第一作者李欣指导邹曦
数值分析复习习题
第一章
1. 下列各数
都是经过四舍五入得到的近似值，试分别指
出它们的绝对误差限，相对误差限和有效数字的位数.
x1=5.420,x2=0.5420, x3=0.00542, x4=6000,x5=0.6 105.
解绝对误差限分别为：1=0.5 10-3, 2=0.5 10-4,
3=0.5 10-5, 4=0.5, 5=0.5 104 .
相对误差限分别为：r1=0.5 10-3/5.420=0.00923%,
「2=0.00923%,「3=0.0923%,「4=0.0083%,「5=8.3%.
有效数位分别为：4位,4位,3位,4位,1位.
第二章
1. 讨论求解方程组Ax=b的J迭代法和G-S迭代法的收敛性.其中
2 1 1 1 2 2
(1)A 1 1 1 (2)A 1 1 1
1 1
2 2 2 1
解(1) J迭代法和G-S迭代法的迭代矩阵分别为
0 2 ? 0 2
B D 1(L U) 1 0 1 , G (D L) 1U 0 g g
* 舟0 0 0 g
(B)= , (G)=1/2,故J迭代法不收敛,G-S迭代法收敛.
2x y 4z 6
x第一作者z李欣指导邹曦
(2)类似可得(B)=0, (G)=2,故J迭代法收敛,G-S迭代法不收敛.
2. 给定方程组
第一作者李欣指导邹曦
3x y z 2
试建立一个收敛的迭代格式，并说明收敛的理由解可建立如下形式的迭代格式
1) 2 1、, 1 (k)
x —-y —z
3 3 3
、，1)
3 1
你）
1
y —x —z
4 4 4
(k 1) 3 1
x(k)
1 、
，
z —x —y
2 2 4
因为迭代矩阵为
M
M 3 1
所以此迭代法收敛第三章
1用列主元Gauss消元法解方程组
3 2 6 x1 4
10 7 0 x27
5 1 5 x3 6
3 2 6
4 10 7 0 7 10 7 0 7
「1 $ 消兀
10 7 0 7 3 2 6 4 0 0.1 6 6.1
5 1 5
6 5 1 5 6 0 2.5 5 2.5
10 7 0 7 10 7 0 7
3 消元
0 2.5 5 2.5 0 2.5 5 2.5
0 0.1 6 6.1 0 0 6.2 6.2
回代得解x3=1, x2=-1, x1=0
2x y 4z 6
x 第一作者z 李欣 指导邹曦
2.对矩阵 A 进行
LU 分解,并求解方程组 Ax=b,其中
2 1 1 4
A
1 3
2 ,b 6
1 2
2
5
解
2 1 1 2 1 1 1 2 1 1
A
1 3
2 1 2 5
2
2 A 4 1 5
3 2
2 1 2 2
1
2
3 5 3 5
4 i 1
3 5
1
y 1
4 y 1 4
解2 1
y 2
6，得 y 2 4
1 2
3 5
1
y 3
5
y 3
3 5
2 1 1 X 1
4 X 1 1
再解
5 2 3 2 X 2 4，得 x 2
1
3 5
X 3
3 5
X 3
1
3. 对矩阵A 进行Crout 分解，其中
2 1 2
A
4
5 6
解
6 15
15
2 1 2
2 1
~2 1 A
4 5 6
4 3 2 ■3 6 1
5 15
6
12 1
2
1 4 1
故得 Crou i
t 分解：A
4
3
1 1
6 12 1
1
4.对任意矩阵范:
数
，求
证:
(2) 1 I = AA-1 A A-1 ，故 IA 1 闪.
(3) A-1-B-1 = A-1(B-A)B-1
A-1 B-1 A-B
(1) I
证明 1
A
3)11
A
B
(1)因为 I = AI
5.证明:⑴如果A为正交矩阵，贝U Cond2(A)=1;
(2)如果A为对称正定矩阵，则Cond2(A)= 1/ n, 1 和n分别为A的最大和最小特征值.
证明⑴A 正交，则ATA=AAT=l,Cond2(A)= A 2 A-1 2=1.
(2) A 对称正定，ATA=A2, A 2= 1. A-1 2=1/ n. 第七章
1. 设(x)=cosx,证明：任取x0,迭代式xk+1= (xk),k=
0,1,2, ?均收敛于方程x= (x)的根.
证明因为对任意x0,都有x仁cosxO ［-1,1］,所以只需证明迭代式在区间［-1,1］收敛.
因为(x)=cosx 连续可导,| (x)|=|sinx| sin1<1,所以
(x)是区间［-1,1］上的压缩映射，因此结论成立.
2. 验证区间［0,2］是方程x3+2x-5=0的有根区间，并建立一个收敛的迭代格式，使对任何初值x0 ［0,2］都收敛，并说明理由.
解记(x)=x3+2x-5 C［0,2］,且(0)= -5<0, ⑵=7>0, 所以方程在区间［0,2］内有根，建立迭代格式
X k 1 35 2x k ,k 0,1,2,
这里迭代函数(x)= 3 5 2x
，由于
0<1 (x) 3 5
<2 , x [0,2]
2 2
且 |
(x)|= 3(5 2x)
2/3<1 , x [0,2]
所以(x)是区间[0,2]上的压缩映射，故迭代式收敛. 3.
给定函数 (x),设
对一切 x, (x)存在且 0 M,证明对任意 (0,2/M),迭代式 X k 1 X k f (x k ) ,k 0,1,2, 均收敛于(x)=0的根 . 证明这里(x)=x- (x),由于对任意 (0,2/M) -1=1 -2v (x)=1- (x)<1 所以| ( )|<1,故迭代法收敛 4. 已知1.3是 4 3的一个近似值 ， 用Newton 迭代法求 4 3 的更好近似值，要求准确到小数点后五位. 解 对方程(x)=x4-3=0建立Newton 迭代格式，则有 所以取x3=1.3160740,已精确到小数点后 6位. 第四章 1. 当x=1,-1,2时,(x)分别为0,-3,4,求(x)的二次插值多项式 k 0 1 2 3 xk 1.3 1.3163746 1.3160741 1.3160740 |xk+1-xk| 0.0163746 0.0003005 0.0000001 取 x0=1. X k i X k 3 4X k 算结 3 P2(x). 解法一.基函数法： p2(x)= IO(x)yO+11(x)y1 + I2(x)y2=-3 I1(x)+4l2(x) l i(x) ,(x x0)(x x2)、1(x 1)(x 2) (X i X o)(X i X2) 6 (x X 0)( X xi) 11)(x 1) (X2 X o)(X2 xj 3 p2(x)=-3I1(x)+4I2(x) 1 4 尹1)(x 2)尹1)(x 1) ^(x 1)(5x 14) 6 解法二.待定系数法，设p2(x)=(x-1)(ax+b),则有 2(a-b)=-3, 2a+b=4 ,解得,a=5/6, b=7/3,所以p2(x)=1/6(x-1)(5x+14) 解法三.牛顿插值法，构造差商表 2. 设I0(x),I1(x), --I,(x)是以x0,x1, --xn 为节点的n 次Lagrange插值基函数，求证： n k k (1) X j l j(x) X , k 0,1, ,n. j 0 n k (2) (X j x) l j(x) 0, k 0,1, ,n. j 0 证明⑴记(x)=xk,则yj= (xj)= xjk,j=0,1, …于是 n f (n 1)()n x k f (x) y j l j(x) - :「n 1(X)x j|j(x) j 0 (n 1)! j 0 ⑵记(t)=(t-x)k,则yj= (xj)=(xj-x)k,j=0,1, …于是 n - (n 1) ( ) n (t x)k f(t) y j l j(t)- 辟n l(t) (X j x)k|j(t) j 0 (n 1)! j 0 n 取t=x,则有(X j x)k|j(x) 0 j 0 3. 设(x) C2［a,b］,且(a)= (b)=0,证明 f(x) 1(b a)2M2, a x b 其中，M 2 max f (x). a x b 证明以a,b为节点作(x)的线性插值有L1(x)=0，故 | (x)| = | (x)-L1(x)| —2^(x a)(x b) 8(b a) M2 4. 设(x)=x4+2x3+5,在区间［-3,2］上,对节点x0=-3,x1=-1,求出(x)的分段三次Hermite插值多项式在小区间［x0, x1］上的表达式及误差公式 解在［-3,-1］上,由y0=32,y1=4,y0 =-54,y1 =2, h=2,得 H3(x)=32 0(x)+4 1(x)-54 0(x)+2 1(x) 令0(x)=(x+1)2(ax+b), 可得a=1/4,b=1, 所以 0(x)=(x+1)2(x+4)/4 同理可得：1(x)=-(x+3)2x/4 0(x)=(x+3)(x+1)2/4 1(x)=(x+3)2(x+1)/4 所以有 H3(x)=8(x+1)2(x+4)-(x+3)2x -13.5(x+3)(x+1)2+0.5(x+3)2(x+1) 二6x3-22x2-24x-4 误差为 R(x)=(x+3)2(x+1)2 5.给出函数表 试分别作出线性，二次曲线拟合，并给出均方误差. 解线性拟合，即形如y=a+bx的拟合曲线.构造向量 0=(1,1,1,1,1,1)T, 1=(-1,-0.5,0,0.25,0.75,1)T, =(0.22,0.8,2,2.5,3.8,4.2)T.贝U得正贝U方程组: 6a+0.5b=13.52 a 2.078971 b 2.092353 0.5a+2.875b=7.055 所以，线性拟合曲线为：y=2.078971+2.092353x 均方误差为：II * II 2= (a bx i y i)2=0.38659 二次拟合，即形如y=a+bx+cx2的拟合曲线.构造向量 0=(1,1,1,1,1,1)T, 1=(-1,-0.5,0,0.25,0.75,1)T, 2=(1,0.25,0,0.0625,0.5625,1)T , =(0.22,0.8,2,2.5, 3.8,4.2)T. 则得正则方程组： 6a+0.5b+2.875c=13.52 0.5a+2.875b+0.3125c=7.055 2.875a+0.3125b+2.3828125c=6.91375 解得:a=1.94448,b=2.0851,c=0.28191 二次拟合曲线为：y=1.94448+2.0851x+0.28191x2. 均方误差为：II * II 2= J (a bX i c2 yj2=0.06943. 第五章 1.确定下列积分公式中的待定参数，使其代数精度尽可能高， 并说明代数精度是多少？ h (1) h f (x)dx A/( h) A o f(O) Af(h) 解令公式对(x)=1,x,x2都精确成立，则有 A- 1+A0+A1=2h -hA -1+hA1=0 h2A -1+h2A1=2h3/3 解得：A- 1=A1=h/3,A0=4h/3 h L* 求积公式为：h f(x)dx -[f( h) 4f(0) f(h)] (x)=x3时，左=右=0,公式也精确成立 (x)=x4时，左=2h5/5,右=2h5/3,公式不精确成立 所以公式的代数精确为 3. 2?用辛普森公式计算积分 1x 4 dx 的近似值，并估计结点误差 1 1 3.对积分o ln - f (x)dx, 导出两点Gauss 型求积公式 入 解 区间[0,1]上权函数为ln(1/x)的正交多项式为 P0(x)=1, p1(x)=x-1/4, p2(x)=x2-(5/7)x+17/252 第六章 1.用梯形方法和四阶标准 R-K 方法求解初值问题 y +y=0 ， 0 令 p2(x)=0 ，解出Gauss 点为：x 1 15 -106 42 15 -106 42 再令公式对(x)=1, x 精确成立，可得 A1+A2=1, A1x1+A2x2=1/4 ,由此解出 1 9 2 4、106 A 2 丄 9 2 4、106 所以两点Gauss 型求积公式为 1 1 Jn f (x)dx 1 9 */15 .106 1 9 */15 .106、 2 4J09)f( ^^)(2 4、109)f( ^^) 取步长h=0.1,并与精确解y=e-x相比较. 解这里(x,y)=-y ,故梯形公式为： yn+仁yn-0.05(yn+yn+1), 也就yn+1=(0.95/1.05)yn y0=1 四阶标准R-K公式为： yn+仁yn+(0.1/6)(K1+2K2+2K3+K4) K仁-yn,K2=-(yn+0.05K1), K3=-(yn+0.05K2),K4=-(yn+0.1K3) 就是： yn+1=0.9048375yn y0=1 计算结果为 第八章 1?利用Jacobi方法求矩阵A的所有特征值，其中 解记 4 2 1 A(0'2 4 2 1 2 4 取 i=1，j=2 ， 则有 d(0) (0) a i1 a 22 2諧0, cos sin 0 0.7071 0.7071 0 R 1 R 12() sin cos 0 0.7071 0.7071 0 0 1 0 1 6 0 2.12132 A ⑴ R 1T A (0)R 2 0.70711 2.12132 0.70711 4 类似地有 7.34521 0.37868 0 7.34521 0.32583 0.19295 A ⑵ 0.37868 2 0.59716 A ⑶ 0.32583 1.64638 0 0.59716 2.65479 0.19295 3.00841 1 7.37228 , 2 2.99991 , 3 1.62781 2. 设矩阵H = l-2xxT,向量x 满足xTx=1,证明： (1)H 为对称矩阵，即HT=H;⑵H 为正交矩阵，即HTH = I; (3)H 为对合矩阵，即H2=l. 证明 ⑴因为HT=(l-2xxT)T= I-2xxT=H,故H 对称. (2)因为 HTH=(I-2xxT)T( I-2xxT)= I-4xxT+4xxTxxT= I, 故H 正交. ⑶由⑴和⑵即得,H 是对合矩阵. cos =(1+t2)-1/2=0.7071, sin =tcos =0.7071 7.36378 0 0.19264 A ⑷ 1.62781 0.01098 0.19264 0.01098 3.00841 7.37228 0.00048 0 A (5) 0.00048 1.62781 0.01097 0 0.01097 2.99991 所以取 特别声明：考试时需带计 算器作辅助计算 1．2015x *=是经四舍五入得到的近似值，则其相对误差* r e ≤-31 104 ?. 2. 01(),(), ,()n l x l x l x 是以01,, ,n x x x 为节点的拉格朗日插值基函数，则 3．设(0)1(1)3(2)4(3)2f =,f =,f =,f =，[0123]f =，，，1 3 - . 4. 利用Simpson 公式求?2 1 2dx x = 7.3 5. 设求积公式1 0()d (),(1)n k k k f x x A f x n ≈≥∑?=是Gauss 型求积公式，则3 n k k k A x == ∑1 .4 6. 数值微分公式(2)(2) ()i i i f x h f x h f x h +≈ --'的截断误差为 2().O h 7. 设1101A ?? = ??? ，则A 的谱半径()A ρ= 1 ，A 的条件数1cond ()A = 4. 8. 用牛顿下山法求解方程3 03 x x -=根的迭代公式是 2 13 3(1),3n n n n x x x x x λ+-=-- 下山条件是 1()().n n f x f x +< 9.对任意初始向量(0)x 及任意向量f ，线性方程组的迭代公式(1)()(0,1,2,)k k k +=+=x Bx f ，迭代序列()k x 收敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是()1.ρ 数值分析试题 一、 填空题（2 0×2′） 1. ?? ????-=? ?????-=32,1223X A 设x =是精确值x *=的近似值，则x 有 2 位 有效数字。 2. 若f (x )=x 7－x 3＋1，则f [20,21,22,23,24,25,26,27]= 1 ， f [20,21,22,23,24,25,26,27,28]= 0 。 3. 设，‖A ‖∞＝___5 ____，‖X ‖∞＝__ 3_____， ‖AX ‖∞≤_15_ __。 4. 非线性方程f (x )=0的迭代函数x =?(x )在有解区间满足 |?’(x )| <1 ，则使用该迭代 函数的迭代解法一定是局部收敛的。 5. 区间[a ,b ]上的三次样条插值函数S (x )在[a ,b ]上具有直到 2 阶的连续导数。 6. 当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商 公式的 前插公式 ，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的 后插公式 ；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的 拉格朗日插值公式 。 7. 拉格朗日插值公式中f (x i )的系数a i (x )的特点是：=∑=n i i x a 0)( 1 ；所以当 系数a i (x )满足 a i (x )>1 ，计算时不会放大f (x i )的误差。 8. 要使 20的近似值的相对误差小于%，至少要取 4 位有效数字。 9. 对任意初始向量X (0)及任意向量g ，线性方程组的迭代公式x (k +1)=Bx (k )+g (k =0,1,…)收 敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是 ?(B)<1 。 10. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 5 。 11. 牛顿下山法的下山条件为 |f(xn+1)|<|f(xn)| 。 12. 线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差r i (i =0,1,…,n )来实现的，其中的残差 r i ＝ (b i -a i1x 1-a i2x 2-…-a in x n )/a ii ，(i =0,1,…,n )。 13. 在非线性方程f (x )=0使用各种切线法迭代求解时，若在迭代区间存在唯一解，且f (x ) 第一章典型例题 例3 ln2=0.…，精确到10－3的近似值是多少 解 精确到10－3＝，即绝对误差限是＝, 故至少要保留小数点后三位才可以。ln2 第二章典型例题 例1 用顺序消去法解线性方程组 ??? ??1 -=4+2+4=+2+31 -=4++2321 321321x x x x x x x x x 解 顺序消元 ?? ?? ??????---???→???????????---????→???????????--=-?+-?+-?+1717005.555.00141 25.025.105.555.001412142141231412]b A [)3()2/1()2/3(231312r r r r r r M 于是有同解方程组 ?? ? ??-==--=++17175.555.0142332321x x x x x x 回代得解 x 3=－1, x 2=1,x 1=1,原线性方程组的解为X ＝(1,1,－1)T 例2 取初始向量X (0)=(0,0,0)T ,用雅可比迭代法求解线性方程组 ??? ??5 =+2+23=++1=2-2+321 321321x x x x x x x x x 解 建立迭代格式 ???????+--=+--=++-=+++5223122) (2)(1)1(3 ) (3)(1)1(2 ) (3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x (k =1,2,3,…) 第1次迭代,k =0 X (0)＝0，得到X (1)＝(1,3,5)T 第2次迭代，k =1 ???????-=+?-?-=-=+--==+?+?-=3 532123 351515232)2(3) 2(2)2(1x x x X (2)＝(5,－3,－3)T 第3次迭代，k =2 ???????=+-?-?-==+---==+-?+-?-=1 5)3(2521 3)3(511)3(2)3(2)2(3) 3(2)3(1x x x X (3)＝(1,1,1)T 第4次迭代，k =3 ???????=+?-?-==+--==+?+?-=1 512121 311111212)2(3) 2(2)2(1x x x X (4)＝(1,1,1)T 例4 证明例2的线性方程组，雅可比迭代法收敛，而高斯－赛德尔迭代法发散。 证明 例2中线性方程组的系数矩阵为 A ＝?? ?? ? ?????-122111221 于是 D ＝?? ?? ??????100010001 D －1＝D ??????????=022001000L ~ ????? ?????-=000100220U ~ 雅可比迭代矩阵为 第四章 数值积分与数值微分 1.确定下列求积公式中的特定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度： 101210121 12120 (1)()()(0)(); (2)()()(0)(); (3)()[(1)2()3()]/3; (4)()[(0)()]/2[(0)()]; h h h h h f x dx A f h A f A f h f x dx A f h A f A f h f x dx f f x f x f x dx h f f h ah f f h -----≈-++≈-++≈-++''≈++-?? ?? 解： 求解求积公式的代数精度时，应根据代数精度的定义，即求积公式对于次数不超过m 的多项式均能准确地成立，但对于m+1次多项式就不准确成立，进行验证性求解。 （1）若101(1) ()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h --≈-++? 令()1f x =，则 1012h A A A -=++ 令()f x x =，则 110A h Ah -=-+ 令2 ()f x x =，则 3 221123 h h A h A -=+ 从而解得 01 1431313A h A h A h -?=?? ?=?? ?=?? 令3 ()f x x =，则 3()0h h h h f x dx x dx --==? ? 101()(0)()0A f h A f A f h --++= 故 101()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h --=-++? 成立。 令4 ()f x x =，则 数值分析典型习题 特别声明：考试时需带计 算器作辅助计算 1．2015x *=是经四舍五入得到的近似值，则其相对误差* r e ≤ -31 104 ?. 2. 01(),(),,()n l x l x l x L 是以01,,,n x x x L 为节点的拉格朗日插值基函数，则 3．设(0)1(1)3(2)4(3)2f =,f =,f =,f =，[0123]f =，，，1 3 - . 4. 利用Simpson 公式求?2 1 2dx x = 7.3 5. 设求积公式1 0()d (),(1)n k k k f x x A f x n ≈≥∑?=是Gauss 型求积公式，则3 n k k k A x == ∑1 .4 6. 数值微分公式(2)(2) ()i i i f x h f x h f x h +≈ --'的截断误差为 2().O h 7. 设1101A ?? = ??? ，则A 的谱半径()A ρ= 1 ，A 的条件数1cond ()A = 4. 8. 用牛顿下山法求解方程3 03 x x -=根的迭代公式是 2 13 3(1),3n n n n x x x x x λ+-=-- 下山条件是 1()().n n f x f x +< 9.对任意初始向量(0)x 及任意向量f ，线性方程组的迭代公式(1)()(0,1,2,)k k k +=+=L x Bx f ，迭代序列()k x 收敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是()1.ρ 华南理工大学研究生课程考试 《数值分析》试卷C （2015年1月9日） 1. 考前请将密封线内各项信息填写清楚； 所有答案请按要求填写在本试卷上； 课程代码：S0003004； 4. 考试形式：闭卷； 5. 考生类别：硕士研究生； 本试卷共八大题，满分100分，考试时间为150分钟。 一、（12分）解答下列问题： 1）设近似值0x >，x 的相对误差为δ，试证明ln x 的绝对误差近似为δ。 2）利用秦九韶算法求多项式 542()681p x x x x x =-+-+ 在3x =时的值（须写出计算形式），并统计乘法次数。 （12分）解答下列问题： 1）设()235f x x =+，求[]0,1,2f 和[]0,1,2,3f 。 2）利用插值方法推导出恒等式： 33220,0[]j j i i x j i x i j =≠=-=-∑∏ 。 （1）设{}∞ =0)(k k x q 是区间[]1,0上带权1=ρ而最高次项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x q ，求1()q x 和2()q x 。 （2）求形如2y a bx =+的经验公式，使它与下列数据拟合： 四、（14分）对积分()10I f x dx = ?，试 （1）构造一个以012113,,424 x x x ===为节点的插值型求积公式； （2）指出所构造公式的代数精度； （3）用所得数值求积公式计算积分1 203x dx ?的精确值； （4）指出所得公式与一般的Newton-Cotes 型公式在形式上的重要区别。 （1）设?? ????=4321A ,计算1A 、()Cond A ∞和()A ρ。 （2）用列主元Gauss 消去法解方程组： 12312315410030.112x x x ????????????=????????????-?????? 六、（13分）对2阶线性方程组 11112212112222 a x a x b a x a x b +=??+=? （11220a a ≠ ） （1）证明求解此方程组的Jacobi 迭代与Gauss-Seidel 迭代同时收敛或同时发散； （2）当同时收敛时，试比较它们的收敛速度。 《数值分析》 重点考察内容及各章作业答案 学院： 学号： 姓名： 重点考察内容 基本概念（收敛阶，收敛条件，收敛区域等）, 简单欧拉法。 第一章基础 掌握：误差的种类，截断误差，舍入误差的来源，有效数字的判断。 了解：误差限，算法及要注意的问题。 第二章插值 掌握：Hermite插值，牛顿插值，差商计算，插值误差估计。 了解：Lagrange插值 第三章数据拟合 掌握：给出几个点求线性拟合曲线。 了解：最小二乘原理 第四章数值积分微分 掌握：梯形公式，Simpson公式，代数精度，Gauss积分，带权Gauss积分公式推导，复化梯形公式推导及算法。 了解：数值微分，积分余项 第五章直接法 掌握：LU分解求线性方程组，运算量 了解：Gauss消去法，LDL，追赶法 第六章迭代法 掌握：Jacobi,Gauss-Seidel迭代格式构造，敛散性分析，向量、矩阵的范数、谱半径 了解：SOR迭代 第七章Nolinear迭代法 掌握：牛顿迭代格式构造，简单迭代法构造、敛散性分析，收敛阶。 了解：二分法，弦截法 第八章ODE解法 掌握：Euler公式构造、收敛阶。 了解：梯形Euler公式、收敛阶，改进Euler公式 题目类型：填空，计算，证明综合题 第一章 误差 1. 科学计算中的误差来源有4个，分别是________，________，________，________。 2. 用Taylor 展开近似计算函数000()()'()()f x f x f x x x ≈+-，这里产生是什么误差？ 3. 0.7499作 3 4 的近似值，是______位有效数字，65.380是舍入得到的近似值，有____几位有效数字，相对误差限为_______. 0.0032581是四舍五入得到的近似值，有_______位有效数字. 4. 改变下列表达式，使计算结果比较精确： （1）11,||1121x x x x --++ （2 ||1x （3） 1cos ,0,|| 1.x x x x -≠ （4）sin sin ,αβαβ-≈ 5. 采用下列各式计算61)时，哪个计算效果最好？并说明理由。 （1） （2 ）99-3 ）6 (3-（4 6. 已知近似数*x 有4位有效数字，求其相对误差限。 上机实验题： 1、利用Taylor 展开公式计算0! k x k x e k ∞ ==∑，编一段小程序，上机用单精度计算x e 的函数 值. 分别取x =1，5，10，20，-1，-5，-10，-15，-20，观察所得结果是否合理，如不合理请分析原因并给出解决方法. 2、已知定积分1 ,0,1,2,,206 n n x I dx n x ==+? ,有如下的递推关系 111 110 0(6)61666 n n n n n x x x x I dx dx I x x n ---+-===++-? ? 可建立两种等价的计算公式 (1) 1016,0.154n n I I I n -= -=取； (2) 12011),0.6n n I nI I n -=-=（取 第四章 数值积分与数值微分 1.确定下列求积公式中的特定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度： 101210121 12120 (1)()()(0)(); (2)()()(0)(); (3)()[(1)2()3()]/3; (4)()[(0)()]/2[(0)()]; h h h h h f x dx A f h A f A f h f x dx A f h A f A f h f x dx f f x f x f x dx h f f h ah f f h -----≈-++≈-++≈-++''≈++-?? ?? 解： 求解求积公式的代数精度时，应根据代数精度的定义，即求积公式对于次数不超过m 的多项式均能准确地成立，但对于m+1次多项式就不准确成立，进行验证性求解。 （1）若101(1) ()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h --≈-++? 令()1f x =，则 1012h A A A -=++ 令()f x x =，则 110A h Ah -=-+ 令2 ()f x x =，则 3 221123 h h A h A -=+ 从而解得 011431313A h A h A h -?=?? ? =?? ?=?? 令3 ()f x x =，则 3()0h h h h f x dx x dx --==? ? 101()(0)()0A f h A f A f h --++= 令4()f x x =，则 455 1012()5 2 ()(0)()3 h h h h f x dx x dx h A f h A f A f h h ---== -++=? ? 故此时， 101()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h --≠-++? 故 101()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h --≈-++? 具有3次代数精度。 （2）若 21012()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h --≈-++? 令()1f x =，则 1014h A A A -=++ 令()f x x =，则 110A h Ah -=-+ 令2 ()f x x =，则 3 2211163 h h A h A -=+ 从而解得 1143 8383A h A h A h -?=-?? ? =?? ?=?? 令3 ()f x x =，则 22322()0h h h h f x dx x dx --==? ? 101()(0)()0A f h A f A f h --++= 第一章典型例题 例3…，精确到10－3的近似值是多少？ 解 精确到10－3＝，即绝对误差限是?＝, 故至少要保留小数点后三位才 可以。ln2? 第二章典型例题 例1 用顺序消去法解线性方程组 解 顺序消元 于是有同解方程组 回代得解 x 3=－1, x 2=1,x 1=1,原线性方程组的解为X ＝(1,1,－1)T 例2 取初始向量X (0)=(0,0,0)T ,用雅可比迭代法求解线性方程组 解 建立迭代格式 ??? ????+--=+--=++-=+++5223122)(2)(1)1(3) (3)(1)1(2 )(3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x (k =1,2,3,…) 第1次迭代,k =0 X (0)＝0，得到X (1)＝(1,3,5)T 第2次迭代，k =1 X (2)＝(5,－3,－3)T 第3次迭代，k =2 X (3)＝(1,1,1)T 第4次迭代，k =3 X (4)＝(1,1,1)T 例4 证明例2的线性方程组，雅可比迭代法收敛，而高斯－赛德尔迭 代法发散。 证明 例2中线性方程组的系数矩阵为 A ＝?? ?? ? ?????-122111221 于是 D ＝?? ?? ??????100010001 D －1 ＝D ?? ?? ? ?????=022001000L ~ ?? ?? ? ?????-=000100220U ~ 雅可比迭代矩阵为 B 0＝?? ?? ? ?????--=??????????-??????????-=+--022101220022101220100010001)U ~L ~(D 1 得到矩阵B 0的特征根03,2,1=λ，根据迭代基本定理4，雅可比迭代法收敛。 高斯－赛德尔迭代矩阵为 G ＝－U ~ )L ~D (1-+ ＝－?? ?? ??????----=??????????-??????????---=??????????-??????????-2003202200001002201200110010001002201220110011 解得特征根为?1=0，?2,3=2。由迭代基本定理4知，高斯－赛德尔迭代发散。 例5 填空选择题： 1. 用高斯列主元消去法解线性方程组 作第1次消元后的第2，3个方程分别为 。 数值分析典型例题 例1 对下列各数写出具有5位有效数字的近似值。236.478, 0.00234711, 9.000024, 9.0000343 10?. 解：按照定义，以上各数具有5位有效数字的近似值分别为：236.478， 0.0023471， 9.0000， 9.0000310?。 注意: *x =9.000024的5位有效数字是9.0000而不是9，因为9 是1位有效数字。 例2 指出下列各数具有几位有效数字。2.0004， -0.00200， -9000， 9310?， 23 10-?。 解：按照定义，以上各数的有效数字位数分别为5， 3， 4，1，1 例3 已测得某物体行程* s 的近似值s=800m ，所需时间* s 的近似值为t=35s ，若已知m s s s t t 5.0||,05.0||**≤-≤-，试求平均速度v 的绝对误差和相对误差限。 解：因为t s v /=，所以)()(1)()()(2t e t s s e t t e t v s e s v v e -=??+??≈ 从 而 05.00469.035 800 5.0351|)(||||)(|1|)(|22≤≈+?≤+≤t e t s s e t v e 同样v v e v e r )()(≈)()()()(t e s e t e v t t v s e v s s v r r r -=??+??= 所以00205.035 05 .08005.0|)(||)(||)(|≈+≤+≤t e s e v e r r r 因此绝对误差限和相对误差限分别为0.05和0.00205。 例4试建立积分20,,1,05 =+=n dx x x I n n 的递推关系，并研究它的误差 传递。 解：151 --= n n I n I ……………………………………………..…...(1) 5ln 6ln 0-=I ，计算出0I 后可通过（1）依次递推计算出1I ,…,20I 。 但是计算0I 时有误差0e ，由此计算出的1I ,…,20I 也有误差，由（1）可 知近似值之间的递推关系为 151 --= n n I n I ……………………………………………….…..(2) （1）-（2）可得 01)5(5e e e n n n -=-=-，由0I 计算n I 时误差被放大了n 5倍。所以（1）不稳 定。 （1） 可以改写为 n I I n n 51 511+ -=- ……………………………………… （3） 如果能先求出20I ，则依次可以求出19I ,…,0I ，计算20I 时有误差，这样根据（3）计算19I ,…,0I 就有误差，误差传播为 n n n e e ?? ? ??-=-511 ，误差依次减少。 例5 用二分法求解方程012)(23=+--=x x x x f 在区间[0,1]内的1个实根，要求有3为有效数字。 解：因为0)1()0( 500 .0105.0102.0||3412≈*? 数值分析试卷1 一、填空题（每空2分，共30分） 1. 近似数231.0=*x 关于真值229.0=x 有____________位有效数字； 2. 设)(x f 可微，求方程)(x f x =根的牛顿迭代格式是_______________________________________________； 3. 对1)(3++=x x x f ，差商=]3,2,1,0[f _________________； =]4,3,2,1,0[f ________； 4. 已知??? ? ??-='-=1223,)3,2(A x ，则=∞||||Ax ________________，=)(1A Cond ______________________ ； 5. 求解线性方程组?????=+=+045 11532121x x x x 的高斯—赛德尔迭代格式为_______________________________________；该迭代格式迭代矩阵的谱半径=)(G ρ_______________； 二、（12分）(1)设LU A =，其中L 为下三角阵，U 为单位上三角阵。已知 ?????? ? ??------=2100121001210012A ，求L ，U 。 (2)设A 为66?矩阵，将A 进行三角分解：LU A =，L 为单位下三角阵，U 为上三角阵，试写出L 中的元素65l 和U 中的元素56u 的计算公式。 三、给定数据表如下 x 0.20.40.60.81 1.2f(x)212523202124 （1） 用三次插值多项式计算f ( 0.7 ) 的近似值； （2） 用二次插值多项式计算f ( 0.95 ) 的近似值： （3） 用分段二次插值计算 f ( x ) )2.12.0(≤≤x 的近似值能保证有几位有 第四版 数值分析习题 第一章绪论 1.设x>0,x的相对误差为δ,求的误差. 2.设x的相对误差为2％,求的相对误差. 3.下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指 出它们是几位有效数字: 4.利用公式求下列各近似值的误差限: 其中均为第3题所给的数. 5.计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R时允许的相对误差限是多少 6.设按递推公式 ( n=1,2,…) 计算到.若取≈(五位有效数字),试问计算将有多大误差 7.求方程的两个根,使它至少具有四位有效数字(≈. 8.当N充分大时,怎样求 9.正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝ 10.设假定g是准确的,而对t的测量有±秒的误差,证明当t增加时S的绝对误差增加,而 相对误差却减小. 11.序列满足递推关系(n=1,2,…),若(三位有效数字),计算到时误差有多大这个计算过程 稳定吗 12.计算,取,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好 13.,求f(30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大若改用另一等价公式 计算,求对数时误差有多大 14.试用消元法解方程组假定只用三位数计算,问结果是否可靠 15.已知三角形面积其中c为弧度,,且测量a ,b ,c的误差分别为证明面积的误差满足 第二章插值法 1.根据定义的范德蒙行列式,令 证明是n次多项式,它的根是,且 . 2.当x= 1 , -1 , 2 时, f(x)= 0 , -3 , 4 ,求f(x)的二次插值多项式. 3. 4.给出cos x,0°≤x ≤90°的函数表,步长h =1′=(1/60)°,若函数表具有5位有效数 字,研究用线性插值求cos x 近似值时的总误差界. 5.设,k=0,1,2,3,求. 6.设为互异节点(j=0,1,…,n),求证: i) ii) 7.设且,求证 8.在上给出的等距节点函数表,若用二次插值求的近似值,要使截断误差不超过,问使用函 数表的步长应取多少 9.若,求及. 10.如果是次多项式,记,证明的阶差分是次多项式,并且为正整数). 11.证明. 12.证明 13.证明 14.若有个不同实根,证明 15.证明阶均差有下列性质: i)若,则; ii)若,则. 16.,求及. 17.证明两点三次埃尔米特插值余项是 并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限. 18.求一个次数不高于4次的多项式,使它满足并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限. 19.试求出一个最高次数不高于4次的函数多项式,以便使它能够满足以下边界条件,,. 20.设,把分为等分,试构造一个台阶形的零次分段插值函数并证明当时,在上一致收敛到. 21.设,在上取,按等距节点求分段线性插值函数,计算各节点间中点处的与的值,并估计误 差. 22.求在上的分段线性插值函数,并估计误差. 23.求在上的分段埃尔米特插值,并估计误差. i) ii) 25.若,是三次样条函数,证明 i); ii)若,式中为插值节点,且,则. 26.编出计算三次样条函数系数及其在插值节点中点的值的程序框图(可用式的表达式). 第三章函数逼近与计算 1.(a)利用区间变换推出区间为的伯恩斯坦多项式. (b)对在上求1次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应的马克劳林级数部分和误 差做比较. 2.求证: (a)当时,. (b)当时,. 3.在次数不超过6的多项式中,求在的最佳一致逼近多项式. 数值分析教案 土建学院 工程力学系 2014年2月 一、课程基本信息 1、课程英文名称：Numerical Analysis 2、课程类别：专业基础课程 3、课程学时：总学时32 4、学分：2 5、先修课程：《高等数学》、《线性代数》、《C 语言》 6、适用专业：工程力学 二、课程的目的与任务： 数值分析是工程力学专业的重要理论基础课程，是现代数学的一个重要分支。其主要任务是介绍进行科学计算的理论方法，即在计算机上对来自科学研究和工程实际中的数学问题进行数值计算和分析的理论和方法。通过本课程的学习，不仅使学生初步掌握数值分析的基本理论知识，而且使学生具备一定的科学计算的能力、分析问题和解决问题的能力，为学习后继课程以及将来从事科学计算、计算机应用和科学研究等工作奠定必要的数学基础。 三、课程的基本要求： 1．掌握数值分析的常用的基本的数值计算方法 2．掌握数值分析的基本理论、分析方法和原理 3．能利用计算机解决科学和工程中的某些数值计算应用问题，增强学生综合运用知识的能力 4．了解科学计算的发展方向和应用前景 四、教学内容、要求及学时分配： (一) 理论教学： 引论（2学时） 第一讲（1-2节） 1．教学内容： 数值分析(计算方法)这门课程的形成背景及主要研究内容、研究方法、主要特点；算法的有关概念及要求；误差的来源、意义、及其有关概念。数值计算中应注意的一些问题。 2．重点难点： 算法设计及其表达法；误差的基本概念。数值计算中应注意的一些问题。3．教学目标： 了解数值分析的基本概念；掌握误差的基本概念：误差、相对误差、误差限、相对误差限、有效数字；理解有效数字与误差的关系。学会选用相对较好的数值计算方法。数值分析典型习题
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