该有个2，原题却没有。第3个图从上到下第3行第3个
圈为2，第四个圈为42+[(3+5)÷2]-4=2
【答案】2
【例 22】 64222=??222???表示成()646f =;24333333=????表示成()2435g =.
试求下列的值: (1)()128f =
(2)(16)()f g = (3)()(27)6f g +=;
(4)如果x , y 分别表示若干个2的数的乘积,试证明:()()()f x y f x f y ?=+.
【考点】定义新运算之综合题 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 (1)()
7(128)27f f ==;
(2)()()4
4(16)243(81)f f g g ====;
(3)因为()()3
3
6(27)636332(8)g g f f -=-=-===,所以(8)(27)6f g +=;
(4)略
【答案】(1)7 (2)81 (3)8
(4) 令2,2,m n x y ==则(),()f x m f y n ==.
()()
()222()()m n m n f x y f f m n f x f y +?=?==+=+.
【例 23】 对于任意有理数x , y ,定义一种运算“※”，规定:x ※y =ax by cxy +-,其中的,,a b c 表示已知数,等式
右边是通常的加、减、乘运算.又知道1※2=3,2※3=4,x ※m =x (m ≠0),则m 的数值是 _________。
【考点】定义新运算之综合题 【难度】4星 【题型】计算 【解析】 由题设的等式x ※y =ax by cxy +-及x ※m =x (m ≠0),得 000a bm c m ?+-??=, 所以bm =0,又m ≠0,
故b =0.因此x ※y =ax -cxy . 由1※2=3,2※3=4,得23
264a c a c -=??-=?
解得a =5,c =1. 所以x ※y =5x -xy ,令x =1,y =m 得5-m =1,故m =4.
【答案】4
【巩固】 x 、y 表示两个数，规定新运算“*”及“△”如下：x *y =mx +ny ，x △y =kxy ，其中 m 、n 、k 均为自然
数，已知 1*2=5，（2*3）△4=64，求（1△2）*3的值.
【考点】定义新运算之综合题 【难度】4星 【题型】计算 【解析】 x 、y 表示两个数，规定新运算“*”及“△”如下：x *y =mx +ny ，x △y =kxy ，其中 m 、n 、k 均为自然
数，已知 1*2=5，（2*3）△4=64，求（1△2）*3的值.
分析 我们采用分析法，从要求的问题入手，题目要求（1△2）*3的值，首先我们要计算1△2，根 据“△”的定义：1△2=k ×1×2=2k ，由于k 的值不知道，所以首先要计算出k 的值.k 值求出后， l △2的值也就计算出来了，我们设1△2=a .
(1△2）*3=a *3，按“*”的定义： a *3=ma +3n ，在只有求出m 、n 时，我们才能计算a *3的值.因此 要计算（1△2）* 3的值，我们就要先求出 k 、m 、n 的值.通过1*2 =5可以求出m 、n 的值， 通过（2*3）△4=64求出 k 的值. 因为1**2=m ×1+n ×2=m +2n ，所以有m +2n =5.又因为m 、n 均为自然数，所以解出：
12m n =??=?，2
2
3m n =???=??
（舍去）3
1m n =??=? ①当m =1，n =2时： （2*3）△4=（1×2+2×3）△4=8△4=k ×8×4=32k 有32k =64，解出k =2. ②当m =3，n =1时： （2*3）△4=（3×2+1×3）△4=9△4=k ×9×4=36k
有36k =64，解出719k =，这与k 是自然数矛盾，因此m =3，n =1，7
19
k =这组值应舍去。
所以m =l ，n =2，k =2. （1△2）*3=（2×1×2）*3=4*3 =1×4+2×3=10.
【答案】10
【例 24】 对于任意的两个自然数a 和b ，规定新运算*： a *b (1)(2)(1)a a a a b =+++++++-L ，其
中a 、b 表示自然数.⑴求1*100的值；⑵已知x *10=75，求x 为多少？⑶如果（x *3）
*2=121，那么x 等于几？
【考点】定义新运算之综合题 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 ⑴1*100=1234(11001)5050++++++-=L
⑵x *10=(1)(2)(3)(101)1045x x x x x x +++++++++-=+=L 75,解得x =3
⑶方法一：由题中所给定义可知，b 为多少，则就有多少个加数．1216061=+，即：60*2=121，则x *3=60；60192021=++，即19*3=60,所以x =19． 方法二：可以先将（x *3）看作一个整体y ，那么就是y *2=121，y *2(1)121y y =++=,1216061=+ 所以y =60，那么也就有x *3=60，60192021=++，即19*3=60，所以x =19．
【答案】19
【巩固】 两个不等的自然数a 和b ,较大的数除以较小的数,余数记为a ☉b ,比如5☉2=1,7☉25=4,6☉8=2. （8
级）
(1)求1991☉2000,(5☉19)☉19,(19☉5)☉5; (2)已知11☉x =2,而x 小于20,求x ;
(3)已知(19☉x )☉19=5,而x 小于50,求x .
【考点】定义新运算之综合题 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 (1)1991☉2000=9;
由5☉19=4,得(5☉19)☉19=4☉19=3; 由19☉5=4,得(19☉5)☉5=4☉5=1.
(2)我们不知道11和x 哪个大(注意,x ≠11),即哪个作除数,哪个作被除数,这样就要分两种情况讨论. 1) x <11,这时x 除11余2, x 整除11-2=9.又x ≥3(因为x 应大于余数2),所以x =3或9.
2) x >11,这时11除x 余2,这说明x 是11的倍数加2,但x <20,所以x =11+2=13. 因此(2)的解为x =3,9,13. (3)这个方程比(2)又要复杂一些,但我们可以用同样的方法来解.
用y 表示19☉x ,不管19作除数还是被除数,19☉x 都比19小,所以y 应小于19. 方程y ☉19=5,说明y 除19余5,所以y 整除19-5=14,由于y ≥6,所以y =7,14. 当y =7时,分两种情况解19☉x =7.
1) x <19,此时x 除19余7,x 整除19-7=12.由于x ≥8,所以x =12.
2) x >19,此时19除x 余7, x 是19的倍数加7,由于x <50,所以x =19+7=261927x =?+=45. 当y =14时,分两种情况解19☉x =14.
1) x <19,这时x 除19余14, x 整除19-14=5,但x 大于14,这是不可能的.
2)x >19,此时19除x 余14,这就表明x 是19的倍数加14,因为x <50,所以x =19+14=33. 总之,方程(19☉x )☉19=5有四个解, x =12,26,33,45.
【答案】(1)9；3；1 (2) x =3,9,13. (3) x =12,26,33,45.
【例 25】 设a ,b 是两个非零的数,定义a ※b a b
b a
=+.
(1)计算(2※3)※4与2※(3※4).
(2)如果已知a 是一个自然数,且a ※3=2,试求出a 的值.
【考点】定义新运算之综合题 【难度】3星 【题型】计算
【解析】 (1)按照定义有2※32313326=+=,3※43425
4312=+=.于是
(2※3)※413
6
=※4=1341324745613424133126+=+=.2※(3※4)=2※25
252242512011225122252460012
=+=+=
. (2)由已知得3
23a a +=①
若a ≥6,则3a ≥2,从而3
23a a
+>与①矛盾.因此a ≤5,对a =1,2,3,4,5这5个可能的值,一一代入①式中检
查知,只有a =3符合要求.
【答案】(1) (2※3)※4745312=；2※(3※4)1201
600
=.
(2) a =3
【巩固】 定义运算“⊙”如下:
对于两个自然数a 和b ,它们的最大公约数与最小公倍数的差记为a ⊙b . 比如:10和14,最小公倍数为70,最大公约数为2,则10⊙14=70-2=68. (1)求12⊙21,5⊙15;
(2)说明,如果c 整除a 和b ,则c 也整除a ⊙b ;如果c 整除a 和a ⊙b ,则c 也整除b ; (3)已知6⊙x =27,求x 的值.
【考点】定义新运算之综合题 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 (1)为求12⊙21,先求出12与21的最小公倍数和最大公约数分别为84,3,
因此12⊙21=84-3=81,同样道理5⊙15=15-5=10. (2)略
(3)由于运算“⊙”没有直接的表达式,解这个方程有一些困难,我们设法逐步缩小探索范围. 因为 6与x 的最小公倍数不小于27+1=28,不大于27+6=33,而28到33之间,只有30是6 的 倍数,可见 6和x 的最小公倍数是30,因此它们的最大公约数是30-27=3.
由“两个数的最小公倍数与最大公约数的积=这两个数的积”,得到3036x ?=?. 所以15x =.
【答案】(1)81；10
(2) 如果c 整除a 和b ,那么c 是a 和b 的公约数,则c 整除a ,b 的最大公约数,显然c 也整除a ,b 最小
公倍数,所以c 整除最小公倍数与最大公约的差,即c 整除a ⊙b .
如果c 整除a 和a ⊙b ,由c 整除a 推知c 整除a ,b 的最小公倍数,再由c 整除a ⊙b 推知, 整除a ,b 的最大公约数,而这个最大公约数整除b ,所以 c 整除b . (3)15x =
【巩固】 “⊙”表示一种新的运算符号，已知：2⊙3=234++；7⊙2=78+：3⊙5=34567++++，……
按此规则，如果n ⊙8=68，那么，n =____.
【考点】定义新运算之综合题 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 因为从已知条件可归纳出的运算规则：⊙表示几个连续自然数之和，⊙前面的数表示第一个加数，
⊙后面的数表示加数的个数，于是(1)(2)(7)68n n n n +++++++=L ，即(3)(4)684n n +++=÷ .5n =
【答案】5n =
【例 26】 喜羊羊喜欢研究数学，它用计算器求3个正整数()a b c +÷的值。当它依次按了,,,,,,a b c +÷=得
到数字5。而当它依次按,,,,,b a c +÷=时，惊讶地发现得到的数值却是7。这时喜羊羊才明白计算器先做除法再做加法。于是，她依次按(),,,,,,,a b c +÷=，得到了正确的结果为 。
（填出所有可能情况）
【考点】定义新运算之综合题 【难度】3星 【题型】计算 【关键词】走美杯，3年级，初赛，第14题
【解析】 5b a c +=，7a
b c +=，则5ac b c +=，7bc a c +=，则()()112a b c c ++=，()()12b a c c --=
则121a b c c +=+，()1|2c -，2c =或3，1243a b c +==或1234
=
【答案】4或3
【例 27】 国际统一书号ISBN 由10个数字组成，前面9个数字分成3组，分别用来表示区域、出版社和
书名，最后一个数字则作为核检之用。核检码可以根据前9个数字按照一定的顺序算得。如：某书的书号是ISBN 7-107-17543-2，它的核检码的计算顺序是： ①7×10＋1×9＋0×8＋7×7＋1×6＋7×5＋5×4＋4×3＋3×2＝207； ②207÷11＝18……9；
③11－9＝2。这里的2就是该书号的核检码。
依照上面的顺序，求书号ISBN -7-303-07618-□的核检码。
【考点】定义新运算之综合题 【难度】3星 【题型】计算 【关键词】希望杯，六年级，二试 【解析】 7×10＋3×9＋0× 8＋3×7＋0×6＋7×5＋6×4＋1×3＋8×2＝196；
19611179÷=L ；
1192-=。
所以该书号的核检码是2.
【答案】2
【例 28】 如图2一只甲虫从画有方格的木板上的A 点出发，沿着一段一段的横线、竖线爬行到B ，图1
中的路线对应下面的算式：121221216-+++-++=.请在图2中用粗线画出对应于算式：21222111--++++++的路线．
【考点】定义新运算之综合题 【难度】3星 【题型】计算 【关键词】2003年，希望杯 【解析】 如图3所示，通过图1分析知道向上前进一格要加上1，向下前进一格要减1，向左前进一格要
减去2，向右前进一格要加上2.
【答案】
定义新运算与找规律（二）整式的加减100％
课程预览 定义新运算与找规律（二） 定义新运算 找规律 趣味课堂
定义新运算：是指用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算． 需要注意的是，除了新定义的运算，其余的运算仍需按照原来的运算律进行． 注意：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序． ②每个新定义的运算符号只能在本题中使用． 程序运算：程序运算是定义新运算中的一种特殊类型，解题的关键是要准确理解新程序的数学意义，进而转化为数学问题． 例1． （1）若A ?B 表示()()3A B A B +?-，则()3 2-?() 23-=________． （2）定义新运算为1b a b a a b =-+-M ，则()()2612=M M M _______． （3）运算*按右表定义，如321*=，那么()()2413***的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 （4）已知a ，b 是任意有理数，我们规定：2a a b b ⊕=+，()1b a b a ?=--， 那么()()42112??⊕⊕=????__________． （5）定义运算“?”，对于两个有理数a 、b ，有()a b ab a b ?=-+， 则()()2211m m ?-??=????________． * 1 2 3 4 1 1 2 3 4 2 3 1 4 2 3 2 1 3 4 4 4 3 2 1 课堂笔记 点点精讲 定义符号 定义符号 定义程序 定义新运算 板块一 定义新运算
第七讲 定义新运算与找规律（二）例2．定义运算：()()()()111 1121a b a a a a b b ?= ++++++-L ， （1）当4 321 x ?=时，x =___________； （2）当2 105 y ?=时，y =___________； （3）当2015 2016 m n ?= 时，m =___________，n =___________． 例3．（1）定义一种新运算“⊕”：S a b =⊕，其运算原理如图1所示的程序框图， 则式子5436⊕-⊕=___________． （2）对正整数n 定义()!11n n n =?-??L ，如图2是求10!的程序框图， 则在判断框内应填的条件是（ ） A ．10i < B ．10i > C ．11i ≤ D ．10i ≤ 定义程序 开始 输入a 、b ()1S a b =+ ()1S b a =+ ?a b > 输出S 结束 是 否 图1 图2 开始 输入n s s i =? 输出S 结束 否 1i =，1s = 1i i =+ 是
定义新运算【知识要点】 加、减、乘、除这四种运算的意义和法则我们很熟悉。但重点中学在招生命题中除了考查四种混合运算的基本能力外，还要考查一些定义的其他的运算，一般占分在8~10分之间，特别是在2019年的小升初考试中，开始加大考察力度。 解定义新运算题的方法是认真审题、读懂题意、深刻理解新定义运算符号的含义，排除干扰条件，按照新定义运算的关系把新运算符号去掉，把问题转化成已有的数学知识。 【例题精讲】 例1 P 、Q 表示数，P*Q 表示2 P Q +，求3*（6*8）的值。 例2 如果A B A B B A ?=+， 那么(32)(23)?-?=＿＿＿＿＿。 例3 定义“?”，a b a b a b +?= ?，()234=______??。 例 4 规定x y A x y ?=、()2÷x y x y ?=+，且()()133133=????。则()133_______??=。 例5 对于数a 、b 、c 、d 规定()2b c d d a ab c =- 、、、，已知 ()1232,,,x =，则x ______=。 例6 若规定112332234××*=，112344778910=*???，那么114325 *+=_____.*— 例7 对于任意的两个自然数a 和b ，规定新的运算： ()()()121a b a a a a b *=?+?+?????+-，如果()323660x **=，则x _____=。 例8 如图是一个运算器的示意图，A 、B 是输入的两个数据，C 是输出的结果。下表为输入A 、B 数据后，运算器输出C 的对应值。请你据此判断，当输入A 值2019，输入B 值是9时，运算器输出的C 值是___________。 六年级数 学计算专 题(七)定
定义新运算这类题目是在考验我们的适应能力，我们大家都习惯四则运算，定义新运算就打破了运算规则，要 求我们要严格按照题目的规定做题．新定义的运算符号，常见的如△、◎、※等等，这些特殊的运算符号，表示特定的意义，是人为设定的．解答这类题目的关键是理解新定义，严格按照新定义的式子代入数值，把定义的新运算转化成我们所熟悉的四则运算。 一 定义新运算 基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。 基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、 规律进行运算。 关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。 注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。 ②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。 我们学过的常用运算有：＋、－、×、÷等. 如：2＋3＝5 2×3＝6 都是2和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个 数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”运算不相同. 二 定义新运算分类 1.直接运算型 2.反解未知数型 3.观察规律型 4.其他类型综合 模块一、直接运算型 【例 1】 若*A B 表示()()3A B A B +?+，求5*7的值。 【考点】定义新运算之直接运算 【难度】2星 【题型】计算 【解析】 A *B 是这样结果这样计算出来：先计算A ＋3B 的结果，再计算A ＋B 的结果，最后两个结果求乘积。 由 A *B ＝（A ＋3B ）×（A ＋B ） 可知： 5*7＝（5＋3×7）×（5＋7） ＝（5＋21）×12 ＝ 26×12 ＝ 312 【答案】312 例题精讲 知识点拨 教学目标 定义新运算
定义新运算之速算与巧算 定义新运算：是指用一个符号和已知运算表达式来表示一种新的运算。 例如：如规定：ababab 2424246 42424210 定义新运算一般分为两种： ⑴根据题目给的新的运算法则，进行运算，即从前往后推； ⑵已知运算结果和运算法则，推出前面的数，即从后往前推。 实质： 定义新运算这类题目是在考验我们的适应能力，我们大家都习惯四则运算，定义新运算就打破了运算规则，要求我们要严格按照题目的规定做题。 新定义的运算符号： 常见的如△、◎、※等等，这些特殊的运算符号，表示特定的意义，是人为设定的。 解题关键： 理解新定义，严格按照新定义的式子代入数值，把定义的新运算转化成我们所熟悉的四则运算。 【例1】设a△baa2b，那么，5△6_______，(5△2)△3_______。 【拓展】设m、n是两个数，规定：m * n4n(mn)÷2，这里“，，，÷”是通常的四则运算符号，括号的作用也是通常的含义，“ * ”是新的运算符号。计算：3 * (4 * 6)_______。 【例2】如果a□a(a1)，a□□a□(a□1)，…，那么1□□□_________。 【拓展】P、Q表示数，P * Q表示(PQ)÷2，求3 * (6 * 8)。
【例3】小明来到红毛族探险，看到下面几个红毛族的算式： 888，9995，933，(938)7837。 老师告诉他，红毛族算术中所用的符号“、、、÷、( )、”与我们算术中的意义相同，进位也是十进制，只是每个数字虽然与我们写法相同，但代表的数却不同。 请你按红毛族的算术规则，完成下面算式：8957___________。 【拓展】一个特殊的计算器上面有个“X *”键，当计算器上显示的数是a 时，按一下“X *”键后，计算 器上的a 立刻消失并显示一个新数2a 1。现在，这个计算器上显示5.25，那么连续按“X *”键_______次后，会显示99；接着再按“X *”键4次，计算器上显示的数将是_______。 【例4】定义运算：ababab ÷2008。请问： ⑴定义的运算是否满足交换律？ ⑵请根据定义计算下面两个算式： ①2009(20092008)； ②个个?⊕⊕⊕⊕?⊕⊕?20092009200820092008 200920092008（20092008）（20092008） 【拓展】如果a 、b 、c 是3个整数，则它们满足加法交换律和结合律，即 ⑴abba ； ⑵(ab )ca (bc )。 现在规定一种运算“*”，它对于整数a 、b 、c 、d 满足： (a ，b ) * (c ，d )(acbd ，acbd ) 例：(4，3) * (7，5)(47＋35，4735)(43，13) 请你举例说明，“*”运算是否满足结合律。
找规律程序运算定义新运 算 Modified by JEEP on December 26th, 2020.
第五讲 找规律、程序运算、定义新运算 板块一 数列、数表找规律 一般规律发现需要“观察、归纳、验证”有时要通过类比联想才能找到隐含条件。 数列规律： 【例1】观察下列一组数：12 ，34 ，56 ，78 ，…，它们是按一定规律排列的。 那么这一组数 的第k 个数是_______。（k 为正整数） 【例2】找规律，并按规律填上第五个数：35792 4 816 --，，，， ，第n 个数为： 。 （n 为正整数） 【例3】有一列数12-，25，310- ，4 17 ，…，那么第7个数是 。第n 个数为 （n 为正整数）。 【例4】 若一组按规律排成的数的第n 项为()1n n + （n 为正 整数），则这组数的第10项为 ；若一组按规律组成的数为：2，6，12-，20，30，42-，56，72，90-，…，则这组数的第3n （n 为正整数）项是 。 【例5】一组按规律排列的式子：2b a -，52b a ，83b a -，11 4b a ，…（0ab ≠），其中第7个式子 是 ，第n 个式子是 （n 为正整数）。 【例6】有一列数1，1，2，3，5，8，13，21…，那么第9个数是 。 【例7】瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据95 ， 1612，2521，36 32 ，…中得到巴尔末公式，从而大开光谱奥妙的大门。请你按这种规律写出第7个数据是 .第n 个分数 为 。 【例8】按一定规律排列的一列数：11234691319，，，，，，，，，…按此规律排列下去，19 后面的数应为 。 【例9】探索规律： 观察下面算式，解答问题： 21342+==；213593++==；21357164+++==；213579255++++== ①请猜想1357919++++++=_________； ②请猜想13579(21)(21)(23)n n n ++++++-++++=____________； ③请你用上述规律计算：10310510720032005+++ ++ 数列规律： 【例10】如下图是与杨辉三角形有类似性质的三角形数垒，a b ，是某行的前两个数，当 7a =时，b = 。 【例11】观察表一，寻找规律．表二、表三分别是从表一中选取的一部分，则a = ， 2 a b += 。 例题精讲 1 2 2 3 4 3 4 7 7 4 5 11 14 11 5 · · · · · · · ·
新定义运算解题技巧 我们已经学习过加、减、乘、除运算，这些运算，即四则运算是数学中最基本的运算，它们的意义、符号及运算律已被同学们熟知。除此之外，还会有什么别的运算吗？现在我们就来研究这个问题。这些新的运算及其符号，在中、小学课本中没有统一的定义及运算符号，但学习讨论这些新运算，对于开拓思路及今后的学习都大有益处。 一、定义 1、定义新运算是指运用某种特殊的符号表示的一种特定运算形式。 注意：（1）解决此类问题，关键是要正确理解新定义的算式含义，严格按照新定义的计算顺序，将数值代入算式中，再把它转化为一般的四则运算，然后进行计算。 （2）我们还要知道，这是一种人为的运算形式。它是使用特殊的运算符号，如：*、▲、★、◎、 、Δ、 ◆、■等来表示的一种运算。 （3）新定义的算式中，有括号的，要先算括号里面的。 2、一般的解题步骤是: 一是认真审题，深刻理解新定义的内容； 二是排除干扰，按新定义关系去掉新运算符号； 三是化新为旧，转化成已有知识做旧运算。 二、初步例题诠释 例1、对于任意数a，b，定义运算“*”：a*b=a×b-a-b。求12*4的值。 分析与解：根据题目定义的运算要求，直接代入后用四则运算即可。12*4=12×4-12-4=48-12-4=32 例2、假设a ★ b = ( a + b )÷ b 。求 8 ★ 5 。 分析与解：该题的新运算被定义为: a ★ b等于两数之和除以后一个数的商。这里要先算括号里面的和，再算后面的商。这里a代表数字8，b代表数字5。 8 ★ 5 = （8 + 5）÷ 5 = 2.6 例3、如果a◎b=a×b-(a+b)。求6◎（9◎2）。 分析与解：根据定义，要先算括号里面的。这里的符号“◎”就是一种新的运算符号。 6◎（9◎2）=6◎[9×2-（9+2）]=6◎7=6×7-（6+7）=42-13=29 例4、如果1Δ3=1+11+111；2Δ5=2+22+222+2222+22222；8Δ2=8+88。求6Δ5。 分析与解：仔细观察发现“Δ”前面的数字是加数每个数位上的数字，而加数分别是一位数，二位数，三位数，…… “Δ”后面的数字是几，就有几个加数。因此可以按照这个规律进行解答。 6Δ5=6+66+666+6666+66666=74070
一、知识要点 掌握定义新运算，关键是要深刻理解运算符号的新规定，严格按照规定的法则运算，最后达到解决问题的目的。 注意点：一是新定义的运算不一定符合交换律，结合律和分配律，二是新定义的运算所采用的符号是任意的，而不是确定的，通用的，在具体的题目中使用，到另一题中将失去原题中特定的意义。 二、范例分析 例1 符号“*”表示一种运算，a * b表示的含义是a与b中较大数与较小数之差，例如(2+3)*(2×3) =5 * 6=6－5=1，求(13×2)*(6+40)。 例2 设p、q是两个数，规定：p△q=4×q－(p+q)÷2。求5△(2△8)。 例3 对于任意自然数，定义n！=1×2×3×…×n如4 ！=1×2×3×4，那么1 ！+2 ！+3 ！+4 ！+5 ！= 。 例4 若x⊙y=x+(x+1)+( x+2)+…+(x+y－1)，其中x，y都为自然数。试求l⊙50的值。 例5 规定一种运算是m▽n=m×n+m－n，另一种运算是m△n=m×n－m+n。请计算：6△7－7▽6。 例6定义a☆b=a×b－(a+b)，试求： (1)5☆7；7☆5
(2)12☆(3☆4)；(12☆3)☆4 (3)请问：这个运算有交换律、结合律吗? 三、随堂练习 1、如果规定a※b=13×a－b÷8，那么17※24的最后结果是( ) 2、如果规定a※b=a×3－b÷2，那么(10※6)※8等于多少? 3、如果1◎5=1+11+111+1111+11111，2◎4=2+22+222+2222，3◎3=3+33+333……那么4◎4等于多少? 4、若a⊙b=a+(a+1)+(a+2)+…+(a+b－1)，其中a，b都为自然数。试求1⊙25的值。 5、已知：一种运算是a▽b=a×b+a－b，另一种运算是a△b=a×b－a+b。试求5△6—6▽5的值。 6、定义一种新运算“△”，规定a△b=3×a－2×b。 (1)求3△2；2△3。 (2)这个运算有交换律吗? 7、定义a※b=4×b+a÷5。求20※12。 8、规定：A△B=A×2－B×3+A×B，那么5△3=? 9、设P▲Q=(P+Q)÷2，求2009▲(2019▲2019)=
板块一、找规律 模块一、代数中的找规律 【例1】 ⑴点1A 、2A 、3A 、…、 n A （n 为正整数）都在数轴上．点1A 在原点O 的左边，且1 1AO =；点2A 在点1A 的右边，且212A A =；点3A 在点2A 的左边，且323A A =；点4A 在点3A 的右边，且434A A =；……， 依照上述规律，点2008A 、2009A 所表示的数分别为（ ）． A ．2008、2009- B ．2008-、2009 C ．1004、1005- D ．1004、1004- ⑵如图，点A 、B 对应的数是a 、b ，点A 在3-、2-对应的两点（包括这两点）之间移动，点B 在1-、 0对应的两点（包括这两点）之间移动，则以下四式的值，可能比2008大的是（ ）． A ．b a - B ． 1b a - C ．11 a b - D ．2()a b - 【巩固】 ⑴（2008北京中考）一组按规律排列的式子：2-b a ，52b a ，83-b a ，11 4b a ，…(0≠ab )，其中第7个式 子 是 ，第n 个式子是 (n 为正整数)． ⑵（2008年陕西中考）搭建如图①的单顶帐篷需要17根钢管，这样的帐篷按图②、图③的方式串起来搭建，则串7顶这样的帐篷需要 根钢管 . ① ② ③ 【例2】 ⑴（2010年北京中考）右图为手的示意图，在各个手指间标记字母A B C D ， ，，。请你按图中箭头所指方向(即...A B C D C B A B C →→→→→→→→→的方式)从A 开始数连续的正整数1，2，3，4…，当数到12时，对应的字母是 ；当字母C 第201次出现时，恰好数到的数是 ；当字母C 第2n +1次出现时(n 为正整数)，恰好数到的数是 (用含n 的代数式表示)。 ⑵（2010河北中考）将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6、2和5、3和4）放置于水平桌面上，如图1．在图2中，将骰子向右翻滚90?，然后在桌面上按逆时针方向旋转90?，则完成一次变换．若骰子的初始位置为图1所示的状态，那么按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是（ ） 找规律及定义新运算
第一讲定义新运算 一、 教学目标： 1、 知识与技能：理解新定义符号的含义，严格按新的规则操作。 2、 过程与方法：经历新定义运算算式转化成一般的 +、-、X 、十数学式子的过程，培养学 生运用数学转化思想指导思维活动的能力。 3、 情意目标：通过将新定义运算转化成一般运算的过程，使学生感受数学中转化的思想方 法；体验学习与运用数学法则、规定解决数学问题的成功. 二、 教学重难点： 1、 教学重点：理解新定义，按照新定义的式子代入数值。 2、 教学难点：把定义的新运算转化成我们所熟悉的四则运算。 三、 教学方 法： 四、 教学过程： (一)导入： 1、 看图大比拼 2、 我做指挥官 3、 在下面的括号内填入适当的运算符号，使得等式成立。 5 ( ) 2=7 6 ( ) 3=3 100 ( ) 2=50 13 ( )3=39 4、 趣味引导： 生活中我们都知道羊和狼在一起时 ，狼要吃掉羊，所以当狼和羊在一起时， 我们用△符号表示 狼战胜羊：狼△羊= 羊△狼= 羊△羊= 狼△狼= 在动画片《喜洋洋与灰太狼》中，羊群总是能化险为夷战胜狼，因此我们用☆符号表示羊战 胜狼：羊☆狼 = 狼☆羊= 羊☆羊= 狼☆狼= 5、 已知符号“ #”表示a#b=a+b ,求：3#5、5#9、88#13的值？ (体现对应思想和解题的三 个步骤) 加强认识：已知符号“ *”表示：a*b=b-a ，求：3*9、60*72的值? 小结：定义新运算是指运用某种特殊的符号表示的一种特定运算形式； 它是人们整合旧的运 算规则，利用新的符合表示出的一种运算方式； 解决此类问题，关键是要正确理解新定义 的算式含义，能够将新定义的运算方法转化为旧的运算规则。 一般新运算问题的解题三个步骤： (1)弄清新符号的算式意义； 义算式中字母的对应；(3)将对应数字代入算式计算 (二)例题引导： 第一类：(直接运算型) 例题引导： ①表示求两个平均数的运算，则 a ①b=(a+b)十2, 例 1：已知符号“△” 表示： a △ b= (a+b)x 6，求：10^3, 6 练习：(1)对定义运算※为 a 探b= (a+b)x 2。求5探7和17探5的结果? (2)对于任意的两个数 a 和b ,规定a b= 3a-b 十3。求6 9 和9^ 的值。☆ +、引导发现法 (准备几张生活中常见标志的图片) (用手势代替语言指挥) 。 (2)找准问题中数字与定 当a=5,b=15时，求a ①b ? △ 9的值?
小学数学定义新运算典 型例题 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】
小学数学定义新运算典型例题 1. 若A*B表示（A＋3B）×（A＋B），求5*7的值。 2. 定义新运算为a△b＝（a＋1）÷b，求6△（3△4）的值。 3.对于数a、b、c、d，规定，< a、b、c、d >＝2ab－c＋d，已知< 1、3、5、x >＝7，求x的值。 4.规定：符号“&”为选择两数中较大数的运算，“◎”为选择两数中较小数的运算。计算下式：[（7◎3）& 5]×[ 5◎（3 & 7）] 5.如果1※2＝1＋11 2※3＝2＋22＋222 3※4＝3＋33＋333＋333＋3333 计算：（3※2）×5。 小学数学定义新运算典型例题答案： 例【1】若A*B表示（A＋3B）×（A＋B），求5*7的值。 分析 A*B是这样结果这样计算出来：先计算A＋3B的结果，再计算A＋B的结果，最后两个结果求乘积。 解由A*B＝（A＋3B）×（A＋B） 可知：5*7＝（5＋3×7）×（5＋7） ＝（5＋21）×12 ＝26×12 ＝312 例【2】定义新运算为a△b＝（a＋1）÷b，求6△（3△4）的值。
分析所求算式是两重运算，先计算括号，所得结果再计算。 解由a△b＝（a＋1）÷b得，3△4＝（3＋1）÷4＝4÷4＝1； 6△（3△4） ＝6△1 ＝（6＋1）÷1 ＝7 例【3】对于数a、b、c、d，规定，< a、b、c、d >＝2ab－c＋d，已知< 1、3、5、x >＝7，求x的值。 分析根据新定义的算式，列出关于x的等式，解出x即可。 解将1、3、5、x代入新定义的运算得：2×1×3－5＋x＝1＋x，又根据已知< 1、3、5、x >＝7，故1＋x＝7，x＝6。 例【4】规定：符号“&”为选择两数中较大数的运算，“◎”为选择两数中较小数的运算。计算下式：[（7◎3）& 5]×[ 5◎（3 & 7）] 分析新定义运算进行计算时如果遇到有括号的，要先计算小括号里的，再计算中括号里的。 解 [（7◎6）& 5]×[ 5◎（3 & 9）] ＝[ 6 & 5] ×[ 5◎9 ] ＝6×5 ＝30 例【5】如果1※2＝1＋11 2※3＝2＋22＋222 3※4＝3＋33＋333＋333＋3333
定义新运算 一、考点、热点回顾 我们学过常用的运算加、减、乘、除等，如6＋2=8，6×2=12等。都是2和6，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实质上是对应法则不同。由此可见，一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法。对应法则不同就是不同的运算。当然，这个对应法则应该是对应任意两个数。通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应。 这一周，我们将定义一些新的运算形式，它们与我们常用的加、减、乘、除运算是不相同的。 二、典型例题 例1：设a、b都表示数，规定：a△b表示a的3倍减去b的2倍，即：a△b = a×3－b×2。试计算：（1）5△6；（2）6△5。 例2：对于两个数a与b，规定a⊕b=a×b＋a＋b，试计算6⊕2。 例3：如果2△3=2＋3＋4，5△4=5＋6＋7＋8，按此规律计算3△5。 例4：对于两个数a与b，规定a□b=a(a+1)+(a+2)+…(a+b－1)。已知x□6=27，求x。 例5： 2▽4=8，5▽3=13，3▽5=11，9▽7=25。按此规律计算：。 三、课堂练习 1，设a、b都表示数，规定：a○b=6×a－2×b。试计算3○4。 2，设a、b都表示数，规定：a*b=3×a＋2×b。试计算： （1）（5*6）*7 （2）5*（6*7） 3，有两个整数是A、B，A▽B表示A与B的平均数。已知A▽6=17，求A。 4，对于两个数a与b，规定：a⊕b=a×b－（a＋b）。计算3⊕5。 5，对于两个数A与B，规定：A☆B=A×B÷2。试算6☆4。 6，对于两个数a与b，规定：a⊕b= a×b＋a＋b。如果5⊕x=29，求x。 7，如果5▽2=5×6，2▽3=2×3×4，计算：4▽3。 8，如果2▽4=24÷（2＋4），3▽6=36÷（3＋6），计算8▽4。 9，如果2△3=2＋3＋4，5△4=5＋6＋7＋8，且1△x=15，求x。 四、课后作业 1，如果2□3=2＋3＋4=9，6□5=6＋7＋8＋9＋10=40。已知x□3=5973，求x。 2，对于两个数a与b，规定a□b=a+(a+1)+(a+2)+…+(a+b－1)，已知95□x=585，求x。 3，如果1！=1，2！=1×2=2，3！=1×2×3=6，按此规律计算5！。 1，有一个数学运算符号“▽”，使下列算式成立：6▽2=12，4▽3=13，3▽4=15，5▽1=8。按此规律计算：8▽4。
五年级奥数专题三:定义新运算（1） 关键词：运算四则四则运算定义奥数符号意义这些表示年级 我们已经学习过加、减、乘、除运算，这些运算，即四则运算是数学中最基本的运算，它们的意义、符号及运算律已被同学们熟知。除此之外，还会有什么别的运算吗？这两讲我们就来研究这个问题。这些新的运算及其符号，在中、小学课本中没有统一的定义及运算符号，但学习讨论这些新运算，对于开拓思路及今后的学习都大有益处。 例1 对于任意数a，b，定义运算“*”：a*b=a×b-a-b。 求12*4的值。 分析与解：根据题目定义的运算要求，直接代入后用四则运算即可。 12*4=12×4-12-4=48-12-4=32。 根据以上的规定，求10△6的值。 3，x>=2，求x的值。 分析与解：按照定义的运算， <1，2，3，x>=2，
x=6。 由上面三例看出，定义新运算通常是用某些特殊符号表示特定的运算意义。新运算使用的符号应避免使用课本上明确定义或已经约定俗成的符号，如+，-，×，÷，＜，＞等，以防止发生混淆，而表示新运算的运算意义部分，应使用通常的四则运算符号。如例1中，a*b=a×b-a-b，新运算符号使用“*”，而等号右边新运算的意义则用四则运算来表示。 分析与解：按新运算的定义，符号“⊙”表示求两个数的平均数。 四则运算中的意义相同，即先进行小括号中的运算，再进行小括号外面的运算。 按通常的规则从左至右进行运算。
分析与解：从已知的三式来看，运算“”表示几个数相加，每个加数各数位上的数都是符号前面的那个数，而符号后面的数是几，就表示几个数之和，其中第1个数是1位数，第2个数是2位数，第3个数是3位数……按此规定，得 35=3+33+333+3333+33333=37035。 从例5知，有时新运算的规定不是很明显，需要先找规律，然后才能进行运算。 例6 对于任意自然数，定义：n！=1×2×… ×n。 例如 4！=1×2×3×4。那么1！+2！+3！+…+100！的个位数字是几？ 分析与解：1！=1， 2！=1×2=2， 3！=1×2×3=6， 4！=1×2×3×4=24， 5！=1×2×3×4×5=120， 6！=1×2×3×4×5×6=720， …… 由此可推知，从5！开始，以后6！，7！，8！，…，100！的末位数字都是0 所以，要求1！+2！+3！+…+100！的个位数字，只要把1！至4！的个位数字相加便可求得：1+2+6+4=13。所求的个位数字是3。
第三讲定义新运算 【课首小测】 1、一个长为20厘米、宽为16厘米的长方形纸片，沿它的边剪去一个长为8厘米、宽为4厘米 的小长方形。求；剩余部分的周长。 2、几个连续自然数相加，和能等于56吗？如果能，有几种不同的答案？写出这些答案；如果 不能、说明理由。 【互动导学】 【导学】：定义新运算 新运算在于有新的运算符号以及新的运算法则，解答这类题型须理解“新”的意义。 1.按照新定义的运算准确计算，常见的如△、◎、※等。（特殊的运算符号，表示特定的意义， 是人为设定的。） 2.理解新定义，严格按照新定义的式子代入数值计算。 3.把定义的新运算转化成我们所熟悉的四则运算或方程。 【例题精讲】
【例1】定义新运算为a △b ＝（a ＋1）÷b ，求6△（3△4）的值。 【例2】定义新运算为1a a b b +=e （1）求()234e e 的值； （2）若4 1.25x =e ，则x 的值为多少？ 【例3】如果：1※2＝1＋11 2※3＝2＋22＋222 3※4＝3＋33＋333＋3333 计算：（3※2）×5 【例4】对于任意的自然数a 和b ，规定新运算*：(1)(2)(1)a b a a a a b *=+++++++-L （1）求1*100的值 （2）已知x *10=75，求x 为多少？ 【我爱展示】
1.P 、Q 表示数，*P Q 表示 2 P Q +，求3*（6*8）。 2.如果a △b 表示(2)a b -?，例如3△4()3244=-?=，那么，当a △5=30时,a= 3.定义： 6※2=6+66=72 2※3=2+22+222=246， 1※4=1+11+111+1111=1234. 7※5= 。 4.定义新运算”?“，使下列算式成立： 248?=，5313?=，3511?=，9725?=，求73?= 。 5.对于任意的两个自然数a 和b ，规定新运算*：(1)(2)(1)a b a a a a b *=+++-L ， 如果(3)23660x **=，那么x 等于几？ 【能力展示】
专题一定义新运算 一、课前热身 在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”运算不相同。我们还是先通过具体的运算来了解和熟悉“定义新运算”吧： 1.对于任意数a、b，定义运算“☆”，使a☆b=2a×b 求:(1)1☆2 (2)2☆1 2.定义一种运算“□”：a□b=3a-2b 求（1）（17□6）□2; (2) 17□(6□2) 二、归纳总结 按照新定义的运算计算算式的结果，一定要掌握解题的关键和注意点。 1.解题关键：要正确理解新运算的意义，并严格按新定义的要求，将数值代入新定义的式子进行运算。 2.新定义的的算式中有括号，要先算括号里面的。但它没转化前，是不适合于各种运算定律。 3.注意点：一是新定义的运算不一定符合交换律，结合律和分配律，二是新定义的运算所采用的符号是任意的，而不是确定的，通用的，在具体的题目中使用，到另一题中将失去原题中特定的意义。
三、拓展演练 第一组：直接计算型 1.“★”表示一种新运算，规定A★B=5A+7B，求4★5。 2. “◎”表示一种新的运算，它是这样定义的：a◎b=a×b-a÷b 求6◎3和（6◎3）◎2。 3.对于任意两个整数a、b，定义两种运算“☆”、“★”：a☆b=a+b-1，a★b=a×b-1。计算（6☆8）★（3☆5）的值。
例1.如果1※3=1+2+3=6，5※4=5+6+7+8=26,那么9※5=？ 例2.“☆”表示一种新运算，使下列等式成立：2☆3=7，4☆2=10，5☆3=13，7☆10=24。按此规律计算：8☆5。 练一练： 1.规定：3☆2=3+33 5☆3=5+55+555 2☆4=2+22+222+2222 求4☆4=？ 2.根据下列规律2☆3=7 3☆5=11 6☆2=14 4☆5=13 求：（1）5☆10= （2）10☆5=
第4讲 定义新运算提高卷 60分钟·夯基础，求提高，成为奥数明星！ 1．对于任意两个正数x ，y ，定义一个运算“”，其规则为x y=2(2xy-x-y).若正整数a ，b 满足a b=188，则这样的有序对(a ，b)-共有 对． 2．对实数a ，b 规定运算的意义是a ,2 33b a b += 则方程35||=x 的解是 3．对于定义)12(2321)(+------=m m m F =++++)100(,242F m 则 4．对于不小于3的自然数n ，规定如下一种操作：>
小学数学定义新运算典型例题 1. 若A*B表示（A＋3B）×（A＋B），求5*7的值。 2. 定义新运算为a△b＝（a＋1）÷b，求6△（3△4）的值。 3.对于数a、b、c、d，规定，< a、b、c、d >＝2ab－c＋d，已知< 1、3、5、x >＝7，求x的值。 4.规定：符号“&”为选择两数中较大数的运算，“◎”为选择两数中较小数的运算。计算下式：[（7◎3）& 5]×[ 5◎（3 & 7）] 5.如果1※2＝1＋11 2※3＝2＋22＋222 3※4＝3＋33＋333＋333＋3333 计算：（3※2）×5。
小学数学定义新运算典型例题答案： 例【1】若A*B表示（A＋3B）×（A＋B），求5*7的值。 分析A*B是这样结果这样计算出来：先计算A＋3B的结果，再计算A＋B的结果，最后两个结果求乘积。 解由A*B＝（A＋3B）×（A＋B） 可知：5*7＝（5＋3×7）×（5＋7） ＝（5＋21）×12 ＝26×12 ＝312 例【2】定义新运算为a△b＝（a＋1）÷b，求6△（3△4）的值。 分析所求算式是两重运算，先计算括号，所得结果再计算。 解由a△b＝（a＋1）÷b得，3△4＝（3＋1）÷4＝4÷4＝1； 6△（3△4） ＝6△1 ＝（6＋1）÷1 ＝7 例【3】对于数a、b、c、d，规定，< a、b、c、d >＝2ab－c ＋d，已知< 1、3、5、x >＝7，求x的值。 分析根据新定义的算式，列出关于x的等式，解出x即可。 解将1、3、5、x代入新定义的运算得：2×1×3－5＋x＝1＋x，又根据已知< 1、3、5、x >＝7，故1＋x＝7，x＝6。
定义新运算 知识与方法： 对于常用的加、减、乘、除等运算，我们已经熟知它们的运算法则和计算方法，如6+ 2=8, 6X2=12等。都是2和6,为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实质上是对应法则不同。由此可见，一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法。对应法则不同就是不同的运算。当然，这个对应法则应该是对应任意两个数。通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应。 这节课，我们将定义一些新的运算形式，它们与我们常用的加、减、乘、除运算是不相同的。解决定义新运算这类题的关键：是抓住定义的本质借用“ +、一、X、十”四则运算进行的，解答时要弄活新运算与四则运算的关系。 特别注意运算顺序，每个新定义的运算符号只能在本题中使用，新运算不一定符合运算定律。 例1:设a、b都表示数，规定：aAb =3X a— 2X b。试计算： (1) 3A2; (2) 2A3。 练习1: 1. 设a b都表示数，规定：a。b=5X a— 2X b。试计算304 2. 设a b都表示数，规定：a*b=3x a+ 2X b。试计算：5*6 例2:对于两个数a与b,规定b=3a+ 2a,试计算( 3^5) 练习2: 1.对于两个数a与b,规定：aOb=a+3b，试计算40506
2.对于两个数A与B,规定：A△ B=2X A — B,试计算5A6A7 例3:对于两个数a, b,规定：a金b=ax b+ a+ b,试计算：9 ? 练习3: 1.对于两个数a, b,规定：a$b=ax b— ( a+ b),试计算：6 ? 7. 2..对于两个数A与B,规定：A GB=A X B-2,试计算：8 99 例4:如果2、3=2 + 3 + 4, 5A4=5+ 6+ 7+ 8,那么按此规律计算：(1) 3A5; (2) 8A3。 练习4: 1.如果4A2=4X 5, 2A3=2X 3X 4,那么按此规律计算:5A4。
定义新运算一、考点、热点回顾 我们学过常用的运算加、减、乘、除等，如6＋2=8，6×2=12等。都是2和6，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实质上是对应法则不同。由此可见，一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法。对应法则不同就是不同的运算。当然，这个对应法则应该是对应任意两个数。通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应。 这一周，我们将定义一些新的运算形式，它们与我们常用的加、减、乘、除运算是不相同的。 二、典型例题 例1：设a、b都表示数，规定：a△b表示a的3倍减去b的2倍，即：a△b = a ×3－b×2。试计算：（1）5△6；（2）6△5。 例2：对于两个数a与b，规定a⊕b=a×b＋a＋b，试计算6⊕2。 例3：如果2△3=2＋3＋4，5△4=5＋6＋7＋8，按此规律计算3△5。 例4：对于两个数a与b，规定a□b=a(a+1)+(a+2)+…(a+b－1)。已知x□6=27，求x。 例5： 2▽4=8，5▽3=13，3▽5=11，9▽7=25。按此规律计算：。
三、课堂练习 1，设a、b都表示数，规定：a○b=6×a－2×b。试计算3○4。 2，设a、b都表示数，规定：a*b=3×a＋2×b。试计算： （1）（5*6）*7 （2）5*（6*7） 3，有两个整数是A、B，A▽B表示A与B的平均数。已知A▽6=17，求A。 4，对于两个数a与b，规定：a⊕b=a×b－（a＋b）。计算3⊕5。 5，对于两个数A与B，规定：A☆B=A×B÷2。试算6☆4。 6，对于两个数a与b，规定：a⊕b= a×b＋a＋b。如果5⊕x=29，求x。 7，如果5▽2=5×6，2▽3=2×3×4，计算：4▽3。 8，如果2▽4=24÷（2＋4），3▽6=36÷（3＋6），计算8▽4。 9，如果2△3=2＋3＋4，5△4=5＋6＋7＋8，且1△x=15，求x。 四、课后作业 1，如果2□3=2＋3＋4=9，6□5=6＋7＋8＋9＋10=40。已知x□3=5973，求x。 2，对于两个数a与b，规定a□b=a+(a+1)+(a+2)+…+(a+b－1)，已知95□x=585，求x。 3，如果1！=1，2！=1×2=2，3！=1×2×3=6，按此规律计算5！。
一、知识概念 1、定义新运算是指运用某种特殊的符号表示的一种特定运算形式。 注意：（1）解决此类问题，关键是要正确理解新定义的算式含义，严格按照新定义的计算顺序，将数值代入算式中，再把它转化为一般的四则运算，然后进行计算。 （2）我们还要知道，这是一种人为的运算形式。它是使用特殊的运算符号，如：*、▲、★、◎、:、△、?、■等来表示的一种运算。 （3）新定义的算式中有括号的，要先算括号里面的。但它在没有转化前，是不适合于各种运算 定律的。 2、一般的解题步骤是： 一是认真审题，深刻理解新定义的内容； 二是排除干扰，按新定义关系去掉新运算符号； 三是化新为旧，转化成已有知识做旧运算。 典例分析火 例1、对于任意数a, b,定义运算“*：a*b=axb-a-b。
求12*4的值。
【解析】根据题目定义的运算要求，直接代入后用四则运算即可。 12*4=12 X 4-12-4=48-12-4=32 例2、假设 a ★ b = ( a + b ) b k 求8 ★ 5。 【解析】该题的新运算被定义为：a ★ b等于两数之和除以后一个数的商。这里要先算括号里面的和，再算后面的商。这里a代表数字8, b代表数字5。 8 ★ 5 = (8 + 5 ) + 5 = 2.6 例3、如果a? b=a X b-(a+b)。求6?( 9?2)。 【解析】根据定义，要先算括号里面的。这里的符号“◎”就是一种新的运算符号。 6?(9◎2) =6? [9 X 2- ( 9+2)] =6? 7 =6X 7- (6+7) =42-13=29 例4、如果 1 A 3=1 + 11 + 111; 2 △ 5=2+22+222+2222+22222; 8 △ 2=8+88。求 6 △ 5。 【解析】仔细观察发现“ A ”前面的数字是加数每个数位上的数字，而加数分别是一位数，二位数，三位数，……“ △”后面的数字是几，就有几个加数。因此可以按照这个规律进行解答。 6 A 5=6+66+666+6666+66666=74070 例5、如果规定：2=1 X 2X 3, : 3=2X 3X 4，: 4=3 X 4X 5, :X= (X-1 ) X X X (X+1 )。由【解析】该题看上去比较复杂，但仔细观察，我们可以发现，该题被定义为 于把数代入算式中计算比较麻烦，我们可以先化简算式后，再计算。 1 1 : 2 ( - )X ：2 ：3 1 3