我从数学中感受到的美
The Beauty of Mathematic in My Eyes
姓名：王若珲
学院：自动化
学号：09211897
摘要：从公元前~~世纪开始，人类就从未停止对数学不断探索的脚步，数学一直是一门充满未知和神秘的学科，千百年来吸引着无数的学者们向往之寻觅之。数学一直等待着智慧的人们去发现他所蕴含着的无尽的让人着迷的美丽。和谐是数学的灵魂，奇异则是数学无尽延伸的枝叶上晶莹的珍珠。和谐性和奇异性也因此成为数学区别于其他学科特有的魅力。Summary : The discovery of human beings in the field of mathematic has never been stopped From *BC , Mathematic is a subject which full of mysteries and fantasy attracted countless experts to solve them or just to find the variety of treasures in it . Mathematic still covers endless mysteries waiting for intelligent people to explore. Harmony is the soul of mathematic, with the beautiful pearls on the leaves of mathematic which called fantasy. These two kinds of characters just have been as the significant and special distinctions with other subjects.
关键词：数学、美学、和谐性、奇异性
Key words: Mathematic Aesthetics Harmony Fantasy
数学历来以其高度的抽象性、严密的逻辑性被人们所认识，却很少有人把它与美学联系起来，似乎数学与美学毫不相干。其实，这是对数学本质的一种误解，是对数学与美学的关系以及数学中的美缺乏真正的了解和认识。
数学中存在许多美学的特性，如黄金分割的和谐美、几何图形的对称美、数学公式的简洁美、数学规律的统一美、数学图形的奇异美……可以说，数学中充满着美的因素，他的美是千姿百态、丰富多彩的, 在充满神秘的数学世界，到处闪现着美的光辉。
数学的美分为和谐美和奇异美，早在二千年多前,古希腊哲学家、数学家毕达哥拉斯就极度赞赏整数的和谐美，圆和球体的对称美，称宇宙是数的和谐体系。和谐性是美的最基本、最普遍的一个特征，任何美的东西无一不给人以和谐之感。
数学的统一美
统一性反映的是审美对象在形式或内容上的某种共同性、关联性或一致性,它能给人一种整体和谐的美感。数学对象的统一性通常表现为数学概念、规律、方法的统一,数学理论的统一,数学和其它科学的统一。
一切客观事物都是相互联系的，因而,作为反映客观事物的数学概念、数学定理、数学公式、数学法则也是互相联系的，在一定条件下可处于一个统一体之中。例如，运算、变换、函数分别是代数、几何、分析这三个数学分支中的重要概念,在集合论中,便可统一于映射的概念。又如代数中的算术平均——几何平均定理、加权平均定
理、幂平均定理、加权幂平均定理等著名不等式,都可以统一于一元凹、凸函数的琴
森不等式。
在数学方法上，同样渗透着统一性的美。例如,从结构上分析，解析法、三角法、复数法、向量法和图解等具体方法,都可以统一于数形结合法。数学中的公理化方法，使零散的数学知识用逻辑的链条串联起来,形成完整的知识体系,在本质上体现了部
分和整体之间的和谐统一。
在数学发现的历史过程中，一直存在着分化和整体化两种趋势。数学理论的统一性主要表现在它的整体性趋势。欧几里德的《几何原本》,把一些空间性质简化为点、线、面、体几个抽象概念和五条公设及五条公理,并由此导致出一套雅致的演绎理论
体系,显示出高度的统一性。布尔基学派的《数学原本》,用结构的思想和语言来重新整理各个数学分支,在本质上揭示数学的内在联系,使之成为一个有机整体,在数学的
高度统一性上给人以美的启迪。
数学和其它科学的相互渗透，正如马克思所说的,一门科学只有当它成功的运用
数学时,才算达到了真正完善的地步。力学的数学化使牛顿建立了经典力学体系。科
学的数学化使物理学与数学趋于统一。建立在相对论和量子论两大基础理论上的物理学,其各个分支都离不开数学方法的应用,它们的理论表述也采用了数学的形式。化学的数学化加速了化学这门实验性很强的学科向理论科学和精确科学过渡。生物数学化使生物学日益摆脱对生命过程进行现象描述的阶段,从定性研究转向定量研究,这个
数学化的方向,必将同物理学、化学的数学化方向一样,把人类对生命世界的认识提高到一个崭新的水平。不仅自然科学普遍数学化了,而且数学方法也进入了经济学、法学、人口学、人种学、史学、考古学、语言学、文学等社会科学领域,日益显示出它
的效用。
数学的对称美
对称性是和谐性的一种特殊的表现。它反映的是审美对象形态或结构的均衡性、匀称性或变化的周期性、节律性。在现实世界中，形式上和内容上的对称性，广泛地存在于客观事物之中，既有轴对称、中心对称、平面对称等空间对称，又有周期、节奏和旋律的时间对称，还有与时空坐标无关的更为复杂的对称。数学的对称美，实质上是自然物的和谐性在量和量的关系上最直观的表现。
如代数学中的共轭根式a+√b与a-√b，两个根式的积与和都为有理式；对称多项式：把其中任何两个元互换，所得的结果都与原式相同，如x^2＋y^2＋z^2+xy+yz+zx；对称矩阵、厄米特矩阵等。再如几何学中的轴对称、中心对称、平面对称；常义对称包括同构、同态、映射、反演、互补、互逆、相似、全等等，泛对称包括数学对象的系统性、守恒性、不变性、周期性、对偶性、等价性和匀称等。这些都是数学对称美的体现，充满了和谐的韵律。
数学的简洁美
简洁、明快才能给人以和谐之感,繁杂晦涩就谈不上和谐一致。因此,简洁性既是和谐性的一种表现，又是和谐性的基础。数学美的简洁性，并非指数学对象本身简单、浅显,而是指数学对象由尽可能少的要素通过尽可能简捷、经济的方式组成,并且蕴含着丰富和深刻的内容。数学的简洁美,主要表现在数学的逻辑结构、数学的方法和表达形式的简洁性。
数学结构的简洁美，一是理论前提的简单性,独立的概念简单明确,以最少的公理来建立理论；二是理论表述的简单性，以最简单的方式抓住现象的本质，定理和公式简单明晰。几何中完美的图形——圆，内含的周长与半径有着异常简洁和谐的关系C ＝2πR，一个传奇的数"π"把它们紧紧相连。
狄德罗指出：“数学中所谓美的问题是指一个难于解决的问题,所谓美的解答则是指一个困难、复杂问题的简单回答”。这就是说,一个美的数学方法或数学证明,一般都包含着简单性的涵义。世间的多面体有多少？没有人能说清楚，但它们的顶点数V、棱数E、面数F，都必须服从欧拉给出的公式：V－E＋F＝2，一个如此简单的公式，概括了无数种多面体的共同特性，堪称“简洁美”的典范。
数学的形态美,是数学美的外部表现形态,是数学定理和数学公式(或表达式)的
外在结构中呈现出来的美。形态美的主要特征,在于它的简洁性。牛顿用F=ma概括了力、质量、加速度之间的定量关系;爱因斯坦用E=mc^2 揭示了自然界的质量和能量的转换关系。这里F=ma、E=mc^2就外在形式而论,都是非常简洁的。又如，七巧板拼图是小学数学课常采用的内容，用七块板可以拼成一个最简单的正方形，也可以拼出千变万化的复杂图案：如人形、鸟兽、花草、房屋等，在简单之中，七巧板蕴含着丰富的智慧。
数学的奇异美
奇异性是数学美的又一重要特征，它反映了客观事物中非常规现象的一个侧面。弗兰西斯·培根曾说：“没有一个极美的东西不是在匀称中有着某种奇异。”这句话的意思是：奇异存在于美的事物之中，奇异是相对于我们所熟悉的事物而言。一个事物十分工整对称、十分简洁或高度统一，都给人一种奇异感，一个新事物、新规律、新现象的被揭示，总是使人们感到一种带有奇异的美感，令人产生一种惊奇的愉快。
1、突变性
连续曲线的中断、函数的极值点、曲线的尖点等，这些都是数学世界中的突变现象。突变是一种突发性变化，它来之突然，变化剧烈，出人意料，因而能给人以新颖奇特之感。数学家们运用拓扑学、奇点理论和结构稳定性等数学工具，研究自然界和社会一些事物的性态、结构突然变化的规律，从而给出既形象又精确的拓扑模型，给人一种特有的美感。
2、反常性
反常也是奇异的一个重要特性，反常是对常态、常规的突破，它常常以矛盾冲突的形式创造新的数学对象，丰富数学的内容，推动数学的发展，因而能给人一种革旧立新、开拓进取的美感。数学对象的反常性主要表现为：反常事实，如德国数学家魏
尔斯特拉斯在1856年提出的一个处处连续又处处不可导的函数，就与人们的传统认识“连续函数至少在某些点处可导”相冲突；反常命题，如非欧几何的命题“三角形的内角和小于二直角”，反常于欧氏几何的“三角形的内角和等于二直角”；反常运算，如哈密尔顿四元数代数中“四元数乘法不可交换性”与传统代数学的“乘法交换律”相背离；反常理论，如勒贝格积分反常于黎曼积分、非欧几何反常于欧氏几何等；反常方法，如阿贝尔和黑肯借助计算机证明“四色定理”，超出了传统数学手工式证明的研究模式。
3、无穷性
在我国，著名的《庄子》一书中有言：“一尺之棰，日取其半，而万世不竭。”从中就可体现出我国早期对数学无穷的认识水平。而我国第一个创造性地将无穷思想运用到数学中，且运用相当自如的是魏晋时期著名数学家刘徽。他提出用增加圆内接正多边形的边数来逼近圆的“割圆术”，并阐述道：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”可见刘徽对数学无穷的认识已相当深刻，正是以“割圆术”为理论基础，刘徽得出徽率，而其后继者祖冲之更是得出了圆周率介于3.1415926与3.1415927之间的领先国外上千年的惊人成果。到了现代，随着集合论的发展，“无穷集合可以和它的子集建立元素之间的一一对应关系”、“两个同心圆的圆周上的点存在一一对应关系”这样的无限性命题同样令人惊叹。4、奇巧性
奇巧的东西给人以奇异、巧妙之感，高度的奇巧更是令人赏心悦目。数学中充满着奇巧的符号、公式、算式、图形和方法。欧拉给出的著名公式eip+1=0,将最基本的代数数0，1，i和超越数p，e用最基本的运算符号，通过最方便的方式巧妙的组合在一起，可谓数学创造的艺术精品。欧拉求无穷级数 1/n2和的方法、蒲丰投针求p 值的方法、希尔伯特解决果尔丹问题的存在性证明方法，都以其巧妙而赢得学术界的高度赞美。
5、神秘性
神秘的东西都带有某种奇异色彩，使人产生幻想和揭示其奥妙的欲望。某些数学对象的本质在没有充分暴露之前，往往会使人产生神秘或不可思议感。比如，在历史上，虚数曾一度被看作是“幻想中的数”、“介于存在和不存在之间的两栖物”；无穷小量dx被英国大主教贝克莱称为“消失了量的鬼魂”；彭加勒把集合论比喻为“病态数学”，外尔则称康托尔关于基数的等级是“雾上之雾”；非欧几何在长达半个世纪的时间内被人称为“想象的几何”、“虚拟的几何”等等。当然，当人们认识到这些数学对象的本质后，其神秘性也就自然消失了。
数学中的美是千姿百态、丰富多彩的，和谐性和奇异性作为数学美的两个基本特征，是对数学美的两个侧面的模写和反映，它们既相互区别，又相互依存、相互补充，共同闪耀着数学美的光芒。
参考文献：
简洁性在高等数学解题中的应用——数学美学方法的应用。《云南电大学报》 2004年04期。
数学美的教学功能。白永力
数学与历史学的关系浅析。杜春旭
数学美的再认识及其审美教学策略。付柳琳
哈尔滨师范大学毕业论文（函授） 浅谈数学中的美 年级：13届 学号： 姓名：颜玉娥 专业：数学教育 指导教师： 二零一三年四月 院系数学系专业数学教育 年级 xx级数学（xx）班姓名 xx 题目浅谈数学中的美 指导教师
评语 指导教师 (签章) 评阅人 评语 评阅人 (签章)成绩 答辩委员会主任 (签章) 年月日 浅谈数学中的美 【摘要】：
自然的终极秘密是用一种我们还不能阅读的语言书写的，数学为这种原文提供了注释。其中数学美感和审美能力是进行一切数学研究和创造的基础。数学追求的目标是：从混沌中找出秩序,使经验升华为规律,将复杂还原为基本。数学的无穷无尽的诱人之处还在于,它里面最棘手的悖论也能盛开出魅力的理论之花。数学美的魅力是诱人的,数学美的力量是巨大的,数学美的思想是神奇的。 数学具有简洁美、和谐美、奇异美等特征，但数学美却蕴藏于它所有的抽象符号、严格语言、演绎体系中。英国著名数学家B-A-W-罗素（1872—1970）曾说过：“数学，如果正确的看它，不但拥有真理，而且也具有至高的美。正像雕刻的美，是一种冷而严肃的美，这种美不是投合我们天性的微弱的方面。这种美虽然没有音乐或绘画的那些华丽的装饰，但是它可以纯净到崇高的地步，能够达到严格的只有最伟大的艺术才能显示的那种完美的境地”。数学就是这样一门“既美而真”的学科。 【关键词】： 美；空间；二进制；黄金分割；杨辉三角； 【正文】： 一、简洁美 简洁美是数学的重要标志。数学的语言是最简洁的语言，
用最简洁的方式揭示自然的客观规律，这正是数学最迷人的所在。爱因斯坦说过：“美，本质上终究是简单性”。他还认为，只有借助数学，才能达到简单性的美学准则。物理学家爱因斯坦的这种美学理论，在数学界也被多数人认同。朴素、简单，是其外在形式。只有既朴实清秀，又底蕴深厚，才称得上至美。 世事再纷繁，加减乘除算尽，宇宙虽广大，点线面体包完。正是数学的这种简洁性，使人们更快更准确的把握理论的精髓，促进自身学科的发展，也使数学学科具有了很强的通用性。目前数学已经成为了包括自然科学在内的所有科学的语言和工具。 为了更清楚地说明简洁美所导致的“真正的进步”,以二进位数制的建立为例来进行分析。二进位制渊源已久。作为一种系统的研究,莱布尼兹最早认为建立这样一种数制的可能性。他认为在二进位数制中,只需使用0和1这样两个数字就可表示出所有数量。他指出,1表示统一,0表示无。于是他推论道：只用0和1就可以把所有的数字都表现出来。这种记数法对于电子计算机是特别适用的。因为,在计算机中可以很方便地用一个特别按钮的“开”和“关”来分别对应数字“1”和“0”。进而,又只需适当增加按钮的数量,我们就可用按钮的组合来表示任何一个二进制数。这是多么伟大的一个构想。毫不夸张的说，没有数学的简洁，就没有现在这个互联网络四通八达、信息技术飞速发展的世界。
浅谈数学中的美李敬敏 发表时间：2013-04-19T09:17:45.403Z 来源：《教师教育研究（教学版）》2013年3月供稿作者：李敬敏[导读] 严密。数学逻辑的严密性，既是数学的特点，又是数学所追求的目的。 河北省安平县教师进修学校李敬敏 当下学生学习数学的信心和兴趣在减弱，我想与我们的数学教师对现成的教案迷信、对教材的迷信、对程式化教学模式的迷信、对高分片面的追求从而造成数学课死气沉沉、缺乏活力不无关系。其实数学教育既是向学生传授数学知识的过程，又是一个情感的双向交流过程。而获得美的感受是这个互动过程的动力源泉。 一、数学语言的美 对数学语言存在 “严密”、“准确”、 “情感”、 “风趣”四方面的美，要把握及应用得当，可增强教学语言的穿透力，还可强化要传授的数学知识，教育者要提高水平必须设法使它们和谐统一。 1，严密。数学逻辑的严密性，既是数学的特点，又是数学所追求的目的。恩格斯说：“数学以确定的完全现实的材料作为自己的对象，不过它考察一对象时完全弃其具体内容和本质的特点。”尽管数学概念本身以及它的结论、方法都是反映现实世界的，但它仍是在纯粹形式下进行研究的。因此，数学的教学语言力求做到“严谨简约”，也就是说在教学中语言不可模棱两可，重要语句不冗长，要抓住重点，简洁概括，有的放矢。严密的逻辑结构是数学美的一个表现。 2，准确。数学教师对定义、定理、公理的叙述要准确，不应该使学生产生疑问和误解，因此，作为教师要做到如下两条：一是对概念的实质和术语的含义首先必须有个透彻的了解。例如，“对应角相等”与“角对应相等”，“切线”与“切线长”是完全不同的两个概念；又如“平分弦的直径垂直于弦”，“所有的质数都是奇数”，这类语言就缺乏准确性。二是必须用科学的数学术语来授课，不能用自己生造的土话或方言来表达概念、性质、定理等。比如，把“线段的中点”讲成“在线段中间的点”就不准确。初中学生模仿能力强，教师的语言对学生来说是一个样板，他们对学生语言习惯和能力的影响是潜移默化的，如果教师的语言不够准确规范，会使学生对数学知识产生模糊的理解。因此，数学教师必须熟练数学科学语言的表达，做到言之成序，言之有理，这对培养学生严谨的科学精神和数学思维方法也是大有益处的。 3，情感。数学教学语言应力求亲切，富有情绪。数学语言是师生双方传递和交流思想感情的载体，亲切、感人的教学语言最能使学生保持积极舒畅的学习心境，最能唤起学生的热情，从而产生不可低估的力量。正如古人讲的“感人心者，莫先乎情”。教师在教学中，无论是讲授知识，还是对待学生，语言都应亲切，富有情感。许多专家也认为：智力源于情感，情感支配智力。对人的成功而言，情感智力比通常的心智活动的进行和智力水平的提高，更具有积极的意义，这是其他任何语言所无法替代的。 4、风趣。数学教学的对象是学生，他们需要教学语言的幽默风趣、通俗易懂。在数学教学中巧妙地运用幽默，可使教师的讲课变得风趣、诙谐、睿智，具有一定的艺术魅力，有助于学生去理解、接受和记忆新知识。具体地说，幽默风趣的语言可以激活课堂气氛，调节学生情趣。例如，在讲解平面直角坐标系的过程中，教师可以先讲解数学家欧拉发明坐标系的过程：有一次，欧拉躺在床上静静地思考，如何确定事物的位置，这时发现一只苍蝇粘在了蜘蛛网上，蜘蛛迅速地爬过去把它捉住。欧拉恍然大悟：“啊！可以象蜘蛛一样用网格来确定事物的位置啊。”然后引入正题——怎样用网格来表示位置。这时学生的学习兴致被大大地调动起来了。又如，我在讲授“线段的黄金分割”时，介绍了人体中有许多黄金分割的例子，如人的肚脐是人体长的黄金分割点，而膝盖又是人体肚脐以下部分体长的黄金分割点，使学生大开眼界，学习兴趣倍增。 二、数学形式美 数学的特点决定了数学形式的简单性和应用的广泛性，简单性是美的特征，也是数学所要求的，大千世界无奇不有、杂乱无章的自然现象中抽象出数学概念，再用简单的数学形式表示，然后反过来又解释更多现象，这正是我们数学的威力美的体现。 世界上存在着何其多的三角形，形式之多令人难以想象，然而三角形面积公式12 ah(a为底边，h为底边上的高)适用于任何三角形，以次还能推出所有多边形的面积。形式多么简单，而应用如此之广泛。 众所周知，科学的发展，人类的进步，数学已渗透到了各个领域，数学影响并促进了其它科学的发展，不但像物理学、化学、生物学、天文学等自然科学要应用数学，而且像心理学、教育学、经济学，甚至考古学等社会科学也要用到数学，同样数学应用的广泛性事例在中学数学中也是俯首可拾的。 例如：利用相似三角形的原理，我们可以测量树木、建筑物等的高度；利用微积分，我们可以求得物体运动任一时的速度；利用对数计算，我们可以预测2014年我国的人口数等等……举一些数学广泛应用的实例可以强化学生对数学学习的兴趣。 三、数学对称的美 对称就是整体各部分间的相称与相适应。对称是形式美的要求，它给人们一种圆满的匀称的美感。尽管数学早已枝繁叶茂，硕果累累，但归根结底，数学来自于生产实践，来自于现实世界。因为我们的自然界本身是对称的、和谐的、有规律的，所以反映到数学上即表现为数学的对称性。 数学中的对称性处处可见：古希腊欧几里德的《几何原理》建立了一个美妙的平面几何体系，两千多年来获得了多少的赞叹，以致一些大科学家称它为“雄伟的建筑”。几何中的中心对称、轴对称、镜像对称，多能给人以舒适美观之感、呈现着对称性。当然其它还有很多，像函数和反函数的图像，关于直线y=x对称等等。 总之，数学教学不仅要发展学生对美的感受，而且要培养学生对美的事物的情绪体验。数学语言是一种特殊的语言，它简练、概括、精确，富于形象化、理想化，这就要求我们数学教师必须把握住教学语言的 “严密”、“准确”、 “情感”、 “风趣”，教育过程中使简单性和应用的广泛性、对称性和谐统一，增强学生正确的审美能力。使得优秀的数学文化，变得美丽动人，从而启发学生去观察、联想，去发现问题，以至耐心执着地去解决问题，这样数学教学会变得生气勃勃、有血有肉、光彩照人。
数学中的美 发表时间：2011-02-16T14:05:59.700Z 来源：《时代学习报》2010年第7期作者：李文健[导读] 所以数学解题也是一种审美活动，是审美情感支配下对数学美的追求。宝应县泰山初级中学李文健 说到美人们可能很容易想到文章中的优美的语言，美术作品的艺术美等等。其实数学中的美无处不在，无时不在。数学家哈尔莫斯曾说过，哪里有数，哪里就有美。在数学教学中，教师如果有意识地培养学生欣赏数学中的美，不仅能极大地激发学生学习数学的兴趣，提高课堂效率，而且有助于提高学生的整体素质，促进学生的健康成长和全面发展。下面就来说说数学中的美。 1. 教材中的数学美 数学美其实是一种很含蓄的美，它不可能像看工艺品一样让人很直观地感受到，而是需要在老师的引导下，让学生去理性地体验，这就要求教师在教学过程中不断渗透美学，充分挖掘教材中的美学因素，尤其新教材在呈现方式上增加了许多插图和阅读内容，其目的之一就是尽可能给学生以美的熏陶，加深学生对数学的理解。 例如，勾股定理中美丽的勾股树，使学生在学习勾股定理的同时又发现了它的美学价值，大大激发了学生对学习勾股定理的研究兴趣，提高了学习效率。又如，在数学教学中介绍“杨辉三角”，从表面看，是一些枯燥数字的堆积，但从理性上认识它，却在严整的排列中，有优美匀称的规律，犹如一座数的山峰，融合了数学和谐之美，这些枯燥乏味数字和图形的和谐组合，就产生了神奇的力量，令人赏心悦目！ 2. 生活中的数学美 数学教学如果仅就内容进行教学是相当乏味的，只有把所要教的数学内容融入生活，让学生有真正的生活体验，数学的美才能显现其动人的色彩。因此教师要不失时机地引导学生发现生活中的数学美，使其感受到生活中处处有数学美。 例如：教学“黄金分割”时，可介绍其美学价值在生活中的应用：人体躯干的宽与长之比等于0.618时，就显得匀称；主持人主持节目时，站在舞台的黄金分割点位置，不显得呆板，声音传播效果最好等，如此讲解，既展示了数学广泛的应用，又体现了数学的魅力，让学生感受到生活中处处蕴藏着数学美。又如：学习过二次函数的图象后，带领学生观看广场的喷泉，那随着音乐声此起彼伏的水线，一会儿高矗云霄，一会儿盘旋而下，多么令人心旷神怡啊！ 3. 教学过程中的数学美 教师在教学过程中要不断地把数学美反映出来，向学生展示各种数学美，学生才能从中感受到数学美，在美的意境中不断受到感染、熏陶。 例如：教师可以通过设计美观、整洁、规范的板书来陶冶学生爱美、欣赏美的情操，从而充分调动学生学习数学的积极性，实现提高教学质量的目的，还可以用现代化教学手段将数学美尽情展现在学生的眼前，使枯燥的理论生动化，抽象的概念形象化，简单的结论充实化，静止的画面动态化，从而提高课堂教学效率。 4．解题过程中的数学美 学生解题时，一旦发现题目提供的知识信息与自己的审美情感相吻合时，就能正确、快速地确定解题方法和解题思路，从而达到事半功倍的效果，所以数学解题也是一种审美活动，是审美情感支配下对数学美的追求。 例如：两个不相等的实数a、b满足a2+2a=1，b2+2b=1，求 a+b的值。 解题思路：由已知容易发现a、b为一元二次方程x2+2x=1的两个不相等的实数根，再利用一元二次方程的根与数关系得：a+b=-2。 将这种方法与直接方法解出a、b，再分类讨论作比较，就发现要简洁得多，学生在解题过程中体会到了数学的简洁美。 5. 创造中的数学美 数学美的创造是数学美的升华，是数学美的最高境界。所以教师不仅要引导学生发现数学美，更重要的是让学生应用数学美去创造数学美。 例如：学习平面图形后，指导学生用“七巧板”进行拼图游戏，即用“七巧板”以各种不同的拼法来拼搭千变万化的形象图案，这是我国古代人民创造的益智游戏。学生在拼图的过程中能享受到通过自己创造而带来的数学美，大大增加了学生学习数学的兴趣。总之，数学是美的。教师要大力培养学生的数学审美能力，向学生展示各种数学美，并不断地感染学生，最终让学生完成对数学美的创造。 最后，用英国哲学家、数学家罗素话来说：“数学不但拥有真理，而且也具有至高无上的美，像维纳斯石膏一样，无色、无声，是一种冷而严肃的美。”于是，我们有一个“等式”： “数学是思维的体操”+“思维是地球上最美的花朵”=数学美。
毕业论文（函授） 浅谈数学中的美 年级：13届 学号： 姓名： 专业： 指导教师： 二零一三年四月 院系数学系专业数学教育 年级 xx级数学（xx）班姓名 xx 题目浅谈数学中的美 指导教师 评语
指导教师 (签章) 评阅人 评语 评阅人 (签章)成绩 答辩委员会主任 (签章) 年月日 浅谈数学中的美 【摘要】： 自然的终极秘密是用一种我们还不能阅读的语言书写的，数学为这种原
文提供了注释。其中数学美感和审美能力是进行一切数学研究和创造的基础。数学追求的目标是：从混沌中找出秩序,使经验升华为规律,将复杂还原为基本。数学的无穷无尽的诱人之处还在于,它里面最棘手的悖论也能盛开出魅力的理论之花。数学美的魅力是诱人的,数学美的力量是巨大的,数学美的思想是神奇的。 数学具有简洁美、和谐美、奇异美等特征，但数学美却蕴藏于它所有的抽象符号、严格语言、演绎体系中。英国著名数学家B-A-W-罗素（1872—1970）曾说过：“数学，如果正确的看它，不但拥有真理，而且也具有至高的美。正像雕刻的美，是一种冷而严肃的美，这种美不是投合我们天性的微弱的方面。这种美虽然没有音乐或绘画的那些华丽的装饰，但是它可以纯净到崇高的地步，能够达到严格的只有最伟大的艺术才能显示的那种完美的境地”。数学就是这样一门“既美而真”的学科。 【关键词】： 美；空间；二进制；黄金分割；杨辉三角； 【正文】： 一、简洁美 简洁美是数学的重要标志。数学的语言是最简洁的语言，用最简洁的方式揭示自然的客观规律，这正是数学最迷人的所在。
爱因斯坦说过：“美，本质上终究是简单性”。他还认为，只有借助数学，才能达到简单性的美学准则。物理学家爱因斯坦的这种美学理论，在数学界也被多数人认同。朴素、简单，是其外在形式。只有既朴实清秀，又底蕴深厚，才称得上至美。 世事再纷繁，加减乘除算尽，宇宙虽广大，点线面体包完。正是数学的这种简洁性，使人们更快更准确的把握理论的精髓，促进自身学科的发展，也使数学学科具有了很强的通用性。目前数学已经成为了包括自然科学在内的所有科学的语言和工具。 为了更清楚地说明简洁美所导致的“真正的进步”,以二进位数制的建立为例来进行分析。二进位制渊源已久。作为一种系统的研究,莱布尼兹最早认为建立这样一种数制的可能性。他认为在二进位数制中,只需使用0和1这样两个数字就可表示出所有数量。他指出,1表示统一,0表示无。于是他推论道：只用0和1就可以把所有的数字都表现出来。这种记数法对于电子计算机是特别适用的。因为,在计算机中可以很方便地用一个特别按钮的“开”和“关”来分别对应数字“1”和“0”。进而,又只需适当增加按钮的数量,我们就可用按钮的组合来表示任何一个二进制数。这是多么伟大的一个构想。毫不夸张的说，没有数学的简洁，就没有现在这个互联网络四通八达、信息技术飞速发展的世界。 数学中有个非常漂亮的公式，那就是欧拉公式。这个式子把数
浅谈数学中的美
浅谈数学中的美 摘要：数学本身具有许多美的特性，它们是形象、生动而具体的，数学中的符号美、统一美、和谐美和奇异美均展现着数学自身的美。把数学特别是现代数学中美的现象展示出来，再从美学的角度再认识，这不仅是对人们观念的一种启迪，同时可帮助人们去思维，去探索，去研究，去发掘。 关键词：数学美；简洁性；和谐性；奇异性“那里有数学，哪里就有美”，这是古代哲学家对数学美的一个高度评价.确实，数学中美学因素极为，它所表现出来的简洁性、对称性、和谐性、统一性、整体性、奇异性等是客观世界中美的特征．数学教师应在教学中充分利用这些美学因素，以提高学生的学习兴趣和审美能力．在解答较为复杂的数学问题中，转化是常用的一种数学思想，笔者在多年的教学实践中发现在解数学题当中有许多美好的转化．这些转化美在很多表面看似繁杂、怪异的问题变成了简单形象．经过转化，问题的条件和结论在新的协调的形式下变得互相沟通、环环相扣，极为和谐，从而使解法简洁有效．以下是笔者在教学中常用的几种美
好的转化. 一、符号美 符号就是菜种事物的代号，人们总是探索用简单的记号去表现复杂的事物，符号也正是这样产生的。符号对于数学的发展来讲，更是极为重要的，它可使人摆脱数学自身的抽象与约束，集中精力于主要环节。这在事实上增加了人们的思维能力。没有符号去表亍牧及其运算、数学的发展是不可想象的。数是科学的语言，符号是记录、表达这些语言的文字。正如没有文字，语言电难以发展一样。几乎每个数学分支都是靠一种符号语言而生存，数学符号是贯穿于数学全部的支柱。数学符号的产生、发明、使用的流传经历了一个十分漫长的过程，这个过程中始终贯穿着自然、和谐与美。早在400o多年前，埃及人已懂得了数学，在数的计算方面还会使用分数，他们还能计算直线形和圆形的面积，他们知道了圆周率约为3．14，同时也掌握了棱台和球的体积计算，并用符号来表示数、分数及面积体积公式。数及其运算只有用符号表示，才能更加确切和明了。圆周率是一个常数．1737年欧拉首先倡导
数学中的美学 高二20班张锦涛 数学，如果正确地看，不但拥有真理，而且也具有至高的美。——罗素 在当今的科学分类研究中，许多学者称哲学和数学是普遍科学，且认为二者可应用于任何学科和任何领域，其差别在于刻画现实世界时使用的方法和语言不同：哲学使用的是自然语言，数学使用的是人工语言(数学符号)；哲学使用的是辩证逻辑方法，而数学使用的是形式逻辑与数理逻辑方法。这样哲学家有时可以“感觉到”思维的和谐，而数学家则有时可以“感觉到”公式与定理的和谐，即美。 数学也是自然科学的语言，故它具有一般语言文学与艺术所共有的美的特点，即数学在其内容结构上、方法上也都具有自身的某种美，即所谓数学美。因而数学美是具体、形象、生动的。数学美的起源遥远、历史悠久。 我们学过“黄金分割”，即把线段l分成x和l-x两段，使其比满足：x∶l=(l-x)∶x，这样解得x≈0.618l，这种分割称为“黄金分割”。0.618…这是被中世纪学者、艺术家达·芬奇誉为“黄金数”的重要数值，它也曾被德国科学家开卜勒赞为几何学中两大“瑰宝”之一。 无论是古埃及的金字塔，还是古雅典的他侬神庙；无论是印度的泰姬陵，还是今日的巴黎埃菲尔铁塔，这些世人瞩目的建筑中都蕴藏着0.618…这一黄金比数，一些著名的艺术佳作也处处体现了黄金比值——许多名画的主题都是在画面的黄金分割点处，不少著名乐章的高潮在全曲的0.618处。人的肚脐是人体长的黄金分割点，而膝盖又是人体肚脐以下部分体长的黄金分割点。：叶子在茎上的排列也遵循黄金比，相邻两张叶片在与茎垂直的平面上的投影夹角是137°28＇，科学家们经计算表明：这个角度对植物叶子通风、采光来讲，都是最佳的。 人们也用黄金比例，创造出很多美的建筑，logo等等：
我从数学中感受到的美 The Beauty of Mathematic in My Eyes 姓名：王若珲 学院：自动化 学号：09211897 摘要：从公元前~~世纪开始，人类就从未停止对数学不断探索的脚步，数学一直是一门充满未知和神秘的学科，千百年来吸引着无数的学者们向往之寻觅之。数学一直等待着智慧的人们去发现他所蕴含着的无尽的让人着迷的美丽。和谐是数学的灵魂，奇异则是数学无尽延伸的枝叶上晶莹的珍珠。和谐性和奇异性也因此成为数学区别于其他学科特有的魅力。Summary : The discovery of human beings in the field of mathematic has never been stopped From *BC , Mathematic is a subject which full of mysteries and fantasy attracted countless experts to solve them or just to find the variety of treasures in it . Mathematic still covers endless mysteries waiting for intelligent people to explore. Harmony is the soul of mathematic, with the beautiful pearls on the leaves of mathematic which called fantasy. These two kinds of characters just have been as the significant and special distinctions with other subjects. 关键词：数学、美学、和谐性、奇异性 Key words: Mathematic Aesthetics Harmony Fantasy 数学历来以其高度的抽象性、严密的逻辑性被人们所认识，却很少有人把它与美学联系起来，似乎数学与美学毫不相干。其实，这是对数学本质的一种误解，是对数学与美学的关系以及数学中的美缺乏真正的了解和认识。 数学中存在许多美学的特性，如黄金分割的和谐美、几何图形的对称美、数学公式的简洁美、数学规律的统一美、数学图形的奇异美……可以说，数学中充满着美的因素，他的美是千姿百态、丰富多彩的, 在充满神秘的数学世界，到处闪现着美的光辉。 数学的美分为和谐美和奇异美，早在二千年多前,古希腊哲学家、数学家毕达哥拉斯就极度赞赏整数的和谐美，圆和球体的对称美，称宇宙是数的和谐体系。和谐性是美的最基本、最普遍的一个特征，任何美的东西无一不给人以和谐之感。 数学的统一美 统一性反映的是审美对象在形式或内容上的某种共同性、关联性或一致性,它能给人一种整体和谐的美感。数学对象的统一性通常表现为数学概念、规律、方法的统一,数学理论的统一,数学和其它科学的统一。 一切客观事物都是相互联系的，因而,作为反映客观事物的数学概念、数学定理、数学公式、数学法则也是互相联系的，在一定条件下可处于一个统一体之中。例如，运算、变换、函数分别是代数、几何、分析这三个数学分支中的重要概念,在集合论中,便可统一于映射的概念。又如代数中的算术平均——几何平均定理、加权平均定
题目：浅谈数学中的对称美 目录 摘要 (3) 一．数学中对称美的概念 (3) 二．数学中对称美的形式 (3) 三．数学中对称美的应用 (4) 四．总结 (5) 五．致谢 (6) 六．参考文献 (6)
浅谈数学中的对称美 摘要 对称美是数学美的重要组成部分，他普遍存在于初等数学和高等数学的各个分支中。在数学史上，数学美是数学发展的动力。本文通过对这些知识点中的对称进行阐述，逐步发展数学思维.，提高解题效率。生活中具备对称美的事物很多，如车轮、雪花、桥梁等，而对称本身就是一种和谐美。在数学领域中也十分常见，如：我们常见的轴对称图形、函数、数列、矩阵等。我们应在掌握对称这一基本原理的基础上找到事物之间的内在统一性，并用数学的思想去内化这一原理，就会发现对称美在艺术和自然两方面都有重大意义，它是一个广阔的主题，数学则是它根本，美和对称紧密相连。 关键词：对称美数学美对称变换 一、数学中对称美的概念 对称指物体或图形经过某种变换（如旋转、平移、对折等）其相同部分完全重合或有规律的重复的现象。山川、河流、树木等，在严格意义上来讲都是不对称的。然而，将研究对象扩大到整个地球、星系、宇宙，抑或缩小至晶体、分子、原子，世界又都是对称的。可以这么说，在与我们生活大致相同的尺度内，不对称属于自然界，而对称属于人类，是一种创造出来的人文之美.这些人文之美在初中的知识中有很多的体现.。 二．数学中对称美的形式 图形中的对称美 图形的对称往往以及其直观的形式呈现在人们的眼前，展现对称性的根本就是点的对称、线的对称。在此基础上衍生出线段的平分，角的平分线;平面图形：等腰三角形、等边三角形、等腰梯形、菱形、矩形、正方形、正多边形、圆。立体图形：长方体、正方体、圆台、正棱锥、正棱柱等。其中都有对称性的具体表现，轴对称和点对称赋予了它们美观，所以数学是壮丽多彩，千姿百态，引人入胜的。美丽的图画，给人以享受，被数学的魅力感动，使得轴对称图形在人的头脑中留下美的印象。 三、数学中对称美的应用 数学对称美在数学公式中的应用 很多数学公式中的字母是对称的，地位是平等的①，如数的加法与乘法通过运算形成对称，幂运算中形成的对称及三角函数中形成的对称： a+b=b+a，（a+b）+c=a+（b+c），（ab）^n=a^n+b^n，（a+b）^2=a^2+2ab+b^2，（a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^3+b^3,lg(ab)=lg（a）+lg(b) sin(α+β)=sin(α)cos(β)+cos(α)sin(β) 数学对称性在几何中的应用 在几何中，我们利用数学中的对称性，建立适当的坐标系，可以使运算更加简单
浅谈数学中的美 发表时间：2011-11-18T11:17:48.677Z 来源：《少年智力开发报（数学专页）》2011年28期作者：刘清斌 [导读] 谈到“数学”，你一定会联想到数学理论的演绎推理和数学公式的枯燥。 河南省光山二高刘清斌 谈到“数学”，你一定会联想到数学理论的演绎推理和数学公式的枯燥。美，谈何说起？马克思说过“社会的进步是人类对美的追求结果”，“不是缺少美，而是缺少发现美”。正如人们所说：“哪里有数，哪里就有美”。那么，让我们一起来探索数学中美的奥秘吧！ 一、奇异美 数学中的奇异美，是指结果新颖奇特，出人意料。如：七巧板可以拼成简单的正方形，也可以拼出千姿百态的图案，如花草、人形、鸟兽、房屋等。通过七巧板拼图练习，学生会感到图案之多。从中感受美的存在。 0.618这个数是古希腊欧多克斯发现的，有趣的是，从此以后，这个数与人类有许多不解之缘：希腊女神体态轻柔优美，引人入胜。经专家研究，她的身体从脚到肚脐之间的距离与整个身高的比值，恰好是0.618。画家、艺术家将其引入到绘画、雕塑等艺术领域，让作品变得更加和谐、美丽；主持人站在舞台0.618处时，音响效果将最好；人在气温为23℃左右，最舒服，生理功能发挥得最好。这些都是因为黄金分割原理，无怪于德国天文学家开普勒称黄金分割为“几何学的一大宝藏！” 数学有时像一本书，一个故事情节，开头以悬念见长，让你充满着神秘，然后一步步去求解，最终得出一个清楚明白的结论，如“鸡兔同笼不知其数，三十六头笼中露，数清脚共50双，多少只鸡多少只兔”，设鸡有x只，兔有y只，容易得出方程组解得。 这就是数学的乐趣，让人们抱着探求事实真相的目的、满怀好奇的求解过程和最终真相大白的快感。这一点，和人们读文学作品所产生的感觉是相似的，难怪有人说，世界本身就是未知数，而数学本身就是探索世界之谜的方程式。 二、和谐性 和谐性是数学美中的又一特征，它主要体现在数学图形中的对称美、数量的和谐、空间的协调…… 数学知识中的对称主要是轴对称美。像圆，太阳的象征，“一切平面图形中最美的图形”；等腰三角形，埃及金字塔的缩影；形象逼真的扇形；梅花瓣样的组合图形；铜钱式的圆中方；美丽的“雪花”图案，更显示出几何图形的对称美，和谐美。数量中的和谐，比如：加减乘除的运算意义和法则构成整体之间的相依、相反关系。它们既存在着可逆的关系，又存在着相互转换的关系，除法可转化为乘法，乘法也可转化为除法，和谐统一，又各有特点。 又如在“对称”这一课中，通过让学生画对称图形，剪对称图形的形式，让学生自己想办法保证剪对称图形，自由、开放地让他们去探索、去发现、去创造，在剪纸的过程中，进一步体会到对称的形成，感受到对称图形的内在美。在欣赏漂亮图案的同时与同伴分享“创造美的喜悦”，体验到数学和创造的美。 三、简洁性 简洁性可分为三个方面：符号美、抽象美、统一美。 数学知识大部分由数字和符号组成，从四则运算到比较大小，还有运算中的大、中、小括号，符号都讲究大小适中、上下左右对称。美好的数字：一是万物之始，一统天下、一马当先；二是偶数，双喜临门、比翼双飞；一去二三里，烟村四五家。亭台六七座，八九十枝花（邵雍）；七八个星天外，两三点雨山前（辛弃疾）；一帆一桨一渔舟，一个渔翁一钓钩。一俯一仰一顿笑，一江明月一江秋（纪晓岚）。读了上面的成语、诗，每个人都明显感到，无论是数字的单个应用或重复引用或循环使用，看似毫无感染力的数字竟能表现出各种思想感情。 其中许多简便的解法，也是数学简洁美的体现，比如：1966+1976+1986+1996+2006= ，这个计算题用一般的方法来解决，会带来繁杂的计算，认真观察，我们不难发现，后四个数分别比1966大10、20、30、40，根据这一特点，即可简化运算，于是等于1966×5＋ 10(1+2+3+4)=9830+100=9930,这一简洁的解法，给人以美的感受。 总之，数学美的魅力是诱人的，数学美的力量是巨大，数学美的思想是神奇的。它可以改变人们认为对数学枯燥无味的成见，让人们认识到数学也是一个五彩缤纷的美的世界，由此产生学习数学的兴趣。
84118 数学论文 浅谈数学中的美 马克思说过人类对美的追求的结晶就是社会的进步，换句话说就是，由于人类对美的渴望、对美的追求才促使了社会的发展。的确如此，文明发展源于对美的向往，文明进步源于对美的追求。数学是真理与美并存的一门科学。但是数学美不像绘画美有华丽的装饰，也不像音乐美有婀娜的音符。数学美是一种纯净的、高贵的、冷而严肃的美。数学美是世界之美的原型，一切事物生存发展的本质特征就是对美的追求，拥有数学美感以及数学审美能力是进行数学研究和数学创造的前提基础。 简洁美。先来看一个公式E=mc2，看似简单无奇实则寓意深远，它深刻揭示了从微观到宏观再到宇观的质能变化规律。爱因斯坦对人类的贡献不用多说也是众所周知的，恰恰这个如此简单的式子就代表了相对论的精髓。再来看我们都熟悉的数学数字1，1可以说是数学里面最为简单的数了，但是1却被视为万物的开端，世界的本源，整个世界都是由它派生而来，何其妙哉。
对称美。圆，太阳的象征，“一切平面图形中最美的图形”；美不胜收的埃及金字塔；铜钱式的圆中方；美丽的“雪花”图案；无不表现出对称美以及和谐美。我们知道这世间最美的立体图形和平面图形分别是球形与圆形。大家会发现一个有趣的事，圆形不仅是中心对称图形还是轴对称图形，球形则是点对称、线对称、面对称图形。当然不是只有几何中才有对称美，下列是对称的杨辉三角。美吗？答案是明确的。美，往往是无意间发现的，很多时候我们并不知道我们想要的美是怎样得来的，是想出来的还是算出来的，其实都不是，更多的是无意间发现的。通过公式定理以及方程等的证明、绘图等，很容易得出以前未曾定义过的美。 如与与与的图像，对称是显然的，除此之外，中心处还有一朵小花，美吗？当然！ 奇异美。生活充满惊喜，数学充满奇异。奇异，就是指新颖奇特，意想不到。数学中的奇异存在于数学的每一个角落，利用简单的数学线条能够拼凑出简单的数学图形，也能够拼凑出姿态万千的图案，还可以勾勒出美不胜收的艺术珍品。我们都知道，古希腊欧多克斯发现了 0.618，也就是所谓的黄金数，也就是人们常说的黄金分割比。至此以后，有趣的事情发生了，0.618与人类结下了不
浅谈数学中的美 【摘要】数学之美无处不在，广泛存在于生活各个角落。数学之美从不缺乏，缺少的是发现数学美的心灵。数学的美魅力诱人，数学的美力量巨大，数学的美思想神奇。正是因为数学之美绝妙无伦，才有了无数的数学科学家前赴后继的传承发展创新数学领域。数学跟现实生活一样也是一个五彩缤纷的奇妙的美的世界。数学中的美知道了的就已经有很多种，捡重要的来说大致有以下几种大家共同认同的美：简洁美、对称美、奇异美、抽象美、和谐美。 【关键词】简洁美；对称美；奇异美；抽象美；和谐美 马克思说过人类对美的追求的结晶就是社会的进步，换句话说就是，由于人类对美的渴望、对美的追求才促使了社会的发展。的确如此，文明发展源于对美的向往，文明进步源于对美的追求。数学是真理与美并存的一门科学。但是数学美不像绘画美有华丽的装饰，也不像音乐美有婀娜的音符。数学美是一种纯净的、高贵的、冷而严肃的美。数学美是世界之美的原型，一切事物生存发展的本质特征就是对美的追求，拥有数学美感以及数学审美能力是进行数学研究和数学创造的前提基础。
简洁美。先来看一个公式E=mc2，看似简单无奇实则寓意深远，它深刻揭示了从微观到宏观再到宇观的质能变化规律。爱因斯坦对人类的贡献不用多说也是众所周知的，恰恰这个如此简单的式子就代表了相对论的精髓。再来看我们都熟悉的数学数字1，1可以说是数学里面最为简单的数了，但是1却被视为万物的开端，世界的本源，整个世界都是由它派生而来，何其妙哉。 对称美。圆，太阳的象征，“一切平面图形中最美的图形”；美不胜收的埃及金字塔；铜钱式的圆中方；美丽的“雪花”图案；无不表现出对称美以及和谐美。我们知道这世间最美的立体图形和平面图形分别是球形与圆形。大家会发现一个有趣的事，圆形不仅是中心对称图形还是轴对称图形，球形则是点对称、线对称、面对称图形。当然不是只有几何中才有对称美，下列是对称的杨辉三角。美吗？答案是明确的。美，往往是无意间发现的，很多时候我们并不知道我们想要的美是怎样得来的，是想出来的还是算出来的，其实都不是，更多的是无意间发现的。通过公式定理以及方程等的证明、绘图等，很容易得出以前未曾定义过的美。 如与与与的图像，对称是显然的，除此之外，中心处还有一朵小花，美吗？当然！ 奇异美。生活充满惊喜，数学充满奇异。奇异，就是指新颖奇特，意想不到。数学中的奇异存在于数学的每一个
赏 析 数 学 美 大庆石油高级中学 陆桂菊（163453） 众所周知，数学在我们的基础教育中占有很大的份量，是我们的文化中极为重要的组成部分。她不但有智育的功能，也有其美育的功能。数学美深深地感染着人们的心灵，激起人们对她的欣赏。下面从几个方面来欣赏数学美。 一、简洁美 爱因期坦说过：“美，本质上终究是简单性。”他还认为，只有借助数学，才能达到简单性的美学准则。物理学家爱因期坦的这种 美学理论，在数学界，也被多数人所认同。朴素，简单，是其外在形式。只有既朴实清秀，又底蕴深厚，才称得上至美。 欧拉给出的公式：V －Ｅ＋Ｆ＝２，堪称“简单美”的典范。世间的多面体有多少？没有人能说清楚。但它们的顶点数Ｖ、棱数Ｅ、面数Ｆ，都必须服从欧拉给出的公式，一个如此简单的公式，概括了无数种多面体的共同特性，能不令人惊叹不已？由她还可派生出许多同样美妙的东西。如：平面图的 点数Ｖ、边数Ｅ、区域数Ｆ满足V －Ｅ＋Ｆ＝２，这个公式成了近代数学两个重要分支——拓扑学与图论的基本公式。由这个公式可以得到许多深刻的结论，对拓扑学与图论的发展起了很大的作用。 在数学中，像欧拉公式这样形式简洁、内容深刻、作用很大的定理还有许多。比如： 圆的周长公式：C=2πR 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边平方。 平均不等式：对任何正数n n n n x x x x x x x x x 212121, ,,, 正弦定理：ΔＡＢＣ的外接圆半径Ｒ，则 R C c B b A a 2sin sin sin 数学的这种简洁美，用几个定理是不足以说清的，数学历史中每一次进步都使已有的定理更简洁。正如伟大的希而伯特曾说过：“数学中每一步真正的进展都与更有力的工具和更简单的方法的发现密切联系着”。 二、和谐美 数论大师赛尔伯格曾经说，他喜欢数学 的一个动机是以下的公式： 51 3114 ，这个公式实在美极了，奇数1、3、5、…这样的组合可以给出 ，对于一个数学家来说，此公式正如一幅美丽图画或风景。 欧拉公式：1 i e ，曾获得“最美的 数学定理”称号。欧拉建立了在他那个时代，数学中最重要的几个常数之间的绝妙的有趣的联系，包容得如此协调、有序。与欧拉公式有关的棣美弗－欧拉公式是 i e i sin cos ――（１）。这个公式把 人们以为没有什么共同性的两大类函数――三角函数与指数函数紧密地结合起来了。对他们的结合，人们始则惊诧，继而赞叹――确是“天作之合”，因为，由他们的结合能派 生出许多美的，有用的结论来。 比如，由公式（１）得 2sin , 2cos i e i e i e i e 。由这两个公式，可把三角函数的定义域扩展到复数域上去，即考虑“弧度”为复数的“角”。 新定义的余弦函数与我们早已熟悉的通常的余弦函数和谐一致。 和谐的美，在数学中多得不可胜数。如 著名的黄金分割比2 1 5 ，即 ０.61803398…。
数学中的美 姓名：许从飞学号：PB08207227 数学是美的，美得灿烂无比。 从古希腊时代开始，数学与哲学、美学就结下了不解之缘，著名的数学史家克莱因曾指出：“实用的、科学的、美学的因素，共同促进了数学的形成。”“在判定数学的价值方面，美的满足与实用、科学的标准并驾齐驱。” 数学美是一种超自然的美、理性的美，有人总结为：简约之美、对称之美、和谐之美与奇异之美。数学的美感不仅能供人欣赏，而且能启发人的创造能力。 梭罗说：“最美的必然以数学形式来表达。”毕达哥拉斯就宣称地球是圆的，因为他认为球形是立体中最美的形状。 数学，包括：体系结构、概念表述、分析证明。这些都应当是简约、清晰和井然有序的。培养数学能力的教学目标与追求简约之美是相统一的。 数学的对称之美在微积分中体现的淋漓尽致。比如：（引用）一元函数与多元函数的对称，连续变量与离散变量的对称，微分与积分的对称，无穷积分与瑕积分的对称以及反常积分与级数的对称等。我们的学习中，根据微分与积分的对称，有微分法可以得到求原函数的各种技巧。 在微积分中，数学的奇异之美往往可以激发人的学习兴趣和创造意识。所谓奇异，就是指那些有悖于直觉的现象和规律。 数学的奇异之美无处不在，比如： 1.仅在整数点连续并且在其他点都是第二类间断点的函数： F(x)=sin(PI*x) (x为有理点)，F(x)=0 (x为无理点) 2.处处间断的函数（狄立克雷函数） 3.f’(x) >0,但是任意邻域都不单调的函数。 4.无穷小量都趋于0，无穷小量与无穷小量的乘积应当跟快的趋向于0. 有限个无穷 小量的代数和仍是无穷小。有限个无穷小量的积仍是无穷小量；常数与无穷小量的积也是无穷小量.但是无穷多个无穷小量未必趋于0，甚至可能是无穷大量（只在书上看到，本人还不知道为什么）。
在数学中欣赏美 学会体会数学中蕴含的奇趣与美妙，是激发学生学习数学的一把钥匙。美被人感受到，它就存在；不被人感受，它就不在。本文着重就有理数的乘方中所蕴含的数学美加以分析： 一、形象美 例1 计算2)32(- 2)32(- 2)32(-- 322- 23 2 - 解析：本题五个题形式全不同，要分清并解决这几个问题，关键要分清局部乘方与整体乘方的关系。 2)32(-＝94 )32()32(=-?- 2)32(-＝9 4)3232(-=?- 2)32(--＝94)32()32 (-=??????-?-- 322-＝94)32()3 2 (-=??????-?-- 二、 简洁美 例2 化简（－2）2005×（2 1- ）2005 解析：本题我们可以运用有理数乘方的定义解决，也可以运用积的乘方来解决 方法一（运用有理数乘方的定义解决）： 原式＝ 2004 2005 )2 1()21()21()2()2()2(-????-?-?-????-?- ＝)2()2 1 )(2()21)(2)(21)(2(2004 -?------ ＝－2 方法二（运用积的乘方来解决） 原式＝（－2）2004·（－2）×（－1 2 ）2004 ＝［（－2）·（－1 2 ）］2004×（－2） ＝12004×（－2）＝－2 三、趣味美 例3 质点P 从距原点1个单位的A 点处向远点方向跳动，第一次跳动到OA 的中点A 1处，第二次从A 1点跳动到OA 1的中点A 2处，第三次从A 2点跳动到OA 2的中点A 3处，如此不断跳动下去，则第n 次跳动后，该质点到原点O 的距离为_______。 解析：由题意可知OA 1＝ 21OA ＝2 1 ，OA 2＝21O A 1＝41， OA ,3＝21O A 2＝8 1 ，按此规律，当第n 次跳动后，则该质点到原点的距离为12n （或（1 2 ）n ）。 评析：数学的趣味美体现于它奇妙无穷的变幻，本题利用质点的位置的变换，激发学生探索新知的兴 1 2 3
简论数学中的美 发表时间：2018-12-03T11:34:09.840Z 来源：《中小学教育》2019年2月04期作者：罗坤[导读] 作为一门基础学科，数学在高中教学中的地位越来越高。为了让数学课堂活跃起来，首先要让学生喜欢数学，能够欣赏数学的美。作者就数学中的美谈谈体会。 罗坤百色市第一小学 533000 【摘要】作为一门基础学科，数学在高中教学中的地位越来越高。为了让数学课堂活跃起来，首先要让学生喜欢数学，能够欣赏数学的美。作者就数学中的美谈谈体会。【关键词】对称性奇异性突变性创新性统一性中图分类号：G623.5 文献标识码：A 文章编号：ISSN1001-2982（2019）04-110-01数学在基础教育中的地位日益加重，在职业高中教学中，数学作为一门工具学科，其重要作用不言而喻。很多学生认为学数学枯燥无味，除了做题还是做题，产生厌学情绪。我认为数学老师只有懂得教会学生，欣赏数学的美，才能激起学生学习数学的兴趣，从而才可以让学生更好地学习数学，为专业课的学习服务。兴趣是最好的老师，我在此谈谈对数学的理解。 一、数学的对称性 “对称”一词的含义是“和谐”、“美观”。毕达哥拉斯学派认为，一切空间图形中，最美的是球形；一切平面图形中，最美的是圆形。圆是中心对称图形――圆心是它的对称中心，圆也是轴对称图形――任何一条直径都是它的对称轴。 梯形的面积公式：s=（a+b）×h÷2，等差数列的前n项和公式：s=(a1+an)×n÷2，其中a是上底边长，b是下底边长，其中a1是首项，an是第n项，这两个等式中，a与a1是对称的，b与an是对称的，h与n是对称的。 对称不仅美，而且有用。对称美的形式很多，对称的这种美也不只有数学家欣赏，人们对于对称美的追求是自然的、朴素的。如格点对称，十四世纪在西班牙的格拉那达的阿尔汉姆拉宫，存在所有的格点对称，而直到1924年才证明出格点对称的种类。此外，还有格度对称，如我们喜爱的对数螺线、雪花，只要知道它的一部分，就可以知道它的全部。李政道、杨振宁正是由对称的研究而发现了宇宙不守恒定律。从中我们体会到了对称的美与成功。 二、数学的奇异、突变性 人造卫星、行星、彗星等由于运动的速度的不同，它们的轨道可能是椭圆、双曲线或抛物线，这几种曲线的定义如下：到定点距离与它到定直线的距离之比是常数e的点的轨迹，当e1时，形成的是双曲线； 当e=1时，形成的是抛物线。 常数e由0。999变为1，变为0。001，相差很小，形成的却是形状、性质完全不同的曲线。而这几种曲线又完全可看作不同的平面截圆锥面所得到的截线。 椭圆与正弦曲线会有什么联系吗？做一个实验，把厚纸卷几次，做成一个圆筒。斜割这一圆筒成两部分。如果不拆开圆筒，那么截面将是椭圆；如果拆开圆筒，切口形成的即是正弦曲线。这其中的玄妙是不是很奇异、很美。 三、数学的创新性 欧几里得几何曾经是完美的经典几何学，其中的公理5：“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”和结论“三角形内角和等于二直角”，这些似乎是天经地义的绝对真理。罗马切夫斯基却采用了不同于公理5的结论：“过直线外一点至少有两条直线与已知直线平行”，在这种几何里，“三角形内角和小于二直角”，从而创造了罗氏几何。黎曼几何学没有平行线，这些与传统观念相违背的理论，并不是虚无缥缈的，在我们进行遥远的天文测量时，用罗氏几何学却是很方便的；在爱因斯坦建立的广义相对论中，较多地运用了黎曼几何这个工具，才克服了所遇到的数学计算上的困难。每个理论都需要不断创新，每个奇思妙想、每个似乎不合理又不可思议的念头都可能开辟新的天地。这种开阔了我们的视野、开阔了我们的心胸，给我们完全不同感受的，难道不是切入肌肤的美吗？正是在不断创新的过程中，数学得到了发展。 四、数学的统一性 数的概念从自然数、分数、负数、无理数，扩大到复数，经历了无数次坎坷，范围不断扩大了，在数学及其他学科的作用也不断增大。那么，人们自然想到能否再把复数的概念继续推广。 数学的发展是逐步统一的过程。统一的目的正如希而伯特所说：“追求更有力的工具和更简单的方法。” 爱因斯坦一生的梦想就是追求宇宙统一的理论。他用简洁的表达式揭示了自然界中质能关系，这不能不说是一件统一的艺术品，但他还是没有完成统一的梦想。人类在不断探寻着纷繁复杂的世界，又在不断用统一的观点认识世界，宇宙没有尽头，统一美也需要永远的追求。 数学的美，她需要我们用心、用智慧去挖掘。如果在学习过程中，我们可以适当地了解数学的美，就一定能够激发我们学习数学的兴趣，从而更好地为学习我们的专业课程打下坚实的基础，从数学学习中获得成功的喜悦和美的享受，那么我们就会不断深入其中，欣赏和创造美。 参考文献 [1]斯科特.侯德润.张兰.数学史. [2]莫里斯?克莱因.古今数学思想（1）.