专题16 函数y ＝Asin （ωx ＋φ）的图象及应用
1.了解函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的物理意义，能画出函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，了解参数A ，ω，φ对函数图象变化的影响
2.解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单的实际问题
热点题型一 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)图象及变换 例1、已知函数y ＝2sin ? ????2x ＋π3， (1)求它的振幅、周期、初相；
(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；
(3)说明y ＝2sin ? ????2x ＋π3的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到。
解析：(1)y ＝2sin ? ????2x ＋π3的振幅A ＝2，周期T ＝2π2＝π，初相φ＝π3。 (2)令x ′＝2x ＋π3，则y ＝2sin ? ????2x ＋π3＝2sin x ′。
列表：
描点连线得函数图象：
【提分秘籍】
1．在指定区间[a ，b ]上画函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的方法
(1)选取关键点：先求出ωx ＋φ的范围，然后在这个范围内选取特殊点，连同区间的两端点一起列表，此时列表一般是六个点。
(2)确定凹凸趋势：令ωx ＋φ＝0得x ＝x 0，则点(x 0，y 0)两侧的变化趋势与y ＝sin x 中(0,0)两侧的变化趋势相同，可据此找准对应点，以此把握凹凸趋势。 2．两种不同变换思路中平移单位的区别
由y ＝sin x 的图象变换到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，两种变换的区别：先平移再伸缩，平移的量是|φ|个单位；而先伸缩再平移，平移的量是|φ|
ω
(ω＞0)个单位。
提醒：平移变换和伸缩变换都是针对x 而言，即x 本身加减多少值，而不是依赖于ωx 加减多少值。 【举一反三】
已知函数y ＝3sin ? ????12
x －π4。
(1)用五点法作出函数的图象；
(2)说明此图象是由y ＝sin x 的图象经过怎么样的变化得到的。 解析：(1)列表：
描点、连线，如图所示：
方法二：“先伸缩，后平移”
先把y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin 1
2x 的图象；再把y
＝sin 12x 图象上所有的点向右平移π
2
个单位，
得到y ＝sin 12? ????x －π2＝sin ? ????x 2－π4的图象，最后将y ＝sin ? ??
??x 2－π4的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的
3倍(横坐标不变)，就得到y ＝3sin ? ????12
x －π4的图象。
热点题型二 由图象求解析式
例2、 (1)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)? ????ω＞0，－π2＜φ＜π2
的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )
A ．2，－π3
B ．2，－π6
C ．4，－π6
D ．4，π
3
(2)如图所示是函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B ? ????A ＞0，ω＞0，|φ|∈?
????0，π2图象的一部分，则f (x )的解
析式为__________。
答案：（1）A （2）f (x )＝2sin ? ????23
x ＋π6＋1
解析：(1)根据图示可知12T ＝11π12－5π12＝6π12＝π2，所以函数的周期为π，可得ω＝2，根据图象过? ???
?5π12，2代入解析式，结合－π2＜φ＜π2，可得φ＝－π
3
，故选A 。
【提分秘籍】 确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A ＞0，ω＞0)的解析式的步骤 (1)求A ，B ，确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m
2
，B ＝
M ＋m
2
。
(2)求ω，确定函数的周期T ，则ω＝2π
T
。
(3)求φ，常用方法有：
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入。
②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．具体如下：“第一点”(即图象上升时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx ＋φ＝π
2；“第三点”(即
图象下降时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx ＋φ＝3π
2；“第五点”
为ωx ＋φ＝2π。 【举一反三】
已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)? ????A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的图象如图所示，则它的解析式为__________。
【答案】y ＝2sin ? ????π
4
x ＋π4
【解析】由图象得A ＝2，T
2＝3－(－1)＝4，
所以T ＝8。
ω＝2πT ＝2π8＝1
4
π，
又14π×(－1)＋φ＝2k π，k ∈Z ，且|φ|＜π2， 所以φ＝π4，所以y ＝2sin ? ????π
4
x ＋π4。
热点题型三 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与性质 例3．【2017课标3，理6】设函数f (x )=cos (x +
3
π
)，则下列结论错误的是 A ．f (x )的一个周期为?2π
B ．y =f (x )的图像关于直线x =83
π
对称
C ．f (x +π)的一个零点为x =
6
π D ．f (x )在(2
π
,π)单调递减
【答案】D
【解析】当,2x ππ??
∈ ??? 时，
54,363x πππ??+∈ ?
?? ，函数在该区间内不单调，选择D 选项. 【变式探究】已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω，A ＞0,0＜φ＜π
2)的最大值为2，最小正周期为
π，直线x ＝π
6是其图象的一条对称轴。
(1)求函数f (x )的解析式；
(2)求函数g (x )＝f ? ????x －π12－f ? ??
??x ＋π12的单调递增区间。 解析：(1)由题意，得A ＝2，ω＝2π
π＝2，
当x ＝π6时，2sin ?
????2×π6＋φ
＝±2，即sin ? ??
??π3＋φ＝±1，
所以π3＋φ＝k π＋π2，解得φ＝k π＋π
6，
又0＜φ＜π2，所以φ＝π6。
故f (x )＝2sin ?
????2x ＋π6。
【提分秘籍】
函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的性质
(1)奇偶性：φ＝k π时，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数；φ＝k π＋π
2(k ∈Z )时，函数y ＝A sin(ωx
＋φ)为偶函数。
(2)周期性：y ＝A sin(ωx ＋φ)存在周期性，其最小正周期为T ＝2π
ω
。
(3)单调性：根据y ＝sin t 和t ＝ωx ＋φ(ω＞0)的单调性来研究，由－π2＋2k π≤ωx ＋φ≤π
2＋2k π(k
∈Z )得单调增区间；由π2＋2k π≤ωx ＋φ≤3π
2
＋2k π(k ∈Z )得单调减区间。
(4)对称性：利用y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)(k ∈Z )求解，令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求得中心坐标。 利用y ＝sin x 的对称轴为x ＝k π＋π2(k ∈Z )求解，令ωx ＋φ＝k π＋π
2(k ∈Z )得其对称轴。
【举一反三】
已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)－cos(ωx ＋φ)(0＜φ＜π，ω＞0)为偶函数，且函数y ＝f (x )图象的两相邻对称轴间的距离为π
2
。
(1)求f ? ??
??π8的值； (2)求函数y ＝f (x )＋f ?
????x ＋π4的最大值及对应的x 的值。
(2)y ＝2cos2x ＋2cos2?
????x ＋π4
＝2cos2x ＋2cos ? ????2x ＋π2 ＝2cos2x －2sin2x
＝22sin ? ??
??π4－2x 。
令
π4－2x ＝2k π＋π
2
(k ∈Z )，y 有最大值22， 所以当x ＝－k π－π
8(k ∈Z )时，y 有最大值22。
热点题型四 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)模型的应用
例4、某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos
π
12
t －sin π
12
t ，t ∈[0,24)。
(1)求实验室这一天上午8时的温度； (2)求实验室这一天的最大温差。
解析：(1)f (8)＝10－3cos ? ????π12×8－sin ? ????π12×8＝10－3cos 2π3－sin 2π3＝10－3×? ????－12－32＝10。 故实验室上午8时的温度为10 ℃。
(2)因为f (t )＝10－2?
????32
cos π12t ＋12sin π12t ＝10－2sin ? ????π
12t ＋π3，
又0≤t ＜24，所以π3≤π12t ＋π3＜7π3，－1≤sin ? ????π
12t ＋π3≤1。
当t ＝2时，sin ?
????π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ? ??
??π12t ＋π3＝－1。
于是f (t )在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8。
故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃。 【提分秘籍】三角函数模型的应用
三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题，二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立数学模型，再利用三角函数的有关知识解决问题。 【举一反三】
某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用函数y ＝a ＋A cos ??
??
??π
6
x －
(x ＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高为28 ℃，12月份的月平均气温最低为18 ℃，则10月份的平均气温为__________℃。 答案：20.5
解析：因为当x ＝6时，y ＝a ＋A ＝28； 当x ＝12时，y ＝a －A ＝18， 所以a ＝23，A ＝5， 所以y ＝f (x )＝23＋5cos ??
??
??π6
x －
， 所以当x ＝10时，f (10)＝23＋5cos ? ??
??π6×4＝23－5×12＝20.5。
1.【2017天津，理7】设函数()2sin()f x x ω?=+，x ∈R ，其中0ω>，||?<π.若5()28f π=，()08
f 11π
=，且()f x 的最小正周期大于2π，则 （A ）23ω=
，12
?π
= （B ）23ω=
，12
?11π
=- （C ）13ω=，24
?11π
=-
（D ）13ω=，24?7π
=
【答案】A
【解析】由题意125282
{ 118k k ωππ
?πωπ?π+=+
+=，其中12,k k Z ∈，所以()2142233k k ω=--，又22T ππω
=
>，所以01ω<<，所以23ω=， 11212k ?ππ=+，由?π<得12
π?=，故选A ． 2【2017课标1，理9】已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π
3
)，则下面结论正确的是
A. 把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π
6
个单位长度，得到
曲线C 2
B. 把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π
12
个单位长度，得到曲线C 2
C. 把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π
6个单位长度，得到曲线C 2
D. 把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π
12
个单位长度，得到曲线C 2 【答案】
D
【考点】三角函数图像变换.
3.【2017课标3，理6】设函数f (x )=cos (x +
3
π
)，则下列结论错误的是 A ．f (x )的一个周期为?2π
B ．y =f (x )的图像关于直线x =83
π
对称
C ．f (x +π)的一个零点为x =
6
π
D ．f (x )在(2
π
,π)单调递减
【答案】D
【解析】当,2x ππ??
∈ ??? 时，
54,363x πππ??+∈ ?
?? ，函数在该区间内不单调，选择D 选项.
【考点】 函数()cos y A x ω?=+ 的性质
1.【2016年高考四川理数】为了得到函数πsin(2)3
y x =-的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点( )
（A ）向左平行移动π3个单位长度 （B ）向右平行移动π
3个单位长度 （C ）向左平行移动π6个单位长度 （D ）向右平行移动π
6
个单位长度
【答案】D
【解析】由题意，为了得到函数sin(2)sin[2()]36
y x x π
π
=-
=-，只需把函数sin 2y x =的图像上所有
点向右移
6
π
个单位，故选D.
2.【2016高考新课标2理数】若将函数2sin 2y x =的图像向左平移12
π
个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ） （A ）()26k x k Z ππ=
-∈ （B ）()26k x k Z ππ=+∈ （C ）()212k x k Z ππ=
-∈ （D ）()212
k x k Z ππ=+∈ 【答案】B
【解析】由题意，将函数2sin 2y x =的图像向左平移12
π
个单位得2sin 2()2sin(2)126
y x x ππ
=+
=+，
则平移后函数的对称轴为2,6
2
x k k Z π
π
π+
=
+∈，即,6
2
k x k Z π
π
=
+
∈，故选B. 3.【2016年高考北京理数】将函数sin(2)3y x π=-
图象上的点(,)4
P t π
向左平移s （0s >） 个单位长度得到点'P ，若'P 位于函数sin 2y x =的图象上，则（ ）
A.12t =
，s 的最小值为6πB.t = ，s 的最小值为6π
C.12t =
，s 的最小值为3πD.t =，s 的最小值为3π
【答案】A
【解析】由题意得，ππ1sin(2)432t =?
-=，当s 最小时，'P 所对应的点为π1
(,)122
，此时min πππ
4126
s =
=-，故选A.
4.【2016高考新课标3理数】函数sin y x x =的图像可由函数sin y x x =的图像至少向右平移_____________个单位长度得到． 【答案】
3
2π
【2015高考山东，理3】要得到函数sin 43y x π??
=-
??
?
的图象，只需要将函数sin 4y x =的图象（ ）
（A ）向左平移
12π个单位 （B ）向右平移12
π个单位 （C ）向左平移3π个单位 （D ）向右平移3
π
个单位 【答案】B
【解析】因为sin 4sin 4312y x x ππ?
?
??=-
=- ? ??
??? ，所以要得到函数sin 43y x π?
?=- ???
的图象，只需将
函数sin 4y x = 的图象向右平移
12
π
个单位.故选B. 【2015高考陕西，理3】如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数
3sin(
)6
y x k π
?=++，据此函数可知，这段时间水深（单位：m ）的最大值为（ ）
A ．5
B ．6
C ．8
D ．10
【答案】C
【解析】由图象知：min 2y =，因为min 3y k =-+，所以32k -+=，解得：5k =，所以这段时间水深的最大值是max 3358y k =+=+=，故选C ．
【2015高考湖南，理9】将函数()sin 2f x x =的图像向右平移(0)2
π
??<<个单位后得到函数()g x 的
图像，若对满足12()()2f x g x -=的1x ，2x ，有12min
3
x x π
-=
，则?=（ ）
A.
512π B.3π C.4π D.6
π 【答案】D.
【2015高考湖北，理17】某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,||)2
f x A x ω?ω?=+><在某一个周期内
的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
．．．．．．．．．．． （Ⅱ）将()y f x =图象上所有点向左平行移动θ(0)θ>个单位长度，得到()y g x =的图象. 若()y g x =图象的一个对称中心为5π
(
,0)12
，求θ的最小值. 【答案】（Ⅰ）π
()5sin(2)6
f x x =-；（Ⅱ）π6.
【解析】（Ⅰ）根据表中已知数据，解得π
5,2,6
A ω?===-. 数据补全如下表：
且函数表达式为()5sin(2)6f x x =-.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 π()5sin(2)6f x x =-，得π
()5sin(22)6
g x x θ=+-.
因为sin y x =的对称中心为(π,0)k ，k ∈Z . 令π22π6x k θ+-
=，解得ππ
212
k x θ=+-，k ∈Z . 由于函数()y g x =的图象关于点5π(,0)12成中心对称，令ππ5π
21212
k θ+-=
， 解得ππ
23
k θ=
-，k ∈Z . 由0θ>可知，当1k =时，θ取得最小值π6.
（2014·四川卷）为了得到函数y ＝sin (2x ＋1)的图像，只需把函数y ＝sin 2x 的图像上所有的点( ) A ．向左平行移动1
2个单位长度
B ．向右平行移动1
2个单位长度
C ．向左平行移动1个单位长度
D ．向右平行移动1个单位长度 【答案】A
【解析】因为y ＝sin(2x ＋1)＝sin2? ??
??x ＋12，所以为得到函数y ＝sin(2x ＋1)的图像，只需要将y ＝sin 2x 的图像向左平行移动1
2
个单位长度．
（2014·安徽卷）若将函数f (x )＝sin ? ????2x ＋π4的图像向右平移φ个单位，所得图像关于y 轴对称，则φ的最小正值是________． 【答案】3π
8
（2014·北京卷）设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间??????π6，π2上具有单调性，且f ? ????π2＝f ? ????2π3＝－f ? ??
??π6，则f (x )的最小正周期为________． 【答案】π
【解析】结合图像得T 4＝π2
＋2π32－π2＋π
62，即T ＝π.
（2014·福建卷）已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－1
2.
(1)若0<α<π2，且sin α＝2
2，求f (α)的值；
(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．
【解析】方法一：(1)因为0<α<π2，sin α＝22，所以cos α＝2
2.
所以f (α)＝22×? ????22＋22－12
＝1
2
. (2)因为f (x )＝sin x cos x ＋cos 2
x －12
＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2－12 ＝12sin 2x ＋1
2cos 2x ＝
22sin ?
?
???2x ＋π4，
所以T ＝2π
2
＝π.
由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π
2，k ∈Z，
得k π－3π8≤x ≤k π＋π
8
，k ∈Z.
所以f (x )的单调递增区间为??????k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z.
方法二：f (x )＝sin x cos x ＋cos 2
x －12
＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2－12 ＝12sin 2x ＋1
2cos 2x ＝
22sin ?
?
???2x ＋π4.
(1)因为0<α<π2，sin α＝22，所以α＝π
4，
从而f (α)＝
22sin ?
????2α＋π4＝22sin 3π4＝12.
(2)T ＝2π
2
＝π.
由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z，得k π－3π8≤x ≤k π＋π
8，k ∈Z.
所以f (x )的单调递增区间为?
?????k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z.
（2014·广东卷）若空间中四条两两不同的直线l 1，l 2，l 3，l 4满足l 1⊥l 2，l 2⊥l 3，l 3⊥l 4，则下列结论一定正确的是( ) A ．l 1⊥l 4 B ．l 1∥l 4
C ．l 1与l 4既不垂直也不平行
D ．l 1与l 4的位置关系不确定 【答案】D
【解析】本题考查空间中直线的位置关系，构造正方体进行判断即可．如图所示，在正方体ABCD - A 1B 1C 1D 1中，设BB 1是直线l 1，BC 是直线l 2，AB 是直线l 3，则DD 1是直线l 4，l 1∥l 4；设BB 1是直线l 1，BC 是直线
l 2，CC 1是直线l 3，CD 是直线l 4，则l 1⊥l 4.故l 1与l 4的位置关系不确定．
（2014·湖北卷）某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：
f (t )＝10－3cos π
12t －sin π12
t ，t ∈[0，24)．
(1)求实验室这一天的最大温差．
(2)若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？ 【解析】(1)因为f (t )＝10－2? ????32
cos π12t ＋12sin π12t ＝10－2sin ? ????π
12t ＋π3，
又0≤t <24，所以π3≤π12t ＋π3<7π3，－1≤sin ? ????π
12t ＋π3≤1.
当t ＝2时，sin ?
??
??π12t ＋π3＝1；
当t ＝14时，sin ? ????π
12
t ＋π3＝－1.
于是f (t )在[0，24)上取得的最大值是12，最小值是8.
故实验室这一天的最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.
（2014·江西卷）已知函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋a cos(x ＋2θ)，其中a ∈R，θ∈? ??
??－π2，π2.
(1)当a ＝2，θ＝π
4
时，求f (x )在区间[0，π]上的最大值与最小值；
(2)若f ? ????π2＝0，f (π)＝1，求a ，θ的值． 【解析】(1)f (x )＝sin ? ????x ＋π4＋2cos ?
????x ＋π2＝
22(sin x ＋cos x )－2sin x ＝22cos x －22sin x ＝sin ? ????π4－x .
因为x ∈[0，π]，所以π4－x ∈??????－3π4，π4，
故f (x )在区间[0，π]上的最大值为
2
2
，最小值为－1. (2)由?????f ? ????π2＝0，f （π）＝1，
得????
?cos θ（1－2a sin θ）＝0，2a sin 2
θ－sin θ－a ＝1. 又θ∈? ??
??－π2，π2，知cos θ≠0， 所以?
????1－2a sin θ＝0，（2a sin θ－1）sin θ－a ＝1，
解得?
????a ＝－1，θ＝－π6.
（2014·新课标全国卷Ⅱ] 设函数f (x )＝3sin πx m
，若存在f (x )的极值点x 0满足x 20＋[f (x 0)]2＜m 2
，则
m 的取值范围是( )
A ．(－∞，－6)∪(6，＋∞)
B ．(－∞，－4)∪(4，＋∞)
C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 【答案】C
（2014·山东卷）已知向量a ＝(m ，cos 2x )，b ＝(sin 2x ，n )，函数f (x )＝a ·b ，且y ＝f (x )的图像过点?
????π12，3和点? ??
?
?2π3，－2.
(1)求m ，n 的值；
(2)将y ＝f (x )的图像向左平移φ(0＜φ＜π)个单位后得到函数y ＝g (x )的图像，若y ＝g (x )图像上各最高点到点(0，3)的距离的最小值为1，求y ＝g (x )的单调递增区间． 【解析】(1)由题意知，f (x )＝＝m sin 2x ＋n cos 2x . 因为y ＝f (x )的图像过点?
????π12，3和点? ??
?
?2π3，－2，
所以?????3＝m sin π6＋n cos π
6
，－2＝m sin 4π3＋n cos 4π
3，
即?????3＝12m ＋32n ，－2＝－32m －1
2n ，
解得m ＝3，n ＝1.
(2)由(1)知f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ? ????2x ＋π6.
由题意知，g (x )＝f (x ＋φ)＝2sin ? ????2x ＋2φ＋π6. 设y ＝g (x )的图像上符合题意的最高点为(x 0，2)． 由题意知，x 2
0＋1＝1，所以x 0＝0，
即到点(0，3)的距离为1的最高点为(0，2)． 将其代入y ＝g (x )得，sin ? ????2φ＋π6＝1.
因为0<φ<π，所以φ＝π
6
.
因此，g (x )＝2sin ?
????2x ＋π2＝2co s 2x . 由2k π－π≤2x ≤2k π，k ∈Z 得k π－π
2≤x ≤k π，k ∈Z，
所以函数y ＝g (x )的单调递增区间为??????k π－π2，k π，k ∈Z. （2014·陕西卷）函数f (x )＝cos ? ????2x －π6的最小正周期是( ) A.
π
2
B ．π
C ．2π
D ．4π 【答案】B
【解析】已知函数y ＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的周期为T ＝2πω，故函数f (x )的最小正周期T ＝2π
2＝
π.
（2014·四川卷）已知函数f (x )＝sin ? ????3x ＋π4. (1)求f (x )的单调递增区间；
(2)若α是第二象限角，f ? ????α3＝45cos ? ????α＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值． 【解析】(1)因为函数y ＝sin x 的单调递增区间为??????－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z，
由－π2＋2k π≤3x ＋π4≤π
2＋2k π，k ∈Z，
得－π4＋2k π3≤x ≤π12＋2k π3
，k ∈Z.
所以，函数f (x )的单调递增区间为????
??－π4＋
2k π3，π12＋2k π3，k ∈Z. (2)由已知，得sin ?
????α＋π4＝45cos ? ????α＋π4(cos 2α－sin 2
α)，
所以sin αcos π4＋cos αsin π4＝45? ????cos α cos π4－sin αsin π4(cos 2 α－sin 2
α)，
即sin α＋cos α＝45(cos α－sin α)2
(sin α＋cos α)．
当sin α＋cos α＝0时，由α是第二象限角， 得α＝3π
4＋2k π，k ∈Z，
此时，cos α－sin α＝－ 2.
当sin α＋cos α≠0时，(cos α－sin α)2
＝54
.
由α是第二象限角，得cos α－sin α<0，此时cos α－sin α＝－52
. 综上所述，cos α－sin α＝－2或－
52
. （2014·天津卷）已知函数f (x )＝cos x ·sin ? ????x ＋π3－3cos 2
x ＋34，x ∈R.
(1)求f (x )的最小正周期；
(2)求f (x )在闭区间????
??－π4，π4上的最大值和最小值．
2009年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷) 数学Ⅰ 参考公式： 样本数据 12,, ,n x x x 的方差2 2 1111(),n n i i i i s x x x x n n ===-=∑∑其中 一、填空题:本大题共14小题,每小题5分，共70分。请把答案填写在答题卡相应的位置上. 1。若复数12429,69z i z i =+=+,其中i 是虚数单位，则复数12()z z i -的实部 为★. 【答案】20- 【解析】略 2.已知向量a 和向量b 的夹角为30 ,||2,||==a b ，则向量a 和向量b 的数量积=a b ★。
【答案】3 【解析】2332=?? =a b 。 3。函数 32()15336f x x x x =--+的单调减区间为★。 【答案】 (1,11)- 【解析】2()330333(11)(1)f x x x x x '=--=-+， 由 (11)(1)0x x -+<得单调减区间为(1,11)-. 4。函数 sin()(,,y A x A ω?ω? =+为常数， 0,0)A ω>>在闭区间[,0]π-上的图象如图所示， 则ω= ★。 【答案】3 【解析】3 2T π=， 23T π =，所以3ω=, 5.现有5根竹竿，它们的长度（单位:m ）分别为2.5，2.6，2.7，2。8，2.9,若从中一次随机 抽取2根竹竿,则它们的长度恰好相差0.3m 的概率为★. 【答案】0。2 【解析】略
6.某校甲、乙两个班级各有5名编号为1,2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次,学生 1号 2号 3号 4号 5号 甲班 6 7 7 8 7 乙班 6 7 6 7 9 则以上两组数据的方差中较小的一个为2 s =★。 【答案】2 5 【解析】略 7.右图是一个算法的流程图，最后输出的W =★。 【答案】22 【解析】略 8.在平面上，若两个正三角形的边长的比为1:2,则它们的面积比为1:4，类似地，在空间，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为★。 【答案】1：8 【解析】略 9.在平面直角坐标系 xoy 中,点 P 在曲线 3 :103C y x x =-+上, 且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为★. 【答案】 (2,15)- 【解析】略 10.已知51 2a -= ，函数()x f x a =，若实数,m n 满足 ()()f m f n >，则,m n 的大小关系为★. 【答案】m n < 【解析】略 11.已知集合 {}2|log 2A x x =≤，(,)B a =-∞,若A B ?则实数a 的取值范围是 (,)c +∞，其中c =★。 【答案】4 【解析】由 2log 2x ≤得04x <≤，(0,4]A =；由A B ?知4a >，所以c =4. 12。设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题： （1)若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β； 结束
4 42 立体几何 热点一空间点、线、面的位置关系及空间角的计算 空间点、线、面的位置关系通常考查平行、垂直关系的证明，一般出现在解答题的第(1)问，解答题的第(2)问常考查求空间角，求空间角一般都可以建立空间直角坐标系，用空间向量的坐标运算求解. π 【例1】如图，在△ABC中，∠ABC＝，O为AB边上一点，且3OB＝3OC＝2AB，已知PO⊥平面ABC，2DA＝2AO＝PO，且DA∥PO. (1)求证：平面PBD⊥平面COD； (2)求直线PD与平面BDC所成角的正弦值. (1)证明∵OB＝OC，又∵∠ABC＝ π 4 ， ππ ∴∠OCB＝，∴∠BOC＝. ∴CO⊥AB. 又PO⊥平面ABC， OC?平面ABC，∴PO⊥OC. 又∵PO，AB?平面PAB，PO∩AB＝O， ∴CO⊥平面PAB，即CO⊥平面PDB. 又CO?平面COD， ∴平面PDB⊥平面COD. (2)解以OC，OB，OP所在射线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示.
? →·n ? 则 sin θ＝? ?|PD||n|? PD BC BD BC BD ＝? ?＝ 02＋（－1）2＋（－1）2× 12＋12＋32 ? 11 1×0＋1×（－1）＋3×（－1） 设 OA ＝1，则 PO ＝OB ＝OC ＝2，DA ＝1. 则 C(2，0，0)，B(0，2，0)，P(0，0，2)，D(0，－1，1)， ∴→＝(0，－1，－1)，→＝(2，－2，0)，→＝(0，－3，1). 设平面 BDC 的一个法向量为 n ＝(x ，y ，z)， ??n·→＝0， ?2x －2y ＝0， ∴? ∴? ??n·→＝0， ?－3y ＋z ＝0， 令 y ＝1，则 x ＝1，z ＝3，∴n＝(1，1，3). 设 PD 与平面 BDC 所成的角为 θ， ? PD ? → ? ? ? ? 2 22 . 即直线 PD 与平面 BDC 所成角的正弦值为 2 22 11 . 【类题通法】利用向量求空间角的步骤 第一步：建立空间直角坐标系. 第二步：确定点的坐标. 第三步：求向量(直线的方向向量、平面的法向量)坐标. 第四步：计算向量的夹角(或函数值). 第五步：将向量夹角转化为所求的空间角. 第六步：反思回顾.查看关键点、易错点和答题规范. 【对点训练】 如图所示，在多面体 A B D DCBA 中，四边形 AA B B ，ADD A ，ABCD 均为正方 1 1 1 1 1 1 1 形，E 为 B D 的中点，过 A ，D ，E 的平面交 CD 于 F. 1 1 1 1 (1)证明：EF∥B C. 1 (2)求二面角 EA D B 的余弦值. 1 1 (1)证明 由正方形的性质可知 A B ∥AB∥DC，且 A B ＝AB ＝DC ，所以四边形 A B CD 为平行 1 1 1 1 1 1
高考数学专题练习--函数图像 1. 【江苏苏州市高三期中调研考试】已知函数()2 21,0 ,0 x x f x x x x ->?=? +≤?，若函数()()g x f x m =-有三个零点，则实数m 的取值范围是__________． 【答案】1 ,04 ?? - ??? 【解析】 2. 【江苏省苏州市高三暑假自主学习测试】已知函数31 1, ,()11,, x f x x x x ?>?=?-≤≤??若关于x 的方程 ()(1)f x k x =+有两个不同的实数根，则实数k 的取值范围是 ▲ ． 【答案】1 (0,)2 【解析】 试题分析：作函数()y f x =及(1)y k x =+图像，(11), (1,0)A B -，，由图可知要使关于x 的方程()(1)f x k x =+有两个不同的实数根，须满足1 (0,)(0,).2 AB k k ∈=
3. 【江苏省南通市如东县、徐州市丰县高三10月联考】设幂函数()f x kx α=的图象经过点 ()4,2，则k α+= ▲ ． 【答案】 32 【解析】 试题分析：由题意得11,422 k α α==?=∴32k α+= 4. 【泰州中学第一学期第一次质量检测文科】已知幂函数()y f x =的图象经过点1 (4,)2 ，则 1 ()4 f 的值为 ． 【答案】2 【解析】 试题分析：设()y f x x α ==，则11422α α=?=-，因此1 211()()244 f -== 5. 【江苏省南通中学高三上学期期中考试】已知函数2 +1, 1, ()(), 1, a x x f x x a x ?-?=?->??≤ 函数 ()2()g x f x =-，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则实数的取值范围是 ▲ ． 【答案】23a <≤ 【解析】
2014江苏高考数学试题及参考答案 数学I 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分。请把答案填写在答题卡相应位置上。 1．已知集合{2,1,3,4}A =--，{1,2,3}B =-，则A B =______． 【解析】{1,3}- 2．已知复数2(52i)z =-(i 是虚数单位)，则z 的实部为______． 【解析】21 2 254i 20i 2120i z =+-=- 3．右图是一个算法流程图，则输出的n 的值是______． 【解析】5 4．从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是______． 【解析】1 3 当且仅当两数为1,6或2,3时乘积为6，有2种情况， 从这4个数中任取两个数有24C 6=种，故概率为 1 3 5．已知函数cos y x =与sin(2)y x ?=+(0π)?≤<，它们的图象有一个横坐标为π 3 的交点，则? 的值是________． 【解析】π 6 由题意，ππ1sin(2)cos 332?? +==，∵0π?≤<，∴2π2π5π 333?≤+< 当且仅当2π5π36?+= ，π 6 ?=时等式成立 6．某种树木的底部周长的频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有______株树木的 底部周长小于100cm ． (第6题) /cm (第3题)
【解析】24 ∵60(0.150.25)24?+= 7．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若21a =，8642a a a =+，则6a 的值为_____． 【解析】4 设公比为q (0)q >，则由8642a a a =+得26 6622a a q a q =+，解得22q =，故4624a a q == 8．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为12,S S ，体积分别为12,V V ，若它们的侧面积相等，且 1294 S S =， 则 1 2 V V 的值是________． 【解析】 32 设两圆柱底面半径为12,r r ，两圆柱的高为12,h h 则1232r r =，∵两圆柱侧面积相等，∴11222π12πr h r h =，1223h h =，则11122232 V S h V S h == 9．在平面直角坐标系xoy 中，直线230x y +-=被圆22(2)(1)4x y -++=截得的弦长为_______． ∵圆心(2,1)-到直线230x y +-= 的距离d = = ∴直线230x y +-=被圆22(2)(1)4x y -++= 截得的弦长为 10．已知函数2()1f x x mx =+-，若对于任意[,1]x m m ∈+，都有()0f x <成立，则实数m 的取值范 围是_______． 【解析】?? ? ??? 若0m ≥，对称轴02m x =-≤，2(1)230f m m m +=+<，解得3 02 m -<<，舍去； 当0m <时，2 m m <- ，()f x 在[,1]x m m ∈+上的最大值只可能在x m =和1x m =+处取到 因此2 2 ()210 (1)230 f m m f m m m ?=-
第三篇备战新高考狂练新题型之高三数学提升捷径 专题01 三角函数解答题
1. 已知OA ＝(2asin 2x ，a)，(1,cos 1)OB x x =-+，O 为坐标原点，a≠0，设f(x)＝OA OB ?＋b ，b>a. (1)若a>0，写出函数y ＝f(x)的单调递增区间； (2)若函数y ＝f(x)的定义域为[ 2 π ，π]，值域为[2,5]，求实数a 与b 的值． 2. 已知直线12,x x x x ==分别是函数()2sin(2)6f x x π=-与3()sin(2)2g x x π=+图象的对称轴. （1）求12()f x x +的值； （2）若关于x 的方程()()1g x f x m =+-在区间[0,]3π 上有两解，求实数m 的取值范围. 3. 已知函数f （x ），g （x ）满足关系g （x ）=f （x ）?f （x +α），其中α是常数．
（1）设()cos sin f x x x =+，2 πα=，求g （x ）的解析式； （2）设计一个函数f （x ）及一个α的值，使得()()2g x cosx cosx =+； （3）当()sin cos f x x x =+，2π α=时，存在x 1，x 2∈R ，对任意x ∈R ，g （x 1）≤g （x ）≤g （x 2）恒成立， 求|x 1-x 2|的最小值． 4. 已知函数()21111cos cos sin ,2222f x x x x x x R ??=-+∈ ???. （1）求函数()f x 的值域； （2）在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，()2,f B b ==ABC S ?=，求a c +的值； （3）请叙述余弦定理（写出其中一个式子即可）并加以证明. 5. 已知函数()2sin cos sin .f x x x x =- (1)求()f x 的最小正周期； (2)设ABC ?为锐角三角形,角A 角B 若()0f A =，求ABC ?的面积. 6. 已知函数()sin cos f x a x b x =+，其中a 、b 为非零实常数. (1)若4f π??= ??? ()f x ，求a 、b 的值. (2)若1a =，6x π =是()f x 图像的一条对称轴，求0x 的值，使其满足0()f x =0[0,2]x ∈π. 7. 已知函数()2sin 2sin 2cos2f x x x x =-. （1）化简函数()f x 的表达式，并求函数()f x 的最小正周期； （2）若点()00,A x y 是()y f x =图象的对称中心，且00,2x π??∈???? ，求点A 的坐标. 8. 已知函数21()2cos 22 f x x x x R =--∈，． （1）求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间； （2）设△ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，且c =，()0f C =，若sin 2sin B A =，求a b ， 的
高中数学常见函数图像1. 2.对数函数：
3.幂函数： 定义形如αx y=（x∈R）的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数. 图像 性质过定点：所有的幂函数在(0,) +∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)．单调性：如果0 α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,) +∞上为增函数．如果0 α<，则幂函数的图象在(0,) +∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x轴与y轴．
函数 sin y x = cos y x = tan y x = 图象 定义域 R R ,2x x k k ππ??≠+∈Z ???? 值域 []1,1- []1,1- R 最值 当 22 x k π π=+ () k ∈Z 时， max 1y =； 当22 x k π π=- ()k ∈Z 时，min 1y =-． 当()2x k k π =∈Z 时， max 1y =； 当2x k π π=+ ()k ∈Z 时，min 1y =-． 既无最大值也无最小值 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 在 2,222k k ππππ? ?-+???? ()k ∈Z 上是增函数；在 32,222k k π πππ??++???? ()k ∈Z 上是减函数． 在[]() 2,2k k k πππ-∈Z 上 是 增 函 数 ； 在 []2,2k k πππ+ ()k ∈Z 上是减函数． 在,2 2k k π ππ π? ? - + ?? ? ()k ∈Z 上是增函数． 对称性 对称中心 ()(),0k k π∈Z 对称轴 ()2 x k k π π=+ ∈Z 对称中心 (),02k k ππ??+∈Z ?? ? 对称轴()x k k π =∈Z 对称中心(),02k k π?? ∈Z ??? 无对称轴
2019年高考数学新题型归纳 （一）解析几何中的运动问题 解析几何中的创新小题是新课标高考中出现频率最高的题型，09、10、11年高考数学选择填空压轴题都出现了运动问题。即新课标高考数学思维从传统分析静态模型转变为分析动态模型。因此考生需要掌握在运动过程中对于变量与不变量的把握、善于建立运动过程中直接变量与间接变量的关系、以及特殊值情境分析、存在问题与任意问题解题方法的总结。 在解此类创新题型时，往往需要融入生活中的很多思想，加上题目中所给信息相融合。在数学层面上，需要考生善于从各个角度与考虑问题，将思路打开，同时善于用数学思维去将题目情境抽象成数学模型。 （二）新距离 近几年兴起的关于坐标系中新距离d=|X1-X2|+|Y1-Y2|的问题，考生需要懂得坐标系中坐标差的原理，对于对应两点构成的矩形中坐标差的关系弄清楚就行了。近两年高考大题中均涉及到了新距离问题，可是高考所考察的内容不再新距离本身，而在于建立新的数学模型情况下，考生能否摸索出建立数学模型与数学思维的关系。比如2019年压轴题，对于一个数列各个位做差取绝对值求和的问题，由于每个位取值情况均相同，故只需考虑一个位就行了。在大题具体解题中
笔者会详细叙述。 （三）新名词 对于题目中出现了新名词新性质，考生完全可以从新性质本身出发，从数学思维角度理解新性质所代表的数学含义。此类创新题型就像描述一幅画一样去描述一个数学模型，然后描述的简洁透彻，让考生通过此类描述去挖掘性质。新课标数学追求对数学思维的自然描述，即不会给学生思维断层、非生活常规思路（北京海淀区2019届高三上学期期末考试题的解析几何大题属于非常规思路）。比如2009年北京卷文科填空压轴题，就是让学生直观形象的去理解什么叫做孤立元，这样肯快就可以得到答案。 （四）知识点性质结合 此类题型主要结合函数性质、图象等知识点进行出题，此类题一般只要熟悉知识点网络结构与知识点思维方式就没有问题。比如2019年高考北京卷填空压轴题，需要考生掌握轨迹与方程思想，方程与曲线关于变量与坐标的一一对应关系。再比如2009年北京卷填空压轴题，就是对数列递推关系进行了简单的扩展，考生只要严格按照题目的规则代入就可得到答案。此类题型需要考生对于知识点的原理、思维方法有深层次的理解才能够很快做出答案。上面提到的两道题均没有考对应知识点的细节处理问题，而是上升的数学思维方法的层次。
函数图象B1 .函数y = a| x | (a > 1)的图象是( ) B（） B3．当a>1时，函数y=log a x和y=(1－a)x的图象只可能是（） A4．已知y=f(x)与y=g(x)的图象如图所示 则函数F(x)=f(x)·g(x)的图象可以是(A) B5．函数(1) || x xa y a x =>的图像大致形状是（）D
A B C D D 7．函数x x y cos -=的部分图象是( ) A 8．若函数f(x)=x 2+b x +c 的图象的顶点在第四象限，则函数f /(x)的图象是 （ ） A 9．一给定函数) (x f y =的图象在下列图中，并且对任意)1,0 (1∈a ，由关系式) (1n n a f a =+得到的数列}{n a 满足)(* 1N n a a n n ∈>+，则该函数的图象是 （ ） A B C D C 10．函数y=kx+k 与y=x k 在同一坐标系是的大致图象是（ ） A D C
A 12． 当a >1时，在同一坐标系中，函数y =a － x 与y =log a x 的图像（ ） B 13. 函数1 1 1--=x y 的图象是（ ） D 14．函数b x a x f -=)(的图象如图，其中a 、b 为常数，则下列结论正确的是 （ ） A ．0,1<>b a B ．0,1>>b a C ．0,10><(word完整版)高中数学函数图象高考题.doc
B 1 .函数 y = a | x | (a > 1)的图象是 ( y y o x o A B B （ ） y o 1 x -1 o 函数图象 ) y 1 1 x o x C y y x x o 1 y 1 o x D y -1 o x A B C B 3．当 a>1 时，函数 y=log a x 和 y=(1 － a)x 的图象只可能是（ ） y A4．已知 y=f(x) 与 y=g(x) 的图象如图所示 yf ( x ) x O 则函数 F(x)=f(x) ·g(x) 的图象可以是 (A) y y y O x O x O x A xa x B C B 5．函数 y (a 1) 的图像大致形状是 （ ） | x | y y y O f ( x) 2x x O 1 O x （ D 6．已知函数 x x x 1 ，则 f x （ 1－ x ）的图象是 log 1 2 y y y A B C 2 。 。 1 。 － 1 D y y g( x) O x y O x D y O ） x y D 2
O x
A B C D D 7．函数 y x cosx 的部分图象是 ( ) A 8．若函数 f(x) =x 2 +bx+c 的图象的顶点在第四象限，则函数 f /(x)的图象是 （ ） y y y y o x o x o x o x A B C D A 9．一给定函数 y f ( x) 的图象在下列图中，并且对任意 a 1 (0,1) ，由关系式 a n 1 f (a n ) 得到的数列 { a n } 满足 a n 1 a n (n N * ) ，则该函数的图象是 （ ） A B C D C10．函数 y=kx+k 与 y= k 在同一坐标系是的大致图象是（ ） x y y y y O x O x O x O x A 11．设函数 f （ x ） =1－ 1 x 2 （－ 1≤ x ≤0）的图像是（ ） A B C D
2014年江苏高考数学试题 数学Ⅰ试题 参考公式: 圆柱的侧面积公式:S 圆柱=cl , 其中c 是圆柱底面的周长，l 为母线长. 圆柱的体积公式:V 圆柱=Sh ,其中S 是圆柱的底面积，h 为高. 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1．已知集合{2134}A =--，，，，{123}B =-，，，则A B = ． 【答案】{13}-， 2．已知复数2(52)z i =+(i 为虚数单位)，则z 的实部为 ． 【答案】21 3．右图是一个算法流程图，则输出的n 的值是 ． 【答案】5 4．从1236， ，，这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的 概率是 ． 【答案】13 5．已知函数cos y x =与sin(2)(0)y x ??=+<π≤，它们的图象有一个横坐标为 3 π的交点，则? 的值是 ． 【答案】6 π 6．为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm ），所得数据均在区间[80130]， 上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有 株 树木的底部周长小于100 cm ． 【答案】24 7．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若21a =，8642a a a =+， 则6a 的值是 ． 【答案】4
8．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为12S S ，，体积分别为12V V ，，若它们的侧面积相等，且 129 4 S S =，则 1 2 V V 的值是 ． 【答案】32 9．在平面直角坐标系xOy 中，直线230x y +-=被圆22(2)(1)4x y -++=截得的弦长为 ． 【答案】2555 10．已知函数2()1f x x mx =+-，若对任意[1]x m m ∈+， ，都有()0f x <成立，则实数m 的取值范围是 ． 【答案】202??- ??? ， 11．在平面直角坐标系xOy 中，若曲线2b y ax x =+(a b ， 为常数)过点(25)P -，，且该曲线在点P 处的切线与直线7230x y ++=平行，则a b +的值是 ． 【答案】3- 12．如图，在平行四边形ABCD 中，已知，85AB AD ==，，32CP PD AP BP =?=，，则AB AD ?的 值是 ． 【答案】22 13．已知()f x 是定义在R 上且周期为3的函数，当[03)x ∈，时，21()22f x x x =-+．若函数()y f x a =-在区间[34]-， 上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】() 102 ， 14．若ABC ?的内角满足sin 2sin 2sin A B C +=，则cos C 的最小值是 ． 【答案】624 - 二、解答题：本大题共6小题, 共计90 分. 请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答, 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．(本小题满分14 分)已知() 2απ∈π，，5sin 5α=． （1）求() sin 4 απ+的值；
2021届新高考版高考数学专项突破训练 专项4 新高考·新题型专练 一、多项选择题:在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求. 1.已知集合M={0,1,2},N={x||x - 1|≤1},则() A.M=N B.N?M C.M∩N=M D.(?R M)∪N=R 2.已知i为虚数单位,则下列结论正确的是() A.复数z=的虚部为 B.复数z=的共轭复数= - 5 - 2i C.复数z=i在复平面内对应的点位于第二象限 D.若复数z满足∈R,则z∈R 3.采购经理指数(简称PMI)是国际上通行的宏观经济监测指标体系之一,对国家经济活动的监测和预测具有重要作用.制造业PMI在50%以上,通常反映制造业总体扩张,低于50%,通常反映制造业总体衰退.如图1 - 1是2018年10月到2019年10月我国制造业PMI的统计图,下列说法正确的是() 图1 - 1 A.大部分月份制造业总体衰退 B.2019年3月制造业总体扩张最大 C.2018年11月到2019年10月中有3个月的PMI比上月增长 D.2019年10月的PMI为49.3%,比上月下降0.5个百分点 4.已知函数f (x)=则下列结论中正确的是() A.f ( - 2)=4 B.若f (m)=9,则m=±3
C.f (x)是偶函数 D.f (x)在R上单调递减 5.已知(ax2+)n(a>0)的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等,且展开式中各项系数之和 为1 024,则下列说法正确的是() A.展开式中奇数项的二项式系数之和为256 B.展开式中第6项的系数最大 C.展开式中存在常数项 D.展开式中含x15项的系数为45 6.已知向量a=(1,2),b=(m,1)(m<0),且满足b·(a+b)=3,则() A.|b|= B.(2a+b)∥(a+2b) C.向量2a- b与a- 2b的夹角为 D.向量a在b方向上的投影为 7.已知函数f (x)=sin(2x - ),下列结论正确的是() A.f (x)的最小正周期是π B.f (x)=是x=的充分不必要条件 C.函数f (x)在区间(,)上单调递增 D.函数y=|f (x)|的图象向左平移个单位长度后所得图象的对称轴方程为x=π(k∈Z) 8.同时抛掷两个质地均匀的四面分别标有1,2,3,4的正四面体一次,记事件A={第一个四面体向下的一面出现偶数},事件B={第二个四面体向下的一面出现奇数},事件C={两个四面体向下的一面同时出现奇数,或者同时出现偶数}.则下列说法正确的是() A.P(A)=P(B)=P(C) B.P(AB)=P(AC)=P(BC) C.P(ABC)= D.P(A)P(B)P(C)=
数列 热点一 等差数列、等比数列的综合问题 解决等差、等比数列的综合问题时，重点在于读懂题意，灵活利用等差、等比数列的定义、通项公式及前n 项和公式解决问题，求解这类问题要重视方程思想的应用. 【例1】已知首项为32的等比数列{a n }不是递减数列，其前n 项和为S n (n ∈N *)，且 S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设T n ＝S n －1S n (n ∈N *)，求数列{T n }的最大项的值与最小项的值. 解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ， 因为S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列， 所以S 5＋a 5－S 3－a 3＝S 4＋a 4－S 5－a 5，即4a 5＝a 3， 于是q 2＝a 5a 3 ＝14. 又{a n }不是递减数列且a 1＝32，所以q ＝－12. 故等比数列{a n }的通项公式为a n ＝32×? ?? ??－12n －1 ＝(－1)n －1·32n . (2)由(1)得S n ＝1－? ????－12n ＝?????1＋12n ，n 为奇数，1－12n ，n 为偶数， 当n 为奇数时，S n 随n 的增大而减小， 所以1
所以34＝S 2≤S n <1， 故0>S n －1S n ≥S 2－1S 2 ＝34－43＝－712. 综上，对于n ∈N *，总有－712≤S n －1S n ≤56. 所以数列{T n }最大项的值为56，最小项的值为－712. 【类题通法】解决等差数列与等比数列的综合问题，既要善于综合运用等差数列与等比数列的相关知识求解，更要善于根据具体问题情境具体分析，寻找解题的突破口. 【对点训练】已知数列{a n }是公差不为零的等差数列，其前n 项和为S n ，满足S 5－2a 2＝25，且a 1，a 4，a 13恰为等比数列{b n }的前三项. (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)设T n 是数列??????????1a n a n ＋1的前n 项和，是否存在k ∈N *，使得等式1－2T k ＝1b k 成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由. 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)， ∴?????? ????5a 1＋5×42d －2（a 1＋d ）＝25，（a 1＋3d ）2＝a 1（a 1＋12d ）， 解得a 1＝3，d ＝2，∴a n ＝2n ＋1. ∵b 1＝a 1＝3，b 2＝a 4＝9， ∴等比数列{b n }的公比q ＝3，∴b n ＝3n . (2)不存在.理由如下： ∵1a n a n ＋1＝1（2n ＋1）（2n ＋3）＝12? ?? ??12n ＋1－12n ＋3， ∴T n ＝12???? ??? ????13－15＋? ????15－17＋…＋? ????12n ＋1－12n ＋3 ＝12? ?? ??13－12n ＋3，
一次函数 二次函数
反比例函数 1、反比例函数图象：反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线 反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐标轴相交（K≠0）。 2、性质： 1.当k>0时，图象分别位于第一、三象限，同一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，图象分别位于二、四象限，同一个象限内,y随x的增大而增大。 2.k>0时，函数在x<0上同为减函数、在x>0上同为减函数；k<0时，函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。 定义域为x≠0；值域为y≠0。 3.因为在y=k/x(k≠0)中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交。 4. 在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，过点P，Q分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2则S1＝S2=|K| 5. 反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴 y=x y=-x（即第一三，二四象限角平分线），对称中心是坐标原点。
指数函数y=a x (a＞0，a≠1) 注意：⒈指数函数对外形要求严格，前系数要为1，否则不能为指数函数。 ⒉指数函数的定义仅是形式定义。 指数函数的图像与性质 规律：1. 当两个指数函数中的a互为倒数时，两个函数关于y轴对称，但这两个函数都不具有奇偶性。 2.当a＞1时，底数越大，图像上升的越快，在y轴的右侧，图像越靠近y轴； 当0＜a＜1时，底数越小，图像下降的越快，在y轴的左侧，图像越靠近y轴。 在y轴右边“底大图高”；在y轴左边“底大图低”。
3.四字口诀：“大增小减”。即：当a＞1时，图像在R上是增函数； 当0＜a＜1时，图像在R上是减函数。 4. 指数函数既不是奇函数也不是偶函数 比较幂式大小的方法： 1.当底数相同时，则利用指数函数的单调性进行比较； 2.当底数中含有字母时要注意分类讨论； 3.当底数不同，指数也不同时，则需要引入中间量进行比较； 4.对多个数进行比较，可用0或1作为中间量进行比较 底数的平移： 在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像会向右平移。 在f(X)后加上一个数，图像会向上平移；减去一个数，图像会向下平移。
2019年高考数学新题型分类 新课标以来，高考数学中出现了创新题型，以第8、14、20题为主，创新题型是建立在高中数学思维体系之上的一中新数学题型。2019年高考数学新题型分类为以下几点： (一)解析几何中的运动问题 解析几何中的创新小题是新课标高考中出现频率最高的题型，09、10、11年高考数学选择填空压轴题都出现了运动问题。即新课标高考数学思维从传统分析静态模型转变为分析动态模型。因此考生需要掌握在运动过程中对于变量与不变量的把握、善于建立运动过程中直接变量与间接变量的关系、以及特殊值情境分析、存在问题与任意问题解题方法的总结。 在解此类创新题型时，往往需要融入生活中的很多思想，加上题目中所给信息相融合。在数学层面上，需要考生善于从各个角度与考虑问题，将思路打开，同时善于用数学思维去将题目情境抽象成数学模型。 (二)新距离 近几年兴起的关于坐标系中新距离d=|X1-X2|+|Y1-Y2|的问题，考生需要懂得坐标系中坐标差的原理，对于对应两点构成的矩形中坐标差的关系弄清楚就行了。近两年高考大题中均涉及到了新距离问题，可是高考所考察的内容不再新距离本身，而在于建立新的数学模型情况下，考生能否摸索出建立数学模型与数学思维的关系。比如2019年压轴题，对于一个数列各个位做差取绝对值求和的问题，由于每个位取值情况均相同，故只需考虑一个位就行了。在大题具体解题中笔者
会详细叙述。 (三)新名词 对于题目中出现了新名词新性质，考生完全可以从新性质本身出发，从数学思维角度理解新性质所代表的数学含义。此类创新题型就像描述一幅画一样去描述一个数学模型，然后描述的简洁透彻，让考生通过此类描述去挖掘性质。新课标数学追求对数学思维的自然描述，即不会给学生思维断层、非生活常规思路(北京海淀区2019届高三上学期期末考试题的解析几何大题属于非常规思路)。比如2009年北京卷文科填空压轴题，就是让学生直观形象的去理解什么叫做孤立元，这样肯快就可以得到答案。 (四)知识点性质结合 此类题型主要结合函数性质、图象等知识点进行出题，此类题一般只要熟悉知识点网络结构与知识点思维方式就没有问题。比如2019年高考北京卷填空压轴题，需要考生掌握轨迹与方程思想，方程与曲线关于变量与坐标的一一对应关系。再比如2009年北京卷填空压轴题，就是对数列递推关系进行了简单的扩展，考生只要严格按照题目的规则代入就可得到答案。此类题型需要考生对于知识点的原理、思维方法有深层次的理解才能够很快做出答案。上面提到的两道题均没有考对应知识点的细节处理问题，而是上升的数学思维方法的层次。(五)情境结合题 要练说，得练看。看与说是统一的，看不准就难以说得好。练看，就是训练幼儿的观察能力，扩大幼儿的认知范围，让幼儿在观察事物、
数列 热点一 数列的通项与求和 数列的通项与求和是高考必考的热点题型，求通项属于基本问题，常涉及与等差、等比的定义、性质、基本量运算.求和问题关键在于分析通项的结构特征，选择合适的求和方法.常考求和方法有：错位相减法、裂项相消法、分组求和法等. 【例1】 (满分12分)设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n . (1)求{a n }的通项公式； (2)求数列??????????a n 2n ＋1的前n 项和. 教材探源 本题第(1)问源于教材必修5P44例3，主要考查由S n 求a n ，本题第(2)问源于教材必修5P47B 组T4，主要考查裂项相消法求和. 满分解答 (1)因为a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n ，① 故当n ≥2时，a 1＋3a 2＋…＋(2n －3)a n －1＝2(n －1)，②1分 (得分点1) ①－②得(2n －1)a n ＝2，所以a n ＝22n －1 ，4分 (得分点2) 又n ＝1时，a 1＝2适合上式，5分 (得分点3) 从而{a n }的通项公式为a n ＝22n －1 .6分 (得分点4) (2)记?????? ????a n 2n ＋1的前n 项和为S n ， 由(1)知a n 2n ＋1＝2（2n －1）（2n ＋1）＝12n －1－12n ＋1 ，8分 (得分点5) 则S n ＝? ????1－13＋? ????13－15＋…＋? ?? ??12n －1－12n ＋1 10分 (得分点6) ＝1－12n ＋1＝2n 2n ＋1 .12分 (得分点7) 得分要点 ?得步骤分：抓住得分点的解题步骤，“步步为赢”，在第(1)问中，由a n 满足的关系式，通过消项求得a n ，验证n ＝1时成立，写出结果.在第(2)问中观察数列的结构特征进行裂项→利用裂项相消法求得数列的前n 项和S n . ?得关键分：(1)a n －1满足的关系式，(2)验证n ＝1，(3)对通项裂项都是不可少的过程，有则给分，无则没分. ?得计算分：解题过程中的计算准确是得满分的根本保证，如(得分点2)，(得分
专题一 函数图象 数形结合是中学数学的重要的数学思想方法，尤其是函数的图象更是历年高考的热点.函数图象是函数的一种表达形式，形象的显示了函数的性质，为研究数量关系提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题的结果的重要工具. 一、知识方法 1．函数图象作图方法 （1）描点法：列表、描点（注意关键点：如图象与x 、y 轴的交点，端点，极值点等））、连线（注 意关键线：如；对称轴，渐近线等） （2）利用基本函数图象变换。 2．图象变换（由一个图象得到另一个图象）：平移变换、对称变换和伸缩变换等。 （1）平移变换 ① 水平平移：函数()y f x a =+的图象可以把函数()y f x =的图象沿x 轴方向向左 (0)a >或向右(0)a <平移||a 个单位即可得到； ② 竖直平移：函数()y f x a =+的图象可以把函数()y f x =的图象沿y 轴方向向上(0)a >或向下(0)a <平移||a 个单位即可得到． （2）对称变换 ① 函数()y f x =-的图象可以将函数()y f x =的图象关于y 轴对称即可得到； ② 函数()y f x =-的图象可以将函数()y f x =的图象关于x 轴对称即可得到； ③ 函数()y f x =--的图象可以将函数()y f x =的图象关于原点对称即可得到； （3）翻折变换 ① 函数|()|y f x =的图象可以将函数()y f x =的图象的x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方，去掉原x 轴下方部分，并保留()y f x =的x 轴上方部分即可得到； ② 函数(||)y f x =的图象可以将函数()y f x =的图象右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代原y 轴左边部分并保留()y f x =在y 轴右边部分即可得到． （4）伸缩变换 ① 函数()y af x =(0)a >的图象可以将函数()y f x =的图象中的每一点横坐标不变纵坐标伸长(1)a >或压缩（01a <<）为原来的a 倍得到； ② 函数()y f ax =(0)a >的图象可以将函数()y f x =的图象中的每一点纵坐标不变横坐标伸长(01a <<)或压缩(1)a >为原来的 1 a 倍得到． 3．函数图象的对称性：对于函数)(x f y =，若对定义域内的任意x 都有 ①)()(x a f x a f +=-（或))2()(x a f x f -=，则)(x f 的图象关于直线a x =对称； ②b x a f x a f 2)()(=++-（或)2)2()(b x a f x f =-+，，则)(x f 的图象关于点),(b a P 对称. 4、熟练掌握基本初等函数（如正、反比例函数，一次、二次函数，指数、对数函数，幂函数，三角函数）的图象 5、作函数图象的一般步骤： （1）求出函数的定义域；（2）化简函数式；（3）讨论函数的性质（如奇偶性、周期性、单调性）以及图像上的特殊点、线（如极值点、渐近线、对称轴等）；（4）利用基本函数的图像（5）利
2014年江苏省高考数学试卷 参考答案与试题解析 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分） 1．（5分）（2014?江苏）已知集合A={﹣2，﹣1，3，4}，B={﹣1，2，3}，则A∩B=．2．（5分）（2014?江苏）已知复数z=（5+2i）2（i为虚数单位），则z的实部为．3．（5分）（2014?江苏）如图是一个算法流程图，则输出的n的值是． 4．（5分）（2014?江苏）从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是． 5．（5分）（2014?江苏）已知函数y=cosx与y=sin（2x+φ）（0≤φ＜π），它们的图象有一个横坐标为的交点，则φ的值是． 6．（5分）（2014?江苏）为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：cm），所得数据均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有株树木的底部周长小于100cm． 7．（5分）（2014?江苏）在各项均为正数的等比数列{a n}中，若a2=1，a8=a6+2a4，则a6的值是． 8．（5分）（2014?江苏）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且=，则的值是．
9．（5分）（2014?江苏）在平面直角坐标系xOy中，直线x+2y﹣3=0被圆（x﹣2）2+（y+1）2=4截得的弦长为． 10．（5分）（2014?江苏）已知函数f（x）=x2+mx﹣1，若对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，则实数m的取值范围是． 11．（5分）（2014?江苏）在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=ax2+（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b的值是．12．（5分）（2014?江苏）如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5，=3，?=2，则?的值是． 13．（5分）（2014?江苏）已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f （x）=|x2﹣2x+|，若函数y=f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），则实 数a的取值范围是． 14．（5分）（2014?江苏）若△ABC的内角满足sinA+sinB=2sinC，则cosC的最小值是．二、解答题（本大题共6小题，共计90分） 15．（14分）（2014?江苏）已知α∈（，π），sinα=． （1）求sin（+α）的值； （2）求cos（﹣2α）的值． 16．（14分）（2014?江苏）如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB 的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5．求证： （1）直线PA∥平面DEF； （2）平面BDE⊥平面ABC．