第一课时 空间向量与平行、垂直关系
[提出问题]
1．如图(1)所示，直线l ∥m ，在直线l 上取两点A ，B ，在直线m 上取两点C ，D . 2．如图(2)所示，直线l ⊥平面α，直线l ∥m ，在直线m 上取向量n .
问题1：AB ―→与直线l 有何关系？CD ―→
与直线l 有何关系？ 提示：AB ―→在直线l 上，CD ―→
与直线l 平行． 问题2：图(2)中，n 与直线l 平行吗？ 提示：平行．
问题3：l ⊥α，向量n 也垂直于α吗？ 提示：垂直． [导入新知] 1．直线的方向向量
直线的方向向量是指和这条直线平行或共线的向量． 2．平面的法向量
直线l ⊥α，取直线l 的方向向量a ，则a 叫做平面α的法向量． [化解疑难]
平面的法向量是指所在的直线与平面垂直的向量，显然一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量.
[提出问题]
由直线上一点和直线的方向向量可以确定直线的位置；由平面上一点和平面的法向量也可以确定平面的位置．
问题1：若直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为u ，当a ∥u 时，l 与α有什么关系？若a ⊥u 呢？
提示：a∥u时，l⊥α；a⊥u时，l∥α或l?α.
问题2：若u，v分别是平面α，β的法向量，则u∥v，u⊥v时，α，β分别是什么位置关系？
提示：u∥v时，α∥β；u⊥v时，α⊥β.
[导入新知]
1．线线平行
设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，则l∥m?a∥b?a ＝λb?a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．
2．线面平行
设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，则l∥α?a⊥u?a·u＝0?a1a2＋b1b2＋c1c2＝0.
3．面面平行
设平面α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，则α∥β?u∥v?u＝λv?a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．
[化解疑难]
平行关系的判断
(1)若证线线平行，则利用方向向量平行来证明；
(2)若证线面平行，则证直线的方向向量与平面的法向量垂直；
(3)若证面面平行，则证两平面的法向量平行.
[提出问题]
问题1：直线的方向向量与一平面的法向量平行，则该直线与平面有什么关系？
提示：垂直．
问题2：若两平面的法向量垂直，则两平面垂直吗？
提示：垂直．
[导入新知]
1．线线垂直
设直线l的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b＝(b1，b2，b3)，则l ⊥m?a·b＝0?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0.
2．线面垂直
设直线l的方向向量是a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量是u＝(a2，b2，c2)，则l⊥α?a∥u?a＝λu?a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)．
3．面面垂直
若平面α的法向量u ＝(a 1，b 1，c 1)，平面β的法向量v ＝(a 2，b 2，c 2)，则α⊥β?u ⊥v ?u ·v ＝0?a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0.
[化解疑难]
垂直关系的证明
(1)若证线线垂直，则证直线的方向向量垂直；
(2)若证线面垂直，则证直线的方向向量与平面的法向量平行； (3)若证面面垂直，则证两平面的法向量垂直.
[例1] ，－2,0)，求平面α的一个法向量．
[解] 因为A (1,2,3)，B (2,0，－1)，C (3，－2,0)， 所以AB ―→＝(1，－2，－4)，AC ―→
＝(2，－4，－3)． 设平面α的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则有???
??
n ·AB ―→＝0，
n ·AC ―→＝0，
即?
??
??
x －2y －4z ＝0，
2x －4y －3z ＝0，
得z ＝0，x ＝2y .令y ＝1，则x ＝2， 所以平面α的一个法向量为n ＝(2,1,0)． [类题通法]
利用待定系数法求法向量的解题步骤
[活学活用]
四边形ABCD 是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥平面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝2，AD ＝1.在如图所示的坐标系Axyz 中，分别求平面SAB 和平面SCD 的一个法向量．
解：A (0,0,0)，D (1,0,0)，C (2,2,0)，S (0,0,2)． ∵AD ⊥平面SAB ，
∴AD ―→
＝(1,0,0)是平面SAB 的一个法向量． 设平面SCD 的法向量为n ＝(1，y ，z )， 则n ·DC ―→
＝(1，y ，z )·(1,2,0)＝1＋2y ＝0， ∴y ＝－1
2
.
又∵n ·DS ―→
＝(1，y ，z )·(－1,0,2)＝－1＋2z ＝0， ∴z ＝12
.
∴n ＝?
????1，－12，12即为平面SCD 的一个法向量.
[例2] 111111 (1)FC 1∥平面ADE ； (2)平面ADE ∥平面B 1C 1F .
[证明] 如图所示建立空间直角坐标系Dxyz ，
则有D (0,0,0)，A (2,0,0)，C (0,2,0)，C 1(0,2,2)，E (2,2,1)，F (0,0,1)，B 1(2,2,2)， 所以FC 1―→
＝(0,2,1)，
DA ―→＝(2,0,0)，AE ―→
＝(0,2,1)．
(1)设n 1＝(x 1，y 1，z 1)是平面ADE 的法向量， 则n 1⊥DA ―→，n 1⊥AE ―→
， 即???
??
n 1·DA ―→＝2x 1＝0，
n 1·AE ―→＝2y 1＋z 1＝0，得?
??
??
x 1＝0，
z 1＝－2y 1.
令z 1＝2，则y 1＝－1，
所以n 1＝(0，－1,2)． 因为FC 1―→
·n 1＝－2＋2＝0， 所以FC 1―→
⊥n 1. 又因为FC 1?平面ADE ， 所以FC 1∥平面ADE . (2)因为C 1B 1―→
＝(2,0,0)，
设n 2＝(x 2，y 2，z 2)是平面B 1C 1F 的一个法向量． 由n 2⊥FC 1―→，n 2⊥C 1B 1―→
，得 ???
??
n 2·FC 1―→＝2y 2＋z 2＝0，n 2·C 1B 1―→＝2x 2＝0，得?
??
??
x 2＝0，
z 2＝－2y 2.
令z 2＝2，得y 2＝－1， 所以n 2＝(0，－1,2)． 因为n 1＝n 2，
所以平面ADE ∥平面B 1C 1F . [类题通法]
利用向量法证明几何中的平行问题可以通过两条途径实现
(1)利用三角形法则和平面向量基本定理实现向量间的相互转化，得到向量的共线关系； (2)通过建立空间直角坐标系，借助直线的方向向量和平面的法向量进行平行关系的证明．
[活学活用]
在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝4，AD ＝3，AA 1＝2，P ，Q ，R ，S 分别是AA 1，D 1C 1，AB ，
CC 1的中点．
求证：PQ ∥RS .
证明：法一：以点D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz ，
则P (3,0,1)，Q (0,2,2)，R (3,2,0)，S (0,4,1)， PQ ―→＝(－3,2,1)，RS ―→
＝(－3,2,1)，
∴PQ ―→＝RS ―→，∴PQ ―→∥RS ―→
，∴PQ ∥RS . 法二：RS ―→＝RC ―→＋CS ―→＝12DC ―→－DA ―→＋12DD 1―→，
PQ ―→＝PA 1―→＋A 1Q ―→＝12DD 1―→＋12DC ―→－DA ―→
，
∴RS ―→＝PQ ―→，∴RS ―→∥PQ ―→
，∴RS ∥PQ .
[例3] 如图，在四棱锥E -ABCD 中，AB ⊥平面BCE ，CD ⊥平面BCE ，
AB ＝BC ＝CE ＝2CD ＝2，∠BCE ＝120°.
求证：平面ADE ⊥平面ABE . [证明] 取BE 的中点O ，连接OC ， 则OC ⊥EB ， 又∵AB ⊥平面BCE ，
∴以点O 为原点建立空间直角坐标系Oxyz ，如图所示． 则由已知条件有C (1,0,0)，B (0，3，0)，E (0，－3，0)，
D (1,0,1)，A (0，3，2)．
设平面ADE 的法向量为n ＝(a ，b ，c )，
则n ·EA ―→
＝(a ，b ，c )·(0,23，2)＝23b ＋2c ＝0，
n ·DA ―→
＝(a ，b ，c )·(－1，3，1)＝－a ＋3b ＋c ＝0.
令b ＝1，则a ＝0，c ＝－3， ∴n ＝(0,1，－3)． 又∵AB ⊥平面BCE ， ∴AB ⊥OC ，∴OC ⊥平面ABE ，
∴平面ABE 的法向量可取为m ＝(1,0,0)． ∵n ·m ＝(0,1，－3)·(1,0,0)＝0， ∴n ⊥m ，
∴平面ADE ⊥平面ABE . [类题通法]
(1)用向量法判定线面垂直，只需直线的方向向量与平面的法向量平行，或直线的方向向量与平面内两相交的直线的方向向量垂直．
(2)用向量法判定两个平面垂直，只需求出这两个平面的法向量，再看它们的数量积是
否为0.
[活学活用]
在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为BB 1，D 1B 1的中点，求证：EF ⊥平面B 1AC .
证明：设正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系
Dxyz ，则A (2,0,0)，C (0,2,0)，B 1(2,2,2)，E (2,2,1)，F (1,1,2)．
法一：EF ―→
＝(－1，－1,1)， AB 1―→
＝(0,2,2)， AC ―→
＝(－2,2,0)，
∴EF ―→·AB 1―→
＝(－1，－1,1)·(0,2,2)＝0， EF ―→·AC ―→
＝(－1，－1,1)·(－2,2,0)＝0， ∴EF ⊥AB 1，EF ⊥AC ， 又AB 1∩AC ＝A ， ∴EF ⊥平面B 1AC .
法二：设平面B 1AC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )． 又AB 1―→＝(0,2,2)，AC ―→
＝(－2,2,0)， 则???
??
n ⊥AB 1―→，
n ⊥AC ―→
????
??
n ·AB 1―→＝2y ＋2z ＝0，
n ·AC ―→＝－2x ＋2y ＝0.
令x ＝1，可得平面B 1AC 的一个法向量为n ＝(1,1，－1)． 又∵EF ―→
＝－n ， ∴EF ―→
∥n ， ∴EF ⊥平面B 1AC .
6.空间中平行与垂直关系的探索性问题
[典例] (12分)在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 是棱BC 的中点，试在棱CC 1上求一点P ，使得平面A 1B 1P ⊥平面C 1DE .
[解题流程]
[活学活用]
如图，在底面为直角梯形的四棱锥P -ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，PD ⊥平面ABCD ，
AD ＝1，AB ＝3，BC ＝4.
(1)求证：BD ⊥PC ；
(2)设点E 在棱PC 上，PE ―→＝λPC ―→，若DE ∥平面PAB ，求λ的
值．
解：如图，在平面ABCD 内过点D 作直线DF ∥AB ，交BC 于点F ，以D 为坐标原点，DA ，
DF ，DP 所
在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系Dxyz ， 则A (1,0,0)，B (1，3，0)，D (0，0,0)，C (－3，3，0)． (1)证明：设PD ＝a ，则P (0,0，a )，BD ―→
＝(－1，－3，0)， PC ―→＝(－3，3，－a )，∵BD ―→·PC ―→
＝3－3＝0，∴BD ⊥PC . (2)由题意知，AB ―→＝(0，3，0)，DP ―→
＝(0,0，a )， PA ―→＝(1,0，－a )，PC ―→
＝(－3，3，－a )， ∵PE ―→＝λPC ―→，∴PE ―→
＝(－3λ，3λ，－a λ)， DE ―→＝DP ―→＋PE ―→
＝(0,0，a )＋(－3λ，3λ，－a λ) ＝(－3λ，3λ，a －a λ)．
设n ＝(x ，y ，z )为平面PAB 的法向量， 则???
??
AB ―→·n ＝0， PA ―→·n ＝0，
即??
?
3y ＝0，
x －az ＝0.
令z ＝1，得x ＝a ，∴n ＝(a,0,1)． ∵DE ∥平面PAB ，∴DE ―→
·n ＝0， ∴－3a λ＋a －a λ＝0，即a (1－4λ)＝0. ∵a ≠0，∴λ＝1
4.
[随堂即时演练]
1．若两个不同平面α，β的法向量分别为u ＝(1,2，－1)，v ＝(－3，－6,3)，则( ) A ．α∥β B ．α⊥β C ．α，β相交但不垂直
D ．以上均不正确
解析：选A ∵v ＝－3u ，∴α∥β.
2．已知AB ―→＝(1,5，－2)，BC ―→＝(3,1，z )，若AB ―→⊥BC ―→，BP ―→
＝(x －1，y ，－3)，且BP ―→⊥平面ABC ，则BP ―→
等于( )
A.? ????337，－157，4
B.? ????337，－157，－3
C.?
??
??407，－157，4 D.?
??
?
?407，157，－3 解析：选B 由AB ―→·BC ―→
＝0得3＋5－2z ＝0， ∴z ＝4.
又∵BP ―→
⊥平面ABC ， ∴???
??
BP ―→·AB ―→＝0， BP ―→·BC ―→＝0，即????
?
x －1＋5y ＋6＝0，3x －3＋y －12＝0，
解得?????
x ＝407，y ＝－15
7
.
∴BP ―→＝? ??
??337，－157，－3.
3．已知直线l 的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为? ??
??1，12，2，且l ∥α，则m
＝________.
解析：∵l ∥α，∴l 的方向向量与α的法向量垂直． ∴(2，m,1)·? ????1，12，2＝2＋12m ＋2＝0. 解得m ＝－8. 答案：－8 4．下列命题中：
①若u ，v 分别是两个不同的平面α，β的法向量，则u ∥v ?α∥β； ②若u ，v 分别是平面α，β的法向量，则α∥β?u ∥v ； ③若u 是平面α的法向量且向量a 与α共面，则u ·a ＝0； ④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直． 其中正确命题的序号是________． 解析：①正确；②正确；
③中，∵u ⊥α，a 所在直线与平面α平行或在平面α内，∴u ⊥a ，∴u ·a ＝0，③正确；④正确．
答案：①②③④
5.如图，已知PA ⊥矩形ABCD 所在的平面，M ，N 分别是AB ，PC 的中
点．
(1)指出直线MN 的一个以A 为起点的方向向量； (2)若∠PDA ＝45°，求证MN ―→
为平面PCD 的一个法向量． 解：(1)取PD 的中点E ，连接NE ，AE ， ∵N 是PC 的中点，
∴NE 綊1
2
DC .
又∵DC 綊AB ，AM ＝1
2
AB ，
∴AM 綊1
2
CD ，∴NE 綊AM ，
∴四边形AMNE 是平行四边形，∴MN ∥AE . ∴AE ―→
为直线MN 的一个以A 为起点的方向向量． (2)证明：在Rt△PAD 中，∠PDA ＝45°， ∴AP ＝AD ，∴AE ⊥PD . 又∵MN ∥AE ，∴MN ⊥PD . ∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥CD . 又∵CD ⊥AD ，∴CD ⊥平面PAD . ∵AE ?平面PAD ，∴CD ⊥AE . 又∵MN ∥AE ， ∴CD ⊥MN ， ∴MN ⊥平面PCD .
∴MN ―→
为平面PCD 的一个法向量．
[课时达标检测]
一、选择题
1．若n ＝(2，－3,1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是( )
A ．(0，－3,1)
B ．(2,0,1)
C ．(－2，－3,1)
D ．(－2,3，－1)
解析：选D 问题即求与n 共线的一个向量， 即n ＝(2，－3，1)＝－(－2,3，－1)．
2．已知直线l 与平面α垂直，直线l 的一个方向向量为u ＝(1，－3，z )，向量v ＝(3，－2,1)与平面α平行，则z 等于( )
A ．3
B ．6
C ．－9
D ．9
解析：选C ∵l ⊥α，v 与平面α平行， ∴u ⊥v ，即u ·v ＝0，
∴1×3＋(－3)×(－2)＋z ×1＝0， ∴z ＝－9.
3．已知A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)，则下列向量中能作为平面ABC 的一个法向量的是( )
A ．(1,1，－1)
B ．(1，－1,1)
C ．(－1,1,1)
D ．(－1，－1，－1)
解析：选D AB ―→＝(－1,1,0)，AC ―→
＝(－1,0,1)．
设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有?
??
??
－x ＋y ＝0，
－x ＋z ＝0，
取x ＝－1，则y ＝－1，z ＝－1.
故平面ABC 的一个法向量是(－1，－1，－1)．
4．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，若E 为A 1C 1的中点，则直线CE 垂直于( ) A ．AC B ．BD C ．A 1D D ．A 1A
解析：选B 建立如图所示的空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，
则A (1,0,0)，B (1,1,0)，C (0,1,0)，D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，
C 1(0,1,1)，E ? ??
??12，1
2
，1.
∴CE ―→＝? ????1
2
，－12，1，
AC ―→＝(－1,1,0)，BD ―→
＝(－1，－1,0)， A 1D ―→＝(－1,0，－1)，A 1A ―→
＝(0,0，－1)．
∵CE ―→·BD ―→＝(－1)×12＋(－1)×? ??
??－12＋0×1＝0，∴CE ⊥BD . 5．如图，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点M ，P ，Q 分别为棱AB ，CD ，BC 的中点，平行六面体的各棱长均相等．
给出下列结论： ①A 1M ∥D 1P ； ②A 1M ∥B 1Q ； ③A 1M ∥平面DCC 1D 1； ④A 1M ∥平面D 1PQB 1.
这四个结论中正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3
D ．4
解析：选C ∵A 1M ―→＝A 1A ―→＋AM ―→＝A 1A ―→＋12
AB ―→
，
D 1P ―→＝D 1D ―→＋DP ―→＝A 1A ―→＋12
AB ―→
，
∴A 1M ―→∥D 1P ―→，从而A 1M ∥D 1P ，可得①③④正确． 又因为B 1Q 与D 1P 不平行，故②不正确． 二、填空题
6. 已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB ―→＝(2，－1，－4)，AD ―→＝(4,2,0)，AP ―→
＝(－1,2，－1)．对于结论：
①AP ⊥AB ； ②AP ⊥AD ；
③AP ―→
是平面ABCD 的法向量； ④AP ―→∥BD ―→.
其中正确的是________(填序号)．
解析：由于AP ―→·AB ―→＝(－1)×2＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝0，AP ―→·AD ―→
＝4×(－1)＋2×2＋0×(－1)＝0，
所以①②③正确． 答案：①②③
7．在直角坐标系Oxyz 中，已知点P (2cos x ＋1，2cos 2x ＋2,0)和点Q (cos x ，－1,3)，其中x ∈[0，π]，若直线OP 与直线OQ 垂直，则x 的值为________．
解析：由OP ⊥OQ ，得OP ―→·OQ ―→
＝0.
即(2cos x ＋1)·cos x ＋(2cos 2x ＋2)·(－1)＝0. ∴cos x ＝0或cos x ＝1
2.
∵x ∈[0，π]，∴x ＝π2或x ＝π
3.
答案：π2或π
3
8．如图所示，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，底面是以∠ABC 为直角的等腰三角形，AC ＝2a ，
BB 1＝3a ，D 是A 1C 1的中点，点E 在棱AA 1上，要使CE ⊥平面B 1DE ，则AE ＝________.
解析：建立如图所示的坐标系，
则B 1(0,0,3a )，D
2a 2，2a
2
，3a ， C (0，2a,0)．
设E (2a,0，z )(0≤z ≤3a )， 则CE ―→
＝()2a ，－2a ，z ， B 1E ―→
＝(2a,0，z －3a )．
由题意得2a 2
＋z 2
－3az ＝0，解得z ＝a 或2a . 故AE ＝a 或2a . 答案：a 或2a 三、解答题
9.如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，
PD ＝DC ，E 为PC 的中点，EF ⊥BP 于点F .求证：
(1)PA ∥平面EDB ； (2)PB ⊥平面EFD .
证明：以D 为坐标原点，DA ，DC ，DP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐
标系Dxyz ，如图，设DC ＝PD ＝1，则P (0,0,1)，A (1,0,0)，D (0,0,0)，
B (1,1,0)，E ?
??
??0，12，12.
∴PB ―→＝(1,1，－1)，DE ―→＝? ????0，12，12，EB ―→＝? ????1，1
2，－12，
设F (x ，y ，z )，则PF ―→
＝(x ，y ，z －1)， EF ―→＝? ?
???x ，y －12，z －12.
∵EF ―→⊥PB ―→
，
∴x ＋? ????y －12－? ??
??z －12＝0，即x ＋y －z ＝0.① 又∵PF ―→∥PB ―→，可设PF ―→＝λPB ―→， ∴x ＝λ，y ＝λ，z －1＝－λ.② 由①②可知，x ＝13，y ＝13，z ＝2
3，
∴EF ―→＝? ????1
3
，－16，16.
(1)设n 1＝(x 1，y 1，z 1)为平面EDB 的一个法向量，则有 ???
??
n 1·DE ―→＝0，
n 1·EB ―→＝0，
即????
?
12y 1＋1
2
z 1＝0，x 1
＋12y 1
－1
2z 1
＝0，
∴?
??
??
x 1＝z 1，y 1＝－z 1.
取z 1＝－1，则n 1＝(－1,1，－1)． ∵PA ―→＝(1,0，－1)，∴PA ―→
·n 1＝0. 又∵PA ?平面EDB ，∴PA ∥平面EDB .
(2)设n 2＝(x 2，y 2，z 2)为平面EFD 的一个法向量，则有???
??
n 2·EF ―→＝0，
n 2·DE ―→＝0，
即
????
?
13x 2－16y 2＋1
6
z 2＝0，12y 2
＋12z 2
＝0，
∴?
??
??
x 2＝－z 2，y 2＝－z 2.
取z 2＝1，则n 2＝(－1，－1,1)． ∵PB ―→
∥n 2，∴PB ⊥平面EFD .
10.如图所示，直棱柱ABCD -A
1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是直角梯形，∠
BAD ＝∠ADC ＝90°，AB ＝2AD ＝2CD ＝2.
(1)求证：AC ⊥平面BB 1C 1C .
(2)在A 1B 1上是否存在一点P ，使得DP 与平面BCB 1和平面ACB 1都平行？证明你的结论． 解：(1)证明：以点A 为坐标原点，AD ，AB ，AA 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，
∵AD ＝CD ＝1，AB ＝2， ∴D (1,0,0)，B (0,2,0)．
设AA 1＝a ，则A 1(0,0，a )，B 1(0,2，a )，C 1(1,1，a )，C (1,1,0)． AC ―→＝(1,1,0)，BC ―→＝(1，－1,0)，BB 1―→
＝(0,0，a )， ∵AC ―→·BC ―→＝1－1＋0＝0，AC ―→·BB 1―→
＝0＋0＋0＝0， ∴AC ⊥BC ，AC ⊥BB 1， 又∵BC ∩BB 1＝B ， ∴AC ⊥平面BB 1C 1C .
(2)点P 存在．证明如下：假设存在一点P (0，y ，a )， 则DP ―→＝(－1，y ，a )．由(1)知，平面BCB 1的法向量为AC ―→. ∵DP ―→·AC ―→
＝(－1，y ，a )·(1,1,0)＝－1＋y ， 又∵DP ∥平面BCB 1， ∴DP ―→·AC ―→
＝0，∴y ＝1.
设n ＝(x ，y ，z )为平面ACB 1的一个法向量， ∴n ·AC ―→＝0，n ·CB 1―→
＝0. 又∵CB 1―→
＝(－1,1，a )，
∴?
??
??
x ＋y ＝0，y －x ＋az ＝0，
∴n 为? ??
??－y ，y ，－2y a .
∵DP ∥平面ACB 1，∴DP ―→
⊥n ，
∴DP ―→·n ＝(－1)×(－y )＋y ·y ＋a ·? ??
??－2y a ＝y 2
－y ＝0，
∴y ＝0(舍去)或y ＝1，这与DP ―→·AC ―→
＝0时相一致，故假设成立． ∴存在一点P ，且P 为A 1B 1中点，使DP 与平面BCB 1和平面ACB 1都平行．