1 1.同方向同频率谐振动的合成
x1=A1cos(ωt+?10)
x2=A2cos(ωt+?20)
x=x1+x2
=A1cos(ωt+?10)+A2cos(ωt+?20)
=(A1cos?10+A2cos?20)cosωt?(A1sin?10+A2sin?20)sinωt 令
A1cos?10+A2cos?20=A cos?0
A1sin?10+A2sin?20=A sin?0
则
x=A cos?0cosωt?A sin?0sinωt
=A cos(ωt+?0)
A=√
(A1cos?10+A2cos?20)2+(A1sin?10+A2sin?20)2
=√
A2
1
+A2
2
+2A1A2cos(?20??10)
tan?0=
A1sin?10+A2sin?20
A1cos?10+A2cos?20
关于两个简谐运动合成的思考 曾骥敏 (能源与环境学院一卡通：213093696) 【摘要】现在，笔者想着重谈谈李萨茹图形。笔者想首先从大一下学期用示波器做的关于振动的实验中谈起…… 【关键词】简谐运动、李萨茹图形、振动 Thought Of Superposition of Two Simple Harmonic Motions Jimmy Zeng (School of Energy& Environment, number:213093696) Abstract: And now, I want to tell something about Lissajous figures. Let me introduce the experiment used by an oscilloscope I have done in the last semester. Key words: Simple Harmonic Motions, Lissajous figures, oscillation
经过一年大学物理的学习，笔者学习了包括力学、声学、光学、电磁学等许多基础的物理学知识，而笔者想在这里提出的自己关于两个简谐运动合成的一些粗略的思考。 首先，笔者想先提出关于前辈们在这方面所做的贡献。 大学物理中，简单的两个简谐运动的合成可以分成两种类型： （1）两个简谐运动的振动方向一致； （2）两个简谐运动的振动方向相互垂直。 而在每一种分类中，又可将其再细分成两种类型： （a）两个简谐运动拥有相同的角速度ω； （b）两个简谐运动的角速度各不相同，分别为ω 1、ω 2 。 让笔者再对这几种分类简单地做一下具体的说明： （1）当两个简谐运动的振动方向一致时，假设： （a）当两者拥有相同的角速度ω时，
第十章 机械振动 一、是非题 1．简谐振动的能量与频率的平方成正比。···········································（）2．两个简谐振动的合振动仍然是一周期性振动。·····································（）3．两个简谐振动的合振动的振幅仅决定于两个分振动的振幅，与其他因素无关。··········（）4．物体作简谐振动，其动能随时间作周期性变化。····································（）6．两个同方向同频率简谐振动的合振动振幅在其相位差为π的奇数倍时取最小值。······（）7．简谐振动是一种变速运动。·····················································（）8．简谐振动的特点是回复力与位移成正比且方向相同。·······························（）10．物体作简谐振动，它的总能量与振幅成正比。······································（）11．两个同方向同频率简谐振动的合振动振幅在其相位差为π的奇数倍时取最小值。······（）12．两个同方向同频率简谐振动的合振动振幅在其相位差为π的奇数倍时取最大值。······（） 二、选择题 1．做简谐振动的物体运动至正方向端点，其位移、速度和加速度为······················（） A ．0,0,0s a υ=== B ．2 0,0,s a A υω ===C ．2 ,0,s A a A υω ===?D ．,,0 s A A a υω=?==2．对于两个谐振动，下列三图中，满足“振幅相同、频率不同、初相位相同”说法的是：·······（ ） A ．a B ．b C ．c D ．以上都不对 3．一质点在竖直方向做简谐振动，设向上为s 轴的正方向，t=0时，质点在A/2处，且向下运动，如果将位移方程写成cos()s A t ω?=+，则初相位?为······························（） A ． 3 π B ． 23 πC ． 6 πD ．3 π? 4．某质点参与15cos(/2)s t cm ππ=?及215cos(/2)s t cm ππ=+两个同方向、同频率的简谐振动，则合振动的振幅为·························································（ ）
简谐振动的合成 1. 两个不同的轻质弹簧分别挂上质量相同的物体1和 2, 若它们的振幅之比A 2 /A 1=2, 周期之比T 2 / T 1=2, 则它们的总振动能量之比E 2 / E 1 是( A ) (A) 1 (B) 1/4 (C) 4/1 (D) 2/1 解:振动能量22 2 22221T A m A m E E E p k πω==+= 即 2 12 1 212T A m E π= 2222222T A m E π= 121222222112222 121222 2 222212 12 2 1=??? ???=???? ???=?==∴T T A A T T A A T A m T A m E E ππ 2.有两个同方向的谐振动分别为X 1=4COS(3t+π/4)cm ， X 2 =3COS(3t －3π/4)cm, 则合振动的振幅为A=1cm, 初周相为φ=π/4. ∵φ2－φ1=－π ∴A=|A 1-A 2|=|4-3|=1cm φ=φ1=π/4 3. 一质点同时参与两个两个同方向, 同频率的谐振动, 已知其中一个分振动的方程为X 1=4COS3t cm, 其合振动的方程为 X=4COS (3t+π/3)cm, 则另一个分振动的振幅为A 2 =4cm , 初位相φ=2π/3. 3 , 0 ,411π ??= ===cm A A 解:根据题意作旋转矢量图
21A A A 及平行四边形中和 4. 一质点同时参与了三个简谐振动, 它们的振动方程分别为X 1=A COS(ω t+π/3), X 2 =A COS (ωt+5π/3), X 3 =A COS(ωt+π), 其合成运动的运动方程为X=0. 解: 作旋转矢量图 已知A 1=A 2=A 3=A, A 3 且 A A A A =+='21 A 合=0 ∴ x = 0 5. 频率为v 1和v 2的两个音叉同时振动时，可以听到拍 音，若v 1＞v 2，则拍的频率是( B ) (A)v 1+v 2 (B)v 1－v 2 (C)(v 1+v 2)/2 (D)(v 1－v 2)/2 O 1 A : 形的对边组成一个正三角 m A A A 4c 12===∴ππ π π ??3 2 3 3 32= + = + =20 )(321=++=∴A A A A 合
一、选择题： 1．3001：把单摆摆球从平衡位置向位移正方向拉开，使摆线与竖直方向成一微小角度θ ，然后由静止放手任其振动，从放手时开始计时。若用余弦函数表示其运动方程，则该单摆振动的初相为 (A) π (B) π/2 (C) 0 (D) θ ［ ］ 2．3002：两个质点各自作简谐振动，它们的振幅相同、周期相同。第一个质点的振动方程为x 1 = A cos(ωt + α)。当第一个质点从相对于其平衡位置的正位移处回到平衡位置时，第二个质点正在最大正位移处。则第二个质点的振动方程为： (A) )π21cos(2++=αωt A x (B) ) π2 1cos(2- +=αωt A x (C) ) π23cos(2- +=αωt A x (D) )cos(2π++=αωt A x ［ ］ 3．3007：一质量为m 的物体挂在劲度系数为k 的轻弹簧下面，振动角频率为ω。若把此弹簧分割成二等份，将物体m 挂在分割后的一根弹簧上，则振动角频率是 (A) 2 ω (B) ω2 (C) 2/ω (D) ω /2 ［ ］ 4．3396：一质点作简谐振动。其运动速度与时间的曲线如图所示。若质点的振动规律 用余弦函数描述，则其初相应为 (A) π/6 (B) 5π/6 (C) -5π/6 (D) -π/6 (E) -2π/3 ［ ］ 5．3552：一个弹簧振子和一个单摆（只考虑小幅度摆动），在地面上的固有振动周期分别为T 1和T 2。将它们拿到月球上去，相应的周期分别为1T '和2T '。则有 (A) 11T T >'且22T T >' (B) 11T T <'且22T T <' (C) 11T T ='且22T T =' (D) 11T T ='且22T T >' ［ ］ 6．5178：一质点沿x 轴作简谐振动，振动方程为 ) 31 2cos(10 42 π+ π?=-t x (SI)。 从t = 0时刻起，到质点位置在x = -2 cm 处，且向x 轴正方向运动的最短时间间隔为 (A) s 8 1 (B) s 6 1 (C) s 4 1 (D) s 3 1 (E) s 2 1 ［ ］ 7．5179：一弹簧振子，重物的质量为m ，弹簧的劲度系数为k ，该振子作振幅为A 的简谐振动。当重物通过平衡位置且向规定的正方向运动时，开始计时。则其振动方程为： (A) )21/(cos π+=t m k A x (B) )21 /cos(π-=t m k A x (C) )π21/(cos + =t k m A x (D) )21/cos(π- =t k m A x (E) t m /k A x cos = ［ ］ 8．5312：一质点在x 轴上作简谐振动，振辐A = 4 cm ，周期T = 2 s ，其平衡位置取作坐标原点。若t = 0时刻质点第一次通过x = -2 cm 处，且向x 轴负方向运动，则质点第二次通过x = -2 cm 处的时刻为 v v 2 1
第9章 振动学基础 复习题 1.已知质点的振动方程为)cos(?ω+=t A x ，当时间4 T t =时 (T 为周期)，质点的振动速度为: （A ）?ωsin A v -= （B ）?ωsin A v = （C ）?ωcos A v = （D ）?ωcos A v -= 2．两个分振动的位相差为2π时，合振动的振幅是： A.A 1+A 2; B.| A 1-A 2| C.在.A 1+A 2和| A 1-A 2|之间 D.无法确定 3．一个做简谐运动的物体，在水平方向运动，振幅为8cm ，周期为0.50s 。t =0时，物体位于离平衡位置4cm 处向正方向运动，则简谐运动方程为 . 4.一质点沿x 轴作简谐振动，振动方程为 )3 2cos(10 42 π π+ ?=-t x m 。从t = 0时刻起， 到质点位置在x = -2 cm 处，且向x 轴正方向运动的最短时间间隔为 . 5．一个简谐振动在t=0时位于离平衡位置6cm 处，速度v =0，振动的周期为2s ，则简谐振动的振动方程为 . 6.一质点作谐振动，周期为T ，当它由平衡位置向 x 轴正方向运动时，从二分之一最大位移处到最大位移处这段路程所需要的时间为 . 7.一个质量为0.20kg 的物体作简谐振动，其振动方程为)2 5cos(6.0π -=t x m ，当振动动 能和势能相等时振动物体的位置在 A ．3.0±m B ．35.0± m C ．42.0±m D ．0 8．某质点参与)4 3cos(41π π+ =t x cm 和)4 3cos(32π π- =t x cm 两个同方向振动的简谐 振动，其合振动的振幅为 9. 某质点参与)2 2cos(101π π+ =t x cm 和)2 2cos(41π π- =t x cm 两个同方向振动的简谐 运动，其合振动的振幅为 ; 10．一个作简谐振动的物体的振动方程为cm t s )3 cos(12π π-=,当此物体由cm s 12-=处 回到平衡位置所需要的最短时间为 。 11.一个质点在一个使它返回平衡位置的力的作用下，它是否一定作简谐运动？ 12.简谐振动的周期由什么确定？与初始条件有关吗？ 14. 两个同方向同频率的简谐振动合成后合振动的振幅由哪些因素决定？ 15.两个同方向不同频率的简谐振动合成后合振动是否为简谐振动？ 教材习题 P/223: 9-1，9-2，9-3，9-4 9-10，9-12，9-18
简谐振动的合成与分解 学号：2901304019 班级：29001020 姓名：李晓林 在自然界和工程技术中，我们所遇到的振动大多不是简谐振动，而是复杂的振动，处理这类问题，往往把复杂振动看成由一系列不同性质（频率、方向等）的间谐振动组合而成，也就是把复杂振动分解为一系列不同性质（频率、方向等）的间谐振动。 一、两个同方向同频率简谐运动的合成 2 1x x x +=22112 211cos cos sin sin tan ?????A A A A ++= ) cos(212212221??-++=A A A A A ) cos(?ω+=t A x ) cos(111?ω+=t A x ) cos(222?ω+=t A x
讨论两个特例 (1)两个振动同相，则A=A1+A2。如图一 (2)两个振动反相，则A=|A1-A2|。如图二 图一 图二 上述结果说明两个振动的相位差对合振动起着重要作用。 二、两个同方向不同频率简谐运动的合成 频率较大而频率之差很小的两个同方向简谐运动的合成，其合振动的振幅时而加强时而减弱的现象叫拍。
)cos(1111φω+=t A x ， )φt (ωA x 2222cos += 只考虑A1=A2的情况 )2 cos()2cos 2(2 1211ωωωωω++-=t t A x 振幅部分（振幅随时间变化） 合振动频率（振动部分） 振动角频率：2/)(21ωωω+=；振幅：t A A 2cos 2121ωω-=，A max =2A ，A min =0； 拍频（振幅变化频率）：12ωωω-=. 下图例： 三、两个相互垂直的同频率简谐运动的合成 )cos(11?ω+=t A x )cos(22?ω+=t A y 质点运动方程（椭圆方程） )(sin )cos(21221221222212????-=--+A A xy A y A x 情况： 注：图中A1=A2=1， ω1=10，ω2=9。
问题：同方向简谐振动的合成，设一物体同时参与了在同一直线上的两个简谐振动： () ()20221011cos cos αωαω+=+=t A x t A x 讨论同频率，不同初相时简谐振动的合成。分下面三种情况： ①同频率，同初相； ②同频率，不同初相； ③拍现象。 物理解答： 分析：设质点参与同方向同频率的两个简谐振动： () ()20221011cos cos αωαω+=+=t A x t A x 合位移： ()() ()αωαωαω+=+++=+=t A t A t A x x x 020210121cos cos cos 结论：同方向同频率的两个简谐振动合成后仍为一简谐振动，其频率和分振 动频率相同。 → A 1 、→ A 2 均以频率0ω旋转，→ A 1、→ A 2的夹角不变，因此合矢量 → A 也以0ω旋转，平行四边形的形状不变，如右图。 因此合位移 ：()αω+=t A x 0cos 中： 振幅 )cos(212212 221αα-++=A A A A A 初相位 2 2112 211cos cos sin sin tan αααααA A A A ++= 解：①同频率，同初相； ,2,1,0 212=±=-n n παα 此时 max 2112212 221)cos(2A A A A A A A A =+=-++=αα 振动加强 x o 2A 1 αα 1 A 2A A 2 α
两个同方向、同频率简谐运动同相合成时，其合振动振幅最大，振幅为两个分振动振幅之和，初相位与分振动初相位相同，合成图像如下图。 ②同频率，不同初相（这里考虑反相时）； ,2,1,0 )12(12=+±=-n n παα 此时 min 2112212 2 21 )cos(2A A A A A A A A =-=-++=αα 振动减弱 两个同方向、同频率简谐运动反相合成时，其合振动振幅最小，振幅为两个 分振动振幅之差的绝对值，初相位与振幅大的分振动的初相位相同，合成图像如下图。 分析：同方向不同频率简谐振动的合成 t A x t A x 002211cos ,cos ωω== t t A t A t A x x x 2 ) (cos 2 ) (cos 2cos cos 00000012122121ωωωωωω+?-=+=+= 令 ()2 cos 22 ) (cos 20 0001212ωωωωωω-= -=调调调 ＝t A t A A o x t 1x 2x x o x t 1x 2x x